Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσουμε για καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση. Περιλαμβάνει την έκφραση του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης οποιασδήποτε γωνίας μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας. Επιπλέον, μια τέτοια αντικατάσταση πραγματοποιείται ορθολογικά, δηλαδή χωρίς ρίζες.
Αρχικά, γράφουμε τύπους που εκφράζουν το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας. Στη συνέχεια, δείχνουμε την παραγωγή αυτών των τύπων. Και εν κατακλείδι, ας δούμε πολλά παραδείγματα χρήσης της καθολικής τριγωνομετρικής αντικατάστασης.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας
Αρχικά, ας γράψουμε τέσσερις τύπους που εκφράζουν το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας.
Αυτοί οι τύποι ισχύουν για όλες τις γωνίες στις οποίες ορίζονται οι εφαπτομένες και οι συνεφαπτομένες που περιλαμβάνονται σε αυτούς:
Παραγωγή τύπων
Ας αναλύσουμε την παραγωγή τύπων που εκφράζουν το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μιας γωνίας μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας. Ας ξεκινήσουμε με τους τύπους για ημίτονο και συνημίτονο.
Αντιπροσωπεύουμε το ημίτονο και το συνημίτονο χρησιμοποιώντας τους τύπους διπλής γωνίας ως 
Και 
αντίστοιχα. Τώρα εκφράσεις 
Και 
γράψτε ως κλάσματα με παρονομαστή 1 ως 
Και 
. Περαιτέρω, με βάση την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα, αντικαθιστούμε τις μονάδες στον παρονομαστή με το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου, μετά το οποίο λαμβάνουμε 
Και 
. Τέλος, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή των κλασμάτων που προκύπτουν με (η τιμή του είναι διαφορετική από το μηδέν, εφόσον 
). Ως αποτέλεσμα, ολόκληρη η αλυσίδα των ενεργειών μοιάζει με αυτό: 
Και 
Αυτό ολοκληρώνει την παραγωγή τύπων που εκφράζουν το ημίτονο και το συνημίτονο μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας.
Απομένει να εξαχθούν οι τύποι για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Τώρα, λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους που ελήφθησαν παραπάνω, και τους τύπους και 
, λαμβάνουμε αμέσως τύπους που εκφράζουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας: 
Έτσι, έχουμε εξάγει όλους τους τύπους για την καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση.
Παραδείγματα χρήσης της καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης
Αρχικά, ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα χρήσης καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης κατά τη μετατροπή παραστάσεων.
Παράδειγμα.
Δώστε μια έκφραση 
σε μια έκφραση που περιέχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση.
Λύση.
Απάντηση:
.
Βιβλιογραφία.
- Αλγεβρα: Proc. για 9 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Μπασμάκοφ Μ.Ι.Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
- Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 σελ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
Τριγωνομετρικές ταυτότητεςείναι ισότητες που δημιουργούν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε από αυτές τις συναρτήσεις, με την προϋπόθεση ότι οποιαδήποτε άλλη είναι γνωστή.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα του τετραγώνου του ημιτόνου μιας γωνίας και του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα, γεγονός που στην πράξη καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του ημιτόνου μιας γωνίας όταν είναι γνωστό το συνημίτονο της και αντίστροφα .
Κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων, αυτή η ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά, η οποία σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε το άθροισμα των τετραγώνων του συνημιτόνου και του ημιτόνου μιας γωνίας με ένα και επίσης να εκτελέσετε τη λειτουργία αντικατάστασης με αντίστροφη σειρά.
Εύρεση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μέσω ημιτόνου και συνημιτονοειδούς
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Αυτές οι ταυτότητες σχηματίζονται από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Εξάλλου, αν κοιτάξετε, τότε εξ ορισμού, η τεταγμένη του y είναι το ημίτονο και η τετμημένη του x είναι το συνημίτονο. Τότε η εφαπτομένη θα είναι ίση με τον λόγο \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), και την αναλογία \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- θα είναι συνεφαπτομένη.
Προσθέτουμε ότι μόνο για τέτοιες γωνίες \άλφα για τις οποίες έχουν νόημα οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές, οι ταυτότητες θα πραγματοποιούνται, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Για παράδειγμα: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ισχύει για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2)+\pi z, ΕΝΑ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- για γωνία \άλφα διαφορετική από \pi z , το z είναι ακέραιος.
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Αυτή η ταυτότητα ισχύει μόνο για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2) z. Διαφορετικά, δεν θα καθοριστεί είτε συνεφαπτομένη είτε εφαπτομένη.
Με βάση τα παραπάνω σημεία, το καταλαβαίνουμε tg \alpha = \frac(y)(x), ΕΝΑ ctg\alpha=\frac(x)(y). Ως εκ τούτου προκύπτει ότι tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Έτσι, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι αμοιβαίοι αμοιβαίοι αριθμοί.
Σχέσεις μεταξύ εφαπτομένης και συνημιτονοειδούς, συνεφαπτομένης και ημιτόνου
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- το άθροισμα του τετραγώνου της εφαπτομένης της γωνίας \άλφα και 1 είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Αυτή η ταυτότητα είναι έγκυρη για όλα τα \alpha εκτός από \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- το άθροισμα του 1 και του τετραγώνου της συνεφαπτομένης της γωνίας \άλφα , ισούται με το αντίστροφο τετράγωνο του ημιτόνου της δεδομένης γωνίας. Αυτή η ταυτότητα είναι έγκυρη για οποιοδήποτε \alpha εκτός από \pi z .
Παραδείγματα με λύσεις προβλημάτων με χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων
Παράδειγμα 1
Βρείτε τα \sin \alpha και tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Εμφάνιση Λύσης
Λύση
Οι συναρτήσεις \sin \alpha και \cos \alpha συνδέονται με τον τύπο \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Αντικατάσταση σε αυτόν τον τύπο \cos \alpha = -\frac12, παίρνουμε:
\sin^(2)\alpha + \αριστερά (-\frac12 \δεξιά)^2 = 1
Αυτή η εξίσωση έχει 2 λύσεις:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο, το ημίτονο είναι θετικό, άρα \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Για να βρούμε το tg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Παράδειγμα 2
Βρείτε τα \cos \alpha και ctg \alpha αν και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Εμφάνιση Λύσης
Λύση
Αντικατάσταση στη φόρμουλα \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1υπό όρους αριθμός \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), παίρνουμε \αριστερά (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο, το συνημίτονο είναι αρνητικό, άρα \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Για να βρούμε το ctg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Γνωρίζουμε τις αντίστοιχες τιμές.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Δίνονται οι λόγοι μεταξύ των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων - ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης τριγωνομετρικούς τύπους. Και επειδή υπάρχουν πολλές συνδέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτό εξηγεί και την αφθονία τριγωνομετρικούς τύπους. Ορισμένοι τύποι συνδέουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της ίδιας γωνίας, άλλοι - οι συναρτήσεις μιας πολλαπλής γωνίας, άλλοι - σας επιτρέπουν να μειώσετε τη μοίρα, ο τέταρτος - να εκφράσετε όλες τις συναρτήσεις μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας κ.λπ.
Σε αυτό το άρθρο, παραθέτουμε με τη σειρά όλους τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, οι οποίοι επαρκούν για την επίλυση της συντριπτικής πλειοψηφίας των τριγωνομετρικών προβλημάτων. Για ευκολία απομνημόνευσης και χρήσης, θα τα ομαδοποιήσουμε ανάλογα με το σκοπό τους και θα τα καταχωρήσουμε σε πίνακες.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
Κύριος τριγωνομετρικές ταυτότητες ορίστε τη σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας. Προκύπτουν από τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, καθώς και της έννοιας του μοναδιαίου κύκλου. Σας επιτρέπουν να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση μέσω οποιασδήποτε άλλης.
Για μια λεπτομερή περιγραφή αυτών των τύπων τριγωνομετρίας, τα παραδείγματα παραγωγής και εφαρμογής τους, δείτε το άρθρο.
Φόρμουλες cast
Φόρμουλες castπροκύπτουν από τις ιδιότητες του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, του εφαπτομένου και του συνεφαπτομένου, δηλαδή αντανακλούν την ιδιότητα της περιοδικότητας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, την ιδιότητα συμμετρίας, καθώς και την ιδιότητα shift by δεδομένη γωνία. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι σάς επιτρέπουν να μετακινηθείτε από την εργασία με αυθαίρετες γωνίες στην εργασία με γωνίες που κυμαίνονται από μηδέν έως 90 μοίρες.
Το σκεπτικό αυτών των τύπων, ένας μνημονικός κανόνας για την απομνημόνευσή τους και παραδείγματα εφαρμογής τους μπορούν να μελετηθούν στο άρθρο.
Τύποι προσθήκης
Τριγωνομετρικοί τύποι πρόσθεσηςδείξτε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο γωνιών ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών. Αυτοί οι τύποι χρησιμεύουν ως βάση για την παραγωγή των ακόλουθων τριγωνομετρικών τύπων.
Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία
Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία (λέγονται και τύποι πολλαπλών γωνιών) δείχνουν πώς οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις διπλού, τριπλού κ.λπ. Οι γωνίες () εκφράζονται ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μόνο γωνίας. Η παραγωγή τους βασίζεται σε τύπους πρόσθεσης.
Αναλυτικότερες πληροφορίες συλλέγονται στους τύπους του άρθρου για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία .
Φόρμουλες μισής γωνίας
Φόρμουλες μισής γωνίαςνα δείξετε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μισής γωνίας ως προς το συνημίτονο μιας ακέραιας γωνίας. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι προκύπτουν από τους τύπους διπλή γωνία.
Το συμπέρασμά τους και παραδείγματα εφαρμογής βρίσκονται στο άρθρο.
Φόρμουλες μείωσης
Τριγωνομετρικοί τύποι για φθίνουσες μοίρεςέχουν σχεδιαστεί για να διευκολύνουν τη μετάβαση από τις φυσικές δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ημίτονο και συνημίτονο στον πρώτο βαθμό, αλλά σε πολλαπλές γωνίες. Με άλλα λόγια, επιτρέπουν σε κάποιον να μειώσει τις δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην πρώτη.
Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Ο κύριος σκοπός τύποι αθροίσματος και διαφοράς για τριγωνομετρικές συναρτήσειςσυνίσταται στη μετάβαση στο γινόμενο των συναρτήσεων, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο κατά την απλοποίηση τριγωνομετρικών εκφράσεων. Αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού επιτρέπουν την παραγοντοποίηση του αθροίσματος και της διαφοράς ημιτόνων και συνημιτόνων.
Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτονοειδών συνημιτόνων
Η μετάβαση από το γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο άθροισμα ή τη διαφορά πραγματοποιείται μέσω των τύπων για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτόνου προς συνημίτονο.
Πνευματικά δικαιώματα από έξυπνους μαθητές
Ολα τα δικαιώματα διατηρούνται.
Προστατεύεται από το νόμο περί πνευματικών δικαιωμάτων. Κανένα μέρος του www.site, συμπεριλαμβανομένων των εσωτερικών υλικών και του εξωτερικού σχεδιασμού, δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μορφή ή να χρησιμοποιηθεί χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του κατόχου των πνευματικών δικαιωμάτων.
Στοιχεία αναφοράς για την εφαπτομένη (tg x) και την συνεφαπτομένη (ctg x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, παραγώγων, ολοκληρωμάτων, επεκτάσεων σειρών. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.
Γεωμετρικός ορισμός
|BD| - το μήκος του τόξου ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.
Εφαπτομένη ( tgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .
Συμεφαπτομένη ( ctgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .
Εφαπτομένη γραμμή
Οπου n- ολόκληρος.
Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
;
;
.
Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tg x
Συνεφαπτομένη
Οπου n- ολόκληρος.
Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Υιοθετήθηκε επίσης ο ακόλουθος συμβολισμός:
;
;
.
Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x
Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
Περιοδικότης
Συναρτήσεις y= tg xκαι y= ctg xείναι περιοδικές με περίοδο π.
Ισοτιμία
Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές.
Τομείς ορισμού και αξιών, αύξουσα, φθίνουσα
Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (δείτε την απόδειξη της συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( n- ακέραιος).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια | ||
| Εύρος τιμών | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Αύξουσα | - | |
| Φθίνων | - | |
| Ακρα | - | - |
| Μηδενικά, y= 0 | ||
| Σημεία τομής με τον άξονα y, x = 0 | y= 0 | - |
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
Εκφράσεις ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο
;
;
;
;
;
Τύποι για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη του αθροίσματος και της διαφοράς
Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα
Προϊόν των εφαπτομένων
Ο τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων
Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος. 
Εκφράσεις ως προς τους μιγαδικούς αριθμούς
Εκφράσεις ως προς τις υπερβολικές συναρτήσεις
;
;
Παράγωγα
; .
.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης :
.
Παραγωγή τύπων για εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >
Ολοκληρώματα
Επεκτάσεις σε σειρές
Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε μια σειρά ισχύος για τις συναρτήσεις αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα το ένα στο άλλο, . Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τους ακόλουθους τύπους.
Στο .
στο .
Οπου B n- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
;
;
Οπου .
Ή σύμφωνα με τον τύπο Laplace: 
Αντίστροφες συναρτήσεις
Αντίστροφες συναρτήσειςσε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.
Arctagent, arctg
, Οπου n- ολόκληρος.
Εφαπτομένη τόξου, arcctg
, Οπου n- ολόκληρος.
Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Ερευνητές και Μηχανικούς, 2012.