Εξετάστε παραδείγματα διαίρεσης δεκαδικών αριθμών υπό αυτό το πρίσμα.
Παράδειγμα.
Εκτελέστε δεκαδική διαίρεση 1.2 με δεκαδικός 0,48 .
Λύση.
Απάντηση:
1,2:0,48=2,5 .
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το περιοδικό δεκαδικό 0.(504) με το δεκαδικό 0,56 .
Λύση.
Ας μεταφράσουμε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο:. Μεταφράζουμε επίσης το τελικό δεκαδικό κλάσμα 0,56 σε ένα συνηθισμένο, έχουμε 0,56 \u003d 56/100. Τώρα μπορούμε να περάσουμε από τη διαίρεση των αρχικών δεκαδικών στη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων και να ολοκληρώσουμε τους υπολογισμούς: .
Ας μεταφράσουμε το συνηθισμένο κλάσμα που προκύπτει σε δεκαδικό κλάσμα διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή σε μια στήλη:
Απάντηση:
0,(504):0,56=0,(900) .
Η αρχή της διαίρεσης άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτωνδιαφέρει από την αρχή της διαίρεσης πεπερασμένων και περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων, αφού τα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά κλάσματα δεν μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Η διαίρεση των άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων ανάγεται στη διαίρεση των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων, για τα οποία εκτελείται στρογγυλοποίηση αριθμώνμέχρι ένα ορισμένο επίπεδο. Επιπλέον, εάν ένας από τους αριθμούς με τους οποίους πραγματοποιείται η διαίρεση είναι πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, τότε στρογγυλοποιείται επίσης στο ίδιο ψηφίο με το μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το άπειρο μη επαναλαμβανόμενο δεκαδικό 0,779... με το τελικό δεκαδικό 1,5602.
Λύση.
Αρχικά, πρέπει να στρογγυλοποιήσετε τα δεκαδικά κλάσματα για να μεταβείτε από τη διαίρεση ενός άπειρου μη επαναλαμβανόμενου δεκαδικού κλάσματος στη διαίρεση πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων. Μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε στα εκατοστά: 0,779…≈0,78 και 1,5602≈1,56. Έτσι, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Απάντηση:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Διαίρεση φυσικού αριθμού με δεκαδικό κλάσμα και αντίστροφα
Η ουσία της προσέγγισης για τη διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ένα δεκαδικό κλάσμα και τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με φυσικός αριθμόςδεν διαφέρει από την ουσία της διαίρεσης δεκαδικών κλασμάτων. Δηλαδή, τα πεπερασμένα και περιοδικά κλάσματα αντικαθίστανται από συνηθισμένα κλάσματα και τα άπειρα μη περιοδικά κλάσματα στρογγυλοποιούνται.
Για να το καταλάβετε, εξετάστε το παράδειγμα της διαίρεσης ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το δεκαδικό κλάσμα 25,5 με τον φυσικό αριθμό 45.
Λύση.
Αντικαθιστώντας το δεκαδικό κλάσμα 25,5 με ένα συνηθισμένο κλάσμα 255/10=51/2, η διαίρεση ανάγεται στη διαίρεση ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό: . Το κλάσμα που προκύπτει σε δεκαδικό συμβολισμό είναι 0,5(6) .
Απάντηση:
25,5:45=0,5(6) .
Διαίρεση δεκαδικού κλάσματος με φυσικό αριθμό με στήλη
Η διαίρεση των τελικών δεκαδικών κλασμάτων με φυσικούς αριθμούς πραγματοποιείται εύκολα από μια στήλη κατ' αναλογία με τη διαίρεση με μια στήλη φυσικών αριθμών. Εδώ είναι ο κανόνας της διαίρεσης.
Προς την διαιρέστε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη, απαραίτητη:
- προσθέστε μερικά ψηφία προς τα δεξιά στο διαιρετό δεκαδικό κλάσμα 0, (κατά τη διαίρεση, εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να προσθέσετε οποιονδήποτε αριθμό μηδενικών, αλλά αυτά τα μηδενικά μπορεί να μην χρειάζονται).
- εκτελέστε διαίρεση με στήλη δεκαδικού κλάσματος με φυσικό αριθμό σύμφωνα με όλους τους κανόνες διαίρεσης με στήλη φυσικών αριθμών, αλλά όταν ολοκληρωθεί η διαίρεση του ακέραιου μέρους του δεκαδικού κλάσματος, τότε στον ιδιωτικό πρέπει να βάλτε κόμμα και συνεχίστε τη διαίρεση.
Ας πούμε αμέσως ότι ως αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός πεπερασμένου δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, μπορεί να ληφθεί είτε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Πράγματι, μετά τη διαίρεση όλων των δεκαδικών ψηφίων του διαιρετέου κλάσματος εκτός του 0, μπορούμε να πάρουμε είτε ένα υπόλοιπο 0 και θα πάρουμε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα ή τα υπόλοιπα θα αρχίσουν να επαναλαμβάνονται περιοδικά και θα πάρουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Ας ασχοληθούμε με όλες τις περιπλοκές της διαίρεσης των δεκαδικών κλασμάτων σε φυσικούς αριθμούς με μια στήλη κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το δεκαδικό 65,14 με το 4.
Λύση.
Ας εκτελέσουμε τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Ας προσθέσουμε ένα ζεύγος μηδενικών προς τα δεξιά στην εγγραφή του κλάσματος 65,14, ενώ παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα ίσο με αυτό 65,1400 (βλ. ίσα και άνισα δεκαδικά κλάσματα). Τώρα μπορείτε να αρχίσετε να διαιρείτε το ακέραιο μέρος του δεκαδικού κλάσματος 65.1400 με έναν φυσικό αριθμό 4 με μια στήλη: 
Αυτό ολοκληρώνει τη διαίρεση του ακέραιου μέρους του δεκαδικού κλάσματος. Εδώ ιδιωτικά πρέπει να βάλετε μια υποδιαστολή και να συνεχίσετε τη διαίρεση: 
Έχουμε φτάσει στο υπόλοιπο 0, σε αυτό το στάδιο η διαίρεση με μια στήλη τελειώνει. Ως αποτέλεσμα, έχουμε 65,14:4=16,285.
Απάντηση:
65,14:4=16,285 .
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το 164,5 με το 27.
Λύση.
Ας διαιρέσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Μετά τη διαίρεση του ακέραιου μέρους, έχουμε την ακόλουθη εικόνα: 
Τώρα βάζουμε κόμμα ιδιωτικά και συνεχίζουμε τη διαίρεση με μια στήλη: 
Τώρα φαίνεται καθαρά ότι τα υπολείμματα του 25, 7 και 16 έχουν αρχίσει να επαναλαμβάνονται, ενώ οι αριθμοί 9, 2 και 5 επαναλαμβάνονται στο πηλίκο. Έτσι, διαιρώντας το δεκαδικό 164,5 με το 27, μας δίνεται το περιοδικό δεκαδικό 6,0(925) .
Απάντηση:
164,5:27=6,0(925) .
Διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων με στήλη
Η διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μειωθεί στη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Για να γίνει αυτό, το μέρισμα και ο διαιρέτης πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν τέτοιο αριθμό 10, ή 100, ή 1000, κ.λπ., έτσι ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός αριθμός και στη συνέχεια να διαιρεθεί με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό λόγω των ιδιοτήτων της διαίρεσης και του πολλαπλασιασμού, αφού a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) και ούτω καθεξής.
Με άλλα λόγια, για να διαιρέσετε ένα τελικό δεκαδικό με ένα τελειωμένο δεκαδικό, Χρειάζομαι:
- στο μέρισμα και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά κατά όσους χαρακτήρες υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη, εάν ταυτόχρονα δεν υπάρχουν αρκετοί χαρακτήρες στο μέρισμα για να μετακινήσετε το κόμμα, τότε πρέπει να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών προς τα δεξιά.
- Μετά από αυτό, εκτελέστε τη διαίρεση με μια στήλη δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Σκεφτείτε, όταν λύνετε ένα παράδειγμα, την εφαρμογή αυτού του κανόνα για τη διαίρεση με ένα δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα.
Διαίρεση στήλης 7.287 με 2.1.
Λύση.
Ας μετακινήσουμε το κόμμα σε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα ένα ψηφίο προς τα δεξιά, αυτό θα μας επιτρέψει να πάμε από τη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 7,287 με το δεκαδικό κλάσμα 2,1 στη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 72,87 με τον φυσικό αριθμό 21. Ας διαιρέσουμε με μια στήλη: 
Απάντηση:
7,287:2,1=3,47 .
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το δεκαδικό 16,3 με το δεκαδικό 0,021.
Λύση.
Μετακινήστε το κόμμα στο μέρισμα και το διαιρέτη προς τα δεξιά κατά 3 ψηφία. Προφανώς, δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στον διαιρέτη για να φέρουν το κόμμα, οπότε ας προσθέσουμε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών στα δεξιά. Τώρα ας διαιρέσουμε τη στήλη του κλάσματος 16300,0 με τον φυσικό αριθμό 21: 
Από αυτή τη στιγμή, τα υπόλοιπα 4, 19, 1, 10, 16 και 13 αρχίζουν να επαναλαμβάνονται, πράγμα που σημαίνει ότι θα επαναληφθούν και οι αριθμοί 1, 9, 0, 4, 7 και 6 στο πηλίκο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 776,(190476) .
Απάντηση:
16,3:0,021=776,(190476) .
Σημειώστε ότι ο κανόνας της φωνής σας επιτρέπει να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα με μια στήλη.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε τον φυσικό αριθμό 3 με το δεκαδικό κλάσμα 5.4.
Λύση.
Αφού μετακινήσουμε το κόμμα 1 ψηφίο προς τα δεξιά, καταλήγουμε στη διαίρεση του αριθμού 30,0 με το 54. Ας διαιρέσουμε με μια στήλη: 
.
Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί όταν διαιρούμε άπειρα δεκαδικά κλάσματα με 10, 100, .... Για παράδειγμα, 3,(56):1000=0,003(56) και 593,374…:100=5,93374… .
Διαίρεση δεκαδικών με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ.
Δεδομένου ότι 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, κ.λπ., προκύπτει από τον κανόνα της διαίρεσης με ένα συνηθισμένο κλάσμα ότι διαιρώντας ένα δεκαδικό κλάσμα με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ. . είναι σαν να πολλαπλασιάζεις το δεκαδικό με 10, 100, 1000 κ.λπ. αντίστοιχα.
Με άλλα λόγια, για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 0,1, 0,01, ... πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά 1, 2, 3, ... ψηφία και αν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στο δεκαδικό κλάσμα σε μετακινήστε το κόμμα και, στη συνέχεια, πρέπει να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό στα δεξιά μηδενικά.
Για παράδειγμα, 5.739:0.1=57.39 και 0.21:0.00001=21.000 .
Ο ίδιος κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί όταν διαιρούμε άπειρα δεκαδικά με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί με τη διαίρεση των περιοδικών κλασμάτων, ώστε να μην μπερδευτείτε με την περίοδο του κλάσματος, η οποία προκύπτει ως αποτέλεσμα της διαίρεσης. Για παράδειγμα, 7.5(716):0.01=757,(167) , αφού αφού μετακινήσουμε το κόμμα στην εγγραφή του δεκαδικού κλάσματος 7.5716716716 ... δύο ψηφία προς τα δεξιά, έχουμε την εγγραφή 757.167167 ... . Με άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά, όλα είναι πιο απλά: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Διαίρεση κλάσματος ή μικτού αριθμού με δεκαδικό και αντίστροφα
Η διαίρεση ενός συνηθισμένου κλάσματος ή ενός μικτού αριθμού με ένα πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, καθώς και η διαίρεση ενός πεπερασμένου ή περιοδικού δεκαδικού κλάσματος με ένα συνηθισμένο κλάσμα ή έναν μικτό αριθμό, ανάγεται στη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, τα δεκαδικά κλάσματα αντικαθίστανται από τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα και ο μικτός αριθμός αναπαρίσταται ως ακατάλληλο κλάσμα.
Κατά τη διαίρεση ενός άπειρου μη περιοδικού δεκαδικού κλάσματος με ένα συνηθισμένο κλάσμα ή έναν μικτό αριθμό και αντίστροφα, θα πρέπει να προχωρήσουμε στη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων, αντικαθιστώντας το συνηθισμένο κλάσμα ή τον μικτό αριθμό με το αντίστοιχο δεκαδικό κλάσμα.
Βιβλιογραφία.
- Μαθηματικά: σπουδές. για 5 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: εικ. ISBN 5-346-00699-0.
- Μαθηματικά. 6η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., Rev. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
Να βρείτε το πρώτο ψηφίο του πηλίκου (το αποτέλεσμα της διαίρεσης).Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε το πρώτο ψηφίο του μερίσματος με το διαιρέτη. Γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από τον διαιρέτη.
- Στο παράδειγμά μας, το πρώτο ψηφίο του μερίσματος είναι 3. Διαιρέστε το 3 με το 12. Επειδή το 3 είναι μικρότερο από το 12, τότε το αποτέλεσμα της διαίρεσης θα είναι 0. Γράψτε το 0 κάτω από τον διαιρέτη - αυτό είναι το πρώτο ψηφίο του πηλίκου.
Πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με τον διαιρέτη.Γράψτε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού κάτω από το πρώτο ψηφίο του μερίσματος, αφού αυτός είναι ο αριθμός που μόλις διαιρέσατε με τον διαιρέτη.
- Στο παράδειγμά μας, 0 × 12 = 0, οπότε γράψτε το 0 κάτω από το 3.
Αφαιρέστε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από το πρώτο ψηφίο του μερίσματος.Γράψτε την απάντησή σας σε νέα γραμμή.
- Στο παράδειγμά μας: 3 - 0 = 3. Γράψτε το 3 ακριβώς κάτω από το 0.
Μετακινήστε προς τα κάτω το δεύτερο ψηφίο του μερίσματος.Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος δίπλα στο αποτέλεσμα της αφαίρεσης.
- Στο παράδειγμά μας, το μέρισμα είναι 30. Το δεύτερο ψηφίο του μερίσματος είναι 0. Μετακινήστε το προς τα κάτω γράφοντας το 0 δίπλα στο 3 (το αποτέλεσμα της αφαίρεσης). Θα πάρετε τον αριθμό 30.
Διαιρέστε το αποτέλεσμα με διαιρέτη.Θα βρείτε το δεύτερο ψηφίο του ιδιωτικού. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τον αριθμό στην κάτω γραμμή με τον διαιρέτη.
- Στο παράδειγμά μας, διαιρέστε το 30 με το 12. 30 ÷ 12 = 2 συν λίγο υπόλοιπο (επειδή 12 x 2 = 24). Γράψτε το 2 μετά το 0 κάτω από τον διαιρέτη - αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο του πηλίκου.
- Εάν δεν μπορείτε να βρείτε ένα κατάλληλο ψηφίο, επαναλάβετε τα ψηφία έως ότου το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε ψηφίου με έναν διαιρέτη είναι μικρότερο και πλησιέστερο στον αριθμό που βρίσκεται τελευταίος στη στήλη. Στο παράδειγμά μας, θεωρήστε τον αριθμό 3. Πολλαπλασιάστε τον με τον διαιρέτη: 12 x 3 = 36. Επειδή το 36 είναι μεγαλύτερο από το 30, ο αριθμός 3 δεν είναι κατάλληλος. Τώρα θεωρήστε τον αριθμό 2. 12 x 2 = 24. Το 24 είναι μικρότερο από 30, άρα ο αριθμός 2 είναι η σωστή λύση.
Επαναλάβετε τα παραπάνω βήματα για να βρείτε το επόμενο ψηφίο.Ο περιγραφόμενος αλγόριθμος χρησιμοποιείται σε οποιοδήποτε πρόβλημα διαίρεσης μεγάλου μήκους.
- Πολλαπλασιάστε το δεύτερο πηλίκο με τον διαιρέτη: 2 x 12 = 24.
- Γράψτε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού (24) κάτω από τον τελευταίο αριθμό της στήλης (30).
- Αφαιρέστε τον μικρότερο αριθμό από τον μεγαλύτερο. Στο παράδειγμά μας: 30 - 24 = 6. Γράψτε το αποτέλεσμα (6) σε μια νέα γραμμή.
Εάν έχουν απομείνει ψηφία στο μέρισμα που μπορούν να μετακινηθούν προς τα κάτω, συνεχίστε τη διαδικασία υπολογισμού.Διαφορετικά, προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
- Στο παράδειγμά μας, μετακινήσατε προς τα κάτω το τελευταίο ψηφίο του μερίσματος (0). Προχωρήστε λοιπόν στο επόμενο βήμα.
Εάν είναι απαραίτητο, χρησιμοποιήστε μια υποδιαστολή για να επεκτείνετε το μέρισμα.Εάν το μέρισμα διαιρείται ομοιόμορφα με τον διαιρέτη, τότε στην τελευταία γραμμή θα λάβετε τον αριθμό 0. Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα έχει λυθεί και η απάντηση (με τη μορφή ακέραιου) γράφεται κάτω από τον διαιρέτη. Αλλά εάν οποιοδήποτε ψηφίο εκτός από το 0 βρίσκεται στο κάτω μέρος της στήλης, πρέπει να επεκτείνετε το μέρισμα βάζοντας μια υποδιαστολή και εκχωρώντας 0. Θυμηθείτε ότι αυτό δεν αλλάζει την αξία του μερίσματος.
- Στο παράδειγμά μας, ο αριθμός 6 βρίσκεται στην τελευταία γραμμή. Επομένως, στα δεξιά του 30 (μέρισμα), γράψτε μια υποδιαστολή και μετά γράψτε 0. Βάλτε επίσης μια υποδιαστολή μετά τα πηλίκα ψηφία που βρέθηκαν, τα οποία γράφετε κάτω από το διαιρέτης (μην γράψετε τίποτα μετά από αυτό το κόμμα ακόμα!) .
Επαναλάβετε τα παραπάνω βήματα για να βρείτε το επόμενο ψηφίο.Το κύριο πράγμα είναι να μην ξεχάσετε να βάλετε υποδιαστολή τόσο μετά το μέρισμα όσο και μετά τα ψηφία που βρέθηκαν του ιδιωτικού. Η υπόλοιπη διαδικασία είναι παρόμοια με τη διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω.
- Στο παράδειγμά μας, μετακινήστε προς τα κάτω το 0 (το οποίο γράψατε μετά την υποδιαστολή). Θα πάρετε τον αριθμό 60. Τώρα διαιρέστε αυτόν τον αριθμό με τον διαιρέτη: 60 ÷ 12 = 5. Γράψτε το 5 μετά το 2 (και μετά την υποδιαστολή) κάτω από τον διαιρέτη. Αυτό είναι το τρίτο ψηφίο του πηλίκου. Άρα η τελική απάντηση είναι 2,5 (το μηδέν μπροστά από το 2 μπορεί να αγνοηθεί).
Εάν το παιδί σας δεν μπορεί να μάθει πώς να διαιρεί δεκαδικά ψηφία με οποιονδήποτε τρόπο, τότε αυτό δεν είναι λόγος να το θεωρήσετε ανίκανο για μαθηματικά.
Πιθανότατα, απλά δεν κατάλαβε πώς έγινε. Είναι απαραίτητο να βοηθήσετε το παιδί και με τον πιο απλό, σχεδόν παιχνιδιάρικο τρόπο, να του πείτε για τα κλάσματα και τις πράξεις με αυτά. Και για αυτό πρέπει να θυμόμαστε κάτι οι ίδιοι.
Οι κλασματικές εκφράσεις χρησιμοποιούνται όταν μιλαμεσχετικά με τους μη ακέραιους αριθμούς.Αν το κλάσμα είναι μικρότερο από ένα, τότε περιγράφει ένα μέρος από κάτι, αν είναι περισσότερο, πολλά ολόκληρα μέρη και ένα άλλο κομμάτι. Τα κλάσματα περιγράφονται με 2 τιμές: τον παρονομαστή, ο οποίος εξηγεί πόσο ίσα μέρηο αριθμός διαιρείται με τον αριθμητή, ο οποίος λέει πόσα τέτοια μέρη εννοούμε.
Ας υποθέσουμε ότι κόψατε ένα κέικ σε 4 ίσα μέρη και δώσατε 1 από αυτά στους γείτονές σας. Ο παρονομαστής θα είναι 4. Και ο αριθμητής εξαρτάται από το τι θέλουμε να περιγράψουμε. Αν μιλάμε για το πόσο δόθηκε στους γείτονες, τότε ο αριθμητής είναι 1 και αν μιλάμε για το πόσο έχει απομείνει, τότε 3.
Στο παράδειγμα πίτας, ο παρονομαστής είναι 4 και στην έκφραση "1 ημέρα - 1/7 της εβδομάδας" - 7. Μια κλασματική έκφραση με οποιονδήποτε παρονομαστή είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα.
Οι μαθηματικοί, όπως όλοι οι άλλοι, προσπαθούν να κάνουν τη ζωή τους πιο εύκολη. Γι' αυτό εφευρέθηκαν τα δεκαδικά κλάσματα. Σε αυτά, ο παρονομαστής είναι 10 ή πολλαπλάσια του 10 (100, 1000, 10.000 κ.λπ.), και γράφονται ως εξής: το ακέραιο συστατικό του αριθμού διαχωρίζεται από το κλασματικό με κόμμα. Για παράδειγμα, το 5,1 είναι 5 ακέραιοι και 1 δέκατο και το 7,86 είναι 7 ακέραιοι και 86 εκατοστά.
Μια μικρή παρέκκλιση - όχι για τα παιδιά σας, αλλά για τον εαυτό σας. Συνηθίζεται στη χώρα μας να χωρίζουμε το κλασματικό μέρος με κόμμα. Στο εξωτερικό, σύμφωνα με μια καθιερωμένη παράδοση, συνηθίζεται να το χωρίζετε με μια τελεία. Επομένως, αν συναντήσετε τέτοια σήμανση σε ξένο κείμενο, μην εκπλαγείτε.
Διαίρεση κλασμάτων
Καθε αριθμητική πράξημε παρόμοιους αριθμούς έχει τα δικά του χαρακτηριστικά, αλλά τώρα θα προσπαθήσουμε να μάθουμε πώς να διαιρούμε δεκαδικά κλάσματα. Είναι δυνατή η διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό ή με ένα άλλο κλάσμα.
Προκειμένου να καταστεί ευκολότερο να κυριαρχήσετε αυτήν την αριθμητική πράξη, είναι σημαντικό να θυμάστε ένα απλό πράγμα.
Μαθαίνοντας να χειρίζεστε το κόμμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ίδιους κανόνες διαίρεσης όπως για τους ακέραιους αριθμούς.
Εξετάστε τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό. Η τεχνολογία της διαίρεσης σε στήλη θα πρέπει να είναι ήδη γνωστή σε εσάς από το προηγουμένως καλυμμένο υλικό. Η διαδικασία εκτελείται με παρόμοιο τρόπο. Το μέρισμα διαιρείται με τον διαιρέτη. Μόλις η σειρά φτάσει στο τελευταίο σημάδι πριν από το κόμμα, το κόμμα τοποθετείται επίσης στο ιδιωτικό και στη συνέχεια η διαίρεση προχωρά με τον συνηθισμένο τρόπο.
Δηλαδή, εκτός από την κατεδάφιση του κόμματος - η πιο κοινή διαίρεση, και το κόμμα δεν είναι πολύ δύσκολο.
Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα
Τα παραδείγματα στα οποία πρέπει να διαιρέσετε μια κλασματική τιμή με μια άλλη φαίνεται να είναι πολύ περίπλοκα. Στην πραγματικότητα όμως δεν είναι καθόλου δύσκολο να τα αντιμετωπίσεις. Θα είναι πολύ πιο εύκολο να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με ένα άλλο εάν απαλλαγείτε από το κόμμα στον διαιρέτη.
Πως να το κάνεις? Εάν πρέπει να τακτοποιήσετε 90 μολύβια σε 10 κουτιά, πόσα μολύβια θα υπάρχουν σε καθένα από αυτά; 9. Ας πολλαπλασιάσουμε και τους δύο αριθμούς με 10 - 900 μολύβια και 100 κουτιά. Πόσα στο καθένα; 9. Η ίδια αρχή ισχύει και κατά τη διαίρεση ενός δεκαδικού.
Ο διαιρέτης απαλλάσσεται από το κόμμα εντελώς, ενώ το μέρισμα μετακινεί το κόμμα προς τα δεξιά τόσους χαρακτήρες, όσους υπήρχαν προηγουμένως στον διαιρέτη. Και στη συνέχεια πραγματοποιείται η συνήθης διαίρεση σε μια στήλη, την οποία συζητήσαμε παραπάνω. Για παράδειγμα:
25,6/6,4 = 256/64 = 4;
10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;
100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.
Το μέρισμα πρέπει να πολλαπλασιαστεί και να πολλαπλασιαστεί επί 10 έως ότου ο διαιρέτης γίνει ακέραιος. Επομένως, μπορεί να έχει επιπλέον μηδενικά στα δεξιά.
40,6/0,58 =4060/58=70.
Τίποτα λάθος με αυτό. Θυμηθείτε το παράδειγμα με το μολύβι - η απάντηση δεν αλλάζει αν αυξήσετε και τους δύο αριθμούς κατά το ίδιο ποσό. Είναι πιο δύσκολο να διαιρέσουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα, ειδικά όταν δεν υπάρχει κοινούς παράγοντεςστον αριθμητή και στον παρονομαστή.
Η διαίρεση του δεκαδικού από αυτή την άποψη είναι πολύ πιο βολική. Το πιο δύσκολο κομμάτι εδώ είναι το κόλπο αναδίπλωσης κόμματος, αλλά όπως είδαμε, είναι εύκολο να το πετύχετε. Με το να μπορείτε να το μεταφέρετε στο παιδί σας, το μαθαίνετε να διαιρεί δεκαδικά κλάσματα.
Έχοντας κατακτήσει αυτόν τον απλό κανόνα, ο γιος ή η κόρη σας θα αισθάνονται πολύ πιο σίγουροι στα μαθήματα των μαθηματικών και, ποιος ξέρει, ίσως παρασυρθούν από αυτό το θέμα. Η μαθηματική νοοτροπία σπάνια εκδηλώνεται από την πρώιμη παιδική ηλικία, μερικές φορές χρειάζεστε μια ώθηση, ενδιαφέρον.
Βοηθώντας το παιδί σας με τις εργασίες για το σπίτι, όχι μόνο θα βελτιώσετε τις ακαδημαϊκές επιδόσεις, αλλά θα διευρύνετε και τον κύκλο των ενδιαφερόντων του, για τον οποίο θα σας είναι ευγνώμων με την πάροδο του χρόνου.
Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε μια τόσο σημαντική ενέργεια με δεκαδικά κλάσματα όπως η διαίρεση. Πρώτα διατυπώνουμε γενικές αρχές, στη συνέχεια θα αναλύσουμε πώς να διαιρέσουμε σωστά τα δεκαδικά κλάσματα ανά στήλη τόσο σε άλλα κλάσματα όσο και σε φυσικούς αριθμούς. Στη συνέχεια, θα αναλύσουμε τη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά και αντίστροφα, και στο τέλος θα δούμε πώς να διαιρέσουμε σωστά τα κλάσματα που τελειώνουν σε 0, 1, 0, 01, 100, 10 κ.λπ.
Εδώ παίρνουμε μόνο περιπτώσεις με θετικά κλάσματα. Εάν υπάρχει ένα μείον πριν από το κλάσμα, τότε για να ενεργήσετε με αυτό, πρέπει να μελετήσετε το υλικό σχετικά με τη διαίρεση ορθολογικών και πραγματικών αριθμών.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Όλα τα δεκαδικά κλάσματα, τόσο πεπερασμένα όσο και περιοδικά, είναι απλά ειδική φόρμασημειογραφία συνηθισμένων κλασμάτων. Επομένως, για αυτά ισχύουν οι ίδιες αρχές όπως και για τα αντίστοιχα συνηθισμένα τους κλάσματα. Έτσι, μειώνουμε την όλη διαδικασία διαίρεσης των δεκαδικών κλασμάτων στην αντικατάστασή τους με συνηθισμένα, ακολουθούμενη από υπολογισμό με μεθόδους που είναι ήδη γνωστές σε εμάς. Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.
Παράδειγμα 1
Διαιρέστε το 1,2 με το 0,48.
Λύση
Γράφουμε δεκαδικά κλάσματα με τη μορφή συνηθισμένων κλασμάτων. Θα είμαστε σε θέση να:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Επομένως, πρέπει να διαιρέσουμε το 6 5 με το 12 25 . Πιστεύουμε:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Από το προκύπτον ακατάλληλο κλάσμα, μπορείτε να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος και να πάρετε έναν μικτό αριθμό 2 1 2 ή μπορείτε να το αναπαραστήσετε ως δεκαδικό κλάσμα έτσι ώστε να ταιριάζει με τους αρχικούς αριθμούς: 5 2 \u003d 2, 5. Πώς να το κάνουμε αυτό, έχουμε ήδη γράψει νωρίτερα.
Απάντηση: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε πόσα θα είναι 0 , (504) 0 , 56 .
Λύση
Αρχικά, πρέπει να μετατρέψουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα σε συνηθισμένο.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Μετά από αυτό, θα μεταφράσουμε επίσης το τελικό δεκαδικό κλάσμα σε άλλη μορφή: 0, 56 = 56 100. Τώρα έχουμε δύο αριθμούς με τους οποίους θα είναι εύκολο για εμάς να κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Έχουμε ένα αποτέλεσμα που μπορούμε να το μετατρέψουμε και σε δεκαδικό. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στήλης:
Απάντηση: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Εάν, στο παράδειγμα της διαίρεσης, συναντήσαμε μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα, τότε θα ενεργήσουμε λίγο διαφορετικά. Δεν μπορούμε να τα φέρουμε στα συνηθισμένα συνηθισμένα κλάσματα, οπότε κατά τη διαίρεση, πρέπει πρώτα να τα στρογγυλοποιήσουμε σε ένα συγκεκριμένο ψηφίο. Αυτή η ενέργεια πρέπει να εκτελεστεί τόσο με το μέρισμα όσο και με τον διαιρέτη: θα στρογγυλοποιήσουμε επίσης το υπάρχον πεπερασμένο ή περιοδικό κλάσμα για λόγους ακρίβειας.
Παράδειγμα 3
Βρείτε πόσο θα είναι 0, 779 ... / 1, 5602.
Λύση
Πρώτα απ 'όλα, στρογγυλοποιούμε και τα δύο κλάσματα στα εκατοστά. Έτσι κινούμαστε από άπειρα μη επαναλαμβανόμενα κλάσματα σε πεπερασμένα δεκαδικά:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Μπορούμε να συνεχίσουμε τους υπολογισμούς και να πάρουμε ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.
Η ακρίβεια του αποτελέσματος θα εξαρτηθεί από τον βαθμό στρογγυλοποίησης.
Απάντηση: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Πώς να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με ένα δεκαδικό και αντίστροφα
Η προσέγγιση της διαίρεσης σε αυτή την περίπτωση είναι σχεδόν η ίδια: αντικαθιστούμε πεπερασμένα και περιοδικά κλάσματα με συνηθισμένα και στρογγυλοποιούμε άπειρα μη περιοδικά. Ας ξεκινήσουμε με το παράδειγμα της διαίρεσης με φυσικό αριθμό και δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα 4
Διαιρέστε το 2,5 με το 45.
Λύση
Ας φέρουμε το 2, 5 στη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος: 255 10 \u003d 51 2. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να το διαιρέσουμε με έναν φυσικό αριθμό. Ξέρουμε ήδη πώς να το κάνουμε αυτό:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Αν μεταφράσουμε το αποτέλεσμα σε δεκαδικό συμβολισμό, τότε παίρνουμε 0 , 5 (6) .
Απάντηση: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Η μέθοδος διαίρεσης με στήλη είναι καλή όχι μόνο για φυσικούς αριθμούς. Κατ' αναλογία, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε και για κλάσματα. Παρακάτω θα αναφέρουμε τη σειρά των ενεργειών που πρέπει να πραγματοποιηθούν για αυτό.
Ορισμός 1
Για να διαιρέσετε μια στήλη δεκαδικών κλασμάτων με φυσικούς αριθμούς, πρέπει:
1. Προσθέστε μερικά μηδενικά στο δεκαδικό κλάσμα στα δεξιά (για διαίρεση, μπορούμε να προσθέσουμε όποιον αριθμό από αυτά χρειαζόμαστε).
2. Διαιρέστε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο. Όταν τελειώσει η διαίρεση του ακέραιου μέρους του κλάσματος, βάζουμε κόμμα στο πηλίκο που προκύπτει και μετράμε περαιτέρω.
Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαίρεσης μπορεί να είναι είτε ένα πεπερασμένο είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Εξαρτάται από το υπόλοιπο: αν είναι μηδέν, τότε το αποτέλεσμα θα είναι πεπερασμένο και αν τα υπόλοιπα αρχίσουν να επαναλαμβάνονται, τότε η απάντηση θα είναι ένα περιοδικό κλάσμα.
Ας πάρουμε μερικές εργασίες ως παράδειγμα και ας προσπαθήσουμε να ολοκληρώσουμε αυτά τα βήματα ήδη με συγκεκριμένους αριθμούς.
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε πόσο θα είναι 65 , 14 4 .
Λύση
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο στήλης. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε δύο μηδενικά στο κλάσμα και λάβετε το δεκαδικό κλάσμα 65, 1400, το οποίο θα είναι ίσο με το αρχικό. Τώρα γράφουμε μια στήλη για διαίρεση με 4:
Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του ακέραιου μέρους που χρειαζόμαστε. Βάζουμε κόμμα, χωρίζοντας το και συνεχίζουμε:
Φτάσαμε στο μηδέν υπόλοιπο, επομένως, η διαδικασία διαίρεσης ολοκληρώθηκε.
Απάντηση: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Παράδειγμα 6
Διαιρέστε το 164,5 με το 27.
Λύση
Διαιρούμε πρώτα το κλασματικό μέρος και παίρνουμε:
Διαχωρίζουμε το σχήμα που προκύπτει με κόμμα και συνεχίζουμε να διαιρούμε:
Βλέπουμε ότι τα υπόλοιπα άρχισαν να επαναλαμβάνονται περιοδικά και οι αριθμοί εννέα, δύο και πέντε άρχισαν να εναλλάσσονται στο πηλίκο. Θα σταματήσουμε εκεί και θα γράψουμε την απάντηση ως περιοδικό κλάσμα 6, 0 (925) .
Απάντηση: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Μια τέτοια διαίρεση μπορεί να περιοριστεί στη διαδικασία εύρεσης ενός ιδιωτικού δεκαδικού κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού που ήδη περιγράφηκε παραπάνω. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη με 10, 100 κ.λπ. έτσι ώστε ο διαιρέτης να μετατραπεί σε φυσικό αριθμό. Στη συνέχεια εκτελούμε την παραπάνω σειρά ενεργειών. Αυτή η προσέγγιση είναι δυνατή λόγω των ιδιοτήτων της διαίρεσης και του πολλαπλασιασμού. Σε κυριολεκτική μορφή, τα γράψαμε ως εξής:
a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) και ούτω καθεξής.
Ας διατυπώσουμε τον κανόνα:
Ορισμός 2
Για να διαιρέσετε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει:
1. Μετακινήστε το κόμμα στο μέρισμα και το διαιρέτη προς τα δεξιά με τον αριθμό των χαρακτήρων που είναι απαραίτητοι για να μετατρέψετε τον διαιρέτη σε φυσικό αριθμό. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια στο μέρισμα, προσθέτουμε μηδενικά σε αυτό στη δεξιά πλευρά.
2. Μετά από αυτό, διαιρούμε το κλάσμα με μια στήλη με τον φυσικό αριθμό που προκύπτει.
Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.
Παράδειγμα 7
Διαιρέστε το 7, 287 με το 2, 1.
Λύση: Για να κάνουμε τον διαιρέτη φυσικό αριθμό, πρέπει να μετακινήσουμε το κόμμα με έναν χαρακτήρα προς τα δεξιά. Έτσι προχωρήσαμε στη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 72, 87 με 21. Ας γράψουμε τους αριθμούς που προέκυψαν σε μια στήλη και ας υπολογίσουμε
Απάντηση: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε 16 , 3 0 , 021 .
Λύση
Θα πρέπει να μετακινήσουμε το κόμμα σε τρία ψηφία. Δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στον διαιρέτη για αυτό, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε επιπλέον μηδενικά. Πιστεύουμε ότι το τελικό αποτέλεσμα θα είναι:
Βλέπουμε την περιοδική επανάληψη των υπολειμμάτων 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . Το πηλίκο επαναλαμβάνει 1 , 9 , 0 , 4 , 7 και 5 . Τότε το αποτέλεσμά μας είναι το περιοδικό δεκαδικό 776 , (190476) .
Απάντηση: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Η μέθοδος που περιγράφεται από εμάς σας επιτρέπει να κάνετε το αντίθετο, δηλαδή να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα. Ας δούμε πώς γίνεται.
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε πόσα θα είναι 3 5 , 4 .
Λύση
Προφανώς, θα πρέπει να μετακινήσουμε το κόμμα προς τα δεξιά κατά έναν χαρακτήρα. Μετά από αυτό μπορούμε να αρχίσουμε να διαιρούμε το 30, το 0 με το 54. Ας γράψουμε τα δεδομένα σε μια στήλη και ας υπολογίσουμε το αποτέλεσμα:
Η επανάληψη του υπολοίπου μας δίνει τον αριθμό 0 , (5) , που είναι περιοδικό δεκαδικό.
Απάντηση: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά με 1000, 100, 10 κ.λπ.
Σύμφωνα με τους ήδη μελετημένους κανόνες για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων, η διαίρεση ενός κλάσματος σε δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό του επί 1/1000, 1/100, 1/10 κ.λπ. Αποδεικνύεται ότι εκτελείται διαίρεση, σε αυτή η υπόθεσηαπλώς μετακινήστε το κόμμα στο σωστό ποσόψηφία. Εάν δεν υπάρχουν αρκετές τιμές στον αριθμό για μεταφορά, πρέπει να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών.
Παράδειγμα 10
Άρα, 56, 21: 10 = 5, 621 και 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.
Στην περίπτωση των άπειρων δεκαδικών, κάνουμε το ίδιο.
Παράδειγμα 11
Για παράδειγμα, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) και 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .
Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά με 0,001, 0,01, 0,1 κ.λπ.
Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα, μπορούμε επίσης να διαιρέσουμε τα κλάσματα με τις καθορισμένες τιμές. Αυτή η ενέργεια θα είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό με 1000 , 100 , 10 αντίστοιχα. Για να γίνει αυτό, μετακινούμε το κόμμα σε ένα, δύο ή τρία ψηφία, ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος, και προσθέτουμε μηδενικά εάν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στον αριθμό.
Παράδειγμα 12
Για παράδειγμα, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 και 0, 21: 0, 00001 = 21.000.
Αυτός ο κανόνας ισχύει και για άπειρα δεκαδικά. Σας συμβουλεύουμε μόνο να είστε προσεκτικοί με την περίοδο του κλάσματος που προκύπτει στην απάντηση.
Άρα, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , γιατί αφού μετακινήσαμε το κόμμα στον δεκαδικό συμβολισμό 7 , 5716716716 ... δύο ψηφία προς τα δεξιά, πήραμε 757 , 167167 ... .
Αν έχουμε μη περιοδικά κλάσματα στο παράδειγμα, τότε όλα είναι πιο απλά: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .
Πώς να διαιρέσετε έναν μικτό αριθμό ή ένα κοινό κλάσμα με ένα δεκαδικό και αντίστροφα
Μειώνουμε επίσης αυτή την ενέργεια σε πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε δεκαδικοί αριθμοίαντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα και γράψτε τον μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα.
Αν διαιρέσουμε ένα μη περιοδικό κλάσμα με έναν συνηθισμένο ή μεικτό αριθμό, πρέπει να κάνουμε το αντίθετο, αντικαθιστώντας το συνηθισμένο κλάσμα ή μεικτό αριθμό με το αντίστοιχο δεκαδικό κλάσμα.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Στο τελευταίο μάθημα, μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε δεκαδικά κλάσματα (δείτε το μάθημα "Προσθήκη και αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων"). Ταυτόχρονα, υπολόγισαν πόσο απλοποιούνται οι υπολογισμοί σε σύγκριση με τα συνηθισμένα κλάσματα «διώροφων».
Δυστυχώς, με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων, αυτό το φαινόμενο δεν εμφανίζεται. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο δεκαδικός συμβολισμός περιπλέκει ακόμη και αυτές τις λειτουργίες.
Αρχικά, ας εισαγάγουμε έναν νέο ορισμό. Θα τον συναντάμε αρκετά συχνά, και όχι μόνο σε αυτό το μάθημα.
Το σημαντικό μέρος ενός αριθμού είναι οτιδήποτε μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου μη μηδενικού ψηφίου, συμπεριλαμβανομένων των τρέιλερ. Είναι περίπουμόνο για τους αριθμούς, η υποδιαστολή δεν λαμβάνεται υπόψη.
Τα ψηφία που περιλαμβάνονται στο σημαντικό μέρος του αριθμού ονομάζονται σημαντικά ψηφία. Μπορούν να επαναληφθούν και να είναι ίσες με μηδέν.
Για παράδειγμα, εξετάστε πολλά δεκαδικά κλάσματα και γράψτε τα αντίστοιχα σημαντικά μέρη τους:
- 91,25 → 9125 (σημαντικοί αριθμοί: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (σημαντικοί αριθμοί: 8; 2; 4; 1);
- 15.0075 → 150075 (σημαντικοί αριθμοί: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (σημαντικοί αριθμοί: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (σημαντική προσωπικότηταμόνο ένα: 3).
Σημειώστε: τα μηδενικά μέσα στο σημαντικό μέρος του αριθμού δεν πηγαίνουν πουθενά. Έχουμε ήδη συναντήσει κάτι παρόμοιο όταν μάθαμε να μετατρέπουμε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα (δείτε το μάθημα «Δεκαδικά κλάσματα»).
Αυτό το σημείο είναι τόσο σημαντικό και γίνονται λάθη τόσο συχνά που θα δημοσιεύσω μια δοκιμή για αυτό το θέμα στο εγγύς μέλλον. Φροντίστε να εξασκηθείτε! Και εμείς, οπλισμένοι με την έννοια του σημαντικού μέρους, θα προχωρήσουμε, στην πραγματικότητα, στο θέμα του μαθήματος.
Δεκαδικός πολλαπλασιασμός
Η λειτουργία πολλαπλασιασμού αποτελείται από τρία διαδοχικά βήματα:
- Για κάθε κλάσμα σημειώστε το σημαντικό μέρος. Θα λάβετε δύο συνηθισμένους ακέραιους αριθμούς - χωρίς παρονομαστές και δεκαδικά ψηφία.
- Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς με οποιονδήποτε βολικό τρόπο. Απευθείας, αν οι αριθμοί είναι μικροί, ή σε στήλη. Παίρνουμε το σημαντικό μέρος του επιθυμητού κλάσματος.
- Μάθετε πού και με πόσα ψηφία μετατοπίζεται η υποδιαστολή στα αρχικά κλάσματα για να λάβετε το αντίστοιχο σημαντικό μέρος. Εκτελέστε αντίστροφες μετατοπίσεις στο σημαντικό μέρος που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα.
Να θυμίσω για άλλη μια φορά ότι τα μηδενικά στις πλευρές του σημαντικού μέρους δεν λαμβάνονται ποτέ υπόψη. Η παράβλεψη αυτού του κανόνα οδηγεί σε σφάλματα.
- 0,28 12,5;
- 6,3 1,08;
- 132,5 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 10.000.
Δουλεύουμε με την πρώτη έκφραση: 0,28 12,5.
- Ας γράψουμε τα σημαντικά μέρη για τους αριθμούς από αυτήν την έκφραση: 28 και 125.
- Το γινόμενο τους: 28 125 = 3500;
- Στον πρώτο πολλαπλασιαστή, η υποδιαστολή μετατοπίζεται 2 ψηφία προς τα δεξιά (0,28 → 28) και στο δεύτερο - κατά άλλο 1 ψηφίο. Συνολικά, χρειάζεται μια μετατόπιση προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία: 3500 → 3.500 = 3.5.
Ας ασχοληθούμε τώρα με την έκφραση 6.3 1.08.
- Ας γράψουμε τα σημαντικά μέρη: 63 και 108.
- Το γινόμενο τους: 63 108 = 6804;
- Και πάλι, δύο μετατοπίσεις προς τα δεξιά: κατά 2 και 1 ψηφία, αντίστοιχα. Συνολικά - πάλι 3 ψηφία προς τα δεξιά, οπότε η αντίστροφη μετατόπιση θα είναι 3 ψηφία προς τα αριστερά: 6804 → 6.804. Αυτή τη φορά δεν υπάρχουν μηδενικά στο τέλος.
Φτάσαμε στην τρίτη έκφραση: 132,5 0,0034.
- Σημαντικά μέρη: 1325 και 34;
- Το γινόμενο τους: 1325 34 = 45.050;
- Στο πρώτο κλάσμα, η υποδιαστολή πηγαίνει προς τα δεξιά κατά 1 ψηφίο και στο δεύτερο - κατά 4. Σύνολο: 5 προς τα δεξιά. Εκτελούμε μια μετατόπιση κατά 5 προς τα αριστερά: 45050 → .45050 = 0,4505. Το μηδέν αφαιρέθηκε στο τέλος και προστέθηκε στο μπροστινό μέρος για να μην αφήσει μια «γυμνή» υποδιαστολή.
Η ακόλουθη έκφραση: 0,0108 1600,5.
- Γράφουμε σημαντικά μέρη: 108 και 16 005.
- Τα πολλαπλασιάζουμε: 108 16 005 = 1 728 540;
- Μετράμε τους αριθμούς μετά την υποδιαστολή: στον πρώτο αριθμό υπάρχουν 4, στον δεύτερο - 1. Συνολικά - πάλι 5. Έχουμε: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Στο τέλος αφαιρέθηκε το «έξτρα» μηδέν.
Τέλος, η τελευταία έκφραση: 5,25 10.000.
- Σημαντικά μέρη: 525 και 1;
- Τα πολλαπλασιάζουμε: 525 1 = 525;
- Το πρώτο κλάσμα μετατοπίζεται 2 ψηφία προς τα δεξιά και το δεύτερο κλάσμα μετατοπίζεται 4 ψηφία προς τα αριστερά (10.000 → 1.0000 = 1). Σύνολο 4 − 2 = 2 ψηφία προς τα αριστερά. Εκτελούμε αντίστροφη μετατόπιση κατά 2 ψηφία προς τα δεξιά: 525, → 52 500 (έπρεπε να προσθέσουμε μηδενικά).
Δώστε προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα: εφόσον η υποδιαστολή κινείται προς διαφορετικές κατευθύνσεις, η συνολική μετατόπιση γίνεται μέσω της διαφοράς. Αυτό είναι πολύ σημαντικό σημείο! Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα:
Θεωρήστε τους αριθμούς 1,5 και 12,500. Έχουμε: 1,5 → 15 (μετατόπιση κατά 1 προς τα δεξιά); 12 500 → 125 (μετατόπιση 2 προς τα αριστερά). Περνάμε 1 ψηφίο προς τα δεξιά και μετά 2 ψηφία προς τα αριστερά. Ως αποτέλεσμα, περάσαμε 2 − 1 = 1 ψηφίο προς τα αριστερά.
Δεκαδική διαίρεση
Η διαίρεση είναι ίσως η πιο δύσκολη επιχείρηση. Φυσικά, εδώ μπορείτε να ενεργήσετε αναλογικά με τον πολλαπλασιασμό: διαιρέστε τα σημαντικά μέρη και, στη συνέχεια, «μετακινήστε» την υποδιαστολή. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν πολλές λεπτές αποχρώσεις που αναιρούν τις πιθανές εξοικονομήσεις.
Ας δούμε λοιπόν έναν γενικό αλγόριθμο που είναι λίγο μεγαλύτερος, αλλά πολύ πιο αξιόπιστος:
- Μετατρέψτε όλα τα δεκαδικά σε κοινά κλάσματα. Με λίγη εξάσκηση, αυτό το βήμα θα σας πάρει μερικά δευτερόλεπτα.
- Διαιρέστε τα κλάσματα που προκύπτουν τον κλασικό τρόπο. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάστε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο (δείτε το μάθημα " Πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμητικών κλασμάτων").
- Εάν είναι δυνατόν, επιστρέψτε το αποτέλεσμα ως δεκαδικό. Αυτό το βήμα είναι επίσης γρήγορο, γιατί συχνά ο παρονομαστής έχει ήδη ισχύ δέκα.
Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Θεωρούμε την πρώτη έκφραση. Αρχικά, ας μετατρέψουμε τα κλάσματα obi σε δεκαδικούς:
Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη έκφραση. Ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος αναλύεται και πάλι σε παράγοντες:
Υπάρχει ένα σημαντικό σημείο στο τρίτο και τέταρτο παράδειγμα: αφού απαλλαγούμε από τον δεκαδικό συμβολισμό, εμφανίζονται ακυρώσιμα κλάσματα. Ωστόσο, δεν θα πραγματοποιήσουμε αυτή τη μείωση.
Το τελευταίο παράδειγμα είναι ενδιαφέρον γιατί ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι πρώτος αριθμός. Απλώς δεν υπάρχει τίποτα να παραγοντοποιήσουμε εδώ, επομένως το θεωρούμε "κενό":
Μερικές φορές η διαίρεση καταλήγει σε έναν ακέραιο (μιλάω για το τελευταίο παράδειγμα). Σε αυτή την περίπτωση, το τρίτο βήμα δεν εκτελείται καθόλου.
Επιπλέον, κατά τη διαίρεση, εμφανίζονται συχνά «άσχημα» κλάσματα που δεν μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικά. Εδώ διαφέρει η διαίρεση από τον πολλαπλασιασμό, όπου τα αποτελέσματα εκφράζονται πάντα σε δεκαδική μορφή. Φυσικά, σε μια τέτοια περίπτωση τελευταίο βήμακαι πάλι δεν εκπληρώνεται.
Δώστε επίσης προσοχή στο 3ο και 4ο παράδειγμα. Σε αυτά, σκόπιμα δεν μειώνουμε τα συνηθισμένα κλάσματα που λαμβάνονται από δεκαδικούς. Διαφορετικά, θα περιπλέξει το αντίστροφο πρόβλημα - αντιπροσωπεύοντας την τελική απάντηση ξανά σε δεκαδική μορφή.
Θυμηθείτε: η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος (όπως κάθε άλλος κανόνας στα μαθηματικά) από μόνη της δεν σημαίνει ότι πρέπει να εφαρμόζεται παντού και πάντα, με κάθε ευκαιρία.