Όταν μελετάμε πολύγωνα, μιλάμε για επίπεδο πολύγωνο, εννοώντας από αυτό το ίδιο το πολύγωνο και την εσωτερική του περιοχή.
Το ίδιο συμβαίνει και στη στερεομετρία. Κατ' αναλογία με την έννοια του επίπεδου πολυγώνου, εισάγεται η έννοια του σώματος και της επιφάνειάς του.
Τελεία γεωμετρικό σχήμαονομάζεται εσωτερικός εάν υπάρχει μια μπάλα με κέντρο σε αυτό το σημείο που ανήκει εξ ολοκλήρου σε αυτό το σχήμα. Ένα σχήμα ονομάζεται περιοχή αν όλα
Τα σημεία του είναι εσωτερικά και αν δύο από τα σημεία του μπορούν να συνδεθούν με μια πολύγραμμη που ανήκει εξ ολοκλήρου στο σχήμα.
Ένα σημείο στο διάστημα ονομάζεται οριακό σημείο μιας δεδομένης φιγούρας εάν μια μπάλα που βρίσκεται στο κέντρο σε αυτό το σημείο περιέχει τόσο σημεία που ανήκουν στο σχήμα όσο και σημεία που δεν ανήκουν σε αυτό. Τα οριακά σημεία της περιοχής αποτελούν το όριο της περιοχής.
Ένα σώμα είναι μια πεπερασμένη περιοχή μαζί με το όριο του. Το όριο του σώματος ονομάζεται επιφάνεια του σώματος. Ένα σώμα ονομάζεται απλό αν μπορεί να χωριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό τριγωνικών πυραμίδων.
Στην απλούστερη περίπτωση, σώμα περιστροφής είναι ένα σώμα που τέμνεται σε κύκλους με κέντρα σε αυτή την ευθεία με επίπεδα κάθετα σε μια ορισμένη ευθεία (άξονας περιστροφής). Κύλινδρος, κώνος, μπάλα είναι παραδείγματα σωμάτων επανάστασης.
48. Πολυεδρικές γωνίες. Πολύεδρα.
Διεδρική γωνία είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα με κοινή οριακή γραμμή. Τα ημιεπίπεδα ονομάζονται όψεις και η ευθεία που τα περιορίζει ονομάζεται ακμή της διεδρικής γωνίας.
Το Σχήμα 142 δείχνει μια διεδρική γωνία με ακμή α και όψεις
Ένα επίπεδο κάθετο σε μια άκρη μιας διεδρικής γωνίας τέμνει τις όψεις του κατά μήκος δύο ημιευθειών. Η γωνία που σχηματίζεται από αυτές τις ημιευθείες ονομάζεται γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας. Το μέτρο μιας διεδρικής γωνίας είναι το μέτρο της αντίστοιχης γραμμική γωνία. Εάν μέσα από το σημείο Α της ακμής a της διεδρικής γωνίας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο y κάθετο σε αυτή την ακμή, τότε αυτό θα τέμνει τα επίπεδα a και 0 κατά μήκος της μισής ορθής γραμμικής γωνίας της δεδομένης διεδρικής γωνίας. Το μέτρο μοίρας αυτής της γραμμικής γωνίας είναι μέτρο βαθμούδίεδρος γωνία. Το μέτρο μιας διεδρικής γωνίας δεν εξαρτάται από την επιλογή μιας γραμμικής γωνίας.
Τριεδρική γωνία είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρεις επίπεδες γωνίες.Οι γωνίες αυτές ονομάζονται όψεις μιας τριεδρικής γωνίας και οι πλευρές τους ονομάζονται ακμές. Η κοινή κορυφή επίπεδων γωνιών ονομάζεται κορυφή τριεδρικής γωνίας. Οι δίεδρες γωνίες που σχηματίζονται από τις όψεις και τις προεκτάσεις τους ονομάζονται δίεδρες γωνίες της τριεδρικής γωνίας.
Ομοίως, η έννοια της πολυεδρικής γωνίας ορίζεται ως ένα σχήμα που αποτελείται από επίπεδες γωνίες.Για μια πολυεδρική γωνία, οι έννοιες των όψεων, των ακμών και των διεδρικών γωνιών ορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως για μια τριεδρική γωνία.
Πολύεδρο είναι ένα σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από πεπερασμένος αριθμόςεπίπεδα πολύγωνα (Εικ. 145).
Ένα πολύεδρο ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου κάθε πολυγώνου στην επιφάνειά του (Εικ. 145, α, β). ένα κοινό μέροςένα τέτοιο επίπεδο και επιφάνεια ενός κυρτού πολυέδρου ονομάζεται όψη. Οι όψεις ενός κυρτού πολυέδρου είναι κυρτά πολύγωνα. Οι πλευρές των όψεων ονομάζονται άκρες του πολυέδρου και οι κορυφές ονομάζονται κορυφές του πολυεδρικού.
49. Πρίσμα. Παραλληλεπίπεδο. κύβος.
Ένα πρίσμα είναι ένα πολύεδρο, το οποίο αποτελείται από δύο επίπεδα πολύγωνα, συνδυασμένα με παράλληλη μετάφραση, και όλα τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία αυτών των πολυγώνων. Τα πολύγωνα ονομάζονται βάσεις του πρίσματος και τα τμήματα που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές ονομάζονται πλάγιες ακμές του πρίσματος (Εικ. 146).
Εφόσον η παράλληλη μετάφραση είναι κίνηση, οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες. Εφόσον κατά την παράλληλη μετάφραση το επίπεδο περνά σε παράλληλο επίπεδο (ή στον εαυτό του), τότε
οι βάσεις ενός πρίσματος βρίσκονται μέσα παράλληλα επίπεδα. Δεδομένου ότι, κατά την παράλληλη μετάφραση, τα σημεία μετατοπίζονται κατά μήκος παράλληλων (ή που συμπίπτουν) ευθειών κατά την ίδια απόσταση, τότε οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι παράλληλες και ίσες.
Το σχήμα 147, a δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα Επίπεδα πολύγωνα ABCD και συνδυάζονται με την αντίστοιχη παράλληλη μετάφραση και είναι οι βάσεις του πρίσματος, και τα τμήματα ΑΑ είναι οι πλευρικές ακμές του πρίσματος. Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες (η παράλληλη μεταφορά είναι κίνηση και μετατρέπει ένα σχήμα σε σχήμα ίσο με αυτό, σελ. 79). Οι πλευρικές νευρώσεις είναι παράλληλες και ίσες.
Η επιφάνεια ενός πρίσματος αποτελείται από βάσεις και μια πλευρική επιφάνεια. Η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από παραλληλόγραμμα. Για καθένα από αυτά τα παραλληλόγραμμα, δύο πλευρές είναι οι αντίστοιχες πλευρές των βάσεων και οι άλλες δύο είναι γειτονικές πλευρικές ακμές του πρίσματος.
Εικόνα 147, με πλευρική επιφάνειατο πρίσμα αποτελείται από παραλληλόγραμμα Πλήρης επιφάνειααποτελείται από τις βάσεις και τα παραπάνω παραλληλόγραμμα.
Το ύψος ενός πρίσματος είναι η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του. Ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη ονομάζεται διαγώνιος του πρίσματος. Το διαγώνιο τμήμα ενός πρίσματος είναι ένα τμήμα του επιπέδου του που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Το σχήμα 147, a δείχνει ένα πρίσμα, το ύψος του, μια από τις διαγώνιές του. Η τομή είναι ένα από τα διαγώνια τμήματα αυτού του πρίσματος.
Ένα πρίσμα ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις. Αλλιώς λέγεται το πρνμα
λοξός. Ένα ορθό πρίσμα ονομάζεται κανονικό αν οι βάσεις του είναι κανονικά πολύγωνα.
Στο Σχήμα 147, a, φαίνεται ένα κεκλιμένο πρίσμα και στο Σχήμα 147, β - μια ευθεία γραμμή, εδώ η άκρη είναι κάθετη στις βάσεις του πρίσματος. Το Σχήμα 148 δείχνει κανονικά πρίσματα, οι βάσεις τους είναι, αντίστοιχα, ένα κανονικό τρίγωνο, ένα τετράγωνο, ένα κανονικό εξάγωνο.
Εάν η βάση του πρίσματος είναι παραλληλόγραμμο, τότε ονομάζεται παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμα. Στο σχήμα 147, α, φαίνεται ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο και στο σχήμα 147, β, ένα ευθύγραμμο.
Οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου που δεν έχουν κοινές κορυφές ονομάζονται αντίθετες όψεις. Στην Εικόνα 147, και οι όψεις είναι απέναντι.
Είναι δυνατόν να αποδειχθούν κάποιες ιδιότητες ενός παραλληλεπίπεδου.
Ένα παραλληλεπίπεδο έχει αντίθετες όψεις που είναι παράλληλες και ίσες.
Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και το σημείο τομής διαιρείται στο μισό.
Το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλεπιπέδου είναι το κέντρο συμμετρίας του.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός κυβοειδούς είναι ορθογώνια.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στο οποίο όλες οι ακμές είναι ίσες ονομάζεται κύβος.
Τα μήκη των μη παράλληλων άκρων ενός κυβοειδούς ονομάζονται γραμμικές διαστάσεις ή μετρήσεις του. Ένα κυβοειδές έχει τρεις γραμμικές διαστάσεις.
Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:
ΣΕ κυβοειδέςτετράγωνο οποιασδήποτε διαγώνιου ισούται με το άθροισματετράγωνα των τριών γραμμικών του διαστάσεων.
Για παράδειγμα, σε έναν κύβο με ακμή a, οι διαγώνιοι είναι ίσες:
50. Πυραμίδα.
Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, το οποίο αποτελείται από ένα επίπεδο πολύγωνο - τη βάση της πυραμίδας, ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης - την κορυφή της πυραμίδας και όλα τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή με τα σημεία της βάσης ( Εικ. 150). Τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή της πυραμίδας με τις κορυφές της βάσης ονομάζονται πλευρικές ακμές. Το Σχήμα 150, a δείχνει την πυραμίδα SABCD. Το τετράπλευρο ABCD είναι η βάση της πυραμίδας, το σημείο S είναι η κορυφή της πυραμίδας, τα τμήματα SA, SB, SC και SD είναι τα άκρα της πυραμίδας.
Το ύψος της πυραμίδας ονομάζεται κάθετο, χαμηλωμένο από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης. Στο Σχήμα 150, ένα SO είναι το ύψος της πυραμίδας.
Μια πυραμίδα ονομάζεται άνθρακας αν η βάση της είναι
Τετράγωνο. Μια τριγωνική πυραμίδα ονομάζεται επίσης τετράεδρο.
Στο Σχήμα 151, φαίνεται το α τριγωνική πυραμίδα, ή τετράεδρο, στο Σχήμα 151, β - τετραγωνικό, στο Σχήμα 151, γ - εξαγωνικό.
Ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση της πυραμίδας και που την τέμνει αποκόπτει μια παρόμοια πυραμίδα.
Μια πυραμίδα ονομάζεται κανονική αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η βάση του ύψους συμπίπτει με το κέντρο αυτού του πολυγώνου. Το σχήμα 151 δείχνει κανονικές πυραμίδες. Σε μια κανονική πυραμίδα, οι πλευρικές άκρες είναι ίσες. Επομένως, οι πλευρικές όψεις είναι ίσες ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας, που τραβιέται από την κορυφή της, ονομάζεται απόθεμα.
Σύμφωνα με το T.3.4, το επίπεδο α, παράλληλο στο επίπεδο 0 της βάσης της πυραμίδας και τέμνει την πυραμίδα, αποκόπτει μια παρόμοια πυραμίδα από αυτήν. Το άλλο μέρος της πυραμίδας είναι ένα πολύεδρο που ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα. Οι όψεις της κολοβωμένης πυραμίδας που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα ονομάζονται βάσεις της κολοβωμένης πυραμίδας, οι υπόλοιπες όψεις ονομάζονται πλευρικές όψεις. Οι βάσεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι παρόμοια (εξάλλου, ομοθετικά) πολύγωνα, οι πλευρικές όψεις είναι τραπεζοειδή. Το Σχήμα 152 δείχνει μια κολοβωμένη πυραμίδα
51. Κανονικά πολύεδρα.
Ένα κυρτό πολύεδρο ονομάζεται κανονικό εάν οι όψεις του είναι κανονικά πολύγωναμε τον ίδιο αριθμό πλευρών και σε κάθε κορυφή του πολυέδρου ο ίδιος αριθμός ακμών συγκλίνουν.
Υπάρχουν πέντε τύποι κανονικών κυρτών πολύεδρων (Εικ. 154): κανονικό τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο. Για το κανονικό τετράεδρο και τον κύβο ειπώθηκε νωρίτερα (σελ. 49, 50). Τρεις άκρες συγκλίνουν σε κάθε κορυφή ενός κανονικού τετραέδρου και ενός κύβου.
Οι όψεις του οκταέδρου είναι κανονικά τρίγωνα. Τέσσερις άκρες συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του.
Οι όψεις του δωδεκάεδρου είναι κανονικά πεντάγωνα. Τρεις άκρες συγκλίνουν σε κάθε κορυφή.
Οι όψεις του εικοσάεδρου είναι κανονικά τρίγωνα, αλλά σε αντίθεση με το τετράεδρο και το οκτάεδρο, πέντε άκρες συγκλίνουν σε κάθε κορυφή.
Εισαγωγή
Μια επιφάνεια που αποτελείται από πολύγωνα και περιορίζει κάποιο γεωμετρικό σώμα ονομάζεται πολυεδρική επιφάνεια ή πολύεδρο.
Ένα πολύεδρο είναι ένα οριοθετημένο σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων. Τα πολύγωνα που συνέδεαν το πολύεδρο ονομάζονται όψεις και οι γραμμές τομής των όψεων ονομάζονται ακμές.
Τα πολύεδρα μπορεί να έχουν διάφορα και πολύ πολύπλοκη δομή. Διάφορα κτίρια, όπως σπίτια από τούβλα και τσιμεντόλιθους υπό κατασκευή, είναι παραδείγματα πολύεδρων. Άλλα παραδείγματα μπορούν να βρεθούν ανάμεσα στα έπιπλα, όπως ένα τραπέζι. Στη χημεία, το σχήμα των μορίων υδρογονάνθρακα είναι ένα τετράεδρο, ένα κανονικό εικοσάεδρο, ένας κύβος. Στη φυσική, οι κρύσταλλοι είναι ένα παράδειγμα πολύεδρων.
Από την αρχαιότητα, οι ιδέες για την ομορφιά έχουν συνδεθεί με τη συμμετρία. Ίσως αυτό εξηγεί το ενδιαφέρον ενός ατόμου για τα πολύεδρα - εκπληκτικά σύμβολα συμμετρίας, τα οποία τράβηξαν την προσοχή εξέχων στοχαστών, οι οποίοι εντυπωσιάστηκαν από την ομορφιά, την τελειότητα, την αρμονία αυτών των μορφών.
Η πρώτη αναφορά των πολύεδρων είναι γνωστή ήδη από τρεις χιλιάδες χρόνια π.Χ. στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα. Αρκεί να θυμηθούμε τις περίφημες αιγυπτιακές πυραμίδες και τις πιο διάσημες από αυτές - την πυραμίδα του Χέοπα. Αυτό δεξιά πυραμίδα, στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα τετράγωνο με πλευρά 233 μ. και του οποίου το ύψος φτάνει τα 146,5 μ. Δεν είναι τυχαίο που λένε ότι η πυραμίδα του Χέοπα είναι μια βουβή πραγματεία για τη γεωμετρία.
Η ιστορία των κανονικών πολύεδρων ανάγεται στην αρχαιότητα. Ξεκινώντας τον 7ο αιώνα π.Χ Αρχαία Ελλάδαδημιουργούνται φιλοσοφικές σχολές στις οποίες γίνεται σταδιακή μετάβαση από την πρακτική στη φιλοσοφική γεωμετρία. Στα σχολεία αυτά μεγάλη σημασία έχει ο συλλογισμός, με τη βοήθεια του οποίου κατέστη δυνατή η απόκτηση νέων γεωμετρικών ιδιοτήτων.
Μια από τις πρώτες και πιο γνωστές σχολές ήταν η Πυθαγόρεια, που πήρε το όνομά της από τον ιδρυτή της Πυθαγόρα. Το σήμα κατατεθέν των Πυθαγορείων ήταν το πεντάγραμμο, στη γλώσσα των μαθηματικών είναι ένα κανονικό μη κυρτό ή σε σχήμα αστεριού πεντάγωνο. Στο πεντάγραμμο δόθηκε η ικανότητα να προστατεύει ένα άτομο από τα κακά πνεύματα.
Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι η ύλη αποτελείται από τέσσερα βασικά στοιχεία: φωτιά, γη, αέρα και νερό. Απέδωσαν την ύπαρξη πέντε κανονικών πολύεδρων στη δομή της ύλης και του Σύμπαντος. Σύμφωνα με αυτή τη γνώμη, τα άτομα των βασικών στοιχείων πρέπει να έχουν τη μορφή διάφορα σώματα:
§ Σύμπαν - δωδεκάεδρο
§ Γη - κύβος
§ Φωτιά – τετράεδρο
§ Νερό – εικοσάεδρο
§ Αέρα - οκτάεδρο
Αργότερα, η διδασκαλία των Πυθαγορείων για τα κανονικά πολύεδρα αναπτύχθηκε στα γραπτά του από έναν άλλο αρχαίο Έλληνα επιστήμονα, τον ιδεαλιστή φιλόσοφο Πλάτωνα. Από τότε, τα κανονικά πολύεδρα ονομάζονται πλατωνικά στερεά.
Τα πλατωνικά στερεά ονομάζονται κανονικά ομογενή κυρτά πολύεδρα, δηλαδή κυρτά πολύεδρα, των οποίων όλες οι όψεις και οι γωνίες είναι ίσες και οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα. Ο ίδιος αριθμός ακμών συγκλίνει σε κάθε κορυφή ενός κανονικού πολυέδρου. Ολα διεδρικές γωνίεςστις ακμές και όλες οι πολυεδρικές γωνίες στις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες. Τα πλατωνικά στερεά είναι ένα τρισδιάστατο ανάλογο επίπεδων κανονικών πολυγώνων.
Η θεωρία των πολυεδρών είναι ένας σύγχρονος κλάδος των μαθηματικών. Σχετίζεται στενά με την τοπολογία, τη θεωρία γραφημάτων, έχει μεγάλης σημασίαςόσον αφορά θεωρητική έρευναστη γεωμετρία και για πρακτικές εφαρμογές σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, για παράδειγμα, στην άλγεβρα, τη θεωρία αριθμών, εφαρμοσμένα μαθηματικά - γραμμικός προγραμματισμός, τη θεωρία του βέλτιστου ελέγχου. Ετσι, αυτό το θέμαείναι σχετική και η γνώση για αυτό το θέμα είναι σημαντική για τη σύγχρονη κοινωνία.
Κύριο μέρος
Ένα πολύεδρο είναι ένα οριοθετημένο σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων.
Ας δώσουμε έναν ορισμό του πολυέδρου που είναι ισοδύναμος με τον πρώτο ορισμό του πολυέδρου.
Πολύεδρο – είναι ένα σχήμα που είναι μια ένωση ενός πεπερασμένου αριθμού τετραέδρων για το οποίο πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες:
1) κάθε δύο τετράεδρα δεν έχουν κοινά σημεία ή έχουν κοινή κορυφή ή μόνο κοινή άκρη ή ολόκληρη κοινή όψη.
2) μπορεί κανείς να πάει από κάθε τετράεδρο σε άλλο κατά μήκος της αλυσίδας ενός τετραέδρου, στο οποίο κάθε επόμενο είναι δίπλα στο προηγούμενο κατά μήκος μιας ολόκληρης όψης.
Πολυεδρικά στοιχεία
Η όψη ενός πολυέδρου είναι ένα ορισμένο πολύγωνο (ένα πολύγωνο είναι μια οριοθετημένη κλειστή περιοχή, το όριο της οποίας αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό τμημάτων).
Οι πλευρές των όψεων ονομάζονται άκρες του πολυέδρου και οι κορυφές των όψεων ονομάζονται κορυφές του πολυέδρου. Τα στοιχεία ενός πολυέδρου, εκτός από τις κορυφές, τις ακμές και τις όψεις του, περιλαμβάνουν επίσης τις επίπεδες γωνίες των όψεών του και τις δίεδρες γωνίες στις άκρες του. Η διεδρική γωνία σε μια άκρη ενός πολύεδρου καθορίζεται από τις όψεις του που πλησιάζουν αυτή την άκρη.
Ταξινόμηση πολύεδρων
Κυρτό πολύεδρο -είναι ένα πολύεδρο, του οποίου οποιαδήποτε δύο σημεία συνδέονται σε αυτό με ένα τμήμα. Τα κυρτά πολύεδρα έχουν πολλές αξιοσημείωτες ιδιότητες.
Θεώρημα Euler.Για κάθε κυρτό πολύεδρο V-R+G=2,
Οπου ΣΕ είναι ο αριθμός των κορυφών του, R - τον αριθμό των άκρων του, σολ είναι ο αριθμός των άκρων του.
Θεώρημα Cauchy.Δύο κλειστά κυρτά πολύεδρα, που αποτελούνται πανομοιότυπα από αντίστοιχα ίσες όψεις, είναι ίσα.
Ένα κυρτό πολύεδρο θεωρείται κανονικό εάν όλες οι όψεις του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και ο ίδιος αριθμός ακμών συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του.
κανονικό πολύεδρο
Ένα πολύεδρο ονομάζεται κανονικό εάν, πρώτον, είναι κυρτό, δεύτερον, όλες οι όψεις του είναι κανονικά πολύγωνα ίσα μεταξύ τους και τρίτον, συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του τον ίδιο αριθμόόψεις, και τέταρτον, όλες οι δίεδρες γωνίες του είναι ίσες.
Υπάρχουν πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα - ένα τετράεδρο, ένα οκτάεδρο και ένα εικοσάεδρο με τριγωνικές όψεις, ένας κύβος (εξάεδρο) με τετράγωνες όψεις και ένα δωδεκάεδρο με πενταγωνικές όψεις. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος είναι γνωστή για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια. αυτή η απόδειξη και η μελέτη των πέντε σωστά σώματαολοκληρώνονται οι «Αρχές» του Ευκλείδη (αρχαίου Έλληνα μαθηματικού, συγγραφέα των πρώτων θεωρητικών πραγματειών για τα μαθηματικά που μας έχουν φτάσει). Γιατί τα κανονικά πολύεδρα πήραν τέτοια ονόματα; Αυτό οφείλεται στον αριθμό των προσώπων τους. Ένα τετράεδρο έχει 4 όψεις, μεταφρασμένο από το ελληνικό "tetra" - τέσσερα, "hedron" - ένα πρόσωπο. Το εξάεδρο (κύβος) έχει 6 όψεις, το "εξάεδρο" έχει έξι. οκτάεδρο - οκτάεδρο, "οκτάεδρο" - οκτώ. δωδεκάεδρο - δωδεκάεδρο, "δώδεκα" - δώδεκα. το εικοσάεδρο έχει 20 όψεις, το «ikosi» έχει είκοσι.
2.3. Τύποι κανονικών πολύεδρων:
1) κανονικό τετράεδρο(αποτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του είναι η κορυφή τριών τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 180 0).
2)Κύβος- ένα παραλληλεπίπεδο, του οποίου όλες οι όψεις είναι τετράγωνες. Ο κύβος αποτελείται από έξι τετράγωνα. Κάθε κορυφή του κύβου είναι η κορυφή τριών τετραγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 270 0 .
3) Κανονικό οκτάεδροή απλά οκτάεδρο– ένα πολύεδρο με οκτώ κανονικές τριγωνικές όψεις και τέσσερις όψεις που συναντώνται σε κάθε κορυφή. Το οκτάεδρο αποτελείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του οκταέδρου είναι μια κορυφή τεσσάρων τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 240 0 . Μπορεί να κατασκευαστεί διπλώνοντας τις βάσεις δύο πυραμίδων, στη βάση των οποίων είναι τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις είναι κανονικά τρίγωνα. Οι άκρες ενός οκταέδρου μπορούν να ληφθούν συνδέοντας τα κέντρα των γειτονικών όψεων ενός κύβου, αλλά αν συνδέσουμε τα κέντρα των γειτονικών όψεων ενός κανονικού οκταέδρου, θα έχουμε τις άκρες ενός κύβου. Λέγεται ότι ο κύβος και το οκτάεδρο είναι διπλά μεταξύ τους.
4)εικοσάεδρο- αποτελείται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του εικοσάεδρου είναι μια κορυφή πέντε τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 300 0 .
5) Δωδεκάεδρο- ένα πολύεδρο που αποτελείται από δώδεκα κανονικά πεντάγωνα. Κάθε κορυφή του δωδεκάεδρου είναι μια κορυφή τριών κανονικών πενταγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 324 0 .
Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι επίσης διπλά μεταξύ τους με την έννοια ότι συνδέοντας τα κέντρα των γειτονικών όψεων του εικοσάεδρου με τμήματα, παίρνουμε ένα δωδεκάεδρο και το αντίστροφο.
Ένα κανονικό τετράεδρο είναι διπλό στον εαυτό του.
Επιπλέον, δεν υπάρχει κανένα κανονικό πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι κανονικά εξάγωνα, επτάγωνα και γενικά n-γώνια για n ≥ 6.
Ένα κανονικό πολύεδρο είναι ένα πολύεδρο στο οποίο όλες οι όψεις είναι κανονικά ίσα πολύγωνα και όλες οι δίεδρες γωνίες είναι ίσες. Υπάρχουν όμως και τέτοια πολύεδρα στα οποία όλες οι πολυεδρικές γωνίες είναι ίσες και οι όψεις είναι κανονικές, αλλά αντίθετες κανονικά πολύγωνα. Τα πολύεδρα αυτού του τύπου ονομάζονται ισογωνικά ημικανονικά πολύεδρα. Τα πολύεδρα αυτού του τύπου ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη. Περιέγραψε λεπτομερώς 13 πολύεδρα, τα οποία αργότερα ονομάστηκαν τα σώματα του Αρχιμήδη προς τιμή του μεγάλου επιστήμονα. Αυτά είναι το κολοβό τετράεδρο, το κολοβό οξαέδρο, το κολοβωμένο εικοσάεδρο, ο κολοβωμένος κύβος, το κολοβωμένο δωδεκάεδρο, το κυβοκτάεδρο, το εικοσιδωδεκάεδρο, το κολοβωμένο κυβοκτάεδρο
2.4. Τα ημικανονικά πολύεδρα ή τα στερεά του Αρχιμήδειου είναι κυρτά πολύεδρα που έχουν δύο ιδιότητες:
1. Όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα δύο ή περισσότερων τύπων (αν όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα του ίδιου τύπου, είναι κανονικό πολύεδρο).
2. Για οποιοδήποτε ζεύγος κορυφών, υπάρχει μια συμμετρία του πολυέδρου (δηλαδή μια κίνηση που μετατρέπει το πολύεδρο σε εαυτό) που μετατρέπει τη μια κορυφή σε μια άλλη. Ειδικότερα, όλες οι πολυεδρικές γωνίες κορυφής είναι ίσες.
Εκτός από τα ημικανονικά πολύεδρα από κανονικά πολύεδρα - Πλατωνικά στερεά, μπορείτε να πάρετε τα λεγόμενα κανονικά πολύεδρα αστέρια. Υπάρχουν μόνο τέσσερα από αυτά, ονομάζονται επίσης σώματα Kepler-Poinsot. Ο Κέπλερ ανακάλυψε το μικρό δωδεκάεδρο, το οποίο ονόμασε φραγκόσυκο ή σκαντζόχοιρο, και το μεγάλο δωδεκάεδρο. Ο Poinsot ανακάλυψε δύο άλλα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα, διπλά αντίστοιχα με το πρώτο 
δύο: το μεγάλο αστρικό δωδεκάεδρο και το μεγάλο εικοσάεδρο.
Δύο τετράεδρα που περνούν το ένα από το άλλο σχηματίζουν ένα οκτάεδρο. Ο Johannes Kepler έδωσε σε αυτή τη φιγούρα το όνομα "stella octangula" - "οκταγωνικό αστέρι". Βρίσκεται και στη φύση: είναι ο λεγόμενος διπλός κρύσταλλος.
Στον ορισμό ενός κανονικού πολυέδρου, η λέξη "κυρτή" δεν υπογραμμίστηκε σκόπιμα - βασιζόμενη σε προφανή στοιχεία. Και σημαίνει μια πρόσθετη απαίτηση: «και όλες οι όψεις των οποίων βρίσκονται στη μία πλευρά του αεροπλάνου που διέρχεται από οποιαδήποτε από αυτές». Εάν αρνηθούμε έναν τέτοιο περιορισμό, τότε εκτός από το «εκτεταμένο οκτάεδρο», θα πρέπει να προσθέσουμε άλλα τέσσερα πολύεδρα στα πλατωνικά στερεά (ονομάζονται σώματα Kepler-Poinsot), καθένα από τα οποία θα είναι «σχεδόν κανονικό». Όλα αυτά αποκτώνται με «πρωταγωνιστή» τον Πλατόνοφ 
σώμα, δηλαδή η προέκταση των όψεών του στη διασταύρωση μεταξύ τους, και ως εκ τούτου ονομάζονται αστεροειδή. Ο κύβος και το τετράεδρο δεν δημιουργούν νέες φιγούρες - τα πρόσωπά τους, όπως και να συνεχίσετε, δεν τέμνονται.
Εάν επεκτείνουμε όλες τις όψεις του οκταέδρου μέχρι να τέμνονται μεταξύ τους, τότε παίρνουμε μια φιγούρα που εμφανίζεται όταν δύο τετράεδρα αλληλοδιεισδύουν - "octangula stella", η οποία ονομάζεται "συνέχεια". 
οκτάεδρο".
Το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο δίνουν στον κόσμο τέσσερα «σχεδόν κανονικά πολύεδρα» ταυτόχρονα. Ένα από αυτά είναι ένα μικρό αστρικό δωδεκάεδρο, που έλαβε για πρώτη φορά ο Johannes Kepler.
Για αιώνες, οι μαθηματικοί δεν αναγνώριζαν το δικαίωμα όλων των ειδών τα αστέρια να ονομάζονται πολύγωνα λόγω του γεγονότος ότι οι πλευρές τους τέμνονται. Ο Ludwig Schläfli δεν απέβαλε ένα γεωμετρικό σώμα από την οικογένεια των πολύεδρων μόνο και μόνο επειδή οι όψεις του τέμνονται, ωστόσο, παρέμεινε ανένδοτος μόλις συζητήθηκε το μικρό αστρικό δωδεκάεδρο. Το επιχείρημά του ήταν απλό και βαρύ: αυτό το ζώο της Κεπλερίας δεν υπακούει στη φόρμουλα του Euler! Σχηματίζονται οι ράχες του 
δώδεκα όψεις, τριάντα άκρες και δώδεκα κορυφές, και, επομένως, το V + D-P δεν ισούται καθόλου με δύο.
Ο Schläfli είχε και δίκιο και λάθος. Φυσικά, ο γεωμετρικός σκαντζόχοιρος δεν είναι τόσο τσιμπημένος ώστε να επαναστατεί ενάντια στην αλάνθαστη φόρμουλα. Είναι απαραίτητο μόνο να μην θεωρήσουμε ότι σχηματίζεται από δώδεκα τεμνόμενες όψεις σε σχήμα αστεριού, αλλά να το δούμε ως ένα απλό, ειλικρινές γεωμετρικό σώμα, που αποτελείται από 60 τρίγωνα, με 90 άκρες και 32 κορυφές.
Τότε В+Г-Р=32+60-90 ισούται, όπως αναμενόταν, 2. Αλλά τότε η λέξη "σωστό" δεν ισχύει για αυτό το πολύεδρο - τελικά, οι όψεις του δεν είναι πλέον ισόπλευρες, αλλά απλώς ισοσκελή τρίγωνα. Ο Κέπλερ δεν είναι 
σκέφτηκε ότι η φιγούρα που είχε λάβει είχε διπλό.
Το πολύεδρο, το οποίο ονομάζεται «μεγάλο δωδεκάεδρο» - κατασκευάστηκε από τον Γάλλο γεωμέτρη Λουί Πουανσό διακόσια χρόνια μετά τις μορφές των αστεριών του Κεπλέρ.
Το μεγάλο εικοσάεδρο περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Louis Poinsot το 1809. Και πάλι, ο Κέπλερ, βλέποντας ένα μεγάλο αστρικό δωδεκάεδρο, ο Λουί Πουινσό άφησε την τιμή να ανακαλύψει τη δεύτερη φιγούρα. Αυτά τα στοιχεία υπόκεινται επίσης κατά το ήμισυ στον τύπο του Euler.
Πολύεδρα στη φύση
Τα κανονικά πολύεδρα είναι οι πιο συμφέρουσες φιγούρες, επομένως είναι ευρέως διαδεδομένα στη φύση. Αυτό επιβεβαιώνεται από το σχήμα ορισμένων κρυστάλλων. Για παράδειγμα, οι κρύσταλλοι επιτραπέζιο αλάτιέχουν σχήμα κύβου. Στην παραγωγή αλουμινίου χρησιμοποιείται χαλαζίας αλουμινίου-καλίου, ο μονοκρύσταλλος του οποίου έχει σχήμα κανονικού οκταέδρου. Η λήψη θειικού οξέος, σιδήρου, ειδικών ποιοτήτων τσιμέντου δεν είναι πλήρης χωρίς θειούχους πυρίτες. Κρύσταλλοι αυτού χημική ουσίαέχουν σχήμα δωδεκάεδρου. σε διαφορετικά χημικές αντιδράσειςΧρησιμοποιείται θειικό νάτριο αντιμόνιο - μια ουσία που συντίθεται από επιστήμονες. Ο κρύσταλλος του θειικού νατρίου αντιμονίου έχει σχήμα τετραέδρου. Το τελευταίο κανονικό πολύεδρο - το εικοσάεδρο μεταφέρει το σχήμα των κρυστάλλων του βορίου.
Τα πολύεδρα σε σχήμα αστεριού είναι πολύ διακοσμητικά, γεγονός που τους επιτρέπει να χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία κοσμημάτων για την κατασκευή όλων των ειδών κοσμημάτων. Χρησιμοποιούνται επίσης στην αρχιτεκτονική. Πολλές μορφές αστρικών πολύεδρων προτείνονται από την ίδια τη φύση. Οι νιφάδες χιονιού είναι πολύεδρα σε σχήμα αστεριού. Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι προσπάθησαν να περιγράψουν όλους τους πιθανούς τύπους νιφάδων χιονιού και έχουν συντάξει ειδικούς άτλαντες. Αρκετές χιλιάδες είναι πλέον γνωστές διάφοροι τύποινιφάδες χιονιού.
Τα κανονικά πολύεδρα βρίσκονται επίσης στην άγρια ζωή. Για παράδειγμα, ένας σκελετός μονοκύτταρος οργανισμόςΤο Theodarium (Circjgjnia icosahtdra) έχει σχήμα εικοσάεδρου. Οι περισσότεροι feodarii ζουν στη βαθιά θάλασσα και χρησιμεύουν ως λεία για κοραλλιογενή ψάρια. Αλλά το πιο απλό ζώο προστατεύεται με δώδεκα βελόνες που βγαίνουν από 12 κορυφές του σκελετού. Μοιάζει περισσότερο με αστρικό πολύεδρο. 
Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε πολύεδρα σε μορφή λουλουδιών. Οι κάκτοι είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα.
Παρόμοιες πληροφορίες.
Οι όψεις ενός πολυέδρου είναι τα πολύγωνα που το σχηματίζουν. Οι όψεις ενός πολυέδρου είναι τα πολύγωνα που το σχηματίζουν. Οι άκρες ενός πολυέδρου είναι οι πλευρές των πολυγώνων. Οι άκρες ενός πολυέδρου είναι οι πλευρές των πολυγώνων. Οι κορυφές ενός πολυέδρου είναι οι κορυφές ενός πολυγώνου. Οι κορυφές ενός πολυέδρου είναι οι κορυφές ενός πολυγώνου. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει 2 κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει 2 κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Κανονικά πολύεδρα Εάν οι όψεις ενός πολυέδρου είναι κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών και τον ίδιο αριθμό ακμών συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του πολύεδρου, τότε το κυρτό πολύεδρο ονομάζεται κανονικό. Αν οι όψεις ενός πολυέδρου είναι κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών και τον ίδιο αριθμό ακμών συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του πολυέδρου, τότε το κυρτό πολύεδρο ονομάζεται κανονικό.
Ένα οκτάεδρο είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι κανονικά τρίγωνα και 4 όψεις συγκλίνουν σε κάθε κορυφή. Ένα οκτάεδρο είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι κανονικά τρίγωνα και 4 όψεις συγκλίνουν σε κάθε κορυφή. σωστή φόρμαδιαμάντι - οκτάεδρο
