Αρχικά ήθελα να συμπεριλάβω τεχνικές κοινού παρονομαστή στην ενότητα Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων. Αλλά αποδείχτηκε ότι υπήρχαν τόσες πολλές πληροφορίες και η σημασία τους είναι τόσο μεγάλη (εξάλλου, όχι μόνο τα αριθμητικά κλάσματα έχουν κοινούς παρονομαστές), που είναι καλύτερο να μελετήσουμε αυτό το θέμα ξεχωριστά.
Λοιπόν, ας πούμε ότι έχουμε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Και θέλουμε να διασφαλίσουμε ότι οι παρονομαστές θα γίνουν οι ίδιοι. Η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος έρχεται στη διάσωση, η οποία, να σας υπενθυμίσω, ακούγεται ως εξής:
Ένα κλάσμα δεν θα αλλάξει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν.
Έτσι, εάν επιλέξετε σωστά τους παράγοντες, οι παρονομαστές των κλασμάτων θα γίνουν ίσοι - αυτή η διαδικασία ονομάζεται αναγωγή σε κοινό παρονομαστή. Και οι απαιτούμενοι αριθμοί, «εξισορροπώντας» τους παρονομαστές, ονομάζονται πρόσθετοι παράγοντες.
Γιατί πρέπει να ανάγουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή; Εδώ είναι μόνο μερικοί λόγοι:
- Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να πραγματοποιηθεί αυτή η λειτουργία.
- Σύγκριση κλασμάτων. Μερικές φορές η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή απλοποιεί πολύ αυτό το έργο.
- Επίλυση προβλημάτων που αφορούν κλάσματα και ποσοστά. Τα ποσοστά είναι ουσιαστικά συνηθισμένες εκφράσεις που περιέχουν κλάσματα.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να βρείτε αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν με αυτούς, θα κάνουν τους παρονομαστές των κλασμάτων ίσους. Θα εξετάσουμε μόνο τρία από αυτά - κατά σειρά αυξανόμενης πολυπλοκότητας και, κατά μία έννοια, αποτελεσματικότητας.
Σταυρός πολλαπλασιασμός
Η απλούστερη και πιο αξιόπιστη μέθοδος, η οποία εγγυάται την εξίσωση των παρονομαστών. Θα ενεργήσουμε «με τρόπο ακραίο»: πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και το δεύτερο με τον παρονομαστή του πρώτου. Ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων θα γίνουν ίσοι με το γινόμενο των αρχικών παρονομαστών. Ρίξε μια ματιά:
Ως πρόσθετους παράγοντες, λάβετε υπόψη τους παρονομαστές των γειτονικών κλασμάτων. Παίρνουμε:
Ναι, είναι τόσο απλό. Εάν μόλις αρχίζετε να μελετάτε τα κλάσματα, είναι καλύτερο να εργαστείτε χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο - με αυτόν τον τρόπο θα ασφαλιστείτε από πολλά λάθη και θα έχετε εγγυημένα το αποτέλεσμα.
Το μόνο μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι πρέπει να κάνετε πολλή μέτρηση, επειδή οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται "πάλι και ξανά" και το αποτέλεσμα μπορεί να είναι πολύ μεγάλα νούμερα. Αυτό είναι το τίμημα που πρέπει να πληρώσετε για την αξιοπιστία.
Μέθοδος Κοινού Διαιρέτη
Αυτή η τεχνική βοηθά στη σημαντική μείωση των υπολογισμών, αλλά, δυστυχώς, χρησιμοποιείται αρκετά σπάνια. Η μέθοδος είναι η εξής:
- Πριν προχωρήσετε ευθεία (δηλαδή, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο σταυρωτής), ρίξτε μια ματιά στους παρονομαστές. Ίσως το ένα από αυτά (αυτό που είναι μεγαλύτερο) χωρίζεται στο άλλο.
- Ο αριθμός που προκύπτει από αυτή τη διαίρεση θα είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για το κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή.
- Σε αυτήν την περίπτωση, ένα κλάσμα με μεγάλο παρονομαστή δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί με τίποτα - εδώ βρίσκεται η εξοικονόμηση. Ταυτόχρονα, η πιθανότητα λάθους μειώνεται απότομα.
Εργο. Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων:
Σημειώστε ότι 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Εφόσον και στις δύο περιπτώσεις ο ένας παρονομαστής διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με τον άλλο, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των κοινών παραγόντων. Εχουμε:
Σημειώστε ότι το δεύτερο κλάσμα δεν πολλαπλασιάστηκε με τίποτα απολύτως. Στην πραγματικότητα, μειώσαμε το ποσό του υπολογισμού στο μισό!
Παρεμπιπτόντως, δεν πήρα τα κλάσματα σε αυτό το παράδειγμα τυχαία. Αν σας ενδιαφέρει, δοκιμάστε να τα μετρήσετε χρησιμοποιώντας τη σταυρωτή μέθοδο. Μετά τη μείωση, οι απαντήσεις θα είναι οι ίδιες, αλλά θα υπάρχει πολύ περισσότερη δουλειά.
Αυτή είναι η δύναμη της μεθόδου των κοινών διαιρετών, αλλά, και πάλι, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν ένας από τους παρονομαστές διαιρείται με τον άλλο χωρίς υπόλοιπο. Κάτι που συμβαίνει αρκετά σπάνια.
Ελάχιστη κοινή πολλαπλή μέθοδος
Όταν ανάγουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, ουσιαστικά προσπαθούμε να βρούμε έναν αριθμό που να διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές. Στη συνέχεια φέρνουμε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων σε αυτόν τον αριθμό.
Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμοί και ο μικρότερος από αυτούς δεν θα είναι απαραιτήτως ίσος με το άμεσο γινόμενο των παρονομαστών των αρχικών κλασμάτων, όπως υποτίθεται στη μέθοδο «διασταυρούμενη».
Για παράδειγμα, για τους παρονομαστές 8 και 12, ο αριθμός 24 είναι αρκετά κατάλληλος, αφού 24: 8 = 3. 24: 12 = 2. Αυτός ο αριθμός είναι πολύ μικρότερος από το γινόμενο 8 · 12 = 96.
Ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους (LCM).
Σημείωση: Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a και b συμβολίζεται με LCM(a ; b) . Για παράδειγμα, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24.
Εάν καταφέρετε να βρείτε έναν τέτοιο αριθμό, το συνολικό ποσό των υπολογισμών θα είναι ελάχιστο. Δείτε τα παραδείγματα:
Εργο. Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων:
Σημειώστε ότι 234 = 117 2; 351 = 117 3. Οι παράγοντες 2 και 3 είναι συμπρωτάρηδες (δεν έχουν κοινούς παράγοντες εκτός από το 1) και ο παράγοντας 117 είναι κοινός. Επομένως LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Ομοίως, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Οι παράγοντες 3 και 4 είναι συνπρώτοι και ο παράγοντας 5 είναι κοινός. Επομένως LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Τώρα ας φέρουμε τα κλάσματα σε κοινούς παρονομαστές:
Παρατηρήστε πόσο χρήσιμο ήταν να παραγοντοποιήσετε τους αρχικούς παρονομαστές:
- Έχοντας ανακαλύψει πανομοιότυπους παράγοντες, φτάσαμε αμέσως στο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο, σε γενικές γραμμές, είναι ένα μη τετριμμένο πρόβλημα.
- Από την επέκταση που προκύπτει μπορείτε να μάθετε ποιοι παράγοντες "λείπουν" σε κάθε κλάσμα. Για παράδειγμα, 234 · 3 = 702, επομένως, για το πρώτο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3.
Για να εκτιμήσετε πόση διαφορά κάνει η λιγότερο κοινή πολλαπλή μέθοδος, δοκιμάστε να υπολογίσετε αυτά τα ίδια παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη διασταυρούμενη μέθοδο. Φυσικά, χωρίς αριθμομηχανή. Νομίζω ότι μετά από αυτό τα σχόλια θα είναι περιττά.
Μην νομίζετε ότι δεν θα υπάρχουν τόσο σύνθετα κλάσματα στα πραγματικά παραδείγματα. Συναντιούνται συνεχώς, και οι παραπάνω εργασίες δεν είναι το όριο!
Το μόνο πρόβλημα είναι πώς να βρείτε αυτό ακριβώς το NOC. Μερικές φορές τα πάντα μπορούν να βρεθούν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, κυριολεκτικά "με το μάτι", αλλά γενικά αυτό είναι ένα πολύπλοκο υπολογιστικό έργο που απαιτεί ξεχωριστή εξέταση. Δεν θα το θίξουμε εδώ.
Ο παρονομαστής του αριθμητικού κλάσματος a / b είναι ο αριθμός b, ο οποίος δείχνει το μέγεθος των κλασμάτων μιας μονάδας από την οποία αποτελείται το κλάσμα. Ο παρονομαστής του αλγεβρικού κλάσματος Α / Β είναι η αλγεβρική παράσταση Β. Για να εκτελέσετε αριθμητικές πράξειςμε τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή.
Θα χρειαστείτε
- Για να δουλέψετε με αλγεβρικά κλάσματα και να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, πρέπει να ξέρετε πώς να συνυπολογίζετε τα πολυώνυμα.
Οδηγίες
Ας εξετάσουμε την αναγωγή δύο αριθμητικών κλασμάτων n/m και s/t στον ελάχιστο κοινό παρονομαστή, όπου τα n, m, s, t είναι ακέραιοι. Είναι σαφές ότι αυτά τα δύο κλάσματα μπορούν να αναχθούν σε οποιονδήποτε παρονομαστή διαιρούμενο με m και t. Προσπαθούν όμως να οδηγήσουν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών m και t των δοσμένων κλασμάτων. Το ελάχιστο πολλαπλάσιο (LMK) ενός αριθμού είναι το μικρότερο που διαιρείται με όλους τους δεδομένους αριθμούς ταυτόχρονα. Εκείνοι. στην περίπτωσή μας, πρέπει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών m και t. Συμβολίζεται ως LCM (m, t). Στη συνέχεια, τα κλάσματα πολλαπλασιάζονται με τα αντίστοιχα: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Ας βρούμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή τριών κλασμάτων: 4/5, 7/8, 11/14. Αρχικά, ας επεκτείνουμε τους παρονομαστές 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Στη συνέχεια, υπολογίστε το LCM (5, 8, 14) πολλαπλασιάζοντας όλους τους αριθμούς που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον μία από τις επεκτάσεις. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Σημειώστε ότι εάν ένας παράγοντας εμφανίζεται στην επέκταση πολλών αριθμών (συντελεστής 2 στην επέκταση των παρονομαστών 8 και 14), τότε παίρνουμε τον παράγοντα σε μεγαλύτερο βαθμό (2^3 στην περίπτωσή μας).
Λαμβάνεται λοιπόν το γενικό. Είναι ίσο με 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Εδώ παίρνουμε τους αριθμούς με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους αντίστοιχους παρονομαστές για να τα φέρουμε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Παίρνουμε 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Η αναγωγή των αλγεβρικών κλασμάτων στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή πραγματοποιείται κατ' αναλογία με τα αριθμητικά. Για λόγους σαφήνειας, ας δούμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Έστω δύο κλάσματα (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) και (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Ας παραγοντοποιήσουμε και τους δύο παρονομαστές. Σημειώστε ότι ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ένα τέλειο τετράγωνο: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Για
Σε αυτό το άρθρο θα επικεντρωθούμε παρένθεση κοινός πολλαπλασιαστής . Αρχικά, ας καταλάβουμε από τι αποτελείται αυτός ο μετασχηματισμός έκφρασης. Στη συνέχεια, θα παρουσιάσουμε τον κανόνα για την τοποθέτηση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων και θα εξετάσουμε λεπτομερώς παραδείγματα εφαρμογής του.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Για παράδειγμα, οι όροι στην παράσταση 6 x + 4 y έχουν έναν κοινό παράγοντα 2, ο οποίος δεν αναγράφεται ρητά. Μπορεί να φανεί μόνο αφού αναπαραστήσουμε τον αριθμό 6 ως γινόμενο του 2,3 και το 4 ως γινόμενο του 2,2. Ετσι, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Άλλο παράδειγμα: στην παράσταση x 3 +x 2 +3 x οι όροι έχουν έναν κοινό παράγοντα x, ο οποίος γίνεται ξεκάθαρα ορατός μετά την αντικατάσταση του x 3 με το x x 2 (στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιήσαμε) και του x 2 με το x x. Αφού το βγάλουμε από αγκύλες, παίρνουμε x·(x 2 +x+3) .
Ας πούμε ξεχωριστά για την τοποθέτηση του μείον εκτός παρενθέσεων. Στην πραγματικότητα, βάζοντας το μείον έξω από τις αγκύλες σημαίνει ότι βάζετε το μείον ένα έξω από τις αγκύλες. Για παράδειγμα, ας αφαιρέσουμε το μείον στην παράσταση −5−12·x+4·x·y. Η αρχική έκφραση μπορεί να ξαναγραφτεί ως (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, από όπου φαίνεται καθαρά ο κοινός παράγοντας −1, τον οποίο βγάζουμε από τις αγκύλες. Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στην παράσταση (−1)·(5+12·x−4·x·y) στην οποία ο συντελεστής −1 αντικαθίσταται απλώς με ένα μείον πριν από τις αγκύλες, με αποτέλεσμα να έχουμε −( 5+12·x−4·x· y) . Από εδώ φαίνεται ξεκάθαρα ότι όταν το μείον αφαιρείται από αγκύλες, το αρχικό άθροισμα παραμένει σε αγκύλες, στις οποίες τα πρόσημα όλων των όρων του έχουν αλλάξει σε αντίθετο.
Συμπερασματικά αυτού του άρθρου, σημειώνουμε ότι η αγκύρωση του κοινού παράγοντα χρησιμοποιείται πολύ ευρέως. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον πιο αποτελεσματικό υπολογισμό των τιμών των αριθμητικών παραστάσεων. Επίσης, η τοποθέτηση ενός κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων σάς επιτρέπει να αναπαραστήσετε εκφράσεις με τη μορφή προϊόντος· ειδικότερα, μία από τις μεθόδους για την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου βασίζεται στην αγκύρωση.
Βιβλιογραφία.
- Μαθηματικά.ΣΤ τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
Για να αναγάγετε τα κλάσματα στον ελάχιστο κοινό παρονομαστή, πρέπει: 1) να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των δοσμένων κλασμάτων, θα είναι ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής. 2) Βρείτε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα διαιρώντας τον νέο παρονομαστή με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος. 3) πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον πρόσθετο παράγοντα του.
Παραδείγματα. Να μειώσετε τα παρακάτω κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή τους.
Βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών: LCM(5; 4) = 20, αφού το 20 είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται και με το 5 και με το 4. Βρείτε για το 1ο κλάσμα έναν επιπλέον παράγοντα 4 (20 : 5=4). Για το 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 5 (20 : 4=5). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 4 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 20 ).
Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής αυτών των κλασμάτων είναι ο αριθμός 8, αφού το 8 διαιρείται με το 4 και τον εαυτό του. Δεν θα υπάρχει πρόσθετος παράγοντας για το 1ο κλάσμα (ή μπορούμε να πούμε ότι είναι ίσος με ένα), για το 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 2 (8 : 4=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος επί 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 8 ).
Αυτά τα κλάσματα δεν είναι μη αναγώγιμα.
Ας μειώσουμε το 1ο κλάσμα κατά 4 και ας μειώσουμε το 2ο κλάσμα κατά 2. ( δείτε παραδείγματα για τη μείωση των συνηθισμένων κλασμάτων: Χάρτης ιστότοπου → 5.4.2. Παραδείγματα αναγωγής κοινών κλασμάτων). Βρείτε το LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής για το 1ο κλάσμα είναι 5 (80 : 16=5). Ο πρόσθετος παράγοντας για το 2ο κλάσμα είναι 4 (80 : 20=4). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 5 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 4. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 80 ).
Βρίσκουμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή NCD(5 ; 6 και 15)=NOK(5 ; 6 και 15)=30. Ο πρόσθετος παράγοντας στο 1ο κλάσμα είναι 6 (30 : 5=6), ο πρόσθετος παράγοντας στο 2ο κλάσμα είναι 5 (30 : 6=5), ο πρόσθετος παράγοντας στο 3ο κλάσμα είναι 2 (30 : 15=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 6, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 3ου κλάσματος με το 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 30 ).
Σελίδα 1 από 1 1
ΣΕ πραγματική ζωήΠρέπει να λειτουργήσουμε με συνηθισμένα κλάσματα. Ωστόσο, για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, όπως 2/3 και 5/7, πρέπει να βρούμε έναν κοινό παρονομαστή. Φέρνοντας τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, μπορούμε εύκολα να εκτελέσουμε πράξεις πρόσθεσης ή αφαίρεσης.
Ορισμός
Τα κλάσματα είναι από τα περισσότερα δύσκολα θέματαστη δημοτική αριθμητική, και οι ορθολογικοί αριθμοί τρομάζουν τους μαθητές που τους συναντούν για πρώτη φορά. Έχουμε συνηθίσει να δουλεύουμε με αριθμούς γραμμένους σε δεκαδική μορφή. Είναι πολύ πιο εύκολο να προσθέσετε αμέσως 0,71 και 0,44 παρά να προσθέσετε 5/7 και 4/9. Εξάλλου, για να αθροιστούν τα κλάσματα, πρέπει να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Ωστόσο, τα κλάσματα αντιπροσωπεύουν τη σημασία των ποσοτήτων με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από τα δεκαδικά τους ισοδύναμα και στα μαθηματικά, η αναπαράσταση σειρών ή παράλογων αριθμών ως κλάσμα γίνεται προτεραιότητα. Αυτή η εργασία ονομάζεται «φέροντας μια έκφραση σε κλειστή μορφή».
Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο παράγοντα, η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει. Αυτή είναι μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες κλασματικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/4 σε δεκαδική μορφή γράφεται ως 0,75. Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 3, παίρνουμε το κλάσμα 9/12, το οποίο είναι ακριβώς το ίδιο με το 0,75. Χάρη σε αυτή την ιδιότητα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε διαφορετικά κλάσματα έτσι ώστε όλα να έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Πως να το κάνεις?
Εύρεση κοινού παρονομαστή
Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής (LCD) είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των παρονομαστών σε μια παράσταση. Μπορούμε να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό με τρεις τρόπους.
Χρησιμοποιώντας τον μέγιστο παρονομαστή
Αυτή είναι μια από τις απλούστερες, αλλά πιο χρονοβόρες μεθόδους αναζήτησης για ΜΚΠ. Αρχικά, γράφουμε τον μεγαλύτερο αριθμό από τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων και ελέγχουμε τη διαιρετότητά του με μικρότερους αριθμούς. Αν είναι διαιρετό, τότε ο μεγαλύτερος παρονομαστής είναι το NCD.
Εάν στην προηγούμενη πράξη οι αριθμοί διαιρούνται με ένα υπόλοιπο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2 και να επαναληφθεί η δοκιμή διαιρετότητας. Αν διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο, τότε ο νέος συντελεστής γίνεται NOZ.
Εάν όχι, τότε ο μεγαλύτερος παρονομαστής πολλαπλασιάζεται με 3, 4, 5 και ούτω καθεξής μέχρι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του κάτω μέρηόλα τα κλάσματα. Στην πράξη μοιάζει με αυτό.
Ας έχουμε τα κλάσματα 1/5, 1/8 και 1/20. Ελέγχουμε το 20 για διαιρετότητα του 5 και του 8. Το 20 δεν διαιρείται με το 8. Πολλαπλασιάζουμε το 20 με το 2. Ελέγξτε το 40 για τη διαιρετότητα του 5 και του 8. Οι αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο, επομένως, N3 (1/5, 1/8 και 1/20) = 40 , και τα κλάσματα γίνονται 8/40, 5/40 και 2/40.
Διαδοχική αναζήτηση πολλαπλών
Η δεύτερη μέθοδος είναι μια απλή αναζήτηση πολλαπλών και η επιλογή του μικρότερου. Για να βρούμε πολλαπλάσια, πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με 2, 3, 4 κ.ο.κ., οπότε ο αριθμός των πολλαπλασίων πηγαίνει στο άπειρο. Αυτή η ακολουθία μπορεί να περιοριστεί από ένα όριο, το οποίο είναι το γινόμενο δεδομένων αριθμών. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 12 και 20 το LCM βρίσκεται ως εξής:
- γράψτε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120.
- γράψτε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 20 - 40, 60, 80, 100, 120.
- προσδιορίστε κοινά πολλαπλάσια - 60, 120.
- επιλέξτε το μικρότερο από αυτά - 60.
Έτσι, για το 1/12 και το 1/20, ο κοινός παρονομαστής είναι 60 και τα κλάσματα μετατρέπονται σε 5/60 και 3/60.
Πρωταρχική παραγοντοποίηση
Αυτή η μέθοδος εύρεσης του LOC είναι η πιο σχετική. Αυτή η μέθοδοςσυνεπάγεται την αποσύνθεση όλων των αριθμών από τα κατώτερα μέρη των κλασμάτων σε αδιαίρετους παράγοντες. Μετά από αυτό, συντάσσεται ένας αριθμός που περιέχει τους παράγοντες όλων των παρονομαστών. Στην πράξη λειτουργεί έτσι. Ας βρούμε το LCM για το ίδιο ζεύγος 12 και 20:
- παραγοντοποίηση 12 - 2 × 2 × 3;
- lay out 20 - 2 × 2 × 5.
- Συνδυάζουμε τους παράγοντες έτσι ώστε να περιέχουν τους αριθμούς τόσο 12 όσο και 20 - 2 × 2 × 3 × 5.
- πολλαπλασιάστε τα αδιαίρετα και λάβετε το αποτέλεσμα - 60.
Στο τρίτο σημείο συνδυάζουμε πολλαπλασιαστές χωρίς επαναλήψεις, δηλαδή αρκούν δύο δύο για να σχηματιστεί το 12 σε συνδυασμό με ένα τρία και το 20 με ένα πέντε.
Η αριθμομηχανή μας σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε το NOZ για έναν αυθαίρετο αριθμό κλασμάτων γραμμένων τόσο σε συνηθισμένη όσο και σε δεκαδική μορφή. Για να αναζητήσετε NOS, απλά πρέπει να εισαγάγετε τιμές που χωρίζονται με καρτέλες ή κόμματα, μετά από τις οποίες το πρόγραμμα θα υπολογίσει τον κοινό παρονομαστή και θα εμφανίσει τα κλάσματα που έχουν μετατραπεί.
Παράδειγμα πραγματικής ζωής
Προσθήκη κλασμάτων
Ας υποθέσουμε ότι σε ένα αριθμητικό πρόβλημα πρέπει να προσθέσουμε πέντε κλάσματα:
0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20
Η λύση θα γινόταν χειροκίνητα με τον ακόλουθο τρόπο. Αρχικά, πρέπει να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς σε μια μορφή συμβολισμού:
- 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.
Τώρα έχουμε μια σειρά από συνηθισμένα κλάσματα που πρέπει να μειωθούν στον ίδιο παρονομαστή:
3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20
Δεδομένου ότι έχουμε 5 όρους, ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αναζήτησης NOZ από ο μεγαλύτερος αριθμός. Ελέγχουμε το 20 για διαιρετότητα με άλλους αριθμούς. Το 20 δεν διαιρείται με το 8 χωρίς υπόλοιπο. Πολλαπλασιάζουμε το 20 επί 2, ελέγχουμε το 40 για διαιρετότητα - όλοι οι αριθμοί διαιρούν το 40 με ένα σύνολο. Αυτός είναι ο κοινός μας παρονομαστής. Τώρα, για να αθροίσουμε τους ρητούς αριθμούς, πρέπει να προσδιορίσουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα, οι οποίοι ορίζονται ως ο λόγος του LCM προς τον παρονομαστή. Οι πρόσθετοι πολλαπλασιαστές θα μοιάζουν με αυτό:
- 40/4 = 10;
- 40/5 = 8;
- 40/8 = 5;
- 40/4 = 10;
- 40/20 = 2.
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή των κλασμάτων με τους αντίστοιχους πρόσθετους παράγοντες:
30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40
Για μια τέτοια έκφραση, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε το άθροισμα ίσο με 85/40 ή 2 ολόκληρα και 1/8. Αυτός είναι ένας περίπλοκος υπολογισμός, επομένως μπορείτε απλά να εισαγάγετε τα δεδομένα του προβλήματος στη φόρμα της αριθμομηχανής και να λάβετε την απάντηση αμέσως.
συμπέρασμα
Οι αριθμητικές πράξεις με κλάσματα δεν είναι πολύ βολικό πράγμα, γιατί για να βρείτε την απάντηση πρέπει να κάνετε πολλούς ενδιάμεσους υπολογισμούς. Χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή για να μετατρέψετε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή και γρήγορη λύσησχολικές εργασίες.