Παράλογες εξισώσεις με δύο ρίζες. Επίλυση παράλογων εξισώσεων

Εφαρμογή

Η λύση κάθε είδους εξισώσεων διαδικτυακά στον ιστότοπο για ενοποίηση του μελετημένου υλικού από μαθητές και μαθητές Επίλυση εξισώσεων διαδικτυακά. Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Υπάρχουν αλγεβρικές, παραμετρικές, υπερβατικές, συναρτησιακές, διαφορικές και άλλοι τύποι εξισώσεων. Ορισμένες κατηγορίες εξισώσεων έχουν αναλυτικές λύσεις, οι οποίες είναι βολικές στο ότι όχι μόνο δίνουν την ακριβή τιμή της ρίζας, αλλά σας επιτρέπουν να γράψετε τη λύση στο μορφή ενός τύπου που μπορεί να περιλαμβάνει παραμέτρους. Οι αναλυτικές εκφράσεις επιτρέπουν όχι μόνο τον υπολογισμό των ριζών, αλλά και την ανάλυση της ύπαρξής τους και του αριθμού τους ανάλογα με τις τιμές των παραμέτρων, κάτι που είναι συχνά ακόμη πιο σημαντικό για Πρακτική εφαρμογηαπό συγκεκριμένες τιμές ρίζας. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Η λύση της εξίσωσης είναι το καθήκον της εύρεσης τέτοιων τιμών των επιχειρημάτων για τα οποία επιτυγχάνεται αυτή η ισότητα. Επί πιθανές τιμέςμπορούν να επιβληθούν επιχειρήματα πρόσθετους όρους(ακέραιος, πραγματικός κ.λπ.). Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση online άμεσα και με υψηλή ακρίβεια του αποτελέσματος. Τα ορίσματα των δεδομένων συναρτήσεων (μερικές φορές ονομάζονται "μεταβλητές") στην περίπτωση μιας εξίσωσης ονομάζονται "άγνωστα". Οι τιμές των αγνώστων για τις οποίες επιτυγχάνεται αυτή η ισότητα ονομάζονται λύσεις ή ρίζες της δεδομένης εξίσωσης. Οι ρίζες λέγεται ότι ικανοποιούν μια δεδομένη εξίσωση. Η επίλυση μιας εξίσωσης διαδικτυακά σημαίνει την εύρεση του συνόλου όλων των λύσεών της (ρίζες) ή την απόδειξη ότι δεν υπάρχουν ρίζες. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Ισοδύναμα ή ισοδύναμα ονομάζονται εξισώσεις, τα σύνολα των ριζών των οποίων συμπίπτουν. Ισοδύναμες θεωρούνται και οι εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες. Η ισοδυναμία των εξισώσεων έχει την ιδιότητα της συμμετρίας: αν μια εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια άλλη, τότε η δεύτερη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την πρώτη. Η ισοδυναμία των εξισώσεων έχει την ιδιότητα της μεταβατικότητας: αν μια εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια άλλη και η δεύτερη είναι ισοδύναμη με την τρίτη, τότε η πρώτη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την τρίτη. Η ιδιότητα ισοδυναμίας των εξισώσεων καθιστά δυνατή τη διεξαγωγή μετασχηματισμών με αυτές, στις οποίες βασίζονται οι μέθοδοι επίλυσής τους. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Ο ιστότοπος θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση διαδικτυακά. Οι εξισώσεις για τις οποίες είναι γνωστές οι αναλυτικές λύσεις περιλαμβάνουν αλγεβρικές εξισώσεις, όχι υψηλότερες από τον τέταρτο βαθμό: μια γραμμική εξίσωση, μια τετραγωνική εξίσωση, μια κυβική εξίσωση και μια εξίσωση τέταρτου βαθμού. Οι αλγεβρικές εξισώσεις υψηλότερων βαθμών γενικά δεν έχουν αναλυτική λύση, αν και μερικές από αυτές μπορούν να αναχθούν σε εξισώσεις χαμηλότερων βαθμών. Οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν υπερβατικές συναρτήσεις ονομάζονται υπερβατικές. Μεταξύ αυτών, αναλυτικές λύσεις είναι γνωστές για κάποιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού τα μηδενικά τριγωνομετρικές συναρτήσειςπολύ γνωστό. Στη γενική περίπτωση, όταν δεν μπορεί να βρεθεί αναλυτική λύση, χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι. Οι αριθμητικές μέθοδοι δεν δίνουν μια ακριβή λύση, αλλά επιτρέπουν μόνο τον περιορισμό του διαστήματος στο οποίο βρίσκεται η ρίζα σε μια συγκεκριμένη προκαθορισμένη τιμή. Επίλυση εξισώσεων διαδικτυακά.. Διαδικτυακές εξισώσεις.. Αντί για διαδικτυακή εξίσωση, θα παρουσιάσουμε πώς η ίδια έκφραση σχηματίζει μια γραμμική εξάρτηση και όχι μόνο κατά μήκος μιας ευθείας εφαπτομένης, αλλά και στο ίδιο το σημείο καμπής του γραφήματος. Αυτή η μέθοδος είναι απαραίτητη ανά πάσα στιγμή στη μελέτη του θέματος. Συχνά συμβαίνει η λύση των εξισώσεων να προσεγγίζει την τελική τιμή μέσω άπειρων αριθμών και γραφής διανυσμάτων. Είναι απαραίτητο να ελέγξετε τα αρχικά δεδομένα και αυτή είναι η ουσία της εργασίας. Διαφορετικά, η τοπική συνθήκη μετατρέπεται σε τύπο. Η ευθεία αναστροφή μιας δεδομένης συνάρτησης, την οποία ο υπολογιστής εξίσωσης θα υπολογίσει χωρίς μεγάλη καθυστέρηση στην εκτέλεση, θα αντισταθμιστεί από το προνόμιο του χώρου. Θα αφορά τις επιδόσεις των μαθητών σε ένα επιστημονικό περιβάλλον. Ωστόσο, όπως όλα τα παραπάνω, θα μας βοηθήσει στη διαδικασία εύρεσης και όταν λύσετε πλήρως την εξίσωση, αποθηκεύστε την απάντηση που προκύπτει στα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Οι ευθείες στο διάστημα τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο ονομάζεται τεμνόμενο από ευθείες. Το διάστημα στη γραμμή σημειώνεται όπως δόθηκε προηγουμένως. Θα δημοσιευτεί η υψηλότερη ανάρτηση για τη μελέτη των μαθηματικών. Η αντιστοίχιση μιας τιμής ορίσματος από μια παραμετρικά καθορισμένη επιφάνεια και η επίλυση μιας εξίσωσης διαδικτυακά θα είναι σε θέση να υποδείξουν τις αρχές μιας παραγωγικής κλήσης σε μια συνάρτηση. Η λωρίδα Mobius, ή όπως λέγεται άπειρο, μοιάζει με οκτώ. Αυτή είναι μια μονόπλευρη επιφάνεια, όχι μια διπλής όψης. Σύμφωνα με τη γνωστή σε όλους αρχή, θα δεχθούμε αντικειμενικά γραμμικές εξισώσειςγια τον βασικό προσδιορισμό ως έχει και στον κλάδο σπουδών. Μόνο δύο τιμές από διαδοχικά δοσμένα ορίσματα μπορούν να αποκαλύψουν την κατεύθυνση του διανύσματος. Το να υποθέσουμε ότι μια διαφορετική λύση των διαδικτυακών εξισώσεων είναι πολύ περισσότερα από την απλή επίλυση σημαίνει ότι θα αποκτήσουμε μια πλήρη έκδοση του αμετάβλητου στην έξοδο. Χωρίς ολοκληρωμένη προσέγγισηΕίναι δύσκολο για τους μαθητές να μάθουν αυτό το υλικό. Όπως και πριν, για κάθε ειδική περίπτωση, ο βολικός και έξυπνος ηλεκτρονικός υπολογιστής εξισώσεων μας θα βοηθήσει όλους σε μια δύσκολη στιγμή, γιατί απλά πρέπει να καθορίσετε τις παραμέτρους εισαγωγής και το σύστημα θα υπολογίσει την απάντηση από μόνο του. Πριν ξεκινήσουμε την εισαγωγή δεδομένων, χρειαζόμαστε ένα εργαλείο εισαγωγής, το οποίο μπορεί να γίνει χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Ο αριθμός κάθε βαθμολογίας απάντησης θα είναι μια τετραγωνική εξίσωση που οδηγεί στα συμπεράσματά μας, αλλά αυτό δεν είναι τόσο εύκολο να γίνει, γιατί είναι εύκολο να αποδειχθεί το αντίθετο. Η θεωρία, λόγω των ιδιαιτεροτήτων της, δεν υποστηρίζεται από πρακτικές γνώσεις. Το να δείτε έναν υπολογιστή κλασμάτων στο στάδιο της δημοσίευσης μιας απάντησης δεν είναι εύκολη δουλειά στα μαθηματικά, καθώς η εναλλακτική της εγγραφής ενός αριθμού σε ένα σύνολο αυξάνει την ανάπτυξη της συνάρτησης. Ωστόσο, θα ήταν λάθος να μην πούμε για την εκπαίδευση των μαθητών, επομένως θα εκφράσουμε τον καθένα όσο χρειάζεται. Η κυβική εξίσωση που βρέθηκε προηγουμένως θα ανήκει δικαιωματικά στο πεδίο ορισμού και θα περιέχει το χώρο των αριθμητικών τιμών, καθώς και συμβολικές μεταβλητές. Έχοντας μάθει ή απομνημονεύσει το θεώρημα, οι μαθητές μας θα αποδείξουν τον εαυτό τους μόνο με καλύτερη πλευράκαι θα χαρούμε γι' αυτούς. Σε αντίθεση με το σύνολο των τομών των πεδίων, οι διαδικτυακές μας εξισώσεις περιγράφονται από ένα επίπεδο κίνησης κατά μήκος του πολλαπλασιασμού δύο και τριών αριθμητικών συνδυασμένων γραμμών. Ένα σύνολο στα μαθηματικά δεν ορίζεται μοναδικά. Η καλύτερη λύση, σύμφωνα με τους μαθητές, είναι η γραπτή έκφραση συμπληρωμένη μέχρι το τέλος. Όπως ειπώθηκε στην επιστημονική γλώσσα, η αφαίρεση συμβολικών εκφράσεων δεν περιλαμβάνεται στην κατάσταση των πραγμάτων, αλλά η λύση των εξισώσεων δίνει ένα σαφές αποτέλεσμα σε όλες τις γνωστές περιπτώσεις. Η διάρκεια της συνεδρίας του καθηγητή βασίζεται στις ανάγκες αυτής της προσφοράς. Η ανάλυση έδειξε πόσο απαραίτητες είναι όλες οι υπολογιστικές τεχνικές σε πολλούς τομείς και είναι απολύτως σαφές ότι η αριθμομηχανή εξισώσεων είναι ένα απαραίτητο εργαλείο στα προικισμένα χέρια ενός μαθητή. Μια πιστή προσέγγιση στη μελέτη των μαθηματικών καθορίζει τη σημασία των απόψεων διαφορετικών κατευθύνσεων. Θέλετε να ορίσετε ένα από τα βασικά θεωρήματα και να λύσετε την εξίσωση με τέτοιο τρόπο, ανάλογα με την απάντηση της οποίας θα χρειαστεί περαιτέρω εφαρμογή της. Τα Analytics σε αυτόν τον τομέα κερδίζουν δυναμική. Ας ξεκινήσουμε από την αρχή και ας βγάλουμε τον τύπο. Έχοντας σπάσει το επίπεδο αύξησης της συνάρτησης, η εφαπτομένη στο σημείο καμπής θα οδηγήσει αναγκαστικά στο γεγονός ότι η επίλυση της εξίσωσης σε απευθείας σύνδεση θα είναι μία από τις κύριες πτυχές στην κατασκευή του ίδιου γραφήματος από το όρισμα συνάρτησης. Η ερασιτεχνική προσέγγιση έχει το δικαίωμα να εφαρμοστεί εάν αυτή η συνθήκηδεν έρχεται σε αντίθεση με τα πορίσματα των μαθητών. Είναι η υποεργασία που φέρνει την ανάλυση των μαθηματικών συνθηκών ως γραμμικές εξισώσεις στο υπάρχον πεδίο ορισμού του αντικειμένου που έρχεται στο παρασκήνιο. Η αντιστάθμιση προς την κατεύθυνση της ορθογωνικότητας ακυρώνει το πλεονέκτημα μιας μοναχικής απόλυτης τιμής. Modulo, η επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο δίνει τον ίδιο αριθμό λύσεων, αν ανοίξετε τις αγκύλες πρώτα με το σύμβολο συν και μετά με το σύμβολο μείον. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν διπλάσιες λύσεις και το αποτέλεσμα θα είναι πιο ακριβές. σταθερό και σωστή αριθμομηχανήΟι διαδικτυακές εξισώσεις είναι η επιτυχία στην επίτευξη του επιδιωκόμενου στόχου στην εργασία που έχει θέσει ο δάσκαλος. Απαιτούμενη μέθοδοςΦαίνεται δυνατή η επιλογή λόγω των σημαντικών διαφορών στις απόψεις μεγάλων επιστημόνων. Η προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση περιγράφει την καμπύλη των γραμμών, τη λεγόμενη παραβολή, και το πρόσημο θα καθορίσει την κυρτότητά της στο τετράγωνο σύστημα συντεταγμένων. Από την εξίσωση λαμβάνουμε τόσο τη διάκριση όσο και τις ίδιες τις ρίζες σύμφωνα με το θεώρημα Vieta. Η παρουσίαση της έκφρασης ως σωστό ή ακατάλληλο κλάσμα και η χρήση της αριθμομηχανής κλασμάτων είναι απαραίτητη στο πρώτο στάδιο. Ανάλογα με αυτό, θα διαμορφωθεί ένα σχέδιο για τους περαιτέρω υπολογισμούς μας. Τα μαθηματικά με θεωρητική προσέγγιση είναι χρήσιμα σε κάθε στάδιο. Σίγουρα θα παρουσιάσουμε το αποτέλεσμα ως κυβική εξίσωση, γιατί θα κρύψουμε τις ρίζες του σε αυτήν την έκφραση για να απλοποιήσουμε την εργασία για έναν φοιτητή σε ένα πανεπιστήμιο. Οποιεσδήποτε μέθοδοι είναι καλές εάν είναι κατάλληλες για επιφανειακή ανάλυση. Οι επιπλέον αριθμητικές πράξεις δεν θα οδηγήσουν σε σφάλματα υπολογισμού. Προσδιορίστε την απάντηση με δεδομένη ακρίβεια. Χρησιμοποιώντας τη λύση των εξισώσεων, ας το παραδεχτούμε - η εύρεση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής από μια δεδομένη συνάρτηση δεν είναι τόσο εύκολη, ειδικά κατά την περίοδο μελέτης παράλληλες γραμμέςστο άπειρο. Ενόψει της εξαίρεσης, η ανάγκη είναι πολύ προφανής. Η διαφορά πολικότητας είναι σαφής. Από την εμπειρία της διδασκαλίας σε ινστιτούτα, ο δάσκαλός μας έμαθε το κύριο μάθημα, στο οποίο οι εξισώσεις μελετήθηκαν διαδικτυακά με την πλήρη μαθηματική έννοια. Εδώ επρόκειτο για υψηλότερες προσπάθειες και ειδικές δεξιότητες στην εφαρμογή της θεωρίας. Υπέρ των συμπερασμάτων μας, δεν πρέπει να κοιτάξουμε μέσα από ένα πρίσμα. Μέχρι πρόσφατα, πίστευαν ότι ένα κλειστό σύνολο αναπτύσσεται ταχέως στην περιοχή ως έχει, και η λύση των εξισώσεων πρέπει απλώς να διερευνηθεί. Στο πρώτο στάδιο, δεν εξετάσαμε όλες τις πιθανές επιλογές, αλλά αυτή η προσέγγιση δικαιολογείται περισσότερο από ποτέ. Οι πρόσθετες ενέργειες με αγκύλες δικαιολογούν ορισμένες προόδους κατά μήκος των αξόνων τεταγμένων και τετμημένης, οι οποίες δεν μπορούν να παραβλεφθούν με γυμνό μάτι. Υπάρχει ένα σημείο καμπής με την έννοια της ευρείας αναλογικής αύξησης μιας συνάρτησης. Για άλλη μια φορά, αποδεικνύουμε πώς απαραίτητη προϋπόθεσηθα εφαρμοστεί σε όλο το φθίνον διάστημα της μιας ή της άλλης φθίνουσας θέσης του διανύσματος. Σε έναν περιορισμένο χώρο, θα επιλέξουμε μια μεταβλητή από το αρχικό μπλοκ του σεναρίου μας. Το σύστημα που χτίστηκε ως βάση σε τρία διανύσματα είναι υπεύθυνο για την απουσία της κύριας ροπής δύναμης. Ωστόσο, η αριθμομηχανή εξίσωσης συνήγαγε και βοήθησε στην εύρεση όλων των όρων της κατασκευασμένης εξίσωσης, τόσο πάνω από την επιφάνεια όσο και κατά μήκος παράλληλων γραμμών. Ας περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από το σημείο εκκίνησης. Έτσι, θα αρχίσουμε να κινούμαστε προς τα πάνω κατά μήκος των γραμμών τομής και η εφαπτομένη θα περιγράφει τον κύκλο σε όλο το μήκος του, ως αποτέλεσμα θα λάβουμε μια καμπύλη, η οποία ονομάζεται ελικοειδής. Παρεμπιπτόντως, ας μιλήσουμε για αυτήν την καμπύλη μια μικρή ιστορία. Γεγονός είναι ότι ιστορικά στα μαθηματικά δεν υπήρχε η έννοια των ίδιων των μαθηματικών με την καθαρή έννοια όπως είναι σήμερα. Προηγουμένως, όλοι οι επιστήμονες ασχολούνταν με ένα κοινό πράγμα, δηλαδή την επιστήμη. Αργότερα, αρκετούς αιώνες αργότερα, όταν επιστημονικό κόσμογεμάτη με κολοσσιαία ποσότητα πληροφοριών, η ανθρωπότητα εξακολουθούσε να ξεχωρίζει πολλούς κλάδους. Παραμένουν ακόμη αναλλοίωτες. Κι όμως, κάθε χρόνο, επιστήμονες σε όλο τον κόσμο προσπαθούν να αποδείξουν ότι η επιστήμη είναι απεριόριστη και δεν μπορείς να λύσεις μια εξίσωση αν δεν έχεις γνώση των φυσικών επιστημών. Ίσως να μην είναι δυνατόν να τεθεί τελικά ένα τέλος. Το να το σκέφτεσαι είναι τόσο άσκοπο όσο το να ζεσταίνεις τον αέρα έξω. Ας βρούμε το διάστημα στο οποίο το όρισμα, με τη θετική του τιμή, καθορίζει το μέτρο της τιμής σε μια απότομα αυξανόμενη κατεύθυνση. Η αντίδραση θα βοηθήσει να βρεθούν τουλάχιστον τρεις λύσεις, αλλά θα χρειαστεί να τις ελέγξετε. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι πρέπει να λύσουμε την εξίσωση online χρησιμοποιώντας τη μοναδική υπηρεσία της ιστοσελίδας μας. Ας εισάγουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης που δίνεται, πατάμε το κουμπί «ΛΥΣΗ» και πάρουμε την ακριβή απάντηση μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. ΣΕ ειδικές περιπτώσειςας πάρουμε ένα βιβλίο για τα μαθηματικά και ας ελέγξουμε ξανά την απάντησή μας, δηλαδή, ας δούμε μόνο την απάντηση και όλα θα γίνουν ξεκάθαρα. Το ίδιο έργο θα πετάξει σε ένα τεχνητό πλεονάζον παραλληλεπίπεδο. Υπάρχει ένα παραλληλόγραμμο με τις παράλληλες πλευρές του και εξηγεί πολλές αρχές και προσεγγίσεις στη μελέτη της χωρικής σχέσης της ανιούσας διαδικασίας συσσώρευσης του κοίλου χώρου σε τύπους φυσικής μορφής. Οι διφορούμενες γραμμικές εξισώσεις δείχνουν την εξάρτηση της επιθυμητής μεταβλητής με την κοινή μας αυτή τη στιγμήχρόνο με τη λύση και είναι απαραίτητο με κάποιο τρόπο να εξαχθεί και να μειωθεί το ακατάλληλο κλάσμα σε μια μη τετριμμένη περίπτωση. Σημειώνουμε δέκα σημεία στην ευθεία και σχεδιάζουμε μια καμπύλη σε κάθε σημείο προς μια δεδομένη κατεύθυνση και με κυρτότητα προς τα πάνω. Χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, η αριθμομηχανή εξισώσεων μας θα παρουσιάσει μια έκφραση με τέτοια μορφή που ο έλεγχος της για την εγκυρότητα των κανόνων θα είναι προφανής ακόμη και στην αρχή της εγγραφής. Το σύστημα ειδικών αναπαραστάσεων της σταθερότητας για τους μαθηματικούς καταρχήν, εκτός εάν προβλέπεται διαφορετικά από τον τύπο. Θα απαντήσουμε σε αυτό με μια λεπτομερή παρουσίαση μιας αναφοράς για την ισομορφική κατάσταση ενός πλαστικού συστήματος σωμάτων και η λύση των εξισώσεων διαδικτυακά θα περιγράψει την κίνηση κάθε υλικού σημείου σε αυτό το σύστημα. Σε επίπεδο εις βάθος έρευνας, θα χρειαστεί να διευκρινιστεί λεπτομερώς το θέμα των αναστροφών τουλάχιστον του κατώτερου στρώματος του χώρου. Ανεβαίνοντας στο τμήμα της ασυνέχειας της συνάρτησης εφαρμόζουμε γενική μέθοδοςένας εξαιρετικός ερευνητής, παρεμπιπτόντως, συμπατριώτης μας, και θα πούμε παρακάτω για τη συμπεριφορά του αεροπλάνου. Λόγω των ισχυρών χαρακτηριστικών της αναλυτικά δεδομένης συνάρτησης, χρησιμοποιούμε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή εξισώσεων μόνο για τον επιδιωκόμενο σκοπό της εντός των παραγόμενων ορίων εξουσίας. Διαφωνώντας περαιτέρω, σταματάμε την ανασκόπησή μας σχετικά με την ομοιογένεια της ίδιας της εξίσωσης, δηλαδή η δεξιά πλευρά της εξισώνεται με το μηδέν. Για άλλη μια φορά, θα επαληθεύσουμε την ορθότητα της απόφασής μας στα μαθηματικά. Προκειμένου να αποφύγουμε μια ασήμαντη λύση, θα κάνουμε κάποιες προσαρμογές στις αρχικές συνθήκες για το πρόβλημα της ευστάθειας υπό όρους του συστήματος. Ας συνθέσουμε μια τετραγωνική εξίσωση, για την οποία γράφουμε δύο λήμματα χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο και βρίσκουμε αρνητικές ρίζες. Εάν μια ρίζα υπερβαίνει τη δεύτερη και την τρίτη ρίζα κατά πέντε μονάδες, τότε κάνοντας αλλαγές σε κύριο επιχείρημαπαραμορφώνουμε έτσι τις αρχικές συνθήκες του υποπροβλήματος. Στον πυρήνα του, κάτι ασυνήθιστο στα μαθηματικά μπορεί πάντα να περιγραφεί στο πλησιέστερο εκατοστό ενός θετικού αριθμού. Η αριθμομηχανή κλασμάτων είναι αρκετές φορές ανώτερη από τις αντίστοιχές της σε παρόμοιους πόρους την καλύτερη στιγμή φόρτωσης διακομιστή. Στην επιφάνεια του διανύσματος ταχύτητας που αναπτύσσεται κατά μήκος του άξονα y, σχεδιάζουμε επτά γραμμές λυγισμένες σε αντίθετες κατευθύνσεις μεταξύ τους. Η συγκρισιμότητα του ορίσματος της εκχωρημένης συνάρτησης οδηγεί τον μετρητή υπολοίπου ανάκτησης. Στα μαθηματικά, αυτό το φαινόμενο μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω μιας κυβικής εξίσωσης με φανταστικούς συντελεστές, καθώς και σε μια διπολική πρόοδο φθίνουσας γραμμής. Κρίσιμα σημείαΗ διαφορά θερμοκρασίας σε πολλές από τις έννοιες και την πρόοδό της περιγράφει τη διαδικασία παραγοντοποίησης μιας σύνθετης κλασματικής συνάρτησης. Εάν σας λένε να λύσετε την εξίσωση, μην βιαστείτε να το κάνετε αυτή τη στιγμή, πρώτα αξιολογήστε αναμφισβήτητα ολόκληρο το σχέδιο δράσης και μόνο μετά αναλάβετε η σωστή προσέγγιση. Σίγουρα θα υπάρχουν οφέλη. Η ευκολία στη δουλειά είναι εμφανής και στα μαθηματικά το ίδιο. Λύστε την εξίσωση διαδικτυακά. Όλες οι διαδικτυακές εξισώσεις είναι ένας συγκεκριμένος τύπος εγγραφής αριθμών ή παραμέτρων και μια μεταβλητή που πρέπει να οριστεί. Υπολογίστε αυτήν ακριβώς τη μεταβλητή, δηλαδή βρείτε συγκεκριμένες τιμές ή διαστήματα ενός συνόλου τιμών για τις οποίες θα ικανοποιηθεί η ταυτότητα. Οι αρχικές και οι τελικές συνθήκες εξαρτώνται άμεσα. ΣΕ κοινή απόφασηΟι εξισώσεις συνήθως περιλαμβάνουν κάποιες μεταβλητές και σταθερές, ορίζοντας τις οποίες, θα λάβουμε ολόκληρες οικογένειες λύσεων για μια δεδομένη πρόταση προβλήματος. Σε γενικές γραμμές, αυτό δικαιολογεί τις προσπάθειες που καταβάλλονται προς την κατεύθυνση της αύξησης της λειτουργικότητας ενός χωρικού κύβου με πλευρά ίση με 100 εκατοστά. Μπορείτε να εφαρμόσετε ένα θεώρημα ή ένα λήμμα σε οποιοδήποτε στάδιο της κατασκευής μιας απάντησης. Ο ιστότοπος εκδίδει σταδιακά μια αριθμομηχανή εξισώσεων, εάν είναι απαραίτητο, σε οποιοδήποτε διάστημα άθροισης των εμφανιζόμενων προϊόντων μικρότερη τιμή. Στις μισές περιπτώσεις, μια τέτοια μπάλα ως κούφια δεν πληροί τις απαιτήσεις για τον καθορισμό μιας ενδιάμεσης απάντησης σε μεγαλύτερο βαθμό. Τουλάχιστον στον άξονα y προς την κατεύθυνση της φθίνουσας αναπαράστασης του διανύσματος, αυτή η αναλογία θα είναι αναμφίβολα βέλτιστη από την προηγούμενη έκφραση. Την ώρα που γραμμικές συναρτήσειςθα είναι μια ανάλυση πλήρους σημείου, στην πραγματικότητα, θα συγκεντρώσουμε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς και τους διπολικούς χώρους μας. Αντικαθιστώντας μια μεταβλητή στην παράσταση που προκύπτει, θα λύσετε την εξίσωση σταδιακά και θα δώσετε την πιο λεπτομερή απάντηση με υψηλή ακρίβεια. Για άλλη μια φορά, ο έλεγχος των ενεργειών σας στα μαθηματικά θα είναι μια καλή μορφή από την πλευρά ενός μαθητή. Η αναλογία στην αναλογία των κλασμάτων καθόρισε την ακεραιότητα του αποτελέσματος σε όλους τους σημαντικούς τομείς δραστηριότητας του μηδενικού διανύσματος. Η επιπολαιότητα επιβεβαιώνεται στο τέλος των ενεργειών που εκτελούνται. Με ένα απλό σύνολο εργασιών, οι μαθητές δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν δυσκολίες εάν λύσουν την εξίσωση μέσω διαδικτύου στο συντομότερο δυνατό χρονικό διάστημα, αλλά μην ξεχάσουν κάθε είδους κανόνες. Το σύνολο των υποσυνόλων τέμνεται στην περιοχή της σύγκλισης σημειογραφίας. ΣΕ διαφορετικές περιστάσειςτο προϊόν δεν έχει παραγοντοποιηθεί εσφαλμένα. Θα βοηθηθείτε να λύσετε την εξίσωση στο διαδίκτυο στην πρώτη μας ενότητα σχετικά με τα βασικά των μαθηματικών τεχνικών για σημαντικές ενότητες για φοιτητές σε πανεπιστήμια και τεχνικές σχολές. Τα παραδείγματα απόκρισης δεν θα μας αναγκάσουν να περιμένουμε αρκετές ημέρες, από τη διαδικασία καλύτερη αλληλεπίδρασηΗ διανυσματική ανάλυση με διαδοχική εύρεση λύσεων κατοχυρώθηκε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας στις αρχές του περασμένου αιώνα. Αποδεικνύεται ότι οι προσπάθειες σύνδεσης με τη γύρω ομάδα δεν ήταν μάταιες, κάτι άλλο προφανώς είχε καθυστερήσει αρχικά. Αρκετές γενιές αργότερα, οι επιστήμονες σε όλο τον κόσμο οδήγησαν να πιστέψουν ότι τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών. Είτε πρόκειται για την αριστερή απάντηση είτε για τη δεξιά απάντηση, οι εξαντλητικοί όροι πρέπει να γράφονται σε τρεις σειρές ούτως ή άλλως, αφού στην περίπτωσή μας θα μιλήσουμε ξεκάθαρα μόνο για τη διανυσματική ανάλυση των ιδιοτήτων του πίνακα. Οι μη γραμμικές και οι γραμμικές εξισώσεις, μαζί με τις διτετραγωνικές εξισώσεις, έχουν λάβει ιδιαίτερη θέση στο βιβλίο μας για βέλτιστες πρακτικέςυπολογισμός της τροχιάς κίνησης στο χώρο όλων των υλικών σημείων ενός κλειστού συστήματος. Μια γραμμική ανάλυση του βαθμωτού γινόμενου τριών διαδοχικών διανυσμάτων θα μας βοηθήσει να δώσουμε ζωή στην ιδέα. Στο τέλος κάθε ρύθμισης, η εργασία γίνεται ευκολότερη με την εισαγωγή βελτιστοποιημένων αριθμητικών εξαιρέσεων στο πλαίσιο των επικαλύψεων αριθμητικών χώρων που εκτελούνται. Μια άλλη κρίση δεν θα αντιταχθεί στην απάντηση που βρέθηκε σε αυθαίρετη μορφή τριγώνου σε κύκλο. Η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων περιέχει το απαραίτητο ποσοστό περιθωρίου και η επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο συχνά αποκαλύπτει ένα ορισμένο κοινή ρίζαεξισώσεις σε αντίθεση με τις αρχικές συνθήκες. Η εξαίρεση παίζει ρόλο καταλύτη σε όλη την αναπόφευκτη διαδικασία εξεύρεσης μιας θετικής λύσης στον τομέα του ορισμού της συνάρτησης. Εάν δεν λέγεται ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε υπολογιστή, τότε η ηλεκτρονική αριθμομηχανή εξισώσεων είναι η κατάλληλη για τις δύσκολες εργασίες σας. Αρκεί απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα υπό όρους στη σωστή μορφή και ο διακομιστής μας θα εκδώσει μια ολοκληρωμένη προκύπτουσα απάντηση το συντομότερο δυνατό. Μια εκθετική συνάρτηση αναπτύσσεται πολύ πιο γρήγορα από μια γραμμική. Αυτό αποδεικνύεται από τα Ταλμούδια της έξυπνης βιβλιογραφίας της βιβλιοθήκης. Θα εκτελέσει τον υπολογισμό με τη γενική έννοια, όπως θα έκανε η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση με τρεις μιγαδικούς συντελεστές. Η παραβολή στο πάνω μέρος του ημιεπίπεδου χαρακτηρίζει την ευθύγραμμη παράλληλη κίνηση κατά μήκος των αξόνων του σημείου. Εδώ αξίζει να αναφέρουμε τη διαφορά δυναμικού στον χώρο εργασίας του αμαξώματος. Σε αντάλλαγμα για ένα μη βέλτιστο αποτέλεσμα, η αριθμομηχανή κλασμάτων μας καταλαμβάνει δικαίως την πρώτη θέση στη μαθηματική βαθμολογία της ανασκόπησης λειτουργικών προγραμμάτων στο πίσω μέρος. Η ευκολία χρήσης αυτής της υπηρεσίας θα εκτιμηθεί από εκατομμύρια χρήστες του Διαδικτύου. Εάν δεν ξέρετε πώς να το χρησιμοποιήσετε, τότε θα χαρούμε να σας βοηθήσουμε. Θέλουμε επίσης να επισημάνουμε και να επισημάνουμε την κυβική εξίσωση από μια σειρά από εργασίες μαθητών δημοτικού σχολείου, όταν πρέπει να βρείτε γρήγορα τις ρίζες της και να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης σε ένα επίπεδο. υψηλότερους βαθμούςη αναπαραγωγή είναι από τις πιο δύσκολες μαθηματικά προβλήματαστο ινστιτούτο και διατίθεται επαρκής αριθμός ωρών για τη φοίτησή του. Όπως όλες οι γραμμικές εξισώσεις, η δική μας δεν αποτελεί εξαίρεση σε πολλούς αντικειμενικούς κανόνες, ρίξτε μια ματιά από διαφορετικές οπτικές γωνίες και θα αποδειχθεί απλή και επαρκής για να ορίσετε τις αρχικές συνθήκες. Το διάστημα της αύξησης συμπίπτει με το διάστημα κυρτότητας της συνάρτησης. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση. Η μελέτη της θεωρίας βασίζεται σε διαδικτυακές εξισώσεις από πολλές ενότητες για τη μελέτη του κύριου κλάδου. Στην περίπτωση μιας τέτοιας προσέγγισης σε αβέβαια προβλήματα, είναι πολύ εύκολο να παρουσιαστεί η λύση των εξισώσεων σε προκαθορισμένη μορφή και όχι μόνο να εξαχθούν συμπεράσματα, αλλά και να προβλεφθεί το αποτέλεσμα μιας τόσο θετικής λύσης. Η υπηρεσία θα μας βοηθήσει να μάθουμε το θέμα με τις καλύτερες παραδόσεις των μαθηματικών, όπως συνηθίζεται στην Ανατολή. Στις καλύτερες στιγμές του χρονικού διαστήματος, παρόμοιες εργασίες πολλαπλασιάζονταν με έναν κοινό πολλαπλασιαστή δέκα φορές. Με πληθώρα πολλαπλασιασμών πολλαπλών μεταβλητών στην αριθμομηχανή εξίσωσης, άρχισε να πολλαπλασιάζεται κατά ποιότητα και όχι με ποσοτικές μεταβλητές, όπως τιμές όπως μάζα ή βάρος σώματος. Προκειμένου να αποφευχθούν περιπτώσεις ανισορροπίας του υλικού συστήματος, είναι αρκετά προφανής για εμάς η παραγωγή ενός τρισδιάστατου μετατροπέα στη τετριμμένη σύγκλιση των μη εκφυλισμένων μαθηματικών πινάκων. Ολοκληρώστε την εργασία και λύστε την εξίσωση στις δεδομένες συντεταγμένες, καθώς η έξοδος είναι άγνωστη εκ των προτέρων, καθώς και όλες οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται στον μετα-χώρο χρόνο είναι άγνωστες. Για μικρό χρονικό διάστημα, σπρώξτε τον κοινό παράγοντα έξω από την παρένθεση και διαιρέστε με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη και των δύο μερών εκ των προτέρων. Από κάτω από το προκύπτον καλυμμένο υποσύνολο αριθμών εξάγετε αναλυτικό τρόποτριάντα τρεις βαθμούς στη σειρά σε σύντομο χρονικό διάστημα. Στο βαθμό που στο στα καλύτερά τουείναι δυνατό για κάθε μαθητή να λύσει την εξίσωση διαδικτυακά, κοιτάζοντας μπροστά, ας πούμε ένα σημαντικό, αλλά βασικό πράγμα, χωρίς το οποίο δεν θα είναι εύκολο να ζήσουμε στο μέλλον. Τον περασμένο αιώνα, ο μεγάλος επιστήμονας παρατήρησε μια σειρά από κανονικότητες στη θεωρία των μαθηματικών. Στην πράξη, δεν αποδείχθηκε η αναμενόμενη εντύπωση των γεγονότων. Ωστόσο, κατ' αρχήν, αυτή ακριβώς η λύση των εξισώσεων στο διαδίκτυο βοηθά στη βελτίωση της κατανόησης και της αντίληψης μιας ολιστικής προσέγγισης στη μελέτη και πρακτική εμπέδωση του θεωρητικού υλικού που καλύπτουν οι μαθητές. Είναι πολύ πιο εύκολο να το κάνετε αυτό κατά τη διάρκεια της μελέτης σας.

=

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η τάξη, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a , b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώνουμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

1. Δεν έχουν ρίζες.
2. Έχουν ακριβώς μια ρίζα.
3. Να έχεις δύο διαφορετική ρίζα.

Αυτό είναι τι σημαντική διαφοράτετραγωνικές εξισώσεις από γραμμικές, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac .

Αυτή η φόρμουλα πρέπει να είναι γνωστή από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:

1. Αν ο Δ< 0, корней нет;
2. Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
3. Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Γράφουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα, η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Διακριτικός μηδέν- η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι έχουν γραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό - αλλά δεν θα μπερδεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειάζεται πλέον να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνετε τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σας. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι και τόσο.

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ο βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - παίρνετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετράτε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα όταν οι αρνητικοί συντελεστές αντικαθίστανται στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, ζωγραφίστε κάθε βήμα - και απαλλαγείτε από τα λάθη πολύ σύντομα.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να δούμε ότι λείπει ένας από τους όρους σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τη διάκριση. Ας εισαγάγουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μια ενιαία ρίζα: x \u003d 0.

Ας εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις. Έστω b \u003d 0, τότε παίρνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε ελαφρώς:

Εφόσον η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο όταν (−c / a ) ≥ 0. Συμπέρασμα:

1. Αν μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιεί την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
2. Αν (−c / a )< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, η διάκριση δεν ήταν απαραίτητη - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή του x 2 και να δούμε τι υπάρχει στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας ασχοληθούμε τώρα με εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο:

Απόδοση κοινός πολλαπλασιαστήςγια το στήριγμα

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:

Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί το τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Μερικοί μαθητές αντιπαθούν πραγματικά τις εξισώσεις και τα προβλήματα στα οποία εμφανίζεται το ριζικό σημάδι. Αλλά η επίλυση ενός παραδείγματος με ρίζα δεν είναι τόσο δύσκολη, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε από ποια πλευρά να προσεγγίσουμε το πρόβλημα. Το ίδιο το εικονίδιο, που υποδηλώνει την εξαγωγή της ρίζας, ονομάζεται ρίζα. Πώς να λύσετε τις ρίζες; Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού σημαίνει να επιλέξετε έναν αριθμό που, όταν τετραγωνιστεί, θα δώσει την ίδια τιμή κάτω από το πρόσημο της ρίζας.

Πώς να λύσετε λοιπόν τετραγωνικές ρίζες

Η επίλυση τετραγωνικών ριζών είναι εύκολη. Για παράδειγμα, θέλετε να μάθετε πόση θα είναι η ρίζα του 16. Για να λύσετε αυτό το απλό παράδειγμα, πρέπει να θυμάστε πόσο τετράγωνο θα είναι το 2 - 2 2 , μετά 3 2 και τέλος 4 2 . Μόνο τώρα θα δούμε ότι το αποτέλεσμα (16) ταιριάζει με το ερώτημα. Δηλαδή, για να εξαγάγουμε τη ρίζα, έπρεπε να επιλέξουμε πιθανές τιμές. Αποδεικνύεται ότι για να λυθούν οι ρίζες, δεν υπάρχει ακριβής και αποδεδειγμένος αλγόριθμος. Για να διευκολυνθεί το έργο του "λύτη", οι μαθηματικοί συνιστούν να απομνημονεύσετε από καρδιάς (ακριβώς από την καρδιά, όπως ένας πίνακας πολλαπλασιασμού) τις τιμές των τετραγώνων των αριθμών έως το είκοσι. Τότε θα είναι δυνατή η εύκολη εξαγωγή της ρίζας από αριθμούς που είναι περισσότεροι από εκατό. Και, αντίστροφα, να δούμε αμέσως ότι η ρίζα αυτού του αριθμού δεν μπορεί να εξαχθεί, δηλαδή η απάντηση δεν θα έχει ακέραιο.

Καταλάβαμε πώς να λύσουμε τετραγωνικές ρίζες. Τώρα ας υπολογίσουμε ποιες τετραγωνικές ρίζες της λύσης δεν έχουν. Για παράδειγμα, αρνητικοί αριθμοί. Είναι σαφές εδώ ότι αν δύο αρνητικούς αριθμούςπολλαπλασιάστε - η απάντηση θα είναι με ένα σύμβολο συν. Τι πρέπει να ξέρετε στη συνέχεια. Η ρίζα μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε αριθμό (εκτός από αρνητικό, όπως αναφέρθηκε παραπάνω). Απλώς η απάντηση μπορεί να αλλάξει δεκαδικός. Δηλαδή, να περιέχει έναν ορισμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του δύο έχει την τιμή 1,41421 και δεν είναι όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή. Τέτοιες τιμές στρογγυλοποιούνται για ευκολία υπολογισμού, μερικές φορές στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, μερικές φορές στο τρίτο ή τέταρτο. Επιπλέον, συχνά ασκείται να αφήνετε τον αριθμό κάτω από τη ρίζα ως απάντηση εάν φαίνεται καλός και συμπαγής. Είναι τόσο ξεκάθαρο τι σημαίνει.

Πώς να λύσετε εξισώσεις με ρίζες;

Για να λύσετε εξισώσεις με ρίζες, πρέπει να εφαρμόσετε μία από τις μεθόδους που δεν εφευρέθηκαν από εμάς. Για παράδειγμα, να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές μιας τέτοιας εξίσωσης. Για παράδειγμα:

Ρίζα του Χ+3=5

Ας τετραγωνίσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης:

Τώρα μπορούμε να δούμε πώς να λύσουμε αυτήν την εξίσωση. Πρώτα, μάθετε τι είναι το X 2 (και είναι ίσο με 16) και στη συνέχεια εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Απάντηση: 4. Ωστόσο, αξίζει να πούμε εδώ ότι αυτή η εξίσωση έχει στην πραγματικότητα δύο λύσεις, δύο ρίζες: 4 και -4. Εξάλλου, το -4 στο τετράγωνο δίνει επίσης 16.

Εκτός από αυτή τη μέθοδο, μερικές φορές είναι πιο ελκυστικό και βολικό να αντικαταστήσετε τη μεταβλητή που βρίσκεται κάτω από τη ρίζα με μια άλλη μεταβλητή για να απαλλαγείτε από αυτήν τη ρίζα.

Υ = ρίζα του Χ.

Στη συνέχεια, έχοντας λύσει την εξίσωση, επιστρέφουμε στην αντικατάσταση και τελειώνουμε τους υπολογισμούς με τη ρίζα.

Δηλαδή παίρνουμε X = Y 2 . Και αυτή θα είναι η λύση.

Πρέπει να ειπωθεί ότι υπάρχουν αρκετές ακόμη μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων με ρίζες.

Πώς να λύσετε ρίζες σε εκθέτες;

Μια ρίζα που δεν έχει βαθμό στη βάση της σημαίνει ότι πρέπει να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα από την έκφραση ή τον αριθμό, δηλαδή η ισχύς του τετραγώνου είναι το αντίστροφο. Είναι απλό και ξεκάθαρο. Για παράδειγμα: η ρίζα του 9 \u003d 3, (και 3 2 \u003d 9), η ρίζα του 16 \u003d 4 (4 2 \u003d 16) και όλα στο ίδιο πνεύμα. Τι σημαίνει όμως αν η ρίζα έχει πτυχίο; Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο, πάλι, να εκτελέσουμε τη δράση, το αντίθετο από την ανύψωση σε αυτήν ακριβώς τη δύναμη. Για παράδειγμα, πρέπει να μάθετε την τιμή της κυβικής ρίζας του 27.
Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να επιλέξετε έναν αριθμό που, όταν τεθεί σε κύβους, θα δώσει 27. Αυτό είναι 3 (3 * 3 * 3 \u003d 27).

ρίζα 3 από 27 = 3

Παρόμοιες ενέργειες πρέπει να εκτελεστούν εάν ο βαθμός της ρίζας είναι 4, 5. Μόνο σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να επιλέξετε έναν αριθμό που, όταν αυξάνεται σε ισχύ nθα δώσει την τιμή κάτω από τη ρίζα n-ο βαθμός.

Εδώ πρέπει να ειπωθεί ότι οι βαθμοί των ριζών και οι βαθμοί των ριζικών εκφράσεων μπορούν να μειωθούν. Ωστόσο, σύμφωνα με τους κανόνες. Εάν ο αριθμός ή η μεταβλητή κάτω από τη ρίζα έχει βαθμό που είναι πολλαπλάσιος του βαθμού της ρίζας, μπορούν να μειωθούν. Για παράδειγμα:

ρίζα 3 του Χ 6 = Χ 2

Αυτοί οι κανόνες για πράξεις με ρίζες και μοίρες είναι απλοί, πρέπει να τους γνωρίζετε ξεκάθαρα και τότε ο υπολογισμός θα είναι απλός. Καταλάβαμε πώς να λύσουμε τις ρίζες σε μοίρες, τώρα προχωράμε.

Πώς να λύσετε root under root;

Αυτή η τρομερή ρίζα έκφρασης κάτω από τη ρίζα με την πρώτη ματιά δεν επιλύεται. Αλλά για να υπολογίσετε σωστά την τιμή μιας τέτοιας έκφρασης, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες των ριζών. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε δύο ρίζες με μία. Για να γίνει αυτό, οι βαθμοί αυτών των ριζών πρέπει απλώς να πολλαπλασιαστούν. Για παράδειγμα:

ρίζα 3 της ρίζας 729 = (ρίζα 3 * ρίζα 2) από 729

Δηλαδή, εδώ έχουμε πολλαπλασιάσει την κυβική ρίζα με την τετραγωνική ρίζα. Ως αποτέλεσμα, πήραμε τη ρίζα του έκτου βαθμού:

ρίζα 6 από 729 = 3

Ομοίως, πρέπει να λύσετε άλλες παρόμοιες ρίζες κάτω από τη ρίζα.

Έχοντας εξετάσει όλα τα προτεινόμενα παραδείγματα, είναι εύκολο να συμφωνήσουμε ότι η επίλυση των ριζών δεν είναι τόσο δύσκολη υπόθεση. Φυσικά, όταν πρόκειται για απλή, συνηθισμένη αριθμητική, μερικές φορές είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσετε μια γνωστή αριθμομηχανή. Ωστόσο, πριν κάνετε υπολογισμούς, πρέπει να κάνετε ό,τι είναι δυνατό για να απλοποιήσετε την εργασία σας, μειώνοντας όσο το δυνατόν περισσότερο τον αριθμό και την πολυπλοκότητα των αριθμητικών υπολογισμών. Τότε η λύση θα γίνει απλή και, το πιο σημαντικό, ενδιαφέρουσα.

Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα

"Γυμνάσιο Kudinskaya Νο. 2"

Λύσεις παράλογες εξισώσεις

Συμπλήρωσε: Egorova Olga,

Επόπτης:

Δάσκαλος

μαθηματικά,

υψηλότερο προσόν

Εισαγωγή....……………………………………………………………………………………… 3

Ενότητα 1. Μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων…………………………………6

1.1 Επίλυση των παράλογων εξισώσεων του μέρους Γ……….….….……………………………21

Ενότητα 2. Ατομικές εργασίες…………………………………………….....………...24

Απαντήσεις………………………………………………………………………………………….25

Βιβλιογραφία…….…………………………………………………………………….26

Εισαγωγή

Η μαθηματική εκπαίδευση που λαμβάνεται σε ένα σχολείο γενικής εκπαίδευσης αποτελεί ουσιαστικό συστατικό της γενικής εκπαίδευσης και της γενικής κουλτούρας ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. Σχεδόν όλα όσα περιβάλλουν έναν σύγχρονο άνθρωπο συνδέονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με τα μαθηματικά. Και οι τελευταίες εξελίξεις στη φυσική, την τεχνολογία και την τεχνολογία πληροφοριών δεν αφήνουν καμία αμφιβολία ότι στο μέλλον η κατάσταση θα παραμείνει η ίδια. Επομένως, η επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων περιορίζεται στην επίλυση διάφορα είδηεξισώσεις για να μάθετε πώς να λύσετε. Ένας από αυτούς τους τύπους είναι οι παράλογες εξισώσεις.

Παράλογες εξισώσεις

Μια εξίσωση που περιέχει ένα άγνωστο (ή μια ορθολογική αλγεβρική έκφραση από έναν άγνωστο) κάτω από το ριζικό πρόσημο ονομάζεται παράλογη εξίσωση. Στα στοιχειώδη μαθηματικά, οι λύσεις των παράλογων εξισώσεων αναζητούνται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Οποιαδήποτε παράλογη εξίσωση με τη βοήθεια στοιχειωδών αλγεβρικών πράξεων (πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε μια ακέραια δύναμη) μπορεί να αναχθεί σε μια ορθολογική αλγεβρική εξίσωση. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η προκύπτουσα ορθολογική αλγεβρική εξίσωση μπορεί να μην είναι ισοδύναμη με την αρχική παράλογη εξίσωση, δηλαδή, μπορεί να περιέχει "επιπλέον" ρίζες που δεν θα είναι οι ρίζες της αρχικής παράλογης εξίσωσης. Ως εκ τούτου, η εύρεση των ριζών του ληφθέντος ορθολογικού αλγεβρική εξίσωση, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε αν όλες οι ρίζες μιας ορθολογικής εξίσωσης είναι οι ρίζες μιας παράλογης εξίσωσης.

Στη γενική περίπτωση, είναι δύσκολο να υποδειχθεί οποιαδήποτε καθολική μέθοδος για την επίλυση οποιασδήποτε παράλογης εξίσωσης, καθώς είναι επιθυμητό ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών της αρχικής παράλογης εξίσωσης, να μην προκύπτει απλώς κάποιο είδος ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης, μεταξύ των ριζών του που θα υπάρχουν οι ρίζες αυτής της παράλογης εξίσωσης, αλλά μια ορθολογική αλγεβρική εξίσωση που σχηματίζεται από πολυώνυμα όσο το δυνατόν μικρότερου βαθμού. Η επιθυμία να ληφθεί αυτή η ορθολογική αλγεβρική εξίσωση που σχηματίζεται από πολυώνυμα του μικρότερου δυνατού βαθμού είναι απολύτως φυσική, καθώς η εύρεση όλων των ριζών μιας ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης μπορεί από μόνη της να είναι μια αρκετά δύσκολη εργασία, την οποία μπορούμε να λύσουμε πλήρως μόνο σε πολύ περιορισμένο αριθμό των περιπτώσεων.

Είδη παράλογων εξισώσεων

Η επίλυση παράλογων εξισώσεων άρτιου βαθμού πάντα προκαλεί περισσότερα προβλήματααπό τη λύση παράλογων εξισώσεων περιττού βαθμού. Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων περιττού βαθμού, το ODZ δεν αλλάζει. Επομένως, παρακάτω θα εξετάσουμε παράλογες εξισώσεις, ο βαθμός των οποίων είναι άρτιος. Υπάρχουν δύο είδη παράλογων εξισώσεων:

2..

Ας εξετάσουμε το πρώτο από αυτά.

εξίσωση odz: f(x)≥ 0. Σε ΟΔΖ αριστερή πλευράΗ εξίσωση είναι πάντα μη αρνητική - επομένως η λύση μπορεί να υπάρξει μόνο όταν σολ(Χ)≥ 0. Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι μη αρνητικές και η εκθετική 2 nδίνει μια ισοδύναμη εξίσωση. Το καταλαβαίνουμε

Ας προσέξουμε το γεγονός ότι ενώ Το ODZ εκτελείται αυτόματα και δεν μπορείτε να το γράψετε, αλλά η συνθήκησολ(x) Πρέπει να ελεγχθεί ≥ 0.

Σημείωση: Αυτό είναι πολύ σημαντική προϋπόθεσηισοδυναμίας. Πρώτον, απελευθερώνει τον μαθητή από την ανάγκη να ερευνήσει και αφού βρει λύσεις, ελέγξτε τη συνθήκη f(x) ≥ 0 - τη μη αρνητικότητα της έκφρασης ρίζας. Δεύτερον, εστιάζει στον έλεγχο της κατάστασηςσολ(x) ≥ 0 είναι η μη αρνητικότητα της δεξιάς πλευράς. Εξάλλου, μετά τον τετραγωνισμό, η εξίσωση λύνεται Δηλαδή, δύο εξισώσεις λύνονται ταυτόχρονα (αλλά σε διαφορετικά διαστήματα του αριθμητικού άξονα!):

1. - πού σολ(Χ)≥ 0 και

2. - όπου g(x) ≤ 0.

Εν τω μεταξύ, πολλοί, σύμφωνα με τη σχολική συνήθεια να βρίσκουν το ODZ, κάνουν ακριβώς το αντίθετο όταν λύνουν τέτοιες εξισώσεις:

α) ελέγξτε, αφού βρείτε λύσεις, τη συνθήκη f(x) ≥ 0 (η οποία ικανοποιείται αυτόματα), κάνετε αριθμητικά λάθη και λάβετε ένα εσφαλμένο αποτέλεσμα.

β) αγνοήστε την προϋπόθεσησολ(x) ≥ 0 - και πάλι η απάντηση μπορεί να είναι λάθος.

Σημείωση: Η συνθήκη ισοδυναμίας είναι ιδιαίτερα χρήσιμη κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, στις οποίες η εύρεση του ODZ σχετίζεται με την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων, η οποία είναι πολύ πιο δύσκολη από την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Ελεγχος εισιτηρίου τριγωνομετρικές εξισώσειςακόμη και συνθήκες σολ(Χ)Το ≥ 0 δεν είναι πάντα εύκολο να γίνει.

Εξετάστε το δεύτερο είδος παράλογων εξισώσεων.

. Αφήστε την εξίσωση . Το ODZ του:

Στο ODZ, και οι δύο πλευρές είναι μη αρνητικές και ο τετραγωνισμός δίνει την ισοδύναμη εξίσωση φά(x) =σολ(Χ).Επομένως, στην ΟΔΖ ή

Με αυτήν τη μέθοδο λύσης, αρκεί να ελέγξετε τη μη αρνητικότητα μιας από τις λειτουργίες - μπορείτε να επιλέξετε μια απλούστερη.

Ενότητα 1. Μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων

1 μέθοδος. Απελευθέρωση από τους ριζοσπάστες αυξάνοντας διαδοχικά και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στην αντίστοιχη φυσική δύναμη

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την επίλυση παράλογων εξισώσεων είναι η μέθοδος απελευθέρωσης από ρίζες αυξάνοντας διαδοχικά και τα δύο μέρη της εξίσωσης στον αντίστοιχο φυσικό βαθμό. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι όταν και τα δύο μέρη της εξίσωσης αυξάνονται σε περιττή ισχύ, η εξίσωση που προκύπτει είναι ισοδύναμη με την αρχική, και όταν και τα δύο μέρη της εξίσωσης αυξάνονται σε άρτια ισχύ, η προκύπτουσα Η εξίσωση, σε γενικές γραμμές, δεν θα είναι ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση. Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε οποιαδήποτε άρτια ισχύ. Αυτή η λειτουργία καταλήγει στην εξίσωση , του οποίου το σύνολο λύσεων είναι η ένωση συνόλων λύσεων: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Ωστόσο, παρά Αυτό το μειονέκτημα, είναι η διαδικασία για την αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε κάποια (συχνά άρτια) ισχύ που είναι η πιο κοινή διαδικασία για την αναγωγή μιας παράλογης εξίσωσης σε μια ορθολογική εξίσωση.

Λύστε την εξίσωση:

Οπου είναι μερικά πολυώνυμα. Δυνάμει του ορισμού της λειτουργίας εξαγωγής ρίζας στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, οι αποδεκτές τιμές του αγνώστου https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 ύψος =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Δεδομένου ότι και τα δύο μέρη της 1ης εξίσωσης ήταν τετράγωνα, μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν θα είναι όλες οι ρίζες της 2ης εξίσωσης λύσεις στην αρχική εξίσωση, είναι απαραίτητο να ελέγξετε τις ρίζες.

Λύστε την εξίσωση:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε κύβο, παίρνουμε

Δεδομένου ότι https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Η τελευταία εξίσωση μπορεί να έχει ρίζες που, γενικά, δεν είναι ρίζες του εξίσωση ).

Ανυψώνουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης σε έναν κύβο: . Ξαναγράφουμε την εξίσωση με τη μορφή x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Ελέγχοντας, διαπιστώνουμε ότι το x1 = 0 είναι μια ξένη ρίζα της εξίσωσης (-2 ≠ 1) και το x2 = 1 ικανοποιεί την αρχική εξίσωση.

Απάντηση: x = 1.

2 μέθοδος. Αντικατάσταση παρακείμενου συστήματος συνθηκών

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων που περιέχουν ρίζες άρτιας τάξης, μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες στις απαντήσεις, οι οποίες δεν είναι πάντα εύκολο να εντοπιστούν. Για να διευκολυνθεί ο εντοπισμός και η απόρριψη των ξένων ριζών, κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων αντικαθίσταται αμέσως από ένα παρακείμενο σύστημα συνθηκών. Οι πρόσθετες ανισότητες στο σύστημα λαμβάνουν ουσιαστικά υπόψη το ODZ της εξίσωσης που λύνεται. Μπορείτε να βρείτε το ODZ ξεχωριστά και να το λάβετε υπόψη αργότερα, αλλά είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείτε μικτά συστήματα συνθηκών: υπάρχει λιγότερος κίνδυνος να ξεχάσετε κάτι, να μην το λάβετε υπόψη στη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης. Επομένως, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται η μέθοδος μετάβασης σε μικτά συστήματα.

Λύστε την εξίσωση:

Απάντηση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα

Απάντηση:η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

3 μέθοδος. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της νης ρίζας

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες της ρίζας του nου βαθμού. αριθμητική ρίζα n-ουβαθμούς από μεταξύ τους ΕΝΑκαλέστε έναν μη αρνητικό αριθμό, n- i του οποίου το πτυχίο είναι ίσο με ΕΝΑ. Αν n-ακόμη και( 2n), τότε ένα ≥ 0, διαφορετικά η ρίζα δεν υπάρχει. Αν n-Περιττός( 2 n+1), τότε το a είναι οποιοδήποτε και = - ..gif" width="45" height="19"> Στη συνέχεια:

2.

3.

4.

5.

Εφαρμόζοντας οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους, τυπικά (χωρίς να ληφθούν υπόψη οι υποδεικνυόμενοι περιορισμοί), θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το ODZ της αριστεράς και σωστά μέρηκαθένα από αυτά μπορεί να είναι διαφορετικό. Για παράδειγμα, η έκφραση ορίζεται με f ≥ 0Και g ≥ 0, και η έκφραση είναι όπως στο f ≥ 0Και g ≥ 0, καθώς f ≤ 0Και g ≤ 0.

Για καθέναν από τους τύπους 1-5 (χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι περιορισμοί που υποδεικνύονται), το ODZ του δεξιού τμήματός του μπορεί να είναι ευρύτερο από το ODZ του αριστερού. Από αυτό προκύπτει ότι οι μετασχηματισμοί της εξίσωσης με την επίσημη χρήση των τύπων 1-5 «από αριστερά προς τα δεξιά» (όπως γράφονται) οδηγούν σε μια εξίσωση που είναι συνέπεια της αρχικής. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες της αρχικής εξίσωσης, επομένως η επαλήθευση είναι ένα υποχρεωτικό βήμα για την επίλυση της αρχικής εξίσωσης.

Οι μετασχηματισμοί των εξισώσεων με την επίσημη χρήση των τύπων 1-5 "από δεξιά προς τα αριστερά" είναι απαράδεκτοι, καθώς είναι δυνατό να κριθεί το ODZ της αρχικής εξίσωσης και, κατά συνέπεια, η απώλεια ριζών.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

που είναι συνέπεια του πρωτότυπου. Η λύση αυτής της εξίσωσης ανάγεται στην επίλυση του συνόλου των εξισώσεων .

Από την πρώτη εξίσωση αυτού του συνόλου βρίσκουμε https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> από όπου βρίσκουμε . Έτσι, οι ρίζες του αυτή η εξίσωση μπορεί να είναι μόνο αριθμοί (-1) και (-2) Η επαλήθευση δείχνει ότι και οι δύο ρίζες που βρέθηκαν ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση.

Απάντηση: -1,-2.

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση: με βάση τις ταυτότητες, αντικαταστήστε τον πρώτο όρο με . Σημειώστε ότι ως το άθροισμα δύο μη αρνητικών αριθμών στην αριστερή πλευρά. «Αφαιρέστε» τη μονάδα και, αφού φέρετε παρόμοιους όρους, λύστε την εξίσωση. Αφού , παίρνουμε την εξίσωση . Αφού και , στη συνέχεια https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Απάντηση: x = 4,25.

4 μέθοδος. Εισαγωγή νέων μεταβλητών

Ένα άλλο παράδειγμα επίλυσης παράλογων εξισώσεων είναι ο τρόπος με τον οποίο εισάγονται νέες μεταβλητές, σε σχέση με τις οποίες προκύπτει είτε μια απλούστερη παράλογη εξίσωση είτε μια ορθολογική εξίσωση.

Η λύση των παράλογων εξισώσεων αντικαθιστώντας την εξίσωση με τη συνέπειά της (με επακόλουθο έλεγχο των ριζών) μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εξής:

1. Βρείτε το ODZ της αρχικής εξίσωσης.

2. Πηγαίνετε από την εξίσωση στο συμπέρασμά της.

3. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει.

4. Ελέγξτε αν οι ρίζες που βρέθηκαν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Ο έλεγχος έχει ως εξής:

Α) ελέγχεται η συμμετοχή κάθε ευρεθείσας ρίζας του ODZ της αρχικής εξίσωσης. Οι ρίζες που δεν ανήκουν στο ODZ είναι ξένες για την αρχική εξίσωση.

Β) για κάθε ρίζα που περιλαμβάνεται στο ODZ της αρχικής εξίσωσης, ελέγχεται αν το αριστερό και το δεξί μέρος καθεμιάς από τις εξισώσεις που προκύπτουν κατά τη διαδικασία επίλυσης της αρχικής εξίσωσης και ανεβαίνουν σε άρτια ισχύ έχουν τα ίδια πρόσημα. Εκείνες τις ρίζες για τις οποίες έχουν τα μέρη οποιασδήποτε εξίσωσης που ανυψώνονται σε άρτια ισχύ διαφορετικά σημάδια, είναι εξωτερικά για την αρχική εξίσωση.

Γ) μόνο εκείνες οι ρίζες που ανήκουν στο ODZ της αρχικής εξίσωσης και για τις οποίες και τα δύο μέρη καθεμιάς από τις εξισώσεις που προκύπτουν κατά τη διαδικασία επίλυσης της αρχικής εξίσωσης και ανυψώνονται σε άρτια ισχύ έχουν τα ίδια πρόσημα ελέγχονται με άμεση αντικατάσταση σε την αρχική εξίσωση.

Μια τέτοια μέθοδος λύσης με την υποδεικνυόμενη μέθοδο επαλήθευσης επιτρέπει την αποφυγή δυσκίνητων υπολογισμών στην περίπτωση άμεσης αντικατάστασης καθεμιάς από τις ρίζες που βρέθηκαν της τελευταίας εξίσωσης στην αρχική.

Λύστε την παράλογη εξίσωση:

.

Ενα μάτσο επιτρεπόμενες τιμέςαυτή η εξίσωση:

Θέτοντας , μετά την αντικατάσταση παίρνουμε την εξίσωση

ή την ισοδύναμη εξίσωσή του

η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως δευτεροβάθμια εξίσωση για . Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε

.

Επομένως, το σύνολο λύσεων της αρχικής παράλογης εξίσωσης είναι η ένωση των συνόλων λύσεων των ακόλουθων δύο εξισώσεων:

, .

Κύβουμε και τις δύο πλευρές καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις και παίρνουμε δύο ορθολογικές αλγεβρικές εξισώσεις:

, .

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις, διαπιστώνουμε ότι αυτή η παράλογη εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα x = 2 (δεν απαιτείται επαλήθευση, αφού όλοι οι μετασχηματισμοί είναι ισοδύναμοι).

Απάντηση: x = 2.

Λύστε την παράλογη εξίσωση:

Σημειώστε 2x2 + 5x - 2 = t. Τότε η αρχική εξίσωση θα πάρει τη μορφή . Τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης που προκύπτει και φέρνοντας παρόμοιους όρους, παίρνουμε την εξίσωση , η οποία είναι συνέπεια της προηγούμενης. Από αυτό βρίσκουμε t=16.

Επιστρέφοντας στο άγνωστο x, παίρνουμε την εξίσωση 2x2 + 5x - 2 = 16, η οποία είναι συνέπεια της αρχικής. Ελέγχοντας, βεβαιωνόμαστε ότι οι ρίζες του x1 \u003d 2 και x2 \u003d - 9/2 είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 μέθοδος. Μετασχηματισμός Εξίσωσης Ταυτότητας

Όταν λύνουμε παράλογες εξισώσεις, δεν πρέπει να ξεκινάμε την επίλυση μιας εξίσωσης ανεβάζοντας και τα δύο μέρη των εξισώσεων σε μια φυσική δύναμη, προσπαθώντας να αναγάγουμε τη λύση μιας παράλογης εξίσωσης στην επίλυση μιας ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης. Πρώτον, είναι απαραίτητο να δούμε αν είναι δυνατό να γίνει κάποιος πανομοιότυπος μετασχηματισμός της εξίσωσης, ο οποίος μπορεί να απλοποιήσει σημαντικά τη λύση της.

Λύστε την εξίσωση:

Το σύνολο των έγκυρων τιμών για αυτήν την εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Διαιρέστε αυτήν την εξίσωση με .

.

Παίρνουμε:

Για a = 0, η εξίσωση δεν θα έχει λύσεις. για , η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως

για αυτή την εξίσωση δεν έχει λύσεις, αφού για καμία Χ, που ανήκει στο σύνολο των αποδεκτών τιμών της εξίσωσης, η έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι θετική.

όταν η εξίσωση έχει λύση

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σύνολο των αποδεκτών λύσεων της εξίσωσης καθορίζεται από την συνθήκη , τελικά παίρνουμε:

Κατά την επίλυση αυτής της παράλογης εξίσωσης, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> η λύση της εξίσωσης θα είναι . Για όλες τις άλλες τιμές Χη εξίσωση δεν έχει λύσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10:

Λύστε την παράλογη εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Η λύση της τετραγωνικής εξίσωσης του συστήματος δίνει δύο ρίζες: x1 \u003d 1 και x2 \u003d 4. Η πρώτη από τις ρίζες που λαμβάνονται δεν ικανοποιεί την ανισότητα του συστήματος, επομένως x \u003d 4.

Σημειώσεις.

1) Η πραγματοποίηση πανομοιότυπων μετασχηματισμών μας επιτρέπει να κάνουμε χωρίς επαλήθευση.

2) Η ανισότητα x - 3 ≥0 αναφέρεται σε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, και όχι στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης.

3) Υπάρχει μια φθίνουσα συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και μια αύξουσα συνάρτηση στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης. Τα γραφήματα φθίνουσας και αύξησης συναρτήσεων στη τομή των τομέων ορισμού τους δεν μπορούν να έχουν περισσότερα από ένα κοινό σημείο. Προφανώς, στην περίπτωσή μας, x = 4 είναι η τετμημένη του σημείου τομής των γραφημάτων.

Απάντηση: x = 4.

6 μέθοδος. Χρήση του πεδίου ορισμού συναρτήσεων κατά την επίλυση εξισώσεων

Αυτή η μέθοδος είναι πιο αποτελεσματική όταν λύνετε εξισώσεις που περιλαμβάνουν συναρτήσεις https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> και βρίσκετε τους ορισμούς της περιοχής της (φά)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, τότε πρέπει να ελέγξετε αν η εξίσωση είναι αληθής στα άκρα του διαστήματος, επιπλέον, εάν< 0, а b >0, τότε είναι απαραίτητο να ελέγξετε τα διαστήματα (a;0)Και . Ο μικρότερος ακέραιος στο E(y) είναι 3.

Απάντηση: x = 3.

8 μέθοδος. Εφαρμογή της παραγώγου στην επίλυση παράλογων εξισώσεων

Τις περισσότερες φορές, κατά την επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παραγώγου, χρησιμοποιείται η μέθοδος εκτίμησης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15:

Λύστε την εξίσωση: (1)

Λύση: Από https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> ή (2). Εξετάστε τη συνάρτηση ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> καθόλου και επομένως αυξάνεται. Επομένως, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια εξίσωση που έχει μια ρίζα που είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16:

Λύστε την παράλογη εξίσωση:

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα τμήμα. Ας βρούμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της τιμής αυτής της συνάρτησης στο διάστημα . Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης φά(Χ): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Ας βρούμε τις τιμές της συνάρτησης φά(Χ)στα άκρα του τμήματος και στο σημείο : Λοιπόν, αλλά και, επομένως, η ισότητα είναι δυνατή μόνο υπό την προϋπόθεση https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Η επαλήθευση δείχνει ότι ο αριθμός 3 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Απάντηση: x = 3.

9 μέθοδος. Λειτουργικός

Στις εξετάσεις, μερικές φορές προσφέρουν να λύσουν εξισώσεις που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή , όπου είναι μια συγκεκριμένη συνάρτηση.

Για παράδειγμα, μερικές εξισώσεις: 1) 2) . Πράγματι, στην πρώτη περίπτωση , στη δεύτερη περίπτωση . Επομένως, λύστε παράλογες εξισώσεις χρησιμοποιώντας την ακόλουθη πρόταση: εάν μια συνάρτηση είναι αυστηρά αύξουσα στο σύνολο Χκαι για οποιαδήποτε , τότε οι εξισώσεις, κ.λπ., είναι ισοδύναμες στο σύνολο Χ .

Λύστε την παράλογη εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> αυξάνει αυστηρά στο σετ R,και https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > που έχει μοναδική ρίζα Επομένως, η ισοδύναμη εξίσωση (1) έχει και μοναδική ρίζα

Απάντηση: x = 3.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18:

Λύστε την παράλογη εξίσωση: (1)

Εξ ορισμού τετραγωνική ρίζαπαίρνουμε ότι αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες, τότε ανήκουν στο σύνολο https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Εξετάστε τη συνάρτηση https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> αυστηρά αυξανόμενη σε αυτό το σύνολο για οποιοδήποτε ..gif" width="100" ύψος ="41"> που έχει μία μόνο ρίζα Επομένως, και ισοδύναμη με αυτήν στο σετ ΧΗ εξίσωση (1) έχει μία μόνο ρίζα

Απάντηση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Λύση: Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα μικτό σύστημα