ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ
Σετσίν Μιχαήλ Αλεξάντροβιτς
Μικρή Ακαδημία Επιστημών για Φοιτητές της Δημοκρατίας του Καζακστάν "Seeker"
MBOU "Σοβιετικό γυμνάσιο Νο. 1", τάξη 11, πόλη. Σοβιετική περιφέρεια Σοβιέτ
Gunko Lyudmila Dmitrievna, δάσκαλος του MBOU "Σοβιετικό γυμνάσιο Νο. 1"
Συνοικία Σοβιέτ
Στόχος της εργασίας:μελέτη του μηχανισμού λύσης λογαριθμικές ανισότητες C3 χρησιμοποιώντας μη τυποποιημένες μεθόδους, ανίχνευση ενδιαφέροντα γεγονόταλογάριθμος.
Αντικείμενο μελέτης:
3) Μάθετε να επιλύετε συγκεκριμένες λογαριθμικές ανισότητες C3 χρησιμοποιώντας μη τυπικές μεθόδους.
Αποτελέσματα:
Περιεχόμενο
Εισαγωγή……………………………………………………………………………….4
Κεφάλαιο 1. Ιστορικό…………………………………………………………………….
Κεφάλαιο 2. Συλλογή λογαριθμικών ανισώσεων ……………………………… 7
2.1. Ισοδύναμες μεταβάσεις και η γενικευμένη μέθοδος διαστημάτων……………… 7
2.2. Μέθοδος εξορθολογισμού …………………………………………………… 15
2.3. Μη τυπική αντικατάσταση………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.4. Εργασίες με παγίδες………………………………………………………… 27
Συμπέρασμα……………………………………………………………………… 30
Βιβλιογραφία……………………………………………………………………. 31
Εισαγωγή
Είμαι στην 11η δημοτικού και σκοπεύω να μπω σε ένα πανεπιστήμιο όπου τα μαθηματικά είναι βασικό μάθημα. Και γι' αυτό εργάζομαι πολύ με τις εργασίες του μέρους Γ. Στην εργασία Γ3, πρέπει να λύσετε μια μη τυπική ανισότητα ή ένα σύστημα ανισώσεων, που συνήθως σχετίζεται με λογάριθμους. Κατά την προετοιμασία για την εξέταση, αντιμετώπισα το πρόβλημα της έλλειψης μεθόδων και τεχνικών για την επίλυση των λογαριθμικών ανισοτήτων εξέτασης που προσφέρονται στο C3. Μέθοδοι που μελετώνται σε σχολικό πρόγραμμα σπουδώνσε αυτό το θέμα, μην παρέχουν βάση για την επίλυση εργασιών C3. Η καθηγήτρια μαθηματικών μου πρότεινε να δουλέψω με τις εργασίες Γ3 μόνη μου υπό την καθοδήγησή της. Επιπλέον, με ενδιέφερε το ερώτημα: υπάρχουν λογάριθμοι στη ζωή μας;
Έχοντας αυτό υπόψη, επιλέχθηκε το θέμα:
"Λογαριθμικές ανισότητες στην εξέταση"
Στόχος της εργασίας:μελέτη του μηχανισμού επίλυσης προβλημάτων C3 με χρήση μη τυπικών μεθόδων, αποκαλύπτοντας ενδιαφέροντα στοιχεία για τον λογάριθμο.
Αντικείμενο μελέτης:
1) Βρείτε τις απαραίτητες πληροφορίες σχετικά με μη τυπικές μεθόδους επίλυσης λογαριθμικών ανισώσεων.
2) Βρείτε επιπλέον πληροφορίες για τους λογάριθμους.
3) Μάθετε να επιλύετε συγκεκριμένα προβλήματα C3 χρησιμοποιώντας μη τυπικές μεθόδους.
Αποτελέσματα:
Η πρακτική σημασία έγκειται στην επέκταση της συσκευής για την επίλυση προβλημάτων C3. Αυτό το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ορισμένα μαθήματα, για διεξαγωγή κύκλων, προαιρετικά μαθήματα μαθηματικών.
Το προϊόν του έργου θα είναι η συλλογή «Λογαριθμικές ανισότητες C3 με λύσεις».
Κεφάλαιο 1. Ιστορικό
Κατά τον 16ο αιώνα, ο αριθμός των κατά προσέγγιση υπολογισμών αυξήθηκε γρήγορα, κυρίως στην αστρονομία. Η βελτίωση των οργάνων, η μελέτη των κινήσεων των πλανητών και άλλες εργασίες απαιτούσαν κολοσσιαίους, μερικές φορές πολλά χρόνια, υπολογισμούς. Η αστρονομία απειλείται πραγματικός κίνδυνοςπνίγονται σε ανεκπλήρωτους υπολογισμούς. Δυσκολίες προέκυψαν και σε άλλους τομείς, για παράδειγμα, στον ασφαλιστικό κλάδο, χρειάζονταν πίνακες σύνθετων τόκων διαφορετικές έννοιεςτοις εκατό. Η κύρια δυσκολία ήταν ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση πολυψήφιους αριθμούς, ιδιαίτερα τριγωνομετρικά μεγέθη.
Η ανακάλυψη των λογαρίθμων βασίστηκε στις γνωστές ιδιότητες των προόδων μέχρι το τέλος του 16ου αιώνα. Σχετικά με τη σύνδεση μεταξύ των όρων της γεωμετρικής προόδου q, q2, q3, ... και αριθμητική πρόοδοςοι δείκτες τους είναι 1, 2, 3, ... Ο Αρχιμήδης μίλησε στον «Ψαλμίτη». Μια άλλη προϋπόθεση ήταν η επέκταση της έννοιας του βαθμού σε αρνητικούς και κλασματικούς εκθέτες. Πολλοί συγγραφείς έχουν επισημάνει ότι ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση, η αύξηση σε δύναμη και η εξαγωγή μιας ρίζας αντιστοιχούν εκθετικά στην αριθμητική - με την ίδια σειρά - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση.
Εδώ ήταν η ιδέα του λογάριθμου ως εκθέτη.
Στην ιστορία της ανάπτυξης του δόγματος των λογαρίθμων, έχουν περάσει αρκετά στάδια.
Στάδιο 1
Οι λογάριθμοι εφευρέθηκαν το αργότερο το 1594 ανεξάρτητα από τον Σκωτσέζο βαρόνο Napier (1550-1617) και δέκα χρόνια αργότερα από τον Ελβετό μηχανικό Burgi (1552-1632). Και οι δύο ήθελαν να παρέχουν ένα νέο βολικό μέσο αριθμητικών υπολογισμών, αν και προσέγγισαν αυτό το πρόβλημα με διαφορετικούς τρόπους. Ο Napier εξέφρασε κινηματικά τη λογαριθμική συνάρτηση και, ως εκ τούτου, μπήκε σε νέα περιοχήθεωρία συναρτήσεων. Ο Bürgi παρέμεινε στη βάση της εξέτασης των διακριτών προόδων. Ωστόσο, ο ορισμός του λογάριθμου και για τα δύο δεν είναι παρόμοιος με τον σύγχρονο. Ο όρος «λογάριθμος» (logarithmus) ανήκει στον Napier. Προέκυψε από συνδυασμό ελληνικών λέξεων: logos - "σχέση" και ariqmo - "αριθμός", που σήμαινε "αριθμός σχέσεων". Αρχικά, ο Napier χρησιμοποίησε έναν διαφορετικό όρο: numeri artificiales - "τεχνητοί αριθμοί", σε αντίθεση με τα numeri naturalts - "φυσικοί αριθμοί".
Το 1615, σε μια συνομιλία με τον Henry Briggs (1561-1631), καθηγητή μαθηματικών στο Gresh College του Λονδίνου, ο Napier πρότεινε να ληφθεί μηδέν για τον λογάριθμο του ενός και 100 για τον λογάριθμο του δέκα, ή, όσο ισοδυναμεί, μόλις 1. Έτσι εμφανίστηκαν οι πρώτοι δεκαδικοί λογάριθμοι και οι πρώτοι δεκαδικοί λογάριθμοι. Αργότερα, οι πίνακες Briggs συμπληρώθηκαν από τον Ολλανδό βιβλιοπώλη και μαθηματικό Andrian Flakk (1600-1667). Ο Napier και ο Briggs, αν και έφτασαν στους λογάριθμους πριν από οποιονδήποτε άλλον, δημοσίευσαν τους πίνακές τους αργότερα από άλλους - το 1620. Τα σημάδια log και Log εισήχθησαν το 1624 από τον I. Kepler. Ο όρος «φυσικός λογάριθμος» εισήχθη από τον Mengoli το 1659, ακολουθούμενος από τον N. Mercator το 1668 και ο Λονδρέζος δάσκαλος John Spadel δημοσίευσε πίνακες φυσικών λογαρίθμων αριθμών από το 1 έως το 1000 με το όνομα «New Logarithms».
Στα ρωσικά, οι πρώτοι λογαριθμικοί πίνακες δημοσιεύθηκαν το 1703. Όμως σε όλους τους λογαριθμικούς πίνακες έγιναν λάθη στον υπολογισμό. Οι πρώτοι πίνακες χωρίς σφάλματα δημοσιεύτηκαν το 1857 στο Βερολίνο στην επεξεργασία του Γερμανού μαθηματικού K. Bremiker (1804-1877).
Στάδιο 2
Η περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας των λογαρίθμων συνδέεται με μια ευρύτερη εφαρμογή της αναλυτικής γεωμετρίας και του απειροελάχιστου λογισμού. Μέχρι εκείνη τη στιγμή, είχε εδραιωθεί η σύνδεση μεταξύ του τετραγωνισμού μιας ισόπλευρης υπερβολής και του φυσικού λογάριθμου. Η θεωρία των λογαρίθμων αυτής της περιόδου συνδέεται με τα ονόματα ορισμένων μαθηματικών.
Ο Γερμανός μαθηματικός, αστρονόμος και μηχανικός Nikolaus Mercator στο δοκίμιό του
Το "Logarithmotechnics" (1668) δίνει μια σειρά που δίνει την επέκταση του ln(x + 1) ως προς
δυνάμεις x:
Αυτή η έκφραση αντιστοιχεί ακριβώς στην πορεία της σκέψης του, αν και, φυσικά, δεν χρησιμοποίησε τα σημάδια δ, ..., αλλά πιο δυσκίνητα σύμβολα. Με την ανακάλυψη της λογαριθμικής σειράς άλλαξε η τεχνική για τον υπολογισμό των λογαρίθμων: άρχισαν να προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας άπειρες σειρές. Στις διαλέξεις του «Μαθηματικά Δημοτικού με το ΨΗΛΟΤΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟάποψη», διαβάστηκε το 1907-1908, ο F. Klein πρότεινε τη χρήση του τύπου ως σημείο εκκίνησης για την κατασκευή της θεωρίας των λογαρίθμων.
Στάδιο 3
Ορισμός λογαριθμική συνάρτησησε συνάρτηση με το αντίστροφο
εκθετική, ο λογάριθμος ως εκθέτης μιας δεδομένης βάσης
δεν διατυπώθηκε αμέσως. Το έργο του Leonhard Euler (1707-1783)
Το "Introduction to the analysis of infinitesimals" (1748) χρησίμευσε ως περαιτέρω
ανάπτυξη της θεωρίας της λογαριθμικής συνάρτησης. Ετσι,
Έχουν περάσει 134 χρόνια από τότε που εισήχθησαν για πρώτη φορά οι λογάριθμοι
(μετρώντας από το 1614) πριν οι μαθηματικοί καταλήξουν σε έναν ορισμό
την έννοια του λογάριθμου, που αποτελεί πλέον τη βάση του σχολικού μαθήματος.
Κεφάλαιο 2. Συλλογή λογαριθμικών ανισώσεων
2.1. Ισοδύναμες μεταβάσεις και η γενικευμένη μέθοδος διαστημάτων.
Ισοδύναμες μεταβάσεις
αν α > 1
αν 0 <
а <
1
Μέθοδος γενικευμένου διαστήματος
Αυτή η μέθοδοςπιο καθολική στην επίλυση ανισοτήτων σχεδόν οποιουδήποτε τύπου. Το σχέδιο λύσης μοιάζει με αυτό:
1. Φέρτε την ανισότητα σε μια τέτοια μορφή, όπου η συνάρτηση βρίσκεται στην αριστερή πλευρά 
, και 0 στα δεξιά.
2. Βρείτε το εύρος της συνάρτησης .
3. Να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης , δηλαδή να λύσετε την εξίσωση 
(και η επίλυση μιας εξίσωσης είναι συνήθως ευκολότερη από την επίλυση μιας ανισότητας).
4. Σχεδιάστε το πεδίο ορισμού και τα μηδενικά της συνάρτησης σε μια πραγματική γραμμή.
5. Προσδιορίστε τα σημάδια της συνάρτησης στα λαμβανόμενα διαστήματα.
6. Επιλέξτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει τις απαραίτητες τιμές και σημειώστε την απάντηση.
Παράδειγμα 1
Λύση:
Εφαρμόστε τη μέθοδο του διαστήματος
που
Για αυτές τις τιμές, όλες οι εκφράσεις κάτω από τα πρόσημα των λογαρίθμων είναι θετικές.
Απάντηση:
Παράδειγμα 2
Λύση:
1ος τρόπος . Το ODZ καθορίζεται από την ανισότητα Χ> 3. Λήψη λογαρίθμων για τέτοια Χστη βάση 10, παίρνουμε
Η τελευταία ανισότητα θα μπορούσε να λυθεί εφαρμόζοντας τους κανόνες αποσύνθεσης, δηλ. συγκρίνοντας τους παράγοντες με το μηδέν. Ωστόσο, σε αυτή η υπόθεσηείναι εύκολο να προσδιοριστούν τα διαστήματα σταθερότητας προσήμου μιας συνάρτησης
ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος διαστήματος.
Λειτουργία φά(Χ) = 2Χ(Χ- 3,5)lgǀ Χ- Το 3ǀ είναι συνεχές για Χ> 3 και εξαφανίζεται σε σημεία Χ 1 = 0, Χ 2 = 3,5, Χ 3 = 2, Χ 4 = 4. Έτσι, προσδιορίζουμε τα διαστήματα σταθερότητας της συνάρτησης φά(Χ):
Απάντηση:
2ος τρόπος . Ας εφαρμόσουμε τις ιδέες της μεθόδου των διαστημάτων απευθείας στην αρχική ανισότητα.
Για αυτό, υπενθυμίζουμε ότι οι εκφράσεις ένασι- έναγ και ( ένα - 1)(σι- 1) έχουν ένα σημάδι. Τότε η ανισότητά μας για Χ> 3 ισοδυναμεί με την ανισότητα
ή
Η τελευταία ανισότητα λύνεται με τη μέθοδο του διαστήματος
Απάντηση:
Παράδειγμα 3
Λύση:
Εφαρμόστε τη μέθοδο του διαστήματος
Απάντηση:
Παράδειγμα 4
Λύση:
Από 2 Χ 2 - 3Χ+ 3 > 0 για όλα τα πραγματικά Χ, Οτι
Για να λύσουμε τη δεύτερη ανισότητα, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του διαστήματος
Στην πρώτη ανισότητα, κάνουμε την αλλαγή
τότε φτάνουμε στην ανισότητα 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, που ικανοποιούν την ανισότητα -0,5< y < 1.
Από πού γιατί
παίρνουμε την ανισότητα
που πραγματοποιείται με Χ, για το οποίο 2 Χ 2 - 3Χ - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Τώρα, λαμβάνοντας υπόψη τη λύση της δεύτερης ανισότητας του συστήματος, τελικά παίρνουμε
Απάντηση:
Παράδειγμα 5
Λύση:
Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο συστημάτων
ή
Εφαρμόστε τη μέθοδο διαστήματος ή
Απάντηση:
Παράδειγμα 6
Λύση:
Η ανισότητα ισοδυναμεί με σύστημα
Αφήνω
Επειτα y > 0,
και η πρώτη ανισότητα
σύστημα παίρνει τη μορφή
ή, επέκταση
τετράγωνο τριώνυμο σε παράγοντες,
Εφαρμόζοντας τη μέθοδο του διαστήματος στην τελευταία ανισότητα,
βλέπουμε ότι οι λύσεις του ικανοποιούν την προϋπόθεση y> 0 θα είναι όλα y > 4.
Έτσι, η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύστημα:
Άρα, οι λύσεις της ανισότητας είναι όλες
2.2. μέθοδος εξορθολογισμού.
Προγενέστερη μέθοδοςο εξορθολογισμός της ανισότητας δεν λύθηκε, δεν ήταν γνωστός. Αυτό είναι το νέο σύγχρονο αποτελεσματική μέθοδοςλύσεις εκθετικών και λογαριθμικών ανισώσεων» (απόσπασμα από το βιβλίο της Kolesnikova S.I.)
Και ακόμα κι αν τον ήξερε ο δάσκαλος, υπήρχε φόβος - αλλά τον ξέρει ο ειδικός στη χρήση και γιατί δεν του δίνουν στο σχολείο; Υπήρχαν περιπτώσεις που ο δάσκαλος είπε στον μαθητή: "Πού το πήρες; Κάτσε - 2".
Τώρα η μέθοδος προωθείται παντού. Και για τους ειδικούς, υπάρχουν οδηγίες που σχετίζονται με αυτήν τη μέθοδο και στο "Οι πιο ολοκληρωμένες εκδόσεις των τυπικών επιλογών ..." στη λύση C3, χρησιμοποιείται αυτή η μέθοδος.
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΝΑΙ ΥΠΕΡΟΧΗ!
"Μαγικό τραπέζι"
Σε άλλες πηγές
Αν a >1 και b >1, μετά καταγράψτε a b >0 και (a -1)(b -1)>0;
Αν α > 1 και 0 αν 0<ένα<1 и b
>1, στη συνέχεια καταγράψτε ένα β<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
αν 0<ένα<1 и 00 και (a -1)(b -1)>0. Ο παραπάνω συλλογισμός είναι απλός, αλλά απλοποιεί αισθητά τη λύση των λογαριθμικών ανισώσεων. Παράδειγμα 4
αρχείο καταγραφής x (x 2 -3)<0
Λύση:
Παράδειγμα 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Λύση: Παράδειγμα 6
Για να λύσουμε αυτή την ανισότητα, γράφουμε (x-1-1) (x-1) αντί για τον παρονομαστή και το γινόμενο (x-1) (x-3-9 + x) αντί για τον αριθμητή. Παράδειγμα 7
Παράδειγμα 8
2.3. Μη τυπική αντικατάσταση. Παράδειγμα 1
Παράδειγμα 2
Παράδειγμα 3
Παράδειγμα 4
Παράδειγμα 5
Παράδειγμα 6
Παράδειγμα 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Ας κάνουμε την αντικατάσταση y=3 x -1; τότε αυτή η ανισότητα παίρνει τη μορφή log 4 log 0,25 Επειδή log 0,25 Ας κάνουμε μια αντικατάσταση t =log 4 y και πάρουμε την ανισότητα t 2 -2t +≥0, η λύση της οποίας είναι τα διαστήματα - Έτσι, για να βρούμε τις τιμές του y, έχουμε ένα σύνολο από δύο απλούστερες ανισότητες Επομένως, η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύνολο δύο εκθετικών ανισώσεων, Η λύση της πρώτης ανισότητας αυτού του συνόλου είναι το διάστημα 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Παράδειγμα 8
Λύση:
Η ανισότητα ισοδυναμεί με σύστημα Η λύση της δεύτερης ανισότητας, που καθορίζει το ODZ, θα είναι το σύνολο αυτών Χ,
για το οποίο Χ > 0.
Για να λύσουμε την πρώτη ανισότητα, κάνουμε την αλλαγή Τότε παίρνουμε την ανισότητα ή Το σύνολο των λύσεων της τελευταίας ανισότητας βρίσκεται με τη μέθοδο διαστήματα: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной Χ, παίρνουμε ή Πολλά από αυτά Χ, που ικανοποιούν την τελευταία ανισότητα ανήκει στην ODZ ( Χ> 0), επομένως, είναι μια λύση στο σύστημα, και ως εκ τούτου η αρχική ανισότητα. Απάντηση: 2.4. Εργασίες με παγίδες. Παράδειγμα 1
Λύση.Το ODZ της ανισότητας είναι όλα x που ικανοποιούν τη συνθήκη 0 Παράδειγμα 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Απάντηση. (0; 0,5) U .
Απάντηση :
(3;6)
.
= -ημερολόγιο 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , τότε ξαναγράφουμε την τελευταία ανισότητα ως 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Η λύση αυτής της συλλογής είναι τα διαστήματα 0<у≤2 и 8≤у<+.
δηλαδή αδρανή 
. Έτσι, η αρχική ανισότητα ισχύει για όλες τις τιμές του x από τα διαστήματα 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Επομένως, όλα τα x από το διάστημα 0
συμπέρασμα
Δεν ήταν εύκολο να βρεθούν ειδικές μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων C3 από μια μεγάλη ποικιλία διαφορετικών εκπαιδευτικών πηγών. Κατά τη διάρκεια της εργασίας που έγινε, μπόρεσα να μελετήσω μη τυπικές μεθόδους για την επίλυση σύνθετων λογαριθμικών ανισοτήτων. Αυτές είναι: οι ισοδύναμες μεταβάσεις και η γενικευμένη μέθοδος των διαστημάτων, η μέθοδος του εξορθολογισμού , μη τυπική αντικατάσταση , εργασίες με παγίδες στο ODZ. Αυτές οι μέθοδοι απουσιάζουν από το σχολικό πρόγραμμα.
Χρησιμοποιώντας διαφορετικές μεθόδους, έλυσα 27 ανισότητες που προσφέρονται στη ΧΡΗΣΗ στο μέρος Γ, δηλαδή το C3. Αυτές οι ανισότητες με λύσεις με μεθόδους αποτέλεσαν τη βάση της συλλογής «Λογαριθμικές ανισότητες C3 με λύσεις», που έγινε το προϊόν έργου της δραστηριότητάς μου. Η υπόθεση που έθεσα στην αρχή του έργου επιβεβαιώθηκε: Τα προβλήματα C3 μπορούν να λυθούν αποτελεσματικά εάν αυτές οι μέθοδοι είναι γνωστές.
Επιπλέον, ανακάλυψα ενδιαφέροντα στοιχεία για τους λογάριθμους. Ήταν ενδιαφέρον για μένα να το κάνω. Τα προϊόντα του έργου μου θα είναι χρήσιμα τόσο για μαθητές όσο και για καθηγητές.
Συμπεράσματα:
Έτσι, ο στόχος του έργου επιτυγχάνεται, το πρόβλημα λύνεται. Και απέκτησα την πιο ολοκληρωμένη και ευέλικτη εμπειρία σε δραστηριότητες έργου σε όλα τα στάδια της εργασίας. Κατά τη διάρκεια της εργασίας στο έργο, ο κύριος αναπτυξιακός μου αντίκτυπος ήταν στη νοητική ικανότητα, δραστηριότητες που σχετίζονται με λογικές νοητικές λειτουργίες, ανάπτυξη δημιουργικής ικανότητας, προσωπική πρωτοβουλία, υπευθυνότητα, επιμονή και δραστηριότητα.
Εγγύηση επιτυχίας κατά τη δημιουργία ενός ερευνητικού έργου για Έχω γίνει: σημαντική σχολική εμπειρία, ικανότητα εξαγωγής πληροφοριών από διάφορες πηγές, ελέγχου της αξιοπιστίας τους, κατάταξης ανάλογα με τη σημασία της.
Εκτός από την άμεση γνώση των μαθηματικών, επέκτεινε τις πρακτικές του δεξιότητες στον τομέα της πληροφορικής, απέκτησε νέες γνώσεις και εμπειρία στον τομέα της ψυχολογίας, δημιούργησε επαφές με συμμαθητές και έμαθε να συνεργάζεται με ενήλικες. Κατά τη διάρκεια των δραστηριοτήτων του έργου, αναπτύχθηκαν οργανωτικές, πνευματικές και επικοινωνιακές γενικές εκπαιδευτικές δεξιότητες και ικανότητες.
Βιβλιογραφία
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Συστήματα ανισοτήτων με μία μεταβλητή (τυπικές εργασίες Γ3).
2. Malkova A. G. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά.
3. S. S. Samarova, Λύση λογαριθμικών ανισώσεων.
4. Μαθηματικά. Συλλογή εκπαιδευτικών εργασιών που επιμελήθηκε ο A.L. Semyonov και I.V. Γιασχένκο. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 σελ.-
Πιστεύετε ότι υπάρχει ακόμα χρόνος μέχρι τις εξετάσεις, και θα έχετε χρόνο να προετοιμαστείτε; Ίσως είναι έτσι. Αλλά σε κάθε περίπτωση, όσο νωρίτερα ξεκινήσει ο μαθητής την εκπαίδευση, τόσο πιο επιτυχημένα περνάει τις εξετάσεις. Σήμερα αποφασίσαμε να αφιερώσουμε ένα άρθρο στις λογαριθμικές ανισότητες. Αυτό είναι ένα από τα καθήκοντα, που σημαίνει μια ευκαιρία να κερδίσετε έναν επιπλέον πόντο.
Γνωρίζετε ήδη τι είναι ο λογάριθμος (log); Το ελπίζουμε πραγματικά. Αλλά ακόμα κι αν δεν έχετε απάντηση σε αυτή την ερώτηση, δεν είναι πρόβλημα. Είναι πολύ εύκολο να καταλάβει κανείς τι είναι λογάριθμος.
Γιατί ακριβώς 4; Πρέπει να αυξήσετε τον αριθμό 3 σε μια τέτοια δύναμη για να πάρετε το 81. Όταν κατανοήσετε την αρχή, μπορείτε να προχωρήσετε σε πιο περίπλοκους υπολογισμούς.
Πέρασες από τις ανισότητες πριν από μερικά χρόνια. Και από τότε τους συναντάς συνεχώς στα μαθηματικά. Εάν αντιμετωπίζετε πρόβλημα με την επίλυση ανισοτήτων, ελέγξτε την κατάλληλη ενότητα.
Τώρα, όταν εξοικειωθούμε με τις έννοιες ξεχωριστά, θα περάσουμε στην εξέταση τους γενικά.
Η απλούστερη λογαριθμική ανισότητα.
Οι απλούστερες λογαριθμικές ανισότητες δεν περιορίζονται σε αυτό το παράδειγμα, υπάρχουν άλλες τρεις, μόνο με διαφορετικά πρόσημα. Γιατί χρειάζεται αυτό; Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς να λύσετε την ανισότητα με λογάριθμους. Τώρα δίνουμε ένα πιο εφαρμόσιμο παράδειγμα, ακόμα αρκετά απλό, αφήνουμε σύνθετες λογαριθμικές ανισότητες για αργότερα.
Πώς να το λύσετε; Όλα ξεκινούν με το ODZ. Θα πρέπει να μάθετε περισσότερα για αυτό εάν θέλετε να λύνετε πάντα εύκολα οποιαδήποτε ανισότητα.
Τι είναι το ODZ; DPV για λογαριθμικές ανισότητες
Η συντομογραφία σημαίνει το εύρος των έγκυρων τιμών. Στις εργασίες για τις εξετάσεις, αυτή η διατύπωση εμφανίζεται συχνά. Το DPV είναι χρήσιμο για εσάς όχι μόνο στην περίπτωση των λογαριθμικών ανισοτήτων.
Κοιτάξτε ξανά το παραπάνω παράδειγμα. Θα εξετάσουμε το ODZ με βάση αυτό, έτσι ώστε να κατανοήσετε την αρχή, και η λύση των λογαριθμικών ανισοτήτων δεν θέτει ερωτήματα. Από τον ορισμό του λογάριθμου προκύπτει ότι το 2x+4 πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Στην περίπτωσή μας αυτό σημαίνει το εξής.
Αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι θετικός εξ ορισμού. Λύστε την ανισότητα που παρουσιάζεται παραπάνω. Αυτό μπορεί να γίνει και προφορικά, εδώ είναι ξεκάθαρο ότι το Χ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 2. Η λύση της ανισότητας θα είναι ο ορισμός του εύρους των αποδεκτών τιμών.
Τώρα ας προχωρήσουμε στην επίλυση της απλούστερης λογαριθμικής ανισότητας.
Απορρίπτουμε τους ίδιους τους λογάριθμους και από τα δύο μέρη της ανισότητας. Τι μας μένει ως αποτέλεσμα; απλή ανισότητα.
Είναι εύκολο να λυθεί. Το X πρέπει να είναι μεγαλύτερο από -0,5. Τώρα συνδυάζουμε τις δύο λαμβανόμενες τιμές στο σύστημα. Ετσι,
Αυτή θα είναι η περιοχή των αποδεκτών τιμών για τη θεωρούμενη λογαριθμική ανισότητα.
Γιατί χρειάζεται καθόλου το ODZ; Αυτή είναι μια ευκαιρία να εξαλειφθούν λανθασμένες και αδύνατες απαντήσεις. Εάν η απάντηση δεν είναι εντός του εύρους των αποδεκτών τιμών, τότε η απάντηση απλά δεν έχει νόημα. Αυτό αξίζει να το θυμόμαστε για μεγάλο χρονικό διάστημα, καθώς στις εξετάσεις υπάρχει συχνά ανάγκη αναζήτησης για ODZ και δεν αφορά μόνο λογαριθμικές ανισότητες.
Αλγόριθμος επίλυσης λογαριθμικής ανισότητας
Η λύση αποτελείται από πολλά βήματα. Πρώτον, είναι απαραίτητο να βρεθεί το εύρος των αποδεκτών τιμών. Θα υπάρχουν δύο τιμές στο ODZ, το εξετάσαμε παραπάνω. Το επόμενο βήμα είναι η επίλυση της ίδιας της ανισότητας. Οι μέθοδοι επίλυσης είναι οι εξής:
- μέθοδος αντικατάστασης πολλαπλασιαστή.
- αποσύνθεση;
- μέθοδος εξορθολογισμού.
Ανάλογα με την περίπτωση, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μία από τις παραπάνω μεθόδους. Ας πάμε κατευθείαν στη λύση. Θα αποκαλύψουμε την πιο δημοφιλή μέθοδο που είναι κατάλληλη για την επίλυση εργασιών USE σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε τη μέθοδο αποσύνθεσης. Μπορεί να βοηθήσει αν συναντήσετε μια ιδιαίτερα «δύσκολη» ανισότητα. Άρα, ο αλγόριθμος για την επίλυση της λογαριθμικής ανισότητας.
Παραδείγματα λύσεων :
Δεν είναι μάταια που πήραμε ακριβώς μια τέτοια ανισότητα! Δώστε προσοχή στη βάση. Θυμηθείτε: εάν είναι μεγαλύτερο από ένα, το πρόσημο παραμένει το ίδιο όταν βρίσκετε το εύρος των έγκυρων τιμών. Διαφορετικά, το πρόσημο της ανισότητας πρέπει να αλλάξει.
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την ανισότητα:
Τώρα φέρνουμε την αριστερή πλευρά στη μορφή της εξίσωσης ίση με το μηδέν. Αντί για το σύμβολο «λιγότερο από» βάζουμε «ίσο», λύνουμε την εξίσωση. Έτσι, θα βρούμε το ODZ. Ελπίζουμε ότι δεν θα έχετε προβλήματα με την επίλυση μιας τόσο απλής εξίσωσης. Οι απαντήσεις είναι -4 και -2. Δεν είναι μόνο αυτό. Πρέπει να εμφανίσετε αυτά τα σημεία στο γράφημα, να τοποθετήσετε "+" και "-". Τι πρέπει να γίνει για αυτό; Αντικαταστήστε τους αριθμούς από τα διαστήματα στην παράσταση. Όπου οι τιμές είναι θετικές, βάζουμε "+" εκεί.
Απάντηση: Το x δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από -4 και μικρότερο από -2.
Βρήκαμε το εύρος έγκυρων τιμών μόνο για την αριστερή πλευρά, τώρα πρέπει να βρούμε το εύρος έγκυρων τιμών για τη δεξιά πλευρά. Αυτό δεν είναι καθόλου ευκολότερο. Απάντηση: -2. Τέμνουμε και τις δύο ληφθείσες περιοχές.
Και μόνο τώρα αρχίζουμε να λύνουμε την ίδια την ανισότητα.
Ας το απλοποιήσουμε όσο το δυνατόν περισσότερο για να είναι πιο εύκολο να αποφασίσετε.
Χρησιμοποιούμε ξανά τη μέθοδο του διαστήματος στη λύση. Ας παραλείψουμε τους υπολογισμούς, μαζί του όλα είναι ήδη ξεκάθαρα από το προηγούμενο παράδειγμα. Απάντηση.
Αλλά αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη εάν η λογαριθμική ανισότητα έχει τις ίδιες βάσεις.
Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων με διαφορετικές βάσεις περιλαμβάνει αρχική αναγωγή σε μία βάση. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε την παραπάνω μέθοδο. Υπάρχει όμως και μια πιο περίπλοκη περίπτωση. Εξετάστε έναν από τους πιο σύνθετους τύπους λογαριθμικών ανισοτήτων.
Λογαριθμικές ανισώσεις με μεταβλητή βάση
Πώς να λύσετε ανισότητες με τέτοια χαρακτηριστικά; Ναι, και τέτοια μπορούν να βρεθούν στις εξετάσεις. Η επίλυση των ανισοτήτων με τον ακόλουθο τρόπο θα έχει επίσης ευεργετική επίδραση στην εκπαιδευτική σας διαδικασία. Ας δούμε αναλυτικά το θέμα. Ας αφήσουμε τη θεωρία στην άκρη και ας πάμε κατευθείαν στην πράξη. Για να λύσετε λογαριθμικές ανισότητες, αρκεί να εξοικειωθείτε με το παράδειγμα.
Για να λυθεί η λογαριθμική ανισότητα της παρουσιαζόμενης φόρμας, είναι απαραίτητο να μειωθεί η δεξιά πλευρά στον λογάριθμο με την ίδια βάση. Η αρχή μοιάζει με ισοδύναμες μεταβάσεις. Ως αποτέλεσμα, η ανισότητα θα μοιάζει με αυτό.
Στην πραγματικότητα, απομένει να δημιουργηθεί ένα σύστημα ανισοτήτων χωρίς λογάριθμους. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξορθολογισμού περνάμε σε ένα ισοδύναμο σύστημα ανισοτήτων. Θα κατανοήσετε τον ίδιο τον κανόνα όταν αντικαταστήσετε τις κατάλληλες τιμές και ακολουθήσετε τις αλλαγές τους. Το σύστημα θα έχει τις ακόλουθες ανισότητες.
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξορθολογισμού κατά την επίλυση ανισώσεων, πρέπει να θυμάστε τα εξής: πρέπει να αφαιρέσετε ένα από τη βάση, το x, εξ ορισμού του λογάριθμου, αφαιρείται και από τα δύο μέρη της ανισότητας (δεξιά από τα αριστερά), οι δύο εκφράσεις πολλαπλασιάζονται και τίθενται κάτω από το αρχικό πρόσημο σε σχέση με το μηδέν.
Η περαιτέρω λύση πραγματοποιείται με τη μέθοδο του διαστήματος, όλα είναι απλά εδώ. Είναι σημαντικό για εσάς να κατανοήσετε τις διαφορές στις μεθόδους λύσης, τότε όλα θα αρχίσουν να λειτουργούν εύκολα.
Υπάρχουν πολλές αποχρώσεις στις λογαριθμικές ανισότητες. Τα πιο απλά από αυτά είναι αρκετά εύκολο να λυθούν. Πώς να το κάνετε έτσι ώστε να λύσετε το καθένα από αυτά χωρίς προβλήματα; Έχετε ήδη λάβει όλες τις απαντήσεις σε αυτό το άρθρο. Τώρα έχετε μια μακρά πρακτική μπροστά σας. Εξασκηθείτε συνεχώς στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων εντός της εξέτασης και θα μπορέσετε να λάβετε την υψηλότερη βαθμολογία. Καλή επιτυχία στο δύσκολο έργο σας!
Λογαριθμικές ανισότητες
Σε προηγούμενα μαθήματα, γνωρίσαμε τις λογαριθμικές εξισώσεις και τώρα ξέρουμε ποιες είναι και πώς να τις λύσουμε. Και το σημερινό μάθημα θα είναι αφιερωμένο στη μελέτη των λογαριθμικών ανισοτήτων. Ποιες είναι αυτές οι ανισώσεις και ποια είναι η διαφορά μεταξύ της επίλυσης μιας λογαριθμικής εξίσωσης και των ανισώσεων;
Οι λογαριθμικές ανισώσεις είναι ανισώσεις που έχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου ή στη βάση του.
Ή, μπορεί επίσης να πει κανείς ότι μια λογαριθμική ανισότητα είναι μια ανισότητα στην οποία η άγνωστη τιμή της, όπως στη λογαριθμική εξίσωση, θα βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου.
Οι απλούστερες λογαριθμικές ανισώσεις μοιάζουν με αυτό:
όπου f(x) και g(x) είναι κάποιες εκφράσεις που εξαρτώνται από το x.
Ας το δούμε χρησιμοποιώντας το ακόλουθο παράδειγμα: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων
Πριν λύσουμε λογαριθμικές ανισώσεις, αξίζει να σημειωθεί ότι όταν επιλύονται, είναι παρόμοιες με τις εκθετικές ανισώσεις, δηλαδή:
Πρώτον, όταν μετακινούμαστε από λογάριθμους σε εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, πρέπει επίσης να συγκρίνουμε τη βάση του λογάριθμου με ένα.
Δεύτερον, όταν λύνουμε μια λογαριθμική ανισότητα χρησιμοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητών, πρέπει να λύσουμε ανισώσεις ως προς τη μεταβολή μέχρι να πάρουμε την απλούστερη ανισότητα.
Αλλά ήμασταν εμείς που εξετάσαμε τις παρόμοιες στιγμές επίλυσης λογαριθμικών ανισοτήτων. Τώρα ας δούμε μια αρκετά σημαντική διαφορά. Εσείς και εγώ γνωρίζουμε ότι η λογαριθμική συνάρτηση έχει περιορισμένο πεδίο ορισμού, επομένως όταν μετακινείστε από λογάριθμους σε εκφράσεις που βρίσκονται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, πρέπει να λάβετε υπόψη το εύρος των αποδεκτών τιμών (ODV).
Δηλαδή, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι όταν λύνουμε μια λογαριθμική εξίσωση, μπορούμε πρώτα να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης και στη συνέχεια να ελέγξουμε αυτή τη λύση. Αλλά η επίλυση της λογαριθμικής ανισότητας δεν θα λειτουργήσει κατ' αυτόν τον τρόπο, αφού μεταβαίνοντας από τους λογάριθμους σε εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, θα χρειαστεί να γράψουμε το ODZ της ανισότητας.
Επιπλέον, αξίζει να θυμηθούμε ότι η θεωρία των ανισώσεων αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι θετικοί και αρνητικοί αριθμοί, καθώς και από τον αριθμό 0.
Για παράδειγμα, όταν ο αριθμός "a" είναι θετικός, τότε πρέπει να χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός: a > 0. Σε αυτήν την περίπτωση, τόσο το άθροισμα όσο και το γινόμενο αυτών των αριθμών θα είναι επίσης θετικά.
Η βασική αρχή της επίλυσης μιας ανισότητας είναι η αντικατάστασή της με μια απλούστερη ανισότητα, αλλά το κυριότερο είναι να είναι ισοδύναμη με τη δεδομένη. Επιπλέον, λάβαμε επίσης μια ανισότητα και την αντικαταστήσαμε ξανά με μια που έχει απλούστερη μορφή και ούτω καθεξής.
Επιλύοντας ανισότητες με μια μεταβλητή, πρέπει να βρείτε όλες τις λύσεις της. Αν δύο ανισώσεις έχουν την ίδια μεταβλητή x, τότε αυτές οι ανισώσεις είναι ισοδύναμες, με την προϋπόθεση ότι οι λύσεις τους είναι ίδιες.
Κατά την εκτέλεση εργασιών για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων, είναι απαραίτητο να θυμάστε ότι όταν a > 1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται και όταν 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Τρόποι επίλυσης λογαριθμικών ανισώσεων
Τώρα ας δούμε μερικές από τις μεθόδους που λαμβάνουν χώρα κατά την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων. Για καλύτερη κατανόηση και αφομοίωση, θα προσπαθήσουμε να τα κατανοήσουμε χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.
Γνωρίζουμε ότι η απλούστερη λογαριθμική ανισότητα έχει την ακόλουθη μορφή:
Σε αυτήν την ανισότητα, το V - είναι ένα από αυτά τα σημάδια ανισότητας όπως:<,>, ≤ ή ≥.
Όταν η βάση αυτού του λογαρίθμου είναι μεγαλύτερη από ένα (a>1), κάνοντας τη μετάβαση από τους λογάριθμους σε εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, τότε σε αυτήν την έκδοση διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας και η ανισότητα θα μοιάζει με αυτό:
που ισοδυναμεί με το ακόλουθο σύστημα:
Στην περίπτωση που η βάση του λογαρίθμου είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και μικρότερη από ένα (0 Αυτό είναι ισοδύναμο με αυτό το σύστημα: Ας δούμε περισσότερα παραδείγματα επίλυσης των απλούστερων λογαριθμικών ανισώσεων που φαίνονται στην παρακάτω εικόνα: Ασκηση.Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτήν την ανισότητα: Η απόφαση της περιοχής των αποδεκτών αξιών. Τώρα ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε τη δεξιά πλευρά του επί: Ας δούμε τι μπορούμε να κάνουμε: Τώρα, ας προχωρήσουμε στον μετασχηματισμό των υπολογαριθμικών παραστάσεων. Αφού η βάση του λογάριθμου είναι 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Και από αυτό προκύπτει ότι το διάστημα που λάβαμε ανήκει εξ ολοκλήρου στο ODZ και είναι μια λύση σε μια τέτοια ανισότητα. Εδώ είναι η απάντηση που πήραμε: Τώρα ας προσπαθήσουμε να αναλύσουμε τι χρειαζόμαστε για να λύσουμε με επιτυχία λογαριθμικές ανισότητες; Αρχικά, εστιάστε όλη σας την προσοχή και προσπαθήστε να μην κάνετε λάθη όταν εκτελείτε τους μετασχηματισμούς που δίνονται σε αυτή την ανισότητα. Επίσης, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι κατά την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων, είναι απαραίτητο να αποτραπούν οι επεκτάσεις και οι στενώσεις της ανισότητας ODZ, οι οποίες μπορούν να οδηγήσουν στην απώλεια ή την απόκτηση εξωτερικών λύσεων. Δεύτερον, όταν λύνετε λογαριθμικές ανισότητες, πρέπει να μάθετε να σκέφτεστε λογικά και να κατανοείτε τη διαφορά μεταξύ εννοιών όπως ένα σύστημα ανισώσεων και ένα σύνολο ανισοτήτων, ώστε να μπορείτε να επιλέξετε εύκολα λύσεις σε μια ανισότητα, ενώ καθοδηγείτε από το DHS του. Τρίτον, για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοιες ανισότητες, ο καθένας από εσάς πρέπει να γνωρίζει πολύ καλά όλες τις ιδιότητες των στοιχειωδών συναρτήσεων και να κατανοεί σαφώς τη σημασία τους. Τέτοιες συναρτήσεις περιλαμβάνουν όχι μόνο λογαριθμικές, αλλά και ορθολογικές, ισχύς, τριγωνομετρικές κ.λπ., με μια λέξη, όλες εκείνες που μελετήσατε κατά τη σχολική άλγεβρα. Όπως μπορείτε να δείτε, έχοντας μελετήσει το θέμα των λογαριθμικών ανισοτήτων, δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στην επίλυση αυτών των ανισοτήτων, υπό την προϋπόθεση ότι είστε προσεκτικοί και επίμονοι στην επίτευξη των στόχων σας. Για να μην υπάρχουν προβλήματα στην επίλυση ανισοτήτων, πρέπει να εκπαιδεύσετε όσο το δυνατόν περισσότερο, λύνοντας διάφορες εργασίες και ταυτόχρονα να απομνημονεύσετε τους κύριους τρόπους επίλυσης τέτοιων ανισοτήτων και των συστημάτων τους. Με ανεπιτυχείς λύσεις σε λογαριθμικές ανισότητες, θα πρέπει να αναλύσετε προσεκτικά τα λάθη σας, ώστε να μην επιστρέψετε ξανά σε αυτά στο μέλλον. Για καλύτερη αφομοίωση του θέματος και εμπέδωση της ύλης που καλύπτει, λύστε τις παρακάτω ανισότητες: Μια ανισότητα ονομάζεται λογαριθμική αν περιέχει μια λογαριθμική συνάρτηση. Οι μέθοδοι για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων δεν διαφέρουν εκτός από δύο πράγματα. Πρώτον, όταν περνάμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, ακολουθεί ακολουθήστε το πρόσημο της προκύπτουσας ανισότητας. Υπακούει στον ακόλουθο κανόνα. Εάν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από $1$, τότε όταν περνάμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας και αν είναι μικρότερο από $1$, τότε αντιστρέφεται. Δεύτερον, η λύση οποιασδήποτε ανισότητας είναι ένα διάστημα και, επομένως, στο τέλος της λύσης της ανισότητας των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να συντεθεί ένα σύστημα δύο ανισώσεων: η πρώτη ανισότητα αυτού του συστήματος θα είναι η ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων και η δεύτερη θα είναι το διάστημα του πεδίου ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης. Ας λύσουμε τις ανισότητες: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0,$ $x \in (-3;+\infty)$ Η βάση του λογάριθμου είναι $2>1$, οπότε το πρόσημο δεν αλλάζει. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου, παίρνουμε: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \in )
Λύση παραδειγμάτων
3x > 24;
x > 8. 
Τι χρειάζεται για την επίλυση λογαριθμικών ανισοτήτων;
Εργασία για το σπίτι
Πρακτική.