Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου με διαφορετικούς τρόπους. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου

Σε προβλήματα γεωμετρίας, συχνά απαιτείται ο υπολογισμός του εμβαδού ενός πολυγώνου. Επιπλέον, μπορεί να έχει ένα αρκετά διαφορετικό σχήμα - από ένα οικείο τρίγωνο έως κάποιο n-gon με έναν ασύλληπτο αριθμό κορυφών. Επιπλέον, αυτά τα πολύγωνα είναι είτε κυρτά είτε κοίλα. Σε κάθε συγκεκριμένη κατάστασηθα πρέπει να αποκρούεται από εμφάνισηφιγούρες. Αυτό θα σας επιτρέψει να επιλέξετε τον καλύτερο τρόπο επίλυσης του προβλήματος. Το σχήμα μπορεί να αποδειχθεί σωστό, γεγονός που θα απλοποιήσει σημαντικά τη λύση του προβλήματος.

Κάποια θεωρία για τα πολύγωνα

Εάν σχεδιάσετε τρεις ή περισσότερες τεμνόμενες γραμμές, τότε σχηματίζουν ένα συγκεκριμένο σχήμα. Αυτή είναι το πολύγωνο. Με τον αριθμό των σημείων τομής, γίνεται σαφές πόσες κορυφές θα έχει. Δίνουν ένα όνομα στο σχήμα που προκύπτει. Θα μπορούσε να είναι:

Ένα τέτοιο σχήμα σίγουρα θα χαρακτηρίζεται από δύο θέσεις:

Οι διπλανές πλευρές δεν ανήκουν στην ίδια γραμμή.
Τα μη διπλανά δεν έχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται.

Για να καταλάβετε ποιες κορυφές είναι γειτονικές, πρέπει να δείτε αν ανήκουν στην ίδια πλευρά. Αν ναι, τότε γειτονική. Διαφορετικά, μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα, το οποίο πρέπει να ονομάζεται διαγώνιος. Μπορούν να σχεδιαστούν μόνο σε πολύγωνα που έχουν περισσότερες από τρεις κορυφές.

Τι είδους από αυτά υπάρχουν;

Ένα πολύγωνο με περισσότερες από τέσσερις γωνίες μπορεί να είναι κυρτό ή κοίλο. Η διαφορά του τελευταίου είναι ότι μερικές από τις κορυφές του μπορούν να βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό μια ευθεία γραμμή μέσω μιας αυθαίρετης πλευράς του πολυγώνου. Σε μια κυρτή γραμμή, όλες οι κορυφές βρίσκονται πάντα στην ίδια πλευρά μιας τέτοιας ευθείας.

ΣΕ σχολικό μάθημαγεωμετρία τα περισσότερα απόδίνεται χρόνος στα κυρτά σχήματα. Επομένως, στις εργασίες απαιτείται να βρεθεί η περιοχή ενός κυρτού πολυγώνου. Στη συνέχεια, υπάρχει ένας τύπος όσον αφορά την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, ο οποίος σας επιτρέπει να βρείτε την επιθυμητή τιμή για οποιοδήποτε σχήμα. Σε άλλες περιπτώσεις, δεν υπάρχει μοναδική λύση. Για ένα τρίγωνο, ο τύπος είναι ένας, αλλά για ένα τετράγωνο ή ένα τραπεζοειδές, είναι εντελώς διαφορετικοί. Σε περιπτώσεις όπου το σχήμα είναι λανθασμένο ή υπάρχουν πολλές κορυφές, συνηθίζεται να τις χωρίζουμε σε απλές και γνωστές.

Τι να κάνετε εάν το σχήμα έχει τρεις ή τέσσερις κορυφές;

Στην πρώτη περίπτωση, θα αποδειχθεί ότι είναι ένα τρίγωνο και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από τους τύπους:

S \u003d 1/2 * a * n, όπου a είναι η πλευρά, n είναι το ύψος σε αυτήν.
S \u003d 1/2 * a * b * sin (A), όπου a, b είναι οι πλευρές / s του τριγώνου, A είναι η γωνία μεταξύ των γνωστών πλευρών.
S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)), όπου c είναι η πλευρά του τριγώνου, στα δύο που έχουν ήδη υποδειχθεί, p είναι η ημιπερίμετρος, δηλαδή η άθροισμα και των τριών πλευρών, διαιρούμενο με δύο.

Ένα σχήμα με τέσσερις κορυφές μπορεί να αποδειχθεί παραλληλόγραμμο:

S = a * n;
S \u003d 1/2 * d 1 * d 2 * sin (α), όπου τα d 1 και d 2 είναι διαγώνιες, α είναι η γωνία μεταξύ τους.
S = a * σε * sin(α).

Ο τύπος για την περιοχή ενός τραπεζοειδούς: S \u003d n * (a + b) / 2, όπου a και b είναι τα μήκη των βάσεων.

Τι να κάνετε με ένα κανονικό πολύγωνο που έχει περισσότερες από τέσσερις κορυφές;

Αρχικά, μια τέτοια φιγούρα χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι όλες οι πλευρές είναι ίσες. Επιπλέον, το πολύγωνο έχει τις ίδιες γωνίες.

Εάν ένας κύκλος περιγράφεται γύρω από ένα τέτοιο σχήμα, τότε η ακτίνα του θα συμπίπτει με το τμήμα από το κέντρο του πολυγώνου έως μία από τις κορυφές. Επομένως, για να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου με αυθαίρετο αριθμό κορυφών, απαιτείται ο ακόλουθος τύπος:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών του πολυγώνου.

Από αυτό είναι εύκολο να αποκτήσετε ένα που είναι χρήσιμο για ειδικές περιπτώσεις:

τρίγωνο: S \u003d (3√3) / 4 * R 2;
τετράγωνο: S \u003d 2 * R 2;
εξάγωνο: S = (3√3)/2 * R 2 .

Η κατάσταση με λάθος σχήμα

Η διέξοδος για το πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου, εάν δεν είναι σωστό και δεν μπορεί να αποδοθεί σε κανένα από τα προηγουμένως γνωστά σχήματα, είναι ο αλγόριθμος:

Σπάστε το σε απλά σχήματα, όπως τρίγωνα, ώστε να μην τέμνονται.
Υπολογίστε τις περιοχές τους χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο.
αθροίστε όλα τα αποτελέσματα.

Τι πρέπει να κάνετε εάν το πρόβλημα περιέχει τις συντεταγμένες των κορυφών του πολυγώνου;

Δηλαδή, είναι γνωστό ένα σύνολο ζευγών αριθμών για κάθε σημείο, που περιορίζουν τις πλευρές του σχήματος. Συνήθως γράφονται ως (x 1 ; y 1) για το πρώτο, (x 2 ; y 2) για το δεύτερο και η ν-η κορυφή έχει τις ακόλουθες τιμές (x n ; y n). Τότε το εμβαδόν του πολυγώνου ορίζεται ως το άθροισμα n όρων. Καθένα από αυτά μοιάζει με αυτό: ((y i+1 + y i)/2) * (x i+1 - x i). Σε αυτήν την έκφραση, το i αλλάζει από ένα σε n.

Αξίζει να σημειωθεί ότι το πρόσημο του αποτελέσματος θα εξαρτηθεί από την παράκαμψη του σχήματος. Όταν χρησιμοποιείτε τον καθορισμένο τύπο και μετακινείστε δεξιόστροφα, η απάντηση θα είναι αρνητική.

Παράδειγμα εργασίας

Κατάσταση. Οι συντεταγμένες κορυφής δίνονται από τις ακόλουθες τιμές (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Πρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός πολυγώνου.

Λύση. Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, ο πρώτος όρος θα είναι ίσος με (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1). Εδώ χρειάζεται απλώς να πάρετε τις τιμές για το y και το x από το δεύτερο και το πρώτο σημείο. Ένας απλός υπολογισμός θα οδηγήσει στο αποτέλεσμα 1.8.

Ο δεύτερος όρος λαμβάνεται παρομοίως: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Όταν λύνετε τέτοια προβλήματα, μην φοβάστε τις αρνητικές αξίες. Όλα πάνε όπως πρέπει. Αυτό είναι προγραμματισμένο.

Ομοίως, λαμβάνονται οι τιμές για τον τρίτο (0,29), τον τέταρτο (-6,365) και τον πέμπτο όρο (2,96). Τότε το συνολικό εμβαδόν είναι: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Συμβουλές για την επίλυση ενός προβλήματος για το οποίο ένα πολύγωνο σχεδιάζεται σε χαρτί σε ένα κλουβί

Τις περισσότερες φορές μπερδεμένο είναι ότι στα δεδομένα υπάρχει μόνο το μέγεθος του κελιού. Αλλά αποδεικνύεται ότι δεν χρειάζονται περισσότερες πληροφορίες. Μια σύσταση για την επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος είναι να σπάσετε το σχήμα σε ένα σύνολο τριγώνων και ορθογωνίων. Οι περιοχές τους είναι αρκετά εύκολο να μετρηθούν από τα μήκη των πλευρών, τα οποία στη συνέχεια είναι εύκολο να αθροιστούν.

Αλλά συχνά υπάρχει μια πιο εύκολη προσέγγιση. Συνίσταται στο σχέδιο ενός σχήματος σε ένα ορθογώνιο και στον υπολογισμό της τιμής του εμβαδού του. Στη συνέχεια, υπολογίστε τα εμβαδά εκείνων των στοιχείων που αποδείχθηκαν περιττά. Αφαιρέστε τα από γενική σημασία. Αυτή η επιλογή μερικές φορές περιλαμβάνει έναν ελαφρώς μικρότερο αριθμό ενεργειών.

Μάθημα από τη σειρά " Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι»

Γεια σου αγαπητέ αναγνώστη.

Η λύση πολλών προβλημάτων υπολογιστικής γεωμετρίας βασίζεται στην εύρεση περιοχή πολυγώνου. Σε αυτό το μάθημα, θα εξαγάγουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πολυγώνου χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κορυφών του και θα γράψουμε μια συνάρτηση για τον υπολογισμό αυτής της περιοχής.

Εργο. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός πολυγώνου, που δίνονται από τις συντεταγμένες των κορυφών του, με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία

Για να εξαγάγουμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός πολυγώνου, χρειαζόμαστε πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία, δηλαδή την έννοια της προσανατολισμένης περιοχής ενός τριγώνου.

Η προσανατολισμένη περιοχή ενός τριγώνου είναι η συνηθισμένη περιοχή που παρέχεται με ένα σημάδι. Προσανατολισμένη περιοχή σημάδι ενός τριγώνου αλφάβητοίδια με την προσανατολισμένη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και . Δηλαδή, το πρόσημο του εξαρτάται από τη σειρά με την οποία απαριθμούνται οι κορυφές.

Επί ρύζι. 1 τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Η προσανατολισμένη περιοχή του είναι ίση με (είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, αφού το ζεύγος , είναι θετικά προσανατολισμένο). Η ίδια τιμή μπορεί να υπολογιστεί με άλλο τρόπο.

Αφήνω ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕείναι ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου. Στο σχήμα μας, το εμβαδόν του τριγώνου ABC προκύπτει αφαιρώντας τα εμβαδά του OAB και του OCA από το εμβαδόν του τριγώνου OBC. Έτσι, απλά χρειάζεστε προσθέστε προσανατολισμένες περιοχέςτρίγωνα OAB, OBC και OCA. Αυτός ο κανόνας λειτουργεί για οποιαδήποτε επιλογή σημείου ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ.

Ομοίως, για να υπολογίσετε το εμβαδόν οποιουδήποτε πολυγώνου, πρέπει να προσθέσετε τις προσανατολισμένες περιοχές των τριγώνων

Το άθροισμα θα είναι το εμβαδόν του πολυγώνου, το οποίο λαμβάνεται με πρόσημο συν εάν το πολύγωνο βρίσκεται στα αριστερά όταν περιστρέφεται γύρω από το πολύγωνο (παρακάμπτοντας το όριο αριστερόστροφα) και με σύμβολο μείον εάν είναι στα δεξιά (παρακάμπτοντας δεξιόστροφα ).

Έτσι, ο υπολογισμός του εμβαδού ενός πολυγώνου περιορίστηκε στην εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου. Ας δούμε πώς να το εκφράσουμε σε συντεταγμένες.

Το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων σε ένα επίπεδο είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα.

Το διανυσματικό γινόμενο που εκφράζεται ως προς τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό αυτής της περιοχής:

Είναι βολικό να λαμβάνεται η αρχή των συντεταγμένων ως σημείο Ο, τότε οι συντεταγμένες των διανυσμάτων βάσει των οποίων υπολογίζονται οι προσανατολισμένες περιοχές θα συμπίπτουν με τις συντεταγμένες των σημείων.

Έστω (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - οι συντεταγμένες των κορυφών του δοσμένου πολυγώνου κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή αριστερόστροφα. Τότε η προσανατολισμένη περιοχή του S θα είναι ίση με:

Αυτή είναι η φόρμουλα εργασίας μας, χρησιμοποιείται στο πρόγραμμά μας.

Αν οι συντεταγμένες των κορυφών δόθηκαν με αριστερόστροφη σειρά, τότε ο αριθμός ΜΙΚΡΟ,υπολογίζεται με αυτόν τον τύπο θα είναι θετικό. Διαφορετικά, θα είναι αρνητικό και για να λάβουμε τη συνηθισμένη γεωμετρική περιοχή, πρέπει να πάρουμε την απόλυτη τιμή της.

Έτσι, σκεφτείτε ένα πρόγραμμα για την εύρεση του εμβαδού ενός πολυγώνου που δίνεται από τις συντεταγμένες των κορυφών.

Πρόγραμμα geom6; Const n_max=200; (max points+1) πληκτρολογήστε b=record x,y:real; τέλος; myArray= πίνακας του b; var input:text; A:myArray; s:πραγματικό; i,n:integer; διαδικασία ZapMas(var n:ακέραιος; var A:myArray); (Πίνακας πλήρωσης) start assign(input,"input.pas"); επαναφορά (εισαγωγή); readln(input, n); για i:=1 έως n do read(input, a[i].x,a[i].y); κλείσιμο(εισαγωγή); τέλος; συνάρτηση Square(A:myarray): πραγματικός; (Υπολογισμός εμβαδού πολυγώνου) var i:integer; Σ: αληθινό αρχίζω a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; για i:=1 έως n κάνω s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Τετράγωνο:= S άκρο; (Τετράγωνο) αρχίζουν (κύρια) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:=Τετράγωνο(a); writeln("S= ",s:6:2); τέλος.

Οι συντεταγμένες κορυφής διαβάζονται από το αρχείο input.pas, που είναι αποθηκευμένο σε έναν πίνακα ΕΝΑως εγγραφές με δύο πεδία. Για τη διευκόλυνση της παράκαμψης του πολυγώνου, εισάγονται n + 1 στοιχεία στον πίνακα, η τιμή των οποίων είναι ίση με την τιμή του πρώτου στοιχείου του πίνακα.

εκπαιδευτικό: διδάξτε στους μαθητές να βρίσκουν το εμβαδόν ενός πολυγώνου χρησιμοποιώντας τις μεθόδους που έχουν επιλέξει, σχηματίζοντας αρχικές αναπαραστάσεις
Πολύγωνο, γραφικές και μετρητικές δεξιότητες.
ανάπτυξη: ανάπτυξη μεθόδων διανοητικής δραστηριότητας των μαθητών κατά την εκτέλεση εργασιών από την παρατήρηση, τους υπολογισμούς έως την αποσαφήνιση των προτύπων υπολογισμού της περιοχής ενός πολυγώνου.
εκπαίδευση: αποκάλυψη της υποκειμενικής εμπειρίας των μαθητών, ενθάρρυνση των ενεργειών, των φιλοδοξιών των μαθητών ως βάση για την εκπαίδευση θετικών χαρακτηριστικών προσωπικότητας.
μεθοδική: δημιουργία συνθηκών για την εκδήλωση της γνωστικής δραστηριότητας των μαθητών.

Εξοπλισμός μαθήματος:

Σχέδιο λευκού πίνακα: στα αριστερά - σχήματα πολυγώνου, στα δεξιά - ένας κενός καμβάς του πίνακα για γραφή στο μάθημα, στο κέντρο - ένα πολύγωνο-ορθογώνιο.
Φυλλάδιο "Για έρευνα".
Εργαλεία του δασκάλου και των μαθητών (κιμωλία, δείκτης, χάρακας, φύλλο έρευνας, φιγούρες, χαρτί σχεδίασης, μαρκαδόρος).

Μέθοδος μαθήματος:

Σχετικά με την αλληλεπίδραση δασκάλου και μαθητών - διάλογος-επικοινωνία.
Σύμφωνα με τη μέθοδο επίλυσης προβλημάτων - μερική αναζήτηση.
Σύμφωνα με τον τρόπο νοητικής δραστηριότητας - (SUD) αναπτυξιακή προπόνηση.

Η μορφή του μαθήματος είναι μετωπική, ανά ζευγάρια, ατομική.

Το είδος του μαθήματος είναι ένα μάθημα κατάκτησης νέων γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Η δομή του μαθήματος είναι μια σταδιακή εμβάθυνση στο θέμα, ευέλικτη, διαλογική.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Χαιρετίσματα.

Το μάθημα είναι όμορφο και φέρνει χαρά όταν σκεφτόμαστε και δουλεύουμε μαζί. Σήμερα θα εξετάσουμε τα στοιχεία, θα καθορίσουμε τα ονόματά τους, θα σκεφτούμε, θα ψάξουμε και θα βρούμε λύσεις. Ευχόμαστε ο ένας στον άλλο επιτυχημένη δουλειά.

Ενημέρωση γνώσης.

Σκεφτείτε τα σχήματα (πολύγωνα στον πίνακα).

Είναι όλοι μαζί. Γιατί; Ποιο είναι το κοινό τους χαρακτηριστικό; (Πολύγωνα).

Ονομάστε αυτό το πολύγωνο (5-γωνικά, 6-γωνικά…)

Γνωρίζετε ποιο είναι το εμβαδόν ενός πολυγώνου;

Στη συνέχεια, δείξτε σε ένα από τα σχήματα.

(Γενίκευση από τον δάσκαλο: η περιοχή είναι μέρος ενός επιπέδου μέσα σε ένα κλειστό γεωμετρικό σχήμα.)

Στα ρωσικά, αυτή η λέξη έχει πολλές έννοιες.

(Ο μαθητής στο λεξικό εισάγει τις έννοιες.)

Μέρος ενός επιπέδου μέσα σε ένα κλειστό γεωμετρικό σχήμα.
Μεγάλη ανεπτυγμένη και επίπεδη περιοχή.
Ένα μέρος για κάθε σκοπό.

Ποια τιμή χρησιμοποιείται στα μαθηματικά;

Στα μαθηματικά χρησιμοποιείται η πρώτη τιμή.

(Υπάρχει μια φιγούρα στον πίνακα).

Είναι πολύγωνο; Ναί.

Ονομάστε διαφορετικά το σχήμα. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Εμφάνιση μήκους, πλάτους.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου;

Γράψτε τον τύπο χρησιμοποιώντας γράμματα και σύμβολα.

Αν το μήκος του ορθογωνίου μας είναι 20 cm, το πλάτος είναι 10 cm. Ποια είναι η περιοχή;

Η περιοχή είναι 200 cm 2

Σκεφτείτε πώς να συνδέσετε έναν χάρακα έτσι ώστε το σχήμα να χωρίζεται σε:

Είδατε από ποια μέρη αποτελείται η φιγούρα; Και τώρα, αντίθετα, θα συναρμολογήσουμε το σύνολο σε μέρη.

(Τμήματα της φιγούρας βρίσκονται στα θρανία. Τα παιδιά συναρμολογούν ένα ορθογώνιο από αυτά).

Βγάλτε συμπεράσματα από τις παρατηρήσεις σας.

Ολόκληρο το σχήμα μπορεί να χωριστεί σε μέρη και από μέρη να κάνει ένα σύνολο.

Τα σπίτια βασισμένα σε τρίγωνα και τετράγωνα ήταν φιγούρες, σιλουέτες. Να τι αποδείχτηκαν.

(Επίδειξη σχεδίων που έγιναν από μαθητές στο σπίτι. Αναλύεται ένα από τα έργα).

Τι φιγούρες χρησιμοποιήσατε; Έχετε ένα σύνθετο πολύγωνο.

Δήλωση εκπαιδευτικού έργου.

Στο μάθημα, πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση: πώς να βρούμε το εμβαδόν ενός μιγαδικού πολυγώνου;

Γιατί χρειάζεται ένα άτομο να βρει την περιοχή;

(Απαντήσεις παιδιών και γενίκευση από τον δάσκαλο).

Το καθήκον του προσδιορισμού της περιοχής προέκυψε από την πρακτική.

(Εμφανίζεται το σχέδιο του χώρου του σχολείου.)

Για να φτιάξουν ένα σχολείο, δημιούργησαν πρώτα ένα σχέδιο. Στη συνέχεια, η περιοχή χωρίστηκε σε τμήματα μιας συγκεκριμένης περιοχής, τοποθετήθηκαν κτίρια, παρτέρια, ένα στάδιο. Σε αυτή την περίπτωση, ο ιστότοπος έχει ένα συγκεκριμένο σχήμα - το σχήμα ενός πολυγώνου.

Η λύση του εκπαιδευτικού προβλήματος.

(Τα μοτίβα διανέμονται για έρευνα.)

Υπάρχει μια φιγούρα μπροστά σου. Ονομάστε την.

Πολύγωνο, εξάγωνο.

Βρείτε το εμβαδόν του πολυγώνου. Τι πρέπει να γίνει για αυτό;

Χωρίστε σε ορθογώνια.

(Σε περίπτωση δυσκολίας, θα υπάρχει άλλη ερώτηση: «Από τι σχήματα αποτελείται το πολύγωνο;»).

Από δύο ορθογώνια.

Χωρίστε το σχήμα σε ορθογώνια χρησιμοποιώντας χάρακα και μολύβι. Προσδιορίστε τους αριθμούς 1 και 2 λαμβανόμενα μέρη.

Ας κάνουμε μετρήσεις.

Βρείτε το εμβαδόν του πρώτου σχήματος.

(Οι μαθητές προτείνουν τις παρακάτω λύσεις και τις γράφουν στον πίνακα.)

S 1 \u003d 5; 2 \u003d 10 cm 2
S 2 \u003d 5; 1 \u003d 5 cm 2

Γνωρίζοντας το εμβαδόν των τμημάτων, πώς να βρείτε το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος;

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

S 1 \u003d 6; 2 \u003d 12 cm 2
S 2 \u003d 3; 1 \u003d 3 cm 2
S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Συγκρίνετε τα αποτελέσματα και βγάλτε συμπέρασμα.

Ας ακολουθήσουμε τα βήματά μας

Πώς βρίσκεται το εμβαδόν ενός πολυγώνου;

Ένας αλγόριθμος συντάσσεται και γράφεται στην αφίσα:?

1. Χωρίστε το σχήμα σε μέρη

2. Να βρείτε τα εμβαδά των τμημάτων αυτών των πολυγώνων (S 1, S 2).

3. Βρείτε το εμβαδόν ολόκληρου του πολυγώνου (S 1 + S 2).

Μιλήστε τον αλγόριθμο.

(Αρκετοί μαθητές προφέρουν τον αλγόριθμο).

Βρήκαμε δύο τρόπους, και ίσως υπάρχουν περισσότεροι;

Και μπορείτε να ολοκληρώσετε το σχήμα.

Πόσα ορθογώνια πήρες;

Ας ορίσουμε τα μέρη 1 και 2. Ας κάνουμε μετρήσεις.

Βρείτε το εμβαδόν κάθε τμήματος του πολυγώνου.

S1=6; 5=30cm 2
S 2 \u003d 5; 3 \u003d 15 cm 2

Πώς να βρείτε το εμβαδόν του εξαγώνου μας;

S \u003d 30 - 15 \u003d 15 cm 2

Ας δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο:

Ολοκλήρωσε το σχήμα σε ορθογώνιο

Βρέθηκαν S 1 και S 2 .

Βρήκαμε τη διαφορά S 1 - S 2.

Συγκρίνετε δύο αλγόριθμους. Βγάλε ένα συμπέρασμα. Ποιες ενέργειες είναι ίδιες; Πού διέφεραν οι πράξεις μας;

Κλείστε τα μάτια σας, χαμηλώστε τα κεφάλια σας. Επαναλάβετε νοερά τον αλγόριθμο.

Κάναμε ερευνητική εργασία, εξετάσαμε διάφορες μεθόδους και τώρα μπορούμε να βρούμε την περιοχή οποιουδήποτε πολυγώνου.

Έλεγχος απόδοσης.

Δοκίμασε τον εαυτό σου.

Εδώ είναι τα πολύγωνα.

Βρείτε την περιοχή μιας φιγούρας επιλογής, ενώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικοί τρόποι.

Η εργασία γίνεται ανεξάρτητα. Τα παιδιά επιλέγουν μια φιγούρα. Βρείτε την περιοχή με έναν από τους τρόπους. Η επαλήθευση είναι το κλειδί στον πίνακα.

Τι μπορεί να ειπωθεί για τη φόρμα; (Διαφορετική μορφή)

Ποιο είναι το εμβαδόν αυτών των πολυγώνων; (Τα εμβαδά αυτών των πολυγώνων είναι ίσα)

Αξιολογήστε τα αποτελέσματα.

Ποιος έχει δικαίωμα - βάλτε "+".

Ποιος έχει αμφιβολίες, δυσκολίες - ";"

Οι σύμβουλοι παρέχουν βοήθεια στα παιδιά, αναζητούν λάθη, βοηθούν στη διόρθωση τους.

Εργασία για το σπίτι:

Συνθέστε τα φύλλα της έρευνάς σας, υπολογίστε το εμβαδόν ενός πολυγώνου με διαφορετικούς τρόπους.

Περίληψη του μαθήματος.

Λοιπόν, παιδιά, τι λέτε στους γονείς σας για το πώς να βρουν το εμβαδόν ενός γεωμετρικού σχήματος - ενός πολυγώνου.

Μάθημα από τη σειρά " Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι»

Γεια σου αγαπητέ αναγνώστη.

Πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία

Η προσανατολισμένη περιοχή ενός τριγώνου είναι η συνηθισμένη περιοχή που παρέχεται με ένα σημάδι. Προσανατολισμένη περιοχή σημάδι ενός τριγώνου αλφάβητοίδια με την προσανατολισμένη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και. Δηλαδή, το πρόσημο του εξαρτάται από τη σειρά με την οποία απαριθμούνται οι κορυφές.

Επί ρύζι. 1 τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Η προσανατολισμένη περιοχή του είναι (είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, αφού το ζεύγος είναι θετικά προσανατολισμένο). Η ίδια τιμή μπορεί να υπολογιστεί με άλλο τρόπο.

Το διανυσματικό γινόμενο που εκφράζεται ως προς τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

3. Αν ένα πολύγωνο αποτελείται από πολλά πολύγωνα, τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των πολυγώνων.

4. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά \(a\) είναι \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Εμβαδόν ορθογωνίου και παραλληλογράμμου)))\]

Θεώρημα: εμβαδόν ορθογωνίου

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές \(a\) και \(b\) είναι \(S=ab\) .

Απόδειξη

Ας χτίσουμε το ορθογώνιο \(ABCD\) σε τετράγωνο με πλευρά \(a+b\) , όπως φαίνεται στο σχήμα:

Αυτό το τετράγωνο αποτελείται από ένα ορθογώνιο \(ABCD\) , ένα άλλο ορθογώνιο ίσο με αυτό και δύο τετράγωνα με πλευρές \(a\) και \(b\) . Ετσι,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \αριστερό δεξί βέλος (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Αριστερό δεξί βέλος\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Δεξί βέλος S_(\text(pr-k) )=ab \end(πολλαπλή γραμμή*)\)

Ορισμός

Το ύψος ενός παραλληλογράμμου είναι η κάθετη που χαράσσεται από την κορυφή του παραλληλογράμμου προς την πλευρά (ή την προέκταση της πλευράς) που δεν περιέχει αυτήν την κορυφή.
Για παράδειγμα, το ύψος \(BK\) πέφτει στην πλευρά \(AD\) και το ύψος \(BH\) πέφτει στην προέκταση της πλευράς \(CD\) :

Θεώρημα: εμβαδόν παραλληλογράμμου

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο του ύψους και της πλευράς προς την οποία τραβιέται αυτό το ύψος.

Απόδειξη

Σχεδιάστε τις κάθετες \(AB"\) και \(DC"\) όπως φαίνεται στο σχήμα. Σημειώστε ότι αυτές οι κάθετες είναι ίσες με το ύψος του παραλληλογράμμου \(ABCD\) .

Τότε το \(AB"C"D\) είναι ορθογώνιο, επομένως \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Σημειώστε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα \(ABB"\) και \(DCC"\) είναι ίσα. Ετσι,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Μεγάλο(\κείμενο(Εμβαδόν τριγώνου)))\]

Ορισμός

Βάση του τριγώνου θα ονομάσουμε την πλευρά προς την οποία τραβιέται το υψόμετρο στο τρίγωνο.

Θεώρημα

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου της βάσης του και του ύψους που τραβιέται σε αυτή τη βάση.

Απόδειξη

Έστω \(S\) το εμβαδόν του τριγώνου \(ABC\) . Ας πάρουμε την πλευρά \(AB\) ως βάση του τριγώνου και ας σχεδιάσουμε το ύψος \(CH\) . Ας αποδείξουμε ότι \ Ας οικοδομήσουμε το τρίγωνο \(ABC\) στο παραλληλόγραμμο \(ABDC\) όπως φαίνεται στο σχήμα:

Τα τρίγωνα \(ABC\) και \(DCB\) είναι ίσα σε τρεις πλευρές (\(BC\) είναι η κοινή τους πλευρά, \(AB = CD\) και \(AC = BD\) ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \ (ABDC\ )), άρα οι περιοχές τους είναι ίσες. Επομένως, το εμβαδόν \(S\) του τριγώνου \(ABC\) είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του παραλληλογράμμου \(ABDC\), δηλ. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Θεώρημα

Εάν δύο τρίγωνα \(\τρίγωνο ABC\) και \(\τρίγωνο A_1B_1C_1\) έχουν ίσα ύψη, τότε τα εμβαδά τους σχετίζονται με τις βάσεις στις οποίες σχεδιάζονται αυτά τα ύψη.

Συνέπεια

Η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο τρίγωνα ίσου εμβαδού.

Θεώρημα

Αν δύο τρίγωνα \(\τρίγωνο ABC\) και \(\τρίγωνο A_2B_2C_2\) έχουν το καθένα ίση γωνία, τότε οι περιοχές τους συσχετίζονται ως τα γινόμενα των πλευρών που σχηματίζουν αυτή τη γωνία.

Απόδειξη

Έστω \(\γωνία A=\γωνία A_2\) . Ας συνδυάσουμε αυτές τις γωνίες όπως φαίνεται στο σχήμα (το σημείο \(A\) είναι ευθυγραμμισμένο με το σημείο \(A_2\)):

Σχεδιάστε ύψη \(BH\) και \(C_2K\) .

Τα τρίγωνα \(AB_2C_2\) και \(ABC_2\) έχουν το ίδιο ύψος \(C_2K\) , επομένως: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Τα τρίγωνα \(ABC_2\) και \(ABC\) έχουν το ίδιο ύψος \(BH\) , επομένως: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Πολλαπλασιάζοντας τις δύο τελευταίες ισότητες, παίρνουμε: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text(ή ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των σκελών:

Ισχύει και το αντίστροφο: αν σε τρίγωνο το τετράγωνο του μήκους μιας πλευράς ισούται με το άθροισματετράγωνα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, τότε ένα τέτοιο τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Θεώρημα

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου των ποδιών.

Θεώρημα: Ο τύπος του Heron

Έστω \(p\) η ημιπερίμετρος ενός τριγώνου, \(a\) , \(b\) , \(c\) είναι τα μήκη των πλευρών του, τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με \

\[(\Large(\text(Εμβαδόν ενός ρόμβου και ενός τραπεζοειδούς)))\]

Σχόλιο

Επειδή ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, τότε ισχύει ο ίδιος τύπος για αυτό, δηλ. Το εμβαδόν ενός ρόμβου είναι ίσο με το γινόμενο του ύψους και της πλευράς προς την οποία τραβιέται αυτό το ύψος.

Θεώρημα

Το εμβαδόν ενός κυρτού τετράπλευρου του οποίου οι διαγώνιες είναι κάθετες είναι το μισό του γινόμενου των διαγωνίων.

Απόδειξη

Θεωρήστε το τετράπλευρο \(ABCD\) . Συμβολίστε \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Σημειώστε ότι αυτό το τετράπλευρο αποτελείται από τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα, επομένως, το εμβαδόν του είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των τριγώνων:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(πολλαπλή γραμμή*)\)

Συμπέρασμα: εμβαδόν ρόμβου

Το εμβαδόν ενός ρόμβου είναι το ήμισυ του γινόμενου των διαγωνίων του:

Ορισμός

Το ύψος ενός τραπεζοειδούς είναι μια κάθετη που τραβιέται από την κορυφή της μιας βάσης στην άλλη βάση.

Θεώρημα: εμβαδόν τραπεζοειδούς

Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι το μισό του αθροίσματος των βάσεων επί του ύψους.

Απόδειξη

Θεωρήστε ένα τραπεζοειδές \(ABCD\) με βάσεις \(BC\) και \(AD\) . Σχεδιάστε το \(CD"\parallel AB\) όπως φαίνεται στο σχήμα:

Τότε το \(ABCD"\) είναι παραλληλόγραμμο.

Σχεδιάζουμε επίσης \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) είναι τα ύψη του τραπεζοειδούς).

Επειτα \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Επειδή ένα τραπεζοειδές αποτελείται από ένα παραλληλόγραμμο \(ABCD"\) και ένα τρίγωνο \(CDD"\) , τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών του παραλληλογράμμου και του τριγώνου, δηλαδή:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Όλοι όσοι σπούδασαν μαθηματικά και γεωμετρία στο σχολείο γνωρίζουν αυτές τις επιστήμες τουλάχιστον επιφανειακά. Όμως με τον καιρό, αν δεν εξασκηθούν, η γνώση ξεχνιέται. Πολλοί μάλιστα πιστεύουν ότι απλώς έχασαν τον χρόνο τους μελετώντας γεωμετρικούς υπολογισμούς. Ωστόσο, κάνουν λάθος. Οι τεχνικοί εργαζόμενοι εκτελούν καθημερινές εργασίες που σχετίζονται με γεωμετρικούς υπολογισμούς. Όσο για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πολυγώνου, αυτή η γνώση βρίσκει επίσης την εφαρμογή της στη ζωή. Θα χρειαστούν τουλάχιστον για τον υπολογισμό της έκτασης της γης. Ας μάθουμε λοιπόν πώς να βρίσκουμε το εμβαδόν ενός πολυγώνου.

Ορισμός πολυγώνου

Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι ένα πολύγωνο. Πρόκειται για ένα επίπεδο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο σχηματίστηκε ως αποτέλεσμα της τομής τριών ή περισσότερων γραμμών. Ένας άλλος απλός ορισμός: ένα πολύγωνο είναι μια κλειστή πολύγραμμη. Φυσικά, στην τομή των γραμμών σχηματίζονται σημεία τομής, ο αριθμός τους είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών που σχηματίζουν ένα πολύγωνο. Τα σημεία τομής ονομάζονται κορυφές και τα τμήματα που σχηματίζονται από τις ευθείες ονομάζονται πλευρές του πολυγώνου. Τα παρακείμενα τμήματα ενός πολυγώνου δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Τα ευθύγραμμα τμήματα που δεν είναι γειτονικά είναι αυτά που δεν διέρχονται από κοινά σημεία.

Το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου; Το εμβαδόν ενός πολυγώνου είναι εσωτερικό μέροςένα επίπεδο που σχηματίζεται από την τομή τμημάτων ή πλευρών ενός πολυγώνου. Δεδομένου ότι ένα πολύγωνο είναι ένας συνδυασμός σχημάτων όπως τρίγωνο, ρόμβος, τετράγωνο, τραπεζοειδές, τότε καθολική φόρμουλαγια να υπολογίσετε το εμβαδόν του απλά δεν υπάρχει. Στην πράξη, η πιο καθολική μέθοδος είναι η διαίρεση ενός πολυγώνου σε απλούστερα σχήματα, το εμβαδόν του οποίου δεν είναι δύσκολο να βρεθεί. Προσθέτοντας τα αθροίσματα των εμβαδών αυτών των απλών σχημάτων, παίρνουμε το εμβαδόν του πολυγώνου.

Μέσα από την περιοχή του κύκλου

Στις περισσότερες περιπτώσεις, το πολύγωνο έχει κανονικό σχήμα και σχηματίζει ένα σχήμα με ίσες πλευρές και γωνίες μεταξύ τους. Ο υπολογισμός του εμβαδού σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ απλός χρησιμοποιώντας τον εγγεγραμμένο ή περιγεγραμμένο κύκλο. Εάν το εμβαδόν του κύκλου είναι γνωστό, τότε πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την περίμετρο του πολυγώνου και, στη συνέχεια, το γινόμενο που προκύπτει διαιρείται με το 2. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τέτοιου πολυγώνου : S = ½∙P∙r., όπου P είναι το εμβαδόν του κύκλου και r είναι η περίμετρος του πολυγώνου.

Η μέθοδος διαχωρισμού ενός πολυγώνου σε "βολικά" σχήματα είναι η πιο δημοφιλής στη γεωμετρία, σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα και σωστά την περιοχή ενός πολυγώνου. Η Δ' Λυκείου συνήθως μαθαίνει τέτοιες μεθόδους.

Έκταση, μια από τις κύριες ποσότητες που συνδέονται με γεωμετρικά σχήματα. Στις απλούστερες περιπτώσεις, μετριέται με τον αριθμό των μοναδιαίων τετραγώνων που γεμίζουν ένα επίπεδο σχήμα, δηλαδή τετράγωνα με πλευρά ίση με ένα μήκος. Ο υπολογισμός του Π. ήταν ήδη στην αρχαιότητα ... ...

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Περιοχή (έννοιες). Το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας είναι ένα προσθετικό αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός σχήματος που ανήκει εξ ολοκλήρου σε ένα επίπεδο. Στην απλούστερη περίπτωση, όταν το σχήμα μπορεί να χωριστεί σε πεπερασμένα ... ... Wikipedia

Το εμβαδόν I είναι ένα από τα βασικά μεγέθη που σχετίζονται με γεωμετρικά σχήματα. Στις απλούστερες περιπτώσεις, μετριέται με τον αριθμό των μοναδιαίων τετραγώνων που γεμίζουν ένα επίπεδο σχήμα, δηλαδή τετράγωνα με πλευρά ίση με ένα μήκος. Υπολογισμός P....... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Περιοχή (έννοιες). Μονάδα Περιοχής L² Μονάδες SI m² ... Wikipedia

Ζ. 1. Μέρος η επιφάνεια της γης, ο χώρος φυσικά περιορισμένος ή ειδικά διατεθείς για κάποιο σκοπό. ότ. Υδάτινος χώρος. ότ. Μεγάλο, επίπεδο μέρος, χώρος. 2. Επίπεδος μη ανεπτυγμένος δημόσιος χώρος ... ... Μοντέρνο ΛεξικόΡωσική γλώσσα Efremova

Αυτό το άρθρο προτείνεται για διαγραφή. Μια εξήγηση των λόγων και μια αντίστοιχη συζήτηση μπορείτε να βρείτε στη σελίδα της Wikipedia: Θα διαγραφεί / 2 Σεπτεμβρίου 2012. Ενώ η διαδικασία συζήτησης δεν έχει ολοκληρωθεί, το άρθρο μπορεί να βελτιωθεί, αλλά θα πρέπει να ... ... Wikipedia

Δύο φιγούρες στο R2 που έχουν ίσες περιοχέςκαι, αντίστοιχα, δύο πολύγωνα M1 και M 2 έτσι ώστε να μπορούν να κοπούν σε πολύγωνα έτσι ώστε τα μέρη που αποτελούν το M 1 να είναι αντίστοιχα ίσα με τα μέρη που αποτελούν το M 2. Για, ίσο εμβαδόν ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

B=7, G=8, B + G/2 − 1= 10 Το θεώρημα του Pick είναι ένα κλασικό αποτέλεσμα της συνδυαστικής γεωμετρίας και της γεωμετρίας των αριθμών. Εμβαδόν πολυγώνου με ακέραιο ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, δείτε το Θεώρημα του Pick. V = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 Ο τύπος του Pick (ή το θεώρημα του Pick) είναι ένα κλασικό αποτέλεσμα της συνδυαστικής γεωμετρίας και της γεωμετρίας των αριθμών. Πλατεία ... Βικιπαίδεια

Ένα πεδίο (συνδεδεμένο ανοιχτό σύνολο) στο όριο ενός κυρτού σώματος στον Ευκλείδειο χώρο Ε 3. Ολόκληρο το όριο ενός κυρτού σώματος ονομάζεται. πλήρης V. σ. Εάν το σώμα είναι πεπερασμένο, τότε συμπληρώστε το V. p. κλειστό. Αν το σώμα είναι άπειρο, τότε το πλήρες V. p. ατελείωτες... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

1.1 Υπολογισμός εκτάσεων στην αρχαιότητα

1.2 Διαφορετικές προσεγγίσεις στη μελέτη των εννοιών "εμβαδόν", "πολύγωνο", "εμβαδόν πολυγώνου"

1.2.1 Η έννοια της περιοχής. Ιδιότητες Περιοχής

1.2.2 Η έννοια του πολυγώνου

1.2.3 Η έννοια του εμβαδού ενός πολυγώνου. Περιγραφικός ορισμός

1.3 Διάφοροι τύποι για τα εμβαδά των πολυγώνων

1.4 Παραγωγή τύπων εμβαδών πολυγώνου

1.4.1 Εμβαδόν τριγώνου. Η φόρμουλα του Heron

1.4.2 Εμβαδόν ορθογωνίου

1.4.3 Εμβαδόν τραπεζοειδούς

1.4.4 Εμβαδόν τετράπλευρου

1.4.5 Γενικός τύπος

1.4.6 Εμβαδόν ενός n-gon

1.4.7 Υπολογισμός του εμβαδού ενός πολυγώνου από τις συντεταγμένες των κορυφών του

1.4.8 Φόρμουλα επιλογής

1.5 Το Πυθαγόρειο θεώρημα για το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου

1.6 Ισοδυναμία τριγώνων. Θεώρημα Bogliai-Gervin

1.7 Λόγος εμβαδών ομοειδών τριγώνων

1.8 Αριθμοί με τη μεγαλύτερη έκταση

1.8.1 Τραπεζοειδές ή ορθογώνιο

1.8.2 Αξιόλογη ιδιότητα τετραγώνου

1.8.3 Οικόπεδα διαφορετικού σχήματος

1.8.4 Τρίγωνο με το μεγαλύτερο εμβαδόν

Κεφάλαιο 2. Μεθοδολογικά χαρακτηριστικά μελέτης των εμβαδών των πολυγώνων στις μαθηματικές τάξεις

2.1 Θεματικός σχεδιασμόςκαι χαρακτηριστικά διδασκαλίας σε τάξεις με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών

2.2 Μεθοδολογία μαθήματος

2.3 Αποτελέσματα πειραματικών εργασιών

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

Εισαγωγή

Το θέμα "Περιοχή πολυγώνων" είναι αναπόσπαστο μέρος του σχολικού μαθήματος των μαθηματικών, κάτι που είναι απολύτως φυσικό. Πράγματι, ιστορικά, η ίδια η εμφάνιση της γεωμετρίας συνδέεται με την ανάγκη για σύγκριση οικόπεδατη μια ή την άλλη μορφή. Παράλληλα, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι εκπαιδευτικές ευκαιρίες για την αποκάλυψη αυτού του θέματος στο Λύκειοαπέχουν πολύ από το να χρησιμοποιηθούν πλήρως.

Το κύριο καθήκον της διδασκαλίας των μαθηματικών στο σχολείο είναι να εξασφαλίσει μια ισχυρή και συνειδητή γνώση από τους μαθητές του συστήματος των μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων που είναι απαραίτητες για Καθημερινή ζωήΚαι εργασιακή δραστηριότητακάθε μέλος σύγχρονη κοινωνία, επαρκής για μελέτη σχετικούς κλάδουςκαι συνεχιζόμενης εκπαίδευσης.

Μαζί με την επίλυση του κύριου καθήκοντος, μια σε βάθος μελέτη των μαθηματικών προβλέπει τη διαμόρφωση σταθερού ενδιαφέροντος για το θέμα στους μαθητές, τον εντοπισμό και την ανάπτυξη των μαθηματικών τους ικανοτήτων, έναν προσανατολισμό σε επαγγέλματα που σχετίζονται σημαντικά με τα μαθηματικά, και προετοιμασία για σπουδές σε πανεπιστήμιο.

Οι κατατακτήριες εργασίες περιλαμβάνουν το περιεχόμενο του μαθήματος των μαθηματικών δευτεροβάθμιο σχολείοκαι μια σειρά από πρόσθετα ερωτήματα που γειτνιάζουν άμεσα με αυτό το μάθημα και το εμβαθύνουν στις κύριες ιδεολογικές γραμμές.

Η συμπερίληψη πρόσθετων ερωτήσεων εξυπηρετεί δύο αλληλένδετους σκοπούς. Αφενός, πρόκειται για τη δημιουργία, σε συνδυασμό με τις κύριες ενότητες του μαθήματος, μιας βάσης για την κάλυψη των ενδιαφερόντων και την ανάπτυξη των ικανοτήτων των μαθητών με κλίση στα μαθηματικά, αφετέρου, την κάλυψη σημαντικών κενών στα το κυρίως πιάτο, δίνοντας το περιεχόμενο σε βάθος μελέτητην απαραίτητη ακεραιότητα.

Η ειδική εργασία αποτελείται από μια εισαγωγή, δύο κεφάλαια, ένα συμπέρασμα και παρατιθέμενη βιβλιογραφία. Το πρώτο κεφάλαιο πραγματεύεται τις θεωρητικές βάσεις της μελέτης των εμβαδών των πολυγώνων και το δεύτερο κεφάλαιο πραγματεύεται άμεσα τα μεθοδολογικά χαρακτηριστικά της μελέτης των περιοχών.

Κεφάλαιο 1. Θεωρητική βάσημελετώντας τα εμβαδά των πολυγώνων

1.1 Υπολογισμός εκτάσεων στην αρχαιότητα

Τα βασικά στοιχεία της γεωμετρικής γνώσης που σχετίζονται με τη μέτρηση των περιοχών χάνονται στα βάθη των χιλιετιών.

Πριν από 4 - 5 χιλιάδες χρόνια, οι Βαβυλώνιοι ήταν σε θέση να προσδιορίσουν την περιοχή ενός ορθογωνίου και ενός τραπεζοειδούς σε τετράγωνες μονάδες. Το τετράγωνο έχει χρησιμεύσει ως πρότυπο για τη μέτρηση των περιοχών λόγω πολλών από τις αξιοσημείωτες ιδιότητές του: ίσες πλευρές, ίσες και ορθές γωνίες, συμμετρία και γενική τελειότητα της μορφής. Τα τετράγωνα είναι εύκολο να κατασκευαστούν ή μπορείτε να γεμίσετε ένα αεροπλάνο χωρίς κενά.

ΣΕ Αρχαία ΚίναΤο μέτρο του εμβαδού ήταν ένα ορθογώνιο. Όταν οι κτίστες προσδιόρισαν την περιοχή ενός ορθογώνιου τοίχου σπιτιού, πολλαπλασίασαν το ύψος και το πλάτος του τοίχου. Αυτός είναι ο αποδεκτός ορισμός στη γεωμετρία: το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών του. Και οι δύο αυτές πλευρές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες γραμμικές μονάδες. Το γινόμενο τους θα είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου, που εκφράζεται στις αντίστοιχες τετραγωνικές μονάδες. Ας πούμε ότι αν το ύψος και το πλάτος του τοίχου μετρώνται σε δεκατόμετρα, τότε το γινόμενο και των δύο μετρήσεων θα εκφραστεί σε τετραγωνικά δεκατόμετρα. Και αν η περιοχή κάθε οικόπεδου που βλέπει είναι ένα τετράγωνο δεκατόμετρο, τότε το προϊόν που προκύπτει θα υποδεικνύει τον αριθμό των πλακιδίων που χρειάζονται για την επένδυση. Αυτό προκύπτει από τη δήλωση στην οποία βασίζεται η μέτρηση των περιοχών: το εμβαδόν ενός σχήματος που αποτελείται από μη τέμνοντα σχήματα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών τους.

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι πριν από 4.000 χρόνια χρησιμοποιούσαν σχεδόν τις ίδιες τεχνικές με εμάς για να μετρήσουν το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, τριγώνου και τραπεζοειδούς: η βάση του τριγώνου χωρίστηκε στο μισό και πολλαπλασιάστηκε με το ύψος. για ένα τραπεζοειδές, το άθροισμα των παράλληλων πλευρών διαιρέθηκε στο μισό και πολλαπλασιάστηκε με το ύψος κ.ο.κ. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν

τετράπλευρο με πλευρές (Εικ. 1.1), εφαρμόστηκε ο τύπος

(1.1)

εκείνοι. τα μισά αθροίσματα των απέναντι πλευρών πολλαπλασιάστηκαν.

Αυτός ο τύπος είναι προφανώς λανθασμένος για οποιοδήποτε τετράπλευρο· από αυτόν προκύπτει, συγκεκριμένα, ότι τα εμβαδά όλων των ρόμβων είναι τα ίδια. Εν τω μεταξύ, είναι προφανές ότι τα εμβαδά τέτοιων ρόμβων εξαρτώνται από το μέγεθος των γωνιών στις κορυφές. Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για ένα ορθογώνιο. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε κατά προσέγγιση την περιοχή των τετράπλευρων, στα οποία οι γωνίες είναι κοντά στη δεξιά.

Για τον προσδιορισμό της περιοχής

ισοσκελές τρίγωνο(Εικ. 1.2), στον οποίο οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τον κατά προσέγγιση τύπο:

(1.2)

Ρύζι. 1.2 Το σφάλμα που γίνεται σε αυτήν την περίπτωση είναι όσο μικρότερο, τόσο μικρότερη είναι η διαφορά μεταξύ της πλευράς και του ύψους του τριγώνου, με άλλα λόγια, τόσο πιο κοντά είναι η κορυφή (και) στη βάση του ύψους από. Γι' αυτό ο κατά προσέγγιση τύπος (1.2) ισχύει μόνο για τρίγωνα με σχετικά μικρή γωνία κορυφής.

Αλλά ήδη οι αρχαίοι Έλληνες ήξεραν πώς να βρίσκουν σωστά τις περιοχές των πολυγώνων. Στα Στοιχεία του, ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί τη λέξη "περιοχή", αφού με την ίδια τη λέξη "σχήμα" κατανοεί ένα τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από τη μία ή την άλλη κλειστή γραμμή. Ο Ευκλείδης δεν εκφράζει το αποτέλεσμα της μέτρησης του εμβαδού ως αριθμό, αλλά συγκρίνει τα εμβαδά διαφορετικές φιγούρεςμεταξύ τους.

Όπως και άλλοι επιστήμονες της αρχαιότητας, ο Ευκλείδης ασχολείται με τη μετατροπή κάποιων μορφών σε άλλες, είναι ίσες σε μέγεθος. Το εμβαδόν ενός σύνθετου σχήματος δεν θα αλλάξει εάν τα μέρη του είναι διατεταγμένα διαφορετικά, αλλά χωρίς διασταύρωση. Επομένως, για παράδειγμα, είναι δυνατό, με βάση τους τύπους για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, να βρείτε τους τύπους για τα εμβαδά άλλων σχημάτων. Έτσι, το τρίγωνο χωρίζεται σε τέτοια μέρη, από τα οποία μπορείτε στη συνέχεια να φτιάξετε ένα ορθογώνιο ίσου εμβαδού με αυτό. Από αυτή την κατασκευή προκύπτει ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της βάσης και του ύψους του. Καταφεύγοντας σε μια τέτοια επανασχεδίαση, βρίσκουν ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο της βάσης και του ύψους, το εμβαδόν του τραπεζοειδούς είναι το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και το ύψος.

Όταν οι κτίστες πρέπει να πλακώσουν έναν τοίχο σύνθετης διαμόρφωσης, μπορούν να προσδιορίσουν την περιοχή του τοίχου μετρώντας τον αριθμό των πλακιδίων που μπήκαν σε πλακάκια. Ορισμένα πλακάκια, φυσικά, θα πρέπει να κοπούν έτσι ώστε οι άκρες της επένδυσης να συμπίπτουν με την άκρη του τοίχου. Ο αριθμός όλων των πλακιδίων που μπήκαν σε εργασία αξιολογεί την περιοχή του τοίχου με μια περίσσεια, τον αριθμό των μη σπασμένων πλακιδίων - με ένα μειονέκτημα. Καθώς το μέγεθος των κυψελών μειώνεται, η ποσότητα των απορριμμάτων μειώνεται και η περιοχή του τοίχου, που καθορίζεται από τον αριθμό των πλακιδίων, υπολογίζεται όλο και πιο σωστά.

Ένας από τους όψιμους Έλληνες μαθηματικούς - εγκυκλοπαιδιστές, των οποίων τα έργα εφαρμόστηκαν κυρίως στη φύση, ήταν ο Ήρων ο Αλεξανδρινός, που έζησε τον 1ο αιώνα. n. μι. Όντας εξαιρετικός μηχανικός, ονομαζόταν και «Ήρων ο Μηχανικός». Στο έργο του Dioptrics, ο Heron περιγράφει διάφορες μηχανές και πρακτικά όργανα μέτρησης.

Ένα από τα βιβλία του Ήρωνα ονομάστηκε από τον ίδιο «Γεωμετρικά» και είναι ένα είδος συλλογής τύπων και αντίστοιχων προβλημάτων. Περιέχει παραδείγματα για τον υπολογισμό των εμβαδών τετραγώνων, ορθογωνίων και τριγώνων. Ο Heron γράφει για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου κατά μήκος των πλευρών του: «Ας, για παράδειγμα, η μία πλευρά ενός τριγώνου έχει μήκος 13 μετρημένα κορδόνια, η δεύτερη 14 και η τρίτη 15. Για να βρείτε την περιοχή, κάντε τα εξής . Προσθέστε 13, 14 και 15. παίρνετε 42. Τα μισά από αυτά είναι 21. Αφαιρέστε από αυτές τις τρεις πλευρές μία προς μία. πρώτα αφαιρέστε 13 - παραμένει 8, μετά 14 - παραμένει 7 και τέλος 15 - παραμένει 6. Τώρα πολλαπλασιάστε τα: 21 φορές το 8 θα δώσει 168, πάρτε αυτό 7 φορές - θα λάβετε 1176 και αυτό άλλες 6 φορές - εσείς πάρε 7056. Από εδώ Τετραγωνική ρίζαθα υπάρχουν 84. Αυτό είναι το πόσα κορδόνια μέτρησης θα υπάρχουν στην περιοχή του τριγώνου.

Σε προβλήματα γεωμετρίας, συχνά απαιτείται ο υπολογισμός του εμβαδού ενός πολυγώνου. Επιπλέον, μπορεί να έχει ένα αρκετά διαφορετικό σχήμα - από ένα οικείο τρίγωνο έως κάποιο n-gon με έναν ασύλληπτο αριθμό κορυφών. Επιπλέον, αυτά τα πολύγωνα είναι είτε κυρτά είτε κοίλα. Σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση, υποτίθεται ότι βασίζεται στην εμφάνιση του σχήματος. Αυτό θα σας επιτρέψει να επιλέξετε τον καλύτερο τρόπο επίλυσης του προβλήματος. Το σχήμα μπορεί να αποδειχθεί σωστό, γεγονός που θα απλοποιήσει σημαντικά τη λύση του προβλήματος.

Κάποια θεωρία για τα πολύγωνα

Ένα τέτοιο σχήμα σίγουρα θα χαρακτηρίζεται από δύο θέσεις:

Οι διπλανές πλευρές δεν ανήκουν στην ίδια γραμμή.
Τα μη διπλανά δεν έχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται.

Τι είδους από αυτά υπάρχουν;

Ένα πολύγωνο με περισσότερες από τέσσερις γωνίες μπορεί να είναι κυρτό ή κοίλο. Η διαφορά του τελευταίου είναι ότι ορισμένες από τις κορυφές του μπορεί να βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές μιας ευθείας γραμμής που τραβιέται μέσα από μια αυθαίρετη πλευρά του πολυγώνου. Σε μια κυρτή γραμμή, όλες οι κορυφές βρίσκονται πάντα στην ίδια πλευρά μιας τέτοιας ευθείας.

Στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας, ο περισσότερος χρόνος αφιερώνεται σε κυρτά σχήματα. Επομένως, στις εργασίες απαιτείται να βρεθεί η περιοχή ενός κυρτού πολυγώνου. Στη συνέχεια, υπάρχει ένας τύπος όσον αφορά την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, ο οποίος σας επιτρέπει να βρείτε την επιθυμητή τιμή για οποιοδήποτε σχήμα. Σε άλλες περιπτώσεις, δεν υπάρχει μοναδική λύση. Για ένα τρίγωνο, ο τύπος είναι ένας, αλλά για ένα τετράγωνο ή ένα τραπεζοειδές, είναι εντελώς διαφορετικοί. Σε περιπτώσεις όπου το σχήμα είναι λανθασμένο ή υπάρχουν πολλές κορυφές, συνηθίζεται να τις χωρίζουμε σε απλές και γνωστές.

Τι να κάνετε εάν το σχήμα έχει τρεις ή τέσσερις κορυφές;

S \u003d 1/2 * a * n, όπου a είναι η πλευρά, n είναι το ύψος σε αυτήν.
S \u003d 1/2 * a * b * sin (A), όπου a, b είναι οι πλευρές / s του τριγώνου, A είναι η γωνία μεταξύ των γνωστών πλευρών.
S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)), όπου c είναι η πλευρά του τριγώνου, στα δύο που έχουν ήδη υποδειχθεί, p είναι η ημιπερίμετρος, δηλαδή η άθροισμα και των τριών πλευρών, διαιρούμενο με δύο.

Ένα σχήμα με τέσσερις κορυφές μπορεί να αποδειχθεί παραλληλόγραμμο:

S = a * n;
S \u003d 1/2 * d 1 * d 2 * sin (α), όπου τα d 1 και d 2 είναι διαγώνιες, α είναι η γωνία μεταξύ τους.
S = a * σε * sin(α).

Ο τύπος για την περιοχή ενός τραπεζοειδούς: S \u003d n * (a + b) / 2, όπου a και b είναι τα μήκη των βάσεων.

Τι να κάνετε με ένα κανονικό πολύγωνο που έχει περισσότερες από τέσσερις κορυφές;

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών του πολυγώνου.

Από αυτό είναι εύκολο να αποκτήσετε ένα που είναι χρήσιμο για ειδικές περιπτώσεις:

τρίγωνο: S \u003d (3√3) / 4 * R 2;
τετράγωνο: S \u003d 2 * R 2;
εξάγωνο: S = (3√3)/2 * R 2 .

Η κατάσταση με λάθος σχήμα

Σπάστε το σε απλά σχήματα, όπως τρίγωνα, ώστε να μην τέμνονται.
Υπολογίστε τις περιοχές τους χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο.
αθροίστε όλα τα αποτελέσματα.

Τι πρέπει να κάνετε εάν το πρόβλημα περιέχει τις συντεταγμένες των κορυφών του πολυγώνου;

Παράδειγμα εργασίας

Συμβουλές για την επίλυση ενός προβλήματος για το οποίο ένα πολύγωνο σχεδιάζεται σε χαρτί σε ένα κλουβί

Αλλά συχνά υπάρχει μια πιο εύκολη προσέγγιση. Συνίσταται στο σχέδιο ενός σχήματος σε ένα ορθογώνιο και στον υπολογισμό της τιμής του εμβαδού του. Στη συνέχεια, υπολογίστε τα εμβαδά εκείνων των στοιχείων που αποδείχθηκαν περιττά. Αφαιρέστε τα από το σύνολο. Αυτή η επιλογή μερικές φορές περιλαμβάνει έναν ελαφρώς μικρότερο αριθμό ενεργειών.