Στη σελ. 8.2.1 αποδείχθηκε ότι οι αλγεβρικές έννοιες είναι μέσα γενίκευσης, γλώσσα περιγραφής αριθμητικές πράξεις. Η έννοια της μαθηματικής έκφρασης είναι διαφορετικής φύσης από τις έννοιες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Η σχέση μεταξύ αυτών των εννοιών μπορεί να θεωρηθεί η σχέση μορφής και περιεχομένου: οι μαθηματικές εκφράσεις είναι μια από τις μορφές προσήμου, γραπτός προσδιορισμός αριθμητικών πράξεων. Μια αριθμητική έκφραση μπορεί επίσης να θεωρηθεί μια από τις μορφές ενός αριθμού, αφού κάθε αριθμητική παράσταση έχει μια ενιαία αριθμητική τιμή - έναν αριθμό.
Οι εκφράσεις εμφανίζονται στη διδασκαλία των μαθηματικών μόλις εμφανιστούν εγγραφές της μορφής 2 + 3, 4 - 3 στην πρώτη τάξη κατά τη μελέτη των ενεργειών.
πρόσθεση και αφαίρεση. Αρχικά, ονομάζονται έτσι: εγγραφή πρόσθεσης, εγγραφή αφαίρεσης. Όπως γνωρίζετε, αυτές οι εγγραφές έχουν επίσης σωστά ονόματα: "sum", "διαφορά", τα οποία μπορούν να εισαχθούν σε ένα μάθημα μαζί με τις αντίστοιχες ενέργειες ή μετά από κάποιο χρονικό διάστημα. Και η έννοια της έκφρασης ως αντικείμενο μελέτης θα πρέπει να γίνεται μόνο αφού οι μαθητές έχουν ήδη κάποια πρακτική εμπειρία με τέτοια αρχεία. Παράλληλα, ο δάσκαλος μπορεί να χρησιμοποιεί τον όρο «έκφραση» στην ομιλία του, χωρίς να απαιτεί από τα παιδιά να τον χρησιμοποιούν, αλλά να τον εισάγει στο παθητικό λεξιλόγιο των μαθητών. Αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν Καθημερινή ζωήόταν τα παιδιά ακούν μια νέα λέξη που σχετίζεται με ένα οπτικά επισημασμένο αντικείμενο. Για παράδειγμα, δείχνοντας τις καταχωρήσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης μερικά μαθήματα μετά την εισαγωγή αυτών των ενεργειών, ο δάσκαλος λέει: «Διαβάστε αυτές τις εγγραφές, αυτές τις εκφράσεις: ...», «Βρείτε στο σχολικό βιβλίο κάτω από τον Αρ. ... μια έκφραση στο τα οποία τρία πρέπει να αφαιρεθούν από το επτά. ...», «Σκεφτείτε αυτές τις εκφράσεις (εμφανίζει στον πίνακα). Διαβάστε αυτό που σας επιτρέπει να βρείτε έναν αριθμό 3 μεγαλύτερο από 5, στον οποίο υπάρχει ένας αριθμός 3 μεγαλύτερος από 5. 3 λιγότερο από 5.
Κατά τη μελέτη αριθμητικών παραστάσεων σε δημοτικό σχολείοεξετάστε τις ακόλουθες έννοιες και μεθόδους δράσης.
Έννοιες: μαθηματική έκφραση, αριθμητική έκφραση (έκφραση), είδη αριθμητικών εκφράσεων(σε μια ενέργεια και σε πολλές ενέργειες, με και χωρίς παρενθέσεις, που περιέχουν ενέργειες ενός βήματος και ενέργειες δύο βημάτων). την αριθμητική τιμή της έκφρασης· κανόνες της διαδικασίας; σύγκριση σχέσεων.
Τρόποι δράσης: ανάγνωση εκφράσεων σε ένα ή δύο βήματα. καταγραφή εκφράσεων από υπαγόρευση σε ένα ή δύο βήματα. καθορισμός της πορείας δράσης· υπολογισμός της αξίας των εκφράσεων σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς των ενεργειών. Συγκρίνοντας δύο αριθμητικές εκφράσεις. μετατροπή έκφρασης - αντικατάσταση μιας έκφρασης με μια άλλη ίση με αυτήν με βάση τις ιδιότητες των ενεργειών.
Εισαγωγή εννοιών.Μάθημα που εισάγει την έννοια της έκφρασηςείναι χρήσιμο να ξεκινήσετε συζητώντας τις σημειώσεις. Ποια είναι τα ρεκόρ; Γιατί γράφουν οι άνθρωποι; Γιατί μαθαίνεις να γράφεις; Τι σημειώσεις κρατάμε όταν μελετάμε μαθηματικά; (Τα παιδιά στρέφονται στα τετράδιά τους, σε ένα σχολικό βιβλίο, σε προετοιμασμένες κάρτες με παραδείγματα εγγραφών από αυτές που έκαναν οι μαθητές κατά την περίοδο της μελέτης.) Σε ποιες ομάδες μπορούν να χωριστούν οι εγγραφές κατά τη μελέτη των μαθηματικών;
Ως αποτέλεσμα αυτής της συζήτησης, εστιάζουμε σε δύο κύριες ομάδες εγγραφών: την εγγραφή αριθμών και την εγγραφή αριθμητικών πράξεων. Οι εγγραφές αριθμητικών πράξεων, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε δύο ομάδες: χωρίς υπολογισμούς και με υπολογισμούς, δηλαδή της μορφής 2 + 3 και 2 + 3 = 5. Με βάση αυτή την ταξινόμηση, ενημερώνουμε τους μαθητές ότι η εγγραφή πρόσθεσης και αφαίρεσης της μορφής 2 + 3 και 7 -5, καθώς και οποιαδήποτε εγγραφή που αποτελείται από τέτοιες εγγραφές, για παράδειγμα, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 και παρόμοια, συνηθίζεται να καλέσετε (συμφωνήσαμε να καλέσουμε το) μαθηματικός
έκφραση,ή απλώς μια έκφραση. Περαιτέρω, όπως και με την εισαγωγή άλλων εννοιών, είναι απαραίτητο να εκτελεστούν καθήκοντα αναγνώρισης, διδάσκοντας μια καθολική εκπαιδευτική δράση - αναγνωρίζοντας αντικείμενα που σχετίζονται με την έννοια που μελετάται. Ο αριθμός των αναγνωρίσιμων αντικειμένων θα πρέπει να περιλαμβάνει αυτά που δεν έχουν όλες τις κοινές (ουσιώδεις) ιδιότητες της έννοιας και επομένως δεν αντιπροσωπεύουν αυτή η έννοιακαι εμπίπτουν στην έννοια, αλλά έχουν διαφορετικές μεταβλητές (ασήμαντες) ιδιότητες. Για παράδειγμα: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15- 3 = 12.
Εφόσον τα λήμματα, που ονομάζονται εκφράσεις, έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί, διαβαστεί και γραφτεί από μαθητές, είναι απαραίτητο να γενικεύσουμε τους τρόπους με τους οποίους διαβάζονται οι εν λόγω εκφράσεις. Για παράδειγμα, η έκφραση 17 - 10 μπορεί να διαβαστεί ως "η διαφορά μεταξύ των αριθμών 17 και 10", ως εργασία - "αφαίρεση 10 από το 17", "μειώστε τον αριθμό 17 κατά 10" ή "βρείτε έναν αριθμό μικρότερο από δεκαεπτά κατά δέκα» και με παρόμοια ονόματα διδάσκουμε στους μαθητές να γράφουν εκφράσεις. Στο μέλλον, τα ερωτήματα: πώς να διαβάσετε τη γραπτή έκφραση και πώς να γράψετε την ονομαστική έκφραση συζητούνται με την εμφάνιση νέων τύπων εκφράσεων.
Στο ίδιο μάθημα όπου εισάγουμε την έννοια της έκφρασης, εισάγουμε και την έννοια τιμή έκφρασης -ο αριθμός που προκύπτει από όλες τις αριθμητικές πράξεις του.
Για να συνοψίσουμε την εισαγωγή των εννοιών και να σχεδιάσουμε περαιτέρω εργασία, είναι χρήσιμο να συζητήσουμε ερωτήσεις σε αυτό το μάθημα ή στα ακόλουθα μαθήματα: Πόσες εκφράσεις υπάρχουν; Πώς μπορεί μια έκφραση να είναι παρόμοια με μια άλλη; Πώς μπορεί να διαφέρει από κάποιο άλλο; Πώς μοιάζουν όλες οι εκφράσεις μεταξύ τους; Τι μπορούν να μας πουν οι εκφράσεις; Τι μπορείτε να κάνετε με τις εκφράσεις; Τι χρειάζεστε (μπορείτε να μάθετε) μελετώντας εκφράσεις;
Απαντώντας στην τελευταία ερώτηση, μαζί με τους μαθητές, διατυπώνουμε μαθησιακούς στόχουςμελλοντικές δραστηριότητες: μπορούμε να μάθουμε και θα μάθουμε διαβάστε και γράψτε εκφράσεις, βρείτε τιμές εκφράσεων, συγκρίνετε εκφράσεις.
Εκφράσεις ανάγνωσης και γραφής.Δεδομένου ότι οι εκφράσεις είναι εγγραφές, πρέπει κανείς να μπορεί να τις διαβάσει. Οι κύριοι τρόποι ανάγνωσης ορίζονται κατά την εισαγωγή ενεργειών. Μπορείτε να διαβάσετε την έκφραση ως όνομα, ως λίστα χαρακτήρων, ως εργασία ή ερώτηση. Μετά τη μελέτη των σχέσεων «λιγότερο (μεγαλύτερο) κατά», «λιγότερο (μεγαλύτερο) σε» μεταξύ των αριθμών, οι εκφράσεις διαβάζονται επίσης ως δηλώσεις ή ερωτήσεις σχετικά με τη σχέση ισότητας και ανισότητας. Κάθε τρόπος ανάγνωσης αποκαλύπτει μια ορισμένη όψη του νοήματος της αντίστοιχης ενέργειας ή ενεργειών. Ως εκ τούτου, είναι πολύ χρήσιμο να ενθαρρύνουμε διαφορετικοί τρόποιΑΝΑΓΝΩΣΗ. Το μοτίβο ανάγνωσης ορίζεται από τον δάσκαλο όταν εισάγει μια ενέργεια ή όταν εξετάζει την αντίστοιχη έννοια, ιδιότητα ή σχέση.
Η βάση της ανάγνωσης οποιασδήποτε έκφρασης είναι η ανάγνωση της έκφρασης σε μία ενέργεια. Η εκμάθηση ανάγνωσης συμβαίνει όπως η μάθηση
mu reading κατά την εκτέλεση εργασιών που απαιτούν τέτοια ανάγνωση. Αυτές μπορεί να είναι ειδικές εργασίες: «Διαβάστε τις εκφράσεις». Η ανάγνωση είναι απαραίτητη κατά τον έλεγχο των τιμών της έκφρασης (διαβάζουν την έκφραση ως μέρος της ισότητας), όταν αναφέρουν τα αποτελέσματα της σύγκρισης. Η αντίστροφη ενέργεια είναι επίσης σημαντική: γράφοντας μια έκφραση με το όνομά της ή την εργασία που θέτει, τη σχέση. Οι μαθητές εκτελούν τέτοιες ενέργειες όταν διεξάγουν μαθηματικές υπαγορεύσεις, ειδικά σχεδιασμένες για να σχηματίζουν την ικανότητα καταγραφής εκφράσεων ή ως μέρος εργασιών για υπολογισμό, σύγκριση κ.λπ. Η ανάγνωση μαθηματικών εκφράσεων, η εκμάθηση της ανάγνωσης εκφράσεων δεν είναι μάλλον στόχος, αλλά εργαλείο μάθησης ένα μέσο για την ανάπτυξη του λόγου, ένα μέσο για την εμβάθυνση της κατανόησης του νοήματος των πράξεων.
Ας χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα για να δείξουμε πώς να διαβάζουμε τους κύριους τύπους απλών εκφράσεων:
1) 2 + 3 προσθέστε τρία στα δύο. προσθέστε τους αριθμούς δύο και τρεις. άθροισμα
μα νούμερα δύο και τρία? δύο συν τρία? βρείτε το άθροισμα των αριθμών δύο και τρία.
Βρείτε το άθροισμα των όρων δύο και τρία. βρείτε έναν αριθμό μεγαλύτερο από τρία
από το νούμερο δύο? δύο αυξάνονται κατά τρεις? πρώτος όρος 2, δεύτερος
όρος 3, βρείτε το άθροισμα.
2) 5 - 3 στα πέντε αφαιρούν (σε καμία περίπτωση «αφαίρεση 1»!) Τρία.
Η διαφορά μεταξύ των αριθμών πέντε και τρία. πέντε μείον τρία? Βρές την διαφορά
οι αριθμοί πέντε και τρεις? minuend πέντε, αφαιρέστε τρεις, βρείτε χρόνους
ness? Βρείτε έναν αριθμό τρία μικρότερο από πέντε. πέντε μειώνουν
σε τρεις?
3) 2 3 δύο παίρνουν το άθροισμα τρεις φορές. Πάρτε δύο τρεις φορές?
Δύο φορές τρία? γινόμενο των αριθμών δύο και τρία. πρώτα
πολλαπλασιαστής δύο, το δεύτερο - τρία, βρείτε το γινόμενο. βρείτε προϊόν
κρατώντας τους αριθμούς δύο και τρεις. δύο φορές τρία, τρεις φορές δύο? δύο αύξηση
τρεις φορές; Βρείτε έναν αριθμό τρεις φορές μεγαλύτερο από δύο. πρώτο μονοφωνικό
κάτοικος δύο, δεύτεροι τρεις, βρείτε το προϊόν.
4) 12:4 δώδεκα διαιρούμενα με τέσσερα. πηλίκο του δωδέκατου
tsat και τέσσερα ιδιωτικά δώδεκα και τέσσερα)? πηλίκο διαίρεσης
Δώδεκα επί τέσσερα? διαιρούμενος δώδεκα, διαιρέτης τέσσερα, εύρεση
πηλίκο (για 13:4 - βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο). μείωση 12 σε ου
τρεις φορές; βρείτε έναν αριθμό τέσσερις φορές μικρότερο από δώδεκα.
Η ανάγνωση εκφράσεων που περιέχουν περισσότερες από δύο ενέργειες προκαλεί κατώτεροι μαθητέςορισμένες δυσκολίες. Στο προγραμματισμένο θέμα προκύπτει, επομένως, η ικανότητα ανάγνωσης τέτοιων εκφράσεων μπορεί
1 "ΑΠΟΓΕΙΩΣΗ, ... 1. ποιος (τι).Πάρε από κάποιον. με το ζόρι, να στερήσω από κάποιον κάτι. Ο. χρήματα. Ο. γιος. Ω ελπίδα. Ο. κάποιος έχει το χρόνο του.(μτφρ.: κάνω κάποιον να αφιερώσει χρόνο σε κάτι). Ο. η ζωή κάποιου.(σκοτώνω). 2. Τι.απορροφώ, συγκαλώ κατανάλωση κάτι. Η δουλειά πήρε πολλή δύναμη από κάποιον. 3. Τι.Αφήνουμε στην άκρη, χωρίζουμε από. Ο. σκάλα από τον τοίχο....». [Ozhegov S.I. Λεξικό/ S. I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. - Μ., 1949 -1994.]
μπορεί να τοποθετηθεί σε υπερυψωμένο ή υψηλό επίπεδοκατοχή μαθηματικού λόγου. Οι εκφράσεις καλούνται με δύο ή περισσότερες ενέργειες στην τελευταία ενέργεια, τα συστατικά της οποίας θεωρούνται εκφράσεις. Ωστόσο, ορισμένα είδη εκφράσεων περιλαμβάνονται στα κείμενα των κανόνων. Γνώση των λεκτικών διατυπώσεων των κανόνων σημαίνει και γνώση των τρόπων (μεθόδων) ανάγνωσης. Για παράδειγμα, η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση ή ο κανόνας του πολλαπλασιασμού ενός αθροίσματος με έναν αριθμό στο ίδιο το όνομα του κανόνα δίνει το όνομα μιας έκφρασης της μορφής ( ΕΝΑ+ □ ) · ου. Και στη διατύπωση της ιδιότητας, δύο τύποι εκφράσεων ονομάζονται: "Το γινόμενο ενός αθροίσματος με έναν αριθμό είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων κάθε όρου με αυτόν τον αριθμό." Οι μέθοδοι για την ανάγνωση εκφράσεων σε δύο ή περισσότερες ενέργειες μπορούν να καθοριστούν με αλγοριθμικές συνταγές. Η υποενότητα 4.2 παρέχει ένα παράδειγμα τέτοιου αλγορίθμου. Η γνώση των τρόπων ανάγνωσης τέτοιων εκφράσεων συμβαίνει όταν εκτελείτε τους ίδιους τύπους εργασιών όπως όταν μαθαίνετε να διαβάζετε εκφράσεις σε μία ενέργεια.
Εύρεση της αξίας των εκφράσεων. Κανόνες διαδικασίας.Από την αρχή της μελέτης των αριθμητικών πράξεων και της εμφάνισης των εκφράσεων, ο κανόνας έχει γίνει σιωπηρά αποδεκτός: οι ενέργειες πρέπει να εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά με τη σειρά που γράφτηκαν. Το πρόβλημα της σειράς των ενεργειών αποκαλύπτεται όταν υπάρχουν δυσκολίες στην έκφραση ορισμένων αντικειμενικών καταστάσεων. Για παράδειγμα, πρέπει να πάρετε 7 μπλε ζάρια, 2 λιγότερα λευκά ζάρια και να μάθετε πόσα ζάρια έχουν ληφθεί συνολικά. Εκτελούμε σχεδόν όλες τις ενέργειες, δηλώνοντας τον αριθμό των κύβων με αριθμούς και ενέργειες με σημάδια αριθμητικών πράξεων. Ας μετρήσουμε 7 μπλε κύβους. Για να πάρουμε 2 λιγότερα λευκά, ας απομακρύνουμε για λίγο δύο μπλε ζάρια και, ζευγοποιώντας, πάρουμε τόσα λευκά ζάρια όσα μπλε υπάρχουν χωρίς δύο. Συνδυάστε λευκούς και μπλε κύβους. Οι ενέργειές μας με τους κύβους σε αριθμητική σημειογραφία: 7 + 7-2. Αλλά σε μια τέτοια εγγραφή, οι ενέργειες πρέπει να εκτελούνται με τη σειρά της εγγραφής και δεν είναι αυτές οι ενέργειες για τις οποίες κάναμε το ρεκόρ! Υπάρχει μια αντίφαση. Χρειαζόμαστε πρώτα να αφαιρεθεί το 2 από το 7 (βρίσκουμε τον απαιτούμενο αριθμό λευκών κύβων) και στη συνέχεια το αποτέλεσμα της αφαίρεσης του 7 και του 2 να προστεθεί στο 7 - ο αριθμός των μπλε κύβων. Πώς να γίνει;
Η διέξοδος από αυτήν και παρόμοιες καταστάσεις μπορεί να είναι η εξής: πρέπει να επιλέξετε με κάποιο τρόπο στην εγγραφή έκφρασης τη δράση ή τις ενέργειες που πρέπει να εκτελεστούν όχι με τη σειρά γραφής από αριστερά προς τα δεξιά. Και υπάρχει τέτοιος τρόπος. Αυτό αγκύλες,τα οποία επινοούνται απλώς για καταστάσεις όπου οι ενέργειες σε μια έκφραση πρέπει να εκτελούνται εκτός σειράς από αριστερά προς τα δεξιά. Με αγκύλες, η μαθηματική καταγραφή των πρακτικών μας ενεργειών με κύβους θα μοιάζει με αυτό: 7 + (7 - 2). Οι ενέργειες που είναι γραμμένες σε αγκύλες εκτελούνται συνήθως πρώτες. Για να κυριαρχήσουμε και να εκχωρήσουμε αυτήν την ιδιότητα των παρενθέσεων, συνθέτουμε διαφορετικές εκφράσεις με τους μαθητές, βάζουμε αγκύλες σε αυτές με διαφορετικούς τρόπους, υπολογίζουμε, συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Αντικατάσταση
τσάι: μερικές φορές η αλλαγή της σειράς των ενεργειών δεν αλλάζει την αξία της έκφρασης, και μερικές φορές αλλάζει. Για παράδειγμα, 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.
Κατά την εισαγωγή παρενθέσεων, οι γενικά αποδεκτοί κανόνες για τη σειρά των ενεργειών σαφώς δεν έχουν μελετηθεί ακόμη, αν και εφαρμόζονται ήδη δύο κανόνες: α) εάν σε μια έκφραση χωρίς αγκύλες υπάρχει μόνο πρόσθεση και αφαίρεση, τότε οι ενέργειες εκτελούνται με τη σειρά είναι γραμμένα από αριστερά προς τα δεξιά. β) οι ενέργειες σε παρένθεση εκτελούνται πρώτα.
Για άλλη μια φορά, το πρόβλημα της σειράς των πράξεων γίνεται οξύ μετά την εμφάνιση παραστάσεων που περιέχουν τις πράξεις πολλαπλασιασμού και (ή) διαίρεσης και τις πράξεις πρόσθεσης και (ή) αφαίρεσης. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η ανάγκη για κανόνες παραγγελίας μπορεί να αναγνωριστεί από τους μαθητές και είναι κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου που οι μαθητές μπορούν ήδη να συζητήσουν αυτό το πρόβλημα, να διατυπώσουν και να κατανοήσουν τις γενικά αποδεκτές διατυπώσεις κανόνων παραγγελίας.
Μπορείτε να δημιουργήσετε μια κατανόηση της ανάγκης για τέτοιους κανόνες πειραματιζόμενοι με μια έκφραση πολλών βημάτων. Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης 7 - 3 2 + 15: 5, εκτελώντας ενέργειες σε τρεις διαφορετικές ακολουθίες: 1) - + (με τη σειρά γραφής). 2) - + ·: (πρώτα πρόσθεση και αφαίρεση, μετά πολλαπλασιασμός και διαίρεση). 3) ·: - + (πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τρεις διαφορετικές τιμές: 1) 4 (απομένουν 3). 2) 13 (υπόλοιπο 3); 3) 6. Συζητώντας την κατάσταση με τους μαθητές, καταλήγουμε στο συμπέρασμα: είναι απαραίτητο να συμφωνήσουμε και να αποδεχθούμε μόνο μία ακολουθία ως γενικά αποδεκτό κανόνα δράσης. Και δεδομένου ότι οι αξίες των εκφράσεων υπολογίστηκαν ακόμη και πριν από εμάς, και ακόμη και περισσότερα από εκατό χρόνια, τότε, πιθανώς, τέτοιες συμφωνίες υπάρχουν ήδη. Τα βρίσκουμε στο σχολικό βιβλίο.
Στη συνέχεια, συζητάμε με τους μαθητές την ανάγκη γνώσης αυτών των κανόνων και την ικανότητα εφαρμογής τους. Έχοντας δικαιολογήσει μια τέτοια ανάγκη για τον εαυτό τους, οι μαθητές μπορεί κάλλιστα να προσπαθήσουν να προσδιορίσουν μόνοι τους τους τύπους ακαδημαϊκή εργασία, εκτελώντας τους οποίους, θα μπορούν να θυμούνται τους κανόνες και να μάθουν να τους ακολουθούν με ακρίβεια. Ένας τέτοιος ορισμός των τύπων εκπαιδευτικής εργασίας μπορεί να περιγραφεί στην ομαδική εργασία και στο ίδιο μάθημα μπορούν να εκτελεστούν ορισμένοι τύποι τέτοιας εργασίας. Στη διαδικασία της ομαδικής εργασίας, οι μαθητές εξοικειώνονται με το περιεχόμενο των αντίστοιχων σελίδων του σχολικού βιβλίου και του τετραδίου για ανεξάρτητη εργασίαστο σχολικό βιβλίο, μπορούν να συμπληρώσουν οι ίδιοι τις μαθησιακές εργασίες, να ολοκληρώσουν μερικές από αυτές, να δοκιμάσουν τον εαυτό τους και στη συνέχεια να κάνουν μια αναφορά ομαδικής εργασίας σχετικά με αυτό που έχουν ήδη κατακτήσει ως αποτέλεσμα της ομαδικής εργασίας. Για παράδειγμα: «Στην ομάδα μας, όλοι έμαθαν σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες σε τρεις ή τέσσερις ενέργειες να καθορίζουν τη σειρά των ενεργειών, αναφερόμενοι στο κείμενο του κανόνα στο σχολικό βιβλίο και να ορίζουν αυτήν τη σειρά με αριθμούς ενεργειών πάνω από τα σημάδια των ενεργειών στην έκφραση». Στη συνέχεια, ο στόχος είναι να μάθουμε πώς να βρίσκουμε τις έννοιες τέτοιων «μεγάλων» εκφράσεων - σε τρεις ή τέσσερις ή περισσότερες ενέργειες σε πολλά μαθήματα για μαθητές.
οι μαθητές εκτελούν μαθησιακές δραστηριότητεςγια να το πετύχει. Η μέθοδος εύρεσης των τιμών μιας σύνθετης έκφρασης μπορεί να αναπαρασταθεί σε αλγοριθμική μορφή.
Αλγόριθμος για την εύρεση της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης(ορίζεται με προφορική συνταγή με τη μορφή λίστας βημάτων).
1. Ανη έκφραση περιέχει παρενθέσεις, Οτιεκτελέστε ενέργειες σε αγκύλες όπως σε μια έκφραση χωρίς αγκύλες. 2. Ανδεν υπάρχουν παρενθέσεις στην έκφραση, Οτι:ΕΝΑ) Ανστην έκφραση μόνο πρόσθεση και (ή) αφαίρεση ή μόνο πολλαπλασιασμός και (ή) διαίρεση, Οτιεκτελέστε αυτά τα βήματα με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. β) αν η παράσταση περιέχει ενέργειες από την ομάδα πρόσθεσης - αφαίρεσης και από την ομάδα πολλαπλασιασμού - διαίρεσης, Οτιπρώτα εκτελέστε πολλαπλασιασμό και διαίρεση με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, έπειταΕκτελέστε πρόσθεση και αφαίρεση με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. 3. Το αποτέλεσμα της τελευταίας ενέργειας ονομάζεται τιμή της παράστασης.
Ιδιαίτερο ρόλο στη μάθηση παίζουν οι μέθοδοι εύρεσης των τιμών των εκφράσεων με βάση τις ιδιότητες των ενεργειών. Τέτοιες μέθοδοι συνίστανται στο γεγονός ότι πρώτα οι εκφράσεις μετασχηματίζονται με βάση τις ιδιότητες των ενεργειών και μόνο τότε εφαρμόζονται οι κανόνες της σειράς των ενεργειών. Για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε την τιμή της έκφρασης: 23 + 78 + 77. Σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς των ενεργειών, πρέπει πρώτα να προσθέσετε το 78 στο 23 και να προσθέσετε το 17 στο αποτέλεσμα. ιδιότητες ή ο κανόνας "Μπορείτε να προσθέσετε αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά" μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση ίση με αυτήν με μια άλλη σειρά πράξεων 23 + 77 + 78. Έχοντας εκτελέσει τις ενέργειες σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς πράξεων, μπορούμε εύκολα πάρτε το αποτέλεσμα 100 + 78 = 178.
Στην πραγματικότητα μαθηματική δραστηριότητα, η μαθηματική ανάπτυξη των μαθητών συμβαίνει ακριβώς όταν αναζητούν ορθολογική ή πρωτότυπους τρόπουςμετασχηματισμοί εκφράσεων με επακόλουθους βολικούς υπολογισμούς. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να αναπτυχθεί μια συνήθεια μεταξύ των μαθητών σε υπολογισμούς που δεν είναι υπολογιστές, να αναζητήσουν τρόπους για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς, να μετασχηματίσουν εκφράσεις έτσι ώστε αντί για δυσκίνητους, άσχημους υπολογισμούς, να βρεθεί η επιθυμητή τιμή της έκφρασης χρησιμοποιώντας απλές και όμορφες περιπτώσεις του υπολογισμού. Οι εργασίες διατυπώνονται για αυτό ως εξής: "Υπολογισμός με βολικό (ή ορθολογικό) τρόπο ...".
Εύρεση των τιμών των κυριολεκτικών εκφράσεων -μια σημαντική δεξιότητα που σχηματίζει ιδέες για τη μεταβλητή και αποτελεί τη βάση για την κατανόηση της λειτουργικής εξάρτησης στο μέλλον. Μια πολύ βολική μορφή εργασιών για την εύρεση των τιμών των κυριολεκτικών εκφράσεων και για την παρατήρηση της εξάρτησης της τιμής μιας έκφρασης από τις τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτήν είναι πίνακας. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον Πίνακα. 8.1 οι μαθητές μπορούν να δημιουργήσουν έναν αριθμό εξαρτήσεων: εάν οι τιμές ΕΝΑείναι διαδοχικοί αριθμοί, μετά οι τιμές 2αυπάρχουν διαδοχικοί ζυγοί αριθμοί και οι τιμές 3α -κάθε τρίτος αριθμός ξεκινώντας από την τιμή 3αστο η μικρότερη τιμή ΕΝΑκαι τα λοιπά.
Πίνακας 8.1
Σύγκριση έκφρασης.Οι σχέσεις που συνδέουν τις τιμές των εκφράσεων μεταφέρονται σε εκφράσεις. Η κύρια σύγκριση είναιβρίσκοντας τις τιμές των συγκριμένων παραστάσεων και σύγκριση τιμών έκφρασης. Αλγόριθμος σύγκρισης:
1. Βρείτε τις τιμές των συγκρίσιμων παραστάσεων. 2. Συγκρίνετε τους αριθμούς που έχετε λάβει. 3. Μεταφέρετε το αποτέλεσμα της σύγκρισης αριθμών σε παραστάσεις. Εάν χρειάζεται, βάλτε το κατάλληλο σημάδι ανάμεσα στις εκφράσεις. Τέλος.
Καθώς και κατά την εύρεση των τιμών των εκφράσεων, οι μέθοδοι σύγκρισης που βασίζονται στις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων, αποτιμώνται οι ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων και ανισώσεων, καθώς μια τέτοια σύγκριση απαιτεί απαγωγικό συλλογισμό και επομένως εξασφαλίζει την ανάπτυξη λογικής σκέψης.
Για παράδειγμα, πρέπει να συγκρίνετε το 73 + 48 και το 73 + 50. Η ιδιότητα είναι γνωστή: "Εάν ένας όρος αυξηθεί ή μειωθεί κατά πολλές μονάδες, τότε το άθροισμα θα αυξηθεί ή θα μειωθεί κατά τον ίδιο αριθμό μονάδων." Επομένως, η τιμή της πρώτης παράστασης είναι μικρότερη από την τιμή της δεύτερης, που σημαίνει ότι η πρώτη παράσταση είναι μικρότερη από τη δεύτερη και η δεύτερη είναι μεγαλύτερη από την πρώτη. Συγκρίναμε εκφράσεις χωρίς να βρούμε τις τιμές των παραστάσεων, χωρίς να κάνουμε καμία αριθμητική πράξη, εφαρμόζοντας τη γνωστή ιδιότητα της πρόσθεσης. Για τέτοιες περιπτώσεις, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε εκφράσεις γραμμένες χρησιμοποιώντας γενική συμβολολογία. Συγκρίνετε εκφράσεις. © + φάΚαι © + (φά+ 4), © + φάΚαι © + (φά- 4).
Ενδιαφέρουσες μέθοδοι σύγκρισης βασίζονται στον μετασχηματισμό των συγκριτικών εκφράσεων - αντικαθιστώντας τες με ίσες. Για παράδειγμα: 18 4 και 18 + 18 + 18 + 18; 25 (117 - 19) και 25 117 - 19; 25 (117 -119) και 25 117 - - 19 117, κ.λπ. Μεταμορφώνοντας την έκφραση σε ένα μέρος με βάση τις ιδιότητες των ενεργειών, παίρνουμε εκφράσεις που μπορούν ήδη να συγκριθούν συγκρίνοντας αριθμούς - συστατικά της ίδιας ενέργειας.
Παράδειγμα. 126 + 487 και 428 + 150. Για σύγκριση, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα αντικατάστασης. Παίρνουμε: 487 + 126 και 428 και 150. Ας μετασχηματίσουμε την πρώτη παράσταση: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Τώρα πρέπει να συγκρίνετε τις εκφράσεις 463 + 150 και 428 + 150.
Αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις. Μετατροπή έκφρασης.
Τι είναι μια έκφραση στα μαθηματικά; Γιατί είναι απαραίτητες οι μετατροπές έκφρασης;
Η ερώτηση, όπως λένε, είναι ενδιαφέρουσα... Γεγονός είναι ότι αυτές οι έννοιες αποτελούν τη βάση όλων των μαθηματικών. Όλα τα μαθηματικά αποτελούνται από εκφράσεις και τους μετασχηματισμούς τους. Δεν είναι πολύ σαφές; ΑΣΕ με να εξηγήσω.
Ας πούμε ότι έχετε ένα κακό παράδειγμα. Πολύ μεγάλο και πολύ περίπλοκο. Ας πούμε ότι είσαι καλός στα μαθηματικά και δεν φοβάσαι τίποτα! Μπορείτε να απαντήσετε αμέσως;
Θα πρέπει αποφασίζωαυτό το παράδειγμα. Διαδοχικά, βήμα προς βήμα, αυτό το παράδειγμα απλοποιώ. Με ορισμένους κανόνες, Φυσικά. Εκείνοι. κάνω μετατροπή έκφρασης. Πόσο επιτυχώς πραγματοποιείτε αυτούς τους μετασχηματισμούς, ώστε να είστε δυνατοί στα μαθηματικά. Αν δεν ξέρεις πώς να κάνεις τους σωστούς μετασχηματισμούς, στα μαθηματικά δεν μπορείς να κάνεις Τίποτα...
Προκειμένου να αποφευχθεί ένα τόσο άβολο μέλλον (ή παρόν ...), δεν βλάπτει να κατανοήσουμε αυτό το θέμα.)
Για αρχή, ας μάθουμε τι είναι έκφραση στα μαθηματικά. Τι συνέβη αριθμητική παράστασηκαι τι είναι αλγεβρική παράσταση.
Τι είναι μια έκφραση στα μαθηματικά;
Έκφραση στα μαθηματικάείναι μια πολύ ευρεία έννοια. Σχεδόν όλα όσα αντιμετωπίζουμε στα μαθηματικά είναι ένα σύνολο μαθηματικών εκφράσεων. Οποιαδήποτε παραδείγματα, τύποι, κλάσματα, εξισώσεις και ούτω καθεξής - όλα αποτελούνται από μαθηματικές εκφράσεις.
Το 3+2 είναι μια μαθηματική έκφραση. γ 2 - δ 2είναι επίσης μια μαθηματική έκφραση. Και ένα υγιές κλάσμα, και ακόμη και ένας αριθμός - όλα αυτά είναι μαθηματικές εκφράσεις. Η εξίσωση, για παράδειγμα, είναι:
5x + 2 = 12
αποτελείται από δύο μαθηματικές εκφράσεις που συνδέονται με ένα σύμβολο ίσου. Η μία έκφραση βρίσκεται στα αριστερά, η άλλη στα δεξιά.
ΣΕ γενική εικόναόρος " μαθηματική έκφραση" χρησιμοποιείται, πιο συχνά, για να μην μουρμουρίζει. Θα σας ρωτήσουν τι είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα, για παράδειγμα; Και πώς να απαντήσετε;!
Απάντηση 1: «Είναι... μ-μ-μ-μ... κάτι τέτοιο ... στο οποίο ... Μπορώ να γράψω ένα κλάσμα καλύτερα; Ποιό θέλεις?"
Η δεύτερη επιλογή απάντησης: "Ένα συνηθισμένο κλάσμα είναι (με χαρά και χαρά!) μαθηματική έκφραση , που αποτελείται από αριθμητή και παρονομαστή!».
Η δεύτερη επιλογή είναι κάπως πιο εντυπωσιακή, σωστά;)
Για το σκοπό αυτό, η φράση « μαθηματική έκφραση "πολύ καλό. Και σωστό και συμπαγές. Αλλά για Πρακτική εφαρμογηθα πρέπει να γνωρίζει καλά συγκεκριμένα είδη εκφράσεων στα μαθηματικά .
Το συγκεκριμένο είδος είναι άλλο θέμα. Αυτό τελείως άλλο πράγμα!Κάθε τύπος μαθηματικής έκφρασης έχει δικος μουένα σύνολο κανόνων και τεχνικών που πρέπει να χρησιμοποιηθούν στην απόφαση. Για εργασία με κλάσματα - ένα σύνολο. Για εργασία με τριγωνομετρικές εκφράσεις - το δεύτερο. Για εργασία με λογάριθμους - το τρίτο. Και ούτω καθεξής. Κάπου αυτοί οι κανόνες συμπίπτουν, κάπου διαφέρουν έντονα. Αλλά μην φοβάστε αυτά τα τρομερά λόγια. Λογάριθμους, τριγωνομετρία και άλλα μυστηριώδη πράγματα θα κατακτήσουμε στις σχετικές ενότητες.
Εδώ θα κυριαρχήσουμε (ή - επαναλάβετε, όπως θέλετε ...) δύο κύριους τύπους μαθηματικών εκφράσεων. Αριθμητικές εκφράσεις και αλγεβρικές εκφράσεις.
Αριθμητικές εκφράσεις.
Τι συνέβη αριθμητική παράσταση? Αυτή είναι μια πολύ απλή έννοια. Το ίδιο το όνομα υπονοεί ότι πρόκειται για έκφραση με αριθμούς. Έτσι είναι. Μια μαθηματική παράσταση που αποτελείται από αριθμούς, αγκύλες και σημάδια αριθμητικών πράξεων ονομάζεται αριθμητική παράσταση.
Το 7-3 είναι μια αριθμητική έκφραση.
(8+3.2) Το 5.4 είναι επίσης μια αριθμητική έκφραση.
Και αυτό το τέρας:
επίσης μια αριθμητική έκφραση, ναι...
Ένας συνηθισμένος αριθμός, ένα κλάσμα, οποιοδήποτε παράδειγμα υπολογισμού χωρίς x και άλλα γράμματα - όλα αυτά είναι αριθμητικές εκφράσεις.
κύριο χαρακτηριστικό αριθμητικόςεκφράσεις σε αυτό όχι γράμματα. Κανένας. Μόνο αριθμοί και μαθηματικά εικονίδια (αν χρειάζεται). Είναι απλό, σωστά;
Και τι μπορεί να γίνει με τις αριθμητικές εκφράσεις; Οι αριθμητικές εκφράσεις μπορούν συνήθως να μετρηθούν. Για να το κάνετε αυτό, μερικές φορές πρέπει να ανοίξετε αγκύλες, να αλλάξετε σημάδια, να συντομεύσετε, να ανταλλάξετε όρους - π.χ. κάνω μετατροπές έκφρασης. Αλλά περισσότερα για αυτό παρακάτω.
Εδώ θα ασχοληθούμε με μια τόσο αστεία περίπτωση όταν με μια αριθμητική έκφραση δεν χρειάζεται να κάνεις τίποτα.Λοιπόν, τίποτα απολύτως! Αυτή η ωραία επέμβαση Να μην κάνω τίποτα)- εκτελείται όταν η έκφραση δεν έχει νόημα.
Πότε μια αριθμητική έκφραση δεν έχει νόημα;
Φυσικά, αν δούμε μπροστά μας κάποιο είδος αβρακάδαμπρα, όπως π.χ
τότε δεν θα κάνουμε τίποτα. Δεδομένου ότι δεν είναι ξεκάθαρο τι να κάνει με αυτό. Κάποιες ανοησίες. Εκτός αν, για να μετρήσουμε τον αριθμό των συν...
Υπάρχουν όμως εξωτερικά αρκετά αξιοπρεπείς εκφράσεις. Για παράδειγμα αυτό:
(2+3) : (16 - 2 8)
Ωστόσο, αυτή η έκφραση είναι επίσης δεν έχει νόημα! Για τον απλούστατο λόγο ότι στις δεύτερες αγκύλες -αν μετρήσεις- βγάζεις μηδέν. Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν! Αυτή είναι μια απαγορευμένη πράξη στα μαθηματικά. Επομένως, δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα ούτε με αυτήν την έκφραση. Για οποιαδήποτε εργασία με μια τέτοια έκφραση, η απάντηση θα είναι πάντα η ίδια: «Δεν έχει νόημα η έκφραση!»
Για να δώσω μια τέτοια απάντηση, φυσικά, έπρεπε να υπολογίσω τι θα ήταν μέσα σε αγκύλες. Και μερικές φορές σε παρενθέσεις μια τέτοια ανατροπή ... Λοιπόν, δεν μπορείτε να κάνετε τίποτα γι 'αυτό.
Δεν υπάρχουν τόσες πολλές απαγορευμένες πράξεις στα μαθηματικά. Υπάρχει μόνο ένα σε αυτό το νήμα. Διαίρεση με το μηδέν. Πρόσθετες απαγορεύσεις που προκύπτουν σε ρίζες και λογάριθμους συζητούνται στα σχετικά θέματα.
Λοιπόν, μια ιδέα για το τι είναι αριθμητική παράσταση- πήρε. έννοια η αριθμητική έκφραση δεν έχει νόημα- συνειδητοποίησα. Ας πάμε παρακάτω.
Αλγεβρικές εκφράσεις.
Αν εμφανίζονται γράμματα σε μια αριθμητική έκφραση, αυτή η έκφραση γίνεται... Η έκφραση γίνεται... Ναι! Γινεται αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα:
5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (α + β) 2; ...
Τέτοιες εκφράσεις λέγονται επίσης κυριολεκτικές εκφράσεις.Ή εκφράσεις με μεταβλητές.Είναι πρακτικά το ίδιο πράγμα. Εκφραση 5a +c, για παράδειγμα - τόσο κυριολεκτικά όσο και αλγεβρικά, και έκφραση με μεταβλητές.
έννοια αλγεβρική έκφραση -ευρύτερο από το αριθμητικό. Το περιλαμβάνεικαι όλες τις αριθμητικές εκφράσεις. Εκείνοι. μια αριθμητική έκφραση είναι επίσης μια αλγεβρική έκφραση, μόνο χωρίς τα γράμματα. Κάθε ρέγγα είναι ψάρι, αλλά δεν είναι κάθε ψάρι ρέγγα...)
Γιατί κατά γράμμα- Είναι σαφές. Λοιπόν, αφού υπάρχουν γράμματα ... Φράση έκφραση με μεταβλητέςεπίσης όχι πολύ περίπλοκο. Αν καταλαβαίνετε ότι κάτω από τα γράμματα κρύβονται αριθμοί. Όλα τα είδη αριθμών μπορούν να κρυφτούν κάτω από τα γράμματα ... Και 5, και -18, και ό,τι θέλετε. Δηλαδή ένα γράμμα μπορεί αντικαθιστώεπί διαφορετικούς αριθμούς. Γι' αυτό λέγονται τα γράμματα μεταβλητές.
Στην έκφραση y+5, Για παράδειγμα, στο- μεταβλητή. Ή απλά πείτε " μεταβλητός", χωρίς τη λέξη «αξία». Σε αντίθεση με το πέντε, που είναι σταθερή τιμή. Ή απλά - συνεχής.
Ορος αλγεβρική παράστασησημαίνει ότι για να εργαστείτε με αυτήν την έκφραση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους νόμους και τους κανόνες άλγεβρα. Αν αριθμητικήλειτουργεί με συγκεκριμένους αριθμούς, λοιπόν άλγεβρα- με όλους τους αριθμούς ταυτόχρονα. Ένα απλό παράδειγμα για διευκρίνιση.
Στην αριθμητική, μπορεί κανείς να το γράψει αυτό
Αλλά αν γράψουμε μια παρόμοια ισότητα μέσω αλγεβρικών εκφράσεων:
α + β = β + α
θα αποφασίσουμε αμέσως Ολαερωτήσεις. Για όλους τους αριθμούςΕγκεφαλικό. Για άπειρα πράγματα. Γιατί κάτω από τα γράμματα ΕΝΑΚαι σιυπονοείται Ολααριθμοί. Και όχι μόνο αριθμοί, αλλά ακόμη και άλλες μαθηματικές εκφράσεις. Έτσι λειτουργεί η άλγεβρα.
Πότε μια αλγεβρική έκφραση δεν έχει νόημα;
Όλα είναι ξεκάθαρα σχετικά με την αριθμητική έκφραση. Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Και με γράμματα, είναι δυνατόν να μάθουμε με τι χωρίζουμε;!
Ας πάρουμε ως παράδειγμα την ακόλουθη έκφραση μεταβλητής:
2: (ΕΝΑ - 5)
Βγαζει νοημα? Αλλά ποιος τον ξέρει; ΕΝΑ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ...
Οποιοδήποτε, οποιοδήποτε... Αλλά υπάρχει ένα νόημα ΕΝΑ, για την οποία αυτή η έκφραση ακριβώςδεν βγάζει νόημα! Και ποιος είναι αυτός ο αριθμός; Ναί! Είναι 5! Αν η μεταβλητή ΕΝΑαντικαταστήστε (λένε - "υποκατάστατο") με τον αριθμό 5, στην παρένθεση θα βγει μηδέν. που δεν μπορεί να διαιρεθεί. Αποδεικνύεται λοιπόν ότι η έκφρασή μας δεν έχει νόημα, Αν α = 5. Αλλά για άλλες αξίες ΕΝΑβγαζει νοημα? Μπορείτε να αντικαταστήσετε άλλους αριθμούς;
Σίγουρα. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται απλώς ότι η έκφραση
2: (ΕΝΑ - 5)
έχει νόημα για οποιαδήποτε αξία ΕΝΑ, εκτός από a = 5 .
Ολόκληρο το σύνολο των αριθμών Μπορώυποκατάστατο στη δεδομένη έκφραση καλείται περιοχή επιτρεπόμενες τιμές αυτή η έκφραση.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο. Εξετάζουμε την έκφραση με μεταβλητές και σκεφτόμαστε: σε ποια τιμή της μεταβλητής προκύπτει η απαγορευμένη πράξη (διαίρεση με το μηδέν);
Και, στη συνέχεια, φροντίστε να εξετάσετε την ερώτηση της ανάθεσης. Τι ρωτάνε;
δεν έχει νόημα, η απαγορευμένη μας αξία θα είναι η απάντηση.
Αν ρωτήσουν σε ποια τιμή της μεταβλητής η παράσταση έχει το νόημα(νιώστε τη διαφορά!), η απάντηση θα είναι όλους τους άλλους αριθμούςεκτός από το απαγορευμένο.
Γιατί χρειαζόμαστε το νόημα της έκφρασης; Είναι εκεί, δεν είναι... Ποια η διαφορά;! Γεγονός είναι ότι αυτή η έννοια γίνεται πολύ σημαντική στο λύκειο. Εξαιρετικά σημαντικό! Αυτή είναι η βάση για τέτοιες συμπαγείς έννοιες όπως το εύρος των έγκυρων τιμών ή το εύρος μιας συνάρτησης. Χωρίς αυτό, δεν θα μπορείτε να λύσετε σοβαρές εξισώσεις ή ανισότητες καθόλου. Σαν αυτό.
Μετατροπή έκφρασης. Μετασχηματισμοί ταυτότητας.
Γνωριστήκαμε με αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις. Κατανοήστε τι σημαίνει η φράση «η έκφραση δεν έχει νόημα». Τώρα πρέπει να καταλάβουμε τι μετατροπή έκφρασης.Η απάντηση είναι απλή, εξωφρενικά.) Αυτή είναι οποιαδήποτε ενέργεια με έκφραση. Και αυτό είναι όλο. Κάνετε αυτές τις μεταμορφώσεις από την πρώτη τάξη.
Πάρτε την δροσερή αριθμητική έκφραση 3+5. Πώς μπορεί να μετατραπεί; Ναι, πολύ εύκολο! Υπολογίζω:
Αυτός ο υπολογισμός θα είναι ο μετασχηματισμός της έκφρασης. Μπορείτε να γράψετε την ίδια έκφραση με διαφορετικό τρόπο:
Δεν μετρήσαμε τίποτα εδώ. Απλώς γράψτε την έκφραση σε διαφορετική μορφή.Αυτό θα είναι επίσης ένας μετασχηματισμός της έκφρασης. Μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Και αυτό, επίσης, είναι η μεταμόρφωση μιας έκφρασης. Μπορείτε να κάνετε όσες από αυτές τις μετατροπές θέλετε.
Οποιοςδράση σε μια έκφραση όποιοςΗ σύνταξη του σε διαφορετική μορφή ονομάζεται μετασχηματισμός έκφρασης. Και όλα τα πράγματα. Όλα είναι πολύ απλά. Αλλά υπάρχει ένα πράγμα εδώ πολύ σημαντικός κανόνας.Τόσο σημαντικό που μπορεί να ονομαστεί με ασφάλεια κύριος κανόναςόλα τα μαθηματικά. Παραβίαση αυτού του κανόνα αναπόφευκταοδηγεί σε λάθη. Καταλαβαίνουμε;)
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μεταμορφώσει την έκφρασή μας αυθαίρετα, ως εξής:
Μεταμόρφωση? Σίγουρα. Γράψαμε την έκφραση με διαφορετική μορφή, τι φταίει εδώ;
Δεν είναι έτσι.) Γεγονός είναι ότι οι μεταμορφώσεις "οτιδήποτε"τα μαθηματικά δεν ενδιαφέρονται καθόλου.) Όλα τα μαθηματικά χτίζονται σε μετασχηματισμούς στους οποίους η εμφάνιση, αλλά η ουσία της έκφρασης δεν αλλάζει.Τρία συν πέντε μπορούν να γραφτούν με οποιαδήποτε μορφή, αλλά πρέπει να είναι οκτώ.
μεταμορφώσεις, εκφράσεις που δεν αλλάζουν την ουσίαπου ονομάζεται πανομοιότυπο.
Ακριβώς πανομοιότυπες μετατροπέςκαι επιτρέψτε μας, βήμα προς βήμα, να μεταμορφωθούμε σύνθετο παράδειγμασε μια απλή έκφραση, κρατώντας ουσία του παραδείγματος.Εάν κάνουμε ένα λάθος στην αλυσίδα των μετασχηματισμών, θα κάνουμε έναν ΟΧΙ πανομοιότυπο μετασχηματισμό, τότε θα αποφασίσουμε αλλοπαράδειγμα. Με άλλες απαντήσεις που δεν σχετίζονται με τις σωστές.)
Εδώ είναι ο κύριος κανόνας για την επίλυση οποιωνδήποτε εργασιών: συμμόρφωση με την ταυτότητα των μετασχηματισμών.
Έδωσα ένα παράδειγμα με μια αριθμητική έκφραση 3 + 5 για σαφήνεια. Στις αλγεβρικές εκφράσεις, οι ίδιοι μετασχηματισμοί δίνονται με τύπους και κανόνες. Ας πούμε ότι υπάρχει ένας τύπος στην άλγεβρα:
a(b+c) = ab + ac
Έτσι, σε οποιοδήποτε παράδειγμα, μπορούμε αντί για την έκφραση α(β+γ)μη διστάσετε να γράψετε μια έκφραση ab+ac. Και αντίστροφα. Αυτό ταυτόσημη μεταμόρφωση.Τα μαθηματικά μας δίνουν μια επιλογή από αυτές τις δύο εκφράσεις. Και ποιο να γράψω - από μελέτη περίπτωσηςΕξαρτάται.
Ενα άλλο παράδειγμα. Ένας από τους πιο σημαντικούς και απαραίτητους μετασχηματισμούς είναι η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Μπορείτε να δείτε περισσότερες λεπτομέρειες στον σύνδεσμο, αλλά εδώ υπενθυμίζω απλώς τον κανόνα: αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, ή μια παράσταση που δεν είναι ίση με μηδέν, το κλάσμα δεν θα αλλάξει.Ακολουθεί ένα παράδειγμα πανομοιότυπων μετασχηματισμών για αυτήν την ιδιότητα:
Όπως μάλλον μαντέψατε, αυτή η αλυσίδα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον...) Μια πολύ σημαντική ιδιότητα. Είναι αυτό που σας επιτρέπει να μετατρέψετε όλα τα είδη παραδειγμάτων τεράτων σε λευκά και χνουδωτά.)
Υπάρχουν πολλοί τύποι που ορίζουν πανομοιότυπους μετασχηματισμούς. Αλλά τα πιο σημαντικά είναι αρκετά λογικό ποσό. Ένας από τους βασικούς μετασχηματισμούς είναι η παραγοντοποίηση. Χρησιμοποιείται σε όλα τα μαθηματικά - από το δημοτικό έως το προχωρημένο. Ας ξεκινήσουμε με αυτόν. στο επόμενο μάθημα.)
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)
μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Μια κυριολεκτική έκφραση (ή μια έκφραση με μεταβλητές) είναι μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς, γράμματα και σημάδια μαθηματικών πράξεων. Για παράδειγμα, η ακόλουθη έκφραση είναι κυριολεκτική:
α+β+4
Χρησιμοποιώντας κυριολεκτικές εκφράσεις, μπορείτε να γράψετε νόμους, τύπους, εξισώσεις και συναρτήσεις. Η ικανότητα χειρισμού κυριολεκτικών εκφράσεων είναι το κλειδί για μια καλή γνώση της άλγεβρας και των ανώτερων μαθηματικών.
Κάθε σοβαρό πρόβλημα στα μαθηματικά καταλήγει στην επίλυση εξισώσεων. Και για να μπορέσετε να λύσετε εξισώσεις, πρέπει να είστε σε θέση να εργαστείτε με κυριολεκτικές εκφράσεις.
Για να εργαστείτε με κυριολεκτικές εκφράσεις, πρέπει να μελετήσετε καλά τη βασική αριθμητική: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση, βασικοί νόμοι των μαθηματικών, κλάσματα, ενέργειες με κλάσματα, αναλογίες. Και όχι μόνο για να μελετήσει, αλλά για να καταλάβει ενδελεχώς.
Περιεχόμενο μαθήματοςΜεταβλητές
Τα γράμματα που περιέχονται σε κυριολεκτικές εκφράσεις ονομάζονται μεταβλητές. Για παράδειγμα, στην έκφραση α+β+4τα γράμματα είναι μεταβλητές έναΚαι σι. Αν αντί για αυτές τις μεταβλητές αντικαταστήσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς, τότε η κυριολεκτική έκφραση α+β+4θα μετατραπεί σε μια αριθμητική παράσταση, η τιμή της οποίας μπορεί να βρεθεί.
Οι αριθμοί που αντικαθιστούν τις μεταβλητές καλούνται μεταβλητές τιμές. Για παράδειγμα, ας αλλάξουμε τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι. Χρησιμοποιήστε το σύμβολο ίσον για να αλλάξετε τις τιμές
a = 2, b = 3
Έχουμε αλλάξει τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι. μεταβλητός έναεκχωρήθηκε μια τιμή 2 , μεταβλητό σιεκχωρήθηκε μια τιμή 3 . Ως αποτέλεσμα, η κυριολεκτική έκφραση α+β+4μετατρέπεται σε κανονική αριθμητική έκφραση 2+3+4 του οποίου η τιμή μπορεί να βρεθεί:
2 + 3 + 4 = 9
Όταν οι μεταβλητές πολλαπλασιάζονται, γράφονται μαζί. Για παράδειγμα, η καταχώρηση αβσημαίνει το ίδιο με το λήμμα α×β. Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές έναΚαι σιαριθμοί 2 Και 3 , τότε παίρνουμε 6
2 x 3 = 6
Μαζί, μπορείτε επίσης να γράψετε τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με μια παράσταση σε αγκύλες. Για παράδειγμα, αντί για a×(b + c)μπορεί να γραφτεί α(β + γ). Εφαρμόζοντας τον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού, λαμβάνουμε a(b + c)=ab+ac.
Πιθανότητα
Στις κυριολεκτικές εκφράσεις, μπορείτε συχνά να βρείτε μια σημείωση στην οποία ένας αριθμός και μια μεταβλητή γράφονται μαζί, για παράδειγμα 3α. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι μια συντομογραφία για τον πολλαπλασιασμό του αριθμού 3 με μια μεταβλητή. ένακαι αυτή η καταχώρηση μοιάζει 3×α .
Με άλλα λόγια η έκφραση 3αείναι το γινόμενο του αριθμού 3 και της μεταβλητής ένα. Αριθμός 3 σε αυτό το έργο ονομάζεται συντελεστής. Αυτός ο συντελεστής δείχνει πόσες φορές θα αυξηθεί η μεταβλητή ένα. Αυτή η έκφραση μπορεί να διαβαστεί ως " ένατρεις ή τρεις φορές ΕΝΑ", ή "αυξήστε την τιμή της μεταβλητής ένατρεις φορές», αλλά τις περισσότερες φορές διαβάζεται ως «τρεις ένα«
Για παράδειγμα, εάν η μεταβλητή έναείναι ίσο με 5 , τότε η τιμή της έκφρασης 3αθα είναι ίσο με 15.
3 x 5 = 15
ομιλία απλή γλώσσα, ο συντελεστής είναι ο αριθμός που βρίσκεται πριν από το γράμμα (πριν από τη μεταβλητή).
Μπορεί να υπάρχουν πολλά γράμματα, για παράδειγμα 5αβ. Εδώ ο συντελεστής είναι ο αριθμός 5 . Αυτός ο συντελεστής δείχνει ότι το γινόμενο των μεταβλητών αλφάβητοαυξάνεται πέντε φορές. Αυτή η έκφραση μπορεί να διαβαστεί ως " αλφάβητοπέντε φορές» ή «αυξήστε την αξία της έκφρασης αλφάβητοπέντε φορές» ή «πέντε αλφάβητο«.
Αν αντί για μεταβλητές αλφάβητοαντικαταστήστε τους αριθμούς 2, 3 και 4 και μετά την τιμή της παράστασης 5αβθα είναι ίσο με 120
5 x 2 x 3 x 4 = 120
Μπορείτε να φανταστείτε διανοητικά πώς πολλαπλασιάστηκαν αρχικά οι αριθμοί 2, 3 και 4 και η τιμή που προέκυψε αυξήθηκε πέντε φορές:
Το πρόσημο του συντελεστή αναφέρεται μόνο στον συντελεστή και δεν ισχύει για μεταβλητές.
Σκεφτείτε την έκφραση −6β. Μείον μπροστά από τον συντελεστή 6 , ισχύει μόνο για τον συντελεστή 6 , και δεν ισχύει για τη μεταβλητή σι. Η κατανόηση αυτού του γεγονότος θα σας επιτρέψει να μην κάνετε λάθη στο μέλλον με σημάδια.
Βρείτε την τιμή της έκφρασης −6βστο b = 3.
−6β −6×b. Για λόγους σαφήνειας, γράφουμε την έκφραση −6βσε διευρυμένη μορφή και αντικαταστήστε την τιμή της μεταβλητής σι
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης −6βστο b = −5
Ας γράψουμε την έκφραση −6βσε διευρυμένη μορφή
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης −5a+bστο α = 3Και b = 2
−5a+bείναι η σύντομη φόρμα για −5 × a + b, επομένως, για λόγους σαφήνειας, γράφουμε την έκφραση −5×a+bσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Μερικές φορές τα γράμματα γράφονται χωρίς συντελεστή, για παράδειγμα έναή αβ. Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής είναι ένας:
αλλά η μονάδα παραδοσιακά δεν είναι γραμμένη, έτσι απλά γράφουν έναή αβ
Εάν υπάρχει ένα μείον πριν από το γράμμα, τότε ο συντελεστής είναι ένας αριθμός −1 . Για παράδειγμα, η έκφραση -έναπραγματικά μοιάζει −1α. Αυτό είναι το γινόμενο του μείον ένα και της μεταβλητής ένα.Βγήκε έτσι:
−1 × a = −1a
Εδώ βρίσκεται ένα μικρό κόλπο. Στην έκφραση -έναμείον πριν από τη μεταβλητή έναστην πραγματικότητα αναφέρεται στην "αόρατη μονάδα" και όχι στη μεταβλητή ένα. Επομένως, όταν επιλύετε προβλήματα, θα πρέπει να είστε προσεκτικοί.
Για παράδειγμα, δεδομένης της έκφρασης -ένακαι μας ζητείται να βρούμε την τιμή του στο α = 2, τότε στο σχολείο αντικαταστήσαμε ένα δίδυμο αντί για μια μεταβλητή ένακαι πάρε απάντηση −2 , χωρίς να εστιάσουμε πραγματικά στο πώς εξελίχθηκε. Στην πραγματικότητα, υπήρξε πολλαπλασιασμός του μείον ένα με έναν θετικό αριθμό 2
-a = -1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Αν δοθεί έκφραση -ένακαι απαιτείται να βρεθεί η τιμή του στο a = −2, τότε αντικαθιστούμε −2 αντί για μεταβλητή ένα
-a = -1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Προκειμένου να αποφευχθούν λάθη, στην αρχή οι αόρατες μονάδες μπορούν να γραφτούν ρητά.
Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης αλφάβητοστο a=2 , b=3Και c=4
Εκφραση αλφάβητο 1×a×b×c.Για λόγους σαφήνειας, γράφουμε την έκφραση αλφάβητο α , βΚαι ντο
1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
Παράδειγμα 5Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης αλφάβητοστο a=−2, b=−3Και c=−4
Ας γράψουμε την έκφραση αλφάβητοσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών α , βΚαι ντο
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Παράδειγμα 6Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης − αλφάβητοστο a=3, b=5 και c=7
Εκφραση − αλφάβητοείναι η σύντομη φόρμα για −1×a×b×c.Για λόγους σαφήνειας, γράφουμε την έκφραση − αλφάβητοσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών α , βΚαι ντο
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Παράδειγμα 7Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης − αλφάβητοστο a=−2 , b=−4 και c=−3
Ας γράψουμε την έκφραση − αλφάβητοαναπτυγμένος:
−abc = −1 × a × b × c
Αντικαταστήστε την τιμή των μεταβλητών ένα , σιΚαι ντο
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Πώς να προσδιορίσετε τον συντελεστή
Μερικές φορές απαιτείται να λυθεί ένα πρόβλημα στο οποίο απαιτείται να προσδιοριστεί ο συντελεστής μιας παράστασης. Βασικα, δοθείσα εργασίαπολύ απλό. Αρκεί να μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους αριθμούς.
Για να προσδιορίσετε τον συντελεστή σε μια παράσταση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμούς που περιλαμβάνονται σε αυτήν την έκφραση και ξεχωριστά να πολλαπλασιάσετε τα γράμματα. Ο αριθμητικός παράγοντας που προκύπτει θα είναι ο συντελεστής.
Παράδειγμα 1 7m×5a×(−3)×n
Η έκφραση αποτελείται από πολλούς παράγοντες. Αυτό μπορεί να φανεί καθαρά εάν η έκφραση είναι γραμμένη σε διευρυμένη μορφή. Δουλεύει δηλαδή 7μΚαι 5αγράψτε στη φόρμα 7×μΚαι 5×α
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Εφαρμόζουμε τον συνειρμικό νόμο του πολλαπλασιασμού, ο οποίος μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε τους παράγοντες με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, πολλαπλασιάστε χωριστά τους αριθμούς και πολλαπλασιάστε ξεχωριστά τα γράμματα (μεταβλητές):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 άτομα
Ο συντελεστής είναι −105 . Μετά την ολοκλήρωση, το γράμμα είναι κατά προτίμηση ταξινομημένο με αλφαβητική σειρά:
−105 π.μ
Παράδειγμα 2Να προσδιορίσετε τον συντελεστή στην παράσταση: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Ο συντελεστής είναι 6.
Παράδειγμα 3Να προσδιορίσετε τον συντελεστή στην παράσταση: 
Ας πολλαπλασιάσουμε χωριστά αριθμούς και γράμματα:
Ο συντελεστής είναι −1. Λάβετε υπόψη ότι η μονάδα δεν καταγράφεται, καθώς ο συντελεστής 1 συνήθως δεν καταγράφεται.
Αυτές οι φαινομενικά απλές εργασίες μπορούν να παίξουν ένα πολύ σκληρό αστείο μαζί μας. Συχνά αποδεικνύεται ότι το πρόσημο του συντελεστή έχει οριστεί εσφαλμένα: είτε παραλείπεται ένα μείον είτε, αντίθετα, τίθεται μάταια. Για να αποφύγετε αυτά τα ενοχλητικά λάθη, πρέπει να μελετηθεί σε καλό επίπεδο.
Όροι σε κυριολεκτικές εκφράσεις
Όταν προσθέτετε πολλούς αριθμούς, λαμβάνετε το άθροισμα αυτών των αριθμών. Οι αριθμοί που αθροίζονται ονομάζονται όροι. Μπορεί να υπάρχουν διάφοροι όροι, για παράδειγμα:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Όταν μια παράσταση αποτελείται από όρους, είναι πολύ πιο εύκολο να την υπολογίσεις, αφού είναι πιο εύκολο να προσθέσεις παρά να αφαιρέσεις. Αλλά η έκφραση μπορεί να περιέχει όχι μόνο πρόσθεση, αλλά και αφαίρεση, για παράδειγμα:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
Σε αυτήν την έκφραση, οι αριθμοί 3 και 5 αφαιρούνται, δεν προστίθενται. Όμως τίποτα δεν μας εμποδίζει να αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση. Στη συνέχεια, παίρνουμε πάλι μια έκφραση που αποτελείται από όρους:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Δεν πειράζει που οι αριθμοί -3 και -5 είναι τώρα με αρνητικό πρόσημο. Το κύριο πράγμα είναι ότι όλοι οι αριθμοί σε αυτήν την παράσταση συνδέονται με το πρόσθετο πρόσημο, δηλαδή, η παράσταση είναι ένα άθροισμα.
Και οι δύο εκφράσεις 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Και 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) ισούνται με την ίδια τιμή - μείον ένα
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Έτσι, η αξία της έκφρασης δεν θα υποφέρει από το γεγονός ότι κάπου αντικαθιστούμε την αφαίρεση με την πρόσθεση.
Μπορείτε επίσης να αντικαταστήσετε την αφαίρεση με πρόσθεση σε κυριολεκτικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη έκφραση:
7a + 6b - 3c + 2d - 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Για οποιεσδήποτε τιμές μεταβλητών Α Β Γ ΔΚαι μικρόεκφράσεις 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Και 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) θα είναι ίση με την ίδια τιμή.
Πρέπει να είστε προετοιμασμένοι για το γεγονός ότι ένας δάσκαλος στο σχολείο ή ένας δάσκαλος σε ένα ινστιτούτο μπορεί να καλέσει όρους ακόμη και εκείνους τους αριθμούς (ή τις μεταβλητές) που δεν είναι αυτοί.
Για παράδειγμα, αν η διαφορά είναι γραμμένη στον πίνακα α-β, τότε ο δάσκαλος δεν θα το πει αυτό έναείναι το minuend, και σι- εκπιπτόμενο. Θα καλέσει και τις δύο μεταβλητές μία κοινή λέξη — όροι. Και όλα αυτά επειδή η έκφραση της μορφής α-βμαθηματικός βλέπει πώς το άθροισμα a + (−b). Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση γίνεται άθροισμα και οι μεταβλητές έναΚαι (−β)γίνονται συστατικά στοιχεία.
Παρόμοιοι όροι
Παρόμοιοι όροιείναι όροι που έχουν το ίδιο γράμμα. Για παράδειγμα, εξετάστε την έκφραση 7α + 6β + 2α. Οροι 7αΚαι 2αέχουν το ίδιο γράμμα μέρος - μεταβλητή ένα. Οι όροι λοιπόν 7αΚαι 2αείναι παρόμοια.
Συνήθως, παρόμοιοι όροι προστίθενται για να απλοποιήσουν μια έκφραση ή να λύσουν μια εξίσωση. Αυτή η λειτουργία ονομάζεται μείωση όμοιων όρων.
Για να φέρετε παρόμοιους όρους, πρέπει να προσθέσετε τους συντελεστές αυτών των όρων και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος.
Για παράδειγμα, δίνουμε παρόμοιους όρους στην έκφραση 3α + 4α + 5α. ΣΕ αυτή η υπόθεση, όλοι οι όροι είναι παρόμοιοι. Προσθέτουμε τους συντελεστές τους και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα - με τη μεταβλητή ένα
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Τέτοιοι όροι συνήθως δίνονται στο μυαλό και το αποτέλεσμα γράφεται αμέσως:
3a + 4a + 5a = 12a
Επίσης, μπορείτε να διαφωνήσετε ως εξής:
Υπήρχαν 3 μεταβλητές a , 4 ακόμη μεταβλητές a και 5 ακόμη μεταβλητές a προστέθηκαν σε αυτές. Ως αποτέλεσμα, πήραμε 12 μεταβλητές α
Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα μείωσης παρόμοιων όρων. Λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτό το θέμα είναι πολύ σημαντικό, αρχικά θα καταγράψουμε κάθε λεπτομέρεια λεπτομερώς. Παρά το γεγονός ότι όλα είναι πολύ απλά εδώ, οι περισσότεροι άνθρωποι κάνουν πολλά λάθη. Κυρίως λόγω απροσεξίας, όχι άγνοιας.
Παράδειγμα 1 3α + 2α + 6α + 8ένα
Προσθέτουμε τους συντελεστές σε αυτήν την έκφραση και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
σχέδιο (3 + 2 + 6 + 8)×αδεν μπορείτε να γράψετε, οπότε θα γράψουμε αμέσως την απάντηση
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Παράδειγμα 2Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 2α+α
Δεύτερη περίοδος έναγράφεται χωρίς συντελεστή, αλλά στην πραγματικότητα προηγείται συντελεστής 1 , το οποίο δεν βλέπουμε λόγω του ότι δεν καταγράφεται. Έτσι η έκφραση μοιάζει με αυτό:
2α + 1α
Τώρα παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή προσθέτουμε τους συντελεστές και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
2α + α = 3α
2α+α, μπορείτε να διαφωνήσετε με άλλο τρόπο:
Παράδειγμα 3Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 2α - α
Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση:
2a + (−a)
Δεύτερη περίοδος (−a)γραμμένο χωρίς συντελεστή, αλλά στην πραγματικότητα μοιάζει (−1a).Συντελεστής −1 πάλι αόρατο λόγω του ότι δεν καταγράφεται. Έτσι η έκφραση μοιάζει με αυτό:
2a + (−1a)
Τώρα παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους. Προσθέτουμε τους συντελεστές και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Συνήθως γράφεται πιο σύντομα:
2a − a = a
Φέρνοντας παρόμοιους όρους στην έκφραση 2a−aΜπορείτε επίσης να διαφωνήσετε με άλλο τρόπο:
Υπήρχαν 2 μεταβλητές a , αφαιρέθηκε μία μεταβλητή a , ως αποτέλεσμα υπήρχε μόνο μία μεταβλητή a
Παράδειγμα 4Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 6α - 3α + 4α - 8α
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Τώρα παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους. Προσθέτουμε τους συντελεστές και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
6a - 3a + 4a - 8a = -a
Υπάρχουν εκφράσεις που περιέχουν αρκετές διάφορες ομάδεςπαρόμοιους όρους. Για παράδειγμα, 3α + 3β + 7α + 2β. Για τέτοιες εκφράσεις, ισχύουν οι ίδιοι κανόνες όπως και για τις υπόλοιπες, δηλαδή η πρόσθεση των συντελεστών και ο πολλαπλασιασμός του αποτελέσματος με το μέρος του κοινού γράμματος. Αλλά για να αποφύγετε λάθη, είναι βολικό διαφορετικές ομάδεςυπογραμμίστε τους όρους με διαφορετικές γραμμές.
Για παράδειγμα, στην έκφραση 3α + 3β + 7α + 2βτους όρους που περιέχουν μια μεταβλητή ένα, μπορούν να υπογραμμιστούν με μία γραμμή και οι όροι που περιέχουν μια μεταβλητή σι, μπορεί να υπογραμμιστεί με δύο γραμμές:
Τώρα μπορούμε να φέρουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή, προσθέστε τους συντελεστές και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος. Αυτό πρέπει να γίνει και για τις δύο ομάδες όρων: για όρους που περιέχουν μια μεταβλητή ένακαι για όρους που περιέχουν τη μεταβλητή σι.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Και πάλι, επαναλαμβάνουμε, η έκφραση είναι απλή και παρόμοιοι όροι μπορούν να δοθούν στο μυαλό:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Παράδειγμα 5Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 5α - 6α - 7β + β
Αντικαθιστούμε την αφαίρεση με πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Υπογραμμίστε τους ομοίους όρους με διαφορετικές γραμμές. Όροι που περιέχουν μεταβλητές έναυπογραμμίστε με μία γραμμή και οι όροι περιεχόμενο είναι μεταβλητές σι, υπογραμμισμένο με δύο γραμμές:
Τώρα μπορούμε να φέρουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή, προσθέστε τους συντελεστές και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Εάν η παράσταση περιέχει συνηθισμένους αριθμούς χωρίς αλφαβητικούς παράγοντες, τότε προστίθενται χωριστά.
Παράδειγμα 6Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους. Αριθμοί −5 Και 7 δεν έχουν κυριολεκτικούς παράγοντες, αλλά είναι παρόμοιοι όροι - απλά πρέπει να τους αθροίσετε. Και ο όρος 2βθα παραμείνει αμετάβλητο, αφού είναι το μόνο σε αυτή την έκφραση που έχει παράγοντα γράμμα σι,και δεν υπάρχει τίποτα να το προσθέσω με:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Οι όροι μπορούν να παραγγελθούν έτσι ώστε οι όροι που έχουν το ίδιο γράμμα να βρίσκονται στο ίδιο μέρος της έκφρασης.
Παράδειγμα 7Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 5t+2x+3x+5t+x
Δεδομένου ότι η έκφραση είναι το άθροισμα πολλών όρων, αυτό μας επιτρέπει να την αξιολογήσουμε με οποιαδήποτε σειρά. Επομένως, οι όροι που περιέχουν τη μεταβλητή t, μπορούν να γραφούν στην αρχή της έκφρασης και οι όροι που περιέχουν τη μεταβλητή Χστο τέλος της έκφρασης:
5t+5t+2x+3x+x
Τώρα μπορούμε να προσθέσουμε παρόμοιους όρους:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Το άθροισμα των αντίθετων αριθμών είναι μηδέν. Αυτός ο κανόνας λειτουργεί επίσης για κυριολεκτικές εκφράσεις. Εάν η έκφραση περιέχει τους ίδιους όρους, αλλά με αντίθετα σημάδια, τότε μπορείτε να απαλλαγείτε από αυτούς στο στάδιο της μείωσης παρόμοιων όρων. Με άλλα λόγια, απλώς αφαιρέστε τα από την έκφραση γιατί το άθροισμά τους είναι μηδέν.
Παράδειγμα 8Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 3t − 4t − 3t + 2t
Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Οροι 3tΚαι (−3t)είναι απέναντι. Το άθροισμα των αντίθετων όρων είναι ίσο με μηδέν. Εάν αφαιρέσουμε αυτό το μηδέν από την παράσταση, τότε η τιμή της παράστασης δεν θα αλλάξει, οπότε θα την αφαιρέσουμε. Και θα το αφαιρέσουμε με τη συνήθη διαγραφή των όρων 3tΚαι (−3t)
Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε την έκφραση (−4t) + 2t. Σε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε όρους όπως και να λάβετε την τελική απάντηση:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
Απλοποίηση έκφρασης
"απλοποιήστε την έκφραση" και η παρακάτω είναι η έκφραση που πρέπει να απλοποιηθεί. Απλοποίηση έκφρασηςσημαίνει να το κάνουμε πιο απλό και συντομότερο.
Στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη ασχοληθεί με την απλοποίηση των εκφράσεων κατά τη μείωση των κλασμάτων. Μετά τη μείωση, το κλάσμα έγινε πιο σύντομο και ευανάγνωστο.
Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.
Αυτή η εργασία μπορεί να κατανοηθεί κυριολεκτικά ως εξής: «Κάνε ό,τι μπορείς με αυτή την έκφραση, αλλά κάνε την πιο απλή» .
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα, δηλαδή να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με 2:
Τι άλλο μπορεί να γίνει; Μπορείτε να υπολογίσετε το κλάσμα που προκύπτει. Τότε παίρνουμε το δεκαδικό 0,5
Ως αποτέλεσμα, το κλάσμα απλοποιήθηκε στο 0,5.
Η πρώτη ερώτηση που πρέπει να κάνετε στον εαυτό σας όταν επιλύετε τέτοια προβλήματα πρέπει να είναι "τί μπορεί να γίνει?" . Γιατί υπάρχουν πράγματα που μπορείς να κάνεις και υπάρχουν πράγματα που δεν μπορείς να κάνεις.
Αλλο σημαντικό σημείοΑυτό που πρέπει να έχετε κατά νου είναι ότι η τιμή μιας έκφρασης δεν πρέπει να αλλάξει μετά την απλοποίηση της έκφρασης. Ας επιστρέψουμε στην έκφραση. Αυτή η έκφραση είναι μια διαίρεση που μπορεί να εκτελεστεί. Έχοντας εκτελέσει αυτή τη διαίρεση, παίρνουμε την τιμή αυτής της έκφρασης, η οποία είναι ίση με 0,5
Αλλά απλοποιήσαμε την έκφραση και πήραμε μια νέα απλοποιημένη έκφραση. Η τιμή της νέας απλοποιημένης έκφρασης εξακολουθεί να είναι 0,5
Αλλά προσπαθήσαμε επίσης να απλοποιήσουμε την έκφραση υπολογίζοντάς την. Ως αποτέλεσμα, η τελική απάντηση ήταν 0,5.
Έτσι, ανεξάρτητα από το πόσο απλοποιούμε την έκφραση, η τιμή των παραστάσεων που προκύπτουν είναι 0,5. Αυτό σημαίνει ότι η απλοποίηση πραγματοποιήθηκε σωστά σε κάθε στάδιο. Αυτό είναι που πρέπει να επιδιώξουμε κατά την απλοποίηση των εκφράσεων - το νόημα της έκφρασης δεν πρέπει να υποφέρει από τις πράξεις μας.
Συχνά είναι απαραίτητο να απλοποιηθούν οι κυριολεκτικές εκφράσεις. Για αυτούς, ισχύουν οι ίδιοι κανόνες απλοποίησης όπως και για τις αριθμητικές εκφράσεις. Μπορείτε να εκτελέσετε οποιαδήποτε έγκυρη ενέργεια, αρκεί να μην αλλάξει η τιμή της έκφρασης.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1Απλοποίηση έκφρασης 5,21 × t × 2,5
Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς χωριστά και να πολλαπλασιάσετε τα γράμματα χωριστά. Αυτή η εργασία είναι πολύ παρόμοια με αυτήν που εξετάσαμε όταν μάθαμε να προσδιορίζουμε τον συντελεστή:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Η έκφραση λοιπόν 5,21 × t × 2,5απλοποιημένη σε 13.025η.
Παράδειγμα 2Απλοποίηση έκφρασης −0,4×(−6,3b)×2
Δεύτερη εργασία (−6,3b)μπορεί να μεταφραστεί σε μια μορφή κατανοητή σε εμάς, δηλαδή, γραμμένη με τη μορφή ( −6.3)×b ,στη συνέχεια πολλαπλασιάστε χωριστά τους αριθμούς και χωριστά πολλαπλασιάστε τα γράμματα:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Η έκφραση λοιπόν −0,4×(−6,3b)×2 απλοποιημένη σε 5.04β
Παράδειγμα 3Απλοποίηση έκφρασης 
Ας γράψουμε αυτή την έκφραση με περισσότερες λεπτομέρειες για να δούμε ξεκάθαρα πού είναι οι αριθμοί και πού τα γράμματα:
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς χωριστά και πολλαπλασιάζουμε τα γράμματα χωριστά:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε −abc.Αυτή η λύση μπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:
Κατά την απλοποίηση των εκφράσεων, τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν κατά τη διαδικασία της επίλυσης, και όχι στο τέλος, όπως κάναμε με τα συνηθισμένα κλάσματα. Για παράδειγμα, εάν κατά τη διάρκεια της επίλυσης συναντήσουμε μια έκφραση της μορφής , τότε δεν είναι καθόλου απαραίτητο να υπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και να κάνουμε κάτι σαν αυτό:
Ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί επιλέγοντας τόσο τον παράγοντα στον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή και μειώνοντας αυτούς τους παράγοντες με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους. Με άλλα λόγια, η χρήση , στην οποία δεν περιγράφουμε λεπτομερώς σε τι χωρίστηκαν ο αριθμητής και ο παρονομαστής.
Για παράδειγμα, στον αριθμητή, τον παράγοντα 12 και στον παρονομαστή, ο παράγοντας 4 μπορεί να μειωθεί κατά 4. Έχουμε υπόψη μας τα τέσσερα και διαιρώντας το 12 και το 4 με αυτό το τέσσερα, γράφουμε τις απαντήσεις δίπλα σε αυτούς τους αριθμούς, έχοντας τα διέγραψε προηγουμένως
Τώρα μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους μικρούς παράγοντες που προκύπτουν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι πολλά από αυτά και μπορείτε να τα πολλαπλασιάσετε στο μυαλό σας:
Με την πάροδο του χρόνου, μπορεί να διαπιστώσετε ότι κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, οι εκφράσεις αρχίζουν να "παχαίνουν", επομένως είναι σκόπιμο να συνηθίσετε σε γρήγορους υπολογισμούς. Ό,τι μπορεί να υπολογιστεί στο μυαλό πρέπει να υπολογίζεται στο μυαλό. Ό,τι μπορεί να κοπεί γρήγορα πρέπει να κοπεί γρήγορα.
Παράδειγμα 4Απλοποίηση έκφρασης 
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε
Παράδειγμα 5Απλοποίηση έκφρασης 
Πολλαπλασιάζουμε χωριστά αριθμούς και χωριστά γράμματα:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε μν.
Παράδειγμα 6Απλοποίηση έκφρασης 
Ας γράψουμε αυτή την έκφραση με περισσότερες λεπτομέρειες για να δούμε ξεκάθαρα πού είναι οι αριθμοί και πού τα γράμματα:
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς χωριστά και τα γράμματα χωριστά. Για ευκολία στους υπολογισμούς, το δεκαδικό κλάσμα −6,4 και ο μεικτός αριθμός μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε
Η λύση για αυτό το παράδειγμα μπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομη. Θα μοιάζει με αυτό:
Παράδειγμα 7Απλοποίηση έκφρασης 
Πολλαπλασιάζουμε χωριστά αριθμούς και χωριστά γράμματα. Για ευκολία υπολογισμού, ο μικτός αριθμός και δεκαδικάΤα 0,1 και 0,6 μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε Α Β Γ Δ. Αν παραλείψετε τις λεπτομέρειες, τότε αυτή την απόφασημπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομα:
Παρατηρήστε πώς το κλάσμα έχει μειωθεί. Οι νέοι πολλαπλασιαστές, οι οποίοι προκύπτουν με τη μείωση των προηγούμενων πολλαπλασιαστών, μπορούν επίσης να μειωθούν.
Τώρα ας μιλήσουμε για το τι δεν πρέπει να κάνουμε. Κατά την απλοποίηση παραστάσεων, απαγορεύεται αυστηρά ο πολλαπλασιασμός αριθμών και γραμμάτων εάν η παράσταση είναι άθροισμα και όχι γινόμενο.
Για παράδειγμα, εάν θέλετε να απλοποιήσετε την έκφραση 5α + 4β, τότε δεν μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι αν μας ζητούσαν να προσθέσουμε δύο αριθμούς και θα τους πολλαπλασιάζαμε αντί να τους προσθέσουμε.
Κατά την αντικατάσταση οποιωνδήποτε τιμών μεταβλητών έναΚαι σιέκφραση 5α+4βμετατρέπεται σε απλή αριθμητική έκφραση. Ας υποθέσουμε τις μεταβλητές έναΚαι σιέχουν τις ακόλουθες έννοιες:
a = 2, b = 3
Τότε η τιμή της έκφρασης θα είναι 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Αρχικά, εκτελείται ο πολλαπλασιασμός και στη συνέχεια προστίθενται τα αποτελέσματα. Και αν προσπαθούσαμε να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση πολλαπλασιάζοντας αριθμούς και γράμματα, θα παίρναμε τα εξής:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 x 2 x 3 = 120
Αποδεικνύεται μια εντελώς διαφορετική έννοια της έκφρασης. Στην πρώτη περίπτωση αποδείχθηκε 22 , στη δεύτερη περίπτωση 120 . Αυτό σημαίνει ότι η απλοποίηση της έκφρασης 5α + 4βεκτελέστηκε λανθασμένα.
Μετά την απλοποίηση της έκφρασης, η τιμή της δεν πρέπει να αλλάξει με τις ίδιες τιμές των μεταβλητών. Εάν, κατά την αντικατάσταση οποιωνδήποτε μεταβλητών τιμών στην αρχική έκφραση, προκύπτει μία τιμή, τότε μετά την απλοποίηση της έκφρασης, θα πρέπει να ληφθεί η ίδια τιμή όπως πριν από την απλοποίηση.
Με έκφραση 5α + 4βστην πραγματικότητα δεν μπορεί να γίνει τίποτα. Δεν γίνεται πιο εύκολο.
Εάν η έκφραση περιέχει παρόμοιους όρους, τότε μπορούν να προστεθούν εάν στόχος μας είναι να απλοποιήσουμε την έκφραση.
Παράδειγμα 8Απλοποίηση έκφρασης 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
ή μικρότερη: 0,3α - 0,4α + α = 0,9α
Η έκφραση λοιπόν 0,3a−0,4a+aαπλοποιημένη σε 0,9α
Παράδειγμα 9Απλοποίηση έκφρασης −7,5a − 2,5b + 4a
Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
ή μικρότερη −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
όρος (−2,5b)παρέμεινε αμετάβλητο, αφού δεν υπήρχε τίποτα να το διπλώσει.
Παράδειγμα 10Απλοποίηση έκφρασης 
Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους:
Ο συντελεστής ήταν για την ευκολία του υπολογισμού.
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε
Παράδειγμα 11.Απλοποίηση έκφρασης 
Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένο σε .
Σε αυτό το παράδειγμα, θα ήταν πιο λογικό να προσθέσουμε πρώτα τον πρώτο και τον τελευταίο συντελεστή. Σε αυτή την περίπτωση, θα είχαμε μια σύντομη λύση. Θα μοιάζει με αυτό:
Παράδειγμα 12.Απλοποίηση έκφρασης 
Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε 
.
Ο όρος παρέμεινε αμετάβλητος, αφού δεν υπήρχε τίποτα να τον προσθέσω.
Αυτή η λύση μπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομα. Θα μοιάζει με αυτό:
Η σύντομη λύση παραλείπει τα βήματα αντικατάστασης της αφαίρεσης με πρόσθεση και μια λεπτομερή καταγραφή του τρόπου με τον οποίο τα κλάσματα ανήχθησαν σε έναν κοινό παρονομαστή.
Μια άλλη διαφορά είναι ότι σε αναλυτική απόφασηη απάντηση μοιάζει , αλλά εν συντομία ως . Στην πραγματικότητα, είναι η ίδια έκφραση. Η διαφορά είναι ότι στην πρώτη περίπτωση, η αφαίρεση αντικαθίσταται από την πρόσθεση, γιατί στην αρχή, όταν καταγράψαμε τη λύση σε λεπτομερή μορφή, αντικαταστήσαμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου ήταν δυνατόν, και αυτή η αντικατάσταση διατηρήθηκε για την απάντηση.
Ταυτότητες. Πανομοιότυπες ίσες εκφράσεις
Αφού έχουμε απλοποιήσει οποιαδήποτε έκφραση, γίνεται πιο απλή και πιο σύντομη. Για να ελέγξετε εάν μια έκφραση απλοποιείται σωστά, αρκεί να αντικαταστήσετε τυχόν τιμές των μεταβλητών πρώτα στην προηγούμενη έκφραση, η οποία επρόκειτο να απλοποιηθεί, και στη συνέχεια στη νέα, η οποία απλοποιήθηκε. Εάν η τιμή και στις δύο παραστάσεις είναι η ίδια, τότε η έκφραση απλοποιείται σωστά.
Ας εξετάσουμε το απλούστερο παράδειγμα. Αφήστε να απαιτείται η απλοποίηση της έκφρασης 2a × 7b. Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ξεχωριστά τους αριθμούς και τα γράμματα:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Ας ελέγξουμε αν απλοποιήσαμε σωστά την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τυχόν τιμές των μεταβλητών έναΚαι σιπρώτα στην πρώτη έκφραση, που έπρεπε να απλοποιηθεί, και μετά στη δεύτερη, που απλοποιήθηκε.
Αφήστε τις τιμές των μεταβλητών ένα , σιθα είναι ως εξής:
a = 4, b = 5
Αντικαταστήστε τα στην πρώτη έκφραση 2a × 7b
Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις ίδιες τιμές των μεταβλητών στην έκφραση που προέκυψε από την απλοποίηση 2a×7b, δηλαδή στην έκφραση 14αβ
14ab = 14 x 4 x 5 = 280
Το βλέπουμε στο a=4Και b=5την αξία της πρώτης έκφρασης 2a×7bκαι την τιμή της δεύτερης έκφρασης 14αβίσος
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 x 4 x 5 = 280
Το ίδιο θα συμβεί και για οποιεσδήποτε άλλες τιμές. Για παράδειγμα, ας a=1Και b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28
14ab = 14 x 1 x 2 = 28
Έτσι, για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών, οι εκφράσεις 2a×7bΚαι 14αβισούνται με την ίδια τιμή. Τέτοιες εκφράσεις λέγονται πανομοιότυπα ίσα.
Συμπεραίνουμε ότι ανάμεσα στις εκφράσεις 2a×7bΚαι 14αβμπορείτε να βάλετε ένα σύμβολο ίσου, αφού είναι ίσα με την ίδια τιμή.
2a × 7b = 14ab
Ισότητα είναι κάθε έκφραση που ενώνεται με σύμβολο ίσου (=).
Και η ισότητα της μορφής 2a×7b = 14abπου ονομάζεται Ταυτότητα.
Μια ταυτότητα είναι μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών.
Άλλα παραδείγματα ταυτοτήτων:
α + β = β + α
a(b+c) = ab + ac
α(βγ) = (αβ)γ
Ναι, οι νόμοι των μαθηματικών που μελετήσαμε είναι ταυτότητες.
Οι αληθινές αριθμητικές ισότητες είναι επίσης ταυτότητες. Για παράδειγμα:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Αποφασίζοντας δύσκολη εργασία, για να διευκολυνθεί ο υπολογισμός, η σύνθετη παράσταση αντικαθίσταται από μια απλούστερη έκφραση που είναι πανομοιότυπα ίση με την προηγούμενη. Μια τέτοια αντικατάσταση ονομάζεται ταυτόσημος μετασχηματισμός της έκφρασηςή απλά μετατροπή έκφρασης.
Για παράδειγμα, απλοποιήσαμε την έκφραση 2a × 7b, και αποκτήστε μια πιο απλή έκφραση 14αβ. Αυτή η απλοποίηση μπορεί να ονομαστεί μετασχηματισμός ταυτότητας.
Μπορείτε συχνά να βρείτε μια εργασία που λέει «Αποδείξει ότι η ισότητα είναι ταυτότητα» και τότε δίνεται η ισότητα που θα αποδειχθεί. Συνήθως αυτή η ισότητα αποτελείται από δύο μέρη: το αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας. Το καθήκον μας είναι να εκτελέσουμε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς με ένα από τα μέρη της ισότητας και να πάρουμε το άλλο μέρος. Ή εκτελέστε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς και με τα δύο μέρη της ισότητας και βεβαιωθείτε ότι και τα δύο μέρη της ισότητας περιέχουν τις ίδιες εκφράσεις.
Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε ότι η ισότητα 0,5a × 5b = 2,5abείναι ταυτότητα.
Απλοποιήστε την αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς και τα γράμματα χωριστά:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Ως αποτέλεσμα ενός μικρού πανομοιότυπου μετασχηματισμού, αριστερή πλευράη ισότητα έγινε ίση με τη δεξιά πλευρά της ισότητας. Έτσι έχουμε αποδείξει ότι η ισότητα 0,5a × 5b = 2,5abείναι ταυτότητα.
Από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, μάθαμε να προσθέτουμε, να αφαιρούμε, να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε αριθμούς, να μειώνουμε κλάσματα, να φέρνουμε παρόμοιους όρους και επίσης να απλοποιούμε ορισμένες εκφράσεις.
Αλλά αυτοί απέχουν πολύ από όλους τους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς που υπάρχουν στα μαθηματικά. Υπάρχουν πολλοί ακόμη ίδιοι μετασχηματισμοί. Θα το δούμε ξανά και ξανά στο μέλλον.
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:
Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα
Αριθμητικές εκφράσεις, μετασχηματισμός αριθμητικών εκφράσεων (ορθολογικές και παράλογες). Οι φιλοι! Αυτό το άρθρο σας παρουσιάζει τη λύση των αριθμητικών ορθολογικών και παράλογες εκφράσεις. Αυτές είναι απλές εργασίες για τις εξετάσεις στα μαθηματικά, αρκεί να γνωρίζουμε τις ιδιότητες των βαθμών και των ριζών. Πρέπει επίσης να είστε σε θέση να εργαστείτε με κλάσματα (να βρείτε το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο, το πηλίκο τους). Η διαδικασία επίλυσης μιας τέτοιας εργασίας διαρκεί δύο λεπτά, όχι περισσότερο.Όχι πολλή θεωρία
Σε απλή (μη μαθηματική) γλώσσα ορθολογικές εκφράσειςείναι ακέραιες και κλασματικές εκφράσεις. Οι κλασματικές εκφράσεις συζητούνται παρακάτω.
Μια αλγεβρική έκφραση ονομάζεται παράλογη, αν στην έκφραση, μαζί με τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, εκτελείται και η πράξη ανύψωσης σε λογικό (όχι ακέραιο) βαθμό.
Ένα συνηθισμένο κλάσμα είναι μια αναλογία της μορφής:
* Η ΣΧΕΣΗ είναι μια ενέργεια - ΔΙΙΧΡΩΣΗ (στην περίπτωση αυτή το «α» διαιρείται με το «β»).
Μπορεί επίσης να γραφτεί ως: a/b ή a:b (μια κάθετη και το σύμβολο ":" σημαίνει διαίρεση). Παραδείγματα συνηθισμένων κλασμάτων:
Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός 4 μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα 4/1. Υπάρχουν κλάσματα που μπορούν να μειωθούν, για παράδειγμα, 48/8 = 6. Μερικά μπορούν να αναπαρασταθούν ως τελικοί δεκαδικοί: ½ = 0,5 ¼ = 0,25.
Αν έχουμε έναν ακέραιο με ένα κλασματικό μέρος (μικτό κλάσμα) και πρέπει να εκτελέσουμε μια ενέργεια, τότε πρέπει να αναπαρασταθεί ως απλό κλάσμα. Πως?
Έχουμε έναν αριθμό όπως:
Για να πάρουμε έναν κλασματικό αριθμό ίσο με αυτόν, πολλαπλασιάζουμε το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή και προσθέτουμε τον αριθμητή, γράφουμε το αποτέλεσμα στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος:
Για παράδειγμα:
Εάν πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα (διαφορά) δύο κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να φέρετε τα κλάσματα σε τέτοια μορφή ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίσοι:
* Λάβαμε δηλαδή κοινό παρονομαστήπολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου. Παραλείπω εσκεμμένα το LCM εδώ, καθώς είναι πιθανή η υπερφόρτωση πληροφοριών για κάποιους που έχουν αποφοιτήσει από το λύκειο "πριν από πολύ καιρό".
Το όλο θέμα της ενέργειας είναι να φέρει τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, αφού δεν μπορούν να προστεθούν κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Εάν τα κλάσματα έχουν κοινό παρονομαστή, τότε το αποτέλεσμα του αθροίσματος των κλασμάτων θα είναι ένα κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή και προστίθενται οι αριθμητές.
Εάν πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο δύο κλασμάτων, τότε το αποτέλεσμα θα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμητών αυτών των κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι ίσος με το γινόμενο των παρονομαστών:
Εάν ένα κλάσμα χρειάζεται να διαιρεθεί με ένα άλλο, τότε αυτή η ενέργεια ανάγεται στο γινόμενο του μερίσματος και στο αντίστροφο του διαιρέτη:
* Δηλαδή με απλά λόγια «αναποδογυρίζουμε» το κλάσμα με το οποίο διαιρούμε και αντικαθιστούμε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό.
Ο βαθμός και οι ιδιότητες της ρίζας μπορούν να προβληθούν.
Εξετάστε τα καθήκοντα:
77387. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
Απάντηση: 8
77389. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
Απάντηση: 5
77391. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
Απάντηση: 10
77392. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
*Σε αυτό το πρόβλημα, δεν χρειάζεται να υπολογίσετε τα προϊόντα και μετά την αναλογία. Κοιτάζοντας τους αριθμούς, μπορείτε να δείτε ότι είναι τέλεια μειωμένοι. Αρκεί να γίνουν απλοί μετασχηματισμοί και το παράδειγμα υπολογίζεται προφορικά.
Απάντηση: 10
86983. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
Απλοποιήστε χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων
και υπολογίστε:
Απάντηση: 702
61513. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
Απάντηση: 24
62385. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
Απάντηση: 2
62647. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
Απάντηση: 2
68141. Βρε
Ας ορίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή:
Ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή. Αυτό σημαίνει ότι η αναλογία είναι ίση με ένα:
Απάντηση: 1
26745. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
*Αν οι ρίζες έχουν διαφορετικούς βαθμούς, τότε δεν μπορούν να εκτελεστούν μετασχηματισμοί με την εισαγωγή εκφράσεων κάτω από μία ρίζα. Απαιτείται η μείωση όλων των ριζών στον ίδιο βαθμό. Χρησιμοποιούμε το ακίνητο:
Απάντηση: 1
77405. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης
*Επί τελικό στάδιομεταχειρισμένος:
Απάντηση: 7
Θα είναι χρήσιμο με εκθετικές εκφράσεις.
26900. Να βρείτε την τιμή της παράστασης
Μία από τις έννοιες της άλγεβρας της τάξης 7 είναι οι αριθμητικές εκφράσεις. Χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων. Τι είναι οι αριθμητικές εκφράσεις και πώς να τις χρησιμοποιήσουμε;
Ορισμός έννοιας
Τι είναι μια αριθμητική έκφραση στην άλγεβρα; Αυτός είναι ο χαρακτηρισμός μιας εγγραφής που αποτελείται από αριθμούς, αγκύλες και σημάδια αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης, πρόσθεσης.
Η έννοια της αριθμητικής έκφρασης επιτρέπεται μόνο εάν η εγγραφή φέρει σημασιολογικό φορτίο. Για παράδειγμα, ο συμβολισμός 4-) δεν είναι αριθμητική έκφραση γιατί δεν έχει νόημα.
Παραδείγματα αριθμητικών παραστάσεων:
- 25x13;
- 32-4+8;
- 12x (25-5).
Χαρακτηριστικά έννοιας
Η αριθμητική έκφραση έχει πολλές ιδιότητες που χρησιμοποιούνται για την επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων. Ας εξετάσουμε αυτές τις ιδιότητες με περισσότερες λεπτομέρειες. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε το ακόλουθο παράδειγμα - 45+21-(6x2).
Εννοια
Δεδομένου ότι η αριθμητική έκφραση περιέχει τα σημάδια διαφόρων αριθμητικών πράξεων, μπορούν να εκτελεστούν και ως αποτέλεσμα θα ληφθεί ένας αριθμός. Ονομάζεται τιμή της αριθμητικής παράστασης. Πώς υπολογίζονται οι τιμές μιας αριθμητικής παράστασης; Ακολουθεί τους κανόνες για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων:
- σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες, εκτελέστε ενέργειες ξεκινώντας από υψηλότερα επίπεδα- πολλαπλασιασμός, διαίρεση, πρόσθεση, αφαίρεση.
- εάν υπάρχουν πολλές ίδιες ενέργειες, εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
- εάν υπάρχουν αγκύλες, εκτελέστε πρώτα ενέργειες σε αυτές.
- κατά τον υπολογισμό των κλασμάτων, εκτελέστε πρώτα πράξεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή και μετά διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.
Ας εφαρμόσουμε αυτούς τους κανόνες στο παράδειγμά μας.
- Αρχικά, βρείτε την τιμή σε αγκύλες: 6x2=12.
- Τότε θα προσθέσουμε: 45+21=66.
- Το τελευταίο βήμα είναι να βρείτε τη διαφορά: 66-12=54.
Άρα, ο αριθμός 54 θα είναι η τιμή της παράστασης 45+21-(6x2).
Για να διαβάσετε σωστά μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να καθορίσετε ποια ενέργεια θα είναι η τελευταία στους υπολογισμούς. Στην έκφραση 45+21-(6x2), η τελευταία ενέργεια ήταν η αφαίρεση. Κατά συνέπεια, αυτή η έκφραση θα πρέπει να ονομάζεται «διαφορά». Αν αντί για το σύμβολο «-» υπήρχε ένα σύμβολο «+», η έκφραση θα ονομαζόταν άθροισμα.
Εάν μια έκφραση δεν μπορεί να υπολογιστεί, ονομάζεται χωρίς νόημα. Για παράδειγμα, η ακόλουθη έκφραση δεν έχει νόημα: 12:(4-4). Σε παρένθεση, η διαφορά είναι μηδέν. Και σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι είναι αδύνατο να βρεθεί η αξία της έκφρασης.
Ισότητα
Αυτό είναι το όνομα μιας εγγραφής στην οποία δύο αριθμητικές εκφράσεις χωρίζονται με το σύμβολο "=". Για παράδειγμα, 45+21-(6x2)=66-12. Και τα δύο μέρη της καταχώρησης είναι ίσα με τον αριθμό 54, που σημαίνει ότι είναι ίσα μεταξύ τους. Μια τέτοια ισότητα ονομάζεται αληθινή.
Αν γράψετε 45+21-(6x2)=35+12, αυτή η ισότητα θα είναι λάθος. Στην αριστερή πλευρά της ισότητας, η τιμή της έκφρασης είναι 54 και στη δεξιά - 57. Αυτοί οι αριθμοί δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, πράγμα που σημαίνει ότι η ισότητα είναι εσφαλμένη.
Παράδειγμα εργασίας
Για να κατανοήσετε καλύτερα το θέμα, εξετάστε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος. Πώς να λύσετε ένα πρόβλημα με μια αριθμητική παράσταση;
Δεδομένα: δύο αυτοκίνητα φεύγουν από το ένα σημείο στο άλλο. Θα τραβήξουν διαφορετικούς δρόμους. Το ένα αυτοκίνητο πρέπει να διανύσει 35 km και το άλλο 42 km. Το πρώτο αυτοκίνητο ταξιδεύει με 70 km/h και το δεύτερο με 84 km/h Θα φτάσουν στον προορισμό την ίδια ώρα;
Λύση: Πρέπει να κάνετε δύο αριθμητικές εκφράσεις για να βρείτε τον χρόνο ταξιδιού για κάθε αυτοκίνητο. Αν είναι τα ίδια, τότε τα αυτοκίνητα θα φτάσουν στον προορισμό την ίδια ώρα. Για να βρείτε την ώρα, πρέπει να διαιρέσετε την απόσταση με την ταχύτητα. 35 χλμ.: 70 χλμ./ώρα=0,5 ώρα 42 χλμ.: 84 χλμ./ώρα=0,5 ώρα.
Έτσι, και τα δύο αυτοκίνητα έφτασαν στον προορισμό τους σε μισή ώρα.
Τι μάθαμε;
Από το θέμα της άλγεβρας που μελετήθηκε στην 7η τάξη, μάθαμε ότι μια αριθμητική παράσταση είναι μια εγγραφή αριθμών και σημείων αριθμητικών πράξεων. Οι αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση προβλημάτων. Αν η τελευταία ενέργεια σε μια αριθμητική παράσταση ήταν η αφαίρεση, τότε ονομάζεται «διαφορά». Αν αντί για το σύμβολο «-» υπάρχει ένα «+», η έκφραση ονομάζεται άθροισμα.