Κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων, είναι συχνά απαραίτητο να συνυπολογιστεί ένα πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός είναι τρεις ή μεγαλύτερος. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε τον πιο εύκολο τρόπο για να το κάνετε αυτό.
Ως συνήθως, ας στραφούμε στη θεωρία για βοήθεια.
Το θεώρημα του Bezoutδηλώνει ότι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα διώνυμο είναι .
Αλλά αυτό που είναι σημαντικό για εμάς δεν είναι το ίδιο το θεώρημα, αλλά συμπέρασμα από αυτό:
Αν ο αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου, τότε το πολυώνυμο διαιρείται με το διώνυμο χωρίς υπόλοιπο.
Είμαστε αντιμέτωποι με το καθήκον να βρούμε με κάποιο τρόπο τουλάχιστον μια ρίζα του πολυωνύμου, στη συνέχεια να διαιρέσουμε το πολυώνυμο με το , όπου είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα πολυώνυμο του οποίου ο βαθμός είναι κατά ένα μικρότερος από τον βαθμό του αρχικού. Και στη συνέχεια, αν χρειαστεί, μπορείτε να επαναλάβετε τη διαδικασία.
Αυτή η εργασία χωρίζεται σε δύο: πώς να βρείτε τη ρίζα ενός πολυωνύμου και πώς να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο.
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτά τα σημεία.
1. Πώς να βρείτε τη ρίζα ενός πολυωνύμου.
Αρχικά, ελέγχουμε αν οι αριθμοί 1 και -1 είναι ρίζες του πολυωνύμου.
Τα ακόλουθα γεγονότα θα μας βοηθήσουν εδώ:
Αν το άθροισμα όλων των συντελεστών ενός πολυωνύμου είναι μηδέν, τότε ο αριθμός είναι η ρίζα του πολυωνύμου.
Για παράδειγμα, σε ένα πολυώνυμο το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν: . Είναι εύκολο να ελέγξετε ποια είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου.
Αν το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου σε άρτιες δυνάμεις είναι ίσο με το άθροισμα των συντελεστών σε περιττές δυνάμεις, τότε ο αριθμός είναι η ρίζα του πολυωνύμου.Ο ελεύθερος όρος θεωρείται συντελεστής για έναν άρτιο βαθμό, αφού το α είναι ένας ζυγός αριθμός.
Για παράδειγμα, σε ένα πολυώνυμο το άθροισμα των συντελεστών για άρτιες δυνάμεις είναι: , και το άθροισμα των συντελεστών για περιττές δυνάμεις είναι: . Είναι εύκολο να ελέγξετε ποια είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου.
Αν ούτε το 1 ούτε το -1 είναι ρίζες του πολυωνύμου, τότε προχωράμε.
Για ένα μειωμένο πολυώνυμο βαθμού (δηλαδή, ένα πολυώνυμο στο οποίο ο κύριος συντελεστής - ο συντελεστής στο - είναι ίσος με μονάδα), ισχύει ο τύπος Vieta:
Πού είναι οι ρίζες του πολυωνύμου.
Υπάρχουν επίσης τύποι Vieta που αφορούν τους υπόλοιπους συντελεστές του πολυωνύμου, αλλά μας ενδιαφέρει αυτός.
Από αυτόν τον τύπο Vieta προκύπτει ότι αν οι ρίζες ενός πολυωνύμου είναι ακέραιοι, τότε είναι διαιρέτες του ελεύθερου όρου του, που είναι επίσης ακέραιος.
Βασισμένο σε αυτό, Πρέπει να συνυπολογίσουμε τον ελεύθερο όρο του πολυωνύμου σε παράγοντες, και διαδοχικά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, να ελέγξουμε ποιος από τους παράγοντες είναι η ρίζα του πολυωνύμου.
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το πολυώνυμο
Διαιρέτες του ελεύθερου όρου: ; ; ;
Το άθροισμα όλων των συντελεστών ενός πολυωνύμου είναι ίσο με , επομένως, ο αριθμός 1 δεν είναι η ρίζα του πολυωνύμου.
Άθροισμα συντελεστών για ζυγές δυνάμεις:
Άθροισμα συντελεστών για περιττές δυνάμεις:
Επομένως, ο αριθμός -1 δεν είναι επίσης ρίζα του πολυωνύμου.
Ας ελέγξουμε αν ο αριθμός 2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου: επομένως, ο αριθμός 2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Αυτό σημαίνει, σύμφωνα με το θεώρημα του Bezout, το πολυώνυμο διαιρείται με ένα διώνυμο χωρίς υπόλοιπο.
2. Πώς να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο σε ένα διώνυμο.
Ένα πολυώνυμο μπορεί να χωριστεί σε ένα διώνυμο με μια στήλη.
Διαιρέστε το πολυώνυμο με ένα διώνυμο χρησιμοποιώντας μια στήλη:
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο - το σχήμα του Horner.
Δείτε αυτό το βίντεο για να καταλάβετε πώς να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο με μια στήλη και χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner.
Σημειώνω ότι εάν, κατά τη διαίρεση με μια στήλη, λείπει κάποιος βαθμός του αγνώστου στο αρχικό πολυώνυμο, γράφουμε 0 στη θέση του - με τον ίδιο τρόπο όπως όταν συντάσσουμε έναν πίνακα για το σχήμα του Horner.
Έτσι, αν χρειαστεί να διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο και ως αποτέλεσμα της διαίρεσης λάβουμε ένα πολυώνυμο, τότε μπορούμε να βρούμε τους συντελεστές του πολυωνύμου χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner:
Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε Σχέδιο Hornerγια να ελέγξετε εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου: εάν ο αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου, τότε το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του πολυωνύμου με το είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή στην τελευταία στήλη της δεύτερης σειράς του Το διάγραμμα του Horner παίρνουμε 0.
Χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner, "σκοτώνουμε δύο πουλιά με μια πέτρα": ελέγχουμε ταυτόχρονα αν ο αριθμός είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου και διαιρούμε αυτό το πολυώνυμο με ένα διώνυμο.
Παράδειγμα.Λύστε την εξίσωση:
1. Ας γράψουμε τους διαιρέτες του ελεύθερου όρου και ας αναζητήσουμε τις ρίζες του πολυωνύμου ανάμεσα στους διαιρέτες του ελεύθερου όρου.
Διαιρέτες του 24:
2. Ας ελέγξουμε αν ο αριθμός 1 είναι η ρίζα του πολυωνύμου.
Το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου, επομένως, ο αριθμός 1 είναι η ρίζα του πολυωνύμου.
3. Διαιρέστε το αρχικό πολυώνυμο σε διώνυμο χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner.
Α) Ας γράψουμε τους συντελεστές του αρχικού πολυωνύμου στην πρώτη σειρά του πίνακα.
Εφόσον λείπει ο όρος που περιέχει, στη στήλη του πίνακα που πρέπει να γραφεί ο συντελεστής γράφουμε 0. Αριστερά γράφουμε τη ρίζα που βρέθηκε: τον αριθμό 1.
Β) Συμπληρώστε την πρώτη σειρά του πίνακα.
Στην τελευταία στήλη, όπως ήταν αναμενόμενο, πήραμε μηδέν· διαιρέσαμε το αρχικό πολυώνυμο με ένα διώνυμο χωρίς υπόλοιπο. Οι συντελεστές του πολυωνύμου που προκύπτει από τη διαίρεση φαίνονται με μπλε χρώμα στη δεύτερη σειρά του πίνακα:
Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι οι αριθμοί 1 και -1 δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου
Β) Ας συνεχίσουμε τον πίνακα. Ας ελέγξουμε αν ο αριθμός 2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου:
Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου, ο οποίος προκύπτει ως αποτέλεσμα της διαίρεσης με ένα, είναι μικρότερος από τον βαθμό του αρχικού πολυωνύμου, επομένως, ο αριθμός των συντελεστών και ο αριθμός των στηλών είναι ένας λιγότερος.
Στην τελευταία στήλη πήραμε -40 - έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν, επομένως, το πολυώνυμο διαιρείται με ένα διώνυμο με υπόλοιπο και ο αριθμός 2 δεν είναι η ρίζα του πολυωνύμου.
Γ) Ας ελέγξουμε αν ο αριθμός -2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Επειδή η προηγούμενη προσπάθεια απέτυχε, για να αποφευχθεί η σύγχυση με τους συντελεστές, θα διαγράψω τη γραμμή που αντιστοιχεί σε αυτήν την προσπάθεια:
Εξαιρετική! Πήραμε το μηδέν ως υπόλοιπο, επομένως, το πολυώνυμο χωρίστηκε σε ένα διώνυμο χωρίς υπόλοιπο, επομένως, ο αριθμός -2 είναι η ρίζα του πολυωνύμου. Οι συντελεστές του πολυωνύμου που προκύπτει από τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα διώνυμο φαίνονται με πράσινο χρώμα στον πίνακα.
Ως αποτέλεσμα της διαίρεσης παίρνουμε ένα τετραγωνικό τριώνυμο 
, του οποίου οι ρίζες μπορούν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:
Έτσι, οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι:
{
}
Απάντηση: ( 
}
Δίνονται 8 παραδείγματα πολυωνύμων παραγοντοποίησης. Περιλαμβάνουν παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών και διτετραγωνικών εξισώσεων, παραδείγματα αμοιβαίων πολυωνύμων και παραδείγματα εύρεσης ακέραιων ριζών πολυωνύμων τρίτου και τέταρτου βαθμού.
1. Παραδείγματα επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Παράδειγμα 1.1
Χ 4 + x 3 - 6 x 2.
Λύση
Βγάζουμε x 2
εκτός παρενθέσεων:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Οι ρίζες της εξίσωσης:
, .
.
Απάντηση
Παράδειγμα 1.2
Συντελεστής το πολυώνυμο τρίτου βαθμού:
Χ 3 + 6 x 2 + 9 x.
Λύση
Ας βγάλουμε το x από αγκύλες:
.
Ας αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωσηΧ 2 + 6 x + 9 = 0:
Η διάκρισή του: .
Εφόσον η διάκριση είναι μηδέν, οι ρίζες της εξίσωσης είναι πολλαπλές: ;
.
Από αυτό προκύπτει η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου:
.
Απάντηση
Παράδειγμα 1.3
Συντελεστής το πολυώνυμο πέμπτου βαθμού:
Χ 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Λύση
Βγάζουμε x 3
εκτός παρενθέσεων:
.
Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 - 2 x + 10 = 0.
Η διάκρισή του: .
Από τη διάκριση λιγότερο από το μηδέν, τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι μιγαδικές: ;
, .
Η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου έχει τη μορφή:
.
Αν μας ενδιαφέρει η παραγοντοποίηση με πραγματικούς συντελεστές, τότε:
.
Απάντηση
Παραδείγματα παραγοντοποίησης πολυωνύμων με χρήση τύπων
Παραδείγματα με διτετραγωνικά πολυώνυμα
Παράδειγμα 2.1
Συντελεστής το διτετραγωνικό πολυώνυμο:
Χ 4 + x 2 - 20.
Λύση
Ας εφαρμόσουμε τους τύπους:
ένα 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ένα 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Απάντηση
Παράδειγμα 2.2
Υπολογίστε το πολυώνυμο που ανάγεται σε διτετραγωνικό:
Χ 8 + x 4 + 1.
Λύση
Ας εφαρμόσουμε τους τύπους:
ένα 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ένα 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Απάντηση
Παράδειγμα 2.3 με επαναλαμβανόμενο πολυώνυμο
Συνυπολογίστε το αμοιβαίο πολυώνυμο:
.
Λύση
Ένα αμοιβαίο πολυώνυμο έχει περιττό βαθμό. Επομένως έχει ρίζα x = - 1
. Διαιρέστε το πολυώνυμο με x - (-1) = x + 1. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
.
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:
, ;
;
;
.
Απάντηση
Παραδείγματα παραγοντοποίησης πολυωνύμων με ακέραιες ρίζες
Παράδειγμα 3.1
Συντελεστής το πολυώνυμο:
.
Λύση
Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Έτσι, βρήκαμε τρεις ρίζες:
Χ 1 = 1
, Χ 2 = 2
, Χ 3 = 3
.
Δεδομένου ότι το αρχικό πολυώνυμο είναι τρίτου βαθμού, δεν έχει περισσότερες από τρεις ρίζες. Αφού βρήκαμε τρεις ρίζες, είναι απλές. Επειτα
.
Απάντηση
Παράδειγμα 3.2
Συντελεστής το πολυώνυμο:
.
Λύση
Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση
έχει τουλάχιστον μία ολόκληρη ρίζα. Τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 2
(μέλος χωρίς x). Δηλαδή, ολόκληρη η ρίζα μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς:
-2, -1, 1, 2
.
Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές μία προς μία:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Αν υποθέσουμε ότι αυτή η εξίσωση έχει ακέραια ρίζα, τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 2
(μέλος χωρίς x). Δηλαδή, ολόκληρη η ρίζα μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς:
1, 2, -1, -2
.
Ας αντικαταστήσουμε το x = -1
:
.
Έτσι, βρήκαμε μια άλλη ρίζα x 2
= -1
. Θα ήταν δυνατό, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, να διαιρέσουμε το πολυώνυμο με , αλλά θα ομαδοποιήσουμε τους όρους:
.
Δεδομένου ότι η εξίσωση x 2 + 2 = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου έχει τη μορφή.
Τι συνέβη παραγοντοποίηση;Αυτός είναι ένας τρόπος για να μετατρέψετε ένα άβολο και σύνθετο παράδειγμα σε απλό και χαριτωμένο.) Μια πολύ δυνατή τεχνική! Βρίσκεται σε κάθε βήμα τόσο στα δημοτικά όσο και στα ανώτερα μαθηματικά.
Τέτοιοι μετασχηματισμοί στη μαθηματική γλώσσα ονομάζονται πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εκφράσεων. Για όσους δεν το γνωρίζουν, ρίξτε μια ματιά στον σύνδεσμο. Υπάρχουν πολύ λίγα, απλά και χρήσιμα.) Το νόημα κάθε μετασχηματισμού ταυτότητας είναι η καταγραφή της έκφρασης σε άλλη μορφήδιατηρώντας παράλληλα την ουσία του.
Εννοια παραγοντοποίησηεξαιρετικά απλό και ξεκάθαρο. Ακριβώς από το ίδιο το όνομα. Μπορεί να ξεχάσετε (ή να μην ξέρετε) τι είναι ο πολλαπλασιαστής, αλλά μπορείτε να καταλάβετε ότι αυτή η λέξη προέρχεται από τη λέξη "πολλαπλασιάζω";) Factoring σημαίνει: αντιπροσωπεύουν μια έκφραση με τη μορφή πολλαπλασιασμού κάτι με κάτι. Να με συγχωρήσουν τα μαθηματικά και η ρωσική γλώσσα...) Αυτό είναι όλο.
Για παράδειγμα, πρέπει να αναπτύξετε τον αριθμό 12. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια:
Έτσι παρουσιάσαμε τον αριθμό 12 ως πολλαπλασιασμό του 3 με το 4. Σημειώστε ότι οι αριθμοί στα δεξιά (3 και 4) είναι εντελώς διαφορετικοί από ό,τι στα αριστερά (1 και 2). Αλλά καταλαβαίνουμε πολύ καλά ότι 12 και 3 4 ίδιο.Η ουσία του αριθμού 12 από τη μεταμόρφωση δεν έχει αλλάξει.
Είναι δυνατόν να αποσυντεθεί 12 διαφορετικά; Εύκολα!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Οι επιλογές αποσύνθεσης είναι ατελείωτες.
Η παραγοντοποίηση αριθμών είναι χρήσιμη. Βοηθάει πολύ, για παράδειγμα, όταν δουλεύεις με ρίζες. Αλλά η παραγοντοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων δεν είναι μόνο χρήσιμη, αλλά και χρήσιμη απαραίτητη!Απλά για παράδειγμα:
Απλοποιώ:
Όσοι δεν ξέρουν πώς να παραγοντοποιούν μια έκφραση μένουν στο περιθώριο. Όσοι ξέρουν πώς - απλοποιήστε και αποκτήστε:
Το αποτέλεσμα είναι εκπληκτικό, σωστά;) Παρεμπιπτόντως, η λύση είναι αρκετά απλή. Θα το δείτε μόνοι σας παρακάτω. Ή, για παράδειγμα, αυτή η εργασία:
Λύστε την εξίσωση:
x 5 - x 4 = 0
Αποφασίζεται στο μυαλό, παρεμπιπτόντως. Χρήση παραγοντοποίησης. Θα λύσουμε αυτό το παράδειγμα παρακάτω. Απάντηση: x 1 = 0; x 2 = 1.
Ή, το ίδιο πράγμα, αλλά για τους μεγαλύτερους):
Λύστε την εξίσωση:
Σε αυτά τα παραδείγματα έδειξα κύριος σκοπόςπαραγοντοποίηση: απλοποίηση κλασματικών εκφράσεων και επίλυση ορισμένων ειδών εξισώσεων. Ακολουθεί ένας εμπειρικός κανόνας που πρέπει να θυμάστε:
Αν έχουμε μια τρομακτική κλασματική έκφραση μπροστά μας, μπορούμε να δοκιμάσουμε να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Πολύ συχνά το κλάσμα μειώνεται και απλοποιείται.
Εάν έχουμε μια εξίσωση μπροστά μας, όπου στα δεξιά υπάρχει το μηδέν και στα αριστερά - δεν καταλαβαίνω τι, μπορούμε να προσπαθήσουμε να παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά. Μερικές φορές βοηθάει).
Βασικές μέθοδοι παραγοντοποίησης.
Εδώ είναι οι πιο δημοφιλείς μέθοδοι:
4. Διεύρυνση τετραγωνικού τριωνύμου.
Αυτές οι μέθοδοι πρέπει να θυμόμαστε. Ακριβώς με αυτή τη σειρά. Ελέγχονται σύνθετα παραδείγματα για όλα πιθανούς τρόπουςαποσύνθεση.Και είναι καλύτερο να το ελέγξετε με τη σειρά για να μην μπερδευτούμε... Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με τη σειρά.)
1. Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Ένας απλός και αξιόπιστος τρόπος. Δεν βγαίνει τίποτα κακό από αυτόν! Συμβαίνει είτε καλά είτε καθόλου.) Γι’ αυτό έρχεται πρώτος. Ας το καταλάβουμε.
Όλοι γνωρίζουν (πιστεύω!) τον κανόνα:
a(b+c) = ab+ac
Ή περισσότερο γενική εικόνα:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Όλες οι ισότητες λειτουργούν και από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα, από δεξιά προς τα αριστερά. Μπορείς να γράψεις:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = α(β+γ+δ+.....)
Αυτό είναι όλο το νόημα του να βγάζεις κοινός πολλαπλασιαστήςεκτός παρενθέσεων.
Στην αριστερή πλευρά ΕΝΑ - κοινός πολλαπλασιαστήςγια όλους τους όρους. Πολλαπλασιάζεται με όλα όσα υπάρχουν). Στα δεξιά είναι τα περισσότερα ΕΝΑβρίσκεται ήδη έξω από τις αγκύλες.
Πρακτική χρήσηΑς δούμε τη μέθοδο χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Στην αρχή η επιλογή είναι απλή, ακόμη και πρωτόγονη.) Αλλά σε αυτήν την επιλογή θα σημειώσω ( πράσινος) Πολύ σημαντικά σημείαγια οποιαδήποτε παραγοντοποίηση.
Παραγοντοποιήστε:
αχ+9χ
Οι οποίες γενικόςεμφανίζεται ο πολλαπλασιαστής και στους δύο όρους; Χ, φυσικά! Θα το βάλουμε εκτός παρένθεσης. Ας το κάνουμε. Γράφουμε αμέσως Χ έξω από τις αγκύλες:
ax+9x=x(
Και σε παρένθεση γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης κάθε όροςσε αυτό ακριβώς το Χ. Για να:
Αυτό είναι όλο. Φυσικά, δεν χρειάζεται να το περιγράψω με τόση λεπτομέρεια, αυτό γίνεται στο μυαλό. Αλλά καλό είναι να καταλάβουμε τι είναι τι). Καταγράφουμε στη μνήμη:
Γράφουμε τον κοινό παράγοντα έξω από τις αγκύλες. Σε παρένθεση γράφουμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης όλων των όρων με αυτόν τον κοινό παράγοντα. Για να.
Επεκτείναμε λοιπόν την έκφραση αχ+9χμε πολλαπλασιαστές. Το μετέτρεψε σε πολλαπλασιασμό του x επί (α+9).Σημειώνω ότι στην αρχική έκφραση υπήρχε επίσης ένας πολλαπλασιασμός, έστω και δύο: a·x και 9·x.Αλλά δεν παραγοντοποιήθηκε!Γιατί εκτός από πολλαπλασιασμό, αυτή η έκφραση περιείχε και πρόσθεση, το πρόσημο «+»! Και στην έκφραση x(a+9) Δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον πολλαπλασιασμό!
Πως και έτσι!? - Ακούω την αγανακτισμένη φωνή του κόσμου - Και σε παρένθεση!;)
Ναι, υπάρχει προσθήκη μέσα στην παρένθεση. Αλλά το κόλπο είναι ότι ενώ οι αγκύλες δεν ανοίγουν, τις εξετάζουμε σαν ένα γράμμα.Και κάνουμε όλες τις ενέργειες με αγκύλες εξ ολοκλήρου, όπως με ένα γράμμα.Υπό αυτή την έννοια, στην έκφραση x(a+9)Δεν υπάρχει τίποτα εκτός από τον πολλαπλασιασμό. Αυτό είναι όλο το νόημα της παραγοντοποίησης.
Παρεμπιπτόντως, είναι δυνατόν να ελέγξουμε με κάποιο τρόπο αν τα κάναμε όλα σωστά; Εύκολα! Αρκεί να πολλαπλασιάσετε αυτό που βάλατε (x) με αγκύλες και να δείτε αν λειτούργησε πρωτότυποέκφραση? Αν λειτουργεί, όλα είναι υπέροχα!)
x(a+9)=ax+9x
Συνέβη.)
Δεν υπάρχουν προβλήματα σε αυτό το πρωτόγονο παράδειγμα. Αν όμως υπάρχουν αρκετοί όροι, και μάλιστα με διαφορετικά σημάδια... Εν ολίγοις, κάθε τρίτος μαθητής μπλέκει). Επομένως:
Εάν χρειάζεται, ελέγξτε την παραγοντοποίηση με αντίστροφο πολλαπλασιασμό.
Παραγοντοποιήστε:
3ax+9x
Αναζητούμε έναν κοινό παράγοντα. Λοιπόν, όλα είναι ξεκάθαρα με το Χ, μπορεί να αφαιρεθεί. Υπάρχει κι άλλο γενικόςπαράγοντας? Ναί! Αυτό είναι ένα τρία. Μπορείτε να γράψετε την έκφραση ως εξής:
3ax+3 3x
Εδώ είναι αμέσως ξεκάθαρο ότι ο κοινός παράγοντας θα είναι 3x. Εδώ το βγάζουμε:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Απλώστε.
Τι γίνεται αν το βγάλεις μόνο x;Τίποτα ιδιαίτερο:
3ax+9x=x(3a+9)
Αυτό θα είναι και παραγοντοποίηση. Αλλά σε αυτή τη συναρπαστική διαδικασία, συνηθίζεται να τα βάζουμε όλα στο όριο όσο υπάρχει η ευκαιρία. Εδώ σε αγκύλες υπάρχει η ευκαιρία να βάλετε ένα τρία. Θα αποδειχθεί:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Το ίδιο πράγμα, μόνο με μια επιπλέον ενέργεια.) Θυμηθείτε:
Όταν βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες, προσπαθούμε να βγάλουμε ανώτατο όριοκοινός παράγοντας.
Συνεχίζουμε τη διασκέδαση;)
Παραμετροποιήστε την έκφραση:
3akh+9х-8а-24
Τι θα αφαιρέσουμε; Τρία, Χ; Όχι... Δεν μπορείς. Σας υπενθυμίζω ότι μπορείτε μόνο να βγάλετε γενικόςπολλαπλασιαστής δηλαδή σε όλαόρους της έκφρασης. Γι' αυτό και αυτός γενικός.Δεν υπάρχει τέτοιος πολλαπλασιαστής εδώ... Τι, δεν χρειάζεται να το επεκτείνετε!; Λοιπόν, ναι, ήμασταν τόσο χαρούμενοι... Γνωρίστε:
2. Ομαδοποίηση.
Στην πραγματικότητα, είναι δύσκολο να ονομάσουμε την ομάδα με ανεξάρτητο τρόποπαραγοντοποίηση. Είναι περισσότερο ένας τρόπος να βγεις έξω σύνθετο παράδειγμα.) Πρέπει να ομαδοποιήσουμε τους όρους έτσι ώστε όλα να πάνε καλά. Αυτό μπορεί να φανεί μόνο με παράδειγμα. Έτσι, έχουμε την έκφραση:
3akh+9х-8а-24
Μπορεί να φανεί ότι υπάρχουν μερικά κοινά γράμματα και αριθμοί. Αλλά... Γενικόςδεν υπάρχει πολλαπλασιαστής σε όλους τους όρους. Ας μην χάσουμε την καρδιά μας και σπάστε την έκφραση σε κομμάτια.Ομαδοποίηση. Έτσι ώστε κάθε κομμάτι να έχει έναν κοινό παράγοντα, υπάρχει κάτι να αφαιρέσετε. Πώς το σπάμε; Ναι, απλά βάζουμε παρενθέσεις.
Να σας υπενθυμίσω ότι οι παρενθέσεις μπορούν να τοποθετηθούν οπουδήποτε και όπως θέλετε. Μόνο η ουσία του παραδείγματος δεν έχει αλλάξει.Για παράδειγμα, μπορείτε να κάνετε αυτό:
3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8α+24)
Παρακαλώ δώστε προσοχή στις δεύτερες αγκύλες! Προηγείται το σύμβολο μείον και 8αΚαι 24 έγινε θετικός! Εάν, για έλεγχο, ανοίξουμε τις αγκύλες πίσω, τα σημάδια θα αλλάξουν, και παίρνουμε πρωτότυποέκφραση. Εκείνοι. η ουσία της έκφρασης από τις αγκύλες δεν έχει αλλάξει.
Αλλά αν μόλις εισαγάγατε παρενθέσεις χωρίς να λάβετε υπόψη την αλλαγή του πρόσημου, για παράδειγμα, ως εξής:
3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8α-24 )
θα ήταν λάθος. Στα δεξιά - ήδη άλλαέκφραση. Ανοίξτε τις αγκύλες και όλα θα γίνουν ορατά. Δεν χρειάζεται να αποφασίσετε περαιτέρω, ναι...)
Ας επιστρέψουμε όμως στην παραγοντοποίηση. Ας δούμε τις πρώτες αγκύλες (3ax+9x)και σκεφτόμαστε, υπάρχει κάτι που μπορούμε να βγάλουμε; Λοιπόν, λύσαμε αυτό το παράδειγμα παραπάνω, μπορούμε να το πάρουμε 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Ας μελετήσουμε τις δεύτερες αγκύλες, μπορούμε να προσθέσουμε ένα οκτώ εκεί:
(8a+24)=8(a+3)
Ολόκληρη η έκφρασή μας θα είναι:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Factored; Οχι. Το αποτέλεσμα της αποσύνθεσης πρέπει να είναι μόνο πολλαπλασιασμόςαλλά μαζί μας το μείον τα χαλάει όλα. Όμως... Και οι δύο όροι έχουν έναν κοινό παράγοντα! Αυτό (a+3). Δεν ήταν για τίποτα που είπα ότι ολόκληρες οι αγκύλες είναι, σαν να λέγαμε, ένα γράμμα. Αυτό σημαίνει ότι αυτές οι αγκύλες μπορούν να αφαιρεθούν από αγκύλες. Ναι, αυτό ακριβώς ακούγεται.)
Κάνουμε όπως περιγράφεται παραπάνω. Γράφουμε τον κοινό παράγοντα (a+3), στις δεύτερες αγκύλες γράφουμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης των όρων με (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Ολα! Δεν υπάρχει τίποτα στα δεξιά εκτός από τον πολλαπλασιασμό! Αυτό σημαίνει ότι η παραγοντοποίηση ολοκληρώθηκε με επιτυχία!) Εδώ είναι:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Ας επαναλάβουμε εν συντομία την ουσία της ομάδας.
Αν η έκφραση δεν το κάνει γενικόςπολλαπλασιαστής για Ολοιόρους, σπάμε την έκφραση σε αγκύλες έτσι ώστε μέσα στις αγκύλες ο κοινός παράγοντας ήταν.Το βγάζουμε και βλέπουμε τι θα γίνει. Εάν είστε τυχεροί και υπάρχουν απολύτως πανομοιότυπες εκφράσεις στις αγκύλες, μετακινούμε αυτές τις αγκύλες εκτός αγκύλων.
Θα προσθέσω ότι η ομαδοποίηση είναι μια δημιουργική διαδικασία). Δεν βγαίνει πάντα την πρώτη φορά. Είναι εντάξει. Μερικές φορές πρέπει να ανταλλάξετε όρους και να σκεφτείτε διαφορετικές παραλλαγέςομάδες μέχρι να βρεθεί μια επιτυχημένη. Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην χάσετε την καρδιά!)
Παραδείγματα.
Τώρα, έχοντας εμπλουτιστεί με γνώσεις, μπορείτε να λύσετε δύσκολα παραδείγματα.) Στην αρχή του μαθήματος υπήρχαν τρία από αυτά...
Απλοποιώ:
Στην ουσία, έχουμε ήδη λύσει αυτό το παράδειγμα. Εν αγνοία μας.) Σας υπενθυμίζω: αν μας δοθεί ένα τρομερό κλάσμα, προσπαθούμε να συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Άλλες επιλογές απλοποίησης απλά όχι.
Λοιπόν, εδώ δεν επεκτείνεται ο παρονομαστής, αλλά ο αριθμητής... Έχουμε ήδη επεκτείνει τον αριθμητή κατά τη διάρκεια του μαθήματος! Σαν αυτό:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Γράφουμε το αποτέλεσμα της επέκτασης στον αριθμητή του κλάσματος:
Σύμφωνα με τον κανόνα της αναγωγής των κλασμάτων (η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος), μπορούμε να διαιρέσουμε (ταυτόχρονα!) τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, ή έκφραση. Κλάσμα από αυτό δεν αλλάζει.Άρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την παράσταση (3x-8). Και που και που θα πάρουμε κι ένα. Το τελικό αποτέλεσμα της απλοποίησης:
Θα ήθελα να τονίσω ιδιαίτερα: η μείωση ενός κλάσματος είναι δυνατή εάν και μόνο εάν είναι στον αριθμητή και στον παρονομαστή, εκτός από τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων δεν υπάρχει τίποτα.Γι' αυτό και η μετατροπή του αθροίσματος (διαφορά) σε πολλαπλασιασμόςτόσο σημαντικό για την απλοποίηση. Φυσικά, αν οι εκφράσεις διαφορετικός,τότε τίποτα δεν θα μειωθεί. Θα συμβεί. Αλλά παραγοντοποίηση δίνει μια ευκαιρία.Αυτή η ευκαιρία χωρίς αποσύνθεση απλά δεν υπάρχει.
Παράδειγμα με εξίσωση:
Λύστε την εξίσωση:
x 5 - x 4 = 0
Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x 4εκτός παρενθέσεων. Παίρνουμε:
x 4 (x-1)=0
Αντιλαμβανόμαστε ότι το γινόμενο των παραγόντων είναι ίσο με μηδέν τότε και μόνο τότε,όταν κάποιο από αυτά είναι μηδέν. Εάν έχετε αμφιβολίες, βρείτε μου μερικούς μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν.) Γράφουμε λοιπόν, πρώτα τον πρώτο παράγοντα:
Με τέτοια ισότητα, ο δεύτερος παράγοντας δεν μας αφορά. Ο καθένας μπορεί να είναι, αλλά στο τέλος θα εξακολουθεί να είναι μηδέν. Ποιος αριθμός στην τέταρτη δύναμη δίνει το μηδέν; Μόνο μηδέν! Και κανένα άλλο... Επομένως:
Καταλάβαμε τον πρώτο παράγοντα και βρήκαμε μια ρίζα. Ας δούμε τον δεύτερο παράγοντα. Τώρα δεν μας ενδιαφέρει πια ο πρώτος παράγοντας.):
Εδώ βρήκαμε μια λύση: x 1 = 0; x 2 = 1. Οποιαδήποτε από αυτές τις ρίζες ταιριάζει στην εξίσωσή μας.
Πολύ σημαντική σημείωση. Σημειώστε ότι λύσαμε την εξίσωση κομμάτι κομμάτι!Κάθε παράγοντας ήταν ίσος με μηδέν, ανεξάρτητα από άλλους παράγοντες.Παρεμπιπτόντως, αν σε μια τέτοια εξίσωση δεν υπάρχουν δύο παράγοντες, όπως ο δικός μας, αλλά τρεις, πέντε, όσοι θέλετε, θα λύσουμε παρόμοιος.Κομμάτι κομμάτι. Για παράδειγμα:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Όποιος ανοίξει τις αγκύλες και πολλαπλασιάσει τα πάντα θα μείνει για πάντα σε αυτή την εξίσωση.) Ένας σωστός μαθητής θα δει αμέσως ότι δεν υπάρχει τίποτα στα αριστερά εκτός από τον πολλαπλασιασμό και το μηδέν στα δεξιά. Και θα αρχίσει (στο μυαλό του!) να εξισώνει όλες τις αγκύλες με σκοπό το μηδέν. Και θα βρει (σε 10 δευτερόλεπτα!) τη σωστή λύση: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Τέλεια, σωστά;) Μια τόσο κομψή λύση είναι δυνατή αν αριστερή πλευράεξισώσεις παραγοντοποιούνται.Καταλάβατε την υπόδειξη;)
Λοιπόν, ένα τελευταίο παράδειγμα, για τους παλαιότερους):
Λύστε την εξίσωση:
Είναι κάπως παρόμοιο με το προηγούμενο, δεν νομίζετε;) Φυσικά. Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε ότι στην άλγεβρα της έβδομης τάξης, τα ημιτόνια, οι λογάριθμοι και οτιδήποτε άλλο μπορούν να κρυφτούν κάτω από τα γράμματα! Το Factoring λειτουργεί σε όλα τα μαθηματικά.
Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα lg 4 xεκτός παρενθέσεων. Παίρνουμε:
log 4 x=0
Αυτή είναι μια ρίζα. Ας δούμε τον δεύτερο παράγοντα.
Εδώ είναι η τελική απάντηση: x 1 = 1; x 2 = 10.
Ελπίζω να έχετε συνειδητοποιήσει τη δύναμη της παραγοντοποίησης στην απλοποίηση των κλασμάτων και στην επίλυση εξισώσεων.)
Σε αυτό το μάθημα μάθαμε για την κοινή παραγοντοποίηση και ομαδοποίηση. Μένει να κατανοήσουμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό και το τετραγωνικό τριώνυμο.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Σε γενικές γραμμές, αυτό το έργο περιλαμβάνει δημιουργικότητα, αφού δεν υπάρχει καθολική μέθοδος επίλυσής του. Ας προσπαθήσουμε όμως να δώσουμε μερικές συμβουλές.
Στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων, η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου βασίζεται σε μια απόρροια του θεωρήματος του Bezout, δηλαδή, η ρίζα βρίσκεται ή επιλέγεται και ο βαθμός του πολυωνύμου μειώνεται κατά ένα διαιρώντας με . Αναζητείται η ρίζα του πολυωνύμου που προκύπτει και η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι την πλήρη επέκταση.
Εάν δεν μπορεί να βρεθεί η ρίζα, τότε χρησιμοποιούνται συγκεκριμένες μέθοδοι επέκτασης: από την ομαδοποίηση έως την εισαγωγή πρόσθετων αμοιβαία αποκλειστικών όρων.
Η περαιτέρω παρουσίαση βασίζεται στις δεξιότητες επίλυσης εξισώσεων υψηλότερους βαθμούςμε ακέραιους συντελεστές.
Διακρίνοντας τον κοινό παράγοντα.
Ας ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση, όταν ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή το πολυώνυμο έχει τη μορφή .
Προφανώς, η ρίζα ενός τέτοιου πολυωνύμου είναι , δηλαδή, μπορούμε να αναπαραστήσουμε το πολυώνυμο με τη μορφή .
Αυτή η μέθοδος δεν είναι τίποτα άλλο από βάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσης.
Παράδειγμα.
Συντελεστής πολυώνυμο τρίτου βαθμού.
Λύση.
Προφανώς ποια είναι η ρίζα του πολυωνύμου, δηλαδή Χμπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες:
Ας βρούμε τις ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου 
Ετσι, 
Αρχή σελίδας
Παραγοντοποίηση πολυωνύμου με ορθολογικές ρίζες.
Αρχικά, ας εξετάσουμε μια μέθοδο για την επέκταση ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές της μορφής , ο συντελεστής του υψηλότερου βαθμού είναι ίσος με ένα.
Στην περίπτωση αυτή, εάν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε είναι διαιρέτες του ελεύθερου όρου.
Παράδειγμα.
Λύση.
Ας ελέγξουμε αν υπάρχουν άθικτες ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε τους διαιρέτες του αριθμού -18
: . Δηλαδή, αν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε είναι μεταξύ των γραμμένων αριθμών. Ας ελέγξουμε αυτούς τους αριθμούς διαδοχικά χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner. Η ευκολία του έγκειται επίσης στο γεγονός ότι στο τέλος λαμβάνουμε τους συντελεστές διαστολής του πολυωνύμου: 
Αυτό είναι, x=2Και x=-3είναι οι ρίζες του αρχικού πολυωνύμου και μπορούμε να το αναπαραστήσουμε ως γινόμενο:
Μένει να επεκταθεί το τετραγωνικό τριώνυμο.
Η διάκριση αυτού του τριωνύμου είναι αρνητική, επομένως δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Απάντηση:
Σχόλιο:
Αντί για το σχήμα του Horner, θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει την επιλογή της ρίζας και την επακόλουθη διαίρεση του πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο.
Τώρα θεωρήστε την επέκταση ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές της μορφής , και ο συντελεστής του υψηλότερου βαθμού δεν είναι ίσος με ένα.
Σε αυτή την περίπτωση, το πολυώνυμο μπορεί να έχει κλασματικά ορθολογικές ρίζες.
Παράδειγμα.
Παράγοντες την έκφραση.
Λύση.
Εκτελώντας μια αλλαγή μεταβλητής y=2x, ας προχωρήσουμε σε ένα πολυώνυμο με συντελεστή ίσο με ένα στον υψηλότερο βαθμό. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε πρώτα την έκφραση με 4
.
Εάν η συνάρτηση που προκύπτει έχει ακέραιες ρίζες, τότε είναι μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου. Ας τα γράψουμε:
Ας υπολογίσουμε διαδοχικά τις τιμές της συνάρτησης g(y)σε αυτά τα σημεία μέχρι να επιτευχθεί το μηδέν. 
Τι να κάνετε εάν, κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος από την Ενιαία Κρατική Εξέταση ή μια εισαγωγική εξέταση στα μαθηματικά, λάβατε ένα πολυώνυμο που δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί τυπικές μεθόδουςπου έμαθες στο σχολείο; Σε αυτό το άρθρο, ένας καθηγητής μαθηματικών θα σας πει για μια αποτελεσματική μέθοδο, η μελέτη της οποίας ξεφεύγει από το πεδίο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, αλλά με τη βοήθεια του οποίου δεν θα είναι δύσκολο να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο. Διαβάστε αυτό το άρθρο μέχρι το τέλος και παρακολουθήστε το συνημμένο εκπαιδευτικό βίντεο. Οι γνώσεις που θα αποκτήσεις θα σε βοηθήσουν στις εξετάσεις.
Παραγοντοποίηση πολυωνύμου με τη μέθοδο της διαίρεσης
Σε περίπτωση που λάβατε ένα πολυώνυμο μεγαλύτερο από το δεύτερο βαθμό και μπορέσατε να μαντέψετε την τιμή της μεταβλητής στην οποία αυτό το πολυώνυμο γίνεται ίσο με μηδέν(για παράδειγμα, αυτή η τιμή είναι ίση με ), ξέρετε! Αυτό το πολυώνυμο μπορεί να διαιρεθεί με .
Για παράδειγμα, είναι εύκολο να δούμε ότι ένα πολυώνυμο τέταρτου βαθμού εξαφανίζεται στο . Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με , λαμβάνοντας έτσι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού (λιγότερο κατά ένα). Δηλαδή, παρουσιάστε το με τη μορφή:
Οπου ΕΝΑ, σι, ντοΚαι ρε- κάποιοι αριθμοί. Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:
Δεδομένου ότι οι συντελεστές στο ίσους βαθμούςπρέπει να είναι το ίδιο, παίρνουμε:
Λοιπόν, πήραμε:
Προχώρα. Αρκεί να περάσουμε από αρκετούς μικρούς ακέραιους για να δούμε ότι το πολυώνυμο τρίτου βαθμού διαιρείται και πάλι με το . Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού (λιγότερο κατά ένα). Στη συνέχεια, προχωρήστε σε μια νέα καταχώρηση:
Οπου μι, φάΚαι σολ- κάποιοι αριθμοί. Ανοίγουμε ξανά τις αγκύλες και καταλήγουμε στην εξής έκφραση:
Και πάλι, από την προϋπόθεση της ισότητας των συντελεστών για τους ίδιους βαθμούς, προκύπτει:
Τότε παίρνουμε:
Δηλαδή, το αρχικό πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:
Κατ 'αρχήν, εάν είναι επιθυμητό, χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων, το αποτέλεσμα μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή:
Τόσο απλά και αποτελεσματική μέθοδοςπολυώνυμα παραγοντοποίησης. Θυμηθείτε το, μπορεί να σας φανεί χρήσιμο σε διαγωνισμό εξετάσεων ή μαθηματικών. Ελέγξτε αν έχετε μάθει πώς να χρησιμοποιείτε αυτήν τη μέθοδο. Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας την παρακάτω εργασία.
Συντελεστής το πολυώνυμο:
Γράψτε τις απαντήσεις σας στα σχόλια.
Υλικό που ετοίμασε ο Σεργκέι Βαλέριεβιτς