ΣΕ πραγματική ζωήπρέπει να λειτουργήσουμε με συνηθισμένα κλάσματα. Ωστόσο, για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, όπως 2/3 και 5/7, πρέπει να βρούμε έναν κοινό παρονομαστή. Έχοντας ανάγοντας τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, μπορούμε εύκολα να πραγματοποιήσουμε πράξεις πρόσθεσης ή αφαίρεσης.
Ορισμός
Τα κλάσματα είναι από τα περισσότερα δύσκολα θέματαστη δημοτική αριθμητική, και οι ορθολογικοί αριθμοί τρομάζουν τους μαθητές που τους συναντούν για πρώτη φορά. Έχουμε συνηθίσει να λειτουργούμε με αριθμούς γραμμένους σε δεκαδική μορφή. Είναι πολύ πιο εύκολο να προσθέσετε αμέσως 0,71 και 0,44 παρά να αθροίσετε 5/7 και 4/9. Πράγματι, για να αθροιστούν τα κλάσματα, πρέπει να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Ωστόσο, τα κλάσματα αντιπροσωπεύουν τη σημασία των ποσοτήτων με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από τα δεκαδικά τους ισοδύναμα και στα μαθηματικά, η αναπαράσταση σειρών ή παράλογων αριθμών ως κλάσμα γίνεται προτεραιότητα. Μια τέτοια εργασία ονομάζεται "μείωση της έκφρασης σε κλειστή μορφή".
Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο παράγοντα, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει. Αυτή είναι μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες κλασματικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/4 σε δεκαδική μορφή γράφεται ως 0,75. Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 3, παίρνουμε το κλάσμα 9/12, το οποίο είναι ακριβώς το ίδιο με το 0,75. Χάρη σε αυτή την ιδιότητα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε διαφορετικά κλάσματα με τέτοιο τρόπο ώστε όλα να έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Πως να το κάνεις?
Εύρεση κοινού παρονομαστή
Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής (LCD) είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των παρονομαστών μιας έκφρασης. Μπορούμε να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό με τρεις τρόπους.
Χρησιμοποιώντας τον μέγιστο παρονομαστή
Αυτή είναι μια από τις απλούστερες, αλλά χρονοβόρες μεθόδους για την εύρεση ICD. Αρχικά, γράφουμε τον μεγαλύτερο αριθμό από τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων και ελέγχουμε τη διαιρετότητά του με μικρότερους αριθμούς. Αν διαιρείται, τότε ο μεγαλύτερος παρονομαστής είναι NOZ.
Εάν στην προηγούμενη πράξη οι αριθμοί διαιρούνται με ένα υπόλοιπο, τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον μεγαλύτερο από αυτούς επί 2 και να επαναλάβετε τον έλεγχο διαιρετότητας. Αν διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο, τότε ο νέος συντελεστής γίνεται NOZ.
Εάν όχι, τότε ο μεγαλύτερος παρονομαστής πολλαπλασιάζεται με 3, 4, 5 κ.ο.κ., μέχρι να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο για κάτω μέρηόλα τα κλάσματα. Στην πράξη, μοιάζει με αυτό.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κλάσματα 1/5, 1/8 και 1/20. Ελέγχουμε το 20 για διαιρετότητα του 5 και του 8. Το 20 δεν διαιρείται με το 8. Πολλαπλασιάζουμε το 20 με το 2. Ελέγχουμε το 40 για τη διαιρετότητα του 5 και του 8. Οι αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο, επομένως ΝΟΖ (1/5, 1/ 8 και 1/20) = 40 και τα κλάσματα γίνονται 8/40, 5/40 και 2/40.
Διαδοχική απαρίθμηση πολλαπλών
Ο δεύτερος τρόπος είναι μια απλή απαρίθμηση πολλαπλών και επιλογή του μικρότερου από αυτά. Για να βρούμε πολλαπλάσια, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με 2, 3, 4 κ.ο.κ., οπότε ο αριθμός των πολλαπλασίων τείνει στο άπειρο. Μπορείτε να περιορίσετε αυτήν την ακολουθία με ένα όριο, το οποίο είναι γινόμενο δεδομένων αριθμών. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 12 και 20, το NOC έχει ως εξής:
- γράψτε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120.
- γράψτε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 20 - 40, 60, 80, 100, 120.
- προσδιορίστε κοινά πολλαπλάσια - 60, 120.
- επιλέξτε το μικρότερο από αυτά - 60.
Έτσι, για το 1/12 και το 1/20, ο κοινός παρονομαστής θα είναι 60 και τα κλάσματα μετατρέπονται σε 5/60 και 3/60.
Πρωταρχική παραγοντοποίηση
Αυτή η μέθοδος εύρεσης του NOC είναι η πιο σχετική. Αυτή η μέθοδοςσυνεπάγεται την επέκταση όλων των αριθμών από τα κατώτερα μέρη των κλασμάτων σε αδιαίρετους παράγοντες. Μετά από αυτό, συντάσσεται ένας αριθμός που περιέχει τους παράγοντες όλων των παρονομαστών. Στην πράξη, λειτουργεί έτσι. Βρείτε το LCM για το ίδιο ζεύγος 12 και 20:
- παραγοντοποίηση 12 - 2 × 2 × 3;
- lay out 20 - 2 × 2 × 5.
- Συνδυάζουμε τους παράγοντες με τέτοιο τρόπο ώστε να περιέχουν τους αριθμούς και 12 και 20 - 2 × 2 × 3 × 5.
- πολλαπλασιάστε τα αδιαίρετα και λάβετε το αποτέλεσμα - 60.
Στην τρίτη παράγραφο συνδυάζουμε παράγοντες χωρίς επαναλήψεις, δηλαδή αρκούν δύο δύο για να σχηματιστεί το 12 σε συνδυασμό με ένα τριπλό και το 20 με ένα πέντε.
Η αριθμομηχανή μας σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε το NOZ για έναν αυθαίρετο αριθμό κλασμάτων, γραμμένων τόσο σε συνηθισμένη όσο και σε δεκαδική μορφή. Για να αναζητήσετε NOZ, πρέπει απλώς να εισαγάγετε τιμές διαχωρισμένες με καρτέλες ή κόμματα, μετά από τις οποίες το πρόγραμμα θα υπολογίσει τον κοινό παρονομαστή και θα εμφανίσει τα κλάσματα που έχουν μετατραπεί.
Παράδειγμα πραγματικής ζωής
Πρόσθεση κλασμάτων
Ας υποθέσουμε ότι στο πρόβλημα της αριθμητικής πρέπει να προσθέσουμε πέντε κλάσματα:
0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20
Η χειροκίνητη λύση θα γινόταν με τον ακόλουθο τρόπο. Αρχικά, πρέπει να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς σε μία μορφή σημειογραφίας:
- 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.
Τώρα έχουμε μια σειρά από συνηθισμένα κλάσματα που πρέπει να μειωθούν στον ίδιο παρονομαστή:
3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20
Δεδομένου ότι έχουμε 5 όρους, ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον τρόπο αναζήτησης για NOZ κατά ο μεγαλύτερος αριθμός. Ελέγχουμε το 20 για διαιρετότητα με άλλους αριθμούς. Το 20 δεν διαιρείται με το 8 χωρίς υπόλοιπο. Πολλαπλασιάζουμε το 20 επί 2, ελέγχουμε το 40 για διαιρετότητα - όλοι οι αριθμοί διαιρούν πλήρως το 40. Αυτός είναι ο κοινός μας παρονομαστής. Τώρα, για να αθροίσουμε ρητικούς αριθμούς, πρέπει να προσδιορίσουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα, οι οποίοι ορίζονται ως ο λόγος του LCM προς τον παρονομαστή. Οι πρόσθετοι πολλαπλασιαστές θα μοιάζουν με αυτό:
- 40/4 = 10;
- 40/5 = 8;
- 40/8 = 5;
- 40/4 = 10;
- 40/20 = 2.
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή των κλασμάτων με τους αντίστοιχους πρόσθετους παράγοντες:
30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40
Για μια τέτοια έκφραση, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε το άθροισμα ίσο με 85/40, ή 2 ακέραιους και 1/8. Αυτοί είναι περίπλοκοι υπολογισμοί, επομένως μπορείτε απλά να εισαγάγετε τα δεδομένα εργασίας στη φόρμα της αριθμομηχανής και να λάβετε μια απάντηση αμέσως.
συμπέρασμα
Οι αριθμητικές πράξεις με κλάσματα δεν είναι πολύ βολικό πράγμα, γιατί για να βρείτε την απάντηση, πρέπει να κάνετε πολλούς ενδιάμεσους υπολογισμούς. Χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή για να μειώσετε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή και γρήγορη απόφασησχολικές εργασίες.
Για να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα, πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε τον μικρότερο κοινό παρονομαστή. Παρακάτω είναι μια αναλυτική οδηγία.
Πώς να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή - έννοια
Ελάχιστος κοινός παρονομαστής (LCD) με απλά λόγιαείναι ο ελάχιστος αριθμός που διαιρείται με τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων σε αυτό το παράδειγμα. Με άλλα λόγια, ονομάζεται Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM). Το NOZ χρησιμοποιείται μόνο εάν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διαφορετικοί.
Πώς να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή - παραδείγματα
Ας εξετάσουμε παραδείγματα εύρεσης NOZ.
Υπολογίστε: 3/5 + 2/15.
Λύση (ακολουθία ενεργειών):
- Εξετάζουμε τους παρονομαστές των κλασμάτων, βεβαιωνόμαστε ότι είναι διαφορετικοί και οι εκφράσεις μειώνονται όσο το δυνατόν περισσότερο.
- Βρίσκουμε τον μικρότερο αριθμό που διαιρείται και με το 5 και με το 15. Αυτός ο αριθμός θα είναι 15. Έτσι, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Καταλάβαμε τον παρονομαστή. Τι θα υπάρχει στον αριθμητή; Ένας επιπλέον πολλαπλασιαστής θα μας βοηθήσει να το καταλάβουμε. Ένας επιπλέον παράγοντας είναι ο αριθμός που προκύπτει διαιρώντας το NOZ με τον παρονομαστή ενός συγκεκριμένου κλάσματος. Για 3/5, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3, αφού 15/5 = 3. Για το δεύτερο κλάσμα, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 1, αφού 15/15 = 1.
- Αφού ανακαλύψαμε τον πρόσθετο παράγοντα, τον πολλαπλασιάζουμε με τους αριθμητές των κλασμάτων και προσθέτουμε τις τιμές που προκύπτουν. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Απάντηση: 3/5 + 2/15 = 15/11.
Εάν στο παράδειγμα δεν προστεθούν ή αφαιρεθούν 2, αλλά 3 ή περισσότερα κλάσματα, τότε το NOZ πρέπει να αναζητηθεί για όσα κλάσματα δίνονται.
Υπολογίστε: 1/2 - 5/12 + 3/6
Λύση (ακολουθία ενεργειών):
- Εύρεση του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή. Ο ελάχιστος αριθμός που διαιρείται με το 2, το 12 και το 6 είναι το 12.
- Παίρνουμε: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Αναζητούμε επιπλέον πολλαπλασιαστές. Για 1/2 - 6; για 5/12 - 1; για 3/6 - 2.
- Πολλαπλασιάζουμε με τους αριθμητές και εκχωρούμε τα αντίστοιχα πρόσημα: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.
Απάντηση: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.
Το \(5x+xy\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως \(x(5+y)\). Αυτές είναι πράγματι οι ίδιες εκφράσεις, μπορούμε να το επαληθεύσουμε αν επεκτείνουμε τις αγκύλες: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Όπως μπορείτε να δείτε, λαμβάνουμε την αρχική έκφραση ως αποτέλεσμα. Άρα το \(5x+xy\) είναι πραγματικά ίσο με \(x(5+y)\). Παρεμπιπτόντως, αυτός είναι ένας αξιόπιστος τρόπος για να ελέγξετε την ορθότητα της εξαγωγής κοινών παραγόντων - ανοίξτε την προκύπτουσα αγκύλη και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την αρχική έκφραση.
Ο κύριος κανόνας της παρένθεσης:
Για παράδειγμα, στην έκφραση \(3ab+5bc-abc\) μόνο το \(b\) μπορεί να αφαιρεθεί από την αγκύλη, γιατί μόνο είναι και στους τρεις όρους. Η διαδικασία του bracketing κοινών παραγόντων φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:
Κανόνες Bracketing
Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να αφαιρούμε όλους τους κοινούς παράγοντες ταυτόχρονα.
Παράδειγμα:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Σημειώστε ότι εδώ θα μπορούσαμε να επεκταθούμε ως εξής: \(3(xy-xz)\) ή ως εξής: \(x(3y-3z)\). Ωστόσο, αυτές θα ήταν ημιτελείς επεκτάσεις. Είναι απαραίτητο να βγάλετε και τα τρία και τα Χ.
Μερικές φορές τα κοινά μέλη δεν φαίνονται αμέσως.
Παράδειγμα:\(10x-15y=2 5 x-3 5 y=5(2x-3y)\)
Σε αυτήν την περίπτωση, ο κοινός όρος (πενταπλός) έχει κρυφτεί. Ωστόσο, αποσυνθέτοντας το \(10\) ως \(2\) φορές \(5\), και \(15\) ως \(3\) φορές \(5\) - "τραβήξαμε τα πέντε στο φως του Θεού », μετά το οποίο θα μπορούσαν εύκολα να το βγάλουν από την αγκύλη.
Εάν το μονώνυμο αφαιρεθεί εντελώς, ένα παραμένει από αυτό.
Παράδειγμα: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Βγάζουμε το \(x\) από την αγκύλη και το τρίτο μονώνυμο αποτελείται μόνο από x. Γιατί μένει μόνο ένα; Γιατί αν πολλαπλασιαστεί οποιαδήποτε έκφραση με ένα, δεν θα αλλάξει. Δηλαδή, αυτό το ίδιο \(x\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως \(1\cdot x\). Τότε έχουμε την ακόλουθη αλυσίδα μετασχηματισμών:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \(5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Επιπλέον, είναι το μόνο Ο σωστός τρόποςαφαίρεση, γιατί αν δεν φύγουμε από τη μονάδα, τότε όταν ανοίγουμε τις αγκύλες, δεν θα επιστρέψουμε στην αρχική έκφραση. Πράγματι, αν κάνουμε την αφαίρεση ως εξής \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), τότε κατά την επέκταση παίρνουμε \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Το τρίτο μέλος έφυγε. Επομένως, μια τέτοια δήλωση είναι εσφαλμένη.
Το σύμβολο μείον μπορεί να αφαιρεθεί από την αγκύλη, ενώ τα πρόσημα των όρων με την αγκύλη αντιστρέφονται.
Παράδειγμα:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Στην πραγματικότητα, εδώ τοποθετούμε το «μείον ένα», το οποίο μπορεί να «επισημανθεί» πριν από οποιοδήποτε μονώνυμο, ακόμα κι αν δεν υπήρχε μείον πριν από αυτό. Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι κάποιος μπορεί να γραφτεί ως \((-1) \cdot (-1)\). Ακολουθεί το ίδιο παράδειγμα, ζωγραφισμένο αναλυτικά:
\(x-y=\)
\(=1 x+(-1) y=\)
\(=(-1)(-1)x+(-1)y=\)
\(=(-1)((-1)x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Η παρένθεση μπορεί επίσης να είναι ένας κοινός παράγοντας.
Παράδειγμα:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Τις περισσότερες φορές συναντάμε μια τέτοια κατάσταση (bracketing out of brackets) κατά την παραγοντοποίηση με τη μέθοδο ομαδοποίησης ή
Ο παρονομαστής ενός αριθμητικού κλάσματος a / b είναι ο αριθμός b, που δείχνει το μέγεθος των κλασμάτων μιας μονάδας που απαρτίζουν το κλάσμα. Ο παρονομαστής ενός αλγεβρικού κλάσματος Α / Β είναι μια αλγεβρική παράσταση Β. Για να εκτελέσετε αριθμητικές πράξειςμε τα κλάσματα, πρέπει να μειωθούν στον μικρότερο κοινό παρονομαστή.
Θα χρειαστείτε
- Για να εργαστείτε με αλγεβρικά κλάσματα όταν βρίσκετε τον λιγότερο κοινό παρονομαστή, πρέπει να γνωρίζετε τις μεθόδους παραγοντοποίησης πολυωνύμων.
Εντολή
Εξετάστε την αναγωγή στον ελάχιστο κοινό παρονομαστή δύο αριθμητικών κλασμάτων n/m και s/t, όπου τα n, m, s, t είναι ακέραιοι. Είναι σαφές ότι αυτά τα δύο κλάσματα μπορούν να αναχθούν σε οποιονδήποτε παρονομαστή διαιρούμενο με m και t. Προσπαθούν όμως να φέρουν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών m και t των δοσμένων κλασμάτων. Το ελάχιστο πολλαπλάσιο (LCM) αριθμών είναι ο μικρότερος που διαιρείται με όλους τους δεδομένους αριθμούς ταυτόχρονα. Εκείνοι. στην περίπτωσή μας, είναι απαραίτητο να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών m και t. Συμβολίζεται ως LCM (m, t). Περαιτέρω, τα κλάσματα πολλαπλασιάζονται με τα αντίστοιχα: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Ας βρούμε τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή τριών κλασμάτων: 4/5, 7/8, 11/14. Αρχικά, επεκτείνουμε τους παρονομαστές 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το LCM (5, 8, 14), πολλαπλασιάζοντας όλους τους αριθμούς που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον μία από τις επεκτάσεις. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Σημειώστε ότι εάν ο παράγοντας εμφανίζεται στην επέκταση πολλών αριθμών (συντελεστής 2 στην επέκταση των παρονομαστών 8 και 14), τότε παίρνουμε τον παράγοντα σε μεγαλύτερο βαθμό (2^3 στην περίπτωσή μας).
Λοιπόν, ο στρατηγός παραλαμβάνεται. Είναι ίσο με 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Εδώ παίρνουμε τους αριθμούς με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιαστούν τα κλάσματα με τους αντίστοιχους παρονομαστές για να έρθουν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Παίρνουμε 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Η αναγωγή στον ελάχιστο κοινό παρονομαστή των αλγεβρικών κλασμάτων γίνεται κατ' αναλογία με την αριθμητική. Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε το πρόβλημα σε ένα παράδειγμα. Έστω δύο κλάσματα (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) και (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Ας παραγοντοποιήσουμε και τους δύο παρονομαστές. Σημειώστε ότι ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ένα τέλειο τετράγωνο: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Για
Όταν προσθέτουμε και αφαιρούμε αλγεβρικά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τα κλάσματα οδηγούν πρώτα σε κοινό παρονομαστή. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκουν έναν τέτοιο μόνο παρονομαστή, ο οποίος διαιρείται με τον αρχικό παρονομαστή κάθε αλγεβρικού κλάσματος που αποτελεί μέρος αυτής της έκφρασης.
Όπως γνωρίζετε, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει. Αυτή είναι η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος. Επομένως, όταν τα κλάσματα οδηγούν σε έναν κοινό παρονομαστή, στην πραγματικότητα, ο αρχικός παρονομαστής κάθε κλάσματος πολλαπλασιάζεται με τον παράγοντα που λείπει σε έναν κοινό παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον παράγοντα και τον αριθμητή του κλάσματος (είναι διαφορετικός για κάθε κλάσμα).
Για παράδειγμα, δίνεται το ακόλουθο άθροισμα αλγεβρικών κλασμάτων:
Απαιτείται η απλοποίηση της έκφρασης, δηλαδή η προσθήκη δύο αλγεβρικών κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να μειωθούν οι όροι-κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε ένα μονώνυμο που να διαιρείται τόσο με το 3x όσο και με το 2y. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι επιθυμητό να είναι το μικρότερο, δηλ. να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) για 3x και 2y.
Για αριθμητικούς συντελεστές και μεταβλητές, το LCM αναζητείται χωριστά. LCM(3, 2) = 6 και LCM(x, y) = xy. Περαιτέρω, οι τιμές που βρέθηκαν πολλαπλασιάζονται: 6xy.
Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε με ποιον παράγοντα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε 3x για να πάρουμε 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Αυτό σημαίνει ότι όταν ανάγεται το πρώτο αλγεβρικό κλάσμα σε κοινό παρονομαστή, ο αριθμητής του πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2y (ο παρονομαστής έχει ήδη πολλαπλασιαστεί όταν ανάγεται σε κοινό παρονομαστή). Ο συντελεστής για τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος αναζητείται με παρόμοιο τρόπο. Θα είναι ίσο με 3x.
Έτσι, παίρνουμε: 
Επιπλέον, είναι ήδη δυνατό να ενεργήσουμε όπως με κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές: οι αριθμητές προστίθενται και ένας κοινός γράφεται στον παρονομαστή: 
Μετά από μετασχηματισμούς, προκύπτει μια απλοποιημένη έκφραση, η οποία είναι ένα αλγεβρικό κλάσμα, το οποίο είναι το άθροισμα δύο αρχικών: 
Τα αλγεβρικά κλάσματα στην αρχική έκφραση μπορεί να περιέχουν παρονομαστές που είναι πολυώνυμα και όχι μονώνυμα (όπως στο παραπάνω παράδειγμα). Σε αυτή την περίπτωση, προτού βρείτε κοινό παρονομαστή, συνυπολογίστε τους παρονομαστές (αν είναι δυνατόν). Επιπλέον, ο κοινός παρονομαστής συλλέγεται από διαφορετικούς παράγοντες. Εάν ο παράγοντας είναι σε πολλούς αρχικούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται μία φορά. Αν ο πολλαπλασιαστής έχει διαφορετικούς βαθμούςστους αρχικούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται με μεγαλύτερο. Για παράδειγμα: 
Εδώ το πολυώνυμο a 2 - b 2 μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο (a - b)(a + b). Ο παράγοντας 2a – 2b διευρύνεται ως 2(a – b). Έτσι, ο κοινός παρονομαστής θα είναι ίσος με 2(a - b)(a + b).