Η διάκριση, καθώς και οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις, αρχίζουν να μελετώνται στο μάθημα της άλγεβρας στην τάξη 8. Μπορείτε να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση μέσω του διαχωριστή και χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta. Μεθοδολογία μελέτης τετραγωνικές εξισώσεις, καθώς και οι διακριτικές φόρμουλες, ενσταλάσσονται μάλλον ανεπιτυχώς στους μαθητές, όπως πολλά πράγματα στην πραγματική εκπαίδευση. Επομένως περάστε ΣΧΟΛΙΚΑ χρονια, η εκπαίδευση στις τάξεις 9-11 αντικαθιστά το " ανώτερη εκπαίδευση"Και όλοι κοιτάζουν ξανά - «Πώς να λύσω μια τετραγωνική εξίσωση;», «Πώς να βρείτε τις ρίζες μιας εξίσωσης;», «Πώς να βρείτε το διαχωριστικό;» Και...
Διακριτική Φόρμουλα
Η διάκριση D της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a*x^2+bx+c=0 είναι D=b^2–4*a*c.
Οι ρίζες (λύσεις) της δευτεροβάθμιας εξίσωσης εξαρτώνται από το πρόσημο της διάκρισης (D):
D>0 - η εξίσωση έχει 2 διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
D=0 - η εξίσωση έχει 1 ρίζα (2 ρίζες που συμπίπτουν):
ρε<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Ο τύπος για τον υπολογισμό του διακριτικού είναι αρκετά απλός, έτσι πολλοί ιστότοποι προσφέρουν μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή διάκρισης. Δεν έχουμε καταλάβει ακόμα αυτού του είδους τα σενάρια, οπότε ποιος ξέρει πώς να το εφαρμόσει, παρακαλώ γράψτε στο mail Αυτή η διεύθυνση ηλεκτρονικού ταχυδρομείου προστατεύεται από κακόβουλη χρήση. Πρέπει να έχετε ενεργοποιημένη τη JavaScript για προβολή. .
Γενικός τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
Οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται από τον τύπο 
Εάν ο συντελεστής της μεταβλητής στο τετράγωνο είναι ζευγαρωμένος, τότε καλό είναι να υπολογιστεί όχι ο διαχωριστής, αλλά το τέταρτο μέρος του
Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται από τον τύπο 
Ο δεύτερος τρόπος για να βρείτε ρίζες είναι το Θεώρημα του Βιέτα.
Το θεώρημα διατυπώνεται όχι μόνο για τετραγωνικές εξισώσεις, αλλά και για πολυώνυμα. Μπορείτε να το διαβάσετε στη Wikipedia ή σε άλλες ηλεκτρονικές πηγές. Ωστόσο, για να απλοποιήσουμε, θεωρήστε εκείνο το τμήμα του που αφορά τις ανηγμένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις, δηλαδή τις εξισώσεις της μορφής (a=1)
Η ουσία των τύπων Vieta είναι ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον συντελεστή της μεταβλητής, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Οι τύποι του θεωρήματος του Βιέτα έχουν σημειογραφία.
Η παραγωγή του τύπου Vieta είναι αρκετά απλή. Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση ως προς τους πρώτους παράγοντες 
Όπως μπορείτε να δείτε, κάθε έξυπνο είναι ταυτόχρονα απλό. Είναι αποτελεσματικό να χρησιμοποιείτε τον τύπο Vieta όταν η διαφορά στο μέτρο των ριζών ή η διαφορά στο μέτρο των ριζών είναι 1, 2. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες εξισώσεις, σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, έχουν ρίζες
Η ανάλυση έως και 4 εξισώσεων θα πρέπει να μοιάζει με αυτό. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι 6, επομένως οι ρίζες μπορεί να είναι οι τιμές (1, 6) και (2, 3) ή ζεύγη με το αντίθετο πρόσημο. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 (ο συντελεστής της μεταβλητής με το αντίθετο πρόσημο). Από εδώ συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ίσες με x=2; x=3.
Είναι ευκολότερο να επιλέξετε τις ρίζες της εξίσωσης μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου, διορθώνοντας το πρόσημό τους προκειμένου να εκπληρωθούν οι τύποι Vieta. Στην αρχή, αυτό φαίνεται δύσκολο να γίνει, αλλά με εξάσκηση σε έναν αριθμό δευτεροβάθμιων εξισώσεων, αυτή η τεχνική θα είναι πιο αποτελεσματική από τον υπολογισμό της διάκρισης και την εύρεση των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης με τον κλασικό τρόπο.
Όπως μπορείτε να δείτε, η σχολική θεωρία της μελέτης της διάκρισης και των τρόπων εύρεσης λύσεων στην εξίσωση στερείται πρακτικής σημασίας - «Γιατί χρειάζονται οι μαθητές μια τετραγωνική εξίσωση;», «Ποια είναι η φυσική έννοια του διακρίνοντα;».
Ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε τι περιγράφει η διάκριση;
Στο μάθημα της άλγεβρας μελετούν συναρτήσεις, σχήματα μελέτης συναρτήσεων και σχεδίαση συναρτήσεων. Από όλες τις συναρτήσεις, μια σημαντική θέση καταλαμβάνει μια παραβολή, η εξίσωση της οποίας μπορεί να γραφτεί με τη μορφή 
Άρα η φυσική έννοια της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα μηδενικά της παραβολής, δηλαδή τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα της τετμημένης Ox
Σας ζητώ να θυμάστε τις ιδιότητες των παραβολών που περιγράφονται παρακάτω. Θα έρθει η ώρα να κάνετε εξετάσεις, τεστ ή εισαγωγικές εξετάσεις και θα είστε ευγνώμονες για το υλικό αναφοράς. Το πρόσημο της μεταβλητής στο τετράγωνο αντιστοιχεί στο αν οι κλάδοι της παραβολής στο γράφημα θα ανέβουν (a>0),
ή μια παραβολή με κλαδιά προς τα κάτω (α<0)
.
Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στη μέση μεταξύ των ριζών
Η φυσική έννοια της διάκρισης:
Εάν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (D>0), η παραβολή έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα Ox. 
Αν η διακρίνουσα μηδέν(D=0) τότε η παραβολή στην κορυφή αγγίζει τον άξονα x. 
Και η τελευταία περίπτωση όταν η διάκριση λιγότερο από το μηδέν(ΡΕ<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η τάξη, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απαραίτητη.
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a , b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.
Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώνουμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:
- Δεν έχουν ρίζες.
- Έχουν ακριβώς μια ρίζα.
- Να έχεις δύο διαφορετική ρίζα.
Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ τετραγωνικών και γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.
Διακριτικός
Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac .
Αυτή η φόρμουλα πρέπει να είναι γνωστή από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:
- Αν ο Δ< 0, корней нет;
- Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
- Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.
Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:
Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Γράφουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Άρα, η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Η διάκριση ισούται με μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.
Σημειώστε ότι έχουν γραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό - αλλά δεν θα μπερδεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.
Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειάζεται πλέον να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνετε τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σας. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι και τόσο.
Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:
Ο βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - παίρνετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:
Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]
Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:
Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετράτε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα όταν οι αρνητικοί συντελεστές αντικαθίστανται στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, ζωγραφίστε κάθε βήμα - και απαλλαγείτε από τα λάθη πολύ σύντομα.
Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Είναι εύκολο να δούμε ότι λείπει ένας από τους όρους σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τη διάκριση. Ας εισαγάγουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:
Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.
Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μια ενιαία ρίζα: x \u003d 0.
Ας εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις. Έστω b \u003d 0, τότε παίρνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε ελαφρώς:
Διότι αριθμητική Τετραγωνική ρίζαυπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο για (−c /a ) ≥ 0. Συμπέρασμα:
- Αν μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιεί την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
- Αν (−c / a )< 0, корней нет.
Όπως μπορείτε να δείτε, η διάκριση δεν ήταν απαραίτητη - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή του x 2 και να δούμε τι υπάρχει στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.
Ας ασχοληθούμε τώρα με εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο:
Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσηςΤο γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:
Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί το τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Ορισμένα προβλήματα στα μαθηματικά απαιτούν την ικανότητα υπολογισμού της τιμής της τετραγωνικής ρίζας. Αυτά τα προβλήματα περιλαμβάνουν την επίλυση εξισώσεων δεύτερης τάξης. Σε αυτό το άρθρο, παρουσιάζουμε αποτελεσματική μέθοδοςυπολογισμούς τετραγωνικές ρίζεςκαι χρησιμοποιήστε το όταν εργάζεστε με τους τύπους των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
Τι είναι η τετραγωνική ρίζα;
Στα μαθηματικά, αυτή η έννοια αντιστοιχεί στο σύμβολο √. Τα ιστορικά δεδομένα λένε ότι άρχισε να χρησιμοποιείται για πρώτη φορά γύρω στο πρώτο μισό του 16ου αιώνα στη Γερμανία (το πρώτο γερμανικό έργο για την άλγεβρα του Christoph Rudolf). Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι αυτό το σύμβολο είναι μεταμορφωμένο Λατινικό γράμμα r (radix σημαίνει «ρίζα» στα λατινικά).
Η ρίζα οποιουδήποτε αριθμού είναι ίση με μια τέτοια τιμή, το τετράγωνο της οποίας αντιστοιχεί στη ρίζα. Στη γλώσσα των μαθηματικών, αυτός ο ορισμός θα μοιάζει με αυτό: √x = y αν y 2 = x.
Η ρίζα ενός θετικού αριθμού (x > 0) είναι επίσης θετικός αριθμός (y > 0), αλλά αν πάρετε τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Ακολουθούν δύο απλά παραδείγματα:
√9 = 3 γιατί 3 2 = 9; √(-9) = 3i αφού i 2 = -1.
Ο επαναληπτικός τύπος του Heron για την εύρεση των τιμών των τετραγωνικών ριζών
Τα παραπάνω παραδείγματα είναι πολύ απλά και ο υπολογισμός των ριζών σε αυτά δεν είναι δύσκολος. Οι δυσκολίες αρχίζουν να εμφανίζονται ήδη όταν βρίσκουμε τις τιμές της ρίζας για οποιαδήποτε τιμή που δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο φυσικός αριθμός, για παράδειγμα √10, √11, √12, √13, για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι στην πράξη είναι απαραίτητο να βρούμε ρίζες για μη ακέραιους αριθμούς: για παράδειγμα √(12.15), √(8.5) και ούτω καθεξής.
Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις ισχύει ειδική μέθοδοςυπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα. Επί του παρόντος, πολλές τέτοιες μέθοδοι είναι γνωστές: για παράδειγμα, επέκταση σε μια σειρά Taylor, διαίρεση με στήλη και μερικές άλλες. Από όλες τις γνωστές μεθόδους, ίσως η πιο απλή και αποτελεσματική είναι η χρήση του επαναληπτικού τύπου του Heron, ο οποίος είναι επίσης γνωστός ως Βαβυλωνιακή μέθοδος για τον προσδιορισμό των τετραγωνικών ριζών (υπάρχουν στοιχεία ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι τη χρησιμοποιούσαν στους πρακτικούς υπολογισμούς τους).
Ας είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή του √x. Ο τύπος για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας είναι ο εξής:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), όπου lim n->∞ (a n) => x.
Ας αποκρυπτογραφήσουμε αυτή τη μαθηματική σημειογραφία. Για να υπολογίσετε το √x, θα πρέπει να πάρετε έναν αριθμό α 0 (μπορεί να είναι αυθαίρετος, αλλά για να πάρετε γρήγορα το αποτέλεσμα, θα πρέπει να τον επιλέξετε έτσι ώστε το (a 0) 2 να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο x. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε τον με τον καθορισμένο τύπος για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας και πάρτε έναν νέο αριθμό α 1, ο οποίος θα είναι ήδη πιο κοντά στην επιθυμητή τιμή. Μετά από αυτό, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε ένα 1 στην παράσταση και να πάρετε ένα 2. Αυτή η διαδικασία θα πρέπει να επαναληφθεί έως ότου επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια.
Ένα παράδειγμα εφαρμογής του επαναληπτικού τύπου του Heron
Ο αλγόριθμος που περιγράφεται παραπάνω για την απόκτηση της τετραγωνικής ρίζας κάποιου δεδομένου αριθμού μπορεί να ακούγεται αρκετά περίπλοκος και μπερδεμένος για πολλούς, αλλά στην πραγματικότητα όλα αποδεικνύονται πολύ πιο απλά, καθώς αυτός ο τύπος συγκλίνει πολύ γρήγορα (ειδικά αν τυχερός αριθμόςα0).
Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα: είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το √11. Επιλέγουμε ένα 0 \u003d 3, αφού το 3 2 \u003d 9, το οποίο είναι πιο κοντά στο 11 από το 4 2 \u003d 16. Αντικαθιστώντας τον τύπο, παίρνουμε:
a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;
a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;
a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.
Δεν έχει νόημα να συνεχίσουμε τους υπολογισμούς, αφού διαπιστώσαμε ότι το 2 και το 3 αρχίζουν να διαφέρουν μόνο στο 5ο δεκαδικό ψηφίο. Έτσι, αρκούσε να εφαρμόσουμε τον τύπο μόνο 2 φορές για να υπολογίσουμε το √11 με ακρίβεια 0,0001.
Επί του παρόντος, οι αριθμομηχανές και οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται ευρέως για τον υπολογισμό των ριζών, ωστόσο, είναι χρήσιμο να θυμάστε τον σημειωμένο τύπο για να μπορείτε να υπολογίσετε με μη αυτόματο τρόπο την ακριβή τους τιμή.
Εξισώσεις δεύτερης τάξης
Η κατανόηση του τι είναι τετραγωνική ρίζα και η ικανότητα υπολογισμού της χρησιμοποιείται κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. Αυτές οι εξισώσεις είναι ισότητες με έναν άγνωστο, η γενική μορφή του οποίου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Εδώ τα c, b και a είναι ορισμένοι αριθμοί και το a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν και οι τιμές των c και b μπορεί να είναι εντελώς αυθαίρετες, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός.
Οποιεσδήποτε τιμές του x ικανοποιούν την ισότητα που υποδεικνύεται στο σχήμα ονομάζονται ρίζες του (αυτή η έννοια δεν πρέπει να συγχέεται με την τετραγωνική ρίζα √). Εφόσον η εξίσωση που εξετάζουμε έχει τη 2η τάξη (x 2), τότε δεν μπορούν να υπάρχουν περισσότερες ρίζες για αυτήν από δύο αριθμούς. Θα εξετάσουμε αργότερα στο άρθρο πώς να βρείτε αυτές τις ρίζες.
Εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης (τύπος)
Αυτή η μέθοδος επίλυσης του τύπου της ισότητας που εξετάζεται ονομάζεται επίσης καθολική, ή μέθοδος μέσω της διάκρισης. Μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιεσδήποτε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Ο τύπος για τη διάκριση και τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης έχει ως εξής:
Μπορεί να φανεί από αυτό ότι οι ρίζες εξαρτώνται από την τιμή καθενός από τους τρεις συντελεστές της εξίσωσης. Επιπλέον, ο υπολογισμός του x 1 διαφέρει από τον υπολογισμό του x 2 μόνο από το πρόσημο μπροστά από την τετραγωνική ρίζα. Η ριζική έκφραση, η οποία είναι ίση με b 2 - 4ac, δεν είναι τίποτα άλλο από τη διάκριση της θεωρούμενης ισότητας. Η διάκριση στον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης παίζει σημαντικός ρόλος, γιατί καθορίζει τον αριθμό και το είδος των λύσεων. Έτσι, εάν είναι μηδέν, τότε θα υπάρχει μόνο μία λύση, εάν είναι θετική, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες και, τέλος, μια αρνητική διάκριση οδηγεί σε δύο μιγαδικές ρίζες x 1 και x 2.
Το θεώρημα του Vieta ή κάποιες ιδιότητες των ριζών εξισώσεων δεύτερης τάξης
Στα τέλη του 16ου αιώνα, ένας από τους ιδρυτές της σύγχρονης άλγεβρας, ένας Γάλλος, που μελετούσε τις εξισώσεις δεύτερης τάξης, μπόρεσε να αποκτήσει τις ιδιότητες των ριζών της. Μαθηματικά, μπορούν να γραφτούν ως εξής:
x 1 + x 2 = -b / a και x 1 * x 2 = c / a.
Και οι δύο ισότητες μπορούν εύκολα να ληφθούν από όλους· για αυτό, είναι απαραίτητο μόνο να εκτελεστούν οι κατάλληλες μαθηματικές πράξεις με τις ρίζες που λαμβάνονται μέσω ενός τύπου με διάκριση.
Ο συνδυασμός αυτών των δύο εκφράσεων μπορεί δικαίως να ονομαστεί ο δεύτερος τύπος των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης, που καθιστά δυνατή την εικασία των λύσεών της χωρίς τη χρήση της διάκρισης. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι παρόλο που και οι δύο εκφράσεις είναι πάντα έγκυρες, είναι βολικό να τις χρησιμοποιήσετε για να λύσετε μια εξίσωση μόνο εάν μπορεί να συνυπολογιστεί.
Το έργο της εμπέδωσης της αποκτηθείσας γνώσης
Θα αποφασίσουμε μαθηματικό πρόβλημα, στο οποίο θα δείξουμε όλες τις τεχνικές που συζητούνται στο άρθρο. Οι συνθήκες του προβλήματος είναι οι εξής: πρέπει να βρείτε δύο αριθμούς για τους οποίους το γινόμενο είναι -13 και το άθροισμα είναι 4.
Αυτή η συνθήκη θυμίζει αμέσως το θεώρημα του Vieta, χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών και το γινόμενο τους, γράφουμε:
x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;
x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.
Υποθέτοντας a = 1, τότε b = -4 και c = -13. Αυτοί οι συντελεστές μας επιτρέπουν να συνθέσουμε μια εξίσωση δεύτερης τάξης:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο με το διακριτικό, παίρνουμε τις ακόλουθες ρίζες:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Δηλαδή, η εργασία περιορίστηκε στην εύρεση του αριθμού √68. Σημειώστε ότι 68 = 4 * 17, τότε, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε: √68 = 2√17.
Τώρα χρησιμοποιούμε τον θεωρούμενο τύπο τετραγωνικής ρίζας: a 0 \u003d 4, στη συνέχεια:
a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;
a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.
Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε το 3 γιατί οι τιμές που βρέθηκαν διαφέρουν μόνο κατά 0,02. Έτσι, √68 = 8,246. Αντικαθιστώντας το στον τύπο για x 1,2, παίρνουμε:
x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 και x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.
Όπως μπορείτε να δείτε, το άθροισμα των αριθμών που βρέθηκαν είναι πραγματικά ίσο με 4, αλλά αν βρείτε το γινόμενο τους, τότε θα είναι ίσο με -12,999, που ικανοποιεί την συνθήκη του προβλήματος με ακρίβεια 0,001.
Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")
Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων
Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει? Σε όρο τετραγωνική εξίσωσηλέξη-κλειδί είναι "τετράγωνο".Σημαίνει ότι στην εξίσωση Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Εκτός από αυτό, στην εξίσωση μπορεί να υπάρχει (ή μπορεί να μην υπάρχει!) Μόλις x (στο πρώτο βαθμό) και μόνο ένας αριθμός (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν x σε βαθμό μεγαλύτερο από δύο.
Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:
Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ΕΝΑ- κάθε άλλο παρά μηδέν. Για παράδειγμα:
Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4
Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2
Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18
Λοιπόν, καταλαβαίνεις την ιδέα...
Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, στα αριστερά, υπάρχει πλήρες σετμέλη. x στο τετράγωνο με τον συντελεστή ΕΝΑ, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σιΚαι ελεύθερο μέλος του
Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρης.
Κι αν σι= 0, τι θα πάρουμε; Εχουμε Το Χ θα εξαφανιστεί στον πρώτο βαθμό.Αυτό συμβαίνει από τον πολλαπλασιασμό με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Και ούτω καθεξής. Και αν και οι δύο συντελεστές σιΚαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Τέτοιες εξισώσεις, όπου κάτι λείπει, λέγονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.
Με την ευκαιρία γιατί ΕΝΑδεν μπορεί να είναι μηδέν; Και αντικαθιστάς ΕΝΑμηδέν.) Το Χ στο τετράγωνο θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και γίνεται διαφορετικά...
Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.
Λύση τετραγωνικών εξισώσεων.
Λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.
Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς απλούς κανόνες. Το πρώτο βήμα είναι να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση τυπική όψη, δηλ. στη θέα:
Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ΕΝΑ, σιΚαι ντο.
Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από την τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Υποκατάστατο με τα σημάδια σου! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:
ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ γράφουμε:
Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:
Αυτή είναι η απάντηση.
Όλα είναι πολύ απλά. Και τι νομίζεις, δεν μπορείς να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (που πρέπει να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Εδώ, αποθηκεύεται μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Ετσι κάνε το!
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:
Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1
Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.
Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα πέσει απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:
Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να ζωγραφίσεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο φαίνεται. Δοκίμασέ το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Ποιο είναι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να βάψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Απλώς θα αποδειχθεί σωστό. Ειδικά αν εφαρμόζετε πρακτικές τεχνικές, οι οποίες περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα θα λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!
Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:
Το ξέρατε;) Ναι! Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.
Λύση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.
Μπορούν επίσης να λυθούν με τον γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι είναι ίσο εδώ α, β και γ.
Συνειδητοποίησα? Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ΕΝΑ ντο? Δεν υπάρχει καθόλου! Λοιπόν, ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο αντί για ντο,και όλα θα πάνε καλά για εμάς. Ομοίως με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο μηδέν δεν έχουμε εδώ Με, ΕΝΑ σι !
Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο εύκολα. Χωρίς καμία φόρμουλα. Σκεφτείτε το πρώτο ημιτελής εξίσωση. Τι μπορεί να γίνει στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.
Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν, και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν! Δεν πιστεύεις; Λοιπόν, καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δώσουν μηδέν!
Δεν δουλεύει? Κάτι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x 1 = 0, x 2 = 4.
Ολα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο ταιριάζουν. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τον γενικό τύπο. Σημειώνω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - είναι απολύτως αδιάφορο. Εύκολο να γράψεις με τη σειρά x 1- όποιο είναι λιγότερο x 2- αυτό που είναι περισσότερο.
Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί εύκολα. Μεταφορά 9 σε σωστη πλευρα. Παίρνουμε:
Απομένει να εξαγάγουμε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Παίρνω:
επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.
Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε βγάζοντας το Χ από αγκύλες, είτε απλώς μεταφέροντας τον αριθμό στα δεξιά, ακολουθούμενο από εξαγωγή της ρίζας.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις μεθόδους. Απλά επειδή στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από το Χ, κάτι που είναι κατά κάποιο τρόπο ακατανόητο, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες ...
Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.
Μαγική λέξη διακριτική ! Ένας σπάνιος μαθητής λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «αποφασίστε μέσω του διακριτικού» είναι καθησυχαστική και καθησυχαστική. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένουμε κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και απροβλημάτιστο στον χειρισμό.) Σας θυμίζω τα περισσότερα γενικός τύποςγια λύσεις όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:
Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Η διάκριση συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:
D = b 2 - 4ac
Και τι το ιδιαίτερο έχει αυτή η έκφραση; Γιατί αξίζει ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι έννοια της διάκρισης;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν ονομάζουν συγκεκριμένα ... Γράμματα και γράμματα.
Το θέμα είναι αυτό. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.
1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή άσχημα είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται κατ' αρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.
2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ενιαία ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.
3. Η διάκριση είναι αρνητική.Ένας αρνητικός αριθμός δεν παίρνει την τετραγωνική ρίζα. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.
Για να είμαι ειλικρινής, στο απλή λύσητετραγωνικές εξισώσεις, δεν απαιτείται ιδιαίτερα η έννοια του διακριτικού. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και θεωρούμε. Εκεί όλα αποδεικνύονται από μόνα τους, και δύο ρίζες, και μία, και όχι μία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και διακριτικός τύποςόχι αρκετά. Ειδικά - σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικές για το GIA και την Ενιαία Κρατική Εξέταση!)
Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθε, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρετε πώς να αναγνωρίζετε σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Το κατάλαβες αυτό λέξη-κλειδίΕδώ - προσεχτικά?
Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Αυτά ακριβώς που οφείλονται σε απροσεξία… Για τα οποία είναι επώδυνο και προσβλητικό…
Πρώτη υποδοχή
. Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού για να τη φέρετε σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:
Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:
Και πάλι, μην βιαστείτε! Το μείον πριν από το x στο τετράγωνο μπορεί να σας αναστατώσει πολύ. Το να το ξεχάσεις είναι εύκολο... Ξεφορτώσου το μείον. Πως? Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.
Δεύτερη υποδοχή. Ελέγξτε τις ρίζες σας! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μην ανησυχείς, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτή με την οποία καταγράψαμε τον τύπο των ριζών. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ελέγξτε τις ρίζες εύκολα. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Θα πρέπει να λάβετε δωρεάν όρο, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Προσοχή, όχι 2, αλλά -2! ελεύθερο μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν λειτούργησε, σημαίνει ότι έχουν ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για ένα σφάλμα.
Εάν λειτούργησε, πρέπει να διπλώσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Θα πρέπει να είναι μια αναλογία σιΜε απεναντι απο
σημάδι. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το x, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρξουν λιγότερα λάθη.
Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση επί κοινό παρονομαστή, όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς λύνουμε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, λάθη, για κάποιο λόγο, ανεβείτε ...
Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα ένα κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα για απλοποίηση. Σας παρακαλούμε! Να τος.
Για να μην μπερδευτούμε στα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:
Αυτό είναι όλο! Το να αποφασίζεις είναι διασκεδαστικό!
Ας ανακεφαλαιώσουμε λοιπόν το θέμα.
1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.
2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.
3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.
4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής για αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!
Τώρα μπορείτε να αποφασίσετε.)
Επίλυση εξισώσεων:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Απαντήσεις (σε αταξία):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5
x - οποιοσδήποτε αριθμός
x 1 = -3
x 2 = 3
χωρίς λύσεις
x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5
Ταιριάζουν όλα; Εξαιρετική! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι δικές σας πονοκέφαλο. Τα τρία πρώτα βγήκαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.
Δεν λειτουργεί αρκετά; Ή δεν λειτουργεί καθόλου; Τότε θα σας βοηθήσει η Ενότητα 555. Εκεί, όλα αυτά τα παραδείγματα ταξινομούνται κατά οστά. Επίδειξη κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, περιγράφεται και η εφαρμογή πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)
μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Πρώτο επίπεδο
Τετραγωνικές εξισώσεις. Περιεκτικός οδηγός (2019)
Στον όρο «τετραγωνική εξίσωση» η λέξη κλειδί είναι «τετραγωνική». Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει απαραίτητα να περιέχει μια μεταβλητή (το ίδιο X) στο τετράγωνο, και ταυτόχρονα δεν πρέπει να υπάρχουν Xs στον τρίτο (ή μεγαλύτερο) βαθμό.
Η λύση πολλών εξισώσεων ανάγεται στη λύση τετραγωνικών εξισώσεων.
Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση, και όχι κάποια άλλη.
Παράδειγμα 1
Απαλλαγείτε από τον παρονομαστή και πολλαπλασιάστε κάθε όρο της εξίσωσης με
Ας μεταφέρουμε τα πάντα στο αριστερή πλευράκαι τακτοποιήστε τους όρους σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του x
Τώρα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική!
Παράδειγμα 2
Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:
Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετράγωνο!
Παράδειγμα 3
Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:
Τρομακτικός? Η τέταρτη και δεύτερη μοίρα ... Ωστόσο, αν κάνουμε αντικατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:
Παράδειγμα 4
Φαίνεται να είναι, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:
Βλέπετε, έχει συρρικνωθεί - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!
Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:
Παραδείγματα:
Απαντήσεις:
- τετράγωνο;
- τετράγωνο;
- όχι τετράγωνο?
- όχι τετράγωνο?
- όχι τετράγωνο?
- τετράγωνο;
- όχι τετράγωνο?
- τετράγωνο.
Οι μαθηματικοί χωρίζουν υπό όρους όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις στους ακόλουθους τύπους:
- Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, όπως και ο ελεύθερος όρος c, δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, υπάρχουν δεδομένοςείναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένος!)
- Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:
Είναι ελλιπείς γιατί λείπει κάποιο στοιχείο από αυτά. Αλλά η εξίσωση πρέπει πάντα να περιέχει x τετράγωνο !!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον μια τετραγωνική, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.
Γιατί σκέφτηκαν μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Μια τέτοια διαίρεση οφείλεται στις μεθόδους λύσης. Ας εξετάσουμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.
Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων
Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο απλές!
Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις είναι των τύπων:
- , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
- , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
- , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.
1. i. Επειδή ξέρουμε πώς να παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα, ας εκφράσουμε από αυτήν την εξίσωση
Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει πάντα να γνωρίζετε και να θυμάστε ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.
Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 5:
Λύστε την Εξίσωση
Τώρα μένει να εξαγάγετε τη ρίζα από το αριστερό και το δεξί μέρος. Τελικά, θυμάστε πώς να εξαγάγετε τις ρίζες;
Απάντηση:
Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!!!
Παράδειγμα 6:
Λύστε την Εξίσωση
Απάντηση:
Παράδειγμα 7:
Λύστε την Εξίσωση
Ω! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση
χωρίς ρίζες!
Για τέτοιες εξισώσεις στις οποίες δεν υπάρχουν ρίζες, οι μαθηματικοί βρήκαν ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Απάντηση:
Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:
Λύστε την Εξίσωση
Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:
Ετσι,
Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Απάντηση:
Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:
Εδώ θα κάνουμε χωρίς παραδείγματα.
Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων
Υπενθυμίζουμε ότι η πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου
Η επίλυση πλήρους τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο περίπλοκη (λίγο λίγο) από αυτές που δίνονται.
Θυμάμαι, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.
Οι υπόλοιπες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε πιο γρήγορα, αλλά αν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κυριαρχήστε τη λύση χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό.
1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη διάκριση.
Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι πολύ απλή, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους.
Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα Ιδιαίτερη προσοχήσχεδιάστε ένα βήμα. Το διακριτικό () μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.
- Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο μια ρίζα.
- Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 9:
Λύστε την Εξίσωση
Βήμα 1παραλείπω.
Βήμα 2
Εύρεση του διαχωριστικού:
Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Βήμα 3
Απάντηση:
Παράδειγμα 10:
Λύστε την Εξίσωση
Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.
Βήμα 2
Εύρεση του διαχωριστικού:
Άρα η εξίσωση έχει μία ρίζα.
Απάντηση:
Παράδειγμα 11:
Λύστε την Εξίσωση
Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.
Βήμα 2
Εύρεση του διαχωριστικού:
Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το διακριτικό. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.
Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.
Απάντηση:χωρίς ρίζες
2. Λύση τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση του θεωρήματος Vieta.
Αν θυμάστε, τότε υπάρχει ένας τέτοιος τύπος εξισώσεων που ονομάζονται μειωμένες (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):
Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:
Το άθροισμα των ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.
Παράδειγμα 12:
Λύστε την Εξίσωση
Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, επειδή .
Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:
Και το προϊόν είναι:
Ας δημιουργήσουμε και λύσουμε το σύστημα:
- Και. Το άθροισμα είναι?
- Και. Το άθροισμα είναι?
- Και. Το ποσό είναι ίσο.
και είναι η λύση του συστήματος:
Απάντηση: ; .
Παράδειγμα 13:
Λύστε την Εξίσωση
Απάντηση:
Παράδειγμα 14:
Λύστε την Εξίσωση
Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:
Απάντηση:
ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;
Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, επιπλέον.
Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ΕΝΑ - ελεύθερο μέλος.
Γιατί; Διότι αν, η εξίσωση θα γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.
Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την εξίσωση κοπράνων ονομάζεται ημιτελής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή, η εξίσωση είναι πλήρης.
Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων
Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:
Αρχικά, θα αναλύσουμε τις μεθόδους επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.
Μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι τύποι εξισώσεων:
I. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.
II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
Τώρα εξετάστε τη λύση καθενός από αυτούς τους υποτύπους.
Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:
Ένας αριθμός στο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:
αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
αν έχουμε δύο ρίζες
Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.
Παραδείγματα:
Λύσεις:
Απάντηση:
Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!
Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση
χωρίς ρίζες.
Για να γράψουμε εν συντομία ότι το πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το κενό εικονίδιο συνόλου.
Απάντηση:
Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.
Απάντηση:
Ας βγάλουμε κοινός πολλαπλασιαστήςγια αγκύλες:
Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:
Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.
Παράδειγμα:
Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και βρίσκουμε τις ρίζες:
Απάντηση:
Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:
1. Διακριτικός
Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.
Προσέξατε τη ρίζα του διακριτικού στον τύπο ρίζας; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνω? Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.
- Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα:
- Αν, τότε η εξίσωση έχει την ίδια ρίζα, αλλά στην πραγματικότητα, μία ρίζα:
Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.
- Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Γιατί είναι δυνατόν διαφορετικό ποσόρίζες? Ας στραφούμε στο γεωμετρική αίσθησητετραγωνική εξίσωση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:
Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, η οποία είναι μια τετραγωνική εξίσωση, . Και αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα x (άξονα). Η παραβολή μπορεί να μην διασχίζει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή σε δύο σημεία.
Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε τα κλαδιά της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, και αν - τότε προς τα κάτω.
Παραδείγματα:
Λύσεις:
Απάντηση:
Απάντηση: .
Απάντηση:
Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.
Απάντηση: .
2. Θεώρημα Vieta
Η χρήση του θεωρήματος Vieta είναι πολύ εύκολη: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.
Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις ().
Ας δούμε μερικά παραδείγματα:
Παράδειγμα #1:
Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .
Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:
Και το προϊόν είναι:
Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο, και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:
- Και. Το άθροισμα είναι?
- Και. Το άθροισμα είναι?
- Και. Το ποσό είναι ίσο.
και είναι η λύση του συστήματος:
Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.
Απάντηση: ; .
Παράδειγμα #2:
Λύση:
Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και μετά ελέγχουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:
και: δίνω συνολικά.
και: δίνω συνολικά. Για να το αποκτήσετε, απλά πρέπει να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το έργο.
Απάντηση:
Παράδειγμα #3:
Λύση:
Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών - ένας αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Άρα το άθροισμα των ριζών είναι διαφορές των ενοτήτων τους.
Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:
και: η διαφορά τους είναι - δεν είναι κατάλληλη.
και: - ακατάλληλο.
και: - ακατάλληλο.
και: - κατάλληλο. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, τότε η ρίζα, που είναι μικρότερη σε απόλυτη τιμή, πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:
Απάντηση:
Παράδειγμα #4:
Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:
Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.
Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, καθορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:
Προφανώς, μόνο ρίζες και είναι κατάλληλα για την πρώτη συνθήκη:
Απάντηση:
Παράδειγμα #5:
Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:
Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες είναι μείον.
Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με:
Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.
Απάντηση:
Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό - να εφεύρουμε ρίζες από το στόμα, αντί να μετράμε αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.
Αλλά το θεώρημα Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να είναι επικερδής η χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες στον αυτοματισμό. Και για αυτό, λύστε άλλα πέντε παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα:
Λύσεις για εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:
Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:
Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το προϊόν:
Ακατάλληλο γιατί το ποσό?
: το ποσό είναι αυτό που χρειάζεστε.
Απάντηση: ; .
Εργασία 2.
Και πάλι, το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να λειτουργεί, αλλά το γινόμενο είναι ίσο.
Επειδή όμως δεν έπρεπε, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).
Απάντηση: ; .
Εργασία 3.
Χμ... Πού είναι;
Είναι απαραίτητο να μεταφέρετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:
Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.
Ναι, σταματήστε! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις. Άρα πρώτα πρέπει να φέρεις την εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να το αναφέρετε, αφήστε αυτήν την ιδέα και λύστε τη με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να φέρετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή προπορευόμενου ίσο με:
Εξαιρετική. Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο.
Είναι πιο εύκολο να το μαζέψεις εδώ: τελικά - έναν πρώτο αριθμό (συγγνώμη για την ταυτολογία).
Απάντηση: ; .
Εργασία 4.
Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός. Τι το ιδιαίτερο έχει; Και το γεγονός ότι οι ρίζες θα είναι διαφορετικών ζωδίων. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά μεταξύ των ενοτήτων τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά το γινόμενο.
Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι με ένα μείον. Το θεώρημα του Βιέτα μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.
Απάντηση: ; .
Εργασία 5.
Τι πρέπει να γίνει πρώτα; Σωστά, δώστε την εξίσωση:
Και πάλι: επιλέγουμε τους συντελεστές του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:
Οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Οι οποίες? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι με ένα μείον θα υπάρχει μεγαλύτερη ρίζα.
Απάντηση: ; .
Επιτρέψτε μου να συνοψίσω:
- Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις.
- Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
- Εάν η εξίσωση δεν δίνεται ή δεν βρέθηκε κατάλληλο ζεύγος παραγόντων του ελεύθερου όρου, τότε δεν υπάρχουν ακέραιες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διαχωριστή).
3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου
Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται ως όροι από τους τύπους του συντετμημένου πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αλλαγή των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ημιτελής τετραγωνική εξίσωση του τύπου.
Για παράδειγμα:
Παράδειγμα 1:
Λύστε την εξίσωση: .
Λύση:
Απάντηση:
Παράδειγμα 2:
Λύστε την εξίσωση: .
Λύση:
Απάντηση:
ΣΕ γενική εικόναο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:
Αυτό υπονοεί: .
Δεν σου θυμίζει τίποτα; Είναι η διάκριση! Ακριβώς έτσι προέκυψε ο τύπος διάκρισης.
ΤΕΤΑΡΧΟΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ
Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, είναι ο ελεύθερος όρος.
Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.
Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:
- αν ο συντελεστής, η εξίσωση έχει τη μορφή:
- αν είναι ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
- αν και, η εξίσωση έχει τη μορφή: .
1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων
1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :
1) Εκφράστε το άγνωστο:
2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:
- αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
- αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :
1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,
2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:
1.3. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου:
Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μία μόνο ρίζα: .
2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου
2.1. Λύση με χρήση της διάκρισης
1) Ας φέρουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή: ,
2) Υπολογίστε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:
3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:
- αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
- αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
- αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.
2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta
Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης (εξίσωση της μορφής, όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ΕΝΑ.
2.3. Πλήρες τετράγωνο λύση