Αυτό το μάθημα προορίζεται για αυτοδιδασκαλίαςθέμα «Διεδρική γωνία». Σε αυτό το μάθημα, οι μαθητές θα εξοικειωθούν με ένα από τα πιο σημαντικά γεωμετρικά σχήματα, τη δίεδρη γωνία. Επίσης στο μάθημα θα μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε τη γραμμική γωνία του εξεταζόμενου γεωμετρικό σχήμακαι ποια είναι η δίεδρη γωνία στη βάση του σχήματος.
Ας επαναλάβουμε τι είναι μια γωνία σε ένα επίπεδο και πώς μετριέται.
Ρύζι. 1. Αεροπλάνο
Ας εξετάσουμε το επίπεδο α (Εικ. 1). Από σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕδύο ακτίνες εκπέμπονται - OBΚαι ΟΑ.
Ορισμός. Ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο ακτίνες που εκπέμπονται από ένα σημείο ονομάζεται γωνία.
Η γωνία μετριέται σε μοίρες και ακτίνια.
Ας θυμηθούμε τι είναι το radian.
Ρύζι. 2. Ακτίνα
Αν έχουμε μια κεντρική γωνία της οποίας το μήκος του τόξου είναι ίσο με την ακτίνα, τότε μια τέτοια κεντρική γωνία ονομάζεται γωνία 1 ακτινίου. ,∠ AOB= 1 rad (Εικ. 2).
Σχέση μεταξύ ακτίνων και μοιρών.
χαρούμενος.
Το καταλάβαμε, χαίρομαι. (). Επειτα, 
Ορισμός. Δίεδρος γωνίαονομάζεται ένα σχήμα που σχηματίζεται από ευθεία γραμμή ΕΝΑκαι δύο ημιεπίπεδα με κοινό όριο ΕΝΑ, που δεν ανήκουν στο ίδιο αεροπλάνο.
Ρύζι. 3. Ημιπλάνα
Ας εξετάσουμε δύο ημιεπίπεδα α και β (Εικ. 3). Το κοινό τους σύνορο είναι ΕΝΑ. Αυτό το σχήμα ονομάζεται διεδρική γωνία.
Ορολογία
Ημιεπίπεδα α και β είναι οι όψεις μιας διεδρικής γωνίας.
Ευθεία ΕΝΑείναι ένα άκρο μιας διεδρικής γωνίας.
Σε μια κοινή άκρη ΕΝΑδιεδρική γωνία, επιλέξτε ένα αυθαίρετο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(Εικ. 4). Στο ημιεπίπεδο α από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕεπαναφέρετε την κάθετο ΟΑσε ευθεία γραμμή ΕΝΑ. Από το ίδιο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕστο δεύτερο ημιεπίπεδο β κατασκευάζουμε κάθετο OBστην ακρη ΕΝΑ. Έχει μια γωνία AOB, που ονομάζεται γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας.
Ρύζι. 4. Μέτρηση διεδρικής γωνίας
Ας αποδείξουμε την ισότητα όλων των γραμμικών γωνιών για μια δεδομένη διεδρική γωνία.
Ας έχουμε μια δίεδρη γωνία (Εικ. 5). Ας διαλέξουμε ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕκαι περίοδος Ο 1σε ευθεία γραμμή ΕΝΑ. Ας κατασκευάσουμε μια γραμμική γωνία που αντιστοιχεί στο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, δηλαδή σχεδιάζουμε δύο κάθετες ΟΑΚαι OBστα επίπεδα α και β αντίστοιχα προς την άκρη ΕΝΑ. Καταλαβαίνουμε τη γωνία AOB- γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας.
Ρύζι. 5. Απεικόνιση απόδειξης
Από σημείο Ο 1ας σχεδιάσουμε δύο κάθετες ΟΑ 1Και OB 1στην ακρη ΕΝΑστα επίπεδα α και β αντίστοιχα και παίρνουμε τη δεύτερη γραμμική γωνία Α 1 Ο 1 Β 1.
Ακτίνες Ο 1 Α 1Και ΟΑομοκατευθυντικά, αφού βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο και είναι παράλληλα μεταξύ τους σαν δύο κάθετες στην ίδια ευθεία ΕΝΑ.
Ομοίως, ακτίνες Περίπου 1 σε 1Και OBσυνσκηνοθετούνται, που σημαίνει ∠ AOB =∠ Α 1 Ο 1 Β 1ως γωνίες με συνκατευθυντικές πλευρές, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.
Το επίπεδο της γραμμικής γωνίας είναι κάθετο στο άκρο της διεδρικής γωνίας.
Αποδεικνύω: ΕΝΑ ⊥ AOB.
Ρύζι. 6. Απεικόνιση απόδειξης
Απόδειξη:
ΟΑ ⊥ ΕΝΑαπό κατασκευή, OB ⊥ ΕΝΑαπό κατασκευή (Εικ. 6).
Διαπιστώνουμε ότι η γραμμή ΕΝΑκάθετη σε δύο τεμνόμενες ευθείες ΟΑΚαι OBεκτός αεροπλάνου AOB, που σημαίνει ότι είναι ίσιο ΕΝΑκάθετο στο επίπεδο OAV, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Μια διεδρική γωνία μετριέται από τη γραμμική γωνία της. Αυτό σημαίνει ότι όσες μοίρες ακτίνια περιέχονται σε μια γραμμική γωνία, ο ίδιος αριθμός μοιρών ακτίνων περιέχονται στη διεδρική γωνία της. Σύμφωνα με αυτό, διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι διεδρικών γωνιών.
Οξεία (Εικ. 6)
Μια διεδρική γωνία είναι οξεία αν η γραμμική γωνία της είναι οξεία, δηλ. .
Ευθεία (Εικ. 7)
Μια διεδρική γωνία είναι ορθή όταν η γραμμική γωνία της είναι 90° - Αμβλεία (Εικ. 8)
Μια διεδρική γωνία είναι αμβλεία όταν η γραμμική της γωνία είναι αμβλεία, δηλ. 
.
Ρύζι. 7. Ορθή γωνία
Ρύζι. 8. Αμβλεία γωνία
Παραδείγματα κατασκευής γραμμικών γωνιών σε πραγματικά σχήματα
αλφάβητορε- τετράεδρο.
1. Κατασκευάστε μια γραμμική γωνία μιας διεδρικής γωνίας με μια άκρη ΑΒ.
Ρύζι. 9. Εικονογράφηση για το πρόβλημα
Κατασκευή:
Μιλάμε για μια δίεδρη γωνία που σχηματίζεται από μια άκρη ΑΒκαι άκρες ΑΒρεΚαι αλφάβητο(Εικ. 9).
Ας κάνουμε ένα άμεσο ρεΝκάθετο στο επίπεδο αλφάβητο, Ν- η βάση της κάθετης. Ας σχεδιάσουμε ένα κεκλιμένο ρεΜκάθετη σε ευθεία γραμμή AB,Μ- κεκλιμένη βάση. Με το θεώρημα των τριών καθέτων συμπεραίνουμε ότι η προβολή μιας πλάγιας NMεπίσης κάθετα στη γραμμή ΑΒ.
Δηλαδή από το σημείο Μαποκαθίστανται δύο κάθετες προς την άκρη ΑΒσε δύο πλευρές ΑΒρεΚαι αλφάβητο. Πήραμε τη γραμμική γωνία ρεMN.
σημειώσε ότι ΑΒ, μια άκρη μιας δίεδρης γωνίας, κάθετη στο επίπεδο της γραμμικής γωνίας, δηλ. το επίπεδο ρεMN. Το πρόβλημα λύθηκε.
Σχόλιο. Η διεδρική γωνία μπορεί να υποδηλωθεί ως εξής: ρεαλφάβητο, Οπου
ΑΒ- άκρη και σημεία ρεΚαι ΜΕβρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές της γωνίας.
2. Κατασκευάστε μια γραμμική γωνία μιας διεδρικής γωνίας με μια άκρη ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.
Ας σχεδιάσουμε μια κάθετη ρεΝστο αεροπλάνο αλφάβητοκαι κλίση ρεΝκάθετη σε ευθεία γραμμή ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.Χρησιμοποιώντας το θεώρημα των τριών κάθετων, βρίσκουμε ότι НN- λοξή προβολή ρεΝστο αεροπλάνο ΑΛΦΑΒΗΤΟ,επίσης κάθετα στη γραμμή ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.ρεNH- γραμμική γωνία διεδρικής γωνίας με ακμή ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.
Σε ένα τετράεδρο ρεαλφάβητοόλες οι άκρες είναι ίσες. Τελεία Μ- μέση της πλευράς ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. Αποδείξτε ότι η γωνία ρεMV- γραμμική διεδρική γωνία ΕΣΕΙΣρε, δηλαδή μια δίεδρη γωνία με ακμή ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. Ένα από τα πρόσωπα του είναι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝρε, δεύτερο - DIA(Εικ. 10).
Ρύζι. 10. Εικονογράφηση για το πρόβλημα
Λύση:
Τρίγωνο ADC- ισόπλευρο, DM- διάμεσος, άρα και ύψος. Που σημαίνει, ρεΜ ⊥ ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.Ομοίως, τρίγωνο ΕΝΑΣΕντο- ισόπλευρο, ΣΕΜ- διάμεσος, άρα και ύψος. Που σημαίνει, VM ⊥ ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.
Έτσι, από το σημείο Μπαϊδάκια ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝδιεδρική γωνία αποκατέστησε δύο κάθετες DMΚαι VMσε αυτή την άκρη στις όψεις της διεδρικής γωνίας.
Λοιπόν, ∠ DMΣΕείναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Έτσι έχουμε ορίσει τη δίεδρη γωνία, τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας.
Στο επόμενο μάθημα θα εξετάσουμε την καθετότητα των γραμμών και των επιπέδων, στη συνέχεια θα μάθουμε τι είναι μια διεδρική γωνία στη βάση των σχημάτων.
Κατάλογος αναφορών σχετικά με το θέμα "Διεδρική γωνία", "Δίεδρη γωνία στη βάση των γεωμετρικών σχημάτων"
- Γεωμετρία. Τάξεις 10-11: εγχειρίδιο γενικής εκπαίδευσης Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.
- Γεωμετρία. 10η τάξη: σχολικό βιβλίο για Εκπαιδευτικά ιδρύματαμε εις βάθος και εξειδικευμένη μελέτη μαθηματικών / Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδοση, στερεότυπο. - M.: Bustard, 2008. - 233 σελ.: ill.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
Εργασία για το σπίτιμε θέμα «Διεδρική γωνία», προσδιορισμός της διεδρικής γωνίας στη βάση των σχημάτων
Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδοση, διορθωμένη και επέκταση - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: ill.
Εργασίες 2, 3 σελ. 67.
Τι είναι η γραμμική διεδρική γωνία; Πώς να το φτιάξετε;
αλφάβητορε- τετράεδρο. Κατασκευάστε μια γραμμική γωνία μιας διεδρικής γωνίας με μια ακμή:
ΕΝΑ) ΣΕρεσι) ρεΜΕ.
αλφάβητοD.A. 1 σι 1 ντο 1 ρε 1 - κύβος Κατασκευάστε Γραμμική Γωνία Διεδρικής Γωνίας A 1 ABCμε πλευρά ΑΒ. Προσδιορίστε το μέτρο του βαθμού του.
ΚΕΙΜΕΝΟ ΜΕΤΑΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:
Στην επιπεδομετρία, τα κύρια αντικείμενα είναι οι γραμμές, τα τμήματα, οι ακτίνες και τα σημεία. Οι ακτίνες που εκπέμπονται από ένα σημείο σχηματίζουν ένα από τα γεωμετρικά τους σχήματα - μια γωνία.
Γνωρίζουμε ότι η γραμμική γωνία μετριέται σε μοίρες και ακτίνια.
Στη στερεομετρία, ένα επίπεδο προστίθεται σε αντικείμενα. Ένα σχήμα που σχηματίζεται από μια ευθεία γραμμή α και δύο ημιεπίπεδα με κοινό όριο α που δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο στη γεωμετρία ονομάζεται δίεδρη γωνία. Ημιεπίπεδα είναι οι όψεις μιας διεδρικής γωνίας. Η ευθεία α είναι μια άκρη μιας διεδρικής γωνίας.
Μια διεδρική γωνία, όπως μια γραμμική γωνία, μπορεί να ονομαστεί, να μετρηθεί και να κατασκευαστεί. Αυτό πρέπει να μάθουμε σε αυτό το μάθημα.
Ας βρούμε τη διεδρική γωνία στο μοντέλο τετραέδρου ABCD.
Μια διεδρική γωνία με ακμή ΑΒ ονομάζεται CABD, όπου τα σημεία C και D ανήκουν σε διαφορετικές όψεις της γωνίας και η άκρη ΑΒ ονομάζεται στη μέση
Υπάρχουν πολλά αντικείμενα γύρω μας με στοιχεία σε μορφή διεδρικής γωνίας.
Σε πολλές πόλεις, τοποθετούνται ειδικά παγκάκια για τη συμφιλίωση σε πάρκα. Ο πάγκος είναι κατασκευασμένος με τη μορφή δύο κεκλιμένων επιπέδων που συγκλίνουν προς το κέντρο.
Κατά την κατασκευή σπιτιών, τα λεγόμενα δίρριχτη στέγη. Σε αυτό το σπίτι η οροφή είναι κατασκευασμένη με τη μορφή διεδρικής γωνίας 90 μοιρών.
Η διεδρική γωνία μετριέται επίσης σε μοίρες ή ακτίνια, αλλά πώς να τη μετρήσετε.
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι οι στέγες των σπιτιών στηρίζονται στα δοκάρια. Και το περίβλημα της δοκού σχηματίζει δύο πλαγιές οροφής σε μια δεδομένη γωνία.
Ας μεταφέρουμε την εικόνα στο σχέδιο. Στο σχέδιο, για να βρεθεί μια δίεδρη γωνία, σημειώνεται στην άκρη του το σημείο Β. Από το σημείο αυτό σχεδιάζονται δύο ακτίνες ΒΑ και BC κάθετες στο χείλος της γωνίας. Η γωνία ABC που σχηματίζεται από αυτές τις ακτίνες ονομάζεται γραμμική διεδρική γωνία.
Το μέτρο μοίρας μιας διεδρικής γωνίας είναι μέτρο βαθμούτη γραμμική του γωνία.
Ας μετρήσουμε τη γωνία AOB.
Το μέτρο μοιρών μιας δεδομένης διεδρικής γωνίας είναι εξήντα μοίρες.
Ένας άπειρος αριθμός γραμμικών γωνιών μπορεί να σχεδιαστεί για μια διεδρική γωνία· είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι είναι όλες ίσες.
Ας εξετάσουμε δύο γραμμικές γωνίες AOB και A1O1B1. Οι ακτίνες OA και O1A1 βρίσκονται στην ίδια όψη και είναι κάθετες στην ευθεία OO1, επομένως είναι συμκατευθυντικές. Οι δοκοί OB και O1B1 επίσης κατευθύνονται από κοινού. Επομένως, η γωνία ΑΟΒ είναι ίση με τη γωνία Α1Ο1Β1 ως γωνίες με πλευρές συνκατεύθυνσης.
Έτσι, μια διεδρική γωνία χαρακτηρίζεται από μια γραμμική γωνία και οι γραμμικές γωνίες είναι οξείες, αμβλείες και ορθές. Ας εξετάσουμε μοντέλα διεδρικών γωνιών.
Αμβλεία γωνία είναι αν η γραμμική γωνία της είναι μεταξύ 90 και 180 μοιρών.
Μια ορθή γωνία αν η γραμμική γωνία του είναι 90 μοίρες.
Οξεία γωνία, εάν η γραμμική γωνία της είναι από 0 έως 90 μοίρες.
Ας αποδείξουμε μια από τις σημαντικές ιδιότητες μιας γραμμικής γωνίας.
Το επίπεδο της γραμμικής γωνίας είναι κάθετο στο άκρο της διεδρικής γωνίας.
Έστω η γωνία AOB η γραμμική γωνία μιας δεδομένης διεδρικής γωνίας. Κατασκευαστικά, οι ακτίνες ΑΟ και ΟΒ είναι κάθετες στην ευθεία α.
Το επίπεδο ΑΟΒ διέρχεται από δύο τεμνόμενες ευθείες ΑΟ και ΟΒ σύμφωνα με το θεώρημα: Ένα επίπεδο διέρχεται από δύο τεμνόμενες ευθείες και μόνο μία.
Η ευθεία α είναι κάθετη σε δύο τεμνόμενες ευθείες που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο, πράγμα που σημαίνει, με βάση την καθετότητα της ευθείας και του επιπέδου, η ευθεία α είναι κάθετη στο επίπεδο AOB.
Για την επίλυση προβλημάτων, είναι σημαντικό να μπορούμε να κατασκευάσουμε μια γραμμική γωνία μιας δεδομένης διεδρικής γωνίας. Κατασκευάστε γραμμική γωνία διεδρικής γωνίας με ακμή ΑΒ για τετράεδρο ABCD.
Μιλάμε για μια δίεδρη γωνία, η οποία σχηματίζεται, πρώτον, από την ακμή ΑΒ, τη μία όψη ΑΒΔ και τη δεύτερη όψη ΑΒΓ.
Εδώ είναι ένας τρόπος για να το φτιάξετε.
Ας σχεδιάσουμε μια κάθετη από το σημείο Δ στο επίπεδο ΑΒΓ Να σημειώσουμε το σημείο Μ ως βάση της καθέτου. Θυμηθείτε ότι σε ένα τετράεδρο η βάση της κάθετης συμπίπτει με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στη βάση του τετραέδρου.
Ας σχεδιάσουμε μια κεκλιμένη γραμμή από το σημείο Δ κάθετο στην ακμή ΑΒ, σημειώνουμε το σημείο Ν ως βάση της κεκλιμένης ευθείας.
Στο τρίγωνο DMN, το τμήμα NM θα είναι η προβολή του κεκλιμένου DN στο επίπεδο ABC. Σύμφωνα με το θεώρημα των τριών καθέτων, η ακμή ΑΒ θα είναι κάθετη στην προβολή NM.
Αυτό σημαίνει ότι οι πλευρές της γωνίας DNM είναι κάθετες στο άκρο ΑΒ, πράγμα που σημαίνει ότι η κατασκευασμένη γωνία DNM είναι η επιθυμητή γραμμική γωνία.
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος υπολογισμού μιας διεδρικής γωνίας.
Το ισοσκελές τρίγωνο ABC και το κανονικό τρίγωνο ADB δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Το τμήμα CD είναι κάθετο στο επίπεδο ADB. Βρείτε τη διεδρική γωνία DABC αν AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Η διεδρική γωνία του DABC είναι ίση με τη γραμμική του γωνία. Ας χτίσουμε αυτή τη γωνία.
Ας σχεδιάσουμε το κεκλιμένο CM κάθετα στην ακμή ΑΒ, αφού το τρίγωνο ACB είναι ισοσκελές, τότε το σημείο Μ θα συμπίπτει με το μέσο της ακμής ΑΒ.
Η ευθεία γραμμή CD είναι κάθετη στο επίπεδο ADB, που σημαίνει ότι είναι κάθετη στην ευθεία γραμμή DM που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο. Και το τμήμα MD είναι μια προβολή του κεκλιμένου CM στο επίπεδο ADV.
Η ευθεία ΑΒ είναι κατασκευαστική κάθετη στην κεκλιμένη CM, που σημαίνει ότι, με το θεώρημα των τριών καθέτων, είναι κάθετη στην προβολή ΜΔ.
Άρα, δύο κάθετες CM και DM βρίσκονται στην ακμή ΑΒ. Αυτό σημαίνει ότι σχηματίζουν μια γραμμική γωνία CMD της διεδρικής γωνίας DABC. Και το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να τον βρούμε από ορθογώνιο τρίγωνο CDM.
Άρα το τμήμα CM είναι η διάμεσος και το ύψος ισοσκελές τρίγωνο DIA, τότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα το σκέλος SM είναι ίσο με 4 cm.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο DMB, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το σκέλος DM ισούται με δύο ρίζες του τριών.
Το συνημίτονο μιας γωνίας από ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσο με τον λόγο του διπλανού σκέλους ΜΔ προς την υποτείνουσα CM και ισούται με τρεις ρίζες του τριπλάσιου του δύο. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία CMD είναι 30 μοίρες.
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτεςπροκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ
V. ΔΙΘΕΡΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ, ΟΡΘΙΑ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΟ,
ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΒΑΘΜΕΝΩΝ ΔΕΞΙΩΝ ΕΥΘΥΩΝ, ΠΟΛΥΕΠΙΔΕΣ ΓΩΝΙΕΣ
Διεδρικές γωνίες
38. Ορισμοί.Το τμήμα του επιπέδου που βρίσκεται στη μία πλευρά οποιασδήποτε ευθείας γραμμής που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο ονομάζεται μισό αεροπλάνο. Ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα (P και Q, Εικ. 26) που προέρχονται από μια ευθεία γραμμή (AB) ονομάζεται δίεδρος γωνία. Το άμεσο ΑΒ ονομάζεται άκρηκαι τα ημιεπίπεδα P και Q - κόμματαή άκραδίεδρος γωνία.
Μια τέτοια γωνία συνήθως χαρακτηρίζεται από δύο γράμματα που τοποθετούνται στην άκρη της (διεδρική γωνία ΑΒ). Αλλά αν σε ένα άκρο υπάρχουν πολλές διεδρικές γωνίες, τότε καθεμία από αυτές ορίζεται με τέσσερα γράμματα, από τα οποία τα μεσαία δύο βρίσκονται στην άκρη και τα εξωτερικά δύο βρίσκονται στις όψεις (για παράδειγμα, διεδρική γωνία SCDR) (Εικ. 27).
Αν από ένα αυθαίρετο σημείο Δ έλκονται ακμές ΑΒ (Εικ. 28) σε κάθε όψη κάθετη προς την άκρη, τότε η γωνία CDE που σχηματίζεται από αυτές ονομάζεται γραμμική γωνίαδίεδρος γωνία.
Το μέγεθος μιας γραμμικής γωνίας δεν εξαρτάται από τη θέση της κορυφής της στην άκρη. Έτσι, οι γραμμικές γωνίες CDE και C 1 D 1 E 1 είναι ίσες επειδή οι πλευρές τους είναι αντίστοιχα παράλληλες και στην ίδια διεύθυνση.
Το επίπεδο μιας γραμμικής γωνίας είναι κάθετο στην άκρη, αφού περιέχει δύο ευθείες κάθετες σε αυτήν. Επομένως, για να ληφθεί μια γραμμική γωνία, αρκεί να τέμνουμε την όψη μιας δεδομένης διεδρικής γωνίας με ένα επίπεδο κάθετο στην άκρη και να λάβουμε υπόψη τη γωνία που προκύπτει σε αυτό το επίπεδο.
39. Ισότητα και ανισότητα διεδρικών γωνιών.Δύο διεδρικές γωνίες θεωρούνται ίσες εάν μπορούν να συνδυαστούν όταν εισαχθούν. Διαφορετικά, όποια διεδρική γωνία θεωρείται μικρότερη θα αποτελεί μέρος της άλλης γωνίας.
Όπως οι γωνίες στην επιπεδομετρία, οι διεδρικές γωνίες μπορούν να είναι παρακείμενος, κάθετοςκαι τα λοιπά.
Αν δύο γειτονικές δίεδρες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, τότε κάθε μία από αυτές ονομάζεται δίεδρη ορθή γωνία.
Θεωρήματα. 1) Οι ίσες διεδρικές γωνίες αντιστοιχούν σε ίσες γραμμικές γωνίες.
2) Μια μεγαλύτερη διεδρική γωνία αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη γραμμική γωνία.
Έστω PABQ και P 1 A 1 B 1 Q 1 (Εικ. 29) δύο διεδρικές γωνίες. Εισάγουμε τη γωνία A 1 B 1 στη γωνία AB έτσι ώστε η ακμή A 1 B 1 να συμπίπτει με την ακμή AB και η όψη P 1 με την όψη P.
Τότε αν αυτά τα δίεδρα οι γωνίες είναι ίσες, τότε η όψη Q 1 συμπίπτει με την όψη Q. εάν η γωνία A 1 B 1 είναι μικρότερη από τη γωνία AB, τότε η όψη Q 1 θα πάρει κάποια θέση μέσα στη διεδρική γωνία, για παράδειγμα Q 2.
Έχοντας παρατηρήσει αυτό, ας πάρουμε κάποιο σημείο Β σε μια κοινή ακμή και ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο R μέσα από αυτό, κάθετο στην άκρη. Από την τομή αυτού του επιπέδου με τις όψεις των διεδρικών γωνιών, προκύπτουν γραμμικές γωνίες. Είναι σαφές ότι εάν οι δίεδρες γωνίες συμπίπτουν, τότε θα έχουν την ίδια γραμμική γωνία CBD. εάν οι δίεδρες γωνίες δεν συμπίπτουν, εάν, για παράδειγμα, η όψη Q 1 παίρνει τη θέση Q 2, τότε η μεγαλύτερη διεδρική γωνία θα έχει μεγαλύτερη γραμμική γωνία (δηλαδή: / CBD > / C 2 BD).
40. Θεωρήματα αντιστροφής. 1) Οι ίσες γραμμικές γωνίες αντιστοιχούν σε ίσες διεδρικές γωνίες.
2) Μια μεγαλύτερη γραμμική γωνία αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη διεδρική γωνία .
Αυτά τα θεωρήματα μπορούν εύκολα να αποδειχθούν με αντίφαση.
41. Συνέπειες. 1) Μια ορθή διεδρική γωνία αντιστοιχεί σε μια ορθή γραμμική γωνία και αντίστροφα.
Έστω (Εικ. 30) η διεδρική γωνία PABQ να είναι ευθεία. Αυτό σημαίνει ότι είναι ίσο με τη διπλανή γωνία QABP 1. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, οι γραμμικές γωνίες CDE και CDE 1 είναι επίσης ίσες. και δεδομένου ότι είναι γειτονικά, καθένα από αυτά πρέπει να είναι ίσιο. Αντίθετα, εάν οι γειτονικές γραμμικές γωνίες CDE και CDE 1 είναι ίσες, τότε οι γειτονικές διεδρικές γωνίες είναι ίσες, δηλαδή, κάθε μία από αυτές πρέπει να είναι ευθεία.
2) Όλες οι ορθές διεδρικές γωνίες είναι ίσες,γιατί οι γραμμικές γωνίες τους είναι ίσες .
Ομοίως, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι:
3) Οι κάθετες διεδρικές γωνίες είναι ίσες.
4) Δίεδρος οι γωνίες με αντίστοιχα παράλληλες και πανομοιότυπα (ή αντίθετα) κατευθυνόμενες ακμές είναι ίσες.
5) Αν πάρουμε ως μονάδα διεδρικών γωνιών μια διεδρική γωνία που αντιστοιχεί σε μονάδα γραμμικών γωνιών, τότε μπορούμε να πούμε ότι μια διεδρική γωνία μετριέται από τη γραμμική γωνία της.
Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφάνειας:
DIHEDRAL ANGLE Καθηγητής Μαθηματικών ΓΟΥ Γυμνασίου Νο 10 Eremenko M.A.
Κύριοι στόχοι του μαθήματος: Εισάγετε την έννοια της διεδρικής γωνίας και τη γραμμική γωνία της Εξετάστε εργασίες για την εφαρμογή αυτών των εννοιών.
Ορισμός: Διεδρική γωνία είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα με κοινή οριακή ευθεία γραμμή.
Το μέγεθος μιας διεδρικής γωνίας είναι το μέγεθος της γραμμικής γωνίας της. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - γραμμική διεδρική γωνία ACD B
Ας αποδείξουμε ότι όλες οι γραμμικές γωνίες μιας διεδρικής γωνίας είναι ίσες μεταξύ τους. Ας εξετάσουμε δύο γραμμικές γωνίες AOB και A 1 OB 1. Οι ακτίνες OA και OA 1 βρίσκονται στην ίδια όψη και είναι κάθετες στο OO 1, επομένως είναι συμκατευθυντικές. Οι δοκοί OB και OB 1 συν-σκηνοθετούνται επίσης. Επομένως, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (όπως γωνίες με συνκατευθυντικές πλευρές).
Παραδείγματα διεδρικών γωνιών:
Ορισμός: Η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων είναι η μικρότερη από τις διεδρικές γωνίες που σχηματίζονται από αυτά τα επίπεδα.
Εργασία 1: Στον κύβο A ... D 1, βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC και CDD 1. Απάντηση: 90 ο.
Πρόβλημα 2: Στον κύβο A ... D 1, βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC και CDA 1. Απάντηση: 45 ο.
Πρόβλημα 3: Στον κύβο A ... D 1, βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC και BDD 1. Απάντηση: 90 ο.
Πρόβλημα 4: Στον κύβο A ... D 1, βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων ACC 1 και BDD 1. Απάντηση: 90 ο.
Πρόβλημα 5: Στον κύβο A ... D 1, βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων BC 1 D και BA 1 D. Λύση: Έστω O το μέσο του B D. A 1 OC 1 – η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας A 1 B D C 1.
Πρόβλημα 6: Στο τετράεδρο DABC όλες οι ακμές είναι ίσες, το σημείο M είναι το μέσο της ακμής AC. Αποδείξτε ότι ∠ DMB είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας BACD .
Λύση: Τα τρίγωνα ABC και ADC είναι κανονικά, επομένως, BM ⊥ AC και DM ⊥ AC και επομένως ∠ DMB είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας DACB.
Πρόβλημα 7: Από την κορυφή Β του τριγώνου ABC, η πλευρά AC του οποίου βρίσκεται στο επίπεδο α, σχεδιάζεται μια κάθετη ΒΒ 1 σε αυτό το επίπεδο. Να βρείτε την απόσταση από το σημείο Β στην ευθεία AC και στο επίπεδο α, εάν AB=2, ∠ВАС=150 0 και η διεδρική γωνία ВАСВ 1 είναι ίση με 45 0.
Λύση: Το ABC είναι ένα αμβλύ τρίγωνο με αμβλεία γωνίαΚαι, επομένως, η βάση του ύψους BC βρίσκεται στη συνέχεια της πλευράς AC. VC – απόσταση από το σημείο B στο AC. BB 1 – απόσταση από το σημείο Β στο επίπεδο α
2) Αφού AC ⊥BK, τότε AC⊥KB 1 (κατά θεώρημα, αντίστροφο του θεωρήματοςπερίπου τρεις κάθετες). Επομένως, ∠VKV 1 είναι η γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας BASV 1 και ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· αμαρτία 45 0 , ВВ 1 =