Όταν εργαζόμαστε με διάφορες εκφράσεις που περιλαμβάνουν αριθμούς, γράμματα και μεταβλητές, πρέπει να κάνουμε ένας μεγάλος αριθμός απόαριθμητικές πράξεις. Όταν κάνουμε έναν μετασχηματισμό ή υπολογίζουμε μια τιμή, είναι πολύ σημαντικό να ακολουθούμε τη σωστή σειρά αυτών των ενεργειών. Με άλλα λόγια, οι αριθμητικές πράξεις έχουν τη δική τους ειδική σειρά εκτέλεσης.
Σε αυτό το άρθρο, θα σας πούμε ποιες ενέργειες πρέπει να γίνουν πρώτα και ποιες μετά. Αρχικά, ας δούμε μερικές απλές εκφράσεις που περιέχουν μόνο μεταβλητές ή αριθμητικές τιμές, καθώς και σύμβολα διαίρεσης, πολλαπλασιασμού, αφαίρεσης και πρόσθεσης. Στη συνέχεια θα πάρουμε παραδείγματα με παρενθέσεις και θα εξετάσουμε με ποια σειρά πρέπει να αξιολογηθούν. Στο τρίτο μέρος, θα δώσουμε τη σωστή σειρά μετασχηματισμών και υπολογισμών σε εκείνα τα παραδείγματα που περιλαμβάνουν τα σημάδια των ριζών, των δυνάμεων και άλλων συναρτήσεων.
Ορισμός 1Στην περίπτωση των εκφράσεων χωρίς αγκύλες, η σειρά των ενεργειών καθορίζεται με σαφήνεια:
- Όλες οι ενέργειες εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
- Πρώτα απ 'όλα, κάνουμε διαίρεση και πολλαπλασιασμό, και δεύτερον, αφαίρεση και πρόσθεση.
Το νόημα αυτών των κανόνων είναι εύκολο να κατανοηθεί. Η παραδοσιακή σειρά γραφής από αριστερά προς τα δεξιά καθορίζει τη βασική ακολουθία των υπολογισμών και η ανάγκη να πολλαπλασιαστεί ή να διαιρεθεί πρώτα εξηγείται από την ίδια την ουσία αυτών των πράξεων.
Ας πάρουμε μερικές εργασίες για σαφήνεια. Χρησιμοποιήσαμε μόνο το πιο απλό αριθμητικές εκφράσειςώστε όλοι οι υπολογισμοί να γίνονται στο μυαλό. Έτσι μπορείτε να θυμάστε γρήγορα την επιθυμητή παραγγελία και να ελέγξετε γρήγορα τα αποτελέσματα.
Παράδειγμα 1
Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 7 − 3 + 6 .
Λύση
Δεν υπάρχουν αγκύλες στην έκφρασή μας, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση επίσης απουσιάζουν, επομένως εκτελούμε όλες τις ενέργειες με την καθορισμένη σειρά. Αρχικά, αφαιρέστε τρία από τα επτά, στη συνέχεια προσθέστε έξι στο υπόλοιπο, και ως αποτέλεσμα παίρνουμε δέκα. Εδώ είναι μια εγγραφή ολόκληρης της λύσης:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Απάντηση: 7 − 3 + 6 = 10 .
Παράδειγμα 2
Κατάσταση:με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι υπολογισμοί στην παράσταση 6:2 8:3?
Λύση
Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ξαναδιαβάζουμε τον κανόνα για εκφράσεις χωρίς παρένθεση, τον οποίο διατυπώσαμε νωρίτερα. Εδώ έχουμε μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση, που σημαίνει ότι κρατάμε τη γραπτή σειρά των υπολογισμών και μετράμε διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά.
Απάντηση:Αρχικά, διαιρούμε έξι με δύο, πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με οκτώ και διαιρούμε τον αριθμό που προκύπτει με το τρία.
Παράδειγμα 3
Κατάσταση:υπολογίστε πόσο θα είναι 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.
Λύση
Αρχικά, ας προσδιορίσουμε τη σωστή σειρά πράξεων, αφού εδώ έχουμε όλους τους βασικούς τύπους αριθμητικών πράξεων - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να διαιρέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε. Αυτές οι ενέργειες δεν έχουν προτεραιότητα η μία έναντι της άλλης, επομένως τις εκτελούμε με τη γραπτή σειρά από δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή, το 5 πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 6 και να πάρει 30, μετά το 30 να διαιρεθεί με το 3 και να πάρει 10. Μετά από αυτό διαιρούμε το 4 με το 2, αυτό είναι 2. Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση:
17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2
Δεν υπάρχει διαίρεση ή πολλαπλασιασμός εδώ, οπότε κάνουμε τους υπόλοιπους υπολογισμούς με τη σειρά και παίρνουμε την απάντηση:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Απάντηση:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.
Μέχρι να μαθευτεί σταθερά η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών, μπορείτε να βάλετε αριθμούς πάνω από τα σημάδια των αριθμητικών πράξεων, υποδεικνύοντας τη σειρά υπολογισμού. Για παράδειγμα, για το παραπάνω πρόβλημα, θα μπορούσαμε να το γράψουμε ως εξής:
Αν έχουμε κυριολεκτικές εκφράσεις, τότε κάνουμε το ίδιο με αυτές: πρώτα πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε, μετά προσθέτουμε και αφαιρούμε.
Τι είναι τα βήματα ένα και δύο
Μερικές φορές στα βιβλία αναφοράς όλες οι αριθμητικές πράξεις χωρίζονται σε πράξεις του πρώτου και του δεύτερου σταδίου. Ας διατυπώσουμε τον απαιτούμενο ορισμό.
Οι πράξεις του πρώτου σταδίου περιλαμβάνουν αφαίρεση και πρόσθεση, το δεύτερο - πολλαπλασιασμό και διαίρεση.
Γνωρίζοντας αυτά τα ονόματα, μπορούμε να γράψουμε τον κανόνα που δόθηκε προηγουμένως σχετικά με τη σειρά των ενεργειών ως εξής:
Ορισμός 2
Σε μια έκφραση που δεν περιέχει παρενθέσεις, εκτελέστε πρώτα τις ενέργειες του δεύτερου βήματος προς την κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά και μετά τις ενέργειες του πρώτου βήματος (στην ίδια κατεύθυνση).
Σειρά αξιολόγησης σε εκφράσεις με αγκύλες
Οι ίδιες οι παρενθέσεις είναι ένα σημάδι που μας λέει την επιθυμητή σειρά με την οποία πρέπει να εκτελέσουμε τις ενέργειες. Σε αυτήν την περίπτωση σωστός κανόναςμπορεί να γραφτεί ως εξής:
Ορισμός 3
Εάν υπάρχουν αγκύλες στην έκφραση, τότε εκτελείται πρώτα η ενέργεια σε αυτές, μετά την οποία πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε και στη συνέχεια προσθέτουμε και αφαιρούμε προς την κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά.
Όσον αφορά την ίδια την έκφραση σε παρένθεση, μπορεί να θεωρηθεί ως συστατικό της κύριας έκφρασης. Κατά τον υπολογισμό της τιμής της έκφρασης σε αγκύλες, διατηρούμε την ίδια διαδικασία γνωστή σε εμάς. Ας επεξηγήσουμε την ιδέα μας με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 4
Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.
Λύση
Αυτή η έκφραση έχει παρενθέσεις, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτές. Πρώτα απ 'όλα, ας υπολογίσουμε πόσο θα είναι το 7 − 2 · 3. Εδώ πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 3 και να αφαιρέσουμε το αποτέλεσμα από το 7:
7 − 2 3 = 7 − 6 = 1
Θεωρούμε το αποτέλεσμα στις δεύτερες αγκύλες. Εκεί έχουμε μόνο μία δράση: 6 − 4 = 2 .
Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε τις προκύπτουσες τιμές στην αρχική έκφραση:
5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2
Ας ξεκινήσουμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, μετά αφαιρούμε και παίρνουμε:
5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6
Αυτό ολοκληρώνει τους υπολογισμούς.
Απάντηση: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.
Μην ανησυχείτε εάν η συνθήκη περιέχει μια έκφραση στην οποία ορισμένες αγκύλες περικλείουν άλλες. Χρειάζεται μόνο να εφαρμόσουμε τον παραπάνω κανόνα με συνέπεια σε όλες τις παραστάσεις σε παρένθεση. Ας αναλάβουμε αυτό το καθήκον.
Παράδειγμα 5
Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
Λύση
Έχουμε αγκύλες εντός παρενθέσεων. Ξεκινάμε με 3 + 1 + 4 (2 + 3) , δηλαδή 2 + 3 . Θα είναι 5. Η τιμή θα πρέπει να αντικατασταθεί στην παράσταση και να υπολογίσετε ότι 3 + 1 + 4 5 . Θυμόμαστε ότι πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσουμε και μετά να προσθέσουμε: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση, υπολογίζουμε την απάντηση: 4 + 24 = 28 .
Απάντηση: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.
Με άλλα λόγια, όταν αξιολογούμε την αξία μιας έκφρασης που περιλαμβάνει παρενθέσεις μέσα σε παρενθέσεις, ξεκινάμε από τις εσωτερικές παρενθέσεις και προχωράμε προς τις εξωτερικές.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε πόσο θα είναι (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Ξεκινάμε με την έκφραση στις εσωτερικές αγκύλες. Εφόσον 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , η αρχική παράσταση μπορεί να γραφτεί ως (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Και πάλι γυρίζουμε στις εσωτερικές αγκύλες: 4 + 1 = 5 . Φτάσαμε στην έκφραση (4 + 5 − 1) − 1 . Πιστεύουμε 4 + 5 − 1 = 8 και ως αποτέλεσμα παίρνουμε τη διαφορά 8 - 1, το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι 7.
Η σειρά υπολογισμού σε παραστάσεις με δυνάμεις, ρίζες, λογάριθμους και άλλες συναρτήσεις
Αν έχουμε έκφραση στη συνθήκη με βαθμό, ρίζα, λογάριθμο ή τριγωνομετρική συνάρτηση(ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη) ή άλλες συναρτήσεις, τότε το πρώτο πράγμα που κάνουμε είναι να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης. Μετά από αυτό, ενεργούμε σύμφωνα με τους κανόνες που καθορίζονται στις προηγούμενες παραγράφους. Με άλλα λόγια, οι συναρτήσεις έχουν ίση σημασία με την έκφραση που περικλείεται σε αγκύλες.
Ας δούμε ένα παράδειγμα τέτοιου υπολογισμού.
Παράδειγμα 6
Κατάσταση:βρείτε πόσο θα είναι (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .
Λύση
Έχουμε μια έκφραση με βαθμό, η τιμή της οποίας πρέπει να βρεθεί πρώτα. Θεωρούμε: 6 2 \u003d 36. Τώρα αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην παράσταση, μετά την οποία θα πάρει τη μορφή (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .
(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13
Απάντηση: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.
Σε ένα ξεχωριστό άρθρο αφιερωμένο στον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων, παρουσιάζουμε άλλα, περισσότερα σύνθετα παραδείγματαυπολογισμοί στην περίπτωση εκφράσεων με ρίζες, μοίρες κ.λπ. Σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτό.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Ποια ενέργεια εκτελείται πρώτη: πολλαπλασιασμός και διαίρεση ή πρόσθεση και ...;
- 1+2*3/4-5=?
- 1*3/(2+4)?
- 1+2*(3-1*5)=?
- Εάν δεν υπάρχουν αγκύλες στο παράδειγμα και υπάρχουν πράξεις - μόνο πρόσθεση και αφαίρεση ή μόνο πολλαπλασιασμός και διαίρεση - σε αυτήν την περίπτωση, όλες οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.
- Εάν το παράδειγμα περιέχει μικτές πράξεις - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση, τότε πρώτα απ 'όλα εκτελούμε τις πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και μετά μόνο πρόσθεση ή αφαίρεση.
- Εάν το παράδειγμα περιέχει παρενθέσεις, τότε οι ενέργειες στις παρενθέσεις εκτελούνται πρώτα.
Αν συγκρίνουμε τις συναρτήσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, τότε ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση υπολογίζονται πάντα πρώτα.
Στο παράδειγμα, δύο συναρτήσεις όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση, καθώς και ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση, είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Η σειρά εκτέλεσης καθορίζεται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.
Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι οι ενέργειες που γίνονται σε παρενθέσεις έχουν ιδιαίτερη προτεραιότητα στο παράδειγμα. Έτσι, ακόμα κι αν υπάρχει πολλαπλασιασμός έξω από τις αγκύλες και πρόσθεση σε αγκύλες, θα πρέπει πρώτα να προσθέσετε και μόνο στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε.
Για να κατανοήσετε αυτό το θέμα, μπορείτε να εξετάσετε όλες τις περιπτώσεις με τη σειρά.
Λάβετε αμέσως υπόψη ότι οι εκφράσεις μας δεν έχουν αγκύλες.
Έτσι, αν στο παράδειγμα η πρώτη ενέργεια είναι πολλαπλασιασμός και η δεύτερη διαίρεση, τότε εκτελούμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό.
Αν στο παράδειγμα η πρώτη ενέργεια είναι διαίρεση και η δεύτερη πολλαπλασιασμός, τότε κάνουμε πρώτα διαίρεση.
Σε τέτοια παραδείγματα, οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, ανεξάρτητα από τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται.
Αν στα παραδείγματα, εκτός από πολλαπλασιασμό και διαίρεση, υπάρχουν πρόσθεση και αφαίρεση, τότε πρώτα γίνεται ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.
Στην περίπτωση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης επίσης δεν έχει σημασία ποια από αυτές τις πράξεις γίνεται πρώτη.Η σειρά είναι από αριστερά προς τα δεξιά.
Ας εξετάσουμε διάφορες επιλογές:
Σε αυτό το παράδειγμα, η πρώτη ενέργεια που πρέπει να εκτελεστεί είναι ο πολλαπλασιασμός και μετά η πρόσθεση.
Σε αυτήν την περίπτωση, πρώτα πολλαπλασιάζετε τις τιμές, μετά διαιρείτε και μόνο μετά προσθέτετε.
Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει πρώτα να κάνετε όλες τις πράξεις στις αγκύλες και μετά να κάνετε μόνο τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση.
Και έτσι πρέπει να θυμόμαστε ότι σε οποιονδήποτε τύπο, οι πράξεις εκτελούνται πρώτα ως πολλαπλασιασμός και διαίρεση και μετά μόνο αφαίρεση και πρόσθεση.
Επίσης, με τους αριθμούς που βρίσκονται σε αγκύλες, πρέπει να τους μετρήσετε σε αγκύλες και μόνο τότε να κάνετε διάφορους χειρισμούς, θυμόμαστε την ακολουθία που περιγράφεται παραπάνω.
Το πρώτο θα είναι τις ακόλουθες ενέργειες: πολλαπλασιασμός και διαίρεση.
Μόνο τότε γίνονται πρόσθεση και αφαίρεση.
Ωστόσο, εάν υπάρχει βραχίονας, τότε θα εκτελεστούν πρώτα οι ενέργειες που βρίσκονται σε αυτές. Ακόμα κι αν είναι πρόσθεση και αφαίρεση.
Για παράδειγμα:
Σε αυτό το παράδειγμα, πρώτα εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό, μετά 4 επί 5, μετά προσθέτουμε το 4 στο 20. Παίρνουμε 24.
Αλλά αν είναι έτσι: (4 + 5) * 4, τότε πρώτα κάνουμε την πρόσθεση, παίρνουμε 9. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το 9 με 4. Παίρνουμε 36.
Εάν υπάρχουν και οι 4 ενέργειες στο παράδειγμα, τότε έρχονται πρώτα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.
Ή στο παράδειγμα 3 διαφορετικές δράσεις, τότε το πρώτο θα είναι είτε πολλαπλασιασμός (ή διαίρεση) και μετά είτε πρόσθεση (ή αφαίρεση).
Όταν ΔΕΝ υπάρχουν αγκυλώσεις.
Παράδειγμα: 4-2*5:10+8=11,
1 δράση 2*5 (10);
πράξη 2 10:10 (1).
3 δράση 4-1 (3);
4 πράξη 3+8 (11).
Και οι 4 ενέργειες μπορούν να χωριστούν σε δύο κύριες ομάδες, στη μία - πρόσθεση και αφαίρεση, στην άλλη - πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Η πρώτη ενέργεια θα είναι αυτή που είναι η πρώτη στη σειρά στο παράδειγμα, δηλαδή η πιο αριστερή.
Παράδειγμα: 60-7+9=62, πρώτα χρειάζεστε 60-7, μετά τι συμβαίνει (53) +9;
Παράδειγμα: 5*8:2=20, πρώτα χρειάζεσαι 5*8 και μετά τι παίρνεις (40) :2.
Όταν στο παράδειγμα υπάρχουν ΑΓΚΥΛΕΣ, τότε εκτελούνται πρώτα οι ενέργειες που βρίσκονται στην αγκύλη (σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες) και μετά οι υπόλοιπες ως συνήθως.
Παράδειγμα: 2+(9-8)*10:2=7.
1 πράξη 9-8 (1);
2 δράση 1*10 (10);
Πράξη 3 10:2(5).
4 πράξη 2+5 (7).
Εξαρτάται από το πώς γράφεται η έκφραση, εξετάστε την απλούστερη αριθμητική έκφραση:
18 - 6:3 + 10x2 =
Πρώτα, εκτελούμε πράξεις με διαίρεση και πολλαπλασιασμό, στη συνέχεια με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά, με αφαίρεση και πρόσθεση: 18-2 + 20 \u003d 36
Αν είναι μια παράσταση με παρένθεση, τότε εκτελέστε τις πράξεις στις παρενθέσεις, μετά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση και τέλος την πρόσθεση/αφαίρεση, για παράδειγμα:
(18-6): 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24
Ο Ήλιος είναι σωστός: πρώτα εκτελέστε πολλαπλασιασμό και διαίρεση και μετά πρόσθεση και αφαίρεση.
Εάν δεν υπάρχουν αγκύλες στο παράδειγμα, τότε εκτελούνται πρώτα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με τη σειρά και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση, με την ίδια σειρά.
Εάν το παράδειγμα περιέχει μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση, τότε οι ενέργειες θα εκτελεστούν με τη σειρά.
Εάν το παράδειγμα περιέχει μόνο πρόσθεση και αφαίρεση, τότε οι ενέργειες θα εκτελεστούν επίσης με τη σειρά.
Πρώτα απ 'όλα, οι ενέργειες σε αγκύλες εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες, δηλαδή πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση και μόνο στη συνέχεια πρόσθεση και αφαίρεση.
22-(11+3x2)+14=19
Η σειρά εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων προδιαγράφεται αυστηρά, ώστε να μην υπάρχουν αποκλίσεις κατά την εκτέλεση του ίδιου τύπου υπολογισμών διαφορετικοί άνθρωποι. Πρώτα απ 'όλα, εκτελούνται πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση, εάν οι ενέργειες της ίδιας σειράς πηγαίνουν η μία μετά την άλλη, τότε εκτελούνται με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.
Εάν χρησιμοποιούνται αγκύλες όταν γράφετε μια μαθηματική έκφραση, τότε πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να εκτελέσετε τις ενέργειες που υποδεικνύονται σε αγκύλες. Οι παρενθέσεις βοηθούν στην αλλαγή της σειράς, εάν είναι απαραίτητο, εκτελέστε πρώτα πρόσθεση ή αφαίρεση και μόνο μετά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση.
Οποιεσδήποτε αγκύλες μπορούν να ανοίξουν και στη συνέχεια η σειρά εκτέλεσης θα είναι και πάλι σωστή:
6*(45+15) = 6*45 +6*15
Καλύτερα με παραδείγματα:
Σε αυτή την περίπτωση, εκτελούμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό, αφού βρίσκεται στα αριστερά της διαίρεσης. Μετά διαίρεση. Στη συνέχεια, πρόσθεση, λόγω της πιο αριστερής θέσης, και τέλος αφαίρεση.
πρώτα κάνουμε τον υπολογισμό σε αγκύλες, μετά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση.
Πρώτα, κάνουμε τις ενέργειες σε αγκύλες: πολλαπλασιασμός και μετά αφαίρεση. Μετά από αυτό έρχεται ο πολλαπλασιασμός έξω από τις αγκύλες και η πρόσθεση στο τέλος.
Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση προηγούνται. Εάν υπάρχουν αγκύλες στο παράδειγμα, τότε η ενέργεια σε αγκύλες εξετάζεται στην αρχή. Όποιο κι αν είναι το σημάδι!
Εδώ πρέπει να θυμάστε μερικούς βασικούς κανόνες:
Για παράδειγμα, 5 + 8-5 = 8 (κάνουμε τα πάντα με τη σειρά - προσθέτουμε το 8 στο 5 και μετά αφαιρούμε το 5)
Για παράδειγμα, 5+8*3=29 (πολλαπλασιάστε πρώτα το 8 με 3 και μετά προσθέστε το 5)
Για παράδειγμα, 3*(5+8)=39 (πρώτα 5+8 και μετά πολλαπλασιάστε με 3)
τι γίνεται πρώτος πολλαπλασιασμός ή διαίρεση στα μαθηματικά και πήρε την καλύτερη απάντηση
Απάντηση από τον Alexander Alenitsyn[γκουρού]
Αυτές οι ενέργειες είναι ίσες, επομένως, το πρώτο πράγμα που πρέπει να γίνει είναι με τι ξεκινά η σειρά (μετρώντας - από αριστερά προς τα δεξιά): A: B * C \u003d (A: B) * C, A * C: B \u003d (A * C): B. True, V αυτή η υπόθεσητο αποτέλεσμα είναι το ίδιο (αν οι υπολογισμοί είναι απόλυτα ακριβείς).
Απάντηση από 2 απαντήσεις[γκουρού]
Γειά σου! Εδώ είναι μια επιλογή θεμάτων με απαντήσεις στην ερώτησή σας: τι γίνεται πρώτος πολλαπλασιασμός ή διαίρεση στα μαθηματικά
Απάντηση από KonsTinTine*********[αρχάριος]
αυτό που έρχεται πρώτο είναι πρώτο
Απάντηση από Αηδιαστικός πόρος[γκουρού]
κατά τη γνώμη μου πολλαπλασιασμός .. αλλά δεν θυμάμαι ήδη .. Σπούδασα στο σχολείο για πολύ καιρό
Απάντηση από Ευγενία Ουράνια[γκουρού]
Θα πλύνω τον πολλαπλασιασμό.
Απάντηση από Λιάλια[γκουρού]
πολλαπλασιασμός?!)))
Απάντηση από Λιούμποφ Λαβρινόβιτς[ειδικός]
δεν έχει σημασία. η απάντηση είναι η ίδια.
Απάντηση από Vitaly Kholodov[αρχάριος]
εεεε))))) Είναι το ίδιο πράγμα)))))
Απάντηση από Gambit 007[κύριος]
Απο αριστερά προς δεξιά! Αν πρώτα είναι ο πολλαπλασιασμός, τότε ο πολλαπλασιασμός, αν η διαίρεση, τότε η διαίρεση!
Απάντηση από ΕΛΕΝΗ &&&[ειδικός]
με τη σειρά τους
Απάντηση από Iris-chan[ειδικός]
Αν δεν υπάρχουν αγκύλες, τότε δεν πειράζει. Συνήθως το κάνω με τη σειρά που είναι πιο εύκολο, με την οποία πρέπει να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν μικρότεροι αριθμοί.
Απάντηση από Eldgammel Wind[γκουρού]
Δεν πειράζει καθόλου αν δεν υπάρχουν παρενθέσεις.
Απάντηση από Zina Evstigneeva[γκουρού]
τέτοια παραδείγματα επιλύονται προκειμένου μια τέτοια ενέργεια να έρθει πρώτα και να εκτελεστεί
Απάντηση από Αντρέι Κοζλόφ[αρχάριος]
πολλαπλασιασμός
Απάντηση από Γιορέζα Ταλανίν[αρχάριος]
πολλαπλασιασμός) =)
Απάντηση από Αρθούρος[ενεργός]
6: 2 * 3 = 9 είναι με τη σειρά 6: 2 * 3 = 1 είναι από την αρχή του πολλαπλασιασμού και στη συνέχεια της διαίρεσης, οι απαντήσεις είναι διαφορετικές, επομένως η ουρά έχει σημασία.
Απάντηση από Ντάσα Ζαράφ[αρχάριος]
Η ενέργεια εκτελείται ανάλογα με τη σειρά. Για παράδειγμα: 200*45/1000=9 (σε αυτή την περίπτωση το * έρχεται πρώτο και η διαίρεση τελευταία. Και έτσι πρώτα θα πολλαπλασιάσουμε το 200*45 και μετά θα διαιρέσουμε 9000/1000=9) Ένα άλλο παράδειγμα: 36/9*4=16 ( σε αυτήν την περίπτωση, / έρχεται πρώτο, και
Οι αριθμητικές και αλφαβητικές εκφράσεις μπορεί να περιέχουν σημάδια διαφόρων αριθμητικών πράξεων. Κατά τη μετατροπή παραστάσεων και τον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων, οι ενέργειες εκτελούνται με μια συγκεκριμένη σειρά, καθώς υπάρχει μια αυστηρή σειρά με την οποία εκτελούνται οι μαθηματικές πράξεις
Πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση
Η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες:
- οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά,
- και πρώτα γίνεται πολλαπλασιασμός και διαίρεση και μετά πρόσθεση και αφαίρεση.
1. Εξετάστε ένα παράδειγμα: κάντε τα βήματα 17−3+6
Η αρχική έκφραση δεν περιέχει πολλαπλασιασμό και διαίρεση και δεν περιέχει παρενθέσεις. Επομένως, πρέπει να κάνουμε όλες τις ενέργειες με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή, πρώτα αφαιρούμε 3 από το 17, παίρνουμε 14, μετά από το οποίο προσθέτουμε 6 στη διαφορά 14 που προκύπτει, παίρνουμε 20.
Εν συντομία, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής: 17 − 3 + 6 = 14 + 6 = 20
2. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2
Αρχικά, ας προσδιορίσουμε με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι ενέργειες στην έκφραση. Περιλαμβάνει και πολλαπλασιασμό και διαίρεση και πρόσθεση και αφαίρεση. Πρώτα από αριστερά προς τα δεξιά εκτελεί πολλαπλασιασμό και διαίρεση.
4: 2 τώρα 4 διαιρούμενο με 2, παίρνουμε 2.
Αντικαθιστούμε στην αρχική έκφραση αντί για 5 6: 3 την τιμή που βρέθηκε 10 και αντί για 4: 2 - την τιμή 2, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση 17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 \u003d 17 - 10 - 2+ 2.
Στην έκφραση που προκύπτει, δεν υπάρχει πλέον πολλαπλασιασμός και διαίρεση, επομένως παραμένει με σειρά από αριστερά προς τα δεξιάκάντε τα υπόλοιπα βήματα: 17 - 10 - 2 + 2 = 7 - 2 + 2 = 5 + 2 = 7.
Βήματα 1 και 2
Για τη διευκόλυνση της απόφασης σχετικά με τη σειρά εκτέλεσης Οι δράσεις χωρίστηκαν σε δύο στάδια:
το πρώτο βήμα είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση,
το δεύτερο βήμα είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.
Εάν η έκφραση δεν περιέχει αγκύλες, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, εκτελούνται πρώτα οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου (πολλαπλασιασμός και διαίρεση) και μετά οι ενέργειες του πρώτου σταδίου (πρόσθεση και αφαίρεση)
Σειρά εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις με αγκύλες
Ο κανόνας που καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε παραστάσεις με αγκύλες διατυπώνεται ως εξής: πρώτα εκτελούνται ενέργειες σε αγκύλες, ενώ ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εκτελούνται επίσης με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, μετά πρόσθεση και αφαίρεση.
Εξετάστε ένα παράδειγμα: 99: (45 - 39 + 5) - 25: 5
Η σειρά υπολογισμού είναι αυτή. Ας κάνουμε πρώτα τις παρενθέσεις:
45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,
τότε οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου
Η αρχική πηγή βρίσκεται. Το άλφα δηλώνει έναν πραγματικό αριθμό. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ως παράδειγμα ένα άπειρο σύνολο φυσικούς αριθμούς, τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να παρουσιαστούν με την ακόλουθη μορφή:
Για να αποδείξουν οπτικά την υπόθεσή τους, οι μαθηματικοί έχουν βρει πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους σαν τους χορούς των σαμάνων με τα ντέφια. Ουσιαστικά, όλοι καταλήγουν στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια δεν είναι κατειλημμένα και εγκαθίστανται νέοι επισκέπτες είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους καλεσμένους (πολύ ανθρώπινα). Εξέφρασα την άποψή μου για τέτοιες αποφάσεις στο έντυπο ιστορία φαντασίαςγια την ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετακίνηση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο επισκεπτών, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του χρόνου. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί βλακωδώς, αλλά αυτό θα είναι ήδη από την κατηγορία του «ο νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμογή της πραγματικότητας στις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.
Τι είναι ένα «άπειρο ξενοδοχείο»; Ένα infinity inn είναι ένα πανδοχείο που έχει πάντα οποιονδήποτε αριθμό κενών θέσεων, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο «για επισκέπτες» είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με δωμάτια για «καλεσμένους». Θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Ταυτόχρονα, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει άπειρους ορόφους σε άπειρα κτίρια σε άπειρο αριθμό πλανητών σε άπειρα σύμπαντα που δημιουργούνται από άπειρους Θεούς. Οι μαθηματικοί, από την άλλη, δεν μπορούν να απομακρυνθούν από το κοινότοπο εγχώρια προβλήματα: Θεός-Αλλάχ-Βούδας - υπάρχει πάντα μόνο ένας, το ξενοδοχείο - είναι ένα, ο διάδρομος - μόνο ένας. Έτσι, οι μαθηματικοί προσπαθούν να κάνουν ταχυδακτυλουργικά τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να «σπρώξουμε το ασπρώξιμο».
Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Πρώτα πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση, αφού εμείς οι ίδιοι εφεύραμε τους αριθμούς, δεν υπάρχουν αριθμοί στη Φύση. Ναι, η φύση ξέρει να μετράει τέλεια, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Όπως νομίζει η Φύση, θα σας το πω άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Εξετάστε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε έναν πραγματικό επιστήμονα.
Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια σε ένα ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και δεν υπάρχει που να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Τι γίνεται αν το θέλεις πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να την επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το ράφι και να την προσθέσουμε σε ότι μας έχει απομείνει. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε και πάλι ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:
Έχω σημειώσει τις πράξεις στην αλγεβρική σημειογραφία και στη σημειογραφία της θεωρίας συνόλων, παραθέτοντας λεπτομερώς τα στοιχεία του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο αν αφαιρεθεί ένας από αυτό και προστεθεί ο ίδιος.
Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Παίρνουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και τον προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Να τι παίρνουμε:
Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν ένα άλλο άπειρο σύνολο προστεθεί σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών χρησιμοποιείται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο όπως ένας χάρακας για μετρήσεις. Τώρα φανταστείτε ότι έχετε προσθέσει ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι ήδη μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.
Μπορείτε να αποδεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - αυτό είναι δική σας υπόθεση. Αν όμως συναντήσετε ποτέ μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε αν βρίσκεστε στο μονοπάτι της ψευδούς συλλογιστικής, που την έχουν πατήσει γενιές μαθηματικών. Εξάλλου, τα μαθήματα των μαθηματικών, πρώτα απ 'όλα, σχηματίζουν ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης μέσα μας και μόνο τότε μας προσθέτουν νοητικές ικανότητες(ή το αντίστροφο, στερήστε μας την ελεύθερη σκέψη).
pozg.ru
Κυριακή 4 Αυγούστου 2019
Έγραφα ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:
Διαβάζουμε: «... πλούσιος θεωρητική βάσητα μαθηματικά της Βαβυλώνας δεν είχαν ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκαν σε ένα σύνολο ανόμοιων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημακαι βάση αποδεικτικών στοιχείων.
Ουάου! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι αδύναμο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρώς το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα το εξής:
Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν έχει ολιστικό χαρακτήρα και περιορίζεται σε ένα σύνολο ανόμοιων τμημάτων, χωρίς κοινό σύστημα και αποδεικτική βάση.
Δεν θα πάω μακριά για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει γλώσσα και συµβάσεις, διαφορετική από τη γλώσσα και τις συμβάσεις πολλών άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω έναν ολόκληρο κύκλο δημοσιεύσεων στις πιο προφανείς γκάφες των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.
Σάββατο 3 Αυγούστου 2019
Πώς να χωρίσετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης, η οποία υπάρχει σε ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Εξετάστε ένα παράδειγμα.
Μακάρι να έχουμε πολλούς ΕΝΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σύνολο σχηματίζεται με βάση τα "άνθρωποι" Ας ορίσουμε τα στοιχεία αυτού του συνόλου μέσω του γράμματος ΕΝΑ, ο δείκτης με έναν αριθμό θα υποδεικνύει τον τακτικό αριθμό κάθε ατόμου σε αυτό το σύνολο. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «σεξουαλικό χαρακτηριστικό» και ας το υποδηλώσουμε με το γράμμα σι. Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΕΝΑγια το φύλο σι. Παρατηρήστε ότι το σετ "άνθρωποι" μας έχει γίνει πλέον το σετ "άτομα με φύλο". Μετά από αυτό, μπορούμε να χωρίσουμε τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά σε αρσενικά bmκαι γυναικεία bwχαρακτηριστικά του φύλου. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά, δεν έχει σημασία ποιο είναι αρσενικό ή θηλυκό. Αν υπάρχει σε ένα άτομο, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο ζώδιο, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά εφαρμόζουμε τα συνηθισμένα σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.
Μετά τον πολλαπλασιασμό, τις αναγωγές και τις ανακατατάξεις, έχουμε δύο υποσύνολα: το αρσενικό υποσύνολο bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών bw. Περίπου με τον ίδιο τρόπο συλλογίζονται οι μαθηματικοί όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας αφήνουν να μπούμε στις λεπτομέρειες, αλλά μας δίνουν το τελικό αποτέλεσμα - «πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών». Φυσικά, μπορεί να έχετε μια ερώτηση, πόσο σωστά εφαρμόστηκαν τα μαθηματικά στους παραπάνω μετασχηματισμούς; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω ότι στην πραγματικότητα οι μετασχηματισμοί γίνονται σωστά, αρκεί να γνωρίζουμε τη μαθηματική αιτιολόγηση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων τμημάτων των μαθηματικών. Τι είναι? Κάποια άλλη φορά θα σας το πω.
Όσον αφορά τα υπερσύνολα, είναι δυνατό να συνδυαστούν δύο σύνολα σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας μια μονάδα μέτρησης που υπάρχει στα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα κοινά μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων παρελθόν. Ένα σημάδι ότι δεν πάνε όλα καλά με τη θεωρία συνόλων είναι ότι οι μαθηματικοί έχουν βρει τη δική τους γλώσσα και σημειογραφία για τη θεωρία συνόλων. Οι μαθηματικοί έκαναν ό,τι έκαναν κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Αυτή τη «γνώση» μας διδάσκουν.
Τέλος, θέλω να σας δείξω πώς χειραγωγούν οι μαθηματικοί.
Δευτέρα 7 Ιανουαρίου 2019
Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η χελώνα». Να πώς ακούγεται:
Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, έτσι ή αλλιώς, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.
Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για την εφαρμογή μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.
Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».
Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:
Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.
Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά δεν είναι ολοκληρωμένη λύσηΠροβλήματα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμη να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι επ' αόριστον μεγάλοι αριθμοί, αλλά σε μονάδες μέτρησης.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.
Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που λαμβάνονται από διαφορετικά σημεία του χώρου ταυτόχρονα, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Σε τι θέλω να εστιάσω Ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.
Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018
Σας είπα ήδη ότι, με τη βοήθεια του οποίου οι σαμάνοι προσπαθούν να ταξινομήσουν "" πραγματικότητες. Πώς το κάνουν; Πώς γίνεται στην πραγματικότητα η διαμόρφωση του συνόλου;
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον ορισμό ενός συνόλου: «μια συλλογή διαφορετικών στοιχείων, που συλλαμβάνεται ως ένα ενιαίο σύνολο». Τώρα νιώστε τη διαφορά μεταξύ των δύο φράσεων: "σκεπτόμενος ως σύνολο" και "σκεπτόμενος ως σύνολο". Η πρώτη φράση είναι τελικό αποτέλεσμα, ένα μάτσο. Η δεύτερη φράση είναι προκαταρκτική προετοιμασίαστο σχηματισμό πλήθους. Σε αυτό το στάδιο, η πραγματικότητα χωρίζεται σε ξεχωριστά στοιχεία («ολόκληρο») από τα οποία στη συνέχεια θα σχηματιστεί ένα πλήθος («ενιαίο σύνολο»). Ταυτόχρονα, ο παράγοντας που σας επιτρέπει να συνδυάσετε το "σύνολο" σε ένα "ενιαίο σύνολο" παρακολουθείται προσεκτικά, διαφορετικά οι σαμάνοι δεν θα τα καταφέρουν. Άλλωστε, οι σαμάνοι γνωρίζουν εκ των προτέρων τι ακριβώς σετ θέλουν να μας επιδείξουν.
Θα δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε "κόκκινο στερεό σε σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, και υπάρχουν χωρίς τόξο. Μετά από αυτό, επιλέγουμε ένα μέρος του «όλου» και σχηματίζουμε ένα σύνολο «με φιόγκο». Έτσι τρέφονται οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.
Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό κόλπο. Ας πάρουμε «στερεό σε σπυράκι με φιόγκο» και ας ενώσουμε αυτά τα «ολόκληρα» ανά χρώμα, επιλέγοντας κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα μια δύσκολη ερώτηση: τα σετ "με φιόγκο" και "κόκκινα" είναι το ίδιο σετ ή δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, ας είναι.
Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για την πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Σχηματίσαμε ένα σετ «κόκκινο συμπαγές σπυράκι με φιόγκο». Ο σχηματισμός έγινε σύμφωνα με τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), δύναμη (συμπαγές), τραχύτητα (σε ένα σπυράκι), διακοσμήσεις (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης καθιστά δυνατή την επαρκή περιγραφή πραγματικών αντικειμένων στη γλώσσα των μαθηματικών. Εδώ είναι πώς φαίνεται.
Το γράμμα "a" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Σε παρένθεση επισημαίνονται μονάδες μέτρησης, σύμφωνα με τις οποίες το «σύνολο» κατανέμεται σε προκαταρκτικό στάδιο. Η μονάδα μέτρησης, σύμφωνα με την οποία διαμορφώνεται το σετ, βγαίνει από αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - ένα στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, και όχι οι χοροί των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντάς το με «προφανή», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν περιλαμβάνονται στο «επιστημονικό» τους οπλοστάσιο.
Με τη βοήθεια μονάδων μέτρησης, είναι πολύ εύκολο να αναλυθεί μία
Είναι σήμερα που όλα όσα δεν παίρνουμε ανήκουν σε κάποιο σύνολο (όπως μας διαβεβαιώνουν οι μαθηματικοί). Παρεμπιπτόντως, είδες στον καθρέφτη στο μέτωπό σου μια λίστα με εκείνα τα σύνολα στα οποία ανήκεις; Και δεν έχω δει τέτοια λίστα. Θα πω περισσότερα - κανένα πράγμα στην πραγματικότητα δεν έχει ετικέτα με λίστα σετ στα οποία ανήκει αυτό το πράγμα. Τα σετ είναι όλα εφευρέσεις των σαμάνων. Πώς το κάνουν; Ας δούμε λίγο βαθύτερα στην ιστορία και ας δούμε πώς έμοιαζαν τα στοιχεία του σετ προτού οι μαθηματικοί-σαμάνοι τα χωρίσουν στα σετ τους.
Πριν από πολύ καιρό, όταν κανείς δεν είχε ακούσει ακόμη για τα μαθηματικά, και μόνο τα δέντρα και ο Κρόνος είχαν δαχτυλίδια, τεράστια κοπάδια από άγρια στοιχεία συνόλων περιφέρονταν στα φυσικά πεδία (εξάλλου, οι σαμάνοι δεν είχαν εφεύρει ακόμη μαθηματικά πεδία). Έμοιαζαν έτσι.
Ναι, μην εκπλαγείτε, από την άποψη των μαθηματικών, όλα τα στοιχεία των συνόλων μοιάζουν περισσότερο με αχινούς- από ένα σημείο, όπως οι βελόνες, οι μονάδες μέτρησης προεξέχουν προς όλες τις κατευθύνσεις. Για όσους, σας υπενθυμίζω ότι οποιαδήποτε μονάδα μέτρησης μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά ως τμήμα αυθαίρετου μήκους και ένας αριθμός ως σημείο. Γεωμετρικά, οποιαδήποτε ποσότητα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια δέσμη τμημάτων που προεξέχουν διαφορετικές πλευρέςαπό ένα σημείο. Αυτό το σημείο είναι το σημείο μηδέν. Δεν θα ζωγραφίσω αυτό το έργο γεωμετρικής τέχνης (χωρίς έμπνευση), αλλά μπορείτε εύκολα να το φανταστείτε.
Ποιες μονάδες μέτρησης αποτελούν στοιχείο του συνόλου; Οποιοδήποτε που περιγράφει αυτό το στοιχείο από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Αυτές είναι οι αρχαίες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούσαν οι πρόγονοί μας και τις οποίες όλοι έχουν από καιρό ξεχάσει. Αυτές είναι οι σύγχρονες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούμε τώρα. Αυτές είναι άγνωστες σε εμάς μονάδες μέτρησης, τις οποίες θα καταλήξουν οι απόγονοί μας και τις οποίες θα χρησιμοποιήσουν για να περιγράψουν την πραγματικότητα.
Καταλάβαμε τη γεωμετρία - το προτεινόμενο μοντέλο των στοιχείων του συνόλου έχει μια σαφή γεωμετρική αναπαράσταση. Και τι γίνεται με τη φυσική; Μονάδες μέτρησης - αυτή είναι η άμεση σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών και της φυσικής. Εάν οι σαμάνοι δεν αναγνωρίζουν τις μονάδες μέτρησης ως ένα πλήρες στοιχείο των μαθηματικών θεωριών, αυτό είναι το πρόβλημά τους. Προσωπικά δεν μπορώ να φανταστώ μια πραγματική επιστήμη των μαθηματικών χωρίς μονάδες μέτρησης. Γι' αυτό, στην αρχή της ιστορίας για τη θεωρία των συνόλων, μίλησα για αυτήν ως Λίθινη Εποχή.
Αλλά ας προχωρήσουμε στο πιο ενδιαφέρον - στην άλγεβρα των στοιχείων των συνόλων. Αλγεβρικά, οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου είναι γινόμενο (το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού) διαφορετικών μεγεθών.Μοιάζει με αυτό.
Σκόπιμα δεν χρησιμοποίησα τις συμβάσεις που υιοθετήθηκαν στη θεωρία συνόλων, αφού θεωρούμε ένα στοιχείο ενός συνόλου φυσικό περιβάλλονκατοίκηση πριν από την εμφάνιση της θεωρίας συνόλων. Κάθε ζεύγος γραμμάτων σε αγκύλες υποδηλώνει μια ξεχωριστή τιμή, που αποτελείται από τον αριθμό που υποδεικνύεται με το γράμμα " n"και μονάδες μέτρησης, που υποδεικνύονται με το γράμμα" ένα". Οι δείκτες κοντά στα γράμματα δείχνουν ότι οι αριθμοί και οι μονάδες μέτρησης είναι διαφορετικοί. Ένα στοιχείο του συνόλου μπορεί να αποτελείται από άπειρο αριθμό τιμών (εφόσον εμείς και οι απόγονοί μας έχουμε αρκετή φαντασία). Κάθε στοιχείο Το στήριγμα αντιπροσωπεύεται γεωμετρικά από ένα ξεχωριστό τμήμα Στο παράδειγμα με τον αχινό ένα στήριγμα είναι μία βελόνα.
Πώς οι σαμάνοι σχηματίζουν σύνολα από διαφορετικά στοιχεία; Μάλιστα, με μονάδες μέτρησης ή με αριθμούς. Μη καταλαβαίνοντας τίποτα στα μαθηματικά, παίρνουν διαφορετικούς αχινούς και τους εξετάζουν προσεκτικά αναζητώντας αυτή τη μοναδική βελόνα με την οποία σχηματίζουν ένα σύνολο. Εάν υπάρχει μια τέτοια βελόνα, τότε αυτό το στοιχείο ανήκει στο σετ· εάν δεν υπάρχει τέτοια βελόνα, αυτό το στοιχείο δεν είναι από αυτό το σετ. Οι σαμάνοι μας λένε μύθους για νοητικές διεργασίες και ένα ενιαίο σύνολο.
Όπως ίσως έχετε μαντέψει, το ίδιο στοιχείο μπορεί να ανήκει σε μια ποικιλία συνόλων. Στη συνέχεια, θα σας δείξω πώς σχηματίζονται σύνολα, υποσύνολα και άλλες σαμανικές ανοησίες.