Αν η παράγωγος είναι μηδέν. Κανόνες υπολογισμού παραγώγων

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων γεωμετρίας, μηχανικής, φυσικής και άλλων κλάδων γνώσης, κατέστη απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η ίδια αναλυτική διαδικασία από μια δεδομένη συνάρτηση y=f(x)λαμβάνω νέο χαρακτηριστικό, η οποία ονομάζεται παράγωγη συνάρτηση(ή απλά παράγωγο) αυτής της συνάρτησης f(x)και συμβολίζονται

Η διαδικασία με την οποία μια δεδομένη λειτουργία f(x)λάβετε μια νέα λειτουργία f"(x), που ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηκαι αποτελείται από τα ακόλουθα τρία βήματα: 1) δίνουμε το επιχείρημα Χαύξηση  Χκαι να προσδιορίσετε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης  y = f(x+ x)-f(x); 2) απαρτίζουν τη σχέση

3) καταμέτρηση Χμόνιμη, και  Χ0, βρίσκουμε
, το οποίο συμβολίζεται με f"(x), σαν να τονίζει ότι η συνάρτηση που προκύπτει εξαρτάται μόνο από την τιμή Χ, στο οποίο περνάμε στο όριο. Ορισμός: Παράγωγο y "=f" (x) δεδομένη συνάρτηση y=f(x) δίνεται xονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, με την προϋπόθεση ότι η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν, αν φυσικά υπάρχει αυτό το όριο, δηλ. πεπερασμένος. Ετσι,
, ή

Σημειώστε ότι εάν για κάποια τιμή Χ, για παράδειγμα όταν x=a, σχέση
στο  Χ Το 0 δεν τείνει σε ένα πεπερασμένο όριο, τότε σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση f(x)στο x=a(ή στο σημείο x=a) δεν έχει παράγωγο ή δεν είναι διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο x=a.

2. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Θεωρήστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x), διαφοροποιήσιμη στην περιοχή του σημείου x 0

f(x)

Ας θεωρήσουμε μια αυθαίρετη ευθεία που διέρχεται από το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης - το σημείο A (x 0, f (x 0)) και τέμνει τη γραφική παράσταση σε κάποιο σημείο B (x; f (x)). Μια τέτοια ευθεία γραμμή (ΑΒ) ονομάζεται διατομή. Από το ∆ABC: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Αφού AC || Ox, τότε ALO = BAC = β (όπως αντιστοιχεί παράλληλα). Όμως ALO είναι η γωνία κλίσης της τεμμένης ΑΒ προς τη θετική φορά του άξονα Ox. Επομένως, tgβ = k είναι η κλίση της ευθείας ΑΒ.

Τώρα θα μειώσουμε το Δx, δηλ. ∆x→ 0. Στην περίπτωση αυτή, το σηµείο Β θα πλησιάσει το σηµείο Α σύµφωνα µε τη γραφική παράσταση και η τοµή ΑΒ θα περιστραφεί. Η οριακή θέση της τομής AB στο Δx → 0 θα είναι η ευθεία γραμμή (a), που ονομάζεται εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) στο σημείο Α.

Αν περάσουμε στο όριο ως ∆χ → 0 στην ισότητα tgβ =∆y/∆x, τότε παίρνουμε
ή tg \u003d f "(x 0), αφού
-γωνία κλίσης της εφαπτομένης στη θετική φορά του άξονα Ox
, εξ ορισμού παραγώγου. Αλλά tg \u003d k είναι η κλίση της εφαπτομένης, που σημαίνει ότι k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Ετσι, γεωμετρική αίσθησητο παράγωγο έχει ως εξής:

Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο x 0 ίση με την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που σχεδιάζεται στο σημείο με την τετμημένη x 0 .

3. Φυσική έννοια του παραγώγου.

Εξετάστε την κίνηση ενός σημείου κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Έστω η συντεταγμένη του σημείου ανά πάσα στιγμή x(t). Είναι γνωστό (από το μάθημα της φυσικής) ότι η μέση ταχύτητα σε μια χρονική περίοδο είναι ίση με την αναλογία της απόστασης που διανύθηκε κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου προς το χρόνο, δηλ.

Vav = ∆x/∆t. Ας περάσουμε στο όριο της τελευταίας ισότητας ως Δt → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή t 0, ∆t → 0.

και lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (με τον ορισμό μιας παραγώγου).

Άρα, (t) = x"(t).

Η φυσική σημασία της παραγώγου είναι η εξής: η παράγωγος της συνάρτησηςy = φά(Χ) στο σημείοΧ 0 είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησηςφά(x) στο σημείοΧ 0

Η παράγωγος χρησιμοποιείται στη φυσική για να βρει την ταχύτητα από μια γνωστή συνάρτηση συντεταγμένων από το χρόνο, την επιτάχυνση από μια γνωστή συνάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο.

 (t) \u003d x "(t) - ταχύτητα,

a(f) = "(t) - επιτάχυνση, ή

Εάν είναι γνωστός ο νόμος της κίνησης ενός υλικού σημείου κατά μήκος ενός κύκλου, τότε είναι δυνατό να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση κατά την περιστροφική κίνηση:

φ = φ(t) - αλλαγή στη γωνία με το χρόνο,

ω \u003d φ "(t) - γωνιακή ταχύτητα,

ε = φ"(t) - γωνιακή επιτάχυνση, ή ε = φ"(t).

Εάν ο νόμος κατανομής για τη μάζα μιας ανομοιογενούς ράβδου είναι γνωστός, τότε η γραμμική πυκνότητα της ανομοιογενούς ράβδου μπορεί να βρεθεί:

m \u003d m (x) - μάζα,

x , l - μήκος ράβδου,

p \u003d m "(x) - γραμμική πυκνότητα.

Με τη βοήθεια της παραγώγου λύνονται προβλήματα από τη θεωρία της ελαστικότητας και των αρμονικών δονήσεων. Ναι, σύμφωνα με το νόμο του Χουκ

F = -kx, x – μεταβλητή συντεταγμένη, k – συντελεστής ελαστικότητας του ελατηρίου. Βάζοντας ω 2 \u003d k / m, λαμβάνουμε τη διαφορική εξίσωση του εκκρεμούς ελατηρίου x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

όπου ω = √k/√m είναι η συχνότητα ταλάντωσης (l/c), k είναι ο ρυθμός ελατηρίου (H/m).

Μια εξίσωση της μορφής y "+ ω 2 y \u003d 0 ονομάζεται εξίσωση αρμονικών ταλαντώσεων (μηχανικών, ηλεκτρικών, ηλεκτρομαγνητικών). Η λύση σε τέτοιες εξισώσεις είναι η συνάρτηση

y = Asin(ωt + φ 0) ή y = Acos(ωt + φ 0), όπου

Α - πλάτος ταλάντωσης, ω - κυκλική συχνότητα,

φ 0 - αρχική φάση.

Στο πρόβλημα Β9 δίνεται μια γραφική παράσταση συνάρτησης ή παραγώγου, από την οποία απαιτείται να προσδιοριστεί ένα από τα ακόλουθα μεγέθη:

Η τιμή της παραγώγου σε κάποιο σημείο x 0,
Υψηλά ή χαμηλά σημεία (ακραία σημεία),
Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης (διαστήματα μονοτονίας).

Οι συναρτήσεις και οι παράγωγοι που παρουσιάζονται σε αυτό το πρόβλημα είναι πάντα συνεχείς, γεγονός που απλοποιεί σημαντικά τη λύση. Παρά το γεγονός ότι η εργασία ανήκει στο τμήμα της μαθηματικής ανάλυσης, είναι αρκετά στη δύναμη ακόμη και των πιο αδύναμων μαθητών, καθώς δεν υπάρχουν βαθιές θεωρητική γνώσηδεν απαιτείται εδώ.

Για να βρείτε την τιμή της παραγώγου, των ακραίων σημείων και των διαστημάτων μονοτονίας, υπάρχουν απλοί και καθολικοί αλγόριθμοι - όλοι θα συζητηθούν παρακάτω.

Διαβάστε προσεκτικά την κατάσταση του προβλήματος Β9 για να μην κάνετε ανόητα λάθη: μερικές φορές συναντάτε αρκετά ογκώδη κείμενα, αλλά σημαντικές προϋποθέσεις, που επηρεάζουν την πορεία της λύσης, είναι λίγα.

Υπολογισμός της τιμής της παραγώγου. Μέθοδος δύο σημείων

Αν στο πρόβλημα δοθεί μια γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), που εφάπτεται σε αυτό το γράφημα σε κάποιο σημείο x 0 , και απαιτείται να βρεθεί η τιμή της παραγώγου σε αυτό το σημείο, εφαρμόζεται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

Βρείτε δύο «επαρκή» σημεία στο γράφημα της εφαπτομένης: οι συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ακέραιες. Ας συμβολίσουμε αυτά τα σημεία ως A (x 1 , y 1) και B (x 2 , y 2). Γράψτε σωστά τις συντεταγμένες - αυτό είναι το βασικό σημείο της λύσης και οποιοδήποτε λάθος εδώ οδηγεί σε λάθος απάντηση.
Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την αύξηση του ορίσματος Δx = x 2 − x 1 και την αύξηση της συνάρτησης Δy = y 2 − y 1 .
Τέλος, βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου D = Δy/Δx. Με άλλα λόγια, πρέπει να διαιρέσετε την αύξηση της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος - και αυτή θα είναι η απάντηση.

Για άλλη μια φορά, σημειώνουμε: τα σημεία Α και Β πρέπει να αναζητηθούν ακριβώς στην εφαπτομένη και όχι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), όπως συμβαίνει συχνά. Η εφαπτομένη θα περιέχει αναγκαστικά τουλάχιστον δύο τέτοια σημεία, διαφορετικά το πρόβλημα διατυπώνεται εσφαλμένα.

Θεωρήστε τα σημεία A (−3; 2) και B (−1; 6) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Εργο. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) και την εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Εξετάστε τα σημεία Α (0; 3) και Β (3; 0), βρείτε προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Τώρα βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Εργο. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) και την εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Εξετάστε τα σημεία Α (0; 2) και Β (5; 2) και βρείτε προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Μένει να βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Από το τελευταίο παράδειγμα, μπορούμε να διατυπώσουμε τον κανόνα: αν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα OX, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο της εφαπτομένης είναι ίση με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται καν να υπολογίσετε τίποτα - απλώς κοιτάξτε το γράφημα.

Υπολογισμός υψηλών και χαμηλών πόντων

Μερικές φορές αντί για γράφημα μιας συνάρτησης στο πρόβλημα Β9, δίνεται ένα γράφημα παραγώγου και απαιτείται να βρεθεί το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης. Σε αυτό το σενάριο, η μέθοδος των δύο σημείων είναι άχρηστη, αλλά υπάρχει ένας άλλος, ακόμη πιο απλός αλγόριθμος. Αρχικά, ας ορίσουμε την ορολογία:

Το σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≥ f(x).
Το σημείο x 0 ονομάζεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανίσωση: f(x 0) ≤ f(x).

Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία στο γράφημα της παραγώγου, αρκεί να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

Ξανασχεδιάστε το γράφημα της παραγώγου, αφαιρώντας όλες τις περιττές πληροφορίες. Όπως δείχνει η πρακτική, τα επιπλέον δεδομένα παρεμβαίνουν μόνο στη λύση. Επομένως, σημειώνουμε τα μηδενικά της παραγώγου στον άξονα συντεταγμένων - και αυτό είναι.
Βρείτε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Αν για κάποιο σημείο x 0 είναι γνωστό ότι f'(x 0) ≠ 0, τότε μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές: f'(x 0) ≥ 0 ή f'(x 0) ≤ 0. Το πρόσημο της παραγώγου είναι εύκολο να προσδιοριστεί από το αρχικό σχέδιο: αν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≥ 0. Αντίθετα, εάν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≤ 0.
Ελέγχουμε ξανά τα μηδενικά και τα πρόσημα της παραγώγου. Όπου το πρόσημο αλλάζει από μείον σε συν, υπάρχει ένα ελάχιστο σημείο. Αντίστροφα, αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από συν σε πλην, αυτό είναι το μέγιστο σημείο. Η καταμέτρηση γίνεται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά.

Αυτό το σχήμα λειτουργεί μόνο για συνεχείς συναρτήσεις - δεν υπάρχουν άλλες στο πρόβλημα Β9.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−5; 5]. Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες - θα αφήσουμε μόνο τα σύνορα [−5; 5] και τα μηδενικά της παραγώγου x = −3 και x = 2,5. Σημειώστε επίσης τα σημάδια:

Προφανώς, στο σημείο x = −3, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν. Αυτό είναι το ελάχιστο σημείο.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7]. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας ξανασχεδιάσουμε το γράφημα, αφήνοντας μόνο τα όρια [−3; 7] και τα μηδενικά της παραγώγου x = −1,7 και x = 5. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στο γράφημα που προκύπτει. Εχουμε:

Προφανώς, στο σημείο x = 5, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην - αυτό είναι το μέγιστο σημείο.

Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−6; 4]. Να βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) που ανήκουν στο διάστημα [−4; 3].

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι αρκεί να ληφθεί υπόψη μόνο το τμήμα του γραφήματος που οριοθετείται από το τμήμα [−4; 3]. Επομένως, χτίζουμε ένα νέο γράφημα, στο οποίο σημειώνουμε μόνο τα όρια [−4; 3] και τα μηδενικά της παραγώγου μέσα σε αυτό. Δηλαδή, τα σημεία x = −3,5 και x = 2. Παίρνουμε:

Σε αυτό το γράφημα, υπάρχει μόνο ένα μέγιστο σημείο x = 2. Είναι σε αυτό που το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην.

Μια μικρή σημείωση για σημεία με μη ακέραιες συντεταγμένες. Για παράδειγμα, στο τελευταίο πρόβλημα, εξετάστηκε το σημείο x = −3,5, αλλά με την ίδια επιτυχία μπορούμε να πάρουμε x = −3,4. Εάν το πρόβλημα διατυπωθεί σωστά, τέτοιες αλλαγές δεν θα πρέπει να επηρεάζουν την απάντηση, καθώς τα σημεία "χωρίς σταθερό τόπο διαμονής" δεν εμπλέκονται άμεσα στην επίλυση του προβλήματος. Φυσικά, με ακέραιους πόντους ένα τέτοιο κόλπο δεν θα λειτουργήσει.

Εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης

Σε ένα τέτοιο πρόβλημα, όπως τα σημεία μέγιστου και ελαχίστου, προτείνεται να βρεθούν περιοχές στις οποίες η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται από τη γραφική παράσταση της παραγώγου. Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι η αύξουσα και η φθίνουσα:

Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται αύξουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα η πρόταση είναι αληθής: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης.
Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα η πρόταση είναι αληθής: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Εκείνοι. μεγαλύτερη αξίαΤο όρισμα αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Ας διατυπώσουμε επαρκείς προϋποθέσειςανοδική και φθίνουσα:

Ωστε να συνεχής λειτουργίαΗ f(x) αυξάνεται στο τμήμα , αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι θετική, δηλ. f'(x) ≥ 0.
Για να μειωθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα , αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι αρνητική, δηλ. f'(x) ≤ 0.

Δεχόμαστε αυτούς τους ισχυρισμούς χωρίς απόδειξη. Έτσι, παίρνουμε ένα σχήμα για την εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης, το οποίο είναι από πολλές απόψεις παρόμοιο με τον αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ακραίων σημείων:

Καταργήστε όλες τις περιττές πληροφορίες. Στο αρχικό γράφημα της παραγώγου, μας ενδιαφέρουν πρωτίστως τα μηδενικά της συνάρτησης, οπότε αφήνουμε μόνο αυτά.
Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Όπου f'(x) ≥ 0, η συνάρτηση αυξάνεται και όπου f'(x) ≤ 0, μειώνεται. Εάν το πρόβλημα έχει περιορισμούς στη μεταβλητή x, τους επισημαίνουμε επιπλέον στο νέο γράφημα.
Τώρα που γνωρίζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης και τον περιορισμό, μένει να υπολογίσουμε την απαιτούμενη τιμή στο πρόβλημα.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−3; 7.5]. Να βρείτε τα διαστήματα της φθίνουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, γράψτε το άθροισμα των ακεραίων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.

Ως συνήθως, ξανασχεδιάζουμε το γράφημα και σημειώνουμε τα όρια [−3; 7.5], καθώς και τα μηδενικά της παραγώγου x = −1.5 και x = 5.3. Στη συνέχεια σημειώνουμε τα σημάδια της παραγώγου. Εχουμε:

Εφόσον η παράγωγος είναι αρνητική στο διάστημα (− 1,5), αυτό είναι το διάστημα της φθίνουσας συνάρτησης. Απομένει να αθροίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς που βρίσκονται μέσα σε αυτό το διάστημα:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−10; 4]. Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, γράψτε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες. Αφήνουμε μόνο τα όρια [−10; 4] και μηδενικά της παραγώγου, που αυτή τη φορά αποδείχθηκαν τέσσερα: x = −8, x = −6, x = −3 και x = 2. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου και λάβετε την παρακάτω εικόνα:

Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης, δηλ. όπου f'(x) ≥ 0. Υπάρχουν δύο τέτοια διαστήματα στη γραφική παράσταση: (−8; −6) και (−3; 2). Ας υπολογίσουμε το μήκος τους:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Εφόσον απαιτείται να βρεθεί το μήκος του μεγαλύτερου από τα διαστήματα, γράφουμε την τιμή l 2 = 5 ως απάντηση.

Η λειτουργία της εύρεσης μιας παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης των προβλημάτων εύρεσης παραγώγων για τις απλούστερες (και όχι πολύ απλές) συναρτήσεις ορίζοντας την παράγωγο ως το όριο του λόγου της αύξησης προς την αύξηση του ορίσματος, εμφανίστηκε ένας πίνακας παραγώγων και ακριβώς ορισμένους κανόνεςΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Οι Isaac Newton (1643-1727) και Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ήταν οι πρώτοι που εργάστηκαν στον τομέα της εύρεσης παραγώγων.

Επομένως, στην εποχή μας, για να βρεθεί η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το προαναφερθέν όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, αλλά χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας των παραγώγων και τους κανόνες διαφοροποίησης. Ο παρακάτω αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την εύρεση της παραγώγου.

Για να βρείτε την παράγωγο, χρειάζεστε μια έκφραση κάτω από το σημάδι εγκεφαλικό επεισόδιο αναλύστε απλές συναρτήσειςκαι καθορίστε ποιες ενέργειες (προϊόν, άθροισμα, πηλίκο)αυτές οι λειτουργίες σχετίζονται. Περαιτέρω, βρίσκουμε τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων στον πίνακα των παραγώγων και τους τύπους για τις παραγώγους του γινομένου, του αθροίσματος και του πηλίκου - στους κανόνες διαφοροποίησης. Ο πίνακας των παραγώγων και οι κανόνες διαφοροποίησης δίνονται μετά τα δύο πρώτα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Από τους κανόνες διαφοροποίησης διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι το άθροισμα των παραγώγων συναρτήσεων, δηλ.

Από τον πίνακα των παραγώγων, διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του "Χ" ισούται με ένα, και η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο άθροισμα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 2Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Διαφοροποιήστε ως παράγωγο του αθροίσματος, στο οποίο ο δεύτερος όρος με σταθερό παράγοντα, μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Εάν εξακολουθούν να υπάρχουν ερωτήσεις σχετικά με το από πού προέρχεται κάτι, αυτές, κατά κανόνα, γίνονται σαφείς μετά την ανάγνωση του πίνακα των παραγώγων και των απλούστερων κανόνων διαφοροποίησης. Θα πάμε σε αυτούς τώρα.

Πίνακας παραγώγων απλών συναρτήσεων

1. Παράγωγος σταθεράς (αριθμός). Οποιοσδήποτε αριθμός (1, 2, 5, 200...) που βρίσκεται στην παράσταση συνάρτησης. Πάντα μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να το θυμάστε, καθώς απαιτείται πολύ συχνά
2. Παράγωγος της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές "χ". Πάντα ίσο με ένα. Αυτό είναι επίσης σημαντικό να θυμάστε
3. Παράγωγο πτυχίου. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να μετατρέψετε τις μη τετραγωνικές ρίζες σε ισχύ.
4. Παράγωγος μεταβλητής ισχύος -1
5. Παράγωγο τετραγωνική ρίζα
6. Ημιτονοειδής παράγωγος
7. Παράγωγο συνημιτόνου
8. Εφαπτομένη παράγωγος
9. Παράγωγο συνεφαπτομένης
10. Παράγωγο του τόξου
11. Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
12. Παράγωγος εφαπτομένης τόξου
13. Παράγωγος της αντίστροφης εφαπτομένης
14. Παράγωγος φυσικού λογάριθμου
15. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
16. Παράγωγος του εκθέτη
17. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Κανόνες διαφοροποίησης

1. Παράγωγο του αθροίσματος ή της διαφοράς
2. Παράγωγο προϊόντος
2α. Παράγωγο έκφρασης πολλαπλασιαζόμενο με σταθερό παράγοντα
3. Παράγωγος του πηλίκου
4. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης

Κανόνας 1Εάν λειτουργεί

είναι διαφοροποιήσιμες σε κάποιο σημείο και μετά στο ίδιο σημείο οι συναρτήσεις

και

εκείνοι. η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων.

Συνέπεια. Εάν δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά, τότε οι παράγωγοί τους είναι, δηλ.

Κανόνας 2Εάν λειτουργεί

είναι διαφοροποιήσιμα σε κάποιο σημείο, τότε το προϊόν τους είναι επίσης διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο

και

εκείνοι. η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης.

Συνέπεια 1. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Συνέπεια 2. Η παράγωγος του γινομένου πολλών διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της παραγώγου καθενός από τους παράγοντες και όλων των άλλων.

Για παράδειγμα, για τρεις πολλαπλασιαστές:

Κανόνας 3Εάν λειτουργεί

διαφοροποιούνται σε κάποιο σημείο Και , τότε σε αυτό το σημείο το πηλίκο τους είναι και διαφοροποιήσιμο.u/v και

εκείνοι. η παράγωγος ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή .

Πού να κοιτάξετε σε άλλες σελίδες

Κατά την εύρεση της παραγώγου του προϊόντος και του πηλίκου σε πραγματικά προβλήματα, απαιτείται πάντα η εφαρμογή πολλών κανόνων διαφοροποίησης ταυτόχρονα, επομένως περισσότερα παραδείγματασε αυτά τα παράγωγα - στο άρθρο"Το παράγωγο ενός προϊόντος και ένα πηλίκο".

Σχόλιο.Δεν πρέπει να συγχέετε μια σταθερά (δηλαδή έναν αριθμό) ως όρο στο άθροισμα και ως σταθερό παράγοντα! Στην περίπτωση ενός όρου, η παράγωγός του ισούται με μηδέν και σε περίπτωση σταθερού παράγοντα, βγαίνει από το πρόσημο των παραγώγων. Αυτό τυπικό λάθος, που εμφανίζεται στις αρχικό στάδιομάθηση παραγώγων, αλλά καθώς επιλύουν πολλά παραδείγματα ενός-δύο συστατικών, ο μέσος μαθητής δεν κάνει πλέον αυτό το λάθος.

Και αν, όταν διαφοροποιείτε ένα προϊόν ή ένα πηλίκο, έχετε έναν όρο u"v, στο οποίο u- ένας αριθμός, για παράδειγμα, 2 ή 5, δηλαδή μια σταθερά, τότε η παράγωγος αυτού του αριθμού θα είναι ίση με μηδέν και, επομένως, ολόκληρος ο όρος θα είναι ίσος με μηδέν (μια τέτοια περίπτωση αναλύεται στο παράδειγμα 10) .

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι η μηχανική λύση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης ως παραγώγου μιας απλής συνάρτησης. Να γιατί παράγωγο μιγαδικής συνάρτησηςαφιερωμένο σε ξεχωριστό άρθρο. Πρώτα όμως θα μάθουμε να βρίσκουμε παράγωγα απλές λειτουργίες.

Στην πορεία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς μετασχηματισμούς εκφράσεων. Για να το κάνετε αυτό, ίσως χρειαστεί να ανοίξετε εγχειρίδια σε νέα παράθυρα Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςΚαι Ενέργειες με κλάσματα .

Εάν αναζητάτε λύσεις σε παραγώγους με δυνάμεις και ρίζες, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με , μετά ακολουθεί το μάθημα « Παράγωγος αθροίσματος κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες».

Εάν έχετε μια εργασία όπως , τότε βρίσκεστε στο μάθημα «Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων».

Παραδείγματα βήμα προς βήμα - πώς να βρείτε την παράγωγο

Παράδειγμα 3Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Καθορίζουμε τα μέρη της παράστασης συνάρτησης: ολόκληρη η παράσταση αντιπροσωπεύει το γινόμενο και οι συντελεστές της είναι αθροίσματα, στο δεύτερο από τα οποία ένας από τους όρους περιέχει έναν σταθερό παράγοντα. Εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης γινομένων: η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης:

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος: η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Στην περίπτωσή μας, σε κάθε άθροισμα, ο δεύτερος όρος με αρνητικό πρόσημο. Σε κάθε άθροισμα, βλέπουμε τόσο μια ανεξάρτητη μεταβλητή, της οποίας η παράγωγος είναι ίση με ένα, όσο και μια σταθερά (αριθμός), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με μηδέν. Έτσι, το "x" μετατρέπεται σε ένα και μείον 5 - σε μηδέν. Στη δεύτερη παράσταση, το "x" πολλαπλασιάζεται επί 2, άρα πολλαπλασιάζουμε δύο με την ίδια μονάδα με την παράγωγο του "x". Λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές παραγώγων:

Αντικαθιστούμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στο άθροισμα των γινομένων και λαμβάνουμε την παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 4Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Απαιτείται να βρούμε την παράγωγο του πηλίκου. Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου: η παράγωγος ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή. Παίρνουμε:

Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο των παραγόντων στον αριθμητή στο Παράδειγμα 2. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι το γινόμενο, που είναι ο δεύτερος παράγοντας στον αριθμητή στο τρέχον παράδειγμα, λαμβάνεται με πρόσημο μείον:

Εάν αναζητάτε λύσεις σε τέτοια προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, όπου υπάρχει ένας συνεχής σωρός από ρίζες και μοίρες, όπως, για παράδειγμα, τότε καλώς ήρθατε στην τάξη "Η παράγωγος του αθροίσματος των κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες" .

Εάν χρειάζεται να μάθετε περισσότερα σχετικά με τις παραγώγους ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και άλλων τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δηλαδή όταν μοιάζει η συνάρτηση , τότε έχετε ένα μάθημα "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων" .

Παράδειγμα 5Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε ένα γινόμενο, ένας από τους παράγοντες του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής, με την παράγωγο της οποίας εξοικειωθήκαμε στον πίνακα των παραγώγων. Με τον κανόνα της διαφοροποίησης του προϊόντος και αξία πίνακαπαράγωγο της τετραγωνικής ρίζας παίρνουμε:

Παράδειγμα 6Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε το πηλίκο, το μέρισμα του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του πηλίκου, τον οποίο επαναλάβαμε και εφαρμόσαμε στο παράδειγμα 4, και την τιμή του πίνακα της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Για να απαλλαγείτε από το κλάσμα στον αριθμητή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με .

Διερεύνηση συνάρτησης με τη βοήθεια παραγώγου. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε μερικές από τις εργασίες που σχετίζονται με τη μελέτη του γραφήματος μιας συνάρτησης. Σε τέτοιες εργασίες, δίνεται μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) και τίθενται ερωτήσεις σχετικά με τον προσδιορισμό του αριθμού των σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική (ή αρνητική), καθώς και άλλα. Ταξινομούνται ως εργασίες για την εφαρμογή της παραγώγου στη μελέτη συναρτήσεων.

Η επίλυση τέτοιων προβλημάτων και γενικά προβλημάτων που σχετίζονται με τη μελέτη είναι δυνατή μόνο με την πλήρη κατανόηση των ιδιοτήτων της παραγώγου για τη μελέτη γραφημάτων συναρτήσεων και της παραγώγου. Επομένως, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να μελετήσετε τη σχετική θεωρία. Μπορείτε να μελετήσετε και επίσης να κοιτάξετε (αλλά περιέχει μια περίληψη).

Θα εξετάσουμε επίσης εργασίες όπου δίνεται το γράφημα της παραγώγου σε μελλοντικά άρθρα, μην το χάσετε! Τα καθήκοντα λοιπόν είναι:

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d f (x), που ορίζεται στο διάστημα (−6; 8). Καθορίζω:

1. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.

2. Ο αριθμός των σημείων όπου η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2;

1. Η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική στα διαστήματα στα οποία μειώνεται η συνάρτηση, δηλαδή στα διαστήματα (−6; -3), (0; 4.2), (6.9; 8). Περιέχουν ακέραια σημεία -5, -4, 1, 2, 3, 4 και 7. Πήραμε 7 βαθμούς.

2. Απευθείας y= 2 άξονες παράλληλοιΩy= 2 μόνο σε ακραία σημεία (σε σημεία όπου το γράφημα αλλάζει τη συμπεριφορά του από αύξουσα σε φθίνουσα ή αντίστροφα). Υπάρχουν τέσσερα τέτοια σημεία: –3; 0; 4.2; 6.9

Αποφασίστε μόνοι σας:

Προσδιορίστε τον αριθμό των ακεραίων σημείων όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική.

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d f (x), που ορίζεται στο διάστημα (−5; 5). Καθορίζω:

2. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη προς την ευθεία γραμμή y \u003d 3.

3. Ο αριθμός των σημείων όπου η παράγωγος είναι μηδέν.

1. Από τις ιδιότητες της παραγώγου μιας συνάρτησης, είναι γνωστό ότι είναι θετική στα διαστήματα στα οποία αυξάνεται η συνάρτηση, δηλ. στα διαστήματα (1.4; 2.5) και (4.4; 5). Περιέχουν μόνο ένα ακέραιο σημείο x = 2.

2. Απευθείας y= 3 άξονες παράλληλοιΩ. Η εφαπτομένη θα είναι παράλληλη προς την ευθείαy= 3 μόνο σε ακραία σημεία (σε σημεία όπου το γράφημα αλλάζει τη συμπεριφορά του από αύξουσα σε φθίνουσα ή αντίστροφα).

Υπάρχουν τέσσερα τέτοια σημεία: –4,3; 1.4; 2.5; 4.4

3. Η παράγωγος είναι μηδέν στο τέσσερις πόντους(σε ακραία σημεία), τα έχουμε ήδη υποδείξει.

Αποφασίστε μόνοι σας:

Να προσδιορίσετε τον αριθμό των ακεραίων σημείων όπου η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι αρνητική.

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d f (x), που ορίζεται στο διάστημα (−2; 12). Εύρημα:

1. Ο αριθμός των ακέραιων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική.

2. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.

3. Ο αριθμός των ακεραίων σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη προς την ευθεία γραμμή y \u003d 2.

4. Ο αριθμός των σημείων όπου η παράγωγος είναι ίση με μηδέν.

1. Από τις ιδιότητες της παραγώγου μιας συνάρτησης, είναι γνωστό ότι είναι θετική στα διαστήματα στα οποία αυξάνεται η συνάρτηση, δηλ. στα διαστήματα (–2; 1), (2; 4), (7; 9). ) και (10; 11). Περιέχουν ακέραια σημεία: -1, 0, 3, 8. Είναι τέσσερα συνολικά.

2. Η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική στα διαστήματα στα οποία μειώνεται η συνάρτηση, δηλαδή στα διαστήματα (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Περιέχουν ακέραια σημεία 5 και 6. Πήραμε 2 βαθμούς.

3. Απευθείας y= 2 άξονες παράλληλοιΩ. Η εφαπτομένη θα είναι παράλληλη προς την ευθείαy= 2 μόνο σε ακραία σημεία (σε σημεία όπου το γράφημα αλλάζει τη συμπεριφορά του από αύξουσα σε φθίνουσα ή αντίστροφα). Υπάρχουν επτά τέτοια σημεία: 1; 2; 4; 7; 9; 10; έντεκα.

4. Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν σε επτά σημεία (σε ακραία σημεία), τα έχουμε ήδη υποδείξει.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ένα από δύσκολα θέματα V σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Δεν θα απαντήσει κάθε πτυχιούχος στην ερώτηση τι είναι παράγωγο.

Αυτό το άρθρο εξηγεί απλά και ξεκάθαρα τι είναι παράγωγο και γιατί χρειάζεται.. Δεν θα προσπαθήσουμε τώρα για μαθηματική αυστηρότητα παρουσίασης. Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε το νόημα.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό:

Η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει γραφήματα τριών συναρτήσεων. Ποιο πιστεύετε ότι μεγαλώνει πιο γρήγορα;

Η απάντηση είναι προφανής - η τρίτη. Έχει τον υψηλότερο ρυθμό μεταβολής, δηλαδή τη μεγαλύτερη παράγωγο.

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.

Ο Kostya, ο Grisha και ο Matvey έπιασαν δουλειά ταυτόχρονα. Ας δούμε πώς άλλαξαν τα εισοδήματά τους κατά τη διάρκεια του έτους:

Μπορείτε να δείτε τα πάντα στο γράφημα αμέσως, σωστά; Το εισόδημα του Kostya έχει υπερδιπλασιαστεί σε έξι μήνες. Και το εισόδημα του Γκρίσα αυξήθηκε επίσης, αλλά λίγο. Και το εισόδημα του Ματθαίου μειώθηκε στο μηδέν. Οι συνθήκες εκκίνησης είναι ίδιες, αλλά ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, δηλ. παράγωγο, - διαφορετικό. Όσο για τον Matvey, το παράγωγο του εισοδήματός του είναι γενικά αρνητικό.

Διαισθητικά, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης. Πώς όμως το κάνουμε;

Αυτό που πραγματικά κοιτάμε είναι πόσο απότομα ανεβαίνει (ή κάτω) το γράφημα της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, πόσο γρήγορα αλλάζει το y με το x. Προφανώς, η ίδια λειτουργία σε διαφορετικά σημεία μπορεί να έχει διαφορετική σημασίαπαράγωγο - δηλαδή, μπορεί να αλλάξει πιο γρήγορα ή πιο αργά.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης συμβολίζεται με .

Ας δείξουμε πώς μπορείτε να βρείτε χρησιμοποιώντας το γράφημα.

Σχεδιάζεται ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Πάρτε ένα σημείο πάνω του με μια τετμημένη. Σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Θέλουμε να αξιολογήσουμε πόσο απότομα ανεβαίνει το γράφημα της συνάρτησης. Μια βολική αξία για αυτό είναι εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Παρακαλώ σημειώστε - ως γωνία κλίσης της εφαπτομένης, παίρνουμε τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Μερικές φορές οι μαθητές ρωτούν ποια είναι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που έχει το μόνο κοινό σημείο με το γράφημα αυτής της ενότητας, επιπλέον, όπως φαίνεται στο σχήμα μας. Μοιάζει με εφαπτομένη σε κύκλο.

Ας βρούμε . Θυμόμαστε ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό. Από τρίγωνο:

Βρήκαμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας το γράφημα χωρίς καν να γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης. Τέτοιες εργασίες βρίσκονται συχνά στις εξετάσεις στα μαθηματικά κάτω από τον αριθμό.

Υπάρχει μια άλλη σημαντική συσχέτιση. Θυμηθείτε ότι η ευθεία δίνεται από την εξίσωση

Η ποσότητα σε αυτή την εξίσωση ονομάζεται κλίση ευθείας γραμμής. Είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας προς τον άξονα.

Το καταλαβαίνουμε

Ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο. Εκφράζει τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Με άλλα λόγια, η παράγωγος είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης.

Είπαμε ήδη ότι η ίδια συνάρτηση σε διαφορετικά σημεία μπορεί να έχει διαφορετική παράγωγο. Ας δούμε πώς σχετίζεται η παράγωγος με τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Αφήστε αυτή τη συνάρτηση να αυξηθεί σε ορισμένες περιοχές, να μειωθεί σε άλλες και με διαφορετική ταχύτητα. Και αφήστε αυτή τη συνάρτηση να έχει μέγιστους και ελάχιστους πόντους.

Σε ένα σημείο, η συνάρτηση αυξάνεται. Σχηματίζεται η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση που σχεδιάζεται στο σημείο αιχμηρή γωνία; με κατεύθυνση θετικού άξονα. Άρα η παράγωγος είναι θετική στο σημείο.

Στο σημείο η λειτουργία μας μειώνεται. Η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο σχηματίζει αμβλεία γωνία. με κατεύθυνση θετικού άξονα. Από την εφαπτομένη αμβλεία γωνίαείναι αρνητική, η παράγωγος είναι αρνητική στο σημείο.

Να τι συμβαίνει:

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγός της είναι θετική.

Αν μειωθεί, η παράγωγός του είναι αρνητική.

Και τι θα γίνει στα μέγιστα και ελάχιστα σημεία; Βλέπουμε ότι στο (μέγιστο σημείο) και (ελάχιστο σημείο) η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Επομένως, η εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης σε αυτά τα σημεία μηδέν, και η παράγωγος είναι επίσης μηδέν.

Το σημείο είναι το μέγιστο σημείο. Σε αυτό το σημείο, η αύξηση της συνάρτησης αντικαθίσταται από μείωση. Κατά συνέπεια, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει στο σημείο από «συν» σε «πλην».

Στο σημείο - το ελάχιστο σημείο - η παράγωγος είναι επίσης ίση με μηδέν, αλλά το πρόσημά της αλλάζει από "μείον" σε "συν".

Συμπέρασμα: με τη βοήθεια της παραγώγου, μπορείτε να μάθετε όλα όσα μας ενδιαφέρουν για τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Εάν η παράγωγος είναι θετική, τότε η συνάρτηση αυξάνεται.

Εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα.

Στο μέγιστο σημείο, η παράγωγος είναι μηδέν και αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον.

Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος είναι επίσης μηδέν και αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν.

Γράφουμε αυτά τα ευρήματα με τη μορφή πίνακα:

	αυξάνει	μέγιστο σημείο	μειώνεται	ελάχιστο σημείο	αυξάνει
+	0	-	0	+

Ας κάνουμε δύο μικρές διευκρινίσεις. Θα χρειαστείτε ένα από αυτά κατά την επίλυση του προβλήματος. Άλλο - τον πρώτο χρόνο, με πιο σοβαρή μελέτη συναρτήσεων και παραγώγων.

Μια περίπτωση είναι δυνατή όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο είναι ίση με μηδέν, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο σε αυτό το σημείο. Αυτό το λεγόμενο :

Σε ένα σημείο, η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση είναι οριζόντια και η παράγωγος είναι μηδέν. Ωστόσο, πριν από το σημείο η συνάρτηση αυξήθηκε - και μετά το σημείο συνεχίζει να αυξάνεται. Το πρόσημο του παραγώγου δεν αλλάζει - έχει παραμείνει θετικό όπως ήταν.

Συμβαίνει επίσης στο σημείο μέγιστου ή ελάχιστου να μην υπάρχει η παράγωγος. Στο γράφημα, αυτό αντιστοιχεί σε μια απότομη διακοπή, όταν είναι αδύνατο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο.

Αλλά πώς να βρείτε την παράγωγο εάν η συνάρτηση δεν δίνεται από ένα γράφημα, αλλά από έναν τύπο; Σε αυτή την περίπτωση ισχύει