Μάθημα με θέμα: "Κανόνες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης δυνάμεων με ίδιους και διαφορετικούς εκθέτες. Παραδείγματα"
Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.
Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την 7η τάξη
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Yu.N. Makarycheva Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο A.G. Μόρντκοβιτς
Σκοπός του μαθήματος: μάθετε πώς να εκτελείτε πράξεις με δυνάμεις ενός αριθμού.
Αρχικά, ας θυμηθούμε την έννοια της "δύναμης ενός αριθμού". Μια έκφραση όπως $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $a^n$.
Το αντίστροφο ισχύει επίσης: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Αυτή η ισότητα ονομάζεται «καταγραφή του βαθμού ως γινόμενο». Θα μας βοηθήσει να καθορίσουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε τις δυνάμεις.
Θυμάμαι:
ένα- η βάση του πτυχίου.
n- εκθέτης.
Αν n=1, που σημαίνει τον αριθμό ΕΝΑλαμβάνονται μία φορά και αντίστοιχα: $a^n= 1$.
Αν n=0, τότε $a^0= 1$.
Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να μάθουμε όταν εξοικειωθούμε με τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων.
κανόνες πολλαπλασιασμού
α) Αν οι δυνάμεις πολλαπλασιαστούν με την ίδια βάση.Στο $a^n * a^m$, γράφουμε τις δυνάμεις ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Το σχήμα δείχνει ότι ο αριθμός ΕΝΑέχουν πάρει n+mφορές, τότε $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Παράδειγμα.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Αυτή η ιδιότητα είναι βολική στη χρήση για την απλοποίηση της εργασίας κατά την αύξηση ενός αριθμού σε μεγάλη ισχύ.
Παράδειγμα.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
β) Αν οι δυνάμεις πολλαπλασιαστούν με διαφορετική βάση, αλλά τον ίδιο εκθέτη.
Στο $a^n * b^n$, γράφουμε τις δυνάμεις ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Αν ανταλλάξουμε τους παράγοντες και μετρήσουμε τα ζεύγη που προκύπτουν, παίρνουμε: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Άρα $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Παράδειγμα.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
κανόνες διαίρεσης
α) Η βάση του βαθμού είναι ίδια, οι εκθέτες είναι διαφορετικοί.Εξετάστε τη διαίρεση ενός βαθμού με έναν μεγαλύτερο εκθέτη διαιρώντας έναν βαθμό με έναν μικρότερο εκθέτη.
Άρα, είναι απαραίτητο $\frac(a^n)(a^m)$, Οπου n>m.
Γράφουμε τους βαθμούς ως κλάσμα:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Για ευκολία γράφουμε τη διαίρεση ως απλό κλάσμα.Τώρα ας μειώσουμε το κλάσμα.
Αποδεικνύεται: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Που σημαίνει, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Αυτή η ιδιότητα θα σας βοηθήσει να εξηγήσετε την κατάσταση με την αύξηση ενός αριθμού σε δύναμη μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι n=m, τότε $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Παραδείγματα.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
β) Άλλες οι βάσεις του βαθμού, οι δείκτες ίδιοι.
Ας υποθέσουμε ότι χρειάζεστε $\frac(a^n)(b^n)$. Γράφουμε τις δυνάμεις των αριθμών ως κλάσμα:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Ας φανταστούμε για ευκολία.
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των κλασμάτων, χωρίζουμε ένα μεγάλο κλάσμα σε γινόμενο μικρών, παίρνουμε.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Αντίστοιχα: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Παράδειγμα.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Πώς να πολλαπλασιάσετε τις δυνάμεις; Ποιες δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν και ποιες όχι; Πώς πολλαπλασιάζεις έναν αριθμό με μια δύναμη;
Στην άλγεβρα, μπορείτε να βρείτε το γινόμενο των δυνάμεων σε δύο περιπτώσεις:
1) αν τα πτυχία έχουν την ίδια βάση?
2) αν τα πτυχία έχουν τους ίδιους δείκτες.
Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση πρέπει να παραμένει η ίδια και οι εκθέτες πρέπει να προστίθενται:
Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με τους ίδιους δείκτες συνολικό σκορμπορεί να μπει σε παρένθεση:
Εξετάστε πώς να πολλαπλασιάσετε τις δυνάμεις, με συγκεκριμένα παραδείγματα.
Η μονάδα στον εκθέτη δεν γράφεται, αλλά κατά τον πολλαπλασιασμό των μοιρών, λαμβάνουν υπόψη:
Κατά τον πολλαπλασιασμό, ο αριθμός των μοιρών μπορεί να είναι οποιοσδήποτε. Θα πρέπει να θυμάστε ότι δεν μπορείτε να γράψετε το σύμβολο πολλαπλασιασμού πριν από το γράμμα:
Στις εκφράσεις, εκτελείται πρώτα η εκθετικότητα.
Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με μια ισχύ, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε εκθετικό ρυθμό και μόνο τότε - πολλαπλασιασμό:
www.algebraclass.ru
Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση δυνάμεων
Πρόσθεση και αφαίρεση δυνάμεων
Προφανώς, οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να προστεθούν όπως και άλλες ποσότητες , προσθέτοντάς τα ένα προς ένα με τα σημάδια τους.
Άρα, το άθροισμα των a 3 και b 2 είναι a 3 + b 2 .
Το άθροισμα ενός 3 - b n και του h 5 - d 4 είναι 3 - b n + h 5 - d 4.
Πιθανότητα τις ίδιες δυνάμεις των ίδιων μεταβλητώνμπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί.
Άρα, το άθροισμα των 2a 2 και 3a 2 είναι 5a 2 .
Είναι επίσης προφανές ότι αν πάρουμε δύο τετράγωνα a, ή τρία τετράγωνα a, ή πέντε τετράγωνα a.
Αλλά πτυχία διάφορες μεταβλητέςΚαι διάφορους βαθμούς πανομοιότυπες μεταβλητές, πρέπει να προστεθούν προσθέτοντάς τα στα σημάδια τους.
Άρα, το άθροισμα ενός 2 και ενός 3 είναι το άθροισμα ενός 2 + a 3 .
Είναι προφανές ότι το τετράγωνο του α και ο κύβος του α δεν είναι ούτε διπλάσιο του τετραγώνου του α, αλλά διπλάσιο του κύβου του α.
Το άθροισμα του a 3 b n και του 3a 5 b 6 είναι a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Αφαίρεσηοι εξουσίες εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση, εκτός από το ότι τα σημάδια του υπόστρωμα πρέπει να αλλάξουν ανάλογα.
Ή:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Πολλαπλασιασμός ισχύος
Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν όπως και άλλες ποσότητες γράφοντάς τους ο ένας μετά τον άλλο, με ή χωρίς το πρόσημο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους.
Άρα, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του a 3 με το b 2 είναι a 3 b 2 ή aaabb.
Ή:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Το αποτέλεσμα στο τελευταίο παράδειγμα μπορεί να ταξινομηθεί προσθέτοντας τις ίδιες μεταβλητές.
Η έκφραση θα έχει τη μορφή: a 5 b 5 y 3 .
Συγκρίνοντας πολλούς αριθμούς (μεταβλητές) με δυνάμεις, μπορούμε να δούμε ότι αν πολλαπλασιαστούν δύο από αυτούς, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός (μεταβλητή) με δύναμη ίση με άθροισμαβαθμοί όρων.
Άρα, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Εδώ 5 είναι η δύναμη του αποτελέσματος του πολλαπλασιασμού, ίση με 2 + 3, το άθροισμα των δυνάμεων των όρων.
Άρα, a n .a m = a m+n .
Για ένα n, το a λαμβάνεται ως παράγοντας τόσες φορές όσες είναι η ισχύς του n.
Και το a m , λαμβάνεται ως παράγοντας όσες φορές είναι ίσος με τον βαθμό m.
Να γιατί, οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν προσθέτοντας τους εκθέτες.
Άρα, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Και x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ή:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Απάντηση: x 4 - y 4.
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για αριθμούς των οποίων οι εκθέτες είναι − αρνητικός.
1. Άρα, a -2 .a -3 = a -5 . Αυτό μπορεί να γραφτεί ως (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Αν τα a + b πολλαπλασιαστούν με a - b, το αποτέλεσμα θα είναι a 2 - b 2: δηλαδή
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά των τετραγώνων τους.
Αν το άθροισμα και η διαφορά δύο αριθμών αυξηθεί σε τετράγωνο, το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά αυτών των αριθμών σε τέταρτοςβαθμός.
Άρα, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Καταμερισμός εξουσιών
Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να διαιρεθούν όπως άλλοι αριθμοί αφαιρώντας από τον διαιρέτη ή τοποθετώντας τους με τη μορφή κλάσματος.
Άρα ένα 3 b 2 διαιρούμενο με το b 2 είναι ένα 3 .
Η εγγραφή ενός 5 διαιρεμένου με ένα 3 μοιάζει με $\frac $. Αυτό όμως ισούται με 2. Σε μια σειρά αριθμών
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με έναν άλλο και ο εκθέτης θα είναι ίσος με διαφοράδείκτες διαιρετών αριθμών.
Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται..
Άρα, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Δηλαδή, $\frac = y$.
Και a n+1:a = a n+1-1 = a n . Δηλαδή, $\frac = a^n$.
Ή:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Ο κανόνας ισχύει και για αριθμούς με αρνητικόςτιμές πτυχίου.
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός -5 με ένα -3 είναι ένα -2.
Επίσης, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ή $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε πολύ καλά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων, καθώς τέτοιες πράξεις χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως στην άλγεβρα.
Παραδείγματα επίλυσης παραδειγμάτων με κλάσματα που περιέχουν αριθμούς με δυνάμεις
1. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac $ Απάντηση: $\frac $.
2. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac$. Απάντηση: $\frac $ ή 2x.
3. Μειώστε τους εκθέτες a 2 / a 3 και a -3 / a -4 και φέρτε σε κοινό παρονομαστή.
a 2 .a -4 είναι ένας πρώτος αριθμητής -2.
a 3 .a -3 είναι 0 = 1, ο δεύτερος αριθμητής.
a 3 .a -4 είναι το -1, ο κοινός αριθμητής.
Μετά την απλοποίηση: a -2 /a -1 και 1/a -1 .
4. Μειώστε τους εκθέτες 2a 4 /5a 3 και 2 /a 4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
Απάντηση: 2a 3 / 5a 7 και 5a 5 / 5a 7 ή 2a 3 / 5a 2 και 5/5a 2.
5. Πολλαπλασιάστε (a 3 + b)/b 4 με (a - b)/3.
6. Πολλαπλασιάστε (a 5 + 1)/x 2 με (b 2 - 1)/(x + a).
7. Πολλαπλασιάστε b 4 /a -2 με h -3 /x και a n /y -3 .
8. Διαιρέστε ένα 4 /y 3 με ένα 3 /y 2 . Απάντηση: α/υ.
ιδιότητες βαθμού
Σας υπενθυμίζουμε ότι σε αυτό το μάθημα καταλαβαίνουμε ιδιότητες βαθμούμε φυσικούς δείκτες και μηδέν. Τα πτυχία με ορθολογικούς δείκτες και οι ιδιότητές τους θα συζητηθούν στα μαθήματα για την 8η τάξη.
Ένας εκθέτης με φυσικό εκθέτη έχει πολλές σημαντικές ιδιότητες που σας επιτρέπουν να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς σε παραδείγματα εκθέτη.
Ακίνητο #1
Προϊόν των δυνάμεων
Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες προστίθενται.
a m a n \u003d a m + n, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.
Αυτή η ιδιότητα των δυνάμεων επηρεάζει επίσης το γινόμενο τριών ή περισσότερων δυνάμεων.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Λάβετε υπόψη ότι στην υποδεικνυόμενη ιδιότητα επρόκειτο μόνο για πολλαπλασιασμό δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις.. Δεν ισχύει για την προσθήκη τους.
Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε το άθροισμα (3 3 + 3 2) με 3 5 . Αυτό είναι κατανοητό αν
υπολογίστε (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 και 3 5 = 243
Ακίνητο #2
Ιδιωτικά πτυχία
Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος.
(2β) 5: (2β) 3 = (2β) 5 − 3 = (2β) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των μερικών μοιρών.
3 8: t = 3 4
Απάντηση: t = 3 4 = 81
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες Νο. 1 και Νο. 2, μπορείτε εύκολα να απλοποιήσετε εκφράσεις και να εκτελέσετε υπολογισμούς.
- Παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης χρησιμοποιώντας ιδιότητες βαθμού.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Λάβετε υπόψη ότι η ιδιοκτησία 2 αφορούσε μόνο την κατανομή εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.
Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε τη διαφορά (4 3 −4 2) με 4 1 . Αυτό είναι κατανοητό αν υπολογίσετε (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 και 4 1 = 4
Ακίνητο #3
Εκθεσιμότητα
Κατά την αύξηση μιας ισχύος σε μια ισχύ, η βάση της ισχύος παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.
(a n) m \u003d a n m, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.
Σημειώστε ότι η ιδιότητα Νο. 4, όπως και άλλες ιδιότητες πτυχίων, εφαρμόζεται επίσης με αντίστροφη σειρά.
(a n b n)= (a b) n
Δηλαδή, για να πολλαπλασιάσετε μοίρες με τους ίδιους εκθέτες, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τις βάσεις και να αφήσετε τον εκθέτη αμετάβλητο.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Σε περισσότερα δύσκολα παραδείγματαμπορεί να υπάρξουν περιπτώσεις που ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση πρέπει να εκτελεστούν πάνω από δυνάμεις με διαφορετικούς λόγουςΚαι διαφορετικούς δείκτες. Σε αυτή την περίπτωση, σας συμβουλεύουμε να κάνετε τα εξής.
Για παράδειγμα, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Παράδειγμα εκθέσεως δεκαδικού κλάσματος.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Ιδιότητες 5
Δύναμη του πηλίκου (κλάσματα)
Για να αυξήσετε ένα πηλίκο σε μια δύναμη, μπορείτε να αυξήσετε το μέρισμα και τον διαιρέτη ξεχωριστά σε αυτήν την ισχύ και να διαιρέσετε το πρώτο αποτέλεσμα με το δεύτερο.
(α: β) n \u003d a n: b n, όπου "a", "b" είναι οποιοιδήποτε ρητός αριθμός, b ≠ 0, n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Υπενθυμίζουμε ότι ένα πηλίκο μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Ως εκ τούτου, θα σταθούμε στο θέμα της αύξησης ενός κλάσματος σε μια ισχύ με περισσότερες λεπτομέρειες στην επόμενη σελίδα.
Πτυχία και Ρίζες
Λειτουργίες με δυνάμεις και ρίζες. Πτυχίο με αρνητικό ,
μηδενικό και κλασματικό δείκτης. Για εκφράσεις που δεν βγάζουν νόημα.
Επιχειρήσεις με πτυχία.
1. Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, αθροίζονται οι δείκτες τους:
είμαι · a n = a m + n .
2. Κατά τη διαίρεση μοιρών με την ίδια βάση, τους δείκτες τους αφαιρείται .
3. Ο βαθμός του γινομένου δύο ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων.
4. Ο βαθμός του λόγου (κλάσμα) είναι ίσος με τον λόγο των βαθμών του μερίσματος (αριθμητής) και του διαιρέτη (παρονομαστής):
(α/β) n = a n / b n .
5. Κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, οι δείκτες τους πολλαπλασιάζονται:
Όλοι οι παραπάνω τύποι διαβάζονται και εκτελούνται και προς τις δύο κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Επεμβάσεις με ρίζες. Σε όλους τους παρακάτω τύπους, το σύμβολο σημαίνει αριθμητική ρίζα(η ριζοσπαστική έκφραση είναι θετική).
1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:
2. Η ρίζα του λόγου είναι ίση με την αναλογία των ριζών του μερίσματος και του διαιρέτη:
3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε μια δύναμη, αρκεί να αυξήσετε σε αυτή τη δύναμη αριθμός ρίζας:
4. Εάν αυξήσετε τον βαθμό της ρίζας κατά m φορές και ταυτόχρονα αυξήσετε τον αριθμό της ρίζας στον m -ο βαθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:
5. Εάν μειώσετε τον βαθμό της ρίζας κατά m φορές και ταυτόχρονα εξαγάγετε τη ρίζα του m-ου βαθμού από τον ριζικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:
Επέκταση της έννοιας του πτυχίου. Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει πτυχία μόνο με φυσικό δείκτη. αλλά οι επιχειρήσεις με δυνάμεις και ρίζες μπορούν επίσης να οδηγήσουν σε αρνητικός, μηδένΚαι κλασματικόςδείκτες. Όλοι αυτοί οι εκθέτες απαιτούν έναν πρόσθετο ορισμό.
Βαθμός με αρνητικό εκθέτη. Η ισχύς κάποιου αριθμού με αρνητικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τη δύναμη του ίδιου αριθμού με έναν εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του αρνητικού εκθέτη:
Τώρα η φόρμουλα είμαι : a n = ένα m-nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ, περισσότερο από n, αλλά και στο Μ, λιγότερο από n .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ένα 4: ένα 7 = α 4 — 7 = α — 3 .
Αν θέλουμε τον τύπο είμαι : a n = είμαι — nήταν δίκαιος στο m = n, χρειαζόμαστε έναν ορισμό μηδέν βαθμό.
Βαθμός με μηδενικό εκθέτη. Ο βαθμός οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με μηδενικό εκθέτη είναι 1.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη. Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό a στην ισχύ m / n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του nου βαθμού από τη mth δύναμη αυτού του αριθμού a:
Για εκφράσεις που δεν βγάζουν νόημα. Υπάρχουν πολλές τέτοιες εκφράσεις.
Οπου ένα ≠ 0 , δεν υπάρχει.
Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι Χείναι ένας ορισμένος αριθμός, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της πράξης διαίρεσης, έχουμε: ένα = 0· Χ, δηλ. ένα= 0, που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη: ένα ≠ 0
— οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.
Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι αυτή η έκφραση είναι ίση με κάποιον αριθμό Χ, τότε σύμφωνα με τον ορισμό της πράξης διαίρεσης έχουμε: 0 = 0 Χ. Αλλά αυτή η ισότητα ισχύει οποιονδήποτε αριθμό x, που έπρεπε να αποδειχτεί.
0 0 — οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.
Λύση. Εξετάστε τρεις κύριες περιπτώσεις:
1) Χ = 0 – αυτή η τιμή δεν ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση
2) πότε Χ> 0 παίρνουμε: x / x= 1, δηλ. 1 = 1, από όπου ακολουθεί,
Τι Χ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ; αλλά λαμβάνοντας υπόψη ότι
η περίπτωσή μας Χ> 0 , η απάντηση είναι Χ > 0 ;
Κανόνες πολλαπλασιασμού δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις
ΠΤΥΧΙΟ ΜΕ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΟ ΔΕΙΚΤΗ,
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΙΣΧΥΟΣ IV
§ 69. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις
Θεώρημα 1.Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, αρκεί να προσθέσουμε τους εκθέτες και να αφήσουμε τη βάση ίδια, δηλαδή
Απόδειξη.Εξ ορισμού πτυχίου
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Έχουμε εξετάσει το γινόμενο δύο δυνάμεων. Στην πραγματικότητα, η αποδεδειγμένη ιδιότητα ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.
Θεώρημα 2.Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, όταν ο δείκτης του μερίσματος είναι μεγαλύτερος από τον δείκτη του διαιρέτη, αρκεί να αφαιρέσουμε τον δείκτη του διαιρέτη από τον δείκτη του μερίσματος και να αφήσουμε τη βάση ίδια, δηλαδή στο t > n
(ένα =/= 0)
Απόδειξη.Θυμηθείτε ότι το πηλίκο της διαίρεσης ενός αριθμού με έναν άλλο είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με έναν διαιρέτη, δίνει το μέρισμα. Επομένως, αποδείξτε τον τύπο , όπου ένα =/= 0, είναι σαν να αποδεικνύεις τον τύπο
Αν t > n , μετά τον αριθμό t - p θα είναι φυσικό? επομένως, από το Θεώρημα 1
Το θεώρημα 2 αποδεικνύεται.
Σημειώστε ότι ο τύπος
αποδείχθηκε από εμάς μόνο με την υπόθεση ότι t > n . Επομένως, από όσα έχουν αποδειχθεί, δεν είναι ακόμη δυνατό να εξαχθούν, για παράδειγμα, τα ακόλουθα συμπεράσματα:
Επιπλέον, δεν έχουμε ακόμη εξετάσει βαθμούς με αρνητικούς εκθέτες και δεν γνωρίζουμε ακόμη τι νόημα μπορεί να δοθεί στην έκφραση 3 - 2 .
Θεώρημα 3. Για να αυξήσετε μια δύναμη σε μια ισχύ, αρκεί να πολλαπλασιάσετε τους εκθέτες, αφήνοντας τη βάση του εκθέτη ίδια, αυτό είναι
Απόδειξη.Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του βαθμού και το Θεώρημα 1 αυτής της ενότητας, παίρνουμε:
Q.E.D.
Για παράδειγμα, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Προφορικά.) Προσδιορίστε Χ από τις εξισώσεις:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 Χ ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 Χ ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 Χ ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 Χ .
519. (Προσαρμοσμένο) Απλοποίηση:
520. (Προσαρμοσμένο) Απλοποίηση:
521. Παρουσιάστε αυτές τις εκφράσεις ως μοίρες με τις ίδιες βάσεις:
1) 32 και 64. 3) 85 και 163. 5) 4 100 και 32 50;
2) -1000 και 100; 4) -27 και -243; 6) 81 75 8 200 και 3 600 4 150.
Προφανώς, οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να προστεθούν όπως και άλλες ποσότητες , προσθέτοντάς τα ένα προς ένα με τα σημάδια τους.
Άρα, το άθροισμα των a 3 και b 2 είναι a 3 + b 2 .
Το άθροισμα ενός 3 - b n και του h 5 - d 4 είναι 3 - b n + h 5 - d 4 .
Πιθανότητα τις ίδιες δυνάμεις των ίδιων μεταβλητώνμπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί.
Άρα, το άθροισμα των 2a 2 και 3a 2 είναι ίσο με 5a 2 .
Είναι επίσης προφανές ότι αν πάρουμε δύο τετράγωνα a, ή τρία τετράγωνα a, ή πέντε τετράγωνα a.
Αλλά πτυχία διάφορες μεταβλητέςΚαι διάφορους βαθμούς πανομοιότυπες μεταβλητές, πρέπει να προστεθούν προσθέτοντάς τα στα σημάδια τους.
Άρα, το άθροισμα ενός 2 και ενός 3 είναι το άθροισμα ενός 2 + a 3 .
Είναι προφανές ότι το τετράγωνο του α και ο κύβος του α δεν είναι ούτε διπλάσιο του τετραγώνου του α, αλλά διπλάσιο του κύβου του α.
Το άθροισμα του a 3 b n και του 3a 5 b 6 είναι a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Αφαίρεσηοι εξουσίες εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση, εκτός από το ότι τα σημάδια του υπόστρωμα πρέπει να αλλάξουν ανάλογα.
Ή:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Πολλαπλασιασμός ισχύος
Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν όπως και άλλες ποσότητες γράφοντάς τους ο ένας μετά τον άλλο, με ή χωρίς το πρόσημο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους.
Άρα, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του a 3 με το b 2 είναι a 3 b 2 ή aaabb.
Ή:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Το αποτέλεσμα στο τελευταίο παράδειγμα μπορεί να ταξινομηθεί προσθέτοντας τις ίδιες μεταβλητές.
Η έκφραση θα έχει τη μορφή: a 5 b 5 y 3 .
Συγκρίνοντας πολλούς αριθμούς (μεταβλητές) με δυνάμεις, μπορούμε να δούμε ότι αν πολλαπλασιαστούν δύο από αυτούς, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός (μεταβλητή) με δύναμη ίση με άθροισμαβαθμοί όρων.
Άρα, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Εδώ 5 είναι η δύναμη του αποτελέσματος του πολλαπλασιασμού, ίση με 2 + 3, το άθροισμα των δυνάμεων των όρων.
Άρα, a n .a m = a m+n .
Για ένα n, το a λαμβάνεται ως παράγοντας τόσες φορές όσες είναι η ισχύς του n.
Και το a m , λαμβάνεται ως παράγοντας όσες φορές είναι ίσος με τον βαθμό m.
Να γιατί, οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν προσθέτοντας τους εκθέτες.
Άρα, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Και x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ή:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Απάντηση: x 4 - y 4.
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για αριθμούς των οποίων οι εκθέτες είναι - αρνητικός.
1. Άρα, a -2 .a -3 = a -5 . Αυτό μπορεί να γραφτεί ως (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Αν τα a + b πολλαπλασιαστούν με a - b, το αποτέλεσμα θα είναι a 2 - b 2: δηλαδή
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά των τετραγώνων τους.
Αν το άθροισμα και η διαφορά δύο αριθμών αυξηθεί σε τετράγωνο, το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά αυτών των αριθμών σε τέταρτοςβαθμός.
Άρα, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Καταμερισμός εξουσιών
Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να διαιρεθούν όπως άλλοι αριθμοί αφαιρώντας από τον διαιρέτη ή τοποθετώντας τους με τη μορφή κλάσματος.
Άρα ένα 3 b 2 διαιρούμενο με το b 2 είναι ένα 3 .
Ή:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Η εγγραφή ενός 5 διαιρεμένου με ένα 3 μοιάζει με $\frac(a^5)(a^3)$. Αυτό όμως ισούται με 2. Σε μια σειρά αριθμών
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με έναν άλλο και ο εκθέτης θα είναι ίσος με διαφοράδείκτες διαιρετών αριθμών.
Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται..
Άρα, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Δηλαδή, $\frac(εεε)(εε) = y$.
Και a n+1:a = a n+1-1 = a n . Δηλαδή, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Ή:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Ο κανόνας ισχύει και για αριθμούς με αρνητικόςτιμές πτυχίου.
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός -5 με ένα -3 είναι ένα -2.
Επίσης, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ή $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε πολύ καλά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων, καθώς τέτοιες πράξεις χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως στην άλγεβρα.
Παραδείγματα επίλυσης παραδειγμάτων με κλάσματα που περιέχουν αριθμούς με δυνάμεις
1. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac(5a^4)(3a^2)$ Απάντηση: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac(6x^6)(3x^5)$. Απάντηση: $\frac(2x)(1)$ ή 2x.
3. Μειώστε τους εκθέτες a 2 / a 3 και a -3 / a -4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
a 2 .a -4 είναι ένας πρώτος αριθμητής -2.
a 3 .a -3 είναι 0 = 1, ο δεύτερος αριθμητής.
a 3 .a -4 είναι το -1, ο κοινός αριθμητής.
Μετά την απλοποίηση: a -2 /a -1 και 1/a -1 .
4. Μειώστε τους εκθέτες 2a 4 /5a 3 και 2 /a 4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
Απάντηση: 2a 3 / 5a 7 και 5a 5 / 5a 7 ή 2a 3 / 5a 2 και 5/5a 2.
5. Πολλαπλασιάστε (a 3 + b)/b 4 με (a - b)/3.
6. Πολλαπλασιάστε (a 5 + 1)/x 2 με (b 2 - 1)/(x + a).
7. Πολλαπλασιάστε b 4 /a -2 με h -3 /x και a n /y -3 .
8. Διαιρέστε ένα 4 /y 3 με ένα 3 /y 2 . Απάντηση: α/υ.
9. Διαιρέστε (h 3 - 1)/d 4 με (d n + 1)/h.
Κάθε αριθμητική πράξη μερικές φορές γίνεται πολύ περίπλοκη για να καταγραφεί και προσπαθούν να την απλοποιήσουν. Κάποτε το ίδιο συνέβαινε με την πράξη προσθήκης. Ήταν απαραίτητο για τους ανθρώπους να πραγματοποιήσουν επαναλαμβανόμενες προσθήκες του ίδιου τύπου, για παράδειγμα, να υπολογίσουν το κόστος εκατό περσικών χαλιών, το κόστος των οποίων είναι 3 χρυσά νομίσματα για το καθένα. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Λόγω του όγκου, θεωρήθηκε ότι η σημείωση θα μειωθεί σε 3 * 100 = 300. Στην πραγματικότητα, ο συμβολισμός "τρεις φορές εκατό" σημαίνει ότι πρέπει να πάρετε εκατό τριπλάσια και προσθέστε τα μαζί. Ο πολλαπλασιασμός ρίζωσε, κέρδισε γενική δημοτικότητα. Αλλά ο κόσμος δεν στέκεται ακίνητος και στον Μεσαίωνα έγινε απαραίτητο να πραγματοποιηθεί επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός του ίδιου τύπου. Μου θυμίζει ένα παλιό ινδικό αίνιγμα για έναν σοφό που ζητά ανταμοιβή για μια καλή δουλειά. κόκκους σιταριούστην ακόλουθη ποσότητα: για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας ζήτησε έναν κόκκο, για το δεύτερο - δύο, το τρίτο - τέσσερα, το πέμπτο - οκτώ, κ.ο.κ. Έτσι εμφανίστηκε ο πρώτος πολλαπλασιασμός των δυνάμεων, γιατί ο αριθμός των κόκκων ήταν ίσος με δύο με τη δύναμη του αριθμού των κυττάρων. Για παράδειγμα, στο τελευταίο κελί θα υπήρχαν 2*2*2*…*2 = 2^63 κόκκοι, που ισούται με έναν αριθμό μήκους 18 χαρακτήρων, που, στην πραγματικότητα, είναι η έννοια του γρίφου.
Η λειτουργία της αύξησης σε μια δύναμη ρίζωσε αρκετά γρήγορα, και επίσης έγινε γρήγορα απαραίτητο να πραγματοποιηθούν πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση και πολλαπλασιασμός μοιρών. Το τελευταίο αξίζει να εξεταστεί με περισσότερες λεπτομέρειες. Οι τύποι για την προσθήκη δυνάμεων είναι απλοί και εύκολο να θυμάστε. Επιπλέον, είναι πολύ εύκολο να καταλάβουμε από πού προέρχονται εάν η λειτουργία ισχύος αντικατασταθεί από πολλαπλασιασμό. Αλλά πρώτα πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη ορολογία. Η έκφραση a ^ b (διαβάζεται "a στη δύναμη του b") σημαίνει ότι ο αριθμός a πρέπει να πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του b φορές, και το "a" ονομάζεται βάση του βαθμού και το "b" είναι ο εκθέτης. Εάν οι βάσεις των δυνάμεων είναι ίδιες, τότε οι τύποι προκύπτουν πολύ απλά. Συγκεκριμένο παράδειγμα: βρείτε την τιμή της παράστασης 2^3 * 2^4. Για να μάθετε τι πρέπει να συμβεί, θα πρέπει να μάθετε την απάντηση στον υπολογιστή πριν ξεκινήσετε τη λύση. Εισάγοντας αυτήν την έκφραση σε οποιαδήποτε ηλεκτρονική αριθμομηχανή, μηχανή αναζήτησης, πληκτρολογώντας "πολλαπλασιασμός δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις και ίδια" ή ένα μαθηματικό πακέτο, η έξοδος θα είναι 128. Τώρα ας γράψουμε αυτήν την έκφραση: 2^3 = 2*2*2, και 2^4 = 2 *2*2*2. Αποδεικνύεται ότι 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Αποδεικνύεται ότι το γινόμενο των δυνάμεων με την ίδια βάση είναι ίσο με τη βάση που ανυψώνεται σε μια ισχύ, ίσο με το άθροισματους δύο προηγούμενους βαθμούς.
Μπορεί να νομίζετε ότι πρόκειται για ατύχημα, αλλά όχι: οποιοδήποτε άλλο παράδειγμα μπορεί μόνο να επιβεβαιώσει αυτόν τον κανόνα. Έτσι, σε γενική εικόναο τύπος μοιάζει με αυτό: a^n * a^m = a^(n+m) . Υπάρχει επίσης ένας κανόνας ότι οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα. Εδώ θα πρέπει να θυμόμαστε τον κανόνα των αρνητικών δυνάμεων: a^(-n) = 1 / a^n. Δηλαδή, αν 2^3 = 8, τότε 2^(-3) = 1/8. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, μπορούμε να αποδείξουμε την ισότητα a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , Το a^ (n) μπορεί να μειωθεί και παραμένει ένα. Από αυτό προκύπτει ο κανόνας ότι το πηλίκο των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις είναι ίσο με αυτή τη βάση σε βαθμό ίσο με το πηλίκο του μερίσματος και του διαιρέτη: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Παράδειγμα: Απλοποιήστε την παράσταση 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Ο πολλαπλασιασμός είναι μια αντισταθμιστική πράξη, επομένως οι εκθέτες πολλαπλασιασμού πρέπει πρώτα να προστεθούν: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Το επόμενο βήμα είναι η αντιμετώπιση της διαίρεσης σε αρνητικό βαθμό. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον εκθέτη διαιρέτη από τον εκθέτη μερίσματος: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. αποδεικνύεται ότι η πράξη της διαίρεσης με έναν αρνητικό βαθμό ταυτίζεται με τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού με έναν παρόμοιο θετικό εκθέτη. Άρα η τελική απάντηση είναι 8.
Υπάρχουν παραδείγματα όπου λαμβάνει χώρα μη κανονικός πολλαπλασιασμός δυνάμεων. Ο πολλαπλασιασμός των δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις είναι πολύ συχνά πολύ πιο δύσκολος, και μερικές φορές ακόμη και αδύνατος. Διάφορα παραδείγματα διαφόρων πιθανά κόλπα. Παράδειγμα: απλοποιήστε την έκφραση 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Προφανώς, υπάρχει πολλαπλασιασμός δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις. Όμως, πρέπει να σημειωθεί ότι όλοι οι λόγοι είναι ποικίλους βαθμούςτρίδυμα. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα (a^n) ^m = a^(n*m) , θα πρέπει να ξαναγράψετε την έκφραση σε μια πιο βολική μορφή: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Απάντηση: 3^11. Σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν διαφορετικές βάσεις, ο κανόνας a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n λειτουργεί για ίσους δείκτες. Για παράδειγμα, 3^3 * 7^3 = 21^3. Διαφορετικά, όταν υπάρχουν διαφορετικές βάσεις και δείκτες, είναι αδύνατο να γίνει πλήρης πολλαπλασιασμός. Μερικές φορές μπορείτε να απλοποιήσετε εν μέρει ή να καταφύγετε στη βοήθεια της τεχνολογίας υπολογιστών.