Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η τάξη, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απαραίτητη.
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a , b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.
Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώνουμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:
- Δεν έχουν ρίζες.
- Έχουν ακριβώς μια ρίζα.
- Να έχεις δύο διαφορετική ρίζα.
Αυτό είναι τι σημαντική διαφοράτετραγωνικές εξισώσεις από γραμμικές, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.
Διακριτικός
Ας δοθεί τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac .
Αυτή η φόρμουλα πρέπει να είναι γνωστή από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:
- Αν ο Δ< 0, корней нет;
- Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
- Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.
Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:
Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Γράφουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Άρα, η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Διακριτικός μηδέν- η ρίζα θα είναι μία.
Σημειώστε ότι έχουν γραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό - αλλά δεν θα μπερδεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.
Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειάζεται πλέον να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνετε τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σας. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι και τόσο.
Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:
Ο βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - παίρνετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:
Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]
Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:
Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετράτε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα όταν οι αρνητικοί συντελεστές αντικαθίστανται στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, ζωγραφίστε κάθε βήμα - και απαλλαγείτε από τα λάθη πολύ σύντομα.
Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Είναι εύκολο να δούμε ότι λείπει ένας από τους όρους σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τη διάκριση. Ας εισαγάγουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:
Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.
Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μια ενιαία ρίζα: x \u003d 0.
Ας εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις. Έστω b \u003d 0, τότε παίρνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε ελαφρώς:
Εφόσον η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο όταν (−c / a ) ≥ 0. Συμπέρασμα:
- Αν μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιεί την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
- Αν (−c / a )< 0, корней нет.
Όπως μπορείτε να δείτε, η διάκριση δεν ήταν απαραίτητη - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή του x 2 και να δούμε τι υπάρχει στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.
Ας ασχοληθούμε τώρα με εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο:
Απόδοση κοινός πολλαπλασιαστήςγια το στήριγμαΤο γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:
Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί το τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα
"Γυμνάσιο Kudinskaya Νο. 2"
Λύσεις παράλογες εξισώσεις
Συμπλήρωσε: Egorova Olga,
Επόπτης:
Δάσκαλος
μαθηματικά,
υψηλότερο προσόν
Εισαγωγή....……………………………………………………………………………………… 3
Ενότητα 1. Μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων…………………………………6
1.1 Επίλυση των παράλογων εξισώσεων του μέρους Γ……….….….……………………………21
Ενότητα 2. Ατομικές εργασίες…………………………………………….....………...24
Απαντήσεις………………………………………………………………………………………….25
Βιβλιογραφία…….…………………………………………………………………….26
Εισαγωγή
Μαθηματική εκπαίδευση που έλαβε στο σχολείο γενικής εκπαίδευσης, αποτελεί ουσιαστικό συστατικό της γενικής παιδείας και του γενικού πολιτισμού ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. Σχεδόν όλα όσα περιβάλλουν έναν σύγχρονο άνθρωπο συνδέονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με τα μαθηματικά. ΕΝΑ πρόσφατα επιτεύγματαστη φυσική, τη μηχανική και την πληροφορική δεν αφήνουν καμία αμφιβολία ότι στο μέλλον η κατάσταση θα παραμείνει η ίδια. Επομένως, η επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων περιορίζεται στην επίλυση διάφορα είδηεξισώσεις για να μάθετε πώς να λύσετε. Ένας από αυτούς τους τύπους είναι οι παράλογες εξισώσεις.
Παράλογες εξισώσεις
Μια εξίσωση που περιέχει ένα άγνωστο (ή μια ορθολογική αλγεβρική έκφραση από έναν άγνωστο) κάτω από το ριζικό πρόσημο ονομάζεται παράλογη εξίσωση. Στα στοιχειώδη μαθηματικά, οι λύσεις των παράλογων εξισώσεων αναζητούνται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Οποιαδήποτε παράλογη εξίσωση με τη βοήθεια στοιχειωδών αλγεβρικών πράξεων (πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε μια ακέραια δύναμη) μπορεί να αναχθεί σε μια ορθολογική αλγεβρική εξίσωση. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η προκύπτουσα ορθολογική αλγεβρική εξίσωση μπορεί να μην είναι ισοδύναμη με την αρχική παράλογη εξίσωση, δηλαδή, μπορεί να περιέχει "επιπλέον" ρίζες που δεν θα είναι οι ρίζες της αρχικής παράλογης εξίσωσης. Ως εκ τούτου, η εύρεση των ριζών του ληφθέντος ορθολογικού αλγεβρική εξίσωση, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε αν όλες οι ρίζες μιας ορθολογικής εξίσωσης είναι οι ρίζες μιας παράλογης εξίσωσης.
Στη γενική περίπτωση, είναι δύσκολο να υποδειχθεί οποιαδήποτε καθολική μέθοδος για την επίλυση οποιασδήποτε παράλογης εξίσωσης, καθώς είναι επιθυμητό ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών της αρχικής παράλογης εξίσωσης, να μην προκύπτει απλώς κάποιο είδος ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης, μεταξύ των ριζών του που θα υπάρχουν οι ρίζες αυτής της παράλογης εξίσωσης, αλλά μια ορθολογική αλγεβρική εξίσωση που σχηματίζεται από πολυώνυμα όσο το δυνατόν μικρότερου βαθμού. Η επιθυμία να ληφθεί αυτή η ορθολογική αλγεβρική εξίσωση που σχηματίζεται από πολυώνυμα του μικρότερου δυνατού βαθμού είναι απολύτως φυσική, καθώς η εύρεση όλων των ριζών μιας ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης μπορεί από μόνη της να είναι μια αρκετά δύσκολη εργασία, την οποία μπορούμε να λύσουμε πλήρως μόνο σε πολύ περιορισμένο αριθμό των περιπτώσεων.
Είδη παράλογων εξισώσεων
Η επίλυση παράλογων εξισώσεων άρτιου βαθμού πάντα προκαλεί περισσότερα προβλήματααπό τη λύση παράλογων εξισώσεων περιττού βαθμού. Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων περιττού βαθμού, το ODZ δεν αλλάζει. Επομένως, παρακάτω θα εξετάσουμε παράλογες εξισώσεις, ο βαθμός των οποίων είναι άρτιος. Υπάρχουν δύο είδη παράλογων εξισώσεων:
2.
.
Ας εξετάσουμε το πρώτο από αυτά.
εξίσωση odz: f(x)≥ 0. Σε ΟΔΖ αριστερή πλευράΗ εξίσωση είναι πάντα μη αρνητική - επομένως η λύση μπορεί να υπάρξει μόνο όταν σολ(Χ)≥ 0. Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι μη αρνητικές και η εκθετική 2 nδίνει μια ισοδύναμη εξίσωση. Το καταλαβαίνουμε
Ας προσέξουμε το γεγονός ότι ενώ Το ODZ εκτελείται αυτόματα και δεν μπορείτε να το γράψετε, αλλά η συνθήκησολ(x) Πρέπει να ελεγχθεί ≥ 0.
Σημείωση:
Αυτό είναι πολύ σημαντική προϋπόθεσηισοδυναμίας. Πρώτον, απελευθερώνει τον μαθητή από την ανάγκη να ερευνήσει και αφού βρει λύσεις, ελέγξτε τη συνθήκη f(x) ≥ 0 - τη μη αρνητικότητα της έκφρασης ρίζας. Δεύτερον, εστιάζει στον έλεγχο της κατάστασηςσολ(x) ≥ 0 είναι η μη αρνητικότητα της δεξιάς πλευράς. Εξάλλου, μετά τον τετραγωνισμό, η εξίσωση λύνεται 
Δηλαδή, δύο εξισώσεις λύνονται ταυτόχρονα (αλλά σε διαφορετικά διαστήματα του αριθμητικού άξονα!):
1. - πού σολ(Χ)≥ 0 και
2. 
- όπου g(x) ≤ 0.
Εν τω μεταξύ, πολλοί, σύμφωνα με τη σχολική συνήθεια να βρίσκουν το ODZ, κάνουν ακριβώς το αντίθετο όταν λύνουν τέτοιες εξισώσεις:
α) ελέγξτε, αφού βρείτε λύσεις, τη συνθήκη f(x) ≥ 0 (η οποία ικανοποιείται αυτόματα), κάνετε αριθμητικά λάθη και λάβετε ένα εσφαλμένο αποτέλεσμα.
β) αγνοήστε την προϋπόθεσησολ(x) ≥ 0 - και πάλι η απάντηση μπορεί να είναι λάθος.
Σημείωση: Η συνθήκη ισοδυναμίας είναι ιδιαίτερα χρήσιμη κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, στις οποίες η εύρεση του ODZ σχετίζεται με την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων, η οποία είναι πολύ πιο δύσκολη από την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Ελεγχος εισιτηρίου τριγωνομετρικές εξισώσειςακόμη και συνθήκες σολ(Χ)Το ≥ 0 δεν είναι πάντα εύκολο να γίνει.
Εξετάστε το δεύτερο είδος παράλογων εξισώσεων.
.
Αφήστε την εξίσωση . Το ODZ του:
Στο ODZ, και οι δύο πλευρές είναι μη αρνητικές και ο τετραγωνισμός δίνει την ισοδύναμη εξίσωση φά(x) =σολ(Χ).Επομένως, στην ΟΔΖ ή
Με αυτήν τη μέθοδο λύσης, αρκεί να ελέγξετε τη μη αρνητικότητα μιας από τις λειτουργίες - μπορείτε να επιλέξετε μια απλούστερη.
Ενότητα 1. Μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων
1 μέθοδος. Απελευθέρωση από τους ριζοσπάστες αυξάνοντας διαδοχικά και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στην αντίστοιχη φυσική δύναμη
Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την επίλυση παράλογων εξισώσεων είναι η μέθοδος απελευθέρωσης από ρίζες αυξάνοντας διαδοχικά και τα δύο μέρη της εξίσωσης στον αντίστοιχο φυσικό βαθμό. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι όταν και τα δύο μέρη της εξίσωσης αυξάνονται σε περιττή ισχύ, η εξίσωση που προκύπτει είναι ισοδύναμη με την αρχική, και όταν και τα δύο μέρη της εξίσωσης αυξάνονται σε άρτια ισχύ, η προκύπτουσα Η εξίσωση, σε γενικές γραμμές, δεν θα είναι ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση. Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε οποιαδήποτε άρτια ισχύ. Αυτή η λειτουργία καταλήγει στην εξίσωση 
, του οποίου το σύνολο λύσεων είναι η ένωση συνόλων λύσεων: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Ωστόσο, παρά Αυτό το μειονέκτημα, είναι η διαδικασία για την αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε κάποια (συχνά άρτια) ισχύ που είναι η πιο κοινή διαδικασία για την αναγωγή μιας παράλογης εξίσωσης σε μια ορθολογική εξίσωση.
Λύστε την εξίσωση:
Οπου 
είναι μερικά πολυώνυμα. Δυνάμει του ορισμού της λειτουργίας εξαγωγής ρίζας στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, οι αποδεκτές τιμές του αγνώστου https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 ύψος =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.
Δεδομένου ότι και τα δύο μέρη της 1ης εξίσωσης ήταν τετράγωνα, μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν θα είναι όλες οι ρίζες της 2ης εξίσωσης λύσεις στην αρχική εξίσωση, είναι απαραίτητο να ελέγξετε τις ρίζες.
Λύστε την εξίσωση:
https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">
Ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε κύβο, παίρνουμε
Δεδομένου ότι https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Η τελευταία εξίσωση μπορεί να έχει ρίζες που, γενικά, δεν είναι ρίζες του εξίσωση 
).
Ανυψώνουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης σε έναν κύβο: . Ξαναγράφουμε την εξίσωση με τη μορφή x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Ελέγχοντας, διαπιστώνουμε ότι το x1 = 0 είναι μια ξένη ρίζα της εξίσωσης (-2 ≠ 1) και το x2 = 1 ικανοποιεί την αρχική εξίσωση.
Απάντηση: x = 1.
2 μέθοδος. Αντικατάσταση παρακείμενου συστήματος συνθηκών
Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων που περιέχουν ρίζες άρτιας τάξης, μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες στις απαντήσεις, οι οποίες δεν είναι πάντα εύκολο να εντοπιστούν. Για να διευκολυνθεί ο εντοπισμός και η απόρριψη των ξένων ριζών, κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων αντικαθίσταται αμέσως από ένα παρακείμενο σύστημα συνθηκών. Οι πρόσθετες ανισότητες στο σύστημα λαμβάνουν ουσιαστικά υπόψη το ODZ της εξίσωσης που λύνεται. Μπορείτε να βρείτε το ODZ ξεχωριστά και να το λάβετε υπόψη αργότερα, αλλά είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείτε μικτά συστήματα συνθηκών: υπάρχει λιγότερος κίνδυνος να ξεχάσετε κάτι, να μην το λάβετε υπόψη στη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης. Επομένως, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται η μέθοδος μετάβασης σε μικτά συστήματα.
Λύστε την εξίσωση: 
Απάντηση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">
Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα
Απάντηση:η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
3 μέθοδος. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της νης ρίζας
Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες της ρίζας του nου βαθμού. αριθμητική ρίζα n-ουβαθμούς από μεταξύ τους ΕΝΑκαλέστε έναν μη αρνητικό αριθμό, n- i του οποίου το πτυχίο είναι ίσο με ΕΝΑ. Αν n-ακόμη και( 2n), τότε ένα ≥ 0, διαφορετικά η ρίζα δεν υπάρχει. Αν n-Περιττός( 2 n+1), τότε το a είναι οποιοδήποτε και = - ..gif" width="45" height="19"> Στη συνέχεια:
2. 
3. 
4. 
5. 
Εφαρμόζοντας οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους, τυπικά (χωρίς να ληφθούν υπόψη οι αναφερόμενοι περιορισμοί), θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το ODZ του αριστερού και του δεξιού τμήματος καθενός από αυτά μπορεί να είναι διαφορετικό. Για παράδειγμα, η έκφραση ορίζεται με f ≥ 0Και g ≥ 0, και η έκφραση είναι όπως στο f ≥ 0Και g ≥ 0, καθώς f ≤ 0Και g ≤ 0.
Για καθέναν από τους τύπους 1-5 (χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι περιορισμοί που υποδεικνύονται), το ODZ του δεξιού τμήματός του μπορεί να είναι ευρύτερο από το ODZ του αριστερού. Από αυτό προκύπτει ότι οι μετασχηματισμοί της εξίσωσης με την επίσημη χρήση των τύπων 1-5 «από αριστερά προς τα δεξιά» (όπως γράφονται) οδηγούν σε μια εξίσωση που είναι συνέπεια της αρχικής. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες της αρχικής εξίσωσης, επομένως η επαλήθευση είναι ένα υποχρεωτικό βήμα για την επίλυση της αρχικής εξίσωσης.
Οι μετασχηματισμοί των εξισώσεων με την επίσημη χρήση των τύπων 1-5 "από δεξιά προς τα αριστερά" είναι απαράδεκτοι, καθώς είναι δυνατό να κριθεί το ODZ της αρχικής εξίσωσης και, κατά συνέπεια, η απώλεια ριζών.
https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,
που είναι συνέπεια του πρωτότυπου. Η λύση αυτής της εξίσωσης ανάγεται στην επίλυση του συνόλου των εξισώσεων 
.
Από την πρώτη εξίσωση αυτού του συνόλου βρίσκουμε https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> από όπου βρίσκουμε . Έτσι, οι ρίζες του αυτή η εξίσωση μπορεί να είναι μόνο αριθμοί (-1) και (-2) Η επαλήθευση δείχνει ότι και οι δύο ρίζες που βρέθηκαν ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση.
Απάντηση: -1,-2.
Λύστε την εξίσωση: .
Λύση: με βάση τις ταυτότητες, αντικαταστήστε τον πρώτο όρο με . Σημειώστε ότι ως το άθροισμα δύο μη αρνητικών αριθμών στην αριστερή πλευρά. «Αφαιρέστε» τη μονάδα και, αφού φέρετε παρόμοιους όρους, λύστε την εξίσωση. Αφού , παίρνουμε την εξίσωση . Αφού και 
, στη συνέχεια https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">
Απάντηση: x = 4,25.
4 μέθοδος. Εισαγωγή νέων μεταβλητών
Ένα άλλο παράδειγμα επίλυσης παράλογων εξισώσεων είναι ο τρόπος με τον οποίο εισάγονται νέες μεταβλητές, σε σχέση με τις οποίες προκύπτει είτε μια απλούστερη παράλογη εξίσωση είτε μια ορθολογική εξίσωση.
Η λύση των παράλογων εξισώσεων αντικαθιστώντας την εξίσωση με τη συνέπειά της (με επακόλουθο έλεγχο των ριζών) μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εξής:
1. Βρείτε το ODZ της αρχικής εξίσωσης.
2. Πηγαίνετε από την εξίσωση στο συμπέρασμά της.
3. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει.
4. Ελέγξτε αν οι ρίζες που βρέθηκαν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Ο έλεγχος έχει ως εξής:
Α) ελέγχεται η συμμετοχή κάθε ευρεθείσας ρίζας του ODZ της αρχικής εξίσωσης. Οι ρίζες που δεν ανήκουν στο ODZ είναι ξένες για την αρχική εξίσωση.
Β) για κάθε ρίζα που περιλαμβάνεται στο ODZ της αρχικής εξίσωσης, ελέγχεται αν το αριστερό και το δεξί μέρος καθεμιάς από τις εξισώσεις που προκύπτουν κατά τη διαδικασία επίλυσης της αρχικής εξίσωσης και ανεβαίνουν σε άρτια ισχύ έχουν τα ίδια πρόσημα. Εκείνες τις ρίζες για τις οποίες έχουν τα μέρη οποιασδήποτε εξίσωσης που ανυψώνονται σε άρτια ισχύ διαφορετικά σημάδια, είναι εξωτερικά για την αρχική εξίσωση.
Γ) μόνο εκείνες οι ρίζες που ανήκουν στο ODZ της αρχικής εξίσωσης και για τις οποίες και τα δύο μέρη καθεμιάς από τις εξισώσεις που προκύπτουν κατά τη διαδικασία επίλυσης της αρχικής εξίσωσης και ανυψώνονται σε άρτια ισχύ έχουν τα ίδια πρόσημα ελέγχονται με άμεση αντικατάσταση σε την αρχική εξίσωση.
Μια τέτοια μέθοδος λύσης με την υποδεικνυόμενη μέθοδο επαλήθευσης επιτρέπει την αποφυγή δυσκίνητων υπολογισμών στην περίπτωση άμεσης αντικατάστασης καθεμιάς από τις ρίζες που βρέθηκαν της τελευταίας εξίσωσης στην αρχική.
Λύστε την παράλογη εξίσωση:
.
Ενα μάτσο επιτρεπόμενες τιμέςαυτή η εξίσωση:
Θέτοντας , μετά την αντικατάσταση παίρνουμε την εξίσωση
ή την ισοδύναμη εξίσωσή του
η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως δευτεροβάθμια εξίσωση για . Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε
.
Επομένως, το σύνολο λύσεων της αρχικής παράλογης εξίσωσης είναι η ένωση των συνόλων λύσεων των ακόλουθων δύο εξισώσεων:
, .
Κύβουμε και τις δύο πλευρές καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις και παίρνουμε δύο ορθολογικές αλγεβρικές εξισώσεις:
, .
Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις, διαπιστώνουμε ότι αυτή η παράλογη εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα x = 2 (δεν απαιτείται επαλήθευση, αφού όλοι οι μετασχηματισμοί είναι ισοδύναμοι).
Απάντηση: x = 2.
Λύστε την παράλογη εξίσωση:
Σημειώστε 2x2 + 5x - 2 = t. Τότε η αρχική εξίσωση θα πάρει τη μορφή 
. Τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης που προκύπτει και φέρνοντας παρόμοιους όρους, παίρνουμε την εξίσωση , η οποία είναι συνέπεια της προηγούμενης. Από αυτό βρίσκουμε t=16.
Επιστρέφοντας στο άγνωστο x, παίρνουμε την εξίσωση 2x2 + 5x - 2 = 16, η οποία είναι συνέπεια της αρχικής. Ελέγχοντας, βεβαιωνόμαστε ότι οι ρίζες του x1 \u003d 2 και x2 \u003d - 9/2 είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Απάντηση: x1 = 2, x2 = -9/2.
5 μέθοδος. Μετασχηματισμός Εξίσωσης Ταυτότητας
Όταν λύνουμε παράλογες εξισώσεις, δεν πρέπει να ξεκινάμε την επίλυση μιας εξίσωσης ανεβάζοντας και τα δύο μέρη των εξισώσεων σε μια φυσική δύναμη, προσπαθώντας να αναγάγουμε τη λύση μιας παράλογης εξίσωσης στην επίλυση μιας ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης. Πρώτον, είναι απαραίτητο να δούμε αν είναι δυνατό να γίνει κάποιος πανομοιότυπος μετασχηματισμός της εξίσωσης, ο οποίος μπορεί να απλοποιήσει σημαντικά τη λύση της.
Λύστε την εξίσωση:
Το σύνολο των έγκυρων τιμών για αυτήν την εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Διαιρέστε αυτήν την εξίσωση με .
.
Παίρνουμε:
Για a = 0, η εξίσωση δεν θα έχει λύσεις. για , η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως
για αυτή την εξίσωση δεν έχει λύσεις, αφού για καμία Χ, που ανήκει στο σύνολο των αποδεκτών τιμών της εξίσωσης, η έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι θετική.
όταν η εξίσωση έχει λύση
Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σύνολο των αποδεκτών λύσεων της εξίσωσης καθορίζεται από την συνθήκη , τελικά παίρνουμε:
Κατά την επίλυση αυτής της παράλογης εξίσωσης, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> η λύση της εξίσωσης θα είναι . Για όλες τις άλλες τιμές Χη εξίσωση δεν έχει λύσεις.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10:
Λύστε την παράλογη εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">
Η λύση της τετραγωνικής εξίσωσης του συστήματος δίνει δύο ρίζες: x1 \u003d 1 και x2 \u003d 4. Η πρώτη από τις ρίζες που λαμβάνονται δεν ικανοποιεί την ανισότητα του συστήματος, επομένως x \u003d 4.
Σημειώσεις.
1) Η πραγματοποίηση πανομοιότυπων μετασχηματισμών μας επιτρέπει να κάνουμε χωρίς επαλήθευση.
2) Η ανισότητα x - 3 ≥0 αναφέρεται σε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, και όχι στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης.
3) Υπάρχει μια φθίνουσα συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και μια αύξουσα συνάρτηση στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης. Τα γραφήματα φθίνουσας και αύξησης συναρτήσεων στη τομή των τομέων ορισμού τους δεν μπορούν να έχουν περισσότερα από ένα κοινό σημείο. Προφανώς, στην περίπτωσή μας, x = 4 είναι η τετμημένη του σημείου τομής των γραφημάτων.
Απάντηση: x = 4.
6 μέθοδος. Χρήση του πεδίου ορισμού συναρτήσεων κατά την επίλυση εξισώσεων
Αυτή η μέθοδος είναι πιο αποτελεσματική όταν λύνετε εξισώσεις που περιλαμβάνουν συναρτήσεις https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> και βρίσκετε τους ορισμούς της περιοχής της (φά)..gif" width="53" height="21"> 
.gif" width="88" height="21 src=">, τότε πρέπει να ελέγξετε αν η εξίσωση είναι αληθής στα άκρα του διαστήματος, επιπλέον, εάν< 0, а b >0, τότε είναι απαραίτητο να ελέγξετε τα διαστήματα (a;0)Και . Ο μικρότερος ακέραιος στο E(y) είναι 3.
Απάντηση: x = 3.
8 μέθοδος. Εφαρμογή της παραγώγου στην επίλυση παράλογων εξισώσεων
Τις περισσότερες φορές, κατά την επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παραγώγου, χρησιμοποιείται η μέθοδος εκτίμησης.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15:
Λύστε την εξίσωση: (1)
Λύση: Από https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> ή (2). Εξετάστε τη συνάρτηση 
..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> καθόλου και επομένως αυξάνεται. Επομένως, η εξίσωση 
είναι ισοδύναμη με μια εξίσωση που έχει μια ρίζα που είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Απάντηση:
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16:
Λύστε την παράλογη εξίσωση:
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα τμήμα. Βρείτε το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήτις τιμές αυτής της συνάρτησης στο διάστημα . Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης φά(Χ): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Ας βρούμε τις τιμές της συνάρτησης φά(Χ)στα άκρα του τμήματος και στο σημείο : Λοιπόν, αλλά και, επομένως, η ισότητα είναι δυνατή μόνο υπό την προϋπόθεση https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Η επαλήθευση δείχνει ότι ο αριθμός 3 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.
Απάντηση: x = 3.
9 μέθοδος. Λειτουργικός
Στις εξετάσεις, μερικές φορές προσφέρουν να λύσουν εξισώσεις που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή , όπου είναι μια συγκεκριμένη συνάρτηση.
Για παράδειγμα, μερικές εξισώσεις: 1) 
2) 
. Πράγματι, στην πρώτη περίπτωση 
, στη δεύτερη περίπτωση 
. Επομένως, λύστε παράλογες εξισώσεις χρησιμοποιώντας την ακόλουθη πρόταση: εάν μια συνάρτηση είναι αυστηρά αύξουσα στο σύνολο Χκαι για οποιαδήποτε , τότε οι εξισώσεις, κ.λπ., είναι ισοδύναμες στο σύνολο Χ .
Λύστε την παράλογη εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> αυξάνει αυστηρά στο σετ R,και https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > που έχει μοναδική ρίζα Επομένως, η ισοδύναμη εξίσωση (1) έχει και μοναδική ρίζα
Απάντηση: x = 3.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18:
Λύστε την παράλογη εξίσωση: 
(1)
Εξ ορισμού τετραγωνική ρίζαπαίρνουμε ότι αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες, τότε ανήκουν στο σύνολο https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)
Εξετάστε τη συνάρτηση https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> αυστηρά αυξανόμενη σε αυτό το σύνολο για οποιοδήποτε ..gif" width="100" ύψος ="41"> που έχει μία μόνο ρίζα Επομένως, και ισοδύναμη με αυτήν στο σετ ΧΗ εξίσωση (1) έχει μία μόνο ρίζα
Απάντηση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">
Λύση: Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα μικτό σύστημα
Μερικοί μαθητές αντιπαθούν πραγματικά τις εξισώσεις και τα προβλήματα στα οποία εμφανίζεται το ριζικό σημάδι. Αλλά η επίλυση ενός παραδείγματος με ρίζα δεν είναι τόσο δύσκολη, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε από ποια πλευρά να προσεγγίσουμε το πρόβλημα. Το ίδιο το εικονίδιο, που υποδηλώνει την εξαγωγή της ρίζας, ονομάζεται ρίζα. Πώς να λύσετε τις ρίζες; Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού σημαίνει να επιλέξετε έναν αριθμό που, όταν τετραγωνιστεί, θα δώσει την ίδια τιμή κάτω από το πρόσημο της ρίζας.
Πώς να λύσετε λοιπόν τετραγωνικές ρίζες
Η επίλυση τετραγωνικών ριζών είναι εύκολη. Για παράδειγμα, θέλετε να μάθετε πόση θα είναι η ρίζα του 16. Για να λύσετε αυτό το απλό παράδειγμα, πρέπει να θυμάστε πόσο τετράγωνο θα είναι το 2 - 2 2 , μετά 3 2 και τέλος 4 2 . Μόνο τώρα θα δούμε ότι το αποτέλεσμα (16) ταιριάζει με το ερώτημα. Δηλαδή, για να εξαγάγουμε τη ρίζα, έπρεπε να επιλέξουμε πιθανές τιμές. Αποδεικνύεται ότι για να λυθούν οι ρίζες, δεν υπάρχει ακριβής και αποδεδειγμένος αλγόριθμος. Για να διευκολυνθεί το έργο του "λύτη", οι μαθηματικοί συνιστούν να απομνημονεύσετε από καρδιάς (ακριβώς από την καρδιά, όπως ένας πίνακας πολλαπλασιασμού) τις τιμές των τετραγώνων των αριθμών έως το είκοσι. Τότε θα είναι δυνατή η εύκολη εξαγωγή της ρίζας από αριθμούς που είναι περισσότεροι από εκατό. Και, αντίστροφα, να δούμε αμέσως ότι η ρίζα αυτού του αριθμού δεν μπορεί να εξαχθεί, δηλαδή η απάντηση δεν θα έχει ακέραιο.
Καταλάβαμε πώς να λύσουμε τετραγωνικές ρίζες. Τώρα ας υπολογίσουμε ποιες τετραγωνικές ρίζες της λύσης δεν έχουν. Για παράδειγμα, αρνητικοί αριθμοί. Είναι σαφές εδώ ότι αν δύο αρνητικούς αριθμούςπολλαπλασιάστε - η απάντηση θα είναι με ένα σύμβολο συν. Τι πρέπει να ξέρετε στη συνέχεια. Η ρίζα μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε αριθμό (εκτός από αρνητικό, όπως αναφέρθηκε παραπάνω). Απλώς η απάντηση μπορεί να αλλάξει δεκαδικός. Δηλαδή, να περιέχει έναν ορισμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του δύο έχει την τιμή 1,41421 και δεν είναι όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή. Τέτοιες τιμές στρογγυλοποιούνται για ευκολία υπολογισμού, μερικές φορές στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, μερικές φορές στο τρίτο ή τέταρτο. Επιπλέον, συχνά ασκείται να αφήνετε τον αριθμό κάτω από τη ρίζα ως απάντηση εάν φαίνεται καλός και συμπαγής. Είναι τόσο ξεκάθαρο τι σημαίνει.
Πώς να λύσετε εξισώσεις με ρίζες;
Για να λύσετε εξισώσεις με ρίζες, πρέπει να εφαρμόσετε μία από τις μεθόδους που δεν εφευρέθηκαν από εμάς. Για παράδειγμα, να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές μιας τέτοιας εξίσωσης. Για παράδειγμα:
Ρίζα του Χ+3=5
Ας τετραγωνίσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης:
Τώρα μπορούμε να δούμε πώς να λύσουμε αυτήν την εξίσωση. Πρώτα, μάθετε τι είναι το X 2 (και είναι ίσο με 16) και στη συνέχεια εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Απάντηση: 4. Ωστόσο, αξίζει να πούμε εδώ ότι αυτή η εξίσωση έχει στην πραγματικότητα δύο λύσεις, δύο ρίζες: 4 και -4. Εξάλλου, το -4 στο τετράγωνο δίνει επίσης 16.
Εκτός από αυτή τη μέθοδο, μερικές φορές είναι πιο ελκυστικό και βολικό να αντικαταστήσετε τη μεταβλητή που βρίσκεται κάτω από τη ρίζα με μια άλλη μεταβλητή για να απαλλαγείτε από αυτήν τη ρίζα.
Υ = ρίζα του Χ.
Στη συνέχεια, έχοντας λύσει την εξίσωση, επιστρέφουμε στην αντικατάσταση και τελειώνουμε τους υπολογισμούς με τη ρίζα.
Δηλαδή παίρνουμε X = Y 2 . Και αυτή θα είναι η λύση.
Πρέπει να ειπωθεί ότι υπάρχουν αρκετές ακόμη μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων με ρίζες.
Πώς να λύσετε ρίζες σε εκθέτες;
Μια ρίζα που δεν έχει βαθμό στη βάση της σημαίνει ότι πρέπει να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα από την έκφραση ή τον αριθμό, δηλαδή η ισχύς του τετραγώνου είναι το αντίστροφο. Είναι απλό και ξεκάθαρο. Για παράδειγμα: η ρίζα του 9 \u003d 3, (και 3 2 \u003d 9), η ρίζα του 16 \u003d 4 (4 2 \u003d 16) και όλα στο ίδιο πνεύμα. Τι σημαίνει όμως αν η ρίζα έχει πτυχίο; Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο, πάλι, να εκτελέσουμε τη δράση, το αντίθετο από την ανύψωση σε αυτήν ακριβώς τη δύναμη. Για παράδειγμα, πρέπει να μάθετε την τιμή της κυβικής ρίζας του 27.
Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να επιλέξετε έναν αριθμό που, όταν τεθεί σε κύβους, θα δώσει 27. Αυτό είναι 3 (3 * 3 * 3 \u003d 27).
ρίζα 3 από 27 = 3
Παρόμοιες ενέργειες πρέπει να εκτελεστούν εάν ο βαθμός της ρίζας είναι 4, 5. Μόνο σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να επιλέξετε έναν αριθμό που, όταν αυξάνεται σε ισχύ nθα δώσει την τιμή κάτω από τη ρίζα n-ο βαθμός.
Εδώ πρέπει να ειπωθεί ότι οι βαθμοί των ριζών και οι βαθμοί των ριζικών εκφράσεων μπορούν να μειωθούν. Ωστόσο, σύμφωνα με τους κανόνες. Εάν ο αριθμός ή η μεταβλητή κάτω από τη ρίζα έχει βαθμό που είναι πολλαπλάσιος του βαθμού της ρίζας, μπορούν να μειωθούν. Για παράδειγμα:
ρίζα 3 του Χ 6 = Χ 2
Αυτοί οι κανόνες για πράξεις με ρίζες και μοίρες είναι απλοί, πρέπει να τους γνωρίζετε ξεκάθαρα και τότε ο υπολογισμός θα είναι απλός. Καταλάβαμε πώς να λύσουμε τις ρίζες σε μοίρες, τώρα προχωράμε.
Πώς να λύσετε root under root;
Αυτή η τρομερή ρίζα έκφρασης κάτω από τη ρίζα με την πρώτη ματιά δεν επιλύεται. Αλλά για να υπολογίσετε σωστά την τιμή μιας τέτοιας έκφρασης, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες των ριζών. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε δύο ρίζες με μία. Για να γίνει αυτό, οι βαθμοί αυτών των ριζών πρέπει απλώς να πολλαπλασιαστούν. Για παράδειγμα:
ρίζα 3 της ρίζας 729 = (ρίζα 3 * ρίζα 2) από 729
Δηλαδή, εδώ έχουμε πολλαπλασιάσει την κυβική ρίζα με την τετραγωνική ρίζα. Ως αποτέλεσμα, πήραμε τη ρίζα του έκτου βαθμού:
ρίζα 6 από 729 = 3
Ομοίως, πρέπει να λύσετε άλλες παρόμοιες ρίζες κάτω από τη ρίζα.
Έχοντας εξετάσει όλα τα προτεινόμενα παραδείγματα, είναι εύκολο να συμφωνήσουμε ότι η επίλυση των ριζών δεν είναι τόσο δύσκολη υπόθεση. Φυσικά, όταν πρόκειται για απλή, συνηθισμένη αριθμητική, μερικές φορές είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσετε μια γνωστή αριθμομηχανή. Ωστόσο, πριν κάνετε υπολογισμούς, πρέπει να κάνετε ό,τι είναι δυνατό για να απλοποιήσετε την εργασία σας, μειώνοντας όσο το δυνατόν περισσότερο τον αριθμό και την πολυπλοκότητα των αριθμητικών υπολογισμών. Τότε η λύση θα γίνει απλή και, το πιο σημαντικό, ενδιαφέρουσα.
Κάθε νέα ενέργεια στα μαθηματικά δημιουργεί αμέσως το αντίθετό της. Μια φορά κι έναν καιρό, οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν ότι ένα τετράγωνο κομμάτι γης μήκους 2 μέτρων και πλάτους 2 μέτρων θα είχε εμβαδόν 2 * 2 = 4 τετραγωνικά μέτρα (στο εξής θα αναφέρεται ως m ^ 2). Και τώρα, αντίθετα, αν ο Έλληνας ήξερε ότι το κομμάτι της γης του ήταν τετράγωνο και είχε εμβαδόν 4 m^2, πώς θα ήξερε πόσο μήκος και πόσο πλάτος θα ήταν το κομμάτι γης του; Εισήχθη μια πράξη που ήταν η αντίστροφη της πράξης του τετραγωνισμού και έγινε γνωστή ως εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας. Οι άνθρωποι άρχισαν να καταλαβαίνουν ότι το 2 τετράγωνο (2^2) είναι ίσο με 4. Αντίθετα, η τετραγωνική ρίζα του 4 (εφεξής √ (4)) θα είναι ίση με δύο. Τα μοντέλα έγιναν πιο περίπλοκα, τα αρχεία που περιγράφουν διαδικασίες με ρίζες έγιναν επίσης πιο περίπλοκα. Πολλές φορές προέκυψε το ερώτημα πώς να λύσετε μια εξίσωση με μια ρίζα.
Έστω κάποια τιμή x, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό της μία φορά, δίνει 9. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως x * x \u003d 9. Ή μέσω του βαθμού: x^2=9. Για να βρείτε το x, πρέπει να πάρετε τη ρίζα του 9, η οποία είναι ήδη σε κάποιο βαθμό μια εξίσωση με μια ρίζα: x=√(9) . Η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από το στόμα ή να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή για αυτό. Στη συνέχεια, εξετάστε το αντίστροφο πρόβλημα. Μια ορισμένη τιμή, όταν εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα από αυτήν, δίνει την τιμή 7. Αν τη γράψουμε ως παράλογη εξίσωση, παίρνουμε: √ (x) = 7. Για να λυθεί ένα τέτοιο πρόβλημα, και τα δύο μέρη της παράστασης πρέπει να τετραγωνιστούν . Δεδομένου ότι √(x) *√(x) =x, προκύπτει x = 49. Η ρίζα είναι αμέσως έτοιμη στην καθαρή της μορφή. Στη συνέχεια, πρέπει να αναλύσουμε περισσότερο σύνθετα παραδείγματαεξισώσεις με ρίζες.
Έστω το 5 αφαιρεθεί από μια ορισμένη τιμή και, στη συνέχεια, η έκφραση αυξάνεται στη δύναμη του 1/2. Ως αποτέλεσμα, προέκυψε ο αριθμός 3. Τώρα αυτή η συνθήκηπρέπει να γραφτεί ως εξίσωση: √(x-5) =3. Στη συνέχεια, κάθε μέρος της εξίσωσης πρέπει να πολλαπλασιαστεί από μόνο του: x-5 = 3. Μετά την αύξηση στη δεύτερη ισχύ, η έκφραση ελευθερώθηκε από τις ρίζες. Τώρα αξίζει να λύσετε την απλούστερη γραμμική εξίσωση μεταφέροντας το πέντε στο σωστη πλευρακαι αλλάζοντας το σήμα του. x = 5+3. x = 8. Δυστυχώς, δεν μπορούν να περιγραφούν όλες οι διαδικασίες της ζωής με τόσο απλές εξισώσεις. Πολύ συχνά μπορείτε να βρείτε εκφράσεις με πολλές ρίζες, μερικές φορές ο βαθμός της ρίζας μπορεί να είναι υψηλότερος από τον δεύτερο. Δεν υπάρχει ενιαίος αλγόριθμος λύσης για τέτοιες ταυτότητες. Για κάθε εξίσωση, αξίζει να αναζητήσετε μια ειδική προσέγγιση. Δίνεται ένα παράδειγμα στο οποίο η εξίσωση με ρίζα έχει τρίτο βαθμό.
Η κυβική ρίζα θα συμβολίζεται με 3√. Βρείτε τον όγκο ενός δοχείου που έχει σχήμα κύβου με πλευρά 5 μέτρα. Έστω ο όγκος x m^3. Τότε η κυβική ρίζα του όγκου θα είναι ίση με την πλευρά του κύβου και ίση με πέντε μέτρα. Προκύπτει η εξίσωση: 3√(x) =5. Για να το λύσετε, είναι απαραίτητο να σηκώσετε και τα δύο μέρη στην τρίτη δύναμη, x = 125. Απάντηση: 125 κυβικά μέτρα. Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα εξίσωσης με άθροισμα ριζών. √(x) +√(x-1) =5. Πρώτα πρέπει να τετραγωνίσετε και τα δύο μέρη. Για να γίνει αυτό, αξίζει να θυμάστε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού για το τετράγωνο του αθροίσματος: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Εφαρμόζοντας την εξίσωση, αποδεικνύεται: x + 2 * √ (x) * √ (x-1) + x-1 = 25. Επιπλέον, οι ρίζες αφήνονται στην αριστερή πλευρά και όλα τα άλλα μεταφέρονται στα δεξιά : 2 * √ (x) * √ (x-1) = 26 - 2x. Είναι βολικό να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη της παράστασης με 2: √((x) (x-1)) = 13 - x. Λαμβάνεται μια απλούστερη παράλογη εξίσωση.
Στη συνέχεια, πάλι, και τα δύο μέρη πρέπει να τετραγωνιστούν: x*(x-1) = 169 - 26x + x^2. Είναι απαραίτητο να ανοίξετε τις αγκύλες και να φέρετε παρόμοιους όρους: x ^ 2 - x \u003d 169 - 26x + x ^ 2. Η δεύτερη ισχύς εξαφανίζεται, επομένως 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Αφού ολοκληρώσετε τον έλεγχο, αντικαθιστώντας την προκύπτουσα ρίζα στην αρχική εξίσωση: √ (6.6) + √ (6.6-1) \u003d 2.6 + √ (5.6) \u003d 2.6 + 2.4 \u003d 5, μπορείτε να λάβετε μια ικανοποιητική απάντηση. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε ότι μια έκφραση με άρτια ρίζα δεν μπορεί να είναι αρνητική. Πράγματι, πολλαπλασιάζοντας οποιονδήποτε αριθμό από τον εαυτό του ζυγό αριθμό φορές, είναι αδύνατο να ληφθεί η τιμή λιγότερο από το μηδέν. Επομένως, εξισώσεις όπως √ (x ^ 2 + 7x-11) = -3 μπορούν να μην λυθούν με ασφάλεια, αλλά να γραφτούν ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η λύση των εξισώσεων με ρίζες μπορεί να πάρει μια μεγάλη ποικιλία μορφών.
Ένα απλό παράδειγμα εξίσωσης όπου πρέπει να αλλάξετε μεταβλητές. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, όπου 4√(y) είναι η τέταρτη ρίζα του y. Η προτεινόμενη αντικατάσταση είναι η εξής: x = 4√(y) . Μετά τη διεξαγωγή αυτού, αποδεικνύεται: x ^ 2 - 5x + 6 = 0. Λαμβάνεται η προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση. Η διάκρισή του: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Η πρώτη ρίζα x1 θα είναι ίση με (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Η δεύτερη ρίζα x2 = (5 - √1) / 2 = 4/ 2 = 2. Μπορείτε επίσης να βρείτε τις ρίζες χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα του θεωρήματος του Vieta. Οι ρίζες βρίσκονται, θα πρέπει να γίνει αντίστροφη αντικατάσταση. 4√(y) = 3, επομένως y1 = 1,6. Επίσης 4√(y) = 2, παίρνοντας την 4η ρίζα προκύπτει ότι y2 = 1,9. Οι τιμές υπολογίζονται στην αριθμομηχανή. Αλλά δεν μπορούν να γίνουν, αφήνοντας την απάντηση με τη μορφή ριζοσπαστών.
Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτεςνα βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημοσίων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.