Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από στοιχειώδες έως αρκετά συμπαγές.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τη σημασία και τον τύπο του αθροίσματος. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του αθροίσματος είναι τόσο απλή όσο το χαμήλωμα. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, χρειάζεται απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλα τα μέλη της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά ... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος σώζει.

Ο τύπος του αθροίσματος είναι απλός:

Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολλά.

S n είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης όλαμέλη, με πρώταΜε τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέστε ακριβώς Ολαμέλη στη σειρά, χωρίς κενά και άλματα. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε παζλ, όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρου ή του αθροίσματος των όρων από τον πέμπτο έως τον εικοστό - άμεση εφαρμογήοι φόρμουλες είναι απογοητευτικές.)

Α'1 - πρώταμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.

a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά, όταν εφαρμόζεται στην ποσότητα, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.

n είναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των μελών που προστέθηκαν.

Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Συμπληρωματική ερώτηση: τι είδους μέλος θα τελευταίος,αν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;

Για μια σίγουρη απάντηση, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και ... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)

Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα πεπερασμένο, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία τι είδους εξέλιξη δίνεται: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: από μια σειρά αριθμών, ή από τον τύπο του nου μέλους.

Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με τον αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός των πρώτων αυτών μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Στην εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι ... Αλλά τίποτα, στα παρακάτω παραδείγματα θα αποκαλύψουμε αυτά τα μυστικά.)

Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Πρωτα απο ολα, χρήσιμες πληροφορίες:

Η κύρια δυσκολία στις εργασίες για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι σωστός ορισμόςστοιχεία τύπου.

Οι συντάκτες των εργασιών κρυπτογραφούν αυτά τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.

1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων.

Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα σύμφωνα με τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου όρου n.

Πού να βρείτε τον τελευταίο αριθμό μέλους n? Ναι, εκεί, στην κατάσταση! Λέει βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, τι αριθμός θα είναι τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, αλλά ανταυτού n- δέκα. Και πάλι, ο αριθμός του τελευταίου μέλους είναι ίδιος με τον αριθμό των μελών.

Μένει να καθοριστεί Α'1Και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα από τον τύπο του nου όρου, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε; Επισκεφθείτε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό - τίποτα.

Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ένα 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Απομένει να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απάντηση: 75.

Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:

2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 \u003d 2.3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων.

Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε μέλους με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Απάντηση: 423.

Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαταστήστε τον τύπο του nου όρου, παίρνουμε:

Δίνουμε παρόμοια, παίρνουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει καμία ανάγκη η θητεία a n. Σε ορισμένες εργασίες, αυτός ο τύπος βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτόν τον τύπο. Και είναι δυνατό σε κατάλληλη στιγμήείναι εύκολο να το βγάλεις έξω, όπως εδώ. Εξάλλου, ο τύπος για το άθροισμα και ο τύπος για τον nο όρο πρέπει να θυμόμαστε με κάθε τρόπο.)

Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):

3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.

Πως! Κανένα πρώτο μέλος, κανένα τελευταίο, καμία εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;

Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε από τη συνθήκη όλα τα στοιχεία του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί - ξέρουμε. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα πρώτα? 10, πιθανώς.) το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Οι τριψήφιοι θα τον ακολουθήσουν...

Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται ομοιόμορφα με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Σίγουρα! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο αυστηρά κατά τρεις. Εάν προστεθεί 2 ή 4 στον όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ένας νέος αριθμός δεν θα διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο σωρό: d = 3.Χρήσιμος!)

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:

Ποιος θα είναι ο αριθμός nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος ... Αριθμοί - πηγαίνουν πάντα στη σειρά και τα μέλη μας ξεπερνούν τους τρεις πρώτους. Δεν ταιριάζουν.

Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να ζωγραφίσετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των όρων με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμοστεί ο τύπος στο πρόβλημά μας, παίρνουμε ότι το 99 είναι το τριακοστό μέλος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.

Εξετάζουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:

Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού από την κατάσταση του προβλήματος:

Α'1= 12.

ένα 30= 99.

S n = S 30.

Αυτό που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

Απάντηση: 1665

Ένας άλλος τύπος δημοφιλών παζλ:

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Βρείτε το άθροισμα των όρων από τον εικοστό έως τον τριακοστό τέταρτο.

Κοιτάμε τον τύπο του αθροίσματος και ... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το άθροισμα από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.

Μπορείτε, φυσικά, να ζωγραφίσετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να βάλετε τα μέλη από 20 έως 34. Αλλά ... κατά κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ανόητα και για μεγάλο χρονικό διάστημα, σωστά;)

Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Δεύτερο μέρος - είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε στο άθροισμα των μελών του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Αυτό δείχνει ότι για να βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ξεκινάμε;

Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από την συνθήκη εργασίας:

d = 1,5.

Α'1= -21,5.

Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τις μετράμε σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου, όπως στο πρόβλημα 2:

ένα 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

ένα 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Δεν έμεινε τίποτα. Αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων από το άθροισμα των 34 όρων:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Απάντηση: 262,5

Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη δυνατότητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε τι, φαίνεται, δεν χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απόρριψη από πλήρες αποτέλεσμαπεριττός. Μια τέτοια "προσποίηση με τα αυτιά" συχνά σώζει σε κακούς γρίφους.)

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)

πρακτικές συμβουλές:

Όταν λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.

Φόρμουλα του ντος μέλους:

Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε, προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.

Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.

5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.

Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.

6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων.

Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τον σύνδεσμο, τέτοια παζλ βρίσκονται συχνά στο GIA.

7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να χαρίσω στον πιο αγαπημένο άνθρωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα κάθε επόμενη μέρα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;

Δύσκολο;) Θα βοηθήσει πρόσθετη φόρμουλααπό την εργασία 2.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Ή αριθμητική είναι ένα είδος διατεταγμένης αριθμητικής ακολουθίας, οι ιδιότητες της οποίας μελετώνται σχολικό μάθημαάλγεβρα. Αυτό το άρθρο εξετάζει λεπτομερώς το ερώτημα πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Ποια είναι αυτή η εξέλιξη;

Πριν προχωρήσετε στην εξέταση της ερώτησης (πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου), αξίζει να καταλάβετε τι θα συζητηθεί.

Οποιαδήποτε ακολουθία πραγματικών αριθμών που προκύπτει προσθέτοντας (αφαιρώντας) κάποια τιμή από κάθε προηγούμενο αριθμό ονομάζεται αλγεβρική (αριθμητική) πρόοδος. Αυτός ο ορισμός, μεταφρασμένος στη γλώσσα των μαθηματικών, έχει τη μορφή:

Εδώ i είναι ο τακτικός αριθμός του στοιχείου της σειράς a i . Έτσι, γνωρίζοντας μόνο έναν αρχικό αριθμό, μπορείτε εύκολα να επαναφέρετε ολόκληρη τη σειρά. Η παράμετρος d στον τύπο ονομάζεται διαφορά προόδου.

Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι η ακόλουθη ισότητα ισχύει για τη σειρά των αριθμών που εξετάζουμε:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Δηλαδή, για να βρείτε την τιμή του ν-ου στοιχείου με τη σειρά, προσθέστε τη διαφορά d στο πρώτο στοιχείο a 1 n-1 φορές.

Ποιο είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου: τύπος

Πριν δώσετε τον τύπο για το αναγραφόμενο ποσό, αξίζει να εξετάσετε ένα απλό ειδική περίπτωση. Dana progression φυσικούς αριθμούςαπό το 1 έως το 10, πρέπει να βρείτε το άθροισμά τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι στην πρόοδο (10), είναι δυνατό να λυθεί το πρόβλημα κατά μέτωπο, δηλαδή να αθροιστούν όλα τα στοιχεία με τη σειρά.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Αξίζει να εξετάσουμε ένα ενδιαφέρον πράγμα: δεδομένου ότι κάθε όρος διαφέρει από τον επόμενο με την ίδια τιμή d \u003d 1, τότε το άθροισμα κατά ζεύγη του πρώτου με το δέκατο, του δεύτερου με το ένατο και ούτω καθεξής θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα . Πραγματικά:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν μόνο 5 από αυτά τα αθροίσματα, δηλαδή ακριβώς δύο φορές λιγότερα από τον αριθμό των στοιχείων της σειράς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των αθροισμάτων (5) με το αποτέλεσμα κάθε αθροίσματος (11), θα καταλήξετε στο αποτέλεσμα που προέκυψε στο πρώτο παράδειγμα.

Αν γενικεύσουμε αυτά τα επιχειρήματα, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη έκφραση:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Αυτή η έκφραση δείχνει ότι δεν είναι καθόλου απαραίτητο να αθροιστούν όλα τα στοιχεία σε μια σειρά, αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου a 1 και του τελευταίου a n, και επίσης συνολικός αριθμόςόροι ν.

Πιστεύεται ότι ο Gauss σκέφτηκε για πρώτη φορά αυτήν την ισότητα όταν έψαχνε για μια λύση στο πρόβλημα που έθεσε ο δάσκαλός του στο σχολείο του: να αθροίσει τους πρώτους 100 ακέραιους αριθμούς.

Άθροισμα στοιχείων από m έως n: τύπος

Ο τύπος που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο απαντά στο ερώτημα πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου (των πρώτων στοιχείων), αλλά συχνά στις εργασίες είναι απαραίτητο να αθροίσετε μια σειρά αριθμών στο μέσο της προόδου. Πως να το κάνεις?

Ο ευκολότερος τρόπος για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση είναι λαμβάνοντας υπόψη το ακόλουθο παράδειγμα: ας είναι απαραίτητο να βρείτε το άθροισμα των όρων από το mth στο nth. Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να παρουσιαστεί ένα δεδομένο τμήμα από m έως n της προόδου με τη μορφή ενός νέου σειρά αριθμών. Σε τέτοια παράσταση μ-ουΟ όρος a m θα είναι ο πρώτος, και ένας n θα αριθμηθεί με n-(m-1). Σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμόζοντας τον τυπικό τύπο για το άθροισμα, θα ληφθεί η ακόλουθη έκφραση:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Παράδειγμα χρήσης τύπων

Γνωρίζοντας πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, αξίζει να εξετάσετε ένα απλό παράδειγμα χρήσης των παραπάνω τύπων.

Παρακάτω είναι μια αριθμητική ακολουθία, θα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των μελών της, ξεκινώντας από το 5ο και τελειώνοντας με το 12ο:

Οι αριθμοί που δίνονται υποδεικνύουν ότι η διαφορά d είναι ίση με 3. Χρησιμοποιώντας την έκφραση για το nο στοιχείο, μπορείτε να βρείτε τις τιμές του 5ου και του 12ου μέλους της προόδου. Αποδεικνύεται:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Γνωρίζοντας τις τιμές των αριθμών στα άκρα της υπό εξέταση αλγεβρικής προόδου και επίσης γνωρίζοντας ποιους αριθμούς στη σειρά που καταλαμβάνουν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το άθροισμα που λήφθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Παίρνω:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η τιμή θα μπορούσε να ληφθεί διαφορετικά: πρώτα, βρείτε το άθροισμα των πρώτων 12 στοιχείων χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο, στη συνέχεια υπολογίστε το άθροισμα των πρώτων 4 στοιχείων χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο και, στη συνέχεια, αφαιρέστε το δεύτερο από το πρώτο άθροισμα .

Πριν αρχίσουμε να αποφασίζουμε προβλήματα αριθμητικής προόδου, σκεφτείτε τι είναι μια αριθμητική ακολουθία, αφού μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Μια αριθμητική ακολουθία είναι ένα αριθμητικό σύνολο, κάθε στοιχείο του οποίου έχει τον δικό του σειριακό αριθμό. Τα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη της ακολουθίας. Ο τακτικός αριθμός ενός στοιχείου ακολουθίας υποδεικνύεται από έναν δείκτη:

Το πρώτο στοιχείο της ακολουθίας.

Το πέμπτο στοιχείο της ακολουθίας.

- «η» στοιχείο της ακολουθίας, δηλ. το στοιχείο "στέκεται στην ουρά" στον αριθμό n.

Υπάρχει μια εξάρτηση μεταξύ της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας και του τακτικού του αριθμού. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια ακολουθία ως συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι ο τακτικός αριθμός ενός στοιχείου της ακολουθίας. Με άλλα λόγια, αυτό μπορεί να το πει κανείς η ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος:

Η σειρά μπορεί να καθοριστεί με τρεις τρόπους:

1 . Η σειρά μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα.Σε αυτήν την περίπτωση, ορίζουμε απλώς την τιμή κάθε μέλους της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, Κάποιος αποφάσισε να αναλάβει προσωπική διαχείριση χρόνου και, αρχικά, να μετρήσει κατά τη διάρκεια της εβδομάδας πόσο χρόνο ξοδεύει στο VKontakte. Γράφοντας την ώρα σε έναν πίνακα, θα πάρει μια ακολουθία που αποτελείται από επτά στοιχεία:

Η πρώτη γραμμή του πίνακα περιέχει τον αριθμό της ημέρας της εβδομάδας, η δεύτερη - την ώρα σε λεπτά. Βλέπουμε ότι, δηλαδή, τη Δευτέρα Κάποιος πέρασε 125 λεπτά στο VKontakte, δηλαδή την Πέμπτη - 248 λεπτά, και, δηλαδή, την Παρασκευή, μόνο 15.

2 . Η αλληλουχία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο nth μέλους.

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξάρτηση της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας από τον αριθμό του εκφράζεται απευθείας ως τύπος.

Για παράδειγμα, αν , τότε

Για να βρούμε την τιμή ενός στοιχείου ακολουθίας με έναν δεδομένο αριθμό, αντικαθιστούμε τον αριθμό του στοιχείου στον τύπο για το nο μέλος.

Κάνουμε το ίδιο εάν πρέπει να βρούμε την τιμή μιας συνάρτησης εάν η τιμή του ορίσματος είναι γνωστή. Αντικαθιστούμε την τιμή του ορίσματος στην εξίσωση της συνάρτησης:

Αν, για παράδειγμα, , Οτι

Για άλλη μια φορά, σημειώνω ότι σε μια ακολουθία, σε αντίθεση με μια αυθαίρετη αριθμητική συνάρτηση, μόνο ένας φυσικός αριθμός μπορεί να είναι όρισμα.

3 . Η ακολουθία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν τύπο που εκφράζει την εξάρτηση της τιμής του μέλους της ακολουθίας με τον αριθμό n από την τιμή των προηγούμενων μελών. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τον αριθμό ενός μέλους ακολουθίας για να βρούμε την τιμή του. Πρέπει να καθορίσουμε το πρώτο μέλος ή τα πρώτα μέλη της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη σειρά ,

Μπορούμε να βρούμε τις τιμές των μελών μιας ακολουθίας σε ακολουθία, ξεκινώντας από το τρίτο:

Δηλαδή, κάθε φορά για να βρούμε την τιμή του ντος μέλους της ακολουθίας, επιστρέφουμε στα δύο προηγούμενα. Αυτός ο τρόπος αλληλουχίας ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, από τη λατινική λέξη επανάληψη- ελα πισω.

Τώρα μπορούμε να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια απλή ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Αριθμητική πρόοδος ονομάζεται αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με την προηγούμενη, που προστίθεται με τον ίδιο αριθμό.

Ο αριθμός καλείται η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου. Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδενική.

Εάν title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} αυξανόμενη.

Για παράδειγμα, 2; 5; 8; έντεκα;...

Αν , τότε κάθε όρος της αριθμητικής προόδου είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, και η πρόοδος είναι φθίνουσα.

Για παράδειγμα, 2; -1; -4; -7;...

Αν , τότε όλα τα μέλη της προόδου είναι ίσα με τον ίδιο αριθμό, και η πρόοδος είναι ακίνητος.

Για παράδειγμα, 2;2;2;2;...

Η κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου:

Ας δούμε την εικόνα.

Το βλέπουμε αυτό

, και ταυτόχρονα

Προσθέτοντας αυτές τις δύο ισότητες, παίρνουμε:

.

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2:

Άρα, κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο δύο γειτονικών:

Επιπλέον, επειδή

, και ταυτόχρονα

, Οτι

, και ως εκ τούτου

Κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου που ξεκινά με title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

ο τύπος μέλους.

Βλέπουμε ότι για τα μέλη της αριθμητικής προόδου ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

και τελικά

Πήραμε τύπος του ν’ όρου.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί με όρους και . Γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε από τα μέλη του.

Το άθροισμα n μελών μιας αριθμητικής προόδου.

Σε μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο, τα αθροίσματα των όρων που απέχουν ίσα από τους ακραίους είναι ίσα μεταξύ τους:

Θεωρήστε μια αριθμητική πρόοδο με n μέλη. Έστω το άθροισμα των n μελών αυτής της προόδου ίσο με .

Τακτοποιήστε τους όρους της προόδου πρώτα σε αύξουσα σειρά αριθμών και μετά σε φθίνουσα σειρά:

Ας το ζευγαρώσουμε:

Το άθροισμα σε κάθε παρένθεση είναι , ο αριθμός των ζευγών είναι n.

Παίρνουμε:

Ετσι, Το άθροισμα των n μελών μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Σκεφτείτε επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου.

1 . Η ακολουθία δίνεται από τον τύπο του nου όρου: . Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας αποδείξουμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας είναι ίση με τον ίδιο αριθμό.

Καταλήξαμε ότι η διαφορά δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας δεν εξαρτάται από τον αριθμό τους και είναι σταθερά. Επομένως, εξ ορισμού, αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

2 . Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος -31; -27;...

α) Να βρείτε τους 31 όρους της προόδου.

β) Προσδιορίστε αν ο αριθμός 41 περιλαμβάνεται σε αυτή την εξέλιξη.

ΕΝΑ)Βλέπουμε ότι ?

Ας γράψουμε τον τύπο για τον nο όρο για την πρόοδό μας.

Γενικά

Στην περίπτωσή μας , Να γιατί

Αριθμητική πρόοδοςονομάστε μια ακολουθία αριθμών (μέλη μιας προόδου)

Στην οποία κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά έναν όρο χάλυβα, ο οποίος ονομάζεται επίσης διαφορά βήματος ή προόδου.

Έτσι, ορίζοντας το βήμα της προόδου και τον πρώτο όρο της, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε από τα στοιχεία της χρησιμοποιώντας τον τύπο

Ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου

1) Κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο αριθμό, είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου και του επόμενου μέλους της προόδου

Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια. Εάν ο αριθμητικός μέσος όρος των γειτονικών περιττών (άρτιων) μελών της προόδου είναι ίσος με το μέλος που βρίσκεται ανάμεσά τους, τότε αυτή η ακολουθία αριθμών είναι μια αριθμητική πρόοδος. Με αυτόν τον ισχυρισμό είναι πολύ εύκολο να ελέγξετε οποιαδήποτε ακολουθία.

Επίσης με την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί στο εξής

Αυτό είναι εύκολο να επαληθευτεί αν γράψουμε τους όρους στα δεξιά του πρόσημου ίσου

Συχνά χρησιμοποιείται στην πράξη για την απλοποίηση των υπολογισμών σε προβλήματα.

2) Το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου υπολογίζεται από τον τύπο

Θυμηθείτε καλά τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, είναι απαραίτητος στους υπολογισμούς και είναι αρκετά συνηθισμένος σε απλές καταστάσεις ζωής.

3) Εάν πρέπει να βρείτε όχι ολόκληρο το άθροισμα, αλλά ένα μέρος της ακολουθίας που ξεκινά από το k -ο μέλος της, τότε ο παρακάτω τύπος αθροίσματος θα σας φανεί χρήσιμος

4) Έχει πρακτικό ενδιαφέρον να βρούμε το άθροισμα των n μελών μιας αριθμητικής προόδου ξεκινώντας από τον kth αριθμό. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο

Εδώ τελειώνει το θεωρητικό υλικό και προχωράμε στην επίλυση προβλημάτων που συνηθίζονται στην πράξη.

Παράδειγμα 1. Να βρείτε τον τεσσαρακοστό όρο της αριθμητικής προόδου 4;7;...

Λύση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, έχουμε

Καθορίστε το βήμα προόδου

Σύμφωνα με τον γνωστό τύπο, βρίσκουμε τον τεσσαρακοστό όρο της προόδου

Παράδειγμα 2. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από το τρίτο και το έβδομο μέλος του. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου και το άθροισμα του δέκα.

Λύση:

Γράφουμε τα δεδομένα της προόδου σύμφωνα με τους τύπους

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη εξίσωση, με αποτέλεσμα να βρίσκουμε το βήμα προόδου

Η τιμή που βρέθηκε αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις για να βρεθεί ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου

Υπολογίστε το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της προόδου

Χωρίς να εφαρμόσουμε σύνθετους υπολογισμούς, βρήκαμε όλες τις απαιτούμενες τιμές.

Παράδειγμα 3. Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από τον παρονομαστή και ένα από τα μέλη του. Βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου, το άθροισμα των 50 όρων του ξεκινώντας από το 50 και το άθροισμα των πρώτων 100.

Λύση:

Ας γράψουμε τον τύπο για το εκατοστό στοιχείο της προόδου

και βρες το πρώτο

Με βάση το πρώτο, βρίσκουμε τον 50ό όρο της προόδου

Εύρεση του αθροίσματος του μέρους της προόδου

και το άθροισμα των 100 πρώτων

Το άθροισμα της προόδου είναι 250.

Παράδειγμα 4

Βρείτε τον αριθμό των μελών μιας αριθμητικής προόδου αν:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Λύση:

Γράφουμε τις εξισώσεις ως προς τον πρώτο όρο και το βήμα της προόδου και τις ορίζουμε

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο αθροίσματος για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των μελών στο άθροισμα

Κάνοντας απλοποιήσεις

και να λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση

Από τις δύο τιμές που βρέθηκαν, μόνο ο αριθμός 8 είναι κατάλληλος για την κατάσταση του προβλήματος. Έτσι το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων της προόδου είναι 111.

Παράδειγμα 5

λύσει την εξίσωση

1+3+5+...+x=307.

Λύση: Αυτή η εξίσωση είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Γράφουμε τον πρώτο όρο του και βρίσκουμε τη διαφορά της προόδου

Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)… είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτή την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδηλώνεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με την αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων με αριθμητική πρόοδο

Κατ' αρχήν, οι παραπάνω πληροφορίες είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα σε μια αριθμητική πρόοδο (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου..
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το διπλανό του κατά τον ίδιο αριθμό. Βρείτε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο επιθυμητό (πρώτο αρνητικό) στοιχείο.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(...5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που συμβολίζεται με το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα βρίσκουμε αυτό που ψάχνουμε χωρίς κανένα πρόβλημα: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Όμως δεν γνωρίζουμε τις έννοιές τους, μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, υπολογίζουμε πρώτα τις τιμές με τη σειρά, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που μας δίνονται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Το ποσό που ζητήθηκε βρέθηκε.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι αριθμητικής προόδου

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα αριθμητικής προόδου μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο σε αυτήν την αλυσίδα προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (η διαφορά της προόδου).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις που είναι πολύ άβολο να λυθεί "στο μέτωπο". Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα, δεν χρειάζεται να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Τι είναι, εμείς \ (385 \) φορές να προσθέσουμε τέσσερις; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Το μέτρημα είναι μπερδεμένο...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν λύνονται "στο μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και οι κυριότεροι είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων.

Τύπος για το \(n\)ο μέλος: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι το πρώτο μέλος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
Το \(a_n\) είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε γρήγορα τουλάχιστον το τριακόσιο, ακόμη και το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων είναι: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) είναι ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων είκοσι πέντε στοιχείων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρου. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (βλ. λεπτομέρειες). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας το \(n\) με ένα.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα υπολογίζουμε το απαιτούμενο ποσό χωρίς προβλήματα.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων είναι: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα \(n\) των πρώτων στοιχείων.
Το \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος που αθροίζεται.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) - ο αριθμός των στοιχείων στο άθροισμα.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο δύσκολα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα τα έχεις όλα απαραίτητες πληροφορίεςγια την επίλυση σχεδόν οποιουδήποτε προβλήματος σε μια αριθμητική πρόοδο. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία πρέπει όχι μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά, αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Ξεκινάμε να λύνουμε με τον ίδιο τρόπο: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα αντικαθιστούσαμε το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα ... και εδώ εμφανίζεται μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε \(n\). Με άλλα λόγια, δεν ξέρουμε πόσοι όροι θα χρειαστεί να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως? Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε για τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|: 0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε ταμπέλες
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Χρήση υπολογιστή...
\(n>65.333…\)		…και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το τσεκάρουμε.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Επομένως, πρέπει να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο έως το στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου του στοιχείου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Δεν έχουμε συνταγή για αυτό. Πώς να αποφασίσετε; Εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και στη συνέχεια να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο στο \ (25 \) ου (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-uh στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\)-ου στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για μια αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν έχουμε εξετάσει σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.