αντίγραφο
1 I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά Συστήματα MathUs.ru τριγωνομετρικές εξισώσειςΣε αυτό το άρθρο, εξετάζουμε τριγωνομετρικά συστήματα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Μέθοδοι επίλυσης τέτοιων συστημάτων και διάφορα ειδικά κόλπαθα μελετήσουμε απευθείας συγκεκριμένα παραδείγματα. Μπορεί μια από τις εξισώσεις του συστήματος να περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις των αγνώστων x και y, ενώ η άλλη εξίσωση είναι γραμμική στα x και y. Σε αυτή την περίπτωση, ενεργούμε με προφανή τρόπο: εκφράζουμε έναν από τους αγνώστους από μια γραμμική εξίσωση και τον αντικαθιστούμε με μια άλλη εξίσωση του συστήματος. Εργασία 1. Λύστε το σύστημα: x + y =, sin x + sin y = 1. Λύση. Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το y έως το x: και αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Προέκυψε η απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση για το x. Γράφουμε τις λύσεις του με τη μορφή δύο σειρών: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Απομένει να βρούμε τις αντίστοιχες τιμές του y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Όπως πάντα στην περίπτωση ενός συστήματος εξισώσεων, η απάντηση δίνεται ως απαρίθμηση x ζευγαριών. y). 6+n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Σημειώστε ότι τα x και y σχετίζονται μεταξύ τους μέσω της ακέραιας παραμέτρου n. Δηλαδή, εάν η παράσταση για το x περιέχει +n, τότε το n εμφανίζεται αυτόματα στην παράσταση για το y και με το ίδιο n. Αυτό είναι συνέπεια της «σκληρής» σχέσης μεταξύ x και y, που δίνεται από την εξίσωση x + y =. Εργο. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, x y =. Λύση. Εδώ έχει νόημα να μετασχηματίσουμε πρώτα την πρώτη εξίσωση του συστήματος: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1
2 Έτσι, το σύστημά μας είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο σύστημα: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Αντικαταστήστε x y = στην πρώτη εξίσωση: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στο σύστημα: x + y = n, x y =. Προσθέτουμε αυτές τις εξισώσεις, διαιρούμε με και βρίσκουμε το x. αφαιρέστε το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση, διαιρέστε με και βρείτε το y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Σε ορισμένες περιπτώσεις τριγωνομετρικό σύστημαμπορεί να αναχθεί σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με μια κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών. Εργο. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Λύση. Η αντικατάσταση του u = sin x, v = cos y οδηγεί σε ένα αλγεβρικό σύστημα ως προς το u και το v: u + v = 1, u v = 1. Μπορείτε εύκολα να λύσετε αυτό το σύστημα μόνοι σας. Η λύση είναι μοναδική: u = 1, v = 0. Η αντίστροφη αντικατάσταση οδηγεί σε δύο απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις: sin x = 1, cos y = 0, από όπου + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Τώρα η καταχώρηση απόκρισης περιέχει δύο ακέραιες παραμέτρους k και n. Η διαφορά από τα προηγούμενα προβλήματα είναι ότι σε αυτό το σύστημα δεν υπάρχει «σκληρή» σύνδεση μεταξύ του x και του y, για παράδειγμα, με τη μορφή γραμμικής εξίσωσης), επομένως τα x και y είναι πολύ πιο ανεξάρτητα μεταξύ τους.
3 V αυτή η υπόθεσηΘα ήταν λάθος να χρησιμοποιήσετε μόνο μία ακέραια παράμετρο n, γράφοντας την απάντηση ως + n;) + n. Αυτό θα οδηγούσε στην απώλεια ενός άπειρου συνόλου 5 λύσεων στο σύστημα. Για παράδειγμα, η λύση ;) που προκύπτει στο k = 1 και n = 0 θα χαθεί Πρόβλημα 4. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Λύση. Πρώτα μετασχηματίζουμε τη δεύτερη εξίσωση: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Τώρα κάνουμε την αντικατάσταση: u = sin x, v = sin y. Παίρνουμε το σύστημα: u + v = 1, u + 4v = 1. Οι λύσεις αυτού του συστήματος είναι δύο ζεύγη: u 1 = 0, v 1 = 1/ και u = /, v = 1/6. Απομένει να γίνει η αντίστροφη αντικατάσταση: sin x \u003d 0, sin x \u003d sin y \u003d 1 ή, sin y \u003d 1 6 και γράψτε την απάντηση. κ; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Εργασία 5. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Λύση. Εδώ, για να αποκτήσετε ένα αλγεβρικό σύστημα, πρέπει να εργαστείτε ακόμη περισσότερο. Γράφουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματός μας με τη μορφή: Στη δεύτερη εξίσωση έχουμε: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Έτσι, η αρχική το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.
4 Κάνουμε τη μεταβολή u = cos x y, v = cos x + y και παίρνουμε ένα αλγεβρικό σύστημα: uv = 1, u v = 4. Οι λύσεις αυτού του συστήματος είναι δύο ζεύγη: u 1 = 1, v 1 = 1/ και u = 1, v = 1/. Το πρώτο ζεύγος δίνει το σύστημα: x y = 1, = k, Επομένως cos x y cos x + y Το δεύτερο ζεύγος δίνει το σύστημα: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + nk, n Ζ). = ± + nk). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Επομένως x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Ωστόσο, δεν είναι πάντα δυνατό να ανάγεται το σύστημα των τριγωνομετρικών εξισώσεων σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Σε ορισμένες περιπτώσεις απαιτείται η εφαρμογή διαφόρων ειδικών τεχνικών. Μερικές φορές είναι δυνατό να απλοποιηθεί το σύστημα προσθέτοντας ή αφαιρώντας εξισώσεις. Εργασία 6. Λύστε το σύστημα: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Λύση. Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις εξισώσεις, προκύπτει ένα ισοδύναμο σύστημα: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. Και αυτό το σύστημα, με τη σειρά του, είναι ισοδύναμο με τον συνδυασμό δύο συστημάτων: x + y = + k, x + y = x y = + k, ή 6 + n x y = n k, n Z). 4
5 Επομένως x = + k + n), x = + k + n), y = ή + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Μερικές φορές μπορείτε να βρείτε μια λύση πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις μεταξύ τους. Πρόβλημα 7. Λύστε το σύστημα: tg x = sin y, ctg x = cos y. Λύση. Θυμηθείτε ότι ο πολλαπλασιασμός των εξισώσεων ενός συστήματος μεταξύ τους σημαίνει τη σύνταξη μιας εξίσωσης της μορφής «το γινόμενο των αριστερών μερών είναι ίσο με το γινόμενο των δεξιών μερών». Η προκύπτουσα εξίσωση θα είναι συνέπεια του αρχικού συστήματος, δηλαδή όλες οι λύσεις του αρχικού συστήματος ικανοποιούν επίσης την εξίσωση που προκύπτει). Στην περίπτωση αυτή, ο πολλαπλασιασμός των εξισώσεων του συστήματος οδηγεί στην εξίσωση: 1 = sin y cos y = sin y, από όπου y = /4 + n n Z). Η αντικατάσταση του y σε αυτή τη μορφή στο σύστημα είναι άβολη, είναι καλύτερο να το χωρίσετε σε δύο σειρές: y 1 \u003d 4 + n, Αντικαταστήστε το y 1 στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: y \u003d 4 + n. tg x \u003d sin y 1 \u003d 1 x 1 \u003d 4 + k k Z). Είναι εύκολο να δούμε ότι η αντικατάσταση του y 1 στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος θα οδηγήσει στο ίδιο αποτέλεσμα. Τώρα αντικαταστήστε το y: tg x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Μερικές φορές η διαίρεση των εξισώσεων μεταξύ τους οδηγεί σε ένα αποτέλεσμα. Πρόβλημα 8. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Λύση. Ας μετασχηματίσουμε: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5
6 Ας εισάγουμε προσωρινά τον συμβολισμό: α = x + y, β = x y. Στη συνέχεια το προκύπτον σύστημα θα ξαναγραφεί με τη μορφή: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Είναι σαφές ότι cos β 0. Στη συνέχεια, διαιρώντας τη δεύτερη εξίσωση με την πρώτη, καταλήγουμε στην εξίσωση tg α =, η οποία είναι συνέπεια του συστήματος. Έχουμε: α = + n n Z), και πάλι, με σκοπό την περαιτέρω αντικατάσταση στο σύστημα), είναι βολικό για εμάς να διαιρέσουμε το προκύπτον σύνολο σε δύο σειρές: α 1 = + n, α = 4 + n. Η αντικατάσταση του α 1 σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος οδηγεί στην εξίσωση: cos β = 1 β 1 = k k Z). Ομοίως, η αντικατάσταση του α σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος δίνει την εξίσωση: cos β = 1 β = + k k Z). Άρα, έχουμε: δηλαδή, από όπου α 1 = + n, β 1 = k ή α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y ή + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = ή + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα. Πρόβλημα 9. Λύστε το σύστημα: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Λύση. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές κάθε εξίσωσης: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6
7 Προσθέστε τις εξισώσεις που προκύπτουν: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, από όπου sin y = 0 και y = n n Z). Αυτό είναι συνέπεια του αρχικού συστήματος. δηλαδή για οποιοδήποτε ζεύγος x? y), που είναι μια λύση στο σύστημα, ο δεύτερος αριθμός αυτού του ζεύγους θα είναι της μορφής n με κάποιο ακέραιο n. Χωρίζουμε το y σε δύο σειρές: y 1 = n, y = + n. Αντικαθιστούμε το y 1 στο αρχικό σύστημα: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι η σειρά sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Σημειώστε ότι τώρα δεν θα ήταν αρκετό να αντικαταστήσετε το y 1 σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος. Η αντικατάσταση του y 1 στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση του συστήματος οδηγεί σε ένα σύστημα δύο διαφορετικών εξισώσεων για το x.) Ομοίως, αντικαθιστούμε το y στο αρχικό σύστημα: Επομένως sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z ))) 4 + k; n+k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Μερικές φορές, κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, είναι δυνατό να αποκτήσουμε μια απλή σχέση μεταξύ αγνώστων και να εκφράσουμε ένα άγνωστο σε όρους άλλου από αυτή τη σχέση. Πρόβλημα 10. Λύστε το σύστημα: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Λύση. Στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, μετασχηματίζουμε διπλό προϊόνημίτονο στη διαφορά των συνημιτόνων: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Από εδώ εκφράζουμε το y ως x: y = x + n, 7
8 και αντικαταστήστε στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Αυτό που ακολουθεί είναι ασήμαντο. Παίρνουμε: cos x = 1, από όπου x = ± Απομένει να βρούμε το y από τη σχέση που λήφθηκε παραπάνω: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Φυσικά, τα εξεταζόμενα προβλήματα δεν καλύπτουν όλη την ποικιλία συστημάτων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Σε κάθε κάπως δύσκολη κατάσταση, απαιτείται η επίδειξη εφευρετικότητας, η οποία αναπτύσσεται μόνο με την πρακτική επίλυσης διαφόρων προβλημάτων. Όλες οι απαντήσεις υποθέτουν ότι k, n Z. Προβλήματα 1. Λύστε το σύστημα: x + y =, cos x cos y = 1. β) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4n); β) n; ιδ). Λύστε το σύστημα: x + y = 4, tg x tg y = 1 β) 6. x y = 5, sin x = sin y. Αρκτάνη 1 + n; arctan 1 n), arctan 1 + n; arctg 1 n); β) + n; 6 + n). Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, x y = 4 β). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n); β) 6 + n; 6 ιδ) 8
9 4. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. β) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; β) 1) k 4 + k; + n) 5. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, tg x + tg y =, sin x sin y = β) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n); β) Αρκτάνη 5 + k; Αρκτάνη 1 + n), Αρκτάνη 1 + Κ; arctg 5 + n) 6. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. β) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n) ; β) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1) k k n 1)) 8. Λύστε το σύστημα: sin x sin y = 1 4, tg x tg y =, cos x cos y = β) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; β) ± + k + n); ± + k n)) 9. Λύστε το σύστημα: 4 sin x cos y = 1, tg x = tg y. β) sin x \u003d cos x cos y, cos x \u003d sin x sin y) k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; β)) 4 + k ; 4+k+n9
10 10. Λύστε το σύστημα: cos x = tg cos y = tg y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + ιδ) 11. Λύστε το σύστημα:) tg 4 + x = cos y,) tg 4 x = sin y. κ; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Λύστε το σύστημα: tg x + tg y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Λύστε το σύστημα: sin x = sin y, cos x = cos y. 6+k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Λύστε το σύστημα: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Λύστε το σύστημα: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. β) ctg x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. κ; n); β)) 4 + k ; n+k; + ν) 10
11 17. «Phystech», 010) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. Moscow State University, sp. για ξένους gr-n, 01) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6n), + n; 5 6 n), n Z , n Z, n, 1, 0, 1 0. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, γεωγραφική f-t, 005) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, κατάσταση f-t. έλεγχος, 005) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x αμαρτία y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11
12 . MIPT, 199) Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctg 4 + n, arccos 4 + k) ; + arctg 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας, 1997) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων ; k, n Z 1
IV Yakovlev Πρακτικά στα μαθηματικά MathUs.ru Προβλήματα ελάχιστης τριγωνομετρίας Σε αυτό το φυλλάδιο εξετάζουμε εξισώσεις για τη λύση των οποίων χρησιμοποιούνται εκτιμήσεις του δεξιού και του αριστερού μέρους. Να γίνω
I. V. Yakovlev Υλικά στα μαθηματικά MathUs.ru Τριγωνομετρικές εξισώσεις με μέτρο Αυτό το φύλλο είναι αφιερωμένο σε τριγωνομετρικές εξισώσεις στις οποίες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις άγνωστης ποσότητας είναι
Πρακτική δουλειά: Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων διάφοροι τύποιΠρογραμματιστής: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko Σκοπός της εργασίας: 1) Επανάληψη τριγωνομετρικούς τύπουςδιπλό επιχείρημα τύποι προσθήκης,
I V Yakovlev Υλικά για τα Μαθηματικά MathUsru Τριγωνομετρικές ανισώσεις Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι σε θέση να λύσει τις απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις Προχωράμε σε περισσότερα σύνθετες εργασίεςΕργο
I. V. Yakovlev Πρακτικά στα μαθηματικά MathUs.ru Τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοί και υπολογισμοί Προβλήματα που σχετίζονται με τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοίκαι οι υπολογισμοί, κατά κανόνα, δεν είναι δύσκολοι και επομένως σπάνια
Περιεχόμενα I V Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUsru Παράλογες εξισώσειςκαι συστήματα 1 Λογιστική για ODZ 1 Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί 3 Αλλαγή μεταβλητής 6 4 Πολλαπλασιασμός με τον παρακείμενο 7 5 Συστήματα εξισώσεων
I. V. Yakovlev Υλικά στα μαθηματικά MathUs.ru Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις Ξεκινάμε τη μελέτη των τριγωνομετρικών εξισώσεων κεντρικό θέμαολόκληρο το τριγωνομετρικό τμήμα. Αφήστε ένα
Εκπαιδευτικός Οργανισμός της Διοίκησης της Επικράτειας του Κρασνογιάρσκ Κρασνογιάρσκ Κρατικό ΠανεπιστήμιοΣχολή φυσικών επιστημών με αλληλογραφία στο KrasSU Μαθηματικά: Ενότητα για την τάξη 0 Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό μέρος / Comp:
Αμετάβλητο και προβλήματα με τις παραμέτρους G.I. Falin, A.I. Κρατικό Πανεπιστήμιο Falin Moscow με το όνομα M.V. Lomonosov http://mech.math.msu.su/ falin 1 Εισαγωγή στα σύγχρονα μαθηματικά σημαντικός ρόλοςπαίζει την έννοια της αμετάβλητης, δηλ. αμετάβλητο
IV Yakovlev Πρακτικά στα μαθηματικά MthUs.ru Διερεύνηση τριγωνομετρικών συναρτήσεων Θυμηθείτε ότι μια συνάρτηση fx) ονομάζεται περιοδική εάν υπάρχει ένας αριθμός T 0 τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού
Θέμα 14ο «Αλγεβρικές εξισώσεις και συστήματα Δεν γραμμικές εξισώσεις» Ένα πολυώνυμο βαθμού n είναι ένα πολυώνυμο της μορφής P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, όπου a 0, a 1, a n-1, a n δίνονται αριθμοί , ένα 0,
IV Yakovlev Υλικά στα μαθηματικά MathUs.ru Προβλήματα εκπαίδευσης Συμμετρία σε προβλήματα με παραμέτρους 1. (Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, Faculty of Soil Science, 001) Για ποιες τιμές του b έχει ακριβώς μία ρίζα η εξίσωση; tg b = ημερολόγιο
Υπουργείο Επιστημών και Παιδείας Ρωσική ΟμοσπονδίαΚρατικό Πανεπιστήμιο Γεωδαισίας και Χαρτογραφίας της Μόσχας T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman
Μάθημα Άλγεβρας στη 10η τάξη Θέμα μαθήματος: Τρόποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων Σκοπός του μαθήματος: Γενίκευση και συστηματοποίηση των γνώσεων των μαθητών για το θέμα. Στόχοι μαθήματος: 1) Εκπαιδευτικοί - Επέκταση και εμβάθυνση
Παραδείγματα αποφάσεων εργασιών ελέγχου L.I. Terekhin, Ι.Ι. Διορθώστε 1 Δοκιμή 1 Λύση Γραμμικής Άλγεβρας εξίσωση μήτρας((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Αρχικά, εκτελούμε πολλαπλασιασμό πίνακα με
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ολοκλήρωση του γινομένου ημιτόνων και συνημιτόνων διαφόρων ορισμάτων Τριγωνομετρικοί τύποι k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας (Κρατικό Πανεπιστήμιο) Αλληλογραφία Σχολή Φυσικής και Τεχνολογίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μετασχηματισμοί ταυτότητας. Λύση
Παράλογες εξισώσεις και ανισότητες Πίνακας περιεχομένων Irrational equations Η μέθοδος ανύψωσης και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης στην ίδια δύναμη
Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Molodechno State Polytechnic College Πρακτική εργασία: Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων ανάγονται στις απλούστερες. Προγραμματιστής: I.
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ TOMSK Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Κυβερνητικής Τμήμα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Μαθηματικής Στατιστικής ΟΡΙΑ Μεθοδική
Τάξη 10, βασικό επίπεδο Εργασία 1 Επιλογή 0 (επίδειξη, με λύσεις) Μαθηματικό σχολείο αλληλογραφίας 009/010 ακαδημαϊκό έτος 1 Να εκφράσετε την έκφραση ως πολυώνυμο τυπική όψηκαι βρες το
Διαλέξεις "INDEFINITE INTEGRAL" Συντάχθηκε από: VPBelkin Διάλεξη Αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές έννοιες Ιδιότητες αόριστου ολοκληρώματος 3 Βασικός πίνακας αντιπαραγώγων 3 4 Τυπικά παραδείγματα 3 5 Το απλούστερο
4. Τριγωνομετρία Τώρα όλα είναι έτοιμα για να δώσουν αυστηρούς ορισμούς τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Με την πρώτη ματιά, θα φαίνονται μάλλον περίεργα. Ωστόσο, θα δείξουμε ότι σίγουρα
Θέμα ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ο αριθμός A ονομάζεται όριο της συνάρτησης y \u003d f), καθώς το x τείνει στο άπειρο, αν για οποιονδήποτε αυθαίρετα μικρό αριθμό ε>, υπάρχει ένας τόσο θετικός αριθμός s που για όλους > S,
Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση εκπαιδευτικό ίδρυμαπιο ψηλά επαγγελματική εκπαίδευση Ukhta State Technical University (USTU) FUNCTION LIMIT Methodical
NE DEMIDOV ΒΑΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Εγχειρίδιο για ξένους πολίτες Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Εκπαιδευτικό οργανισμός που χρηματοδοτείται από το κράτοςανώτερος επαγγελματίας
Θέμα 1 Πραγματικοί αριθμοί και πράξεις σε αυτούς 4 ώρες 11 Ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού 1 Αρχικά, οι αριθμοί έγιναν κατανοητοί μόνο ακέραιοι αριθμοί, που αρκεί για να μετρήσει μεμονωμένα είδηΕνα μάτσο
Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Στόχοι: Να εξοικειωθούν με τα είδη των τριγωνομετρικών εξισώσεων Να εξοικειωθούν με τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων. Αναπτύξτε τις δεξιότητες εφαρμογής
IV Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Συμμετρία σε προβλήματα με παραμέτρους Η συμμετρία είναι μια από τις βασικές έννοιες των μαθηματικών και της φυσικής. Γνωρίζετε τη γεωμετρική συμμετρία των σχημάτων και γενικά των διαφόρων
Δοκιμή. Δίνονται οι πίνακες A, B και D. Βρείτε το AB 9D αν: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Πολλαπλασιάστε τους πίνακες A 3 και B 3. Το προκύπτον θα είναι C μεγέθους 3 3, αποτελούμενο από στοιχεία
Διάλεξη 13: Ταξινόμηση τετραγωνικών στο επίπεδο των Ουραλίων ομοσπονδιακό πανεπιστήμιο, Ινστιτούτο Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών, Τμήμα Άλγεβρας και Διακριτών Μαθηματικών Εισαγωγικές παρατηρήσεις Στα προηγούμενα τρία
Τάξη. Βαθμός με αυθαίρετο πραγματικό εκθέτη, οι ιδιότητές του. Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητές της, γραφικά .. Ανακαλέστε τις ιδιότητες ενός βαθμού με λογικό εκθέτη. α α α α για φυσικές εποχές
Τάξη 8.3, Μαθηματικά (σχολικό βιβλίο Makarychev) Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Θέμα ενότητας 5 «Τετράγωνη ρίζα. Πτυχίο με ακέραιο δείκτη «Τα θεωρητικά και πρακτικά μέρη ελέγχονται στο τεστ. ΘΕΜΑ Να γνωρίζω Να μπορώ να γνωρίζω
Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών, VGTU-VGASU, Αναπλ. Sedaev A.A. 06 g ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ;.. από το μηδέν;.. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ;... ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΟ Αγαπητέ αναγνώστη. Αν βρεθεί αντιμέτωπος με την ανάγκη να βρει
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας ΕΘΝΙΚΟ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΟΣΧΑΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Μηχανικής και Μαθηματικών ΤΑΚΤΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ
Θέμα: Μετασχηματισμός τριγωνομετρικών παραστάσεων Λογιστική για ODZ σε τριγωνομετρικές εξισώσεις Προετοιμασία για την εξέταση (εργασία 9; ; 8) Ορισμός: Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης f g ή το πεδίο επιτρεπόμενες τιμές
Ινστιτούτο Αεροπορίας της Μόσχας (Εθνικό Πανεπιστήμιο Ερευνών) Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών Όρια Παράγωγα Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Κατευθυντήριες γραμμές και επιλογές ελέγχου
Κεφάλαιο 4 Το όριο μιας συνάρτησης 4 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αυτό το κεφάλαιο εστιάζει στην έννοια του ορίου μιας συνάρτησης. Προσδιόρισε ποιο είναι το όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο, και στη συνέχεια το όριο σε ένα σημείο, όρια
Θέμα 7 Βαθμολογία πίνακα Βάση ελάσσονα Θεώρημα κατάταξης πινάκων και οι συνέπειές του Συστήματα m γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους Θεώρημα Kronecker-Capelli Θεμελιώδη σύστημα λύσεων ομοιογενούς συστήματος γραμμικών
Θέμα 1-8: Μιγαδικοί αριθμοί A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science Department of Algebra and Discrete Mathematics Algebra and Geometry for Mechanics (1 εξάμηνο)
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Έννοιες που μπορούν να περιγραφούν, αλλά δεν μπορούν να οριστούν αυστηρά, καθώς κάθε προσπάθεια να δοθεί ένας αυστηρός ορισμός θα καταλήξει αναπόφευκτα στην αντικατάσταση της καθορισμένης έννοιας με αυτήν
Μέθοδος διαχωρισμού μεταβλητών (μέθοδος Fourier) Γενικές αρχέςμέθοδος διαχωρισμού μεταβλητών Για την απλούστερη μερική διαφορική εξίσωση, διαχωρισμός μεταβλητών είναι η αναζήτηση λύσεων της μορφής μόνο από t. u (x, t
64 Άλγεβρα 7ης τάξης (5 ώρες την εβδομάδα, 175 ώρες) Αλγεβρικό στοιχείο (3 ώρες την εβδομάδα) 105 ώρες και γεωμετρικό στοιχείο (2 ώρες την εβδομάδα) 70 ώρες Χρησιμοποιείται οδηγούς μελέτης: 1. Arefieva, I. G. Algebra: σχολικό βιβλίο. επίδομα
Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας Gubkin Russian State University of Oil and Gas VI Ivanov Οδηγίες για τη μελέτη του θέματος "ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ" (για φοιτητές
Πρακτικό μάθημαΘέμα: Συνάρτηση Τομέας ορισμού και συνόλου τιμών συνάρτησης Σκοπός: Σχηματισμός δεξιοτήτων για εύρεση του τομέα ορισμού συναρτήσεων και υπολογισμός ιδιωτικών τιμών συναρτήσεων Να ολοκληρωθεί
ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 0 Υπενθυμίζεται ότι οι λύσεις εργασιών υποβάλλονται για επαλήθευση μόνο από το τμήμα Λύσεις εργασιών εξαρτημάτων και εκτελούνται σε προσχέδια και δεν επηρεάζουν με κανέναν τρόπο την αξιολόγηση Κατά την ολοκλήρωση εργασιών του τμήματος
57(07) Δ ΓΔ Demyanov ΑΒΕΒΑΙΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ Οδηγός μελέτης Chelyabinsk 00
Phystech 0, 0 τάξη, λύσεις εισιτηρίων cos x cosx Λύστε την εξίσωση = cos x sin x Απάντηση x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Λύση Υπάρχουν δύο περιπτώσεις cos x cos x sin x sin x α) cos x 0 Τότε = = tg x = x =
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΥΠΟΛΟΣ Η επιτυχία στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων, στην απόδειξη τριγωνομετρικών ταυτοτήτων και στην επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από τη γνώση των βασικών
Μάθημα 14 Μιγαδικοί αριθμοί. LOD με σταθερούς συντελεστές. 14.1 Μιγαδικοί αριθμοί Ένας μιγαδικός αριθμός είναι μια έκφραση της μορφής z = x + iy, όπου x R. Υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του συνόλου
Ερώτηση Τι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Απάντηση Φυσικοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στη μέτρηση Τι είναι οι κλάσεις και τα ψηφία στη γραφή αριθμών; Πώς ονομάζονται οι αριθμοί όταν προστίθενται; Διατυπώστε έναν συνειρμικό
A A KIRSANOV COMPLEX NUMBERS PSKOV BBK 57 K45 Εκδόθηκε με απόφαση του Τμήματος Άλγεβρας και Γεωμετρίας και του Συντακτικού και Εκδοτικού Συμβουλίου του PSPI με το όνομα SM Kirov Κριτής: Medvedeva IN, Υποψήφια Φυσικής και Μαθηματικών, Αναπληρωτής Καθηγητής
Διάλεξη Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης (DE-) Γενική μορφήη διαφορική εξίσωση της τάξης n θα γραφεί: (n) F, = 0 () Η εξίσωση της τάξης (n =) θα πάρει τη μορφή F(,) = 0 Παρόμοιες εξισώσεις
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Khabarovsk 01 ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "Πολιτεία του Ειρηνικού
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Κρατικό Πανεπιστήμιο Αρχιτεκτονικής και Πολιτικών Μηχανικών Αγίας Πετρούπολης V B SMIRNOV, L E MOROZOV ΤΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εκπαιδευτικές
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, τάξη Απαντήσεις και κριτήρια, Απρίλιος Επιλογή / εργασίες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ В В В В4 В В7 С 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4.4.8 4 4, 4, 9, 4 (;) (log ;) + n, 8 49 8.7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7
Προϋποθέσεις εργασίας 1 δημοτική σκηνήΒαθμός 8 1. Δύο αριθμοί είναι γραμμένοι στον μαυροπίνακα. Το ένα από αυτά αυξήθηκε κατά 6 φορές και το άλλο μειώθηκε έως το 2015, ενώ το άθροισμα των αριθμών δεν άλλαξε. Βρείτε τουλάχιστον ένα ζευγάρι
Αόριστο ολοκλήρωμα Εισαγωγικός ορισμός Μια συνάρτηση F() ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια δεδομένη συνάρτηση f() εάν F() f(), ή ισοδύναμα, df f d Αυτή η λειτουργίαΗ f() μπορεί να έχει διαφορετικά αντιπαράγωγα,
Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας Ανορθολογικές εξισώσεις και ανισότητες Εργαλειοθήκηστην προετοιμασία για τις Ολυμπιάδες Συντάχθηκε από: Parkevich Egor Vadimovich Moscow 04 Εισαγωγή Σε αυτή την εργασία, θα εξετάσουμε
ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Ένα διάνυσμα είναι ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό που δεν έχει μόνο αριθμητική τιμή, αλλά και κατεύθυνση.Μερικές φορές λένε ότι ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα Διανυσματικό σύστημα
εκθετικές εξισώσεις. Μέθοδοι λύσης. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Μια εκθετική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιέχει μια μεταβλητή μόνο στον εκθέτη. Εξετάστε διάφορους τύπους εκθετικές εξισώσεις,
MAV (C) OU "CO 1" Μαθηματικά 1η τάξη Τριγωνομετρία PASS 1, Πίνακες, χαρτιά δοκιμής, τεστ Δάσκαλος Νέμοβα Ν.Μ. Πρώτο προσόν 15 ακαδημαϊκό έτος Επεξηγηματικό σημείωμα. Αυτό το διδακτικό υλικό προορίζεται
Αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές έννοιες και τύποι 1. Ορισμός αντιπαραγώγου και αόριστου ολοκληρώματος. Ορισμός. Η συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) στο διάστημα
ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων Ένα ορθολογικό κλάσμα είναι ένα κλάσμα της μορφής P Q, όπου τα P και Q είναι πολυώνυμα Ένα ορθολογικό κλάσμα ονομάζεται σωστό εάν ο βαθμός του πολυωνύμου P είναι μικρότερος από τον βαθμό
IV Yakovlev Υλικά στα μαθηματικά MthUs.ru Το άρθρο συντάχθηκε από κοινού με τον AG Malkova Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Το προηγούμενο άρθρο ήταν αφιερωμένο στην κύρια ιδέα της επίλυσης του απλούστερου τριγωνομετρικού
Θέμα Αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκλήρωση κατά μέρη Έστω u και v δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις του ίδιου ορίσματος Είναι γνωστό ότι d(u v) udv vdu (77) Πάρτε και από τα δύο
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας (Κρατικό Πανεπιστήμιο) Αλληλογραφία Σχολή Φυσικής και Τεχνολογίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τετραγωνικές εξισώσεις Εργασία για 8 μαθητές
Προβλήματα σε μία ενέργεια με ακέραιους αριθμούς (τυπική) σελίδα 1 09/06/2012 1) Λύστε την ανίσωση: x 7 17. 2) Πολλαπλασιάστε το 612 με το 100000. 3) Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των αριθμών 661 και 752; 4) Συγκρίνετε εκφράσεις: 54 6 και 7.
ΔΙΑΛΕΞΗ Ν Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης, μέθοδοι επίλυσης Πρόβλημα Cauchy Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης,
Μαθήματα 54-55. Συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων (προαιρετικά)
09.07.2015 9099 895Στόχος: εξετάστε τα πιο τυπικά συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων και τρόπους επίλυσής τους.
Ι. Επικοινωνία του θέματος και των στόχων των μαθημάτων
II. Επανάληψη και εμπέδωση του καλυπτόμενου υλικού
1. Απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με εργασία για το σπίτι(ανάλυση άλυτων προβλημάτων).
2. Παρακολούθηση αφομοίωσης του υλικού (ανεξάρτητη εργασία).
Επιλογή 1
Λύστε την ανισότητα:
Επιλογή 2
Λύστε την ανισότητα:
III. Εκμάθηση νέου υλικού
Στις εξετάσεις, τα συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ λιγότερο κοινά από τις τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις. Δεν υπάρχει σαφής ταξινόμηση συστημάτων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επομένως, τα χωρίζουμε υπό όρους σε ομάδες και εξετάζουμε τρόπους επίλυσης αυτών των προβλημάτων.
1. Τα απλούστερα συστήματα εξισώσεων
Αυτά περιλαμβάνουν συστήματα στα οποία είτε μία από τις εξισώσεις είναι γραμμική είτε οι εξισώσεις του συστήματος μπορούν να λυθούν ανεξάρτητα η μία από την άλλη.
Παράδειγμα 1
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων
Εφόσον η πρώτη εξίσωση είναι γραμμική, εκφράζουμε τη μεταβλητή από αυτήνκαι αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση:
Χρησιμοποιούμε τον τύπο αναγωγής και τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Παίρνουμε την εξίσωσηή Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητήτ = αμαρτία y. Έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, του οποίου οι ρίζες t 1 \u003d 1/3 και t 2 = 2 (δεν είναι κατάλληλο, γιατίαμαρτία y ≤ 1). Ας επιστρέψουμε στο παλιό άγνωστο και ας πάρουμε την εξίσωσηαμαρτωλός = 1/3, του οποίου η λύση
Τώρα είναι εύκολο να βρεις το άγνωστο:Άρα, το σύστημα των εξισώσεων έχει λύσειςόπου n ∈ Z .
Παράδειγμα 2
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων 
Οι εξισώσεις του συστήματος είναι ανεξάρτητες. Επομένως, είναι δυνατή η καταγραφή των λύσεων κάθε εξίσωσης. Παίρνουμε:
Προσθέτουμε και αφαιρούμε τις εξισώσεις αυτού του συστήματος γραμμικών εξισώσεων ανά όρο και βρίσκουμε:
που 
Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι, λόγω της ανεξαρτησίας των εξισώσεων, κατά την εύρεση των x - y και x + y, πρέπει να υποδεικνύονται διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί n και k . Αν αντί για κ παραδόθηκε επίσης n , τότε οι λύσεις θα έχουν την εξής μορφή:
Σε αυτή την περίπτωση, ένα άπειρο σύνολο λύσεων θα χαθεί και, επιπλέον, θα προέκυπτε μια σύνδεση μεταξύ των μεταβλητώνΧ και y: x = 3y (που στην πραγματικότητα δεν ισχύει). Για παράδειγμα, είναι εύκολο να το ελέγξετε αυτό το σύστημαέχει λύση x = 5π και y = n (σύμφωνα με τους ληφθέντες τύπους), η οποία, όταν k = n αδύνατο να βρεθεί. Οπότε να προσέχεις.
2. Προβολή συστημάτων 
Τέτοια συστήματα ανάγονται στα απλούστερα με την προσθήκη και την αφαίρεση εξισώσεων. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε συστήματα
ή 
Σημειώστε τον προφανή περιορισμό:Και Η ίδια η λύση τέτοιων συστημάτων δεν είναι δύσκολη.
Παράδειγμα 3
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων 
Ας μετατρέψουμε πρώτα τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος χρησιμοποιώντας την ισότηταΠαίρνουμε: 
Αντικαταστήστε την πρώτη εξίσωση με τον αριθμητή αυτού του κλάσματος:
και εκφράζουν 
Τώρα έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων
Ας προσθέσουμε και ας αφαιρέσουμε αυτές τις εξισώσεις. Εχουμε: 
ή
Καταγράφουμε τις λύσεις αυτού του απλούστερου συστήματος:
Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις γραμμικές εξισώσεις, βρίσκουμε:
3. Προβολή συστημάτων
Τέτοια συστήματα μπορούν να θεωρηθούν ως τα πιο απλά και να επιλυθούν ανάλογα. Ωστόσο, υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να το λύσετε: να μετατρέψετε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο και να χρησιμοποιήσετε την υπόλοιπη εξίσωση.
Παράδειγμα 4
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων 
Αρχικά, μετασχηματίζουμε την πρώτη εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων των γωνιών. Παίρνουμε:
Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση, έχουμε:
που 
Γράφουμε τις λύσεις αυτής της εξίσωσης:Λαμβάνοντας υπόψη τη δεύτερη εξίσωση αυτού του συστήματος, προκύπτει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων
Από αυτό το σύστημα βρίσκουμε 
Είναι βολικό να γράφετε τέτοιες λύσεις σε πιο ορθολογική μορφή. Για τα ανώτερα ζώδια έχουμε:
για χαμηλότερα ζώδια -
4. Προβολή συστημάτων
Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ληφθεί μια εξίσωση που περιέχει μόνο έναν άγνωστο. Για αυτό, για παράδειγμα, εκφράζουμε από μια εξίσωσηαμαρτία υ, από άλλο - cos y. Τετραγωνίζουμε αυτές τις αναλογίες και τις προσθέτουμε. Τότε παίρνουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση που περιέχει τον άγνωστο x. Ας λύσουμε αυτή την εξίσωση. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε εξίσωση αυτού του συστήματος, παίρνουμε μια εξίσωση για την εύρεση του αγνώστου y.
Παράδειγμα 5
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων 
Γράφουμε το σύστημα στη φόρμα
Ας τετραγωνίσουμε κάθε εξίσωση του συστήματος και πάρουμε:
Προσθέτουμε τις εξισώσεις αυτού του συστήματος:ή Χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, γράφουμε την εξίσωση στη μορφήή 
Λύσεις αυτής της εξίσωσης cos x = 1/2 (τότε 
) και cos x = 1/4 (όπου 
), όπου n , k ∈ Z . Λαμβάνοντας υπόψη τη σύνδεση μεταξύ των αγνώστων cos y \u003d 1 - 3 cos x, παίρνουμε: για cos x \u003d 1/2 cos y \u003d -1/2; για cos x = 1/4 cos y = 1/4. Πρέπει να θυμόμαστε ότι κατά την επίλυση του συστήματος εξισώσεων, πραγματοποιήθηκε τετραγωνισμός και αυτή η λειτουργία θα μπορούσε να οδηγήσει στην εμφάνιση εξωτερικών ριζών. Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η πρώτη εξίσωση αυτού του συστήματος, από την οποία προκύπτει ότι οι ποσότητεςαμαρτία x και αμαρτία πρέπει να έχει το ίδιο πρόσημο.
Με αυτό κατά νου, λαμβάνουμε λύσεις αυτού του συστήματος εξισώσεων
Και 
όπου n, m, k, l ∈ Z . Σε αυτή την περίπτωση, για άγνωστα x και y, επιλέγονται ταυτόχρονα είτε το ανώτερο είτε το κατώτερο πρόσημο.
Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση
το σύστημα μπορεί να λυθεί μετατρέποντας το άθροισμα (ή τη διαφορά) των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο και στη συνέχεια όρο προς όρο διαιρώντας τις εξισώσεις μεταξύ τους.
Παράδειγμα 6
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων
Σε κάθε εξίσωση, μετατρέπουμε το άθροισμα και τη διαφορά των συναρτήσεων σε γινόμενο και διαιρούμε κάθε εξίσωση με το 2. Παίρνουμε:
Επειδή κανένας από τους παράγοντες στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων μηδέν, στη συνέχεια διαιρούμε τις εξισώσεις η μία στην άλλη κατά όρο (για παράδειγμα, τη δεύτερη με την πρώτη). Παίρνουμε:
που 
Αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκεΓια παράδειγμα, στην πρώτη εξίσωση:
Το λαμβάνουμε υπόψη 
Επειτα 
που 
Πήρε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων
Προσθέτοντας και αφαιρώντας τις εξισώσεις αυτού του συστήματος, βρίσκουμε
Και 
όπου n , k ∈ Z .
5. Συστήματα επιλύσιμα με αντικατάσταση αγνώστων
Εάν το σύστημα περιέχει μόνο δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις ή ανάγεται σε μια τέτοια μορφή, τότε είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την αλλαγή των αγνώστων.
Παράδειγμα 7
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων
Δεδομένου ότι αυτό το σύστημα περιλαμβάνει μόνο δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις, εισάγουμε νέες μεταβλητές a = tg x και b = αμαρτία y. Λαμβάνουμε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων
Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε ένα =σι + 3 και αντικαταστήστε στο δεύτερο:
ή 
Οι ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης b 1 = 1 και b 2 = -4. Οι αντίστοιχες τιμές είναι a1 = 4 και a2 = -1. Επιστροφή στα παλιά άγνωστα. Λαμβάνουμε δύο συστήματα των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων:
α) την απόφασή της 
όπου n , k ∈ Z .
σι) δεν έχει λύσεις, γιατί sin y ≥ -1.
Παράδειγμα 8
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων
Ας μετατρέψουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος έτσι ώστε να περιέχει μόνο τις συναρτήσεις sin x και cos y. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο μείωσης. Παίρνουμε:
(που 
) Και 
(Επειτα 
). Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος έχει τη μορφή:ή 
Έχουμε ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεων
Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές a = sin x και b = cos y. Έχουμε ένα συμμετρικό σύστημα εξισώσεων 
η μόνη λύση στην οποίαα = β = 1/2. Ας επιστρέψουμε στα παλιά άγνωστα και ας πάρουμε το απλούστερο σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεωντου οποίου η λύση 
όπου n , k ∈ Z .
6. Συστήματα για τα οποία είναι σημαντικές οι ιδιομορφίες των εξισώσεων
Στην πράξη, κατά την επίλυση οποιουδήποτε συστήματος εξισώσεων, χρησιμοποιείται ένα ή άλλο χαρακτηριστικό του. Συγκεκριμένα, ένα από τα πιο γενικές τεχνικέςΟι λύσεις συστήματος είναι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί που καθιστούν δυνατή τη λήψη μιας εξίσωσης που περιέχει μόνο έναν άγνωστο. Η επιλογή των μετασχηματισμών, φυσικά, καθορίζεται από τις ιδιαιτερότητες των εξισώσεων του συστήματος.
Παράδειγμα 9
Ας λύσουμε το σύστημα 
Ας δώσουμε προσοχή στις αριστερές πλευρές των εξισώσεων, για παράδειγμα, προςΧρησιμοποιώντας τους τύπους αναγωγής, φτιάχνουμε μια συνάρτηση με το όρισμα π/4 + x. Παίρνουμε:
Τότε το σύστημα των εξισώσεων έχει τη μορφή:
Για να εξαλείψουμε τη μεταβλητή x, πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις όρο προς όρο και παίρνουμε:
ή 1 \u003d sin 3 2y, από όπου sin 2y \u003d 1. Βρίσκουμε 
Και 
Είναι βολικό να εξετάζουμε χωριστά τις περιπτώσεις ζυγών και περιττών τιμών n. Για άρτιο n (n = 2 k , όπου k ∈ Z ) Τότε από την πρώτη εξίσωση αυτού του συστήματος παίρνουμε:
όπου m ∈ Z . Για περίεργο Τότε από την πρώτη εξίσωση έχουμε:
Αυτό το σύστημα λοιπόν έχει λύσεις
Όπως και στην περίπτωση των εξισώσεων, αρκετά συχνά υπάρχουν συστήματα εξισώσεων στα οποία ουσιαστικό ρόλοπαίζει το όριο των συναρτήσεων ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς.
Παράδειγμα 10
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων
Πρώτα απ 'όλα, μετασχηματίζουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος:
ή 
ή ή 
ή 
Δεδομένου του ορίου της συνάρτησης ημιτόνου, βλέπουμε ότι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης δεν είναι μικρότερη από 2, και δεξί μέροςτο πολύ 2. Επομένως, αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις συνθήκες sin 2 2x \u003d 1 και sin 2 y \u003d 1.
Γράφουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος στη μορφή sin 2 y \u003d 1 - cos 2 z ή sin 2 y \u003d sin 2 z, και μετά sin 2 z = 1. Αποκτήσαμε ένα σύστημα απλών τριγωνομετρικών εξισώσεωνΧρησιμοποιώντας τον τύπο μείωσης ισχύος, γράφουμε το σύστημα στη φόρμα
ή 
Επειτα 
Φυσικά, όταν λύνουμε άλλα συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να προσέχουμε και τα χαρακτηριστικά αυτών των εξισώσεων.
Λήψη υλικού
Δείτε το αρχείο με δυνατότητα λήψης για το πλήρες κείμενο.
Η σελίδα περιέχει μόνο ένα τμήμα του υλικού.
Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων
Εισαγωγή 2
Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων 5
Αλγεβρική 5
Επίλυση εξισώσεων με χρήση της συνθήκης ισότητας τριγωνομετρικών συναρτήσεων με το ίδιο όνομα 7
Factoring 8
Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση 10
Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας 11
Μετατροπή προϊόντος σε άθροισμα 14
Καθολική αντικατάσταση 14
Συμπέρασμα 17
Εισαγωγή
Μέχρι τη δέκατη τάξη, η σειρά των ενεργειών πολλών ασκήσεων που οδηγούν στον στόχο, κατά κανόνα, ορίζεται ξεκάθαρα. Για παράδειγμα, γραμμικό και τετραγωνικές εξισώσειςκαι ανισότητες κλασματικές εξισώσειςκαι εξισώσεις αναγώγιμες σε τετραγωνικούς κ.λπ. Χωρίς να αναλύσουμε λεπτομερώς την αρχή της επίλυσης καθενός από τα παραδείγματα που αναφέρθηκαν, σημειώνουμε το γενικό που είναι απαραίτητο για την επιτυχή επίλυσή τους.
Στις περισσότερες περιπτώσεις, πρέπει να καθορίσετε τι είδους εργασία είναι, να θυμάστε τη σειρά των ενεργειών που οδηγούν στον στόχο και να εκτελέσετε αυτές τις ενέργειες. Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία του μαθητή στην κατάκτηση των μεθόδων επίλυσης εξισώσεων εξαρτάται κυρίως από το πόσο θα είναι σε θέση να προσδιορίσει σωστά τον τύπο της εξίσωσης και να θυμηθεί την ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, αυτό προϋποθέτει ότι ο μαθητής έχει τις δεξιότητες να εκτελεί πανομοιότυπους μετασχηματισμούς και υπολογισμούς.
Μια εντελώς διαφορετική κατάσταση συμβαίνει όταν ένας μαθητής συναντά τριγωνομετρικές εξισώσεις. Ταυτόχρονα, δεν είναι δύσκολο να διαπιστωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά την εύρεση μιας πορείας δράσης που θα οδηγούσε σε θετικό αποτέλεσμα. Και εδώ ο μαθητής αντιμετωπίζει δύο προβλήματα. Με εμφάνισηοι εξισώσεις είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος. Και χωρίς να γνωρίζετε τον τύπο, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε την επιθυμητή φόρμουλα από τις πολλές δεκάδες διαθέσιμες.
Για να βοηθήσουν τους μαθητές να βρουν το δρόμο τους μέσα από τον σύνθετο λαβύρινθο των τριγωνομετρικών εξισώσεων, εισάγονται αρχικά στις εξισώσεις, οι οποίες, μετά την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής, ανάγονται σε τετράγωνες. Στη συνέχεια λύστε ομοιογενείς εξισώσεις και ανάγονται σε αυτές. Όλα τελειώνουν, κατά κανόνα, με εξισώσεις, για τη λύση των οποίων είναι απαραίτητο να παραγοντοποιηθεί αριστερή πλευρά, τότε εξισώνοντας κάθε έναν από τους παράγοντες με μηδέν.
Συνειδητοποιώντας ότι οι μιάμιση ντουζίνα εξισώσεις που αναλύονται στα μαθήματα σαφώς δεν επαρκούν για να αφήσουν τον μαθητή να πλεύσει ανεξάρτητα στην τριγωνομετρική «θάλασσα», ο δάσκαλος προσθέτει μερικές ακόμη συστάσεις από τον εαυτό του.
Για να λύσουμε την τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσουμε:
Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις "ίδιες γωνίες".
Φέρτε την εξίσωση στις "ίδιες συναρτήσεις".
Παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.
Όμως, παρά τη γνώση των κύριων τύπων τριγωνομετρικών εξισώσεων και πολλές αρχές για την εύρεση της επίλυσής τους, πολλοί μαθητές εξακολουθούν να βρίσκονται σε αδιέξοδο μπροστά από κάθε εξίσωση που διαφέρει ελαφρώς από αυτές που είχαν λυθεί προηγουμένως. Παραμένει ασαφές τι πρέπει να επιδιώξουμε, έχοντας αυτή ή εκείνη την εξίσωση, γιατί σε μια περίπτωση είναι απαραίτητο να εφαρμόσουμε τους τύπους διπλή γωνία, σε άλλο - μισό, και στον τρίτο - τύποι προσθήκης κ.λπ.
Ορισμός 1.Τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο περιέχεται κάτω από το πρόσημο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ορισμός 2.Μια τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται ότι έχει τις ίδιες γωνίες εάν όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτήν έχουν ίσα ορίσματα. Μια τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται ότι έχει τις ίδιες συναρτήσεις εάν περιέχει μόνο μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Ορισμός 3.Ο βαθμός ενός μονωνύμου που περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το άθροισμα των εκθετών των δυνάμεων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που περιλαμβάνονται σε αυτό.
Ορισμός 4.Μια εξίσωση ονομάζεται ομοιογενής αν όλα τα μονοώνυμα σε αυτήν έχουν τον ίδιο βαθμό. Αυτός ο βαθμός ονομάζεται τάξη της εξίσωσης.
Ορισμός 5.Τριγωνομετρική εξίσωση που περιέχει μόνο συναρτήσεις αμαρτίαΚαι cos, ονομάζεται ομοιογενής αν όλα τα μονώνυμα ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν τον ίδιο βαθμό, και οι ίδιες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ίσες γωνίεςκαι ο αριθμός των μονοωνύμων είναι 1 μεγαλύτερος από τη σειρά της εξίσωσης.
Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Η λύση των τριγωνομετρικών εξισώσεων αποτελείται από δύο στάδια: τον μετασχηματισμό της εξίσωσης για να αποκτήσει την απλούστερη μορφή της και τη λύση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης που προκύπτει. Υπάρχουν επτά βασικές μέθοδοι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Εγώ. αλγεβρική μέθοδος.Αυτή η μέθοδος είναι πολύ γνωστή από την άλγεβρα. (Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητών και αντικατάστασης).
Λύστε εξισώσεις.
1)
Ας εισάγουμε τη σημειογραφία Χ=2 αμαρτία3 t, παίρνουμε
Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε: 
ή 
εκείνοι. μπορεί να γραφτεί
Κατά τη σύνταξη της λύσης που λαμβάνεται λόγω της παρουσίας σημείων 
βαθμός 
δεν έχει νόημα να γράψω.
Απάντηση: 
Δείχνω 
Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση 
. Οι ρίζες του είναι αριθμοί 
Και 
. Επομένως, αυτή η εξίσωση ανάγεται στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις 
Και 
. Λύνοντάς τα, διαπιστώνουμε ότι 
ή 
.
Απάντηση: 
; 
.
Δείχνω 
δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση 
Που σημαίνει 
Απάντηση: 
Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
Έτσι, αυτή η αρχική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως:
, δηλ.
Δηλώνοντας 
, παίρνουμε 
Λύνοντας αυτήν την τετραγωνική εξίσωση, έχουμε:
δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση 
Γράφουμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης:
Απάντηση: 
Υποκατάσταση 
ανάγει αυτή την εξίσωση σε δευτεροβάθμια εξίσωση 
. Οι ρίζες του είναι αριθμοί 
Και 
. Επειδή 
, τότε η δεδομένη εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Απάντηση: χωρίς ρίζες.
II. Επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας την συνθήκη ισότητας των ομώνυμων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
ΕΝΑ) 
, Αν
σι) 
, Αν
V) 
, Αν 
Χρησιμοποιώντας αυτές τις συνθήκες, εξετάστε τη λύση των παρακάτω εξισώσεων:
6) 
Χρησιμοποιώντας αυτό που ειπώθηκε στο στοιχείο α), βρίσκουμε ότι η εξίσωση έχει λύση αν και μόνο αν 
.
Λύνοντας αυτή την εξίσωση, βρίσκουμε 
.
Έχουμε δύο ομάδες λύσεων: 
.
7) Λύστε την εξίσωση: 
.
Χρησιμοποιώντας την προϋπόθεση του μέρους β) συμπεραίνουμε ότι 
.
Λύνοντας αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, παίρνουμε:
.
8) Λύστε την εξίσωση 
.
Από αυτή την εξίσωση συμπεραίνουμε ότι . Λύνοντας αυτήν την τετραγωνική εξίσωση, βρίσκουμε ότι 
.
III. Παραγοντοποίηση.
Εξετάζουμε αυτή τη μέθοδο με παραδείγματα.
9) Λύστε την εξίσωση 
.
Λύση. Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους της εξίσωσης προς τα αριστερά: .
Μετασχηματίζουμε και παραγοντοποιούμε την παράσταση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης: 
.
.
.
1)
2) 
Επειδή 
Και 
μην πάρετε την τιμή null
ταυτόχρονα, τότε χωρίζουμε και τα δύο μέρη
εξισώσεις για 
, 
Απάντηση: 
10) Λύστε την εξίσωση:
Λύση.
ή 
Απάντηση: 
11) Λύστε την εξίσωση
Λύση:
1)
2)
3)
, 
Απάντηση: 
IV. Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση.
Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση, χρειάζεστε:
Μετακινήστε όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά.
Βγάλ' τα όλα κοινούς παράγοντεςγια παρενθέσεις?
Εξισώστε όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με μηδέν.
Οι παρενθέσεις που ισοδυναμούν με το μηδέν δίνουν μια ομοιογενή εξίσωση μικρότερου βαθμού, η οποία πρέπει να διαιρεθεί με 
(ή 
) στο ανώτερο πτυχίο?
Λήψη επίλυσης αλγεβρική εξίσωσησχετικά 
.
Εξετάστε παραδείγματα:
12) Λύστε την εξίσωση:
Λύση.
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 
, 
Παρουσιάζοντας τη σημειογραφία 
, όνομα
οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι: 
από εδώ 1) 
2) 
Απάντηση: 
13) Λύστε την εξίσωση:
Λύση. Χρησιμοποιώντας τους τύπους διπλής γωνίας και τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, ανάγουμε αυτήν την εξίσωση σε ένα μισό όρισμα:
Αφού μειώσουμε τους ομοίους όρους, έχουμε:
Διαιρώντας την ομοιογενή τελευταία εξίσωση με 
, παίρνουμε
θα ορίσω 
, παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση 
, του οποίου οι ρίζες είναι αριθμοί 
Ετσι 
Εκφραση 
εξαφανίζεται στο 
, δηλ. στο 
, 
.
Η λύση μας στην εξίσωση δεν περιλαμβάνει αυτούς τους αριθμούς.
Απάντηση: 
, .
V. Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας.
Θεωρήστε μια εξίσωση της μορφής
Οπου α, β, γ- συντελεστές, Χ- άγνωστο.
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με 
Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή: το μέτρο του καθενός από αυτά δεν υπερβαίνει το ένα και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 1.
Στη συνέχεια μπορούμε να τα χαρακτηρίσουμε ανάλογα 
(Εδώ 
- βοηθητική γωνία) και η εξίσωσή μας παίρνει τη μορφή: .
Επειτα 
Και η απόφασή του
Σημειώστε ότι ο συμβολισμός που εισάγεται είναι εναλλάξιμος.
14) Λύστε την εξίσωση: 
Λύση. Εδώ 
, οπότε διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 
Απάντηση: 
15) Λύστε την εξίσωση
Λύση. Επειδή 
, τότε αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση
Επειδή 
, τότε υπάρχει μια γωνία τέτοια που 
, 
(εκείνοι. 
).
Εχουμε 
Επειδή 
, τότε τελικά παίρνουμε:
.
Σημειώστε ότι μια εξίσωση της μορφής έχει λύση αν και μόνο αν 
16) Λύστε την εξίσωση:
Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, ομαδοποιούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τα ίδια ορίσματα
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με δύο
Μετατρέπουμε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο:
Απάντηση: 
VI. Μετατροπή προϊόντος σε άθροισμα.
Εδώ χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχοι τύποι.
17) Λύστε την εξίσωση:
Λύση. Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά σε άθροισμα:
VII.Καθολική αντικατάσταση.
, 
αυτοί οι τύποι ισχύουν για όλους 
Υποκατάσταση 
που ονομάζεται καθολική.
18) Λύστε την εξίσωση: 
Λύση: Αντικαταστήστε και 
στην έκφρασή τους μέσω 
και δηλώνουν 
.
Παίρνουμε μια ορθολογική εξίσωση 
, το οποίο μετατρέπεται σε τετράγωνο 
.
Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 
.
Επομένως, το πρόβλημα περιορίστηκε στην επίλυση δύο εξισώσεων 
.
Το βρίσκουμε 
.
Προβολή αξίας 
δεν ικανοποιεί την αρχική εξίσωση, η οποία επαληθεύεται με έλεγχο - αντικατάσταση δεδομένη αξία tστην αρχική εξίσωση.
Απάντηση: 
.
Σχόλιο. Η εξίσωση 18 θα μπορούσε να λυθεί με διαφορετικό τρόπο.
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με το 5 (δηλ. με 
): 
.
Επειδή 
, τότε υπάρχει ένας αριθμός 
, Τι 
Και 
. Άρα η εξίσωση γίνεται: 
ή 
. Από εδώ το βρίσκουμε 
Οπου 
.
19) Λύστε την εξίσωση 
.
Λύση. Δεδομένου ότι οι λειτουργίες 
Και 
έχω υψηλότερη τιμήίσο με 1, τότε το άθροισμά τους είναι ίσο με 2 αν 
Και 
, ταυτόχρονα δηλαδή 
.
Απάντηση: 
.
Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης χρησιμοποιήθηκε το όριο των συναρτήσεων και.
Συμπέρασμα.
Δουλεύοντας στο θέμα «Λύσεις τριγωνομετρικών εξισώσεων», είναι χρήσιμο για κάθε δάσκαλο να ακολουθήσει τις ακόλουθες συστάσεις:
Συστηματοποίηση μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Επιλέξτε μόνοι σας τα βήματα για να εκτελέσετε την ανάλυση της εξίσωσης και τα σημάδια της σκοπιμότητας χρήσης μιας ή άλλης μεθόδου λύσης.
Να σκεφτούμε τρόπους αυτοελέγχου της δραστηριότητας για την εφαρμογή της μεθόδου.
Μάθετε να κάνετε τις «δικές σας» εξισώσεις για καθεμία από τις μεθόδους που μελετήθηκαν.
Αίτηση Νο. 1
Λύστε ομοιογενείς ή αναγώγιμες εξισώσεις.
1. | Μαλλομέταξο ύφασμα. |
Μαλλομέταξο ύφασμα. |
|
Μαλλομέταξο ύφασμα. |
|
5. | Μαλλομέταξο ύφασμα. |
Μαλλομέταξο ύφασμα. |
|
7. | Μαλλομέταξο ύφασμα. |
Μαλλομέταξο ύφασμα. |
|
Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται από τον άνθρωπο από την αρχαιότητα και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι όλες οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν μια μεταβλητή που βρίσκεται κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης. Για παράδειγμα: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Η λύση των τριγωνομετρικών εξισώσεων ανάγεται στις ακόλουθες υποεργασίες:
* λύση της εξίσωσης.
* επιλογή ριζών.
Η απάντηση σε τέτοιες εξισώσεις γράφεται στο:
βαθμούς?
Radians.
Για την επίλυση αυτού του είδους της εξίσωσης, είναι απαραίτητο να μετατραπεί η εξίσωση σε μία/πολλές βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] Και η λύση τέτοιων βασικών εξισώσεων είναι να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μετατροπών ή να αναζητήσετε τις θέσεις \[x\] στον μοναδιαίο κύκλο.
Για παράδειγμα, δοσμένες τριγωνομετρικές εξισώσεις, που επιλύονται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών, της ακόλουθης μορφής:
\[\tan (x - \pi/4) = 0\]
Απάντηση: \
\[\cot2x = 1.732\]
Απάντηση: x = \[\pi /12 + \pi n\]
\[\sin x = 0,866\]
Απάντηση: \[ x = \pi/3 \]
Πού μπορώ να λύσω ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεων διαδικτυακά δωρεάν;
Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπο https:// site μας. Ο δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα λύσει την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε τις οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.
Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα , ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισώσεις, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε δευτεροβάθμιες. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τις παραπάνω εργασίες είναι η εξής: είναι απαραίτητο να καθοριστεί ποιος τύπος εργασίας επιλύεται, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν σε επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.
Προφανώς, η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.
Μια διαφορετική κατάσταση παρουσιάζεται με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι δύσκολο να διαπιστωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.
Μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του από την εμφάνιση μιας εξίσωσης. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.
Για να λύσουμε την τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσουμε:
1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις "ίδιες γωνίες".
2. Φέρτε την εξίσωση στις "ίδιες συναρτήσεις"?
3. παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.
Σκεφτείτε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.εξπρές τριγωνομετρική συνάρτησημέσω γνωστών εξαρτημάτων.
Βήμα 2Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τύπους:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n τόξο a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Βήμα 3Βρείτε μια άγνωστη μεταβλητή.
Παράδειγμα.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Λύση.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Μεταβλητή αντικατάσταση
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Φέρτε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μια από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Βήμα 2Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).
Βήμα 3Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.
Βήμα 4Κάντε αντίστροφη αντικατάσταση.
Βήμα 5Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.
Παράδειγμα.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Λύση.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
Το t = 1 ή το e = -3/2 δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.
4) αμαρτία (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης ισχύος:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Βήμα 2Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.
Παράδειγμα.
cos2x + cos2x = 5/4.
Λύση.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ομογενείς εξισώσεις
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Φέρτε αυτή την εξίσωση στη φόρμα
α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)
ή στη θέα
β) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).
Βήμα 2Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με
α) cos x ≠ 0;
β) cos 2 x ≠ 0;
και πάρτε την εξίσωση για tg x:
α) a tg x + b = 0;
β) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Βήμα 3Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.
Παράδειγμα.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Λύση.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Έστω tg x = t, τότε
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 ή t = -4, άρα
tg x = 1 ή tg x = -4.
Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων
Σχέδιο λύσης
Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλα τα είδη τριγωνομετρικών τύπων, φέρτε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που μπορεί να λυθεί με τις μεθόδους I, II, III, IV.
Βήμα 2Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.
Παράδειγμα.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Λύση.
1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;
Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.
Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ως αποτέλεσμα, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Απάντηση: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Η ικανότητα και οι δεξιότητες επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ 
σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.
Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων περιέχει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται κατά τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία διδασκαλίας των μαθηματικών και γενικότερα στην ανάπτυξη της προσωπικότητας.
Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.