Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Αριστοτέλης, Διογένης, Καντ, Χέγκελ, Χίλμπερτ... Όλοι θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα· η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του ζητήματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.
Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.
Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».
Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες μονάδες. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:
Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.
Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά δεν είναι ολοκληρωμένη λύσηΠροβλήματα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.
Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημεία του χώρου σε μια χρονική στιγμή, αλλά από αυτές δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει ). Αυτό που θέλω να επισημάνω Ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.
Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018
Οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται πολύ καλά στη Wikipedia. Ας δούμε.
Όπως μπορείτε να δείτε, "δεν μπορούν να υπάρχουν δύο πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο", αλλά εάν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται "πολυσύνολο". Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ μια τέτοια παράλογη λογική. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, που δεν έχουν νοημοσύνη από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί λειτουργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.
Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα ενώ δοκίμαζαν τη γέφυρα. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.
Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «να με νου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον, «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τις συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Ας εφαρμόσουμε τη μαθηματική θεωρία συνόλων στους ίδιους τους μαθηματικούς.
Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και βγάζουμε μισθούς. Έρχεται λοιπόν σε εμάς ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια, παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο του μισθού» του. Ας εξηγήσουμε στον μαθηματικό ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι ένα σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με ένα σύνολο με πανομοιότυπα στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.
Πρώτα απ 'όλα, θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: "Αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε άλλους, αλλά όχι σε μένα!" Τότε θα αρχίσουν να μας καθησυχάζουν ότι τα χαρτονομίσματα της ίδιας ονομαστικής αξίας έχουν διαφορετικούς αριθμούς λογαριασμών, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν τα ίδια στοιχεία. Εντάξει, ας μετρήσουμε τους μισθούς σε νομίσματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να θυμάται μανιωδώς τη φυσική: σε διαφορετικά νομίσματα υπάρχει διαφορετικές ποσότητεςβρωμιά, κρυσταλλική δομή και ατομική διάταξη κάθε νομίσματος είναι μοναδική...
Και τώρα έχω την πιο ενδιαφέρουσα ερώτηση: πού είναι η γραμμή πέρα από την οποία τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και το αντίστροφο; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη δεν είναι καν κοντά στο να ψεύδεται εδώ.
Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Οι περιοχές των πεδίων είναι οι ίδιες - που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν δούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι και σύνολο και πολυσύνολο. Ποιο είναι σωστό? Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-αιχμηρός βγάζει έναν άσσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσύνολο. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.
Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».
Κυριακή 18 Μαρτίου 2018
Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά γι' αυτό είναι σαμάνοι, για να μάθουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.
Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Εξάλλου, οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα με τα οποία γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών η εργασία ακούγεται ως εξής: «Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό». Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν εύκολα.
Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και λοιπόν, ας έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.
1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι καναμε? Μετατρέψαμε τον αριθμό σε σύμβολο γραφικού αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
2. Κόβουμε μια εικόνα που προκύπτει σε πολλές εικόνες που περιέχουν μεμονωμένους αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.
3. Μετατρέψτε μεμονωμένα γραφικά σύμβολα σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα αυτό είναι μαθηματικά.
Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» που διδάσκονται από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.
Από μαθηματική άποψη, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε έναν αριθμό. Έτσι, μέσα διαφορετικά συστήματαΣτον λογισμό, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. Με τον μεγάλο αριθμό 12345, δεν θέλω να ξεγελάω το κεφάλι μου, ας εξετάσουμε τον αριθμό 26 από το άρθρο σχετικά. Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα κάτω από ένα μικροσκόπιο· το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.
Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι το ίδιο σαν να προσδιορίζατε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά, θα είχατε εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα.
Το μηδέν φαίνεται το ίδιο σε όλα τα συστήματα αριθμών και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι. Ερώτηση για μαθηματικούς: πώς ορίζεται κάτι που δεν είναι αριθμός στα μαθηματικά; Τι, για τους μαθηματικούς δεν υπάρχει τίποτα εκτός από αριθμούς; Μπορώ να το επιτρέψω για σαμάνους, αλλά όχι για επιστήμονες. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο αριθμούς.
Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα συστήματα αριθμών είναι μονάδες μέτρησης για αριθμούς. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματααφού τα συγκρίνεις, σημαίνει ότι δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.
Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό είναι όταν το αποτέλεσμα μαθηματική πράξηδεν εξαρτάται από το μέγεθος του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και το ποιος εκτελεί την ενέργεια.
Ω! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νέα γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της άφιλης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψή τους στον ουρανό! Φωτοστέφανο στην κορυφή και βέλος επάνω. Τι άλλη τουαλέτα;
Θηλυκό... Το φωτοστέφανο από πάνω και το βέλος κάτω είναι αρσενικό.
Εάν ένα τέτοιο έργο τέχνης σχεδιασμού αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα,
Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:
Προσωπικά, προσπαθώ να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (μια σύνθεση πολλών εικόνων: ένα σύμβολο μείον, ο αριθμός τέσσερα, ένας προσδιορισμός μοιρών). Και δεν νομίζω ότι αυτό το κορίτσι είναι ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα ισχυρό στερεότυπο για την αντίληψη γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.
Το 1Α δεν είναι «μείον τέσσερις μοίρες» ή «ένα α». Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" σε δεκαεξαδικό συμβολισμό. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα έναν αριθμό και ένα γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.
Πάντα θα υπάρχουν μαθητές που έχουν προβλήματα να θυμηθούν τις τιμές του πίνακα τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Όλα τα παιδιά είναι διαφορετικά. Μερικοί άνθρωποι θυμούνται καλά ένα λογικά κατασκευασμένο σύστημα γνώσης. Άλλοι βασίζονται σε οπτικές εικόνες.
Στην πρώτη περίπτωση, η μνημονική μέθοδος απομνημόνευσης των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων λειτουργεί καλά. Είναι εύκολο να δεις το μοτίβο: οι αριθμητές των ημιτόνων είναι οι ρίζες των διαδοχικών ακεραίων αριθμών από το μηδέν έως το τέσσερα και ο παρονομαστής είναι πάντα ο αριθμός 2. Για τα συνημίτονα, οι τιμές γράφονται με αντίστροφη σειρά.
Από τους αριθμούς 0, 1, 4 Τετραγωνική ρίζαμπορούν να εξαχθούν εύκολα και λαμβάνουμε ρητούς αριθμούς.
Η εικόνα ενός κύκλου αριθμών βοηθά τους μαθητές με ανεπτυγμένη οπτική μνήμη. Για να θυμόμαστε ευκολότερα ότι οι τιμές του sin α βρίσκονται στον άξονα Oy και οι τιμές του cos α στον άξονα Ox, χρησιμοποιούμε μια τεχνική συσχέτισης. Οι μαθητές βρίσκουν μια υπόδειξη - κάποια λέξη που θα τους επιτρέψει να «συνδέσουν» τα συνημίτονα με τον άξονα Ox και τα ημιτόνια με τον άξονα Oy. Για παράδειγμα, η λέξη "πλεξούδα" σας επιτρέπει να συνδυάσετε πλέκω inus και άξονας ΕΝΑ bscissa.
Διευκρινίζουμε τη θετική κατεύθυνση - αριστερόστροφα και την αρνητική κατεύθυνση - δεξιόστροφα).
Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν πού βρίσκονται οι γωνίες στον μοναδιαίο κύκλο για τις οποίες βρίσκουμε τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου.
Στον άξονα Ox βρίσκουμε το σημείο τομής του μοναδιαίου κύκλου και τον άξονα Ox - το σημείο εκκίνησης. Σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων, αυτό το σημείο αντιστοιχεί σε γωνία 0 ακτίνων (0 0). Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων βρίσκουμε τις τιμές sin0=0 και cos0=1.
Για να βρούμε ένα σημείο στον κύκλο που αντιστοιχεί στη γωνία π /3 (60 0), στον άξονα Ox βρίσκουμε ένα σημείο με τετμημένη ½ και σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στον άξονα Ox. Αυτή η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες π /3 και - π /3.
Για να βρούμε ένα σημείο στον κύκλο που αντιστοιχεί στη γωνία π /6 (30 0), στον άξονα Oy βρίσκουμε ένα σημείο με τεταγμένη ½ και σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στον άξονα Oy. Αυτή η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες π /6 (30 0) και 5π /6 (150 0).
Για να βρείτε ένα σημείο στον κύκλο που αντιστοιχεί στη γωνία π /4 (45 0), σχεδιάστε τη διχοτόμο I της γωνίας συντεταγμένων.
Κοιτάζοντας τον μοναδιαίο κύκλο, είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα Ox έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη. Επομένως, τα ημίτονο των απέναντι γωνιών είναι αντίθετα και τα συνημίτονα αυτών των γωνιών είναι ίσα.
Τα σημεία που είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα Oy έχουν τις ίδιες τεταγμένες και αντίθετα τετμημένα. Επομένως, τα συνημίτονα αυτών των γωνιών είναι αντίθετα και τα ημίτονο είναι ίσα. Με άλλα λόγια:
- τα ημιτόνια των γωνιών είναι ίσα αν το άθροισμα των γωνιών είναι 180 0.
- Τα συνημίτονα των γωνιών είναι αντίθετα αν το άθροισμα των γωνιών είναι 180 0.
Σημεία που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή έχουν αντίθετες συντεταγμένες. Επομένως, οι γωνίες που βρίσκονται διαμετρικά απέναντι σε έναν κύκλο έχουν αντίθετες τιμές ημιτόνων και συνημιτόνων.
Βλέπουμε επίσης ότι τα ημίτονο και συνημίτονο των οξειών γωνιών είναι ίσα αν το άθροισμα των γωνιών είναι 90 0.
Λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα χαρακτηριστικά, ενοποιούμε επίσης τις γνώσεις για τα θέματα «Τύποι αναγωγής» και «Ισοτιμία συνάρτησης».
Βρίσκουμε τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων γωνιών χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα χρησιμοποιώντας τους τύπους tgα = sinα / cosα, σtgα = cosα / sinα.
Είναι χρήσιμο να θυμάστε τις θέσεις του άξονα των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για να βρείτε τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων γωνιών, λύσεις τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι ανισότητες.
Αυτές οι τεχνικές βοηθούν τους μαθητές μου να ανακαλέσουν ή να βρουν εύκολα τις τιμές του πίνακα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ελπίζω να βοηθήσουν και άλλους μαθητές.
Λαμπρό - απλό!
Για να θυμηθούμε τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου, πρέπει να δημιουργήσουμε έναν πίνακα. Καταγράφουμε το μέτρο μοιρών των γωνιών στη γραμμή: μηδέν μοίρες, τριάντα μοίρες, σαράντα πέντε μοίρες, εξήντα μοίρες, ενενήντα μοίρες.
Βήμα 2
Βήμα 3
Τώρα διαιρούμε κάθε μία από αυτές τις ρίζες με δύο. Κάθε έξυπνο είναι απλό! Κάνουμε έναν απλό υπολογισμό και εδώ έχετε τις τιμές των ημιτόνων.
Συμφωνώ, δεν είναι δύσκολο. Απλά πρέπει να θυμάστε τη σειρά των ενεργειών. Καταγράψαμε τις μοίρες, βγάλαμε τις ρίζες και το επόμενο βήμα ήταν να χωρίσουμε τα πάντα στα δύο. Καταγράφουμε τους αριθμούς ξεκινώντας από το μηδέν.
Δηλαδή ένα είδος μνημονικού.
Βήμα 4
Τι γίνεται με τα συνημίτονα; Λοιπόν, πού θα ήμασταν χωρίς αυτούς! Με τα ημιτονοειδή η κατάσταση δεν είναι πιο περίπλοκη από ό,τι με τα ημιτονοειδή. Στην πρώτη γραμμή σημειώνουμε το μέτρο μοιρών των γωνιών: μηδέν μοίρες, τριάντα μοίρες, σαράντα πέντε μοίρες, εξήντα μοίρες, ενενήντα μοίρες. Στη συνέχεια, παρόμοια με τη μέθοδο εύρεσης ημιτόνων, εξάγουμε τη ρίζα από κάθε αριθμό. Διαιρέστε όλες τις τιμές με δύο. Λάβαμε τις τιμές των συνημιτόνων.
Βήμα 5
Επίσης τώρα, έχοντας αυτά τα δεδομένα, μπορείτε να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας. Θυμίζω σε όσους το έχουν ξεχάσει: εφαπτομένη είναι η αναλογία του ημιτόνου προς το συνημίτονο.
- Συμφωνώ, ενδιαφέροντα τρόποεύρεση ημιτονίων και συνημιτόνων. Ελπίζω να φανεί χρήσιμο!) Ενδιαφέρουσες μνημονικές. Παρεμπιπτόντως, υπάρχει διαφορετικοί τρόποιαπομνημόνευση πληροφοριών, τύπων, ιδίως στη φυσική. Cheered up): V= ρίζα 3 ΚΤ/Μ. Αυτή η φόρμουλα μπορεί να θυμόμαστε ως τρεις γάτες για κρέας xD)
Η απομνημόνευση ενός πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι ένα καυτό θέμα όχι μόνο για μαθητές γυμνασίου, αλλά και για τους ίδιους τους δασκάλους και τους καθηγητές μαθηματικών, οι οποίοι συχνά δεν μπορούν να τονίσουν σωστά τα χαρακτηριστικά του πίνακα και έτσι να εισάγουν πρόσθετα εμπόδια στη χρήση του. Υπάρχουν τόσα πολλά που έχω δει στα τετράδια των μαθητών όλα αυτά τα χρόνια της πρακτικής μου. Φαίνεται ότι οι ίδιοι οι δάσκαλοι και οι δάσκαλοι δεν ξέρουν πώς να ενεργήσουν καλύτερα. Κάποιος προσφέρει ξεχωριστούς πίνακες για άμεσες και χωριστά για αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Κάποιος προτείνει ένα τριγωνόμετρο, καταγράφει με μια άβολη αναπαράσταση των τιμών της συνάρτησης και χρησιμοποιεί, για παράδειγμα, αντί για έναν αριθμό που είναι εκτός εύρους γενικός κανόνας. Σύμφωνα με τα στατιστικά μου, περίπου τα παιδιά δεν μπορούν να παρακολουθήσουν ανεξάρτητα τα μοτίβα των μαθηματικών τύπων και των ιδιοτήτων που απλοποιούν την απομνημόνευση. Οι δάσκαλοι του σχολείου δεν τους δίνουν πάντα προσοχή και συχνά είναι ο δάσκαλος των μαθηματικών που ανοίγει τα μάτια του παιδιού στο προφανές.
Τι πρέπει να κάνει ένας καθηγητής μαθηματικών;
Στέλνω έναν συγκεκριμένο βοηθό στην τάξη - έναν πλοηγό, ο οποίος διευκολύνει τον μαθητή να απομνημονεύσει πληροφορίες σημαντικές για την πρακτική επίλυση προβλημάτων. Οι συνοδευτικές συμβουλές εξετάζονται σε θεωρητικά φύλλα εξαπάτησης, στα οποία:
- Η ευρύτερη δυνατή κάλυψη πληροφοριών εξασφαλίζεται από τον ελάχιστο όγκο εγγραφών.
- πληροφορίες μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας ορισμένα αναγνωρισμένα χαρακτηριστικά και μοτίβα στη συμπεριφορά των αριθμών
Πώς μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η αρχή στην απομνημόνευση ενός πίνακα τιμών;
1) Ο καθηγητής μαθηματικών θα πρέπει να κάνει ένα είδος ξενάγησης στον πίνακα και να μιλήσει για τα χαρακτηριστικά του. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι για να μετατρέψουμε τις γωνίες από μοίρες σε ακτίνια, αρκεί να θυμηθούμε ποιος πρέπει να είναι ο παρονομαστής αυτών των ακτίνων. Αυτό και αυτό Αν η συνειρμική μνήμη ενός παιδιού λειτουργεί τουλάχιστον λίγο, τότε θα θυμάται ότι οι «παρονομαστές ακτίνων» περιέχουν μόνο αριθμούς και 6. Βρίσκονται στη θέση δεκάδων που αντιστοιχούν σε αυτούς μέτρο βαθμού. Μόνο τρία αντιστοιχούν σε έξι, έξι σε τρία και τέσσερα (το ενδιάμεσο ψηφίο) διατηρούνται κατά τη μετάβαση στο. Το λέω αυτό - τα τρία αλλάζουν σε έξι, τα έξι σε τρία, και τα τέσσερα παγώνουν και παραμένει το πρώτο ψηφίο του βαθμού μέτρησης της γωνίας.
Κατά τη μετάφραση, μπορείτε να το δείτε δεδομένη γωνία 5 φορές περισσότερο από . Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας τα ακτίνια επί 5, παίρνουμε .
Είναι καλύτερο να μην κοιτάξετε στον πίνακα τις τιμές των ημιτόνων και των συνημιτόνων για τις κύριες γωνίες, αλλά να θυμάστε τον ορισμό για τις συναρτήσεις τους χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο.
Οι συντελεστές των τιμών των συναρτήσεων των μεγάλων γωνιών είναι συμμετρικοί με τις τιμές για γωνίες έως . Απλά πρέπει να λάβετε υπόψη αρνητικά σημάδιασυνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη στο δεύτερο τρίμηνο.
Ο καθηγητής μαθηματικών πρέπει να μάθει το κύριο μέρος του πίνακα με τον μαθητή. Και υπάρχουν όμορφα μοτίβα εδώ. Εάν ο δάσκαλος έδωσε στον μαθητή τους αριθμούς για τον τριγωνομετρικό πίνακα, τότε μπορείτε να δείτε ότι αν τον παρουσιάσουμε με τη μορφή , θα έχουμε μια ενοποιημένη δομή κλασμάτων και αριθμών και θα πρέπει να απομνημονευθούν. Αυτή τη στιγμή, ο μαθητής θα το βρει απλά αστείο και θα αναρωτηθεί γιατί δεν έχει ξαναδεί τέτοια μοτίβα.
Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να θυμάστε την παραγγελία. Αφού το ημίτονο στο πρώτο τρίμηνο αυξάνεται, λοιπόν μεγαλύτερη γωνίααντιστοιχεί μεγαλύτερο αριθμόκάτω από τη ρίζα. Λέω αυτό: σε μεγαλύτερη γωνία - μεγαλύτερο ημίτονο. Επαναλαμβάνω πολλές φορές στους αδύναμους μαθητές: το ημίτονο λειτουργεί με άμεση σειρά: το μεγαλύτερο είναι μεγαλύτερο και το μικρότερο είναι μικρότερο. Αυτή η επανάληψη των λέξεων, κατά κανόνα, εναποτίθεται στο κεφάλι του.
Ευνόητος. ότι με το συνημίτονο είναι το αντίστροφο: μια μικρότερη γωνία παίρνει μεγαλύτερο συνημίτονο. Το ίδιο αποκαλύπτεται για τις εφαπτομένες και τις συνεφαπτομένες.
Στον πίνακα των τιμών των εφαπτομένων, ο καθηγητής μαθηματικών πρέπει να γράψει τους αριθμούς χωρίς τον ακραίο αριθμό, δηλαδή: , και . Στη συνέχεια εκτός από ταίριασμα σε λιγότερο - λιγότερο, ΕΝΑ περισσότερα - περισσότεραοι εφαπτομένες θα σχηματιστούν από όλους τους διαφορετικούς συνδυασμούς διαίρεσης αριθμών: 1 και . Μετά από τέτοιες αναλογίες, το 90-95 τοις εκατό των μαθητών του καθηγητή μαθηματικών δεν κάνουν λάθη στις τιμές του πίνακα.
Υπολογισμός τόξων, αρκοσινών, τόξων...
1. η λέξη arcsine είναι δύσκολη και μακροσκελής στην προφορά. Σε ορισμένες περιπτώσεις καταπίνω εσκεμμένα τη λέξη "sine" και λέω, για παράδειγμα, αυτό: να βρω αψίδα, απαιτείται... Οι μαθητές καταλαβαίνουν περί τίνος πρόκειται μιλάμε για, και ο καθηγητής μαθηματικών μπορεί να επικεντρωθεί σε κάτι πιο σημαντικό.
2. Στον πίνακα που βλέπετε παρακάτω, η περιοχή επισημαίνεται ειδικά με κόκκινο χρώμα. Χρησιμοποιείται για την εύρεση καμάρες.
Αυτό το άρθρο περιέχει πίνακες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων. Αρχικά, θα παρέχουμε έναν πίνακα με τις βασικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή έναν πίνακα ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων γωνιών 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 μοιρών ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πακτίνιο). Μετά από αυτό, θα δώσουμε έναν πίνακα ημιτόνων και συνημιτόνων, καθώς και έναν πίνακα εφαπτομένων και συνεφαπτομένων του V. M. Bradis και θα δείξουμε πώς να χρησιμοποιείτε αυτούς τους πίνακες κατά την εύρεση των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Πίνακας ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων για γωνίες 0, 30, 45, 60, 90, ... μοιρών
Βιβλιογραφία.
- Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 σελ.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
- Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14η έκδ. - M.: Education, 2004. - 384 σελ.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
- Bradis V. M.Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες: Για γενική εκπαίδευση. εγχειρίδιο εγκαταστάσεις. - 2η έκδ. - M.: Bustard, 1999.- 96 σελ.: ill. ISBN 5-7107-2667-2