Τι είναι ένας αριθμός στη δύναμη του μηδέν. Αύξηση σε δύναμη μηδέν - μηδέν σε διάφορες γλώσσες

Απαντήσεις:

ΧΩΡΙΣ ΟΝΟΜΑ

αν λάβουμε υπόψη ότι a^x=e^x*ln(a), τότε προκύπτει ότι 0^0=1 (όριο, για x->0)
αν και η απάντηση «αβεβαιότητα» είναι επίσης αποδεκτή

Το μηδέν στα μαθηματικά δεν είναι κενό, αυτός ο αριθμός είναι πολύ κοντά στο "τίποτα", όπως το άπειρο μόνο αντίστροφα

Σημειωσε:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Αποδεικνύεται ότι σε αυτήν την περίπτωση διαιρούμε με το μηδέν και αυτή η πράξη στο πεδίο των πραγματικών αριθμών δεν ορίζεται.

6 χρόνια πριν

Το RPI.su είναι η μεγαλύτερη βάση δεδομένων ερωτήσεων και απαντήσεων στη ρωσική γλώσσα. Το έργο μας υλοποιήθηκε ως συνέχεια της δημοφιλούς υπηρεσίας otvety.google.ru, η οποία έκλεισε και καταργήθηκε στις 30 Απριλίου 2015. Αποφασίσαμε να αναβιώσουμε τη χρήσιμη υπηρεσία Google Answers, ώστε κάθε άτομο να μπορεί να μάθει δημόσια την απάντηση στην ερώτησή του από την κοινότητα του Διαδικτύου.

Όλες οι ερωτήσεις που προστέθηκαν στον ιστότοπο του Google Answers έχουν αντιγραφεί και αποθηκευτεί εδώ. Τα ονόματα των παλιών χρηστών εμφανίζονται επίσης με τη μορφή με την οποία υπήρχαν προηγουμένως. Χρειάζεται μόνο να εγγραφείτε ξανά για να μπορείτε να κάνετε ερωτήσεις ή να απαντήσετε σε άλλους.

Για να επικοινωνήσετε μαζί μας για οποιαδήποτε ερώτηση ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ (διαφήμιση, συνεργασία, σχόλια σχετικά με την υπηρεσία), γράψτε στο mail [email προστατευμένο]. Μόνο τα πάντα γενικά ζητήματαανάρτηση στον ιστότοπο, δεν θα απαντηθούν μέσω ταχυδρομείου.

Τι ισούται με το μηδέν όταν αυξάνεται στη δύναμη του μηδέν;

Γιατί ένας αριθμός στη δύναμη του 0 είναι ίσος με 1; Υπάρχει ένας κανόνας ότι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν, αυξημένος στη δύναμη του μηδέν, θα είναι ίσος με ένα: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Ωστόσο, γιατί συμβαίνει αυτό; Όταν ένας αριθμός αυξάνεται σε δύναμη με φυσικό εκθέτη, αυτό σημαίνει ότι πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του τόσες φορές όσο ο εκθέτης: 43 = 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Όταν ο εκθέτης είναι 1, τότε υπάρχει μόνο ένας παράγοντας κατά την αύξηση (αν μπορούμε να μιλήσουμε για παράγοντες εδώ) και επομένως το αποτέλεσμα της αύξησης ίσο με τη βάσημοίρες: 181 = 18; (–3,4)1 = –3,4 Τι γίνεται όμως με τον μηδενικό εκθέτη σε αυτή την περίπτωση; Τι πολλαπλασιάζεται με τι; Ας προσπαθήσουμε να πάμε από την άλλη πλευρά. Είναι γνωστό ότι αν δύο βαθμοί ίδιους λόγους, Αλλά διαφορετικούς δείκτες, τότε η βάση μπορεί να μείνει ίδια και οι εκθέτες μπορούν είτε να προστεθούν μεταξύ τους (αν οι εκθέτες πολλαπλασιαστούν), είτε να αφαιρέσουμε τον διαιρετικό εκθέτη από τον εκθέτη μερίσματος (αν οι εκθέτες είναι διαιρετοί): 32 × 31 = 32 +1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Τώρα εξετάστε αυτό το παράδειγμα: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Τι γίνεται αν δεν χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των μοιρών με την ίδια βάση και κάνουμε υπολογισμούς με τη σειρά που ακολουθούν: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Έτσι πήραμε την πολυπόθητη μονάδα. Έτσι, ο μηδενικός εκθέτης, όπως ήταν, δείχνει ότι ο αριθμός δεν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, αλλά διαιρείται από τον εαυτό του. Και από εδώ γίνεται σαφές γιατί η έκφραση 00 δεν έχει νόημα. Εξάλλου, δεν μπορείς να διαιρέσεις με το 0. Μπορείς να επιχειρηματολογήσεις διαφορετικά. Εάν υπάρχει, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμός δυνάμεων 52 × 50 = 52 + 0 = 52, τότε προκύπτει ότι το 52 έχει πολλαπλασιαστεί με 1. Επομένως, 50 = 1.

Από τις ιδιότητες των μοιρών: a^n / a^m = a^(n-m) αν n=m, το αποτέλεσμα θα είναι ένα, εκτός φυσικά a=0, σε αυτήν την περίπτωση (αφού το μηδέν σε οποιονδήποτε βαθμό θα είναι μηδέν) θα γινόταν διαίρεση με το μηδέν, οπότε το 0^0 δεν υπάρχει

Λογαριασμός σε διαφορετικές γλώσσες

Ονόματα αριθμών από το 0 έως το 9 στις δημοφιλείς γλώσσες του κόσμου.

Γλώσσα	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Αγγλικά	μηδέν	ένας	δύο	τρία	τέσσερις	πέντε	έξι	επτά	οκτώ	εννέα
Βούλγαρος	μηδέν	ένας	δύο	τρία	τέσσερις	κατοικίδιο ζώο	Πόλος	κάποια	osem	devet
ουγγρικός	nulla	εγω	κετο	harom	negy	ότ	καπέλο	het	nyolc	kilenc
Ολλανδός	μηδενικό	een	twee	στεγνώσει	vier	vijf	zes	zeven	αχτ	negen
δανικός	μηδενικό	en	προς την	τρε	Φωτιά	θηλ	φύλα	syv	otte	ni
Ισπανικά	cero	ΟΗΕ	dos	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	νέος
ιταλικός	μηδέν	ΟΗΕ	λόγω	τρε	quattro	cinque	sei	σετ	όθων	νέος
Λιθουανικά	nullis	Βιέννες	du	προσπαθεί	κετούρι	penki	reyi	σεπτίνη	aðtuoni	devyni
Γερμανός	μηδενικό	ein	zwei	drei	vier	πλάκα	sechs	sieben	αχτ	neun
Ρωσική	μηδέν	ένας	δύο	τρία	τέσσερις	πέντε	έξι	επτά	οκτώ	εννέα
Στίλβωση	μηδέν	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
Πορτογαλικά	χμ	dois	κομμάτια	quadro	cinco	seis	σετ	οίτο	νέος
γαλλική γλώσσα	μηδέν	Ηνωμένα Έθνη	deux	trois	τετράγωνο	cinq	έξι	Σεπτ	καλύβα	neuf
Τσέχος	nula	jedna	dva	toi	ityoi	λάκκος	¹est	sedm	osm	επινοούν
Σουηδικά	noll	ett	tva	τρε	φύρα	θηλ	φύλο	sju	atta	nio
Εσθονικά	μηδενικό	UK	κακς	Kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	uheksa

Αρνητική και μηδενική ισχύς ενός αριθμού

Μηδενικές, αρνητικές και κλασματικές δυνάμεις

Μηδενικός δείκτης

Για να αυξήσετε έναν δεδομένο αριθμό σε μια συγκεκριμένη ισχύ σημαίνει να τον επαναλάβετε με έναν παράγοντα όσες φορές υπάρχουν μονάδες στον εκθέτη.

Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, η έκφραση: έναΤο 0 δεν έχει νόημα. Αλλά για να έχει νόημα ο κανόνας της διαίρεσης των δυνάμεων του ίδιου αριθμού ακόμη και στην περίπτωση που ο δείκτης διαιρέτη είναι ίσος με τον δείκτη μερίσματος, εισάγεται ο ορισμός:

Η μηδενική ισχύς οποιουδήποτε αριθμού θα είναι ίση με ένα.

Αρνητικός δείκτης

Εκφραση είμαι, από μόνο του δεν έχει νόημα. Αλλά για να έχει νόημα ο κανόνας της διαίρεσης των δυνάμεων του ίδιου αριθμού ακόμη και στην περίπτωση που ο δείκτης διαιρέτη είναι μεγαλύτερος από τον δείκτη μερίσματος, εισάγεται ο ορισμός:

Παράδειγμα 1. Εάν ένας δεδομένος αριθμός αποτελείται από 5 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, 2 μονάδες και 9 εκατοστά, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Παράδειγμα 2. Εάν ένας δεδομένος αριθμός αποτελείται από δεκάδες, b μονάδες, c δέκατα και d χιλιοστά, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

ένα× 10 1 + σι× 10 0 + ντο× 10 -1 + ρε× 10 -3

Ενέργειες σε δυνάμεις με αρνητικούς εκθέτες

Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις του ίδιου αριθμού, οι εκθέτες αθροίζονται.

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων του ίδιου αριθμού, ο δείκτης διαιρέτη αφαιρείται από τον δείκτη του μερίσματος.

Για να αυξήσετε ένα προϊόν σε μια ισχύ, αρκεί να αυξήσετε κάθε παράγοντα ξεχωριστά σε αυτήν την ισχύ:

Για να αυξήσετε ένα κλάσμα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε και τους δύο όρους του κλάσματος χωριστά σε αυτήν την ισχύ:

Όταν μια ισχύς αυξάνεται σε μια άλλη ισχύ, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

Κλασματικός εκθέτης

Αν κδεν είναι πολλαπλάσιο n, τότε η έκφραση: δεν έχει νόημα. Αλλά για να λάβει χώρα ο κανόνας της εξαγωγής της ρίζας από τη μοίρα για οποιαδήποτε τιμή του εκθέτη, εισάγεται ο ορισμός:

Χάρη στην εισαγωγή ενός νέου συμβόλου, η εξαγωγή ρίζας μπορεί πάντα να αντικατασταθεί από την εκθετικότητα.

Ενέργειες σε δυνάμεις με κλασματικούς εκθέτες

Οι ενέργειες σε μοίρες με κλασματικούς εκθέτες εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες που καθορίζονται για τους ακέραιους εκθέτες.

Κατά την απόδειξη αυτής της θέσης, θα υποθέσουμε πρώτα ότι οι όροι των κλασμάτων: και , που χρησιμεύουν ως εκθέτες, είναι θετικοί.

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση nή qμπορεί να είναι ίσο με ένα.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων του ίδιου αριθμού, οι κλασματικοί δείκτες αθροίζονται:

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων του ίδιου αριθμού με κλασματικούς εκθέτες, ο διαιρετής εκθέτης αφαιρείται από τον εκθέτη μερίσματος:

Για να αυξήσετε μια ισχύ σε μια άλλη δύναμη στην περίπτωση των κλασματικών εκθετών, αρκεί να πολλαπλασιάσετε τους εκθέτες:

Για να εξαγάγετε τη ρίζα ενός κλασματικού εκθέτη, αρκεί να διαιρέσετε τον εκθέτη με τον εκθέτη της ρίζας:

Οι κανόνες δράσης δεν ισχύουν μόνο για θετικόςκλασματικά σχήματα, αλλά και να αρνητικός.

Υπάρχει ένας κανόνας ότι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν, αυξημένος στη δύναμη του μηδέν, θα είναι ίσος με ένα:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Ωστόσο, γιατί συμβαίνει αυτό;
Όταν ένας αριθμός αυξάνεται σε δύναμη με φυσικό εκθέτη, σημαίνει ότι πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του τόσες φορές όσο ο εκθέτης:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Όταν ο εκθέτης είναι 1, τότε υπάρχει μόνο ένας παράγοντας κατά τη διάρκεια της κατασκευής (αν μπορούμε να μιλήσουμε για παράγοντες εδώ) και επομένως το αποτέλεσμα της κατασκευής είναι ίσο με τη βάση του βαθμού:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Τι γίνεται όμως με το μηδέν σε αυτή την περίπτωση; Τι πολλαπλασιάζεται με τι;
Ας προσπαθήσουμε να πάμε από την άλλη πλευρά.

Γιατί ένας αριθμός στη δύναμη του 0 είναι ίσος με 1;

Είναι γνωστό ότι εάν δύο μοίρες έχουν τις ίδιες βάσεις, αλλά διαφορετικούς δείκτες, τότε η βάση μπορεί να μείνει ίδια και οι δείκτες μπορούν είτε να προστεθούν μεταξύ τους (αν πολλαπλασιαστούν οι μοίρες), είτε να αφαιρέσουν τον δείκτη διαιρέτη από το δείκτης μερίσματος (αν οι μοίρες είναι διαιρούμενοι):
3 2×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Τώρα σκεφτείτε αυτό το παράδειγμα:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Τι γίνεται αν δεν χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των δυνάμεων με την ίδια βάση και κάνουμε υπολογισμούς με τη σειρά της ακολουθίας τους:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Έτσι πήραμε την πολυπόθητη μονάδα. Έτσι, ο μηδενικός εκθέτης, όπως ήταν, δείχνει ότι ο αριθμός δεν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, αλλά διαιρείται από τον εαυτό του.
Και από εδώ γίνεται σαφές γιατί η έκφραση 0 0 δεν έχει νόημα. Εξάλλου, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0.

ΠΤΥΧΙΟ ΜΕ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΟ ΔΕΙΚΤΗ,

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΙΣΧΥΟΣ IV

§ 71. Μοίρες με μηδενικούς και αρνητικούς εκθέτες

Στην § 69 αποδείξαμε (βλ. Θεώρημα 2) ότι για t > n

(ένα =/= 0)

Είναι πολύ φυσικό να θέλουμε να επεκτείνουμε αυτόν τον τύπο στην περίπτωση που Τ < Π . Αλλά μετά ο αριθμός t - p θα είναι είτε αρνητικό είτε μηδέν. Α. Μιλήσαμε μέχρι τώρα μόνο για βαθμούς με φυσικούς δείκτες. Έτσι, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με την ανάγκη να ληφθούν υπόψη οι δυνάμεις των πραγματικών αριθμών με μηδενικούς και αρνητικούς εκθέτες.

Ορισμός 1. Οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΝΑ , Δεν μηδέν, η μηδενική ισχύς είναι ίση με ένα, όταν δηλαδή ΕΝΑ =/= 0

ΕΝΑ 0 = 1. (1)

Για παράδειγμα, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2) 0 = 1. Ο αριθμός 0 δεν έχει μηδενικό βαθμό, δηλαδή η έκφραση 0 0 δεν ορίζεται.

Ορισμός 2. Αν ΕΝΑ=/= 0 και Π - φυσικός αριθμός, Οτι

ΕΝΑ - n = 1 /ένα n (2)

αυτό είναι ο βαθμός οποιουδήποτε αριθμού που δεν είναι ίσος με μηδέν, με αρνητικό ακέραιο εκθέτη, ισούται με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ένας και ο παρονομαστής είναι η δύναμη του ίδιου αριθμού α, αλλά με εκθέτη αντίθετο από τον εκθέτη αυτού εκθέτης.

Για παράδειγμα,

Έχοντας υπόψη αυτούς τους ορισμούς, μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα =/= 0, τύπος

ισχύει για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς Τ Και n , και όχι μόνο για t > n . Για να το αποδείξουμε, αρκεί να εξετάσουμε μόνο δύο περιπτώσεις: t = n Και Τ< .п , αφού η υπόθεση m > n έχει ήδη αναφερθεί στην § 69.

Αφήνω t = n ; Επειτα . Που σημαίνει, αριστερή πλευράτης ισότητας (3) ισούται με 1. Η δεξιά πλευρά στο t = n γίνεται

ΕΝΑ m-n = ΕΝΑ n - n = ΕΝΑ 0 .

Αλλά εξ ορισμού ΕΝΑ 0 = 1. Έτσι, δεξί μέροςη ισότητα (3) είναι επίσης ίση με 1. Επομένως, για t = n ο τύπος (3) είναι σωστός.

Τώρα υποθέστε ότι Τ< п . Διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με ΕΝΑ Μ , παίρνουμε:

Επειδή n > t , Οτι . Να γιατί . Χρησιμοποιώντας τον ορισμό ενός βαθμού με αρνητικό εκθέτη, μπορεί κανείς να γράψει .

Έτσι, στο , που έπρεπε να αποδειχτεί. Ο τύπος (3) αποδεικνύεται τώρα για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς Τ Και Π .

Σχόλιο. Οι αρνητικοί εκθέτες σάς επιτρέπουν να γράφετε κλάσματα χωρίς παρονομαστές. Για παράδειγμα,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; καθόλου, ένα / σι = α β - 1

Ωστόσο, δεν πρέπει να σκεφτεί κανείς ότι με έναν τέτοιο συμβολισμό, τα κλάσματα μετατρέπονται σε ακέραιους αριθμούς. Για παράδειγμα, 3 - Το 1 είναι το ίδιο κλάσμα με το 1/3, το 2 5 - Το 1 είναι το ίδιο κλάσμα με το 2/5, κ.λπ.

Γυμνάσια

529. Υπολογίστε:

530. Να γράψετε χωρίς παρονομαστές κλάσματος:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Γράψτε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα ως ακέραιες εκφράσεις χρησιμοποιώντας αρνητικούς δείκτες:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Πρώτο επίπεδο

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού τα χρειάζεστε; Γιατί χρειάζεται να αφιερώσετε χρόνο στη μελέτη τους;

Για να μάθετε τα πάντα για τα πτυχία, σε τι χρησιμεύουν, πώς να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας Καθημερινή ζωήδιαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση των πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά σε έναν επιτυχημένο περνώντας το OGEή την Ενιαία Κρατική Εξέταση και να μπεις στο πανεπιστήμιο των ονείρων σου.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν αντί για τύπους βλέπετε ασυναρτησίες, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η εκθετικότητα είναι η ίδια μαθηματική πράξη με την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση.

Τώρα θα τα εξηγήσω όλα ανθρώπινη γλώσσαμε πολύ απλά παραδείγματα. Πρόσεχε. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Κάθε ένα έχει δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με την κόλα μπορεί να γραφτεί με διαφορετικό τρόπο: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες. Πρώτα παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε προπαιδεία. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Και ποια άλλα δύσκολα κόλπα μέτρησης βρήκαν οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Σωστά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό από τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι. Και λύστε τέτοιους γρίφους στο μυαλό - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Για να το κάνετε αυτό, χρειάζεστε μόνο θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται το δεύτερο πτυχίο τετράγωνοαριθμούς και το τρίτο κύβος? Τι σημαίνει? Πολύ καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα που μετράει μέτρα ανά μέτρα. Η πισίνα βρίσκεται στην αυλή σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Αλλά ... πισίνα χωρίς πάτο! Είναι απαραίτητο να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή του πυθμένα της πισίνας.

Μπορείτε απλά να μετρήσετε πατώντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν τα πλακάκια σας είναι μέτρο με μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα πού είδες τέτοιο πλακάκι; Το πλακάκι θα είναι μάλλον εκατοστά εκ. Και μετά θα σε βασανίζουν «μετρώντας με το δάχτυλό σου». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάζοντας με, λαμβάνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας; Τι σημαίνει? Εφόσον πολλαπλασιάζεται ο ίδιος αριθμός, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της εκθέσεως. (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε μια ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση σε μια ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και επίσης υπάρχουν λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα έως το δεύτερο βαθμό θα είναι (). Ή μπορείτε να πείτε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς, μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού ... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να μετρήσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή ... αν παρατηρήσετε ότι μια σκακιέρα είναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε το οκτώ. Αποκτήστε κύτταρα. () Ετσι?

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητο, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: ένα πάτο σε μέγεθος ένα μέτρο και ένα μέτρο βάθος και προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσους κύβους που μετρούν ένα μέτρο με ένα μέτρο θα μπουν στο δικό σας πισίνα.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα… είκοσι δύο, είκοσι τρία… Πόσο βγήκε; Δεν χάθηκες; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Ετσι ώστε! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ίσος με κύβους ... Πιο εύκολο, σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το κάνουν πολύ εύκολο. Μείωσε τα πάντα σε μία ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Και τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με ένα δάχτυλο, το κάνουν με μία ενέργεια: τρία σε έναν κύβο είναι ίσα. Είναι γραμμένο έτσι:

Παραμένει μόνο απομνημονεύστε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέληδες και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσω επιτέλους ότι τα πτυχία εφευρέθηκαν από αργόσχολους και πονηρούς ανθρώπους για να τους λύσουν προβλήματα ζωής, και για να μην σας δημιουργήσω προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε άλλο ένα εκατομμύριο για κάθε εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε ένα από τα εκατομμύρια σας στην αρχή κάθε έτους διπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Αν κάθεστε και «μετράτε με το δάχτυλό σας» τώρα, τότε είστε πολύ σκληρά εργαζόμενοςκαι.. ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Έτσι, τον πρώτο χρόνο - δύο φορές δύο ... τον δεύτερο χρόνο - τι έγινε, από δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο ... Σταματήστε! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται μόνος του μία φορά. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε διαγωνισμό και αυτός που υπολογίζει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια ... Αξίζει να θυμάστε τους βαθμούς των αριθμών, τι πιστεύετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε δύο περισσότερα για κάθε εκατομμύριο. Είναι υπέροχο σωστά; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο ... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα η τέταρτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη, θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια περαιτέρω ματιά στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες ... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. Τι νομίζετε, τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται "στην κορυφή" της ισχύος του αριθμού. Δεν είναι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλός είναι ο αριθμός που βρίσκεται στο κάτω μέρος, στη βάση.

Εδώ είναι μια φωτογραφία για να είστε σίγουροι.

Λοιπόν και μέσα γενική εικόναγια να γενικεύσουμε και να θυμάστε καλύτερα ... Ένας βαθμός με βάση "" και εκθέτη "" διαβάζεται ως "στο βαθμό" και γράφεται ως εξής:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη

Μάλλον μαντέψατε ήδη: επειδή ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούνται στη μέτρηση κατά την καταχώριση στοιχείων: ένα, δύο, τρία ... Όταν μετράμε στοιχεία, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε ούτε «ένα τρίτο» ή «μηδέν πόντος πέντε δέκατα». Αυτοί δεν είναι φυσικοί αριθμοί. Ποιοι πιστεύετε ότι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ολόκληροι αριθμοί.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και έναν αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - αυτό είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Και τι σημαίνουν αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να δηλώσουν χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε ρούβλια στον χειριστή.

Όλα τα κλάσματα είναι ρητοί αριθμοί. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν αρκετούς φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ρητοί αριθμοί… Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν και παράλογοι αριθμοί. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Με λίγα λόγια, ατελείωτο δεκαδικός. Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, τότε παίρνετε έναν παράλογο αριθμό.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια του βαθμού, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

Οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει πολλαπλασιασμός του από τον εαυτό του:
Ο κύβος ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Για να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη είναι να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό με τον εαυτό του φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίου

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σας δείξω τώρα.

Ας δούμε τι είναι Και ?

A-priory:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε παράγοντες στους παράγοντες και το αποτέλεσμα είναι παράγοντες.

Αλλά εξ ορισμού, αυτός είναι ο βαθμός ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να είναι ο ίδιος λόγος!
Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψετε αυτό.

2. δηλαδή -η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Πτυχίο με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε μοίρες από φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ? ? Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, βγαίνει.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Κατάφερες?

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Εάν ανταλλάσσονταν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Αλλά πώς να το κάνουμε αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

ολόκληροςονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή λαμβάνονται με το πρόσημο «») και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα:

Όπως πάντα, αναρωτιόμαστε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Σκεφτείτε λίγη δύναμη με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε τον ίδιο όπως ήταν -. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Που σημαίνει.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μια πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιοδήποτε βαθμό - όσο κι αν πολλαπλασιάσετε το μηδέν με τον εαυτό του, εξακολουθείτε να παίρνετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στον μηδενικό βαθμό, πρέπει να είναι ίσος. Ποια είναι λοιπόν η αλήθεια αυτού; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας πάμε παρακάτω. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητικός βαθμός, ας κάνουμε το ίδιο με την προηγούμενη φορά: πολλαπλασιάζουμε κάποιον κανονικό αριθμό με τον ίδιο σε αρνητικό βαθμό:

Από εδώ είναι ήδη εύκολο να εκφράσουμε το επιθυμητό:

Τώρα επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Ας διαμορφώσουμε λοιπόν τον κανόνα:

Ένας αριθμός σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη. Αλλά συγχρόνως Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται σε περίπτωση. Αν τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν είναι ίσος με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Ανάλυση εργασιών για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις πρέπει να είσαι έτοιμος για όλα! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τη λύση τους αν δεν μπορούσατε να τη λύσετε και θα μάθετε πώς να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε τον κύκλο των αριθμών «κατάλληλων» ως εκθέτης.

Τώρα σκεφτείτε ρητοί αριθμοί.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: όλα όσα μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι, επιπλέον.

Για να καταλάβουμε τι είναι "κλασματικός βαθμός"Ας εξετάσουμε ένα κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα θυμηθείτε τον κανόνα "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, είναι ίσος.

Δηλαδή, η ρίζα του ου βαθμού είναι η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως: .

Τελικά φαίνεται πως. Προφανώς αυτό ειδική περίπτωσημπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέστε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί με τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Θυμηθείτε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωθεί σε άρτια δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαχθούν ρίζες ζυγού βαθμού από αρνητικούς αριθμούς!

Και αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματικός βαθμόςμε άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άλλα, μειωμένα κλάσματα, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, και όμως αυτά είναι μόνο δύο διάφορα αρχείατον ίδιο αριθμό.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Μόλις όμως γράψουμε τον δείκτη με διαφορετικό τρόπο, ξαναμπαίνουμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγετε τέτοια παράδοξα, σκεφτείτε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Οπότε αν:

- φυσικός αριθμός;
είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Οι δυνάμεις με λογικό εκθέτη είναι πολύ χρήσιμες για τον μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα - το πιο δύσκολο. Τώρα θα αναλύσουμε βαθμό με παράλογο εκθέτη.

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των μοιρών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για τους βαθμούς με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Πράγματι, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι (δηλαδή, οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...μηδενική ισχύς- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από μόνος του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει ακόμη εμφανιστεί - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας ορισμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή τον αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος εκθέτης- είναι σαν να έχει λάβει χώρα μια συγκεκριμένη «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, στις επιστήμες, πτυχίο με σύνθετος δείκτης, δηλαδή ο εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον ήδη συνηθισμένο κανόνα για την αύξηση του πτυχίου σε ένα βαθμό:

Δείτε τώρα το σκορ. Σας θυμίζει κάτι; Υπενθυμίζουμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

ΣΕ αυτή η υπόθεση,

Τελικά φαίνεται πως:

Απάντηση: .

2. Φέρνουμε κλάσματα σε εκθέτες στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο κοινά. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι έκφραση της μορφής: , όπου:

— βάση πτυχίου?
- εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό εκθέτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Ισχύς με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιοςαριθμός:

ανέγερση σε μηδενική ισχύ:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι ακέραιος αρνητικόςαριθμός:

(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Για άλλη μια φορά για τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

Παραδείγματα:

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

- φυσικός αριθμός;
είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίου

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

A-priory:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης, προκύπτει το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με έναν εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να είναι στην ίδια βάση. Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

Μια άλλη σημαντική σημείωση: αυτός ο κανόνας - μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψω.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας το αναδιατάξουμε ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η -η δύναμη του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:!

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο τι θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμός. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε μοίρες από φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ? ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό, το πρόσημο θα αλλάζει. Είναι δυνατό να διατυπωθεί τέτοια απλούς κανόνες:

ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Κατάφερες? Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμόμαστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, πράγμα που σημαίνει ότι η βάση λιγότερο από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε ο ένας στον άλλο, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν αναλύσουμε τον τελευταίο κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων:

Λύσεις :

Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο κανόνας 3. Πώς γίνεται όμως αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Τώρα όμως μοιάζει με αυτό:

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορεί να αντικατασταθεί αλλάζοντας μόνο ένα απαράδεκτο μείον για εμάς!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Ο τελευταίος κανόνας λοιπόν:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκτείνουμε την έννοια του πτυχίου και ας απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα θα είναι; φορές με πολλαπλασιαστές - πώς μοιάζει; Αυτό δεν είναι παρά ο ορισμός μιας πράξης πολλαπλασιασμός: συνολικά αποδείχθηκαν πολλαπλασιαστές. Δηλαδή, είναι εξ ορισμού δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από πληροφορίες σχετικά με τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το πτυχίο με έναν παράλογο δείκτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ορθολογικούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στον μηδέν βαθμό είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως, το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα ορισμένη «προετοιμασία ενός αριθμού», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό δείκτη - είναι σαν να έχει συμβεί μια συγκεκριμένη "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Μάλλον, είναι ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε έναν παράλογο εκθέτη; Προσπαθούμε να το ξεφορτωθούμε! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Απαντήσεις:

Θυμηθείτε τη διαφορά των τετραγώνων. Απάντηση: .
Φέρνουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

βαθμός, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

βαθμό, ο δείκτης του οποίου είναι αρνητικοί και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

εκθέτης του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίου

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΛΟΓΙΑ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Ενημερώστε με στα σχόλια παρακάτω αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας με τις ιδιότητες ισχύος.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Υπάρχει ένας κανόνας ότι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν, αυξημένος στη δύναμη του μηδέν, θα είναι ίσος με ένα:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Ωστόσο, γιατί συμβαίνει αυτό;

Όταν ένας αριθμός αυξάνεται σε δύναμη με φυσικό εκθέτη, σημαίνει ότι πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του τόσες φορές όσο ο εκθέτης:
43 = 4...

0 0

Στην άλγεβρα, η αύξηση σε δύναμη μηδέν είναι συνηθισμένη. Τι είναι ο βαθμός 0; Ποιοι αριθμοί μπορούν να αυξηθούν στη μηδενική ισχύ και ποιοι όχι;

Ορισμός.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη δύναμη του μηδέν, εκτός από το μηδέν, είναι ίσος με ένα:

Έτσι, ανεξάρτητα από τον αριθμό που αυξάνεται στη δύναμη του 0, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα το ίδιο - ένα.

Και το 1 στη δύναμη του 0, και το 2 στη δύναμη του 0, και οποιοσδήποτε άλλος αριθμός - ακέραιος, κλασματικός, θετικός, αρνητικός, ορθολογικός, παράλογος - όταν αυξάνεται στη μηδενική ισχύ, δίνει ένα.

Η μόνη εξαίρεση είναι μηδενική.

Το μηδέν στη μηδενική ισχύ δεν ορίζεται, μια τέτοια έκφραση δεν έχει νόημα.

Δηλαδή, οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν μπορεί να αυξηθεί στη μηδενική ισχύ.

Εάν, κατά την απλοποίηση μιας παράστασης με δυνάμεις, προκύπτει ένας αριθμός στη δύναμη του μηδέν, μπορεί να αντικατασταθεί από μια μονάδα:

Αν στο...

0 0

Ως μέρος του σχολικό πρόγραμμα σπουδώνη τιμή της έκφρασης $%0^0$% θεωρείται απροσδιόριστη.

Από την άποψη των σύγχρονων μαθηματικών, είναι βολικό να υποθέσουμε ότι $%0^0=1$%. Η ιδέα εδώ είναι η εξής. Έστω ένα γινόμενο $%n$% αριθμών της μορφής $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Για όλα τα $%n\ge2$% η ισότητα $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% ικανοποιείται. Είναι βολικό να θεωρήσουμε αυτή την ισότητα ως σημαντική ακόμη και για $%n=1$%, ορίζοντας $%p_0=1$%. Η λογική εδώ είναι η εξής: κατά τον υπολογισμό των προϊόντων, πρώτα παίρνουμε 1 και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά επί $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Είναι αυτός ο αλγόριθμος που χρησιμοποιείται κατά την εύρεση έργων όταν γράφονται προγράμματα. Εάν, για κάποιο λόγο, δεν συνέβη ο πολλαπλασιασμός, τότε το γινόμενο παραμένει ίσο με ένα.

Με άλλα λόγια, είναι βολικό να θεωρηθεί ότι έχει νόημα μια έννοια όπως "το γινόμενο 0 παραγόντων", θεωρώντας την εξ ορισμού ίση με 1. Στην περίπτωση αυτή, μπορεί κανείς να μιλήσει και για "κενό γινόμενο". Αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με αυτό...

0 0

Μηδέν - είναι μηδέν. Σε γενικές γραμμές, οποιαδήποτε δύναμη ενός αριθμού είναι το γινόμενο του ενός και ο εκθέτης επί αυτού του αριθμού. Δύο στο τρίτο, ας πούμε ότι είναι 1*2*2*2, δύο στο μείον το πρώτο είναι 1/2. Και τότε είναι απαραίτητο να μην υπάρχει τρύπα στη μετάβαση από τις θετικές στις αρνητικές δυνάμεις και το αντίστροφο.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

αυτό είναι το όλο θέμα.

απλό και ξεκάθαρο, ευχαριστώ

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

είναι απαραίτητο για παράδειγμα απλά τότε ορισμένοι τύποι που ισχύουν για θετικούς δείκτες - για παράδειγμα x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) - εξακολουθούν να ισχύουν.
Παρεμπιπτόντως, το ίδιο ισχύει και για τον ορισμό του αρνητικού βαθμού καθώς και του ορθολογικού (δηλαδή, για παράδειγμα, το 5 στη δύναμη των 3/4)

> και γιατί χρειάζεται καθόλου;
Για παράδειγμα, στη στατιστική και στη θεωρία, κάποιος παίζει συχνά με μηδενικές δυνάμεις.

ΕΝΑ αρνητικούς βαθμούςδεν σε ενοχλώ;
...

0 0

Συνεχίζουμε να εξετάζουμε τις ιδιότητες των μοιρών, πάρτε για παράδειγμα, 16:8=2. Επομένως, αφού 16=24 και 8=23, η διαίρεση μπορεί να γραφτεί σε εκθετική μορφή ως 24:23=2, αλλά αν αφαιρέσουμε τους εκθέτες, τότε 24:23=21. Έτσι, πρέπει να παραδεχτούμε ότι το 2 και το 21 είναι το ίδιο, επομένως 21=2.

Ο ίδιος κανόνας ισχύει για οποιονδήποτε άλλο εκθετικό αριθμό, επομένως ο κανόνας μπορεί να δηλωθεί με γενικό τρόπο:

οποιοσδήποτε αριθμός αυξηθεί στην πρώτη δύναμη παραμένει αμετάβλητος

Αυτό το συμπέρασμα μπορεί να σας ξάφνιασε. Μπορείτε ακόμα να κατανοήσετε με κάποιο τρόπο την έννοια της έκφρασης 21=2, αν και η έκφραση "ένας αριθμός δύο πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του" ακούγεται μάλλον περίεργη. Αλλά η έκφραση 20 σημαίνει "ούτε ένας αριθμός δύο, ...

0 0

Ορισμοί πτυχίων:

1. μηδέν βαθμό

Κάθε μη μηδενικός αριθμός που αυξάνεται στη δύναμη του μηδέν ισούται με ένα. Το μηδέν στη δύναμη του μηδενός δεν ορίζεται

2. φυσικός βαθμός εκτός του μηδενός

Οποιοσδήποτε αριθμός x αυξηθεί σε μια φυσική δύναμη n, εκτός από το μηδέν, ισούται με τον πολλαπλασιασμό των n αριθμών x μεταξύ τους

3.1 ρίζα άρτιου φυσικού βαθμού εκτός του μηδενός

Η ρίζα μιας άρτιας φυσικής δύναμης n, διαφορετικής από το μηδέν, από οποιονδήποτε θετικό αριθμό x είναι τόσο θετικός αριθμός y που, όταν αυξηθεί σε δύναμη n, δίνει τον αρχικό αριθμό x

3.2 περίεργη φυσική ρίζα

Μια περιττή φυσική ρίζα n οποιουδήποτε αριθμού x είναι ένας αριθμός y που, όταν αυξηθεί σε δύναμη n, δίνει τον αρχικό αριθμό x

3.3 η ρίζα οποιασδήποτε φυσικής δύναμης ως κλασματική δύναμη

Η εξαγωγή της ρίζας οποιασδήποτε φυσικής δύναμης n εκτός από το μηδέν από οποιονδήποτε αριθμό x είναι ίδια με την αύξηση αυτού του αριθμού x στην κλασματική ισχύ 1/n

0 0

Γεια σου, αγαπητέ RUSSEL!

Κατά την εισαγωγή της έννοιας του βαθμού, υπάρχει μια τέτοια σημειογραφία: » Η τιμή της έκφρασης a^0 =1 » ! Αυτό συμβαίνει λόγω της λογικής έννοιας του πτυχίου και τίποτα άλλο!
Είναι αξιέπαινο όταν ένας νέος προσπαθεί να φτάσει στο βάθος! Υπάρχουν όμως πράγματα που πρέπει να θεωρούνται δεδομένα!
Μπορείτε να κατασκευάσετε νέα μαθηματικά μόνο όταν μελετήσετε αυτό που είχε ήδη ανακαλυφθεί πριν από αιώνες!
Φυσικά, αν εξαιρέσουμε ότι «δεν είσαι από αυτόν τον κόσμο» και σου έχουν δοθεί πολύ περισσότερα από εμάς τους υπόλοιπους αμαρτωλούς!

Σημείωση: Η Άννα Μισέβα έκανε μια προσπάθεια να αποδείξει το αναπόδεικτο! Επίσης αξιέπαινη!
Υπάρχει όμως ένα μεγάλο «ΑΛΛΑ» - λείπει στην απόδειξή του ουσιαστικό στοιχείο: Περίπτωση διαίρεσης με ΜΗΔΕΝ!

Δείτε μόνοι σας τι μπορεί να συμβεί: 0^1 / 0^1 = 0 / 0 !!!

Αλλά δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν!

Παρακαλώ να είστε πιο προσεκτικοί!

με μάζα Τις καλύτερες ευχές μουκαι προσωπική ευτυχία...

0 0