Προβλήματα με τις πυραμίδες. Σε αυτό το άρθρο θα συνεχίσουμε να εξετάζουμε τα προβλήματα με τις πυραμίδες. Δεν μπορούν να αποδοθούν σε καμία κατηγορία ή τύπο εργασιών και δεν μπορούν να δοθούν γενικές (αλγοριθμικές) συστάσεις για λύση. Απλώς οι υπόλοιπες εργασίες που δεν εξετάστηκαν νωρίτερα συλλέγονται εδώ.
Θα απαριθμήσω τη θεωρία που πρέπει να ανανεώσετε τη μνήμη σας πριν λύσετε: πυραμίδες, ιδιότητες ομοιότητας μορφών και σωμάτων, ιδιότητες κανονικών πυραμίδων, πυθαγόρειο θεώρημα, τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου (είναι το δεύτερο). Εξετάστε τα καθήκοντα:
Από τριγωνική πυραμίδα, του οποίου ο όγκος είναι 80, μια τριγωνική πυραμίδα αποκόπτεται από ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας και τη μέση γραμμή της βάσης. Βρείτε τον όγκο της αποκομμένης τριγωνικής πυραμίδας.
Ο όγκος μιας πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους της:
Αυτές οι πυραμίδες (πρωτότυπες και αποκομμένες) έχουν κοινό ύψος, επομένως οι όγκοι τους σχετίζονται με τα εμβαδά των βάσεων τους. Η μεσαία γραμμή από το αρχικό τρίγωνο κόβει ένα τρίγωνο του οποίου η περιοχή είναι τέσσερις φορές μικρότερη, δηλαδή:
Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό μπορείτε να βρείτε εδώ.
Αυτό σημαίνει ότι ο όγκος της πυραμίδας αποκοπής θα είναι τέσσερις φορές μικρότερος.
Άρα θα είναι ίσο με 20.
Απάντηση: 20
* ένα παρόμοιο πρόβλημα, χρησιμοποιείται ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου.
Ο όγκος μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι 15. Το επίπεδο διέρχεται από την πλευρά της βάσης αυτής της πυραμίδας και τέμνει την απέναντι πλευρική άκρη σε ένα σημείο που τη διαιρεί σε αναλογία 1: 2, μετρώντας από την κορυφή της πυραμίδας. Βρείτε τον μεγαλύτερο όγκο των πυραμίδων στις οποίες το επίπεδο χωρίζει την αρχική πυραμίδα.
Ας φτιάξουμε μια πυραμίδα και ας σημειώσουμε τις κορυφές.Ας σημειώσουμε το σημείο E στην άκρη AS, έτσι ώστε το AE να είναι διπλάσιο από το ES (η συνθήκη λέει ότι το ES σχετίζεται με το AE ως 1 έως 2) και να κατασκευάσουμε το υποδεικνυόμενο επίπεδο που διέρχεται από την άκρη AC και το σημείο E:
Ας αναλύσουμε τον όγκο ποιας πυραμίδας θα είναι μεγαλύτερη: EABC ή SEBC;
*Ο όγκος μιας πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους της:
Εάν λάβουμε υπόψη τις δύο πυραμίδες που προκύπτουν και πάρουμε την όψη EBC ως βάση και στις δύο, γίνεται προφανές ότι ο όγκος της πυραμίδας AEBS θα είναι περισσότερο όγκοΠυραμίδες SEBC. Γιατί;
Η απόσταση από το σημείο Α στο επίπεδο EBC είναι μεγαλύτερη από την απόσταση από το σημείο S. Και αυτή η απόσταση παίζει το ρόλο του ύψους για εμάς.
Λοιπόν, ας βρούμε τον όγκο της πυραμίδας EABC.
Ο όγκος της αρχικής πυραμίδας μας δίνεται· οι πυραμίδες SABC και EABC έχουν κοινή βάση. Αν καθορίσουμε την αναλογία των υψών, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε τον όγκο.
Από τον λόγο των τμημάτων ES και AE προκύπτει ότι το AE είναι ίσο με τα δύο τρίτα του ES. Τα ύψη των πυραμίδων SABC και EABC βρίσκονται στην ίδια σχέση -το ύψος της πυραμίδας EABC θα είναι ίσο με τα 2/3 του ύψους της πυραμίδας SABC.
Έτσι, εάν
Οτι
Απάντηση: 10
Σωστή ένταση εξαγωνική πυραμίδα 6. Η πλευρά της βάσης είναι 1. Βρείτε την πλαϊνή άκρη.
Σε μια κανονική πυραμίδα, η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.Ας κάνουμε επιπλέον κατασκευές:
Μπορούμε να βρούμε μια πλευρική άκρη από ορθογώνιο τρίγωνο SOC. Για να το κάνετε αυτό πρέπει να γνωρίζετε SO και OS.
SO είναι το ύψος της πυραμίδας, μπορούμε να το υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο όγκου:
Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν της βάσης. αυτό είναι ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρά ίση με 1. Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου είναι ίσο με το εμβαδόν έξι ισόπλευρων τριγώνων με την ίδια πλευρά, περισσότερα για αυτό (ενότητα 6), οπότε:
Που σημαίνει
OS = BC = 1, αφού σε ένα κανονικό εξάγωνο το τμήμα που συνδέει το κέντρο του με την κορυφή είναι ίσο με την πλευρά αυτού του εξαγώνου.
Έτσι, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Απάντηση: 7
Ενταση ΗΧΟΥΟ όγκος ενός τετραέδρου είναι 200. Να βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα μέσα των ακμών του δεδομένου τετραέδρου.
Ο όγκος του υποδεικνυόμενου πολυέδρου είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ των όγκων του αρχικού τετραέδρου V 0 και τεσσάρων ίσων τετραέδρων, καθένα από τα οποία προκύπτει με την αποκοπή ενός επιπέδου που διέρχεται από τα μεσαία σημεία των ακμών που έχουν κοινή κορυφή:
Ας προσδιορίσουμε τον όγκο του τετράεδρου αποκοπής.
Σημειώστε ότι το αρχικό τετράεδρο και το «αποκομμένο» τετράεδρο είναι παρόμοια σώματα. Είναι γνωστό ότι η αναλογία των όγκων ομοίων σωμάτων είναι ίση με k 3, όπου k είναι ο συντελεστής ομοιότητας. ΣΕ αυτή η υπόθεσηείναι ίσο με 2 (καθώς όλες οι γραμμικές διαστάσεις του αρχικού τετραέδρου είναι διπλάσιες από τις αντίστοιχες διαστάσεις του κομμένου):
Ας υπολογίσουμε τον όγκο του κομμένου τετραέδρου:
Έτσι, ο απαιτούμενος όγκος θα είναι ίσος με:
Απάντηση: 100
Το εμβαδόν επιφάνειας του τετραέδρου είναι 120. Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας του πολυεδρικού, του οποίου οι κορυφές είναι τα μέσα των άκρων του δεδομένου τετραέδρου.
Πρώτος τρόπος:
Η απαιτούμενη επιφάνεια αποτελείται από 8 ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρά το μισό του μεγέθους της άκρης του αρχικού τετραέδρου. Η επιφάνεια του αρχικού τετραέδρου αποτελείται από 16 τέτοια τρίγωνα (σε καθεμία από τις 4 όψεις του τετραέδρου υπάρχουν 4 τρίγωνα), επομένως η απαιτούμενη περιοχή είναι ίση με το μισό της επιφάνειας του δεδομένου τετραέδρου και είναι ίση με 60.
Δεύτερος τρόπος:
Δεδομένου ότι το εμβαδόν της επιφάνειας του τετραέδρου είναι γνωστό, μπορούμε να βρούμε την άκρη του, στη συνέχεια να προσδιορίσουμε το μήκος της άκρης του πολυεδρικού και στη συνέχεια να υπολογίσουμε το εμβαδόν επιφάνειάς του.
Η επιφάνεια ενός τετραέδρου αποτελείται από τέσσερα κανονικά τρίγωνα ίσου εμβαδού. Αφήστε την πλευρά ενός τέτοιου τριγώνου (ακμή του τετραέδρου) να είναι ίση με a, τότε μπορούμε να γράψουμε:
Αυτό είναι όλο. Καλή σου τύχη!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Ένα σχέδιο είναι το πρώτο και πολύ σημαντικό βήμα για την επίλυση ενός γεωμετρικού προβλήματος. Πώς πρέπει να μοιάζει το σχέδιο μιας κανονικής πυραμίδας;
Πρώτα να θυμηθούμε ιδιότητες παράλληλου σχεδιασμού:
- τα παράλληλα τμήματα ενός σχήματος απεικονίζονται από παράλληλα τμήματα.
— διατηρείται ο λόγος των μηκών των τμημάτων των παράλληλων ευθειών και των τμημάτων μιας ευθείας.
Σχέδιο κανονικής τριγωνικής πυραμίδας
Αρχικά σχεδιάζουμε τη βάση. Δεδομένου ότι κατά τον παράλληλο σχεδιασμό οι γωνίες και οι λόγοι των μηκών των μη παράλληλων τμημάτων δεν διατηρούνται, το κανονικό τρίγωνο στη βάση της πυραμίδας απεικονίζεται ως αυθαίρετο τρίγωνο.
Το κέντρο ενός κανονικού τριγώνου είναι το σημείο τομής των διάμεσων του τριγώνου. Δεδομένου ότι οι διάμεσοι στο σημείο τομής χωρίζονται σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή, συνδέουμε νοερά την κορυφή της βάσης με τη μέση της απέναντι πλευράς, τη χωρίζουμε περίπου σε τρία μέρη και τοποθετούμε ένα σημείο στο απόσταση 2 μερών από την κορυφή. Από αυτό το σημείο σχεδιάζουμε μια κάθετη προς τα πάνω. Αυτό είναι το ύψος της πυραμίδας. Σχεδιάστε μια κάθετη τέτοιου μήκους ώστε η πλευρική άκρη να μην καλύπτει την εικόνα του ύψους.
Σχέδιο κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας
Αρχίζουμε επίσης να σχεδιάζουμε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα από τη βάση. Δεδομένου ότι ο παραλληλισμός των τμημάτων διατηρείται, αλλά οι τιμές των γωνιών δεν είναι, το τετράγωνο στη βάση απεικονίζεται ως παραλληλόγραμμο. Κατά προτίμηση αιχμηρή γωνίακάντε αυτό το παραλληλόγραμμο μικρότερο, τότε οι πλευρικές όψεις θα είναι μεγαλύτερες. Το κέντρο ενός τετραγώνου είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Σχεδιάζουμε διαγώνιες και επαναφέρουμε μια κάθετη από το σημείο τομής. Αυτή η κάθετη είναι το ύψος της πυραμίδας. Επιλέγουμε το μήκος της καθέτου ώστε οι πλευρικές νευρώσεις να μην ενώνονται μεταξύ τους.
Σχέδιο κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας
Δεδομένου ότι κατά τον παράλληλο σχεδιασμό διατηρείται ο παραλληλισμός των τμημάτων, η βάση μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας - ένα κανονικό εξάγωνο - απεικονίζεται ως ένα εξάγωνο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και ίσες. Το κέντρο ενός κανονικού εξαγώνου είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Για να μην ακατασταθεί το σχέδιο, δεν σχεδιάζουμε διαγώνιες, αλλά βρίσκουμε αυτό το σημείο κατά προσέγγιση. Από αυτό επαναφέρουμε την κάθετη - το ύψος της πυραμίδας - έτσι ώστε οι πλευρικές νευρώσεις να μην συγχωνεύονται μεταξύ τους.
Ο υπολογισμός των όγκων των χωρικών σχημάτων είναι ένα από τα σημαντικά καθήκονταστερεομετρία. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε το ζήτημα του προσδιορισμού του όγκου ενός πολυέδρου όπως μια πυραμίδα, και επίσης θα δώσουμε ένα εξαγωνικό κανονικό.
Εξαγωνική πυραμίδα
Αρχικά, ας δούμε ποιο είναι το σχήμα που θα συζητηθεί στο άρθρο.
Ας έχουμε ένα αυθαίρετο εξάγωνο, οι πλευρές του οποίου δεν είναι απαραίτητα ίσες μεταξύ τους. Ας υποθέσουμε επίσης ότι επιλέξαμε ένα σημείο στο χώρο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο του εξαγώνου. Συνδέοντας όλες τις γωνίες του τελευταίου με το επιλεγμένο σημείο, παίρνουμε μια πυραμίδα. Δύο διαφορετικές πυραμίδες, με εξαγωνική βάση, φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Φαίνεται ότι εκτός από το εξάγωνο, το σχήμα αποτελείται από έξι τρίγωνα, το σημείο σύνδεσης των οποίων ονομάζεται κορυφή. Η διαφορά μεταξύ των εικονιζόμενων πυραμίδων είναι ότι το ύψος h της δεξιάς δεν τέμνει την εξαγωνική βάση στο γεωμετρικό της κέντρο, ενώ το ύψος του αριστερού σχήματος πέφτει ακριβώς σε αυτό το κέντρο. Χάρη σε αυτό το κριτήριο, η αριστερή πυραμίδα ονομάστηκε ευθεία και η δεξιά πυραμίδα ονομαζόταν κεκλιμένη.
Δεδομένου ότι η βάση του αριστερού σχήματος στο σχήμα σχηματίζεται από ένα εξάγωνο με ίσες πλευρές και γωνίες, ονομάζεται κανονική. Περαιτέρω στο άρθρο θα μιλήσουμε μόνο για αυτήν την πυραμίδα.
Για τον υπολογισμό του όγκου μιας αυθαίρετης πυραμίδας, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:
Εδώ h είναι το μήκος του ύψους του σχήματος, S o είναι το εμβαδόν της βάσης του. Ας χρησιμοποιήσουμε αυτή την έκφραση για να προσδιορίσουμε τον όγκο μιας εξαγωνικής κανονικής πυραμίδας.
Δεδομένου ότι η βάση του εν λόγω σχήματος είναι ένα ισόπλευρο εξάγωνο, για να υπολογίσετε το εμβαδόν του μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη γενική έκφραση για ένα n-gon:
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Εδώ το n είναι ένας ακέραιος αριθμός ίσος με τον αριθμό των πλευρών (γωνιών) του πολυγώνου, a είναι το μήκος της πλευράς του, η συνεφαπτομένη συνάρτηση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους πίνακες.
Εφαρμόζοντας την έκφραση για n = 6, παίρνουμε:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Τώρα το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση γενικός τύποςγια τον τόμο V:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Έτσι, για να υπολογίσουμε τον όγκο της εν λόγω πυραμίδας, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις δύο γραμμικές παραμέτρους της: το μήκος της πλευράς της βάσης και το ύψος του σχήματος.
Παράδειγμα λύσης προβλήματος
Ας δείξουμε πώς η προκύπτουσα έκφραση για το V 6 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του παρακάτω προβλήματος.
Είναι γνωστό ότι ο σωστός όγκος είναι 100 cm 3 . Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η πλευρά της βάσης και το ύψος του σχήματος εάν είναι γνωστό ότι σχετίζονται μεταξύ τους με την ακόλουθη ισότητα:
Δεδομένου ότι ο τύπος για τον όγκο περιλαμβάνει μόνο το a και το h, μπορείτε να αντικαταστήσετε οποιαδήποτε από αυτές τις παραμέτρους, εκφρασμένες ως προς την άλλη. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας το a, παίρνουμε:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Για να βρείτε το ύψος μιας φιγούρας, πρέπει να πάρετε την τρίτη ρίζα του όγκου, η οποία αντιστοιχεί στη διάσταση του μήκους. Αντικαθιστούμε την τιμή του όγκου V 6 της πυραμίδας από τις προβληματικές συνθήκες, παίρνουμε το ύψος:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Δεδομένου ότι η πλευρά της βάσης, σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, είναι διπλάσια από την τιμή που βρέθηκε, λαμβάνουμε την τιμή για αυτήν:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm
Ο όγκος μιας εξαγωνικής πυραμίδας μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω του ύψους του σχήματος και της αξίας της πλευράς της βάσης της. Αρκεί να γνωρίζουμε δύο διαφορετικές γραμμικές παραμέτρους της πυραμίδας για να την υπολογίσουμε, για παράδειγμα, το απόθεμα και το μήκος της πλευρικής ακμής.
Οι πυραμίδες είναι: τριγωνικές, τετράγωνες κ.λπ., ανάλογα με το ποια είναι η βάση - τρίγωνο, τετράγωνο κ.λπ.
Μια πυραμίδα ονομάζεται κανονική (Εικ. 286, β) εάν, πρώτον, η βάση της είναι ένα κανονικό πολύγωνο και, δεύτερον, το ύψος της διέρχεται από το κέντρο αυτού του πολυγώνου.
Διαφορετικά, η πυραμίδα ονομάζεται ακανόνιστη (Εικ. 286, γ). Σε μια κανονική πυραμίδα, όλες οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες μεταξύ τους (όπως οι λοξές με ίσες προεξοχές). Επομένως, όλες οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα.
Ανάλυση των στοιχείων μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας και απεικόνισή τους σε σύνθετο σχέδιο (Εικ. 287).
α) Σύνθετο σχέδιο κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας. Η βάση της πυραμίδας βρίσκεται στο επίπεδο P 1. δύο πλευρές της βάσης της πυραμίδας είναι παράλληλες με το επίπεδο προβολής P 2.
β) Η βάση ABCDEF είναι ένα εξάγωνο που βρίσκεται στο επίπεδο προβολής P 1.
γ) Η πλευρική όψη του ASF είναι ένα τρίγωνο που βρίσκεται στο γενικό επίπεδο.
δ) Η πλευρική όψη του FSE είναι ένα τρίγωνο που βρίσκεται στο επίπεδο προβολής προφίλ.
ε) Το άκρο SE είναι ένα τμήμα σε γενική θέση.
στ) Rib SA - μετωπικό τμήμα.
ζ) Η κορυφή S της πυραμίδας είναι ένα σημείο στο διάστημα.
Τα Σχήματα 288 και 289 δείχνουν παραδείγματα διαδοχικών γραφικών πράξεων κατά την εκτέλεση σύνθετου σχεδίου και οπτικών εικόνων (αξονομετρία) των πυραμίδων.
Δεδομένος:
1. Η βάση βρίσκεται στο επίπεδο P 1.
2. Μία από τις πλευρές της βάσης είναι παράλληλη με τον άξονα x 12.
Ι. Σύνθετο σχέδιο.
Εγώ, α. Σχεδιάζουμε τη βάση της πυραμίδας - ένα πολύγωνο, σύμφωνα με αυτή η συνθήκηπου βρίσκεται στο αεροπλάνο P1.
Σχεδιάζουμε μια κορυφή - ένα σημείο που βρίσκεται στο χώρο. Το ύψος του σημείου S είναι ίσο με το ύψος της πυραμίδας. Η οριζόντια προβολή S 1 του σημείου S θα βρίσκεται στο κέντρο της προβολής της βάσης της πυραμίδας (κατά συνθήκη).
Ι, β. Σχεδιάζουμε τις άκρες της πυραμίδας - τμήματα. Για να γίνει αυτό, συνδέουμε τις προεξοχές των κορυφών της βάσης ABCDE με τις αντίστοιχες προεξοχές της κορυφής της πυραμίδας S με ευθείες γραμμές. Απεικονίζουμε τις μετωπικές προεξοχές S 2 C 2 και S 2 D 2 των άκρων της πυραμίδας με διακεκομμένες γραμμές, ως αόρατες, κλειστές από τα άκρα της πυραμίδας (SА και SAE).
Ι, γ. Με δεδομένη την οριζόντια προβολή K 1 του σημείου K στην πλευρική όψη του SBA, πρέπει να βρείτε την μετωπική του προβολή. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε μια βοηθητική γραμμή S 1 F 1 μέσω των σημείων S 1 και K 1 , βρείτε την μετωπική της προβολή και πάνω της, χρησιμοποιώντας μια κατακόρυφη γραμμή σύνδεσης, καθορίστε τη θέση της επιθυμητής μετωπικής προβολής K 2 του σημείου K .
II. Η ανάπτυξη της επιφάνειας μιας πυραμίδας είναι μια επίπεδη φιγούρα που αποτελείται από πλευρικές όψεις - πανομοιότυπα ισοσκελή τρίγωνα, η μία πλευρά των οποίων είναι ίση με την πλευρά της βάσης και οι άλλες δύο - στα πλάγια άκρα και από ένα κανονικό πολύγωνο - η βάση.
Οι φυσικές διαστάσεις των πλευρών της βάσης αποκαλύπτονται στην οριζόντια προβολή της. Οι φυσικές διαστάσεις των νευρώσεων δεν αποκαλύφθηκαν στις προεξοχές.
Υποτείνουσα S 2 ¯A 2 (Εικ. 288, 1
, β) ένα ορθογώνιο τρίγωνο S 2 O 2 ¯A 2 , στο οποίο το μεγάλο σκέλος είναι ίσο με το ύψος S 2 O 2 της πυραμίδας και το μικρό σκέλος ίσο με την οριζόντια προβολή της ακμής S 1 A 1 είναι το φυσικό μέγεθος της άκρης της πυραμίδας. Η κατασκευή του σκουπίσματος πρέπει να γίνει με την ακόλουθη σειρά:
α) από ένα αυθαίρετο σημείο S (κορυφή) σχεδιάζουμε ένα τόξο ακτίνας R ίσο με την άκρη της πυραμίδας.
β) στο τραβηγμένο τόξο θα βάλουμε πέντε χορδές μεγέθους R 1 ίσες με την πλευρά της βάσης.
γ) Συνδέστε τα σημεία D, C, B, A, E, D με ευθείες γραμμές μεταξύ τους και με το σημείο S, παίρνουμε πέντε ισοσκελές ίσα τρίγωνα, που αποτελεί την ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας αυτής της πυραμίδας, κομμένη κατά μήκος της άκρης SD.
δ) στερεώνουμε τη βάση της πυραμίδας - ένα πεντάγωνο - σε οποιαδήποτε όψη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγωνισμού, για παράδειγμα στην όψη DSE.
Η μεταφορά του σημείου K στη σάρωση πραγματοποιείται με μια βοηθητική ευθεία γραμμή χρησιμοποιώντας τη διάσταση B 1 F 1 που λαμβάνεται στην οριζόντια προβολή και τη διάσταση A 2 K 2 που λαμβάνεται στο φυσικό μέγεθος της πλευράς.
III. Μια οπτική αναπαράσταση μιας πυραμίδας στην ισομετρία.
III, α. Απεικονίζουμε τη βάση της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες σύμφωνα με (Εικ. 288, 1
, ΕΝΑ).
Απεικονίζουμε την κορυφή της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες σύμφωνα με (Εικ. 288, 1
, ΕΝΑ).
III, β. Απεικονίζουμε τις πλευρικές άκρες της πυραμίδας, συνδέοντας την κορυφή με τις κορυφές της βάσης. Η άκρη S"D" και οι πλευρές της βάσης C"D" και D"E" απεικονίζονται με διακεκομμένες γραμμές, ως αόρατες, κλειστές από τις ακμές της πυραμίδας C"S"B", B"S"A" και Α"Σ"Ε".
III, e. Προσδιορίζουμε το σημείο Κ στην επιφάνεια της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τις διαστάσεις y F και x K. Για μια διμετρική εικόνα μιας πυραμίδας, θα πρέπει να ακολουθηθεί η ίδια σειρά.
Εικόνα μιας ακανόνιστης τριγωνικής πυραμίδας.
Δεδομένος:
1. Η βάση βρίσκεται στο επίπεδο P 1.
2. Η πλευρά BC της βάσης είναι κάθετη στον άξονα Χ.
Ι. Σύνθετο σχέδιο
Εγώ, α. Σχεδιάζοντας τη βάση της πυραμίδας - ισοσκελές τρίγωνο, που βρίσκεται στο επίπεδο P 1, και η κορυφή S είναι ένα σημείο που βρίσκεται στο χώρο, το ύψος του οποίου είναι ίσο με το ύψος της πυραμίδας.
Ι, β. Σχεδιάζουμε τα άκρα της πυραμίδας - τμήματα, για τα οποία συνδέουμε ευθείες γραμμές ομώνυμων προεξοχών των κορυφών της βάσης με τις ομώνυμες προεξοχές της κορυφής της πυραμίδας. Απεικονίζουμε την οριζόντια προβολή της πλευράς της βάσης του αεροσκάφους με διακεκομμένη γραμμή, ως αόρατη, που καλύπτεται από δύο όψεις της πυραμίδας ABS, ACS.
Ι, γ. Στην μετωπική προβολή A 2 C 2 S 2 της πλευρικής όψης, δίνεται η προβολή D 2 του σημείου D. Απαιτείται να βρεθεί η οριζόντια προβολή του. Για να γίνει αυτό, μέσω του σημείου D 2 σχεδιάζουμε μια βοηθητική γραμμή παράλληλη προς τον άξονα x 12 - την μετωπική προβολή της οριζόντιας, στη συνέχεια βρίσκουμε την οριζόντια προβολή της και σε αυτήν, χρησιμοποιώντας μια κατακόρυφη γραμμή σύνδεσης, προσδιορίζουμε τη θέση της επιθυμητής οριζόντια προβολή Δ 1 του σημείου Δ.
II. Κατασκευή σκουπίσματος πυραμίδας.
Οι φυσικές διαστάσεις των πλευρών της βάσης αποκαλύπτονται στην οριζόντια προβολή. Το φυσικό μέγεθος της πλευράς AS αποκαλύπτεται στην μετωπική προβολή. Δεν υπάρχουν ακμές φυσικού μεγέθους BS και CS στις προεξοχές· το μέγεθος αυτών των άκρων αποκαλύπτεται περιστρέφοντάς τις γύρω από τον άξονα i κάθετα στο επίπεδο P1 που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας S. Η νέα μετωπική προβολή ¯C 2 S 2 είναι η φυσική τιμή του άκρου CS .
Η ακολουθία κατασκευής μιας ανάπτυξης της επιφάνειας της πυραμίδας:
α) σχεδιάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο - όψη CSB, η βάση του οποίου είναι ίση με την πλευρά της βάσης της πυραμίδας CB και οι πλευρές είναι ίσες με το φυσικό μέγεθος της άκρης SC.
β) συνδέουμε δύο τρίγωνα στις πλευρές SC και SB του κατασκευασμένου τριγώνου - τις όψεις της πυραμίδας CSA και BSA, και στη βάση CB του κατασκευασμένου τριγώνου - τη βάση CBA της πυραμίδας, ως αποτέλεσμα λαμβάνουμε μια πλήρη ανάπτυξη της επιφάνειας αυτής της πυραμίδας.
Η μεταφορά του σημείου D στη σάρωση πραγματοποιείται με την ακόλουθη σειρά: πρώτα, στη σάρωση του ASC της πλευρικής όψης, σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή χρησιμοποιώντας το μέγεθος R 1 και, στη συνέχεια, καθορίστε τη θέση του σημείου D στην οριζόντια γραμμή χρησιμοποιώντας το μέγεθος R 2.
III. Μια οπτική αναπαράσταση της πυραμίδας και της μετωπικής διμετρικής προβολής
III, α. Απεικονίζουμε τη βάση A"B"C και την κορυφή S" της πυραμίδας, χρησιμοποιώντας συντεταγμένες σύμφωνα με (
Οδηγίες
Δεδομένης μιας τετραγωνικής βάσης μιας πυραμίδας με γνωστό μήκος πλευράς (a) και δεδομένο όγκο (V), αντικαταστήστε το εμβαδόν στον τύπο υπολογισμού από προηγούμενο βήμαανά μήκος πλευράς στο τετράγωνο: H = 3*V/a².
Ο τύπος από το πρώτο βήμα μπορεί να μετασχηματιστεί για να υπολογιστεί το ύψος (Η) μιας κανονικής πυραμίδας με βάση οποιουδήποτε σχήματος. Τα αρχικά δεδομένα που πρέπει να εμπλέκονται σε αυτό είναι ο όγκος (V) του πολυέδρου, το μήκος της ακμής στη βάση (a) και ο αριθμός των κορυφών στη βάση (n). Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου καθορίζεται από το ένα τέταρτο του γινόμενου του αριθμού των κορυφών από το τετράγωνο του μήκους της πλευράς και την συνεφαπτομένη της γωνίας, ίσο με τον λόγο 180° και τον αριθμό των κορυφών: ¼* n*a²*ctg(180°/n). Αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση στον τύπο από το πρώτο βήμα: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .
Εάν η περιοχή της βάσης είναι άγνωστη από τις συνθήκες του προβλήματος και δίνονται μόνο ο όγκος (V) και το μήκος της άκρης (a), τότε η μεταβλητή που λείπει στον τύπο από το προηγούμενο βήμα μπορεί να αντικατασταθεί με το ισοδύναμό του, εκφρασμένο ως προς το μήκος της άκρης. Το εμβαδόν (όπως θυμάστε, βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας του εν λόγω τύπου) είναι ίσο με το ένα τέταρτο του γινομένου τετραγωνική ρίζααπό τριπλό στο τετράγωνο μήκος πλευράς. Αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση αντί για το εμβαδόν της βάσης στον τύπο από το προηγούμενο βήμα και λάβετε το ακόλουθο αποτέλεσμα: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).
Δεδομένου ότι ο όγκος ενός τετραέδρου μπορεί επίσης να εκφραστεί ως προς το μήκος της ακμής, όλες οι μεταβλητές μπορούν να αφαιρεθούν από τον τύπο για τον υπολογισμό του ύψους ενός σχήματος, αφήνοντας μόνο την πλευρά της όψης του. Ο όγκος αυτής της πυραμίδας υπολογίζεται διαιρώντας με το 12 το γινόμενο της τετραγωνικής ρίζας του δύο με το μήκος του προσώπου σε κύβους. Αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση στον τύπο από το προηγούμενο βήμα και λάβετε το αποτέλεσμα: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.
Το σωστό πρίσμαμπορεί να εγγραφεί σε μια σφαίρα, και γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα της (R) μπορεί κανείς να υπολογίσει το τετράεδρο. Το μήκος της ακμής είναι ίσο με το τετραπλάσιο του λόγου της ακτίνας και της τετραγωνικής ρίζας του έξι. Αντικαταστήστε τη μεταβλητή a στον τύπο από το προηγούμενο βήμα με αυτήν την παράσταση και λάβετε την ισότητα: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
Ένας παρόμοιος τύπος μπορεί να ληφθεί γνωρίζοντας την ακτίνα (r) του κύκλου που εγγράφεται στο τετράεδρο. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος της ακμής θα είναι ίσο με δώδεκα λόγους μεταξύ της ακτίνας και του τετραγώνου του έξι. Αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση στον τύπο από το τρίτο βήμα: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.
Η πυραμίδα είναι μια από τις πιο μυστικιστικές μορφές στη γεωμετρία. Ρεύματα κοσμικής ενέργειας συνδέονται με αυτό· πολλοί αρχαίοι λαοί επέλεξαν τη συγκεκριμένη μορφή για την κατασκευή των θρησκευτικών τους κτιρίων. Ωστόσο, από μαθηματική άποψη, μια πυραμίδα είναι απλώς ένα πολύεδρο, με ένα πολύγωνο στη βάση και οι όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή. Ας δούμε πώς να βρούμε τετράγωνο άκρα V πυραμίδα.
Θα χρειαστείτε
- αριθμομηχανή.
Οδηγίες
Τύποι πυραμίδων: κανονικές (στη βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο και οι κορυφές στο κέντρο του), αυθαίρετες (στη βάση είναι οποιοδήποτε πολύγωνο και η προβολή της κορυφής δεν συμπίπτει απαραίτητα με το κέντρο της), ορθογώνια (μία από οι πλευρικές άκρες κάνουν ορθή γωνία με τη βάση) και . Ανάλογα με τις πλευρές του πολυγώνου στη βάση της πυραμίδας, ονομάζεται τριών, τεσσάρων, πέντε ή, για παράδειγμα, δεκαγωνικού.
Για όλους τους τύπους πυραμίδων, εκτός από τις κολοβωμένες: Πολλαπλασιάστε τα μήκη της βάσης του τριγώνου και το ύψος που έχει χαμηλώσει πάνω της από την κορυφή της πυραμίδας. Διαιρέστε το προϊόν που προκύπτει κατά 2 - αυτό θα είναι το επιθυμητό τετράγωνοπλευρά άκραπυραμίδες.
Κόλουρη πυραμίδα Διπλώστε και τις δύο βάσεις του τραπεζοειδούς, που είναι η όψη μιας τέτοιας πυραμίδας. Διαιρέστε το ποσό που προκύπτει με δύο. Πολλαπλασιάστε την τιμή που προκύπτει με το ύψος άκρα-τραπέζιο. Η τιμή που προκύπτει είναι τετράγωνοπλευρά άκραπυραμίδες αυτού του τύπου.
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας και της βάσης, η περίμετρος της βάσης της πυραμίδας και ο όγκος της συνδέονται με ορισμένους τύπους. Αυτό μερικές φορές καθιστά δυνατό τον υπολογισμό των τιμών των δεδομένων που λείπουν που είναι απαραίτητα για τον προσδιορισμό της περιοχής μιας όψης στην πυραμίδα.
Ο όγκος οποιασδήποτε μη κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του ύψους της πυραμίδας και του εμβαδού της βάσης. Για μια κανονική πυραμίδα, είναι αλήθεια: η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας είναι ίση με το μισό της περιμέτρου της βάσης πολλαπλασιαζόμενη με το ύψος μιας από τις όψεις. Κατά τον υπολογισμό του όγκου μιας κολοβωμένης πυραμίδας, αντί για το εμβαδόν της βάσης, αντικαταστήστε την τιμή ίσο με το άθροισματα εμβαδά των άνω και κάτω βάσεων και την τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους.
Πηγές:
- Στερεομετρία
- πώς να βρείτε την πλαϊνή όψη μιας πυραμίδας
Μια πυραμίδα ονομάζεται ορθογώνια αν μια από τις άκρες της είναι κάθετη στη βάση της, δηλαδή βρίσκεται σε γωνία 90˚. Αυτή η άκρη είναι επίσης το ύψος της ορθογώνιας πυραμίδας. Ο τύπος για τον όγκο μιας πυραμίδας αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη.
Θα χρειαστείτε
- - στυλό
- - χαρτί?
- - αριθμομηχανή.
Οδηγίες
Σε ορθογώνιο ύψος θα υπάρχει η άκρη του, η οποία βρίσκεται σε γωνία 90˚ ως προς τη βάση. Όπως, το εμβαδόν της ορθογώνιας βάσης συμβολίζεται ως S και το ύψος, το οποίο είναι επίσης πυραμίδες, − η. Στη συνέχεια, για να βρείτε τον όγκο αυτού πυραμίδες, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το εμβαδόν της βάσης του με το ύψος του και να διαιρέσουμε με το 3. Έτσι, ο όγκος ενός ορθογώνιου πυραμίδεςυπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: V=(S*h)/3.
Κατασκευάστε ακολουθώντας τις δεδομένες παραμέτρους. Σημειώστε τη βάση του με λατινικό ABCDE και την κορυφή του πυραμίδες- S. Επειδή το σχέδιο θα είναι σε επίπεδο προβολής, για να μην μπερδευτείτε, υποδείξτε τα δεδομένα που ήδη γνωρίζετε: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².
Υπολογίστε τον όγκο ενός ορθογώνιου πυραμίδες, χρησιμοποιώντας τον τύπο. Αντικαθιστώντας τα δεδομένα και κάνοντας υπολογισμούς, αποδεικνύεται ότι ο όγκος ενός ορθογώνιου πυραμίδεςθα ισούται με: V=(45*30)/3=cm³.
Εάν η δήλωση προβλήματος δεν περιέχει δεδομένα για και ύψος πυραμίδες, τότε πρέπει να πραγματοποιήσετε πρόσθετους υπολογισμούς για να λάβετε αυτές τις τιμές. Το εμβαδόν της βάσης θα υπολογιστεί ανάλογα με το αν το πολύγωνο βρίσκεται στη βάση του.
Υψος πυραμίδεςΜάθετε εάν γνωρίζετε την υποτείνουσα οποιουδήποτε από τα ορθογώνια EDS ή EAS και τη γωνία με την οποία η πλευρική όψη SD ή SA έχει κλίση στη βάση της. Υπολογίστε το σκέλος SE χρησιμοποιώντας το ημιτονικό θεώρημα. Θα είναι το ύψος του ορθογώνιου πυραμίδες.
Σημείωση
Όταν υπολογίζετε μεγέθη όπως ύψος, όγκος, εμβαδόν, θα πρέπει να θυμάστε ότι καθένα από αυτά έχει τη δική του μονάδα μέτρησης. Έτσι, το εμβαδόν μετριέται σε cm², το ύψος σε cm και ο όγκος σε cm3.
Ένα κυβικό εκατοστό είναι μια μονάδα όγκου που ισούται με τον όγκο ενός κύβου με μήκος άκρης 1 cm. Αν αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο μας, παίρνουμε: cm³= (cm²*cm)/3.
Χρήσιμες συμβουλές
Κατά κανόνα, εάν το πρόβλημα απαιτεί την εύρεση του όγκου μιας ορθογώνιας πυραμίδας, τότε είναι γνωστά όλα τα απαραίτητα δεδομένα - τουλάχιστον για να βρεθεί η περιοχή της βάσης και το ύψος του σχήματος.