Λογάριθμος χωρίς βάση πώς να λύσετε. Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. Πλήρης οδηγός (2019)

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτεςνα βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημοσίων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Συνεχίζουμε να μελετάμε τους λογάριθμους. Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για υπολογισμός λογαρίθμων, αυτή η διαδικασία ονομάζεται λογάριθμος. Αρχικά, θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό των λογαρίθμων εξ ορισμού. Στη συνέχεια, εξετάστε πώς βρίσκονται οι τιμές των λογαρίθμων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές τους. Μετά από αυτό, θα σταθούμε στον υπολογισμό των λογαρίθμων μέσω των αρχικά δεδομένων τιμών άλλων λογαρίθμων. Τέλος, ας μάθουμε πώς να χρησιμοποιούμε πίνακες λογαρίθμων. Η όλη θεωρία παρέχεται με παραδείγματα με αναλυτικές λύσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός λογαρίθμων εξ ορισμού

Στις απλούστερες περιπτώσεις, είναι δυνατή η γρήγορη και εύκολη εκτέλεση βρίσκοντας τον λογάριθμο εξ ορισμού. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο πώς λαμβάνει χώρα αυτή η διαδικασία.

Η ουσία του είναι να αναπαραστήσει τον αριθμό b με τη μορφή a c, από όπου, σύμφωνα με τον ορισμό του λογαρίθμου, ο αριθμός c είναι η τιμή του λογαρίθμου. Δηλαδή, εξ ορισμού, η εύρεση του λογάριθμου αντιστοιχεί στην ακόλουθη αλυσίδα ισοτήτων: log a b=log a a c =c .

Έτσι, ο υπολογισμός του λογάριθμου, εξ ορισμού, καταλήγει στην εύρεση ενός τέτοιου αριθμού c που a c \u003d b και ο ίδιος ο αριθμός c είναι η επιθυμητή τιμή του λογαρίθμου.

Λαμβάνοντας υπόψη τις πληροφορίες των προηγούμενων παραγράφων, όταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου δίνεται από κάποιο βαθμό της βάσης του λογάριθμου, τότε μπορείτε να υποδείξετε αμέσως με τι είναι ίσος ο λογάριθμος - είναι ίσος με τον εκθέτη. Ας δείξουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Βρείτε το log 2 2 −3 και υπολογίστε επίσης τον φυσικό λογάριθμο του e 5.3.

Λύση.

Ο ορισμός του λογάριθμου μας επιτρέπει να πούμε αμέσως ότι το log 2 2 −3 = −3 . Πράγματι, ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου είναι ίσος με τη βάση 2 προς την ισχύ −3.

Ομοίως, βρίσκουμε τον δεύτερο λογάριθμο: lne 5.3 =5.3.

Απάντηση:

log 2 2 −3 = −3 και lne 5,3 =5,3 .

Εάν ο αριθμός b κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου δεν δίνεται ως η ισχύς της βάσης του λογαρίθμου, τότε πρέπει να εξετάσετε προσεκτικά εάν είναι δυνατόν να καταλήξετε σε μια αναπαράσταση του αριθμού b με τη μορφή a c . Συχνά αυτή η αναπαράσταση είναι αρκετά προφανής, ειδικά όταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου είναι ίσος με τη βάση προς τη δύναμη του 1, ή 2, ή 3, ...

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τους λογαρίθμους log 5 25 και .

Λύση.

Είναι εύκολο να δούμε ότι 25=5 2 , αυτό σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον πρώτο λογάριθμο: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Προχωράμε στον υπολογισμό του δεύτερου λογάριθμου. Ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη 7: (δείτε αν χρειάζεται). Ως εκ τούτου, .

Ας ξαναγράψουμε τον τρίτο λογάριθμο με την παρακάτω μορφή. Τώρα μπορείτε να το δείτε αυτό , από όπου συμπεραίνουμε ότι . Επομένως, με τον ορισμό του λογάριθμου .

Εν συντομία, η λύση θα μπορούσε να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

ημερολόγιο 5 25=2, Και .

Όταν υπάρχει μια αρκετά μεγάλη τιμή κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου φυσικός αριθμός, τότε δεν βλάπτει να το αποσυνθέσουμε σε πρώτους παράγοντες. Συχνά βοηθάει να αναπαραστήσουμε έναν τέτοιο αριθμό ως κάποια δύναμη της βάσης του λογαρίθμου, και επομένως, να υπολογίσουμε αυτόν τον λογάριθμο εξ ορισμού.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή του λογάριθμου.

Λύση.

Ορισμένες ιδιότητες των λογαρίθμων σας επιτρέπουν να καθορίσετε αμέσως την τιμή των λογαρίθμων. Αυτές οι ιδιότητες περιλαμβάνουν την ιδιότητα του λογάριθμου της ενότητας και την ιδιότητα του λογάριθμου ενός αριθμού, ίσο με τη βάση: log 1 1=log a a 0 =0 και log a a=log a a 1 =1 . Δηλαδή, όταν ο αριθμός 1 ή ο αριθμός α είναι κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, ίσος με τη βάση του λογαρίθμου, τότε σε αυτές τις περιπτώσεις οι λογάριθμοι είναι 0 και 1, αντίστοιχα.

Παράδειγμα.

Ποιοι είναι οι λογάριθμοι και το lg10;

Λύση.

Αφού , προκύπτει από τον ορισμό του λογάριθμου .

Στο δεύτερο παράδειγμα, ο αριθμός 10 κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου συμπίπτει με τη βάση του, άρα ο δεκαδικός λογάριθμος του δέκα είναι ίσος με ένα, δηλαδή lg10=lg10 1 =1 .

Απάντηση:

ΚΑΙ lg10=1 .

Σημειώστε ότι ο υπολογισμός των λογαρίθμων εξ ορισμού (που συζητήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο) συνεπάγεται τη χρήση του log ισότητας a a p =p , που είναι μια από τις ιδιότητες των λογαρίθμων.

Στην πράξη, όταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και η βάση του λογαρίθμου αντιπροσωπεύονται εύκολα ως δύναμη κάποιου αριθμού, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιηθεί ο τύπος , που αντιστοιχεί σε μία από τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Εξετάστε ένα παράδειγμα εύρεσης του λογάριθμου, που επεξηγεί τη χρήση αυτού του τύπου.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τον λογάριθμο του .

Λύση.

Απάντηση:

Οι ιδιότητες των λογαρίθμων που δεν αναφέρονται παραπάνω χρησιμοποιούνται επίσης στον υπολογισμό, αλλά θα μιλήσουμε για αυτό στις επόμενες παραγράφους.

Εύρεση λογαρίθμων με όρους άλλων γνωστών λογαρίθμων

Οι πληροφορίες σε αυτή την παράγραφο συνεχίζουν το θέμα της χρήσης των ιδιοτήτων των λογαρίθμων στον υπολογισμό τους. Αλλά εδώ η κύρια διαφορά είναι ότι οι ιδιότητες των λογαρίθμων χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν τον αρχικό λογάριθμο με όρους άλλου λογάριθμου, η τιμή του οποίου είναι γνωστή. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα για διευκρίνιση. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι το log 2 3≈1.584963 , τότε μπορούμε να βρούμε, για παράδειγμα, το log 2 6 κάνοντας έναν μικρό μετασχηματισμό χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογάριθμου: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Στο παραπάνω παράδειγμα, αρκούσε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου του γινομένου. Ωστόσο, πολύ πιο συχνά πρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα ευρύτερο οπλοστάσιο ιδιοτήτων των λογαρίθμων για να υπολογίσετε τον αρχικό λογάριθμο σε σχέση με τους δεδομένους.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τον λογάριθμο του 27 στη βάση του 60 αν είναι γνωστό ότι log 60 2=a και log 60 5=b .

Λύση.

Πρέπει λοιπόν να βρούμε το αρχείο καταγραφής 60 27 . Είναι εύκολο να δούμε ότι 27=3 3 , και ο αρχικός λογάριθμος, λόγω της ιδιότητας του λογάριθμου του βαθμού, μπορεί να ξαναγραφτεί ως 3·log 60 3 .

Τώρα ας δούμε πώς μπορεί να εκφραστεί το log 60 3 με όρους γνωστών λογαρίθμων. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός αριθμού ίσου με τη βάση σας επιτρέπει να γράψετε το ημερολόγιο ισότητας 60 60=1 . Από την άλλη πλευρά, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Ετσι, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ως εκ τούτου, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Τέλος, υπολογίζουμε τον αρχικό λογάριθμο: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 β.

Απάντηση:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 β.

Ξεχωριστά, αξίζει να αναφερθεί η έννοια του τύπου για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογαρίθμου της μορφής . Σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από λογάριθμους με οποιαδήποτε βάση σε λογάριθμους με συγκεκριμένη βάση, οι τιμές των οποίων είναι γνωστές ή είναι δυνατό να τις βρείτε. Συνήθως, από τον αρχικό λογάριθμο, σύμφωνα με τον τύπο μετάβασης, αλλάζουν σε λογάριθμους σε μία από τις βάσεις 2, e ή 10, αφού για αυτές τις βάσεις υπάρχουν πίνακες λογαρίθμων που επιτρέπουν τον υπολογισμό τους με συγκεκριμένο βαθμό ακρίβειας. Στην επόμενη ενότητα, θα δείξουμε πώς γίνεται αυτό.

Πίνακες λογαρίθμων, χρήση τους

Για έναν κατά προσέγγιση υπολογισμό των τιμών των λογαρίθμων, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει πίνακες λογαρίθμων. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι είναι ο πίνακας λογαρίθμων βάσης 2, ο πίνακας φυσικών λογαρίθμων και ο πίνακας δεκαδικών λογαρίθμων. Όταν εργάζεστε στο σύστημα δεκαδικών αριθμών, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν πίνακα λογαρίθμων για τη βάση του δέκα. Με τη βοήθειά του, θα μάθουμε να βρίσκουμε τις τιμές των λογαρίθμων.

Ο παρουσιαζόμενος πίνακας επιτρέπει, με ακρίβεια ενός δέκατου χιλιοστού, να βρούμε τις τιμές των δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών από 1.000 έως 9.999 (με τρία δεκαδικά ψηφία). Η αρχή της εύρεσης της τιμής του λογαρίθμου χρησιμοποιώντας τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων θα αναλυθεί στο συγκεκριμένο παράδειγμα- τόσο πιο ξεκάθαρο. Ας βρούμε το lg1,256.

Στην αριστερή στήλη του πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων βρίσκουμε τα δύο πρώτα ψηφία του αριθμού 1,256, δηλαδή βρίσκουμε το 1,2 (αυτός ο αριθμός είναι κυκλωμένος με μπλε για ευκρίνεια). Το τρίτο ψηφίο του αριθμού 1.256 (αριθμός 5) βρίσκεται στην πρώτη ή την τελευταία γραμμή στα αριστερά της διπλής γραμμής (ο αριθμός αυτός κυκλώνεται με κόκκινο). Το τέταρτο ψηφίο του αρχικού αριθμού 1.256 (αριθμός 6) βρίσκεται στην πρώτη ή την τελευταία γραμμή στα δεξιά της διπλής γραμμής (ο αριθμός αυτός είναι κυκλωμένος με πράσινο χρώμα). Τώρα βρίσκουμε τους αριθμούς στα κελιά του πίνακα των λογαρίθμων στην τομή της σημειωμένης γραμμής και των στηλών που σημειώνονται (αυτοί οι αριθμοί επισημαίνονται με πορτοκαλί χρώμα). Το άθροισμα των σημειωμένων αριθμών δίνει την επιθυμητή τιμή του δεκαδικού λογάριθμου μέχρι το τέταρτο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα, να βρούμε τις τιμές των δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών που έχουν περισσότερα από τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή και επίσης υπερβαίνουν τα όρια από το 1 έως το 9,999; Ναι μπορείς. Ας δείξουμε πώς γίνεται αυτό με ένα παράδειγμα.

Ας υπολογίσουμε το lg102.76332 . Πρώτα πρέπει να γράψετε αριθμός μέσα τυποποιημένη μορφή : 102.76332=1.0276332 10 2 . Μετά από αυτό, η μάντισσα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, έχουμε 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, ενώ ο αρχικός δεκαδικός λογάριθμος είναι περίπου ίσος με τον λογάριθμο του προκύπτοντος αριθμού, δηλαδή παίρνουμε lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Τώρα εφαρμόστε τις ιδιότητες του λογάριθμου: lg1,028 10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Τέλος, βρίσκουμε την τιμή του λογαρίθμου lg1.028 σύμφωνα με τον πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ως αποτέλεσμα, η όλη διαδικασία υπολογισμού του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Συμπερασματικά, αξίζει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιώντας τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων, μπορείτε να υπολογίσετε την κατά προσέγγιση τιμή οποιουδήποτε λογαρίθμου. Για να γίνει αυτό, αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο μετάβασης για να μεταβείτε σε δεκαδικούς λογάριθμους, να βρείτε τις τιμές τους στον πίνακα και να εκτελέσετε τους υπόλοιπους υπολογισμούς.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το αρχείο καταγραφής 2 3 . Σύμφωνα με τον τύπο για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου, έχουμε . Από τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων βρίσκουμε lg3≈0,4771 και lg2≈0,3010. Ετσι, .

Βιβλιογραφία.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές).

Τι είναι ο λογάριθμος;

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τι είναι ο λογάριθμος; Πώς να λύσετε λογάριθμους; Αυτά τα ερωτήματα μπερδεύουν πολλούς απόφοιτους. Παραδοσιακά, το θέμα των λογαρίθμων θεωρείται περίπλοκο, ακατανόητο και τρομακτικό. Ειδικά - εξισώσεις με λογάριθμους.

Αυτό δεν είναι απολύτως αλήθεια. Απολύτως! Δεν πιστεύεις; Πρόστιμο. Τώρα, για περίπου 10 - 20 λεπτά:

1. Κατανοήστε τι είναι λογάριθμος.

2. Μάθετε να λύνετε μια ολόκληρη τάξη εκθετικές εξισώσεις. Ακόμα κι αν δεν τα έχετε ακούσει.

3. Μάθετε να υπολογίζετε απλούς λογάριθμους.

Επιπλέον, για αυτό θα χρειαστεί να γνωρίζετε μόνο τον πίνακα πολλαπλασιασμού και πώς ένας αριθμός αυξάνεται σε δύναμη ...

Αισθάνομαι ότι αμφιβάλλετε ... Λοιπόν, κρατήστε χρόνο! Πηγαίνω!

Πρώτα, λύστε την ακόλουθη εξίσωση στο μυαλό σας:

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

(από τα ελληνικά λόγος - «λέξη», «σχέση» και ἀριθμός - «αριθμός») αριθμοί σιαπό τον λόγο ένα(ημερολόγιο α σι) ονομάζεται τέτοιος αριθμός ντο, Και σι= μετα Χριστον, δηλαδή log α σι=ντοΚαι b=aντοείναι ισοδύναμα. Ο λογάριθμος έχει νόημα εάν a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Με άλλα λόγια λογάριθμοςαριθμοί σιαπό τον λόγο ΕΝΑδιατυπώνεται ως εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ένας αριθμός έναγια να πάρετε τον αριθμό σι(ο λογάριθμος υπάρχει μόνο για θετικούς αριθμούς).

Από τη διατύπωση αυτή προκύπτει ότι ο υπολογισμός x= log α σι, ισοδυναμεί με την επίλυση της εξίσωσης a x =b.

Για παράδειγμα:

log 2 8 = 3 γιατί 8=2 3 .

Σημειώνουμε ότι η υποδεικνυόμενη διατύπωση του λογαρίθμου καθιστά δυνατό τον άμεσο προσδιορισμό τιμή λογάριθμουόταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι μια ορισμένη δύναμη της βάσης. Πράγματι, η διατύπωση του λογάριθμου καθιστά δυνατό να δικαιολογηθεί ότι αν b=a γ, τότε ο λογάριθμος του αριθμού σιαπό τον λόγο έναισοδυναμεί Με. Είναι επίσης σαφές ότι το θέμα του λογάριθμου συνδέεται στενά με το θέμα βαθμός του αριθμού.

Αναφέρεται ο υπολογισμός του λογάριθμου λογάριθμος. Ο λογάριθμος είναι η μαθηματική πράξη λήψης ενός λογάριθμου. Κατά τη λήψη ενός λογάριθμου, τα γινόμενα των παραγόντων μετατρέπονται σε αθροίσματα όρων.

Ενίσχυσηείναι η μαθηματική πράξη αντίστροφη προς τον λογάριθμο. Κατά την ενίσχυση, η δεδομένη βάση ανυψώνεται στην ισχύ της έκφρασης στην οποία εκτελείται η ενίσχυση. Στην περίπτωση αυτή, τα αθροίσματα των όρων μετατρέπονται σε γινόμενο παραγόντων.

Αρκετά συχνά, χρησιμοποιούνται πραγματικοί λογάριθμοι με βάσεις 2 (δυαδικός), αριθμός Euler e ≈ 2,718 (φυσικός λογάριθμος) και 10 (δεκαδικός).

Σε αυτό το στάδιο, αξίζει να εξεταστεί δείγματα λογαρίθμωνημερολόγιο 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Και οι εγγραφές lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 δεν έχουν νόημα, αφού στο πρώτο από αυτά τοποθετείται αρνητικός αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, στο δεύτερο - αρνητικός αριθμόςστη βάση, και στην τρίτη - και έναν αρνητικό αριθμό κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και μια μονάδα στη βάση.

Προϋποθέσεις για τον προσδιορισμό του λογάριθμου.

Αξίζει να εξεταστούν χωριστά οι συνθήκες a > 0, a ≠ 1, b > 0. ορισμός λογάριθμου.Ας εξετάσουμε γιατί λαμβάνονται αυτοί οι περιορισμοί. Αυτό θα μας βοηθήσει με μια ισότητα της μορφής x = log α σι, που ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα, η οποία προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του λογάριθμου που δόθηκε παραπάνω.

Πάρτε τον όρο a≠1. Εφόσον το ένα είναι ίσο με ένα σε οποιαδήποτε δύναμη, τότε η ισότητα x=log α σιμπορεί να υπάρξει μόνο όταν b=1, αλλά το αρχείο καταγραφής 1 1 θα είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Για να εξαλείψουμε αυτή την ασάφεια, παίρνουμε a≠1.

Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα της συνθήκης α>0. Στο a=0σύμφωνα με τη διατύπωση του λογάριθμου, μπορεί να υπάρξει μόνο όταν b=0. Και μετά ανάλογα ημερολόγιο 0 0μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός, αφού το μηδέν σε οποιαδήποτε μη μηδενική ισχύς είναι μηδέν. Για να εξαλειφθεί αυτή η ασάφεια, η προϋπόθεση a≠0. Και πότε ένα<0 θα έπρεπε να απορρίψουμε την ανάλυση των ορθολογικών και ανορθολογικών τιμών του λογαρίθμου, αφού ο εκθέτης με ορθολογικό και παράλογο εκθέτη ορίζεται μόνο για μη αρνητικές βάσεις. Είναι γι' αυτό το λόγο η συνθήκη α>0.

Και η τελευταία προϋπόθεση b>0προκύπτει από την ανισότητα α>0, γιατί x=log α σι, και την τιμή του πτυχίου με θετική βάση έναπάντα θετικός.

Χαρακτηριστικά των λογαρίθμων.

Λογάριθμοιχαρακτηρίζεται από διακριτικό χαρακτηριστικά, γεγονός που οδήγησε στην ευρεία χρήση τους για να διευκολυνθούν πολύ οι επίπονοι υπολογισμοί. Στη μετάβαση "στον κόσμο των λογαρίθμων", ο πολλαπλασιασμός μετατρέπεται σε πολύ πιο εύκολη πρόσθεση, η διαίρεση σε αφαίρεση και η αύξηση σε δύναμη και η λήψη ρίζας μετατρέπονται σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση με έναν εκθέτη, αντίστοιχα.

Η διατύπωση των λογαρίθμων και ένας πίνακας των τιμών τους (για τριγωνομετρικές συναρτήσεις) δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά το 1614 από τον Σκωτσέζο μαθηματικό John Napier. Οι λογαριθμικοί πίνακες, μεγεθυσμένοι και λεπτομερείς από άλλους επιστήμονες, χρησιμοποιήθηκαν ευρέως σε επιστημονικούς και μηχανικούς υπολογισμούς και παρέμειναν σχετικοί μέχρι να χρησιμοποιηθούν. ηλεκτρονικές αριθμομηχανέςκαι υπολογιστές.

βασικές ιδιότητες.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

ίδιους λόγους

log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Δείτε επίσης:

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

4. Οπου .

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετατραπούν με κάθε δυνατό τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται βασικές ιδιότητες.

Πρέπει να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - κανένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - όλα μπορούν να μαθευτούν σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι - ίδιους λόγους. Εάν οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα βοηθήσουν στον υπολογισμό της λογαριθμικής έκφρασης ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα "Τι είναι ο λογάριθμος"). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Με βάση αυτό το γεγονός πολλοί δοκιμαστικά χαρτιά. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί ο λογάριθμος ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το πρόσημο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση και το όρισμα είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Οι λογάριθμοι είναι παραδείγματα λύσεων.

Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, κάτι που έγινε. Το αποτέλεσμα είναι η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Τι γίνεται αν οι βάσεις είναι διαφορετικές; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι είναι δυνατή η ανταλλαγή της βάσης και του ορίσματος του λογάριθμου, αλλά σε αυτή την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή.

Αυτές οι φόρμουλες σπάνια βρίσκονται σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν εργασίες που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων είναι ακριβείς εκθέτες. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει από τη μετάθεση των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια καταλάβαμε τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης απαιτείται η αναπαράσταση ενός αριθμού ως λογάριθμου σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, οι τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς η τιμή του λογαρίθμου.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Πράγματι, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε ο αριθμός b σε αυτόν τον βαθμό να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: αυτός είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι «κολλάνε» πάνω της.

Όπως και οι νέοι τύποι μετατροπής βάσης, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - μόλις έβγαλε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Για όσους δεν ξέρουν, ήταν πραγματική πρόκλησηαπό τις εξετάσεις 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που είναι δύσκολο να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον, αυτές είναι συνέπειες από τον ορισμό του λογαρίθμου. Βρίσκονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα - ο λογάριθμος μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση α δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια τέτοια ισχύ x () στην οποία η ισότητα είναι αληθής

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Οι παραπάνω ιδιότητες πρέπει να είναι γνωστές, αφού, στη βάση τους, σχεδόν όλα τα προβλήματα και τα παραδείγματα επιλύονται βάσει λογαρίθμων. Οι υπόλοιπες εξωτικές ιδιότητες μπορούν να προκύψουν με μαθηματικούς χειρισμούς με αυτούς τους τύπους

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντώνται αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι έστω και δέκα, εκθετική ή δευτερεύουσα.
Ο λογάριθμος της βάσης δέκα ονομάζεται συνήθως λογάριθμος βάσης δέκα και συμβολίζεται απλώς lg(x).

Από την καταγραφή φαίνεται ότι τα βασικά δεν γράφονται στο αρχείο. Για παράδειγμα

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ο εκθέτης (συμβολίζεται ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι 2,7 και δύο φορές το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος βάσης δύο είναι

Η παράγωγος του λογάριθμου της συνάρτησης ισούται με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από την εξάρτηση

Το παραπάνω υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για λόγους κατανόησης του υλικού, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαι πανεπιστήμια.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Πάρτε τον λογάριθμο των παραστάσεων

Παράδειγμα 1
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Με ακίνητα 3,5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς των λογαρίθμων, έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

4. Οπου .

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση που χρησιμοποιεί μια σειρά κανόνων απλοποιείται στη φόρμα

Εύρεση λογαριθμικών τιμών

Παράδειγμα 2 Βρείτε το x αν

Λύση. Για τον υπολογισμό εφαρμόζουμε τις ιδιότητες 5 και 13 μέχρι τον τελευταίο όρο

Αντικαταστήστε στο δίσκο και θρηνήστε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Πάρτε τον λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψετε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων

Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτήσατε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας για ένα άλλο εξίσου σημαντικό θέμα - τις λογαριθμικές ανισότητες ...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Επειδή οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι, οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν εξετάζονται χωριστά. Αλλά μετά από μετασχηματισμούς βγαίνουν αρκετά φυσιολογικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, έλεγχος - παρόμοιες εκφράσεις με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές - χωρίς ουσιαστικά αλλαγές) προσφέρονται στις εξετάσεις.

Αφαίρεση του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν υπάρχει βαθμός στη βάση ή το όρισμα του λογαρίθμου; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα σύμφωνα με τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα χρειάζεται διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσίασαν τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή μοιρών και έβγαλαν τους δείκτες - πήραν ένα κλάσμα "τριώροφο".

Μετάβαση σε νέα βάση

Οι φόρμουλες για μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διατυπώνουμε με τη μορφή θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν βάλουμε c = x, παίρνουμε:

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Τώρα ας αναστρέψουμε τον δεύτερο λογάριθμο:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Λέγεται έτσι:

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εάν κάποιος δεν γνωρίζει, αυτό ήταν ένα πραγματικό έργο από την Ενιαία Κρατική Εξέταση 🙂

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση a από αυτήν την ίδια τη βάση είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα είναι ένα, ο λογάριθμος είναι μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.