Σήμερα θα σας πούμε πώς να βρείτε τη γεννήτρια ενός κώνου, η οποία απαιτείται συχνά σε προβλήματα σχολικής γεωμετρίας.
Η έννοια της γεννήτριας ενός κώνου
Ο δεξιός κώνος είναι ένα σχήμα που προκύπτει ως αποτέλεσμα της περιστροφής ορθογώνιο τρίγωνογύρω από το ένα του πόδι. Η βάση του κώνου σχηματίζει έναν κύκλο. Το κατακόρυφο τμήμα του κώνου είναι ένα τρίγωνο, το οριζόντιο τμήμα είναι ένας κύκλος. Το ύψος ενός κώνου είναι το τμήμα που συνδέει την κορυφή του κώνου με το κέντρο της βάσης. Η γεννήτρια ενός κώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει την κορυφή του κώνου με οποιοδήποτε σημείο της γραμμής της περιφέρειας της βάσης.
Δεδομένου ότι ο κώνος σχηματίζεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου, αποδεικνύεται ότι το πρώτο σκέλος ενός τέτοιου τριγώνου είναι το ύψος, το δεύτερο είναι η ακτίνα του κύκλου που βρίσκεται στη βάση και η γενετική διάταξη του κώνου θα είναι η υποτείνουσα. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι χρήσιμο για τον υπολογισμό του μήκους της γεννήτριας. Και τώρα περισσότερα για το πώς να βρείτε το μήκος της γεννήτριας του κώνου.
Εύρεση γεννήτριας
Ο ευκολότερος τρόπος για να κατανοήσετε πώς να βρείτε μια γεννήτρια είναι να συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι δίνονται οι ακόλουθες συνθήκες του προβλήματος: το ύψος είναι 9 εκ., η διάμετρος του κύκλου βάσης είναι 18 εκ. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η γεννήτρια.
Έτσι, το ύψος του κώνου (9 cm) είναι ένα από τα σκέλη του ορθογωνίου τριγώνου, με τη βοήθεια του οποίου σχηματίστηκε αυτός ο κώνος. Το δεύτερο σκέλος θα είναι η ακτίνα του βασικού κύκλου. Η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου. Έτσι, διαιρούμε τη διάμετρο που μας δίνεται στη μέση και παίρνουμε το μήκος της ακτίνας: 18:2 = 9. Η ακτίνα είναι 9.
Τώρα είναι πολύ εύκολο να βρεις τη γεννήτρια του κώνου. Εφόσον είναι η υποτείνουσα, το τετράγωνο του μήκους του είναι ισούται με το άθροισματετράγωνα των ποδιών, δηλαδή το άθροισμα των τετραγώνων της ακτίνας και του ύψους. Άρα, το τετράγωνο του μήκους της γεννήτριας = 64 (το τετράγωνο του μήκους της ακτίνας) + 64 (το τετράγωνο του μήκους του ύψους) = 64x2 = 128. Τώρα εξάγουμε Τετραγωνική ρίζααπό 128. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε οκτώ ρίζες από δύο. Αυτή θα είναι η γένεση του κώνου.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό. Για παράδειγμα, πήραμε απλές συνθήκεςκαθήκοντα, αλλά σχολικό μάθημαμπορεί να είναι πιο δύσκολα. Θυμηθείτε ότι για να υπολογίσετε το μήκος της γεννήτριας, πρέπει να μάθετε την ακτίνα του κύκλου και το ύψος του κώνου. Γνωρίζοντας αυτά τα δεδομένα, είναι εύκολο να βρεθεί το μήκος της γεννήτριας.
Πίσω μπροστά
Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Αν ενδιαφέρεσαι αυτή η δουλειάπαρακαλώ κατεβάστε την πλήρη έκδοση.
Τύπος μαθήματος:ένα μάθημα μελέτης νέου υλικού χρησιμοποιώντας στοιχεία μιας μεθόδου διδασκαλίας που αναπτύσσει προβλήματα.
Στόχοι μαθήματος:
- γνωστική:
- εξοικείωση με μια νέα μαθηματική έννοια.
- σχηματισμός νέου ZUN.
- ο σχηματισμός πρακτικών δεξιοτήτων για την επίλυση προβλημάτων.
- ανάπτυξη:
- ανάπτυξη της ανεξάρτητης σκέψης των μαθητών.
- ανάπτυξη δεξιοτήτων σωστή ομιλίαμαθητές.
- εκπαιδευτικός:
- ανάπτυξη δεξιοτήτων ομαδικής εργασίας.
Εξοπλισμός μαθήματος:μαγνητικός πίνακας, υπολογιστής, οθόνη, προβολέας πολυμέσων, κωνικό μοντέλο, παρουσίαση μαθήματος, φυλλάδιο.
Στόχοι μαθήματος (για μαθητές):
- εξοικειωθείτε με μια νέα γεωμετρική έννοια - έναν κώνο.
- εξάγετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της επιφάνειας ενός κώνου.
- μάθουν να εφαρμόζουν τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
σκηνοθετώ. Οργανωτικός.
Παράδοση σημειωματάριων από το σπίτι εργασίες επαλήθευσηςγια το θέμα που καλύπτεται.
Οι μαθητές καλούνται να μάθουν το θέμα του επερχόμενου μαθήματος λύνοντας το rebus (διαφάνεια 1):
Εικόνα 1.
Ανακοίνωση στους μαθητές του θέματος και των στόχων του μαθήματος (διαφάνεια 2).
ΙΙ στάδιο. Επεξήγηση νέου υλικού.
1) Διάλεξη δασκάλου.
Στον πίνακα υπάρχει ένα τραπέζι με την εικόνα ενός κώνου. νέο υλικόεξηγείται στο συνοδευτικό υλικό του προγράμματος «Στερεομετρία». Στην οθόνη εμφανίζεται μια τρισδιάστατη εικόνα ενός κώνου. Ο δάσκαλος δίνει έναν ορισμό του κώνου, μιλά για τα στοιχεία του. (διαφάνεια 3). Λέγεται ότι ένας κώνος είναι ένα σώμα που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου σε σχέση με το πόδι. (διαφάνειες 4, 5).Εμφανίζεται μια εικόνα της ανάπτυξης της πλευρικής επιφάνειας του κώνου. (διαφάνεια 6)
2) Πρακτική εργασία.
Πραγματοποίηση βασικών γνώσεων: επαναλάβετε τους τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου, του εμβαδού ενός τομέα, του μήκους ενός κύκλου, του μήκους ενός τόξου ενός κύκλου. (διαφάνειες 7-10)
Η τάξη χωρίζεται σε ομάδες. Κάθε ομάδα λαμβάνει μια σάρωση της πλευρικής επιφάνειας του κώνου που έχει κοπεί από χαρτί (ένας κυκλικός τομέας με έναν εκχωρημένο αριθμό). Οι μαθητές λαμβάνουν τις απαραίτητες μετρήσεις και υπολογίζουν την περιοχή του τομέα που προκύπτει. Στην οθόνη εμφανίζονται οδηγίες για την εκτέλεση εργασιών, ερωτήσεις - δηλώσεις προβλημάτων (διαφάνειες 11-14). Ο εκπρόσωπος κάθε ομάδας γράφει τα αποτελέσματα των υπολογισμών σε πίνακα που έχει ετοιμάσει στον πίνακα. Οι συμμετέχοντες κάθε ομάδας κολλούν το μοντέλο του κώνου από την ανάπτυξη που έχουν. (διαφάνεια 15)
3) Δήλωση και λύση του προβλήματος.
Πώς να υπολογίσετε την πλευρική επιφάνεια ενός κώνου εάν είναι γνωστά μόνο η ακτίνα της βάσης και το μήκος της γεννήτριας του κώνου; (διαφάνεια 16)
Κάθε ομάδα κάνει τις απαραίτητες μετρήσεις και προσπαθεί να βγάλει έναν τύπο για τον υπολογισμό της απαιτούμενης επιφάνειας χρησιμοποιώντας τα διαθέσιμα δεδομένα. Όταν κάνουν αυτή την εργασία, οι μαθητές πρέπει να παρατηρήσουν ότι η περιφέρεια της βάσης του κώνου είναι ίση με το μήκος του τόξου του τομέα - την ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας αυτού του κώνου. (διαφάνειες 17-21)Χρησιμοποιώντας τους απαραίτητους τύπους, προκύπτει ο επιθυμητός τύπος. Ο συλλογισμός των μαθητών πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:
Η ακτίνα του τομέα - σάρωσης είναι ίση με μεγάλο, μέτρο βαθμούτόξα - φ. Το εμβαδόν του τομέα υπολογίζεται με τον τύπο: το μήκος του τόξου που περιορίζει αυτόν τον τομέα είναι ίσο με την ακτίνα της βάσης του κώνου R. Το μήκος του κύκλου που βρίσκεται στη βάση του κώνου είναι C = 2πR . Σημειώστε ότι επειδή η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κώνου είναι ίση με την περιοχή ανάπτυξης της πλευρικής του επιφάνειας, τότε
Έτσι, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κώνου υπολογίζεται από τον τύπο S BOD = πRl.
Μετά τον υπολογισμό της πλευρικής επιφάνειας του μοντέλου κώνου σύμφωνα με τον τύπο που προκύπτει ανεξάρτητα, ένας εκπρόσωπος κάθε ομάδας γράφει το αποτέλεσμα των υπολογισμών σε έναν πίνακα στον πίνακα σύμφωνα με τους αριθμούς του μοντέλου. Τα αποτελέσματα υπολογισμού σε κάθε σειρά πρέπει να είναι ίσα. Σε αυτή τη βάση, ο δάσκαλος καθορίζει την ορθότητα των συμπερασμάτων κάθε ομάδας. Ο πίνακας αποτελεσμάτων θα πρέπει να μοιάζει με αυτό:
|
Αριθμός Μοντέλου. |
αναλαμβάνω καθήκον |
II εργασία |
(125/3)π ~ 41,67π |
||
(425/9)π ~ 47,22π |
||
(539/9)π ~ 59,89π |
Παράμετροι μοντέλου:
- l=12 cm, φ=120°
- l=10 cm, φ=150°
- l=15 cm, φ=120°
- l=10 cm, φ=170°
- l=14 cm, φ=110°
Η προσέγγιση των υπολογισμών σχετίζεται με σφάλματα μέτρησης.
Μετά τον έλεγχο των αποτελεσμάτων, εμφανίζεται στην οθόνη η έξοδος των τύπων για τις περιοχές των πλευρικών και πλήρων επιφανειών του κώνου (διαφάνειες 22-26)οι μαθητές κρατούν σημειώσεις σε τετράδια.
III στάδιο. Εμπέδωση της ύλης που μελετήθηκε.
1) Προσφέρονται φοιτητές εργασίες για προφορική λύση σε έτοιμα σχέδια.
Βρείτε τα εμβαδά των συνολικών επιφανειών των κώνων που φαίνονται στα σχήματα (διαφάνειες 27-32).
2) Ερώτηση:Είναι ίσα τα εμβαδά των επιφανειών των κώνων που σχηματίζονται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από διαφορετικά σκέλη; Οι μαθητές κάνουν μια υπόθεση και τη δοκιμάζουν. Ο έλεγχος υποθέσεων πραγματοποιείται με την επίλυση προβλημάτων και γράφεται από τον μαθητή στον πίνακα.
Δεδομένος:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
BAA", ABV" - φορείς της επανάστασης.
Εύρημα:Σ ΔΕΗ 1 , Σ ΔΕΗ 2 .
Εικόνα 5 (διαφάνεια 33)
Λύση:
1) R=BC = α; S ΔΕΗ 1 = S BOD 1 + S main 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).
2) R=AC = β; S PPC 2 = S BOD 2 + S main 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).
Αν S PPC 1 = S PPC 2, τότε a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0.Επειδή α, β, γθετικοί αριθμοί (τα μήκη των πλευρών του τριγώνου), η ισότητα tore είναι αληθής μόνο αν α =σι.
Συμπέρασμα:Τα εμβαδά των επιφανειών δύο κώνων είναι ίσα μόνο αν τα σκέλη του τριγώνου είναι ίσα. (διαφάνεια 34)
3) Λύση του προβλήματος από το σχολικό βιβλίο: Νο 565.
IV στάδιο. Συνοψίζοντας το μάθημα.
Εργασία για το σπίτι: σελ. 55, 56; Νο. 548, Νο. 561. (διαφάνεια 35)
Ανακοίνωση βαθμών.
Συμπεράσματα κατά τη διάρκεια του μαθήματος, επανάληψη των κύριων πληροφοριών που λαμβάνονται στο μάθημα.
Βιβλιογραφία (διαφάνεια 36)
- Βαθμοί γεωμετρίας 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
- "Μαθηματικά παζλ και χαρακάδες" - N.V. Udaltsov, βιβλιοθήκη "Πρώτη Σεπτεμβρίου", σειρά "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ", τεύχος 35, Μ., Chistye Prudy, 2010.
Η γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις δομές στο χώρο και τη μεταξύ τους σχέση. Με τη σειρά του, αποτελείται επίσης από τμήματα, και ένα από αυτά είναι η στερεομετρία. Προβλέπει τη μελέτη των ιδιοτήτων των ογκομετρικών μορφών που βρίσκονται στο χώρο: ένας κύβος, μια πυραμίδα, μια μπάλα, ένας κώνος, ένας κύλινδρος κ.λπ.
Ένας κώνος είναι ένα σώμα στον Ευκλείδειο χώρο που οριοθετεί μια κωνική επιφάνεια και ένα επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα άκρα των γεννητριών του. Ο σχηματισμός του συμβαίνει κατά τη διαδικασία περιστροφής ενός ορθογώνιου τριγώνου γύρω από οποιοδήποτε από τα πόδια του, επομένως ανήκει στα σώματα της περιστροφής.
Συστατικά ενός κώνου
Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι κώνων: λοξοί (ή κεκλιμένοι) και ίσιοι. Πλάγιος είναι εκείνος του οποίου ο άξονας τέμνεται με το κέντρο της βάσης του όχι σε ορθή γωνία. Για το λόγο αυτό, το ύψος σε έναν τέτοιο κώνο δεν συμπίπτει με τον άξονα, καθώς είναι ένα τμήμα που χαμηλώνει από την κορυφή του σώματος στο επίπεδο της βάσης του υπό γωνία 90 °.
Αυτός ο κώνος, ο άξονας του οποίου είναι κάθετος στη βάση του, ονομάζεται δεξιός κώνος. Ο άξονας και το ύψος σε ένα τέτοιο γεωμετρικό σώμα συμπίπτουν λόγω του γεγονότος ότι η κορυφή σε αυτό βρίσκεται πάνω από το κέντρο της διαμέτρου της βάσης.
Ο κώνος αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία:
- Ο κύκλος που είναι η βάση του.
- Πλευρική επιφάνεια.
- Ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης, που ονομάζεται κορυφή του κώνου.
- Τμήματα που συνδέουν τα σημεία του κύκλου της βάσης του γεωμετρικού σώματος και της κορυφής του.
Όλα αυτά τα τμήματα είναι γεννήτριες του κώνου. Έχουν κλίση προς τη βάση του γεωμετρικού σώματος και στην περίπτωση δεξιού κώνου οι προβολές τους είναι ίσες, αφού η κορυφή είναι ίση απόσταση από τα σημεία του βασικού κύκλου. Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι σε έναν κανονικό (ευθύ) κώνο, οι γεννήτριες είναι ίσες, δηλαδή έχουν το ίδιο μήκος και σχηματίζουν τις ίδιες γωνίες με τον άξονα (ή το ύψος) και τη βάση.
Δεδομένου ότι σε ένα λοξό (ή κεκλιμένο) σώμα περιστροφής η κορυφή μετατοπίζεται ως προς το κέντρο του επιπέδου βάσης, οι γεννήτριες σε ένα τέτοιο σώμα έχουν διαφορετικά μήκη και προεξοχές, καθώς καθεμία από αυτές βρίσκεται σε διαφορετική απόστασηαπό οποιαδήποτε δύο σημεία του κύκλου της βάσης. Επιπλέον, οι γωνίες μεταξύ τους και το ύψος του κώνου θα διαφέρουν επίσης.
Το μήκος των γεννητριών σε δεξιό κώνο
Όπως γράφτηκε προηγουμένως, το ύψος σε ένα ευθύ γεωμετρικό σώμα περιστροφής είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης. Έτσι, η γεννήτρια, το ύψος και η ακτίνα της βάσης δημιουργούν ένα ορθογώνιο τρίγωνο στον κώνο.
Δηλαδή, γνωρίζοντας την ακτίνα της βάσης και το ύψος, χρησιμοποιώντας τον τύπο από το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της γεννήτριας, η οποία θα είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων της ακτίνας και του ύψους της βάσης:
l 2 \u003d r 2 + h 2 ή l \u003d √r 2 + h 2
όπου l - generatrix;
r - ακτίνα;
h - ύψος.
Γεννήτρια σε λοξό κώνο
Με βάση το γεγονός ότι σε έναν λοξό ή λοξό κώνο οι γεννήτριες δεν έχουν το ίδιο μήκος, δεν θα λειτουργήσει ο υπολογισμός τους χωρίς πρόσθετες κατασκευές και υπολογισμούς.
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να γνωρίζετε το ύψος, το μήκος του άξονα και την ακτίνα της βάσης.
r 1 \u003d √k 2 - h 2
όπου r 1 είναι το τμήμα της ακτίνας μεταξύ του άξονα και του ύψους.
k - μήκος άξονα.
h - ύψος.
Ως αποτέλεσμα της προσθήκης της ακτίνας (r) και του τμήματός του που βρίσκεται μεταξύ του άξονα και του ύψους (r 1), μπορείτε να μάθετε την πλήρη γενεαλογία του κώνου, το ύψος του και μέρος της διαμέτρου:
όπου R είναι το σκέλος ενός τριγώνου που σχηματίζεται από το ύψος, τη γεννήτρια και μέρος της διαμέτρου της βάσης.
r - ακτίνα βάσης.
r 1 - μέρος της ακτίνας μεταξύ του άξονα και του ύψους.
Χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο από το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορείτε να βρείτε το μήκος της γεννήτριας του κώνου:
l \u003d √h 2 + R 2
ή, χωρίς να υπολογίσετε το R ξεχωριστά, συνδυάστε τους δύο τύπους σε έναν:
l = √h 2 + (r + r 1) 2 .
Ανεξάρτητα από το αν ο κώνος είναι ευθύς ή λοξός και τι είδους είσοδος, όλες οι μέθοδοι για την εύρεση του μήκους της γεννήτριας καταλήγουν πάντα σε ένα αποτέλεσμα - τη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.
Τομή κώνου
Αξονικό επίπεδο είναι ένα επίπεδο που διέρχεται κατά μήκος του άξονα ή του ύψους του. Σε έναν δεξιό κώνο, μια τέτοια τομή είναι ισοσκελές τρίγωνο, στο οποίο το ύψος του τριγώνου είναι το ύψος του σώματος, οι πλευρές του είναι γεννήτριες και η βάση είναι η διάμετρος της βάσης. Σε ένα ισόπλευρο γεωμετρικό σώμα, η αξονική τομή είναι ισόπλευρο τρίγωνο, αφού σε αυτόν τον κώνο η διάμετρος της βάσης και των γεννητριών είναι ίσες.
Το επίπεδο της αξονικής τομής σε δεξιό κώνο είναι το επίπεδο της συμμετρίας του. Ο λόγος για αυτό είναι ότι η κορυφή του βρίσκεται πάνω από το κέντρο της βάσης του, δηλαδή το επίπεδο του αξονικού τμήματος χωρίζει τον κώνο σε δύο πανομοιότυπα μέρη.
Δεδομένου ότι το ύψος και ο άξονας δεν συμπίπτουν σε ένα κεκλιμένο στερεό, το επίπεδο του αξονικού τμήματος μπορεί να μην περιλαμβάνει το ύψος. Εάν είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα σύνολο αξονικών τμημάτων σε έναν τέτοιο κώνο, αφού πρέπει να τηρηθεί μόνο μία προϋπόθεση για αυτό - πρέπει να περάσει μόνο από τον άξονα, τότε το αξονικό τμήμα του επιπέδου, το οποίο θα ανήκει στο ύψος αυτού κώνου, μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο ένας, επειδή ο αριθμός των συνθηκών αυξάνεται και, όπως είναι γνωστό, δύο ευθείες (μαζί) μπορούν να ανήκουν μόνο σε ένα επίπεδο.
Επιφάνεια εγκάρσιας διατομής
Το αξονικό τμήμα του κώνου που αναφέρθηκε προηγουμένως είναι ένα τρίγωνο. Με βάση αυτό, το εμβαδόν του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου:
S = 1/2 * d * h ή S = 1/2 * 2r * h
όπου S είναι το εμβαδόν της διατομής.
d - διάμετρος βάσης.
r - ακτίνα;
h - ύψος.
Σε έναν λοξό ή κεκλιμένο κώνο, η διατομή κατά μήκος του άξονα είναι επίσης τρίγωνο, επομένως η περιοχή διατομής σε αυτόν υπολογίζεται με παρόμοιο τρόπο.
Ενταση ΗΧΟΥ
Δεδομένου ότι ο κώνος είναι ένα τρισδιάστατο σχήμα στον τρισδιάστατο χώρο, ο όγκος του μπορεί να υπολογιστεί. Ο όγκος ενός κώνου είναι ένας αριθμός που χαρακτηρίζει αυτό το σώμα σε μονάδα όγκου, δηλαδή σε m 3. Ο υπολογισμός δεν εξαρτάται από το αν είναι ίσιο ή λοξό (πλάγιο), αφού οι τύποι για αυτούς τους δύο τύπους σωμάτων δεν διαφέρουν.
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο σχηματισμός ενός ορθού κώνου συμβαίνει λόγω της περιστροφής ενός ορθογωνίου τριγώνου κατά μήκος ενός από τα σκέλη του. Ένας κεκλιμένος ή λοξός κώνος σχηματίζεται διαφορετικά, αφού το ύψος του μετατοπίζεται μακριά από το κέντρο του επιπέδου βάσης του σώματος. Ωστόσο, τέτοιες διαφορές στη δομή δεν επηρεάζουν τη μέθοδο υπολογισμού του όγκου του.
Υπολογισμός όγκου
Οποιοσδήποτε κώνος μοιάζει με αυτό:
V = 1/3 * π * h * r2
όπου V είναι ο όγκος του κώνου.
h - ύψος;
r - ακτίνα;
Το π είναι σταθερά ίση με 3,14.
Για τον υπολογισμό του ύψους ενός σώματος, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την ακτίνα της βάσης και το μήκος της γεννήτριάς του. Δεδομένου ότι η ακτίνα, το ύψος και η γεννήτρια συνδυάζονται σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ύψος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο από το Πυθαγόρειο θεώρημα (a 2 + b 2 \u003d c 2 ή στην περίπτωσή μας h 2 + r 2 \u003d l 2, όπου l είναι η γεννήτρια). Σε αυτήν την περίπτωση, το ύψος θα υπολογιστεί εξάγοντας την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους:
a \u003d √c 2 - b 2
Δηλαδή, το ύψος του κώνου θα είναι ίσο με την τιμή που προκύπτει μετά την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας από τη διαφορά μεταξύ του τετραγώνου του μήκους της γεννήτριας και του τετραγώνου της ακτίνας της βάσης:
h \u003d √l 2 - r 2
Έχοντας υπολογίσει το ύψος με αυτή τη μέθοδο και γνωρίζοντας την ακτίνα της βάσης του, είναι δυνατός ο υπολογισμός του όγκου του κώνου. Ταυτόχρονα παίζει η γεννήτρια σημαντικός ρόλος, καθώς χρησιμεύει ως βοηθητικό στοιχείο στους υπολογισμούς.
Ομοίως, εάν γνωρίζετε το ύψος του σώματος και το μήκος της γενεαλογίας του, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα της βάσης του εξάγοντας την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ του τετραγώνου της γεννήτριας και του τετραγώνου του ύψους:
r \u003d √l 2 - h 2
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο όπως παραπάνω, υπολογίστε τον όγκο του κώνου.
Όγκος κώνου κλίσης
Δεδομένου ότι ο τύπος για τον όγκο ενός κώνου είναι ο ίδιος για όλους τους τύπους ενός σώματος περιστροφής, η διαφορά στον υπολογισμό του είναι η αναζήτηση ύψους.
Για να βρεθεί το ύψος ενός κεκλιμένου κώνου, τα δεδομένα εισόδου πρέπει να περιλαμβάνουν το μήκος της γεννήτριας, την ακτίνα της βάσης και την απόσταση μεταξύ του κέντρου της βάσης και της τομής του ύψους του σώματος με το επίπεδο τη βάση του. Γνωρίζοντας αυτό, μπορεί κανείς εύκολα να υπολογίσει εκείνο το τμήμα της διαμέτρου της βάσης, το οποίο θα είναι η βάση ενός ορθογωνίου τριγώνου (που σχηματίζεται από το ύψος, τη γεννήτρια και το επίπεδο της βάσης). Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας πάλι το Πυθαγόρειο θεώρημα, υπολογίστε το ύψος του κώνου και στη συνέχεια τον όγκο του.
Εδώ υπάρχουν προβλήματα με τους κώνους, η κατάσταση σχετίζεται με την επιφάνεια του. Συγκεκριμένα, σε ορισμένα προβλήματα τίθεται ζήτημα αλλαγής της περιοχής με αύξηση (μείωση) του ύψους ενός κώνου ή της ακτίνας της βάσης του. Θεωρία για την επίλυση προβλημάτων στο . Εξετάστε τις ακόλουθες εργασίες:
27135. Η περιφέρεια της βάσης του κώνου είναι 3, η γεννήτρια είναι 2. Βρείτε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κώνου.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κώνου είναι:
Σύνδεση δεδομένων:
75697. Πόσες φορές θα αυξηθεί το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κώνου εάν η γενετήσια διάταξη του αυξηθεί 36 φορές και η ακτίνα της βάσης παραμένει η ίδια;
Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κώνου:
Το generatrix αυξάνεται κατά 36 φορές. Η ακτίνα παραμένει ίδια, πράγμα που σημαίνει ότι η περιφέρεια της βάσης δεν έχει αλλάξει.
Έτσι, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του τροποποιημένου κώνου θα μοιάζει με:
Έτσι, θα αυξηθεί κατά 36 φορές.
*Η εξάρτηση είναι απλή, επομένως αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί εύκολα από το στόμα.
27137. Πόσες φορές θα μειωθεί το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κώνου εάν η ακτίνα της βάσης του μειωθεί κατά 1,5 φορές;
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κώνου είναι:
Η ακτίνα μειώνεται κατά 1,5 φορές, δηλαδή:
Διαπιστώθηκε ότι η πλευρική επιφάνεια μειώθηκε κατά 1,5 φορές.
27159. Το ύψος του κώνου είναι 6, η γεννήτρια είναι 10. Βρείτε το εμβαδόν του πλήρη επιφάνειαδιαιρούμενος από τον Πι.
Πλήρης επιφάνεια του κώνου:
Βρείτε την ακτίνα:
Το ύψος και η γενεά είναι γνωστά, με το Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε την ακτίνα:
Ετσι:
Διαιρέστε το αποτέλεσμα με το Pi και γράψτε την απάντηση.
76299. Η συνολική επιφάνεια του κώνου είναι 108. Σχεδιάζεται ένα τμήμα παράλληλα με τη βάση του κώνου, διαιρώντας το ύψος στο μισό. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του κόλουρου κώνου.
Το τμήμα διέρχεται από το μεσαίο ύψος παράλληλα με τη βάση. Αυτό σημαίνει ότι η ακτίνα της βάσης και της γεννήτριας του κόλουρου κώνου θα είναι 2 φορές μικρότερη από την ακτίνα και τη γενεαλογική διάταξη του αρχικού κώνου. Ας γράψουμε ποιο είναι το εμβαδόν της επιφάνειας του κώνου αποκοπής:
Την πήρα 4 φορές μικρότερη έκτασηεπιφάνεια του αρχικού, δηλαδή 108:4 = 27.
* Δεδομένου ότι ο αρχικός και ο αποκομμένος κώνος είναι παρόμοια σώματα, ήταν επίσης δυνατή η χρήση της ιδιότητας ομοιότητας:
27167. Η ακτίνα της βάσης του κώνου είναι 3, το ύψος είναι 4. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του κώνου διαιρούμενη με το pi.
Ο τύπος για τη συνολική επιφάνεια ενός κώνου είναι:
Η ακτίνα είναι γνωστή, είναι απαραίτητο να βρεθεί η γεννήτρια. 
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Ετσι:
Διαιρέστε το αποτέλεσμα με το Pi και γράψτε την απάντηση.
Εργο. Η πλευρική επιφάνεια του κώνου τετραπλασιάζεται περισσότερη περιοχήλόγους. Βρείτε τι ισούται με συνημίτονοτη γωνία μεταξύ της γεννήτριας του κώνου και του επιπέδου της βάσης.
Το εμβαδόν της βάσης του κώνου είναι: 