Σχεδιάζουμε χωριστά τη βάση του πρίσματος, δηλ. το τρίγωνο ABC (Εικ. 307, α) και το συμπληρώνουμε σε ένα ορθογώνιο, για το οποίο σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή KM μέσω της κορυφής B || AC και από τα σημεία Α και Γ ρίχνουμε κάθετες AF και CE σε αυτή την ευθεία. Παίρνουμε το ορθογώνιο ACEF. Έχοντας σχεδιάσει το ύψος BD του τριγώνου ABC, θα δούμε ότι το ορθογώνιο ACEF χωρίζεται σε 4 ορθογώνια τρίγωνα. Επιπλέον, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD και \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου ACEF είναι διπλάσιο περισσότερη περιοχήτρίγωνο ABC, δηλαδή ίσο με 2S.
Σε αυτό το πρίσμα με βάση ABC προσθέτουμε πρίσματα με βάσεις ALL και BAF και ύψος η(Εικ. 307, β). Παίρνουμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση ACEF.
Αν κόψουμε αυτό το παραλληλεπίπεδο από ένα επίπεδο που διέρχεται από τις ευθείες BD και BB', θα δούμε ότι το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο αποτελείται από 4 πρίσματα με βάσεις BCD, ALL, BAD και BAF.
Πρίσματα με βάσεις BCD και ALL μπορούν να συνδυαστούν, αφού οι βάσεις τους είναι ίσες (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) και οι πλευρικές ακμές τους, που είναι κάθετες σε ένα επίπεδο, είναι επίσης ίσες. Επομένως, οι όγκοι αυτών των πρισμάτων είναι ίσοι. Οι όγκοι των πρισμάτων με βάσεις BAD και BAF είναι επίσης ίσοι.
Έτσι, αποδεικνύεται ότι ο όγκος ενός δεδομένου τριγωνικού πρίσματος με βάση ABC είναι ο μισός όγκος κυβοειδέςμε βάση ACEF.
Γνωρίζουμε ότι ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του και του ύψους του, δηλ. αυτή η υπόθεσηισούται με 2S η. Ως εκ τούτου, ο όγκος αυτού του ορθογωνίου τριγωνικού πρίσματος είναι ίσος με S η.
Ο όγκος ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του και του ύψους του.
2. Ο όγκος ενός ευθύγραμμου πολυγωνικού πρίσματος.
Για να βρείτε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πολυγωνικού πρίσματος, όπως ένα πενταγωνικό, με εμβαδόν βάσης S και ύψος η, ας το σπάσουμε σε τριγωνικά πρίσματα (Εικ. 308).
Δηλώνοντας τα εμβαδά βάσης των τριγωνικών πρισμάτων μέσω S 1, S 2 και S 3, και τον όγκο αυτού του πολυγωνικού πρίσματος μέχρι το V, παίρνουμε:
V = S 1 η+S2 η+ S 3 η, ή
V = (S 1 + S 2 + S 3) η.
Και τέλος: V = S η.
Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ο τύπος για τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος με οποιοδήποτε πολύγωνο στη βάση του.
Που σημαίνει, Ο όγκος κάθε ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του και του ύψους του.
Όγκος πρίσματος
Θεώρημα. Ο όγκος ενός πρίσματος είναι ίσος με το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος.
Πρώτα αποδεικνύουμε αυτό το θεώρημα για ένα τριγωνικό πρίσμα και μετά για ένα πολυγωνικό.
1) Σχεδιάστε (Εικ. 95) μέσα από την άκρη AA 1 του τριγωνικού πρίσματος ABCA 1 B 1 C 1 ένα επίπεδο παράλληλο με την όψη BB 1 C 1 C και διαμέσου της άκρης CC 1 - ένα επίπεδο παράλληλο στην όψη AA 1 B 1 B; μετά συνεχίζουμε τα επίπεδα και των δύο βάσεων του πρίσματος μέχρι να τέμνονται με τα σχεδιασμένα επίπεδα.
Τότε παίρνουμε ένα παραλληλεπίπεδο BD 1, το οποίο διαιρείται με το διαγώνιο επίπεδο AA 1 C 1 C σε δύο τριγωνικά πρίσματα (δίνεται ένα από αυτά). Ας αποδείξουμε ότι αυτά τα πρίσματα είναι ίσα. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε μια κάθετη τομή Α Β Γ Δ. Στην ενότητα, παίρνετε ένα παραλληλόγραμμο, το οποίο είναι διαγώνιος άσσοςχωρισμένο στα δύο ίσο τρίγωνο. Αυτό το πρίσμα είναι ίσο με ένα τέτοιο ευθύ πρίσμα, του οποίου η βάση είναι \(\Δέλτα\) αλφάβητο, και το ύψος είναι η άκρη AA 1 . Ένα άλλο τριγωνικό πρίσμα είναι ίσο σε εμβαδόν με μια ευθεία της οποίας η βάση είναι \(\Δέλτα\) adc, και το ύψος είναι η άκρη AA 1 . Αλλά δύο ευθεία πρίσματα με ίσους λόγουςκαι ίσα ύψη είναι ίσα (επειδή συνδυάζονται κατά την ενσωμάτωση), που σημαίνει ότι τα πρίσματα ABCA 1 B 1 C 1 και ADCA 1 D 1 C 1 είναι ίσα. Από αυτό προκύπτει ότι ο όγκος αυτού του πρίσματος είναι ο μισός όγκος του παραλληλεπίπεδου BD 1 . Επομένως, δηλώνοντας το ύψος του πρίσματος μέσω H, παίρνουμε:
$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$
2) Σχεδιάστε μέσα από την άκρη AA 1 του πολυγωνικού πρίσματος (Εικ. 96) τα διαγώνια επίπεδα AA 1 C 1 C και AA 1 D 1 D.
Τότε αυτό το πρίσμα θα κοπεί σε πολλά τριγωνικά πρίσματα. Το άθροισμα των όγκων αυτών των πρισμάτων είναι ο επιθυμητός όγκος. Αν συμβολίσουμε τα εμβαδά των βάσεων τους με σι 1 , σι 2 , σι 3, και το συνολικό ύψος έως το H, παίρνουμε:
όγκος πολυγωνικού πρίσματος = σι 1Η+ σι 2Η+ σι 3 H =( σι 1 + σι 2 + σι 3) Η =
= (περιοχή ABCDE) H.
Συνέπεια. Αν τα V, B και H είναι αριθμοί που εκφράζουν στις κατάλληλες μονάδες τον όγκο, το εμβαδόν βάσης και το ύψος του πρίσματος, τότε, σύμφωνα με τα αποδεδειγμένα, μπορούμε να γράψουμε:
Άλλα υλικάΣτη φυσική, ένα τριγωνικό πρίσμα από γυαλί χρησιμοποιείται συχνά για τη μελέτη του φάσματος λευκό φως, γιατί είναι σε θέση να το αποσυνθέσει σε ξεχωριστά συστατικά. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τον τύπο όγκου
Τι είναι ένα τριγωνικό πρίσμα;
Πριν δώσετε τον τύπο όγκου, εξετάστε τις ιδιότητες αυτού του σχήματος.
Για να το αποκτήσετε, πρέπει να πάρετε ένα τρίγωνο αυθαίρετου σχήματος και να το μετακινήσετε παράλληλα προς τον εαυτό του για μια ορισμένη απόσταση. Οι κορυφές του τριγώνου στην αρχική και τελική θέση πρέπει να συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα. Το τρισδιάστατο σχήμα που προκύπτει ονομάζεται τριγωνικό πρίσμα. Έχει πέντε πλευρές. Δύο από αυτές ονομάζονται βάσεις: είναι παράλληλες και ίσες μεταξύ τους. Οι βάσεις του θεωρούμενου πρίσματος είναι τρίγωνα. Οι τρεις υπόλοιπες πλευρές είναι παραλληλόγραμμες.
Εκτός από τις πλευρές, το υπό εξέταση πρίσμα χαρακτηρίζεται από έξι κορυφές (τρεις για κάθε βάση) και εννέα ακμές (6 άκρες βρίσκονται στα επίπεδα των βάσεων και 3 άκρες σχηματίζονται από την τομή των πλευρών). Εάν οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στις βάσεις, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται ορθογώνιο.
Η διαφορά μεταξύ ενός τριγωνικού πρίσματος και όλων των άλλων σχημάτων αυτής της κατηγορίας είναι ότι είναι πάντα κυρτό (τα πρίσματα τεσσάρων, πέντε, ..., n-γωνικών μπορούν επίσης να είναι κοίλα).
Πρόκειται για ένα ορθογώνιο σχήμα, στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Όγκος τριγωνικού πρίσματος γενικού τύπου
Πώς να βρείτε τον όγκο ενός τριγωνικού πρίσματος; φόρμουλα σε γενική εικόναπαρόμοιο με αυτό για ένα πρίσμα κάθε είδους. Έχει την ακόλουθη μαθηματική σημειογραφία:
Εδώ h είναι το ύψος του σχήματος, δηλαδή η απόσταση μεταξύ των βάσεων του, S o είναι η περιοχή του τριγώνου.
Η τιμή του S o μπορεί να βρεθεί εάν ορισμένες παράμετροι για ένα τρίγωνο είναι γνωστές, για παράδειγμα, μία πλευρά και δύο γωνίες ή δύο πλευρές και μία γωνία. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου του ύψους του και του μήκους της πλευράς στην οποία το ύψος αυτό χαμηλώνει.
Όσο για το ύψος h του σχήματος, είναι πιο εύκολο να το βρείτε για ένα ορθογώνιο πρίσμα. Στην τελευταία περίπτωση, το h συμπίπτει με το μήκος του πλευρικού άκρου.
Όγκος κανονικού τριγωνικού πρίσματος
Ο γενικός τύπος για τον όγκο ενός τριγωνικού πρίσματος, ο οποίος δίνεται στο προηγούμενη ενότηταάρθρο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της αντίστοιχης τιμής για ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα. Εφόσον η βάση του είναι ισόπλευρο τρίγωνο, το εμβαδόν του είναι:
Ο καθένας μπορεί να πάρει αυτόν τον τύπο αν θυμηθεί ότι σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και αποτελούν 60 o. Εδώ το σύμβολο α είναι το μήκος της πλευράς του τριγώνου.
Το ύψος h είναι το μήκος της άκρης. Δεν έχει να κάνει με το foundation. δεξιό πρίσμακαι μπορεί να πάρει αυθαίρετες τιμές. Ως αποτέλεσμα, ο τύπος για τον όγκο ενός τριγωνικού πρίσματος σωστό είδοςμοιάζει με αυτό:
Έχοντας υπολογίσει τη ρίζα, μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτόν τον τύπο ως εξής:
Έτσι, για να βρούμε τον όγκο ενός κανονικού πρίσματος με τριγωνική βάση, είναι απαραίτητο να τετραγωνίσουμε την πλευρά της βάσης, να πολλαπλασιάσουμε αυτή την τιμή με το ύψος και να πολλαπλασιάσουμε την τιμή που προκύπτει κατά 0,433.
Τύπος εργασίας: 8
Θέμα: Πρίσμα
Κατάσταση
Σε ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα ABCA_1B_1C_1, οι πλευρές της βάσης είναι 4 και οι πλευρικές ακμές είναι 10. Βρείτε την περιοχή τομής του πρίσματος από το επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα των ακμών AB, AC, A_1B_1 και A_1C_1.
Εμφάνιση ΛύσηςΛύση
Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.
Το τμήμα MN είναι η μέση γραμμή του τριγώνου A_1B_1C_1, άρα MN = \frac12 B_1C_1=2.Επίσης, KL=\frac12BC=2.Επιπλέον, MK = NL = 10. Αυτό σημαίνει ότι το τετράπλευρο MNLK είναι παραλληλόγραμμο. Από MK\παράλληλο AA_1, τότε MK\perp ABC και MK\perp KL. Επομένως, το τετράπλευρο MNLK είναι ένα ορθογώνιο. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.
Απάντηση
Τύπος εργασίας: 8
Θέμα: Πρίσμα
Κατάσταση
Ο όγκος ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος ABCDA_1B_1C_1D_1 είναι 24 . Το σημείο K είναι το μέσο της ακμής CC_1. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας KBCD.
Λύση
Σύμφωνα με την προϋπόθεση, KC είναι το ύψος της πυραμίδας KBCD. CC_1 είναι το ύψος του πρίσματος ABCDA_1B_1C_1D_1.
Αφού το K είναι το μέσο του CC_1 , τότε KC=\frac12CC_1.Έστω CC_1=H , τότε KC=\frac12H. Σημειώστε επίσης ότι S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).Επειτα, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).Ως εκ τούτου, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.
Απάντηση
Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Τύπος εργασίας: 8
Θέμα: Πρίσμα
Κατάσταση
Βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος του οποίου η πλευρά βάσης είναι 6 και το ύψος του είναι 8.
.png)
Λύση
Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος βρίσκεται με τον τύπο S πλευρά. = P κύρια. · h = 6a\cdot h, όπου το P κύριο. και h είναι, αντίστοιχα, η περίμετρος της βάσης και το ύψος του πρίσματος, ίσο με 8, και το a είναι η πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου, ίσο με 6. Επομένως, πλευρά S. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.
Απάντηση
Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Τύπος εργασίας: 8
Θέμα: Πρίσμα
Κατάσταση
Το νερό χύνεται σε ένα δοχείο που έχει σχήμα κανονικού τριγωνικού πρίσματος. Η στάθμη του νερού φτάνει τα 40 εκ. Σε ποιο ύψος θα είναι η στάθμη του νερού αν χυθεί σε άλλο δοχείο ίδιου σχήματος, του οποίου η πλευρά βάσης είναι διπλάσια από την πρώτη; Εκφράστε την απάντησή σας σε εκατοστά.
Λύση
Έστω a η πλευρά της βάσης του πρώτου αγγείου, τότε 2 a είναι η πλευρά της βάσης του δεύτερου σκάφους. Κατά συνθήκη, ο όγκος του υγρού V στο πρώτο και στο δεύτερο δοχείο είναι ο ίδιος. Σημειώστε με H το επίπεδο στο οποίο ανέβηκε το υγρό στο δεύτερο δοχείο. Επειτα V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,Και, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.Από εδώ \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.
Απάντηση
Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Τύπος εργασίας: 8
Θέμα: Πρίσμα
Κατάσταση
Σε ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 όλες οι ακμές είναι 2 . Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Ε_1 .
Εμφάνιση ΛύσηςΛύση
Το τρίγωνο AEE_1 είναι ορθογώνιο, αφού η ακμή EE_1 είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης του πρίσματος, η γωνία AEE_1 θα είναι ορθή.
.png)
Στη συνέχεια με το Πυθαγόρειο θεώρημα AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Βρείτε το AE από το τρίγωνο AFE χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου. Κάθε εσωτερική γωνία ενός κανονικού εξαγώνου είναι 120^(\circ). Επειτα ΑΕ^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\αριστερά (-\frac12 \δεξιά).
Ως εκ τούτου, AE^2=4+4+4=12,
AE_1^2=12+4=16,
AE_1=4.
Απάντηση
Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Τύπος εργασίας: 8
Θέμα: Πρίσμα
Κατάσταση
Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος του οποίου η βάση είναι ένας ρόμβος με διαγώνιες ίσες με 4\sqrt5και 8 , και μια πλευρική άκρη ίση με 5 .
Λύση
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος βρίσκεται από τον τύπο S πλευρά. = P κύρια. · h = 4a\cdot h, όπου P κύρια. και h, αντίστοιχα, η περίμετρος της βάσης και το ύψος του πρίσματος, ίσο με 5, και το a είναι η πλευρά του ρόμβου. Ας βρούμε την πλευρά του ρόμβου, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου ABCD είναι αμοιβαία κάθετες και το σημείο τομής διαιρείται στο μισό.
Ορισμός.
Αυτό είναι ένα εξάγωνο, οι βάσεις του οποίου είναι δύο ίσα τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ορθογώνια.
Πλαϊνή πλευράείναι η κοινή πλευρά δύο γειτονικών πλευρικών όψεων
Ύψος πρίσματοςείναι ένα ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του πρίσματος
Διαγώνιο πρίσμα- ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές των βάσεων που δεν ανήκουν στην ίδια όψη
Διαγώνιο επίπεδο- ένα επίπεδο που διέρχεται από τη διαγώνιο του πρίσματος και τις πλευρικές ακμές του
Διαγώνιο τμήμα- τα όρια της τομής του πρίσματος και του διαγώνιου επιπέδου. Το διαγώνιο τμήμα ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο
Κάθετη τομή (ορθογώνια τομή)- αυτή είναι η τομή ενός πρίσματος και ενός επιπέδου που σχεδιάζονται κάθετα στα πλευρικά άκρα του
Στοιχεία κανονικού τετραγωνικού πρίσματος
Το σχήμα δείχνει δύο κανονικά τετράγωνα πρίσματα, τα οποία σημειώνονται με τα αντίστοιχα γράμματα:
- Οι βάσεις ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ίσες και παράλληλες μεταξύ τους
- Πλαϊνές όψεις AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C και CC 1 D 1 D, καθεμία από τις οποίες είναι ένα ορθογώνιο
- Πλαϊνή επιφάνεια- το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων του πρίσματος
- Συνολική επιφάνεια - το άθροισμα των εμβαδών όλων των βάσεων και των πλευρικών όψεων (το άθροισμα της επιφάνειας της πλευρικής επιφάνειας και των βάσεων)
- Πλαϊνές νευρώσεις AA 1 , BB 1 , CC 1 και DD 1 .
- Διαγώνιος Β 1 Δ
- Διαγώνιος βάσης BD
- Διαγώνιο τμήμα BB 1 D 1 D
- Κάθετο τμήμα A 2 B 2 C 2 D 2 .
Ιδιότητες κανονικού τετραγωνικού πρίσματος
- Οι βάσεις είναι δύο ίσα τετράγωνα
- Οι βάσεις είναι παράλληλες μεταξύ τους
- Οι πλευρές είναι ορθογώνιες.
- Οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους
- Οι πλευρικές όψεις είναι κάθετες στις βάσεις
- Οι πλευρικές νευρώσεις είναι παράλληλες μεταξύ τους και ίσες
- Κάθετη τομή κάθετη σε όλες τις πλευρικές νευρώσεις και παράλληλη στις βάσεις
- Κάθετες γωνίες τομής - Δεξιά
- Το διαγώνιο τμήμα ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο
- Κάθετη (ορθογώνια τομή) παράλληλη στις βάσεις
Τύποι για κανονικό τετράπλευρο πρίσμα
Οδηγίες για την επίλυση προβλημάτων
Κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με το θέμα " κανονικό τετράγωνο πρίσμα" υπονοεί πως:Σωστό πρίσμα- ένα πρίσμα στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στα επίπεδα της βάσης. Δηλαδή, ένα κανονικό τετράπλευρο πρίσμα περιέχει στη βάση του τετράγωνο. (δείτε παραπάνω τις ιδιότητες ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος) Σημείωση. Αυτό είναι μέρος του μαθήματος με εργασίες στη γεωμετρία (τμήμα στερεά γεωμετρία - πρίσμα). Εδώ είναι οι εργασίες που προκαλούν δυσκολίες στην επίλυση. Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα στη γεωμετρία, το οποίο δεν είναι εδώ - γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Για να υποδείξετε τη δράση εξαγωγής τετραγωνική ρίζαΤο σύμβολο χρησιμοποιείται στην επίλυση προβλημάτων√ .
Εργο.
Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της βάσης είναι 144 cm 2 και το ύψος είναι 14 cm. Βρείτε τη διαγώνιο του πρίσματος και τη συνολική επιφάνεια.Λύση.
Ένα κανονικό τετράπλευρο είναι ένα τετράγωνο.
Αντίστοιχα, η πλευρά της βάσης θα είναι ίση με
Οπότε η διαγώνιος της βάσης ενός κανονικού ορθογώνιου πρίσματος θα είναι ίση με
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Η διαγώνιος ενός κανονικού πρίσματος σχηματίζεται με τη διαγώνιο της βάσης και το ύψος του πρίσματος ορθογώνιο τρίγωνο. Συνεπώς, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος ενός δεδομένου κανονικού τετραγωνικού πρίσματος θα είναι ίση με:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm
Απάντηση: 22 εκ
Εργο
Βρείτε τη συνολική επιφάνεια ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος αν η διαγώνιος του είναι 5 cm και η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 4 cm.Λύση.
Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, τότε η πλευρά της βάσης (που συμβολίζεται ως α) βρίσκεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα:
A 2 + a 2 = 5 2
2α 2 = 25
a = √12,5
Το ύψος της πλευρικής όψης (που συμβολίζεται ως h) θα είναι τότε ίσο με:
H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5
Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας θα είναι ίσο με το άθροισμα της πλευρικής επιφάνειας και το διπλάσιο του εμβαδού της βάσης
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Απάντηση: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Τα διαφορετικά πρίσματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ταυτόχρονα, έχουν πολλά κοινά. Για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, πρέπει να καταλάβετε τι είδους μοιάζει.
Γενική θεωρία
Πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο του οποίου οι πλευρές έχουν τη μορφή παραλληλογράμμου. Επιπλέον, οποιοδήποτε πολύεδρο μπορεί να βρίσκεται στη βάση του - από ένα τρίγωνο έως ένα n-gon. Επιπλέον, οι βάσεις του πρίσματος είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Τι δεν ισχύει για τις πλευρικές όψεις - μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος.
Κατά την επίλυση προβλημάτων, δεν είναι μόνο η περιοχή της βάσης του πρίσματος που συναντάται. Μπορεί να είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την πλευρική επιφάνεια, δηλαδή όλες τις όψεις που δεν είναι βάσεις. πλήρη επιφάνειαθα υπάρχει ήδη μια ένωση όλων των προσώπων που απαρτίζουν το πρίσμα.
Μερικές φορές τα ύψη εμφανίζονται στις εργασίες. Είναι κάθετο στις βάσεις. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει σε ζεύγη οποιεσδήποτε δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Πρέπει να σημειωθεί ότι η περιοχή της βάσης ενός ευθύγραμμου ή κεκλιμένου πρίσματος δεν εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ τους και των πλευρικών όψεων. Αν έχουν τις ίδιες φιγούρες στην επάνω και στην κάτω όψη, τότε οι περιοχές τους θα είναι ίσες.
τριγωνικό πρίσμα
Έχει στη βάση του ένα σχήμα με τρεις κορυφές, δηλαδή ένα τρίγωνο. Είναι γνωστό ότι είναι διαφορετικό. Αν τότε αρκεί να θυμηθούμε ότι η περιοχή του καθορίζεται από το μισό γινόμενο των ποδιών.
Η μαθηματική σημειογραφία μοιάζει με αυτό: S = ½ av.
Για να μάθετε την περιοχή της βάσης σε μια γενική μορφή, οι τύποι είναι χρήσιμοι: Ο Ερωδιός και αυτός στον οποίο η μισή πλευρά έχει φτάσει στο ύψος που τραβιέται προς αυτήν.
Ο πρώτος τύπος πρέπει να γραφτεί ως εξής: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Αυτό το λήμμα περιέχει μια ημιπερίμετρο (p), δηλαδή το άθροισμα τριών πλευρών διαιρούμενο με δύο.
Δεύτερον: S = ½ n a * a.
Αν θέλετε να μάθετε το εμβαδόν της βάσης ενός τριγωνικού πρίσματος, το οποίο είναι κανονικό, τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Έχει τον δικό του τύπο: S = ¼ a 2 * √3.
τετράγωνο πρίσμα
Η βάση του είναι οποιοδήποτε από τα γνωστά τετράπλευρα. Μπορεί να είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο, παραλληλεπίπεδο ή ρόμβος. Σε κάθε περίπτωση, για να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος, θα χρειαστείτε τον δικό σας τύπο.
Αν η βάση είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν της προσδιορίζεται ως εξής: S = av, όπου a, b είναι οι πλευρές του ορθογωνίου.
Οταν μιλαμεπερίπου ένα τετράγωνο πρίσμα, τότε το εμβαδόν της βάσης ενός κανονικού πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα τετράγωνο. Γιατί είναι αυτός που βρίσκεται στη βάση. S \u003d a 2.
Στην περίπτωση που η βάση είναι παραλληλεπίπεδο, θα χρειαστεί η ακόλουθη ισότητα: S \u003d a * n a. Συμβαίνει να δίνονται μια πλευρά παραλληλεπίπεδου και μια από τις γωνίες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το ύψος, πρέπει να χρησιμοποιήσετε πρόσθετη φόρμουλα: n a \u003d b * sin A. Επιπλέον, η γωνία A είναι δίπλα στην πλευρά "b" και το ύψος n και απέναντι από αυτήν τη γωνία.
Εάν ένας ρόμβος βρίσκεται στη βάση του πρίσματος, τότε θα χρειαστεί ο ίδιος τύπος για τον προσδιορισμό του εμβαδού του όπως για ένα παραλληλόγραμμο (καθώς πρόκειται για ειδική περίπτωση). Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτό: S = ½ d 1 d 2. Εδώ τα d 1 και d 2 είναι δύο διαγώνιοι του ρόμβου.
Κανονικό πενταγωνικό πρίσμα
Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει τη διαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων είναι ευκολότερο να βρεθούν. Αν και συμβαίνει ότι τα σχήματα μπορούν να είναι με διαφορετικό αριθμό κορυφών.
Αφού η βάση του πρίσματος είναι κανονικό πεντάγωνο, τότε μπορεί να χωριστεί σε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα. Τότε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου (ο τύπος φαίνεται παραπάνω), πολλαπλασιαζόμενος επί πέντε.
Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα
Σύμφωνα με την αρχή που περιγράφεται για ένα πενταγωνικό πρίσμα, είναι δυνατό να διαιρεθεί το εξάγωνο βάσης σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. Ο τύπος για το εμβαδόν της βάσης ενός τέτοιου πρίσματος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Μόνο σε αυτό θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί έξι.
Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό: S = 3/2 και 2 * √3.
Καθήκοντα
Νο 1. Δίνεται μια κανονική ευθεία. Η διαγώνιος της είναι 22 εκ., το ύψος του πολυέδρου είναι 14 εκ. Υπολογίστε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος και ολόκληρης της επιφάνειας.
Λύση.Η βάση ενός πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, αλλά η πλευρά του δεν είναι γνωστή. Μπορείτε να βρείτε την τιμή του από τη διαγώνιο του τετραγώνου (x), που σχετίζεται με τη διαγώνιο του πρίσματος (d) και το ύψος του (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Από την άλλη, αυτό το τμήμα "x" είναι η υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο του οποίου τα σκέλη είναι ίσα με την πλευρά του τετραγώνου. Δηλαδή, x 2 \u003d a 2 + a 2. Έτσι, αποδεικνύεται ότι ένα 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Αντικαταστήστε τον αριθμό 22 αντί για d και αντικαταστήστε το "n" με την τιμή του - 14, αποδεικνύεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι 12 εκ. Τώρα είναι εύκολο να μάθετε την περιοχή βάσης: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Για να μάθετε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας, πρέπει να προσθέσετε διπλάσια τιμή από την περιοχή βάσης και να τετραπλασιάσετε την πλευρά. Το τελευταίο είναι εύκολο να βρεθεί με τον τύπο για ένα ορθογώνιο: πολλαπλασιάστε το ύψος του πολυέδρου και την πλευρά της βάσης. Δηλαδή, 14 και 12, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με 168 cm 2. Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος βρέθηκε να είναι 960 cm 2 .
Απάντηση.Το εμβαδόν βάσης του πρίσματος είναι 144 cm2. Ολόκληρη η επιφάνεια - 960 cm 2 .
Νο 2. Dana Στη βάση βρίσκεται ένα τρίγωνο με πλευρά 6 εκ. Στην περίπτωση αυτή, η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 10 εκ. Υπολογίστε τα εμβαδά: τη βάση και την πλάγια επιφάνεια.
Λύση.Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, η βάση του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Επομένως, το εμβαδόν του αποδεικνύεται ίσο με 6 τετραγωνικά επί ¼ και η τετραγωνική ρίζα του 3. Ένας απλός υπολογισμός οδηγεί στο αποτέλεσμα: 9√3 cm 2. Αυτή είναι η περιοχή μιας βάσης του πρίσματος.
Όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίδιες και είναι ορθογώνια με πλευρές 6 και 10 εκ. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν τους, αρκεί να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους αριθμούς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα επί τρία, γιατί το πρίσμα έχει τόσες ακριβώς πλευρικές όψεις. Στη συνέχεια, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας τυλίγεται 180 cm 2.
Απάντηση.Περιοχές: βάση - 9√3 cm 2, πλευρική επιφάνεια πρίσματος - 180 cm 2.