Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτεςνα βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημοσίων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Ας ξεκινήσουμε με ιδιότητες του λογάριθμου της ενότητας. Η διατύπωσή του έχει ως εξής: ο λογάριθμος της ενότητας μηδέν, αυτό είναι, καταγράψτε ένα 1=0για οποιοδήποτε a>0 , a≠1 . Η απόδειξη είναι απλή: αφού a 0 =1 για κάθε a που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες a>0 και a≠1, τότε το αποδεδειγμένο log ισότητας a 1=0 προκύπτει αμέσως από τον ορισμό του λογαρίθμου.
Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της εξεταζόμενης ιδιότητας: log 3 1=0 , lg1=0 και .
Ας προχωρήσουμε στο επόμενο ακίνητο: λογάριθμος ενός αριθμού ίσο με τη βάση, ισούται με ένα, αυτό είναι, καταγραφή a a=1για a>0, a≠1. Πράγματι, αφού a 1 =a για οποιοδήποτε a , τότε με τον ορισμό του λογαρίθμου log a a=1 .
Παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων είναι log 5 5=1 , log 5.6 5.6 και lne=1 .
Για παράδειγμα, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 και 
.
Λογάριθμος του γινομένου δύο θετικών αριθμών x και y είναι ίσο με το γινόμενο των λογαρίθμων αυτών των αριθμών: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Ας αποδείξουμε την ιδιότητα του λογαρίθμου του γινομένου. Λόγω των ιδιοτήτων του πτυχίου a log a x+log a y =a log a x a log a y, και δεδομένου ότι από την κύρια λογαριθμική ταυτότητα ένα log a x =x και ένα log a y =y , τότε ένα log a x a log a y =x y . Έτσι, a log a x+log a y =x y , από όπου η απαιτούμενη ισότητα ακολουθεί ο ορισμός του λογάριθμου.
Ας δείξουμε παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας του λογάριθμου του γινομένου: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 και 
.
Η λογαριθμική ιδιότητα ενός προϊόντος μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο πεπερασμένος αριθμός n θετικοί αριθμοί x 1 , x 2 , …, x n ως log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Αυτή η ισότητα αποδεικνύεται εύκολα.
Για παράδειγμα, ο φυσικός λογάριθμος ενός προϊόντος μπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισμα τριών φυσικών λογαρίθμων των αριθμών 4 , e , και .
Λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών x και y ισούται με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων αυτών των αριθμών. Η ιδιότητα του πηλίκου του λογάριθμου αντιστοιχεί σε έναν τύπο της μορφής , όπου a>0 , a≠1 , x και y είναι κάποιοι θετικοί αριθμοί. Η εγκυρότητα αυτού του τύπου αποδεικνύεται όπως ο τύπος για τον λογάριθμο του γινομένου: αφού 
, τότε με τον ορισμό του λογάριθμου .
Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας του λογάριθμου: 
.
Ας προχωρήσουμε στο ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού. Ο λογάριθμος μιας μοίρας είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και το λογάριθμο του συντελεστή μέτρησης της βάσης αυτού του βαθμού. Γράφουμε αυτήν την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού με τη μορφή ενός τύπου: log a b p =p log a |b|, όπου a>0 , a≠1 , b και p είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε ο βαθμός του b p έχει νόημα και ο b p >0 .
Αρχικά αποδεικνύουμε αυτή την ιδιότητα για θετικό b . Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά b p =(a log a b) p , και η παράσταση που προκύπτει, λόγω της ιδιότητας ισχύος, είναι ίση με a p log a b . Φτάνουμε λοιπόν στην ισότητα b p =a p log a b , από την οποία, με τον ορισμό του λογάριθμου, συμπεραίνουμε ότι log a b p =p log a b .
Απομένει να αποδειχθεί αυτή η ιδιότητα για αρνητικό b . Εδώ σημειώνουμε ότι η έκφραση log a b p για αρνητικό b έχει νόημα μόνο για άρτιους εκθέτες p (καθώς η τιμή του βαθμού b p πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, διαφορετικά ο λογάριθμος δεν θα έχει νόημα), και σε αυτή την περίπτωση b p =|b| Π . Επειτα b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, απ' όπου log a b p =p log a |b| .
Για παράδειγμα, 
και ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Προκύπτει από το προηγούμενο ακίνητο ιδιότητα του λογάριθμου από τη ρίζα: ο λογάριθμος της ρίζας του nου βαθμού είναι ίσος με το γινόμενο του κλάσματος 1/n και τον λογάριθμο της ριζικής έκφρασης, δηλαδή, 
, όπου a>0 , a≠1 , n – φυσικός αριθμός, μεγαλύτερο από ένα, b>0 .
Η απόδειξη βασίζεται στην ισότητα (βλ. ), που ισχύει για κάθε θετικό b , και στην ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: 
.
Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας: 
.
Τώρα ας αποδείξουμε τύπος μετατροπής στη νέα βάση του λογαρίθμουείδος 
. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδειχθεί η εγκυρότητα του log ισότητας c b=log a b log c a . Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά το log c b=log c a log a b . Απομένει να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: log c a log a b = log a b log c α. Έτσι, αποδεικνύεται το log ισότητας c b=log a b·log c a, που σημαίνει ότι αποδεικνύεται και ο τύπος για τη μετάβαση σε νέα βάση του λογάριθμου.
Ας δείξουμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων: και 
.
Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση σάς επιτρέπει να προχωρήσετε στην εργασία με λογάριθμους που έχουν «βολική» βάση. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για εναλλαγή σε φυσικούς ή δεκαδικούς λογάριθμους, ώστε να μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή του λογαρίθμου από τον πίνακα των λογαρίθμων. Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογαρίθμου επιτρέπει επίσης σε ορισμένες περιπτώσεις την εύρεση της τιμής ενός δεδομένου λογαρίθμου, όταν είναι γνωστές οι τιμές ορισμένων λογαρίθμων με άλλες βάσεις.
Χρησιμοποιείται συχνά ειδική περίπτωσητύπους μετάβασης σε νέα βάση του λογάριθμου για c=b της μορφής 
. Αυτό δείχνει ότι το log a b και το log b a – . Π.χ, 
.
Επίσης συχνά χρησιμοποιείται η φόρμουλα 
, το οποίο είναι χρήσιμο για την εύρεση τιμών λογαρίθμου. Για να επιβεβαιώσουμε τα λόγια μας, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται η τιμή του λογάριθμου της φόρμας χρησιμοποιώντας αυτήν. Εχουμε 
. Για να αποδείξουμε τον τύπο 
αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μετάβασης στη νέα βάση του λογάριθμου α: 
.
Μένει να αποδείξουμε τις ιδιότητες σύγκρισης των λογαρίθμων.
Ας αποδείξουμε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς b 1 και b 2 , b 1 log a b 2 , και για a>1, η ανισότητα log a b 1 Τέλος, μένει να αποδείξουμε την τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των λογαρίθμων. Περιοριζόμαστε στην απόδειξη του πρώτου μέρους του, δηλαδή αποδεικνύουμε ότι αν ένα 1 >1 , ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b>log a 2 b . Οι υπόλοιπες δηλώσεις αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων αποδεικνύονται με παρόμοια αρχή. Ας χρησιμοποιήσουμε την αντίθετη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι για ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 log a 1 b≤log a 2 b είναι αληθές. Με τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτές οι ανισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν ως 
Και 
αντίστοιχα, και από αυτά προκύπτει ότι το log b a 1 ≤log b a 2 και το log b a 1 ≥log b a 2, αντίστοιχα. Τότε, από τις ιδιότητες των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, πρέπει να ικανοποιούνται οι ισότητες b log b a 1 ≥b log b a 2 και b log b a 1 ≥b log b a 2, δηλαδή a 1 ≥a 2 . Έτσι, καταλήξαμε σε μια αντίφαση με την συνθήκη a 1
Βιβλιογραφία.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές).
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ VIII
§ 184. Λογάριθμος βαθμού και ρίζας
Θεώρημα 1.Ο λογάριθμος της ισχύος ενός θετικού αριθμού είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη αυτής της ισχύος με το λογάριθμο της βάσης του.
Με άλλα λόγια, αν ΕΝΑ Και Χ θετικό και ΕΝΑ =/= 1, τότε για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό κ
κούτσουρο ένα x κ = κ κούτσουρο ένα x . (1)
Για να αποδείξουμε αυτόν τον τύπο, αρκεί να το δείξουμε
= ένα κ κούτσουρο ένα x . (2)
= Χ κ
ένα κ κούτσουρο ένα x = (ένα κούτσουρο ένα x ) κ = Χ κ .
Αυτό συνεπάγεται την εγκυρότητα του τύπου (2), και συνεπώς και του (1).
Σημειώστε ότι εάν ο αριθμός κ είναι φυσικό ( k = n ), τότε ο τύπος (1) είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση του τύπου
κούτσουρο ένα (Χ 1 Χ 2 Χ 3 ... Χ n ) = κούτσουρο ένα x 1 + ημερολόγιο ένα x 2 + ημερολόγιο ένα x 3 + ...ημερολόγιο ένα x n .
αποδείχθηκε στην προηγούμενη ενότητα. Πράγματι, υποθέτοντας σε αυτόν τον τύπο
Χ 1 = Χ 2 = ... = Χ n = Χ ,
παίρνουμε:
κούτσουρο ένα x n = n κούτσουρο ένα x .
1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;
2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.
Για αρνητικές τιμές Χ ο τύπος (1) χάνει το νόημά του. Για παράδειγμα, δεν μπορείτε να γράψετε log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) επειδή η έκφραση log 2 (-4) δεν έχει οριστεί. Σημειώστε ότι η έκφραση στην αριστερή πλευρά αυτού του τύπου έχει νόημα:
log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.
Σε γενικές γραμμές, εάν ο αριθμός Χ είναι αρνητικό, τότε το αρχείο καταγραφής έκφρασης ένα x 2κ = 2κ κούτσουρο ένα x καθορίζεται επειδή Χ 2κ > 0. Η έκφραση είναι 2 κ κούτσουρο ένα x σε αυτή την περίπτωση δεν έχει νόημα. Γράψε λοιπόν
Κούτσουρο ένα x 2κ = 2κ κούτσουρο ένα x
ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ. Ωστόσο, μπορεί κανείς να γράψει
κούτσουρο ένα x 2κ = 2κ κούτσουρο α | Χ | (3)
Αυτός ο τύπος προκύπτει εύκολα από το (1) αν λάβουμε υπόψη ότι
Χ 2κ = | Χ | 2κ
Για παράδειγμα,
log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.
Θεώρημα 2.Ο λογάριθμος της ρίζας ενός θετικού αριθμού είναι ίσος με τον λογάριθμο της έκφρασης ρίζας διαιρεμένο με τον εκθέτη της ρίζας.
Με άλλα λόγια, εάν οι αριθμοί ΕΝΑ Και Χ είναι θετικές ΕΝΑ =/= 1 και Π είναι φυσικός αριθμός, λοιπόν
κούτσουρο ένα n √Χ = 1 / n κούτσουρο ένα x
Πραγματικά, n √Χ = . Επομένως, από το Θεώρημα 1
κούτσουρο ένα n √Χ = κούτσουρο ένα = 1 / n κούτσουρο ένα x .
1) log 3 √ 8 = 1 / 2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1/5 log 2 27.
Γυμνάσια
1408. Πώς θα αλλάξει ο λογάριθμος ενός αριθμού αν, χωρίς να αλλάξει η βάση:
α) τετράγωνο του αριθμού
β) να πάρεις την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού;
1409. Πώς θα αλλάξει το αρχείο καταγραφής διαφορών 2 ένα - ημερολόγιο 2 σι αν αριθμοί ΕΝΑ Και σι αντικαταστήστε αναλόγως με:
ΕΝΑ) ΕΝΑ 3 και σι 3; β) 3 ΕΝΑ και 3 σι ?
1410. Γνωρίζοντας ότι log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, βρείτε τους λογάριθμους στη βάση 10 αριθμών:
8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9
1411. Να αποδείξετε ότι οι λογάριθμοι διαδοχικών μελών μιας γεωμετρικής προόδου σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο.
1412. Είναι οι συναρτήσεις διαφορετικές μεταξύ τους
στο = ημερολόγιο 3 Χ 2 και στο = 2 ημερολόγιο 3 Χ
Κατασκευάστε γραφήματα αυτών των συναρτήσεων.
1413. Βρείτε ένα σφάλμα στους ακόλουθους μετασχηματισμούς:
log 2 1 / 3 = log 2 1 / 3
2log 2 1 / 3 > log 2 1 / 3 ;
ημερολόγιο 2 (1 / 3) 2 > ημερολόγιο 2 1 / 3
(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;
ρίζα του λογάριθμουενός θετικού αριθμού ισούται με τον λογάριθμο της ριζικής έκφρασης διαιρούμενο με τον ριζικό δείκτη:
Και στην πραγματικότητα, όταν εργαζόμαστε με βαθμούς, χρησιμοποιείται η εξάρτηση, επομένως, εφαρμόζοντας το θεώρημα του λογαρίθμου ισχύος, λαμβάνουμε αυτόν τον τύπο.
Ας το κάνουμε πράξη, αναλογιστείτε παράδειγμα:
Στο επίλυση εργασιών για την εύρεση του λογάριθμουαρκετά συχνά αποδεικνύεται χρήσιμο από λογάριθμους σε μία βάση (για παράδειγμα, ΕΝΑ) μεταβείτε σε λογάριθμους σε διαφορετική βάση (για παράδειγμα, Με) . Σε τέτοιες περιπτώσεις, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:
Αυτό σημαίνει ότι α, βΚαι Μεείναι, φυσικά, θετικοί αριθμοί, και ΕΝΑΚαι Μεδεν είναι ίσα με ένα.
Για να αποδείξουμε αυτόν τον τύπο, χρησιμοποιούμε βασική λογαριθμική ταυτότητα:
Αν οι θετικοί αριθμοί είναι ίσοι, τότε οι λογάριθμοί τους είναι προφανώς ίσοι στην ίδια βάση. Με. Να γιατί:
Εφαρμογή το θεώρημα του λογαρίθμου ισχύος:
Ως εκ τούτου , καταγραφή α β · ημερολόγιο γ α = ημερολόγιο γ βΑπό πού προέρχεται τύπος για την αλλαγή της βάσης ενός λογαρίθμου.
Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο. Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, τότε μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία πρέπει να σηκώσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.
Και τώρα - στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:
Ο λογάριθμος στη βάση a του ορίσματος x είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός a για να ληφθεί ο αριθμός x.
Σημείωση: log a x \u003d b, όπου a είναι η βάση, x είναι το όρισμα, b είναι στην πραγματικότητα αυτό με το οποίο ισούται ο λογάριθμος.
Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Μπορεί επίσης να καταγράψει 2 64 = 6 επειδή 2 6 = 64 .
Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεται λογάριθμος. Ας προσθέσουμε λοιπόν μια νέα σειρά στον πίνακά μας:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| ημερολόγιο 2 2 = 1 | ημερολόγιο 2 4 = 2 | ημερολόγιο 2 8 = 3 | ημερολόγιο 2 16 = 4 | ημερολόγιο 2 32 = 5 | ημερολόγιο 2 64 = 6 |
Δυστυχώς, δεν εξετάζονται όλοι οι λογάριθμοι τόσο εύκολα. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 5 . Ο αριθμός 5 δεν είναι στον πίνακα, αλλά η λογική υπαγορεύει ότι ο λογάριθμος θα βρίσκεται κάπου στο τμήμα. Επειδή 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι: οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να γραφτούν επ' αόριστον και δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, είναι καλύτερα να τον αφήσετε ως εξής: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ο λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (βάση και όρισμα). Στην αρχή, πολλοί άνθρωποι μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:
Μπροστά μας δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον ορισμό του λογαρίθμου. Θυμάμαι: ο λογάριθμος είναι η δύναμη, στο οποίο πρέπει να ανεβάσετε τη βάση για να λάβετε το επιχείρημα. Είναι η βάση που ανυψώνεται σε δύναμη - στην εικόνα επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα. Αποδεικνύεται ότι η βάση είναι πάντα στο κάτω μέρος! Λέω αυτόν τον υπέροχο κανόνα στους μαθητές μου στο πρώτο μάθημα - και δεν υπάρχει σύγχυση.
Καταλάβαμε τον ορισμό - μένει να μάθουμε πώς να μετράμε λογάριθμους, δηλ. απαλλαγείτε από το σημάδι "κούτσουρο". Αρχικά, σημειώνουμε ότι δύο σημαντικά στοιχεία προκύπτουν από τον ορισμό:
- Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του βαθμού από έναν ορθολογικό εκθέτη, στον οποίο ανάγεται ο ορισμός του λογάριθμου.
- Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μονάδα, αφού μια μονάδα σε οποιαδήποτε δύναμη εξακολουθεί να είναι μια μονάδα. Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!
Τέτοιοι περιορισμοί ονομάζονται έγκυρο εύρος(ODZ). Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό b (η τιμή του λογάριθμου) δεν επιβάλλεται. Για παράδειγμα, ο λογάριθμος μπορεί κάλλιστα να είναι αρνητικός: log 2 0,5 \u003d -1, επειδή 0,5 = 2 −1 .
Ωστόσο, τώρα εξετάζουμε μόνο αριθμητικές εκφράσεις, όπου δεν απαιτείται να γνωρίζουμε το ODZ του λογαρίθμου. Όλοι οι περιορισμοί έχουν ήδη ληφθεί υπόψη από τους μεταγλωττιστές των προβλημάτων. Αλλά όταν μπουν στο παιχνίδι οι λογαριθμικές εξισώσεις και οι ανισότητες, οι απαιτήσεις του DHS θα γίνουν υποχρεωτικές. Πράγματι, στη βάση και το επιχείρημα μπορεί να υπάρχουν πολύ ισχυρές κατασκευές, οι οποίες δεν ανταποκρίνονται απαραίτητα στους παραπάνω περιορισμούς.
Τώρα εξετάστε το γενικό σχήμα για τον υπολογισμό των λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:
- Να εκφράσετε τη βάση α και το όρισμα x ως δύναμη με τη μικρότερη δυνατή βάση μεγαλύτερη του ενός. Στην πορεία, είναι καλύτερο να απαλλαγείτε από δεκαδικά κλάσματα.
- Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή b: x = a b ;
- Ο αριθμός β που προκύπτει θα είναι η απάντηση.
Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα φανεί ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σχετική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Ομοίως με τα δεκαδικά κλάσματα: αν τα μετατρέψετε αμέσως σε συνηθισμένα, θα υπάρχουν πολλαπλάσια λιγότερα σφάλματα.
Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα με συγκεκριμένα παραδείγματα:
Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25
- Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Έλαβε απάντηση: 2.
Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο:
Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64
- Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Λάβαμε απάντηση: 3.
Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1
- Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Ας φτιάξουμε και λύσουμε την εξίσωση:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Λήψη απάντησης: 0.
Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14
- Ας αναπαραστήσουμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν αναπαρίσταται ως δύναμη του επτά, επειδή το 7 1< 14 < 7 2 ;
- Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν λαμβάνεται υπόψη.
- Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.
Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς να βεβαιωθείτε ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Πολύ απλό - απλώς αποσυνθέστε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Εάν υπάρχουν τουλάχιστον δύο διακριτοί παράγοντες στην επέκταση, ο αριθμός δεν είναι ακριβής ισχύς.
Εργο. Μάθετε αν οι ακριβείς δυνάμεις του αριθμού είναι: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ο ακριβής βαθμός, επειδή υπάρχει μόνο ένας πολλαπλασιαστής.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 δεν είναι ακριβής ισχύς γιατί υπάρχουν δύο παράγοντες: 3 και 2.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ακριβής βαθμός.
35 = 7 5 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.
14 \u003d 7 2 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.
Σημειώστε επίσης ότι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί είναι πάντα ακριβείς δυνάμεις του εαυτού τους.
Δεκαδικός λογάριθμος
Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδική ονομασία και ονομασία.
Ο δεκαδικός λογάριθμος του ορίσματος x είναι ο λογάριθμος βάσης 10, δηλ. τη δύναμη στην οποία πρέπει να σηκώσετε τον αριθμό 10 για να πάρετε τον αριθμό x. Ονομασία: lg x .
Για παράδειγμα, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.
Από εδώ και στο εξής, όταν εμφανίζεται μια φράση όπως «Βρείτε το lg 0.01» στο σχολικό βιβλίο, να ξέρετε ότι δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. Αυτός είναι ο δεκαδικός λογάριθμος. Ωστόσο, εάν δεν είστε συνηθισμένοι σε έναν τέτοιο χαρακτηρισμό, μπορείτε πάντα να τον ξαναγράψετε:
log x = log 10 x
Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς.
φυσικός λογάριθμος
Υπάρχει ένας άλλος λογάριθμος που έχει τη δική του σημείωση. Κατά μία έννοια, είναι ακόμη πιο σημαντικό από το δεκαδικό. Αυτός είναι ο φυσικός λογάριθμος.
Ο φυσικός λογάριθμος του x είναι ο λογάριθμος βάσης e, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: ln x .
Πολλοί θα ρωτήσουν: ποιος άλλος είναι ο αριθμός e; Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός, η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να βρεθεί και να γραφτεί. Εδώ είναι μόνο οι πρώτοι αριθμοί:
e = 2,718281828459...
Δεν θα εμβαθύνουμε στο τι είναι αυτός ο αριθμός και γιατί χρειάζεται. Απλώς θυμηθείτε ότι το e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου:
ln x = log e x
Έτσι ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητού αριθμού είναι παράλογος. Εκτός φυσικά από την ενότητα: ln 1 = 0.
Για τους φυσικούς λογάριθμους, ισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.