Εμφάνιση της σχέσης του πρόσημου της παραγώγου με τη φύση της μονοτονίας της συνάρτησης.
Παρακαλούμε να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί στα παρακάτω. Κοίτα, το πρόγραμμα του ΤΙ σου δίνεται! Συνάρτηση ή παράγωγός της
Δίνεται μια γραφική παράσταση της παραγώγου, τότε μας ενδιαφέρουν μόνο τα σημεία συνάρτησης και τα μηδενικά. Δεν μας ενδιαφέρουν κατ' αρχήν κανένα «κουλούρα» και «κούφια»!
Εργασία 1.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα διάστημα. Προσδιορίστε τον αριθμό των ακεραίων σημείων όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.
Λύση:
Στο σχήμα, οι περιοχές φθίνουσας συνάρτησης επισημαίνονται με χρώμα:
4 ακέραιες τιμές εμπίπτουν σε αυτές τις περιοχές φθίνουσας συνάρτησης.
Εργασία 2.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα διάστημα. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων όπου η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη ή συμπίπτει με την ευθεία.
Λύση:
Δεδομένου ότι η εφαπτομένη στο γράφημα της συνάρτησης είναι παράλληλη (ή συμπίπτει) με μια ευθεία γραμμή (ή, που είναι ίδια, ) που έχει κλίση , μηδέν, τότε η εφαπτομένη έχει κλίση .
Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα, αφού η κλίση είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης στον άξονα.
Επομένως, βρίσκουμε ακραία σημεία στο γράφημα (μέγιστα και ελάχιστα σημεία), - είναι σε αυτά που οι συναρτήσεις που εφάπτονται στο γράφημα θα είναι παράλληλες προς τον άξονα.
Υπάρχουν 4 τέτοια σημεία.
Εργασία 3.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα . Να βρείτε τον αριθμό των σημείων όπου η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη ή συμπίπτει με την ευθεία.
Λύση:
Εφόσον η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη (ή συμπίπτει) με μια ευθεία, η οποία έχει κλίση, τότε η εφαπτομένη έχει κλίση.
Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι στα σημεία επαφής.
Επομένως, εξετάζουμε πόσα σημεία στο γράφημα έχουν τεταγμένη ίση με .
Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν τέσσερα τέτοια σημεία.
Εργασία 4.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα διάστημα. Βρείτε τον αριθμό των σημείων όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι 0.
Λύση:
Η παράγωγος είναι μηδέν στα άκρα σημεία. Έχουμε 4 από αυτά:
Εργασία 5.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα συνάρτησης και έντεκα σημεία στον άξονα x:. Σε πόσα από αυτά τα σημεία είναι αρνητική η παράγωγος της συνάρτησης;
Λύση:
Σε διαστήματα φθίνουσας συνάρτησης, η παράγωγός της παίρνει αρνητικές τιμές. Και η συνάρτηση μειώνεται σε σημεία. Υπάρχουν 4 τέτοια σημεία.
Εργασία 6.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα διάστημα. Να βρείτε το άθροισμα των ακραίων σημείων της συνάρτησης .
Λύση:
ακραία σημείαείναι οι μέγιστοι πόντοι (-3, -1, 1) και οι ελάχιστοι βαθμοί (-2, 0, 3).
Το άθροισμα των ακραίων σημείων: -3-1+1-2+0+3=-2.
Εργασία 7.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα . Βρείτε τα διαστήματα της συνάρτησης αύξησης . Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακέραιων σημείων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.
Λύση:
Το σχήμα επισημαίνει τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι μη αρνητική.
Δεν υπάρχουν ακέραια σημεία στο μικρό διάστημα της αύξησης, στο διάστημα της αύξησης υπάρχουν τέσσερις ακέραιες τιμές: , , και .
Το άθροισμά τους:
Εργασία 8.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα . Βρείτε τα διαστήματα της συνάρτησης αύξησης . Στην απάντησή σας, γράψτε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.
Λύση:
Στο σχήμα, επισημαίνονται όλα τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι θετική, πράγμα που σημαίνει ότι η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται σε αυτά τα διαστήματα.
Το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά είναι 6.
Εργασία 9.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα . Σε ποιο σημείο του τμήματος παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή.
Λύση:
Εξετάζουμε πώς συμπεριφέρεται το γράφημα στο τμήμα, δηλαδή, που μας ενδιαφέρει παράγωγο μόνο .
Το πρόσημο της παραγώγου στο είναι μείον, αφού το γράφημα σε αυτό το τμήμα είναι κάτω από τον άξονα.
Η λειτουργία της εύρεσης μιας παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.
Ως αποτέλεσμα της επίλυσης προβλημάτων εύρεσης παραγώγων για τις απλούστερες (και όχι πολύ απλές) συναρτήσεις, ορίζοντας την παράγωγο ως το όριο του λόγου της αύξησης προς την αύξηση του ορίσματος, εμφανίστηκε ένας πίνακας παραγώγων και ακριβώς ορισμένους κανόνεςΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Οι Isaac Newton (1643-1727) και Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ήταν οι πρώτοι που εργάστηκαν στον τομέα της εύρεσης παραγώγων.
Επομένως, στην εποχή μας, για να βρεθεί η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το προαναφερθέν όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, αλλά χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας παραγώγων και οι κανόνες διαφοροποίησης. Ο παρακάτω αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την εύρεση της παραγώγου.
Για να βρείτε την παράγωγο, χρειάζεστε μια έκφραση κάτω από το σημάδι εγκεφαλικό επεισόδιο αναλύστε απλές λειτουργίεςκαι καθορίστε ποιες ενέργειες (προϊόν, άθροισμα, πηλίκο)αυτές οι λειτουργίες σχετίζονται. Περαιτέρω, βρίσκουμε τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων στον πίνακα των παραγώγων και τους τύπους για τις παραγώγους του γινομένου, του αθροίσματος και του πηλίκου - στους κανόνες διαφοροποίησης. Ο πίνακας των παραγώγων και οι κανόνες διαφοροποίησης δίνονται μετά τα δύο πρώτα παραδείγματα.
Παράδειγμα 1Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Λύση. Από τους κανόνες διαφοροποίησης διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι το άθροισμα των παραγώγων συναρτήσεων, δηλ.
Από τον πίνακα των παραγώγων, διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του "Χ" ισούται με ένα, και η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο άθροισμα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:
Παράδειγμα 2Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Λύση. Διαφοροποιήστε ως παράγωγο του αθροίσματος, στο οποίο ο δεύτερος όρος με σταθερό παράγοντα, μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:
Εάν εξακολουθούν να υπάρχουν ερωτήσεις σχετικά με το από πού προέρχεται κάτι, αυτές, κατά κανόνα, γίνονται σαφείς μετά την ανάγνωση του πίνακα των παραγώγων και των απλούστερων κανόνων διαφοροποίησης. Θα πάμε σε αυτούς τώρα.
Πίνακας παραγώγων απλών συναρτήσεων
| 1. Παράγωγος σταθεράς (αριθμός). Οποιοσδήποτε αριθμός (1, 2, 5, 200...) που βρίσκεται στην παράσταση συνάρτησης. Πάντα μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να το θυμάστε, καθώς απαιτείται πολύ συχνά | |
| 2. Παράγωγος της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές "χ". Πάντα ίσο με ένα. Αυτό είναι επίσης σημαντικό να θυμάστε | |
| 3. Παράγωγο πτυχίου. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να μετατρέψετε τις μη τετραγωνικές ρίζες σε ισχύ. | |
| 4. Παράγωγος μεταβλητής ισχύος -1 | |
| 5. Παράγωγο τετραγωνική ρίζα | |
| 6. Ημιτονοειδής παράγωγος | |
| 7. Παράγωγο συνημιτόνου |  |
| 8. Εφαπτομένη παράγωγος |  |
| 9. Παράγωγο συνεφαπτομένης |  |
| 10. Παράγωγο του τόξου |  |
| 11. Παράγωγο συνημιτόνου τόξου |  |
| 12. Παράγωγος εφαπτομένης τόξου |  |
| 13. Παράγωγος της αντίστροφης εφαπτομένης |  |
| 14. Παράγωγος φυσικού λογάριθμου | |
| 15. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης |  |
| 16. Παράγωγος του εκθέτη | |
| 17. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης |
Κανόνες διαφοροποίησης
| 1. Παράγωγο του αθροίσματος ή της διαφοράς |  |
| 2. Παράγωγο προϊόντος |  |
| 2α. Παράγωγο έκφρασης πολλαπλασιαζόμενο με σταθερό παράγοντα | |
| 3. Παράγωγος του πηλίκου |  |
| 4. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης |  |
Κανόνας 1Εάν λειτουργεί
είναι διαφοροποιήσιμες σε κάποιο σημείο και μετά στο ίδιο σημείο οι συναρτήσεις
και
εκείνοι. η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων.
Συνέπεια. Εάν δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά, τότε οι παράγωγοί τους είναι, δηλ.
Κανόνας 2Εάν λειτουργεί
είναι διαφοροποιήσιμα σε κάποιο σημείο, τότε το προϊόν τους είναι επίσης διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο
και
εκείνοι. η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης.
Συνέπεια 1. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:
Συνέπεια 2. Η παράγωγος του γινομένου πολλών διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της παραγώγου καθενός από τους παράγοντες και όλων των άλλων.
Για παράδειγμα, για τρεις πολλαπλασιαστές:
Κανόνας 3Εάν λειτουργεί
διαφοροποιήσιμο σε κάποιο σημείο Και , τότε σε αυτό το σημείο το πηλίκο τους είναι και διαφοροποιήσιμο.u/v και
εκείνοι. η παράγωγος ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή.
Πού να κοιτάξετε σε άλλες σελίδες
Κατά την εύρεση της παραγώγου του προϊόντος και του πηλίκου σε πραγματικά προβλήματα, απαιτείται πάντα η εφαρμογή πολλών κανόνων διαφοροποίησης ταυτόχρονα, επομένως περισσότερα παραδείγματασε αυτά τα παράγωγα - στο άρθρο"Το παράγωγο ενός προϊόντος και ένα πηλίκο".
Σχόλιο.Δεν πρέπει να συγχέετε μια σταθερά (δηλαδή έναν αριθμό) ως όρο στο άθροισμα και ως σταθερό παράγοντα! Στην περίπτωση ενός όρου, η παράγωγός του ισούται με μηδέν και σε περίπτωση σταθερού παράγοντα, βγαίνει από το πρόσημο των παραγώγων. Αυτό τυπικό λάθος, που εμφανίζεται στις αρχικό στάδιομάθηση παραγώγων, αλλά καθώς επιλύουν πολλά παραδείγματα ενός-δύο συστατικών, ο μέσος μαθητής δεν κάνει πλέον αυτό το λάθος.
Και αν, όταν διαφοροποιείτε ένα προϊόν ή ένα πηλίκο, έχετε έναν όρο u"v, στο οποίο u- ένας αριθμός, για παράδειγμα, 2 ή 5, δηλαδή μια σταθερά, τότε η παράγωγος αυτού του αριθμού θα είναι ίση με μηδέν και, επομένως, ολόκληρος ο όρος θα είναι ίσος με μηδέν (μια τέτοια περίπτωση αναλύεται στο παράδειγμα 10).
Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι η μηχανική λύση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης ως παραγώγου μιας απλής συνάρτησης. Να γιατί παράγωγο μιγαδικής συνάρτησηςαφιερωμένο σε ξεχωριστό άρθρο. Πρώτα όμως θα μάθουμε να βρίσκουμε παράγωγα απλές λειτουργίες.
Στην πορεία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς μετασχηματισμούς εκφράσεων. Για να το κάνετε αυτό, ίσως χρειαστεί να ανοίξετε εγχειρίδια σε νέα παράθυρα Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςΚαι Ενέργειες με κλάσματα .
Εάν αναζητάτε λύσεις σε παραγώγους με δυνάμεις και ρίζες, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με 
, μετά ακολουθεί το μάθημα « Παράγωγος αθροίσματος κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες».
Εάν έχετε μια εργασία όπως 
, τότε βρίσκεστε στο μάθημα «Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων».
Παραδείγματα βήμα προς βήμα - πώς να βρείτε την παράγωγο
Παράδειγμα 3Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Λύση. Καθορίζουμε τα μέρη της παράστασης συνάρτησης: ολόκληρη η παράσταση αντιπροσωπεύει το γινόμενο και οι συντελεστές της είναι αθροίσματα, στο δεύτερο από τα οποία ένας από τους όρους περιέχει έναν σταθερό παράγοντα. Εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης γινομένων: η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης:
Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος: η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Στην περίπτωσή μας, σε κάθε άθροισμα, ο δεύτερος όρος με αρνητικό πρόσημο. Σε κάθε άθροισμα, βλέπουμε τόσο μια ανεξάρτητη μεταβλητή, της οποίας η παράγωγος είναι ίση με ένα, όσο και μια σταθερά (αριθμός), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με μηδέν. Έτσι, το "x" μετατρέπεται σε ένα και μείον 5 - σε μηδέν. Στη δεύτερη παράσταση, το "x" πολλαπλασιάζεται επί 2, άρα πολλαπλασιάζουμε δύο με την ίδια μονάδα με την παράγωγο του "x". Λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές παραγώγων:
Αντικαθιστούμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στο άθροισμα των γινομένων και λαμβάνουμε την παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:
Παράδειγμα 4Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Λύση. Απαιτείται να βρούμε την παράγωγο του πηλίκου. Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου: η παράγωγος ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή. Παίρνουμε:
Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο των παραγόντων στον αριθμητή στο Παράδειγμα 2. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι το γινόμενο, που είναι ο δεύτερος παράγοντας στον αριθμητή στο τρέχον παράδειγμα, λαμβάνεται με πρόσημο μείον:
Εάν αναζητάτε λύσεις σε τέτοια προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, όπου υπάρχει ένας συνεχής σωρός από ρίζες και μοίρες, όπως, για παράδειγμα, 
τότε καλώς ήρθατε στην τάξη "Η παράγωγος του αθροίσματος των κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες" .
Εάν χρειάζεται να μάθετε περισσότερα σχετικά με τις παραγώγους ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και άλλων τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δηλαδή όταν μοιάζει η συνάρτηση , τότε έχετε ένα μάθημα "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων" .
Παράδειγμα 5Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε ένα γινόμενο, ένας από τους παράγοντες του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής, με την παράγωγο της οποίας εξοικειωθήκαμε στον πίνακα των παραγώγων. Με τον κανόνα της διαφοροποίησης του προϊόντος και αξία πίνακαπαράγωγο της τετραγωνικής ρίζας παίρνουμε:
Παράδειγμα 6Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε το πηλίκο, το μέρισμα του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του πηλίκου, τον οποίο επαναλάβαμε και εφαρμόσαμε στο παράδειγμα 4, και την τιμή του πίνακα της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:
Για να απαλλαγείτε από το κλάσμα στον αριθμητή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με .
Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων γεωμετρίας, μηχανικής, φυσικής και άλλων κλάδων γνώσης, κατέστη απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η ίδια αναλυτική διαδικασία από μια δεδομένη συνάρτηση y=f(x)λαμβάνω νέο χαρακτηριστικό, η οποία ονομάζεται παράγωγη συνάρτηση(ή απλά παράγωγο) αυτής της συνάρτησης f(x)και συμβολίζονται
Η διαδικασία με την οποία μια δεδομένη λειτουργία f(x)λάβετε μια νέα λειτουργία f"(x), που ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηκαι αποτελείται από τα ακόλουθα τρία βήματα: 1) δίνουμε το επιχείρημα Χαύξηση
Χκαι να προσδιορίσετε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης
y = f(x+
x)-f(x); 2) απαρτίζουν τη σχέση 
3) καταμέτρηση Χμόνιμη, και
Χ0, βρίσκουμε 
, το οποίο συμβολίζεται με f"(x), σαν να τονίζει ότι η συνάρτηση που προκύπτει εξαρτάται μόνο από την τιμή Χ, στο οποίο περνάμε στο όριο. Ορισμός:
Παράγωγο y "=f" (x)
δεδομένη συνάρτηση y=f(x)
δίνεται xονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, με την προϋπόθεση ότι η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν, αν φυσικά υπάρχει αυτό το όριο, δηλ. πεπερασμένος. Ετσι, 
, ή 
Σημειώστε ότι εάν για κάποια τιμή Χ, για παράδειγμα όταν x=a, σχέση 
στο
Χ Το 0 δεν τείνει σε ένα πεπερασμένο όριο, τότε σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση f(x)στο x=a(ή στο σημείο x=a) δεν έχει παράγωγο ή δεν είναι διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο x=a.
2. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου.
Θεωρήστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x), διαφοροποιήσιμη στην περιοχή του σημείου x 0
f(x)
Ας θεωρήσουμε μια αυθαίρετη ευθεία που διέρχεται από το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης - το σημείο A (x 0, f (x 0)) και τέμνει τη γραφική παράσταση σε κάποιο σημείο B (x; f (x)). Μια τέτοια ευθεία γραμμή (ΑΒ) ονομάζεται διατομή. Από το ∆ABC: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .
Αφού AC || Ox, τότε ALO = BAC = β (όπως αντιστοιχεί παράλληλα). Όμως ALO είναι η γωνία κλίσης της τεμμένης ΑΒ προς τη θετική φορά του άξονα Ox. Επομένως, tgβ = k είναι η κλίση της ευθείας ΑΒ.
Τώρα θα μειώσουμε το Δx, δηλ. ∆x→ 0. Στην περίπτωση αυτή, το σηµείο Β θα πλησιάσει το σηµείο Α σύµφωνα µε τη γραφική παράσταση και η τοµή ΑΒ θα περιστραφεί. Η οριακή θέση της τομής AB στο Δx → 0 θα είναι η ευθεία γραμμή (a), που ονομάζεται εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) στο σημείο Α.
Αν περάσουμε στο όριο ως ∆χ → 0 στην ισότητα tgβ =∆y/∆x, τότε παίρνουμε 
ή tg \u003d f "(x 0), αφού 
-γωνία κλίσης της εφαπτομένης στη θετική φορά του άξονα Ox 
, εξ ορισμού παραγώγου. Αλλά tg \u003d k είναι η κλίση της εφαπτομένης, που σημαίνει ότι k \u003d tg \u003d f "(x 0).
Άρα, η γεωμετρική σημασία της παραγώγου είναι η εξής:
Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο x 0 ίση με την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που σχεδιάζεται στο σημείο με την τετμημένη x 0 .
3. Φυσική έννοια του παραγώγου.
Εξετάστε την κίνηση ενός σημείου κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Έστω η συντεταγμένη ενός σημείου ανά πάσα στιγμή x(t). Είναι γνωστό (από το μάθημα της φυσικής) ότι η μέση ταχύτητα σε μια χρονική περίοδο είναι ίση με την αναλογία της απόστασης που διανύθηκε κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου προς το χρόνο, δηλ.
Vav = ∆x/∆t. Ας περάσουμε στο όριο της τελευταίας ισότητας ως Δt → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή t 0, ∆t → 0.
και lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (με τον ορισμό μιας παραγώγου).
Άρα, (t) = x"(t).
Η φυσική σημασία της παραγώγου είναι η εξής: η παράγωγος της συνάρτησηςy = φά(Χ) στο σημείοΧ 0 είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησηςφά(x) στο σημείοΧ 0
Η παράγωγος χρησιμοποιείται στη φυσική για να βρει την ταχύτητα από μια γνωστή συνάρτηση συντεταγμένων από το χρόνο, την επιτάχυνση από μια γνωστή συνάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο.
(t) \u003d x "(t) - ταχύτητα,
a(f) = "(t) - επιτάχυνση, ή
Εάν είναι γνωστός ο νόμος της κίνησης ενός υλικού σημείου κατά μήκος ενός κύκλου, τότε είναι δυνατό να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση κατά την περιστροφική κίνηση:
φ = φ(t) - αλλαγή στη γωνία με το χρόνο,
ω \u003d φ "(t) - γωνιακή ταχύτητα,
ε = φ"(t) - γωνιακή επιτάχυνση, ή ε = φ"(t).
Εάν ο νόμος κατανομής για τη μάζα μιας ανομοιογενούς ράβδου είναι γνωστός, τότε η γραμμική πυκνότητα της ανομοιογενούς ράβδου μπορεί να βρεθεί:
m \u003d m (x) - μάζα,
x , l - μήκος ράβδου,
p \u003d m "(x) - γραμμική πυκνότητα.
Με τη βοήθεια της παραγώγου λύνονται προβλήματα από τη θεωρία της ελαστικότητας και των αρμονικών δονήσεων. Ναι, σύμφωνα με το νόμο του Χουκ
F = -kx, x – μεταβλητή συντεταγμένη, k – συντελεστής ελαστικότητας του ελατηρίου. Βάζοντας ω 2 \u003d k / m, λαμβάνουμε τη διαφορική εξίσωση του εκκρεμούς ελατηρίου x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,
όπου ω = √k/√m είναι η συχνότητα ταλάντωσης (l/c), k είναι ο ρυθμός ελατηρίου (H/m).
Μια εξίσωση της μορφής y "+ ω 2 y \u003d 0 ονομάζεται εξίσωση αρμονικών ταλαντώσεων (μηχανικών, ηλεκτρικών, ηλεκτρομαγνητικών). Η λύση σε τέτοιες εξισώσεις είναι η συνάρτηση
y = Asin(ωt + φ 0) ή y = Acos(ωt + φ 0), όπου
Α - πλάτος ταλάντωσης, ω - κυκλική συχνότητα,
φ 0 - αρχική φάση.
Συνέχεια και διαφοροποίηση μιας συνάρτησης.
Θεώρημα Darboux . Διαστήματα μονοτονίας.
Κρίσιμα σημεία . Ακραίο (ελάχιστο, ανώτατο όριο).
Σχέδιο έρευνας λειτουργίας.
Σχέση συνέχειας και διαφοροποίησης μιας συνάρτησης. Αν η συνάρτηση f(Χ)είναι διαφοροποιήσιμο σε κάποιο σημείο, τότε είναι συνεχές σε αυτό το σημείο. Το αντίστροφο δεν ισχύει: συνεχής λειτουργίαμπορεί να μην έχει παράγωγο.
Συνέπεια. Εάν η συνάρτηση είναι ασυνεχής σε κάποιο σημείο, τότε δεν έχει παράγωγο σε εκείνο το σημείο.
Επαρκή κριτήρια για τη μονοτονία μιας συνάρτησης.
Αν στ’(Χ) > 0 σε κάθε σημείο του διαστήματος (α, β), τότε η συνάρτηση f (Χ)αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.
Αν στ’(Χ) < 0 σε κάθε σημείο του διαστήματος (α, β) , τότε η συνάρτηση f(Χ)μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
Θεώρημα Darboux. Σημεία όπου η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι 0ή δεν υπάρχει, διαιρέστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε διαστήματα μέσα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της.
Χρησιμοποιώντας αυτά τα διαστήματα, μπορεί κανείς να βρει διαστήματα μονοτονίαςλειτουργίες, κάτι που είναι πολύ σημαντικό στη μελέτη τους.
Επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα (- , 0) και ( 1, + ) και μειώνεται στο διάστημα ( 0, 1). Τελεία Χ= 0 δεν περιλαμβάνεται στον ορισμό της συνάρτησης, αλλά ως προσέγγισηΧ k0 όρος Χ - 2 αυξάνεται επ' αόριστον, άρα και η συνάρτηση αυξάνεται επ' αόριστον. Στο σημείοΧ= 1 η τιμή της συνάρτησης είναι 3. Σύμφωνα με αυτήν την ανάλυση, μπορούμε να δημοσιεύσουμεσμήνος το γράφημα της συνάρτησης (εικ.4 σι ) .
κρίσιμα σημεία. Εσωτερικά σημεία του τομέα συνάρτησης,στο οποίο το παράγωγο είναιμηδενική ή δεν υπάρχει που ονομάζεται κρίσιμος αποσιωπητικάαυτή τη λειτουργία. Αυτά τα σημεία είναι πολύ σημαντικά κατά την ανάλυση μιας συνάρτησης και τη γραφική παράσταση της, γιατί μόνο σε αυτά τα σημεία μπορεί μια συνάρτηση να έχει ακραίο (ελάχιστο ή ανώτατο όριο , εικ.5 ΕΝΑ,σι).
Σε σημεία Χ 1 , Χ 2 (εικ.5 ένα) Και Χ 3 (εικ.5 σι) η παράγωγος είναι ίση με 0. σε σημεία Χ 1 , Χ 2 (εικ.5 σι) το παράγωγο δεν υπάρχει. Αλλά είναι όλα ακραία σημεία.
Απαραίτητη προϋπόθεση για εξτρέμ. Αν Χ 0 - ακραίο σημείο της συνάρτησηςφά(Χ) και η παράγωγος f' υπάρχει σε αυτό το σημείο, τότε f'(Χ 0)= 0.
Αυτό το θεώρημα είναι απαραίτητηακραία κατάσταση. Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο είναι 0,τότε δεν σημαίνει αυτό η συνάρτηση έχει ένα άκρο σε αυτό το σημείο. Για παράδειγμα, η παράγωγος της συνάρτησηςφά (Χ) = Χ 3 ισούται με 0 στο Χ= 0, αλλά αυτή η συνάρτηση δεν έχει άκρο σε αυτό το σημείο (Εικ. 6).
Από την άλλη, η συνάρτησηy = | Χ| , που φαίνεται στο Σχ. 3, έχει ένα ελάχιστο στο σημείοΧ= 0, αλλά η παράγωγος δεν υπάρχει σε αυτό το σημείο.
Επαρκείς συνθήκες για εξτρέμ.
Αν η παράγωγος όταν διέρχεται από το σημείο x 0 αλλάζει το πρόσημο από συν σε πλην, τότεΧ 0 - μέγιστο σημείο.
Αν η παράγωγος όταν διέρχεται από το σημείο x 0 αλλάζει το πρόσημο από μείον σε συν, μετά x 0 - ελάχιστος βαθμός.
Σχέδιο έρευνας λειτουργίας. Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης, χρειάζεστε:
1) βρείτε το πεδίο ορισμού και το εύρος της συνάρτησης,
2) προσδιορίστε εάν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή,
3) καθορίστε εάν η συνάρτηση είναι περιοδική ή όχι,
4) βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης και τις τιμές της στοΧ = 0,
5) εύρεση διαστημάτων σταθερότητας πρόσημου,
6) βρείτε διαστήματα μονοτονίας,
7) βρείτε ακραία σημεία και τιμές συνάρτησης σε αυτά τα σημεία,
8) αναλύστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά σε «ενικά» σημεία
Και στο μεγάλες αξίεςμονάδα μέτρησηςΧ .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Λειτουργία εξερεύνησηςφά(Χ) = Χ 3 + 2 Χ 2 - Χ- 2 και σχεδιάστε ένα γράφημα.
Λύση Διερευνούμε τη συνάρτηση σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα.
1) τομέαΧR (Χ- οποιοδήποτε πραγματικόαριθμός);
Εύρος τιμώνyR , επειδή φά (Χ) είναι περιττό πολυώνυμο
βαθμούς?
2) λειτουργία φά (Χ) δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός
(διευκρινίστε παρακαλώ)
3) φά (Χ) είναι μια μη περιοδική συνάρτηση (αποδείξτε το μόνοι σας).
4) η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνεται με τον άξοναΥστο σημείο (0, - 2),
Επειδή φά (0) = - 2; να βρούμε τα μηδενικά μιας συνάρτησης
Λύστε την εξίσωση:Χ 3 + 2 Χ 2 - Χ - 2 = 0, μία από τις ρίζες
Οι οποίες ( Χ= 1) είναι προφανές. Άλλες ρίζες είναι
(αν είναι! ) από τη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
Χ 2 + 3 Χ+ 2 = 0, που προκύπτει με διαίρεση του πολυωνύμου
Χ 3 + 2 Χ 2 - Χ- 2 ανά διώνυμο ( Χ- 1). Είναι εύκολο να το ελέγξετε
Ποιες είναι οι άλλες δύο ρίζες:Χ 2 = - 2 και Χ 3 = - 1. Έτσι,
Τα μηδενικά συναρτήσεων είναι: - 2, - 1 και 1.
5) Αυτό σημαίνει ότι ο πραγματικός άξονας χωρίζεται από αυτές τις ρίζες σε
Τέσσερα διαστήματα σταθερότητας πρόσημου, εντός των οποίων
Η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημά της:
Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί με επέκταση
πολλαπλασιαστικό πολυώνυμο:
Χ 3 + 2 Χ 2 - Χ - 2 = (Χ + 2) (Χ + 1 (Χ – 1)
Και η αξιολόγηση του πρόσημου του έργου .
6) Παράγωγο φά' (Χ) = 3 Χ 2 + 4 Χ- 1 δεν έχει σημεία όπου
Δεν υπάρχει, άρα το πεδίο εφαρμογής τουR (Ολα
πραγματικοί αριθμοί) μηδενικάφά' (Χ) είναι οι ρίζες της εξίσωσης:
3 Χ 2 + 4 Χ- 1 = 0 .
Τα αποτελέσματα που προέκυψαν συνοψίζονται στον πίνακα:
Εργο.
Η συνάρτηση y=f(x) ορίζεται στο διάστημα (-5; 6). Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x). Βρείτε ανάμεσα στα σημεία x 1, x 2, ..., x 7 εκείνα τα σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f (x) είναι ίση με μηδέν. Σε απάντηση, σημειώστε τον αριθμό των σημείων που βρέθηκαν.
Λύση:
Η αρχή για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι η εξής: υπάρχουν τρεις πιθανή συμπεριφοράλειτουργεί σε αυτό το διάστημα:
1) όταν η συνάρτηση αυξάνεται (όπου η παράγωγος είναι μεγαλύτερη από το μηδέν)
2) όταν η συνάρτηση είναι φθίνουσα (όπου η παράγωγος είναι μικρότερη από το μηδέν)
3) όταν η συνάρτηση δεν αυξάνεται και δεν μειώνεται (όπου η παράγωγος είναι είτε ίση με μηδέν είτε δεν υπάρχει)
Μας ενδιαφέρει η τρίτη επιλογή.
Η παράγωγος είναι μηδέν όπου η συνάρτηση είναι ομαλή και δεν υπάρχει στα σημεία διακοπής. Ας εξετάσουμε όλα αυτά τα σημεία.
x 1 - η συνάρτηση αυξάνεται, άρα η παράγωγος f (x) > 0
x 2 - η συνάρτηση παίρνει ένα ελάχιστο και είναι ομαλή, άρα η παράγωγος f ′(x) = 0
x 3 - η συνάρτηση παίρνει ένα μέγιστο, αλλά σε αυτό το σημείο υπάρχει ένα διάλειμμα, που σημαίνειπαράγωγος f ′(x) δεν υπάρχει
x 4 - η συνάρτηση παίρνει ένα μέγιστο, αλλά υπάρχει ένα διάλειμμα σε αυτό το σημείο, που σημαίνειπαράγωγος f ′(x) δεν υπάρχει
x 5 - παράγωγος f ′(x) = 0
x 6 - η συνάρτηση αυξάνεται, άρα η παράγωγος f′(x) >0
x 7 - η λειτουργία παίρνει ένα ελάχιστο και είναι ομαλή, έτσιπαράγωγος f ′(x) = 0
Βλέπουμε ότι το f ′(x) \u003d 0 στα σημεία x 2, x 5 και x 7, συνολικά 3 βαθμοί.