Για παράδειγμα, για το τριώνυμο \(3x^2+2x-7\), η διάκριση θα είναι ίση με \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Και για το τριώνυμο \(x^2-5x+11\), θα είναι ίσο με \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Η διάκριση συμβολίζεται με το γράμμα \(D\) και χρησιμοποιείται συχνά στην επίλυση. Επίσης, από την τιμή του διαχωριστή, μπορείτε να καταλάβετε πώς μοιάζει περίπου το γράφημα (δείτε παρακάτω).
Διάκριση και ρίζες της εξίσωσης
Η τιμή διάκρισης δείχνει τον αριθμό των τετραγωνικών εξισώσεων:
- εάν το \(D\) είναι θετικό, η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες.
- εάν το \(D\) είναι ίσο με μηδέν - υπάρχει μόνο μία ρίζα.
- εάν το \(D\) είναι αρνητικό, δεν υπάρχουν ρίζες.
Αυτό δεν χρειάζεται να διδαχθεί, δεν είναι δύσκολο να καταλήξουμε σε ένα τέτοιο συμπέρασμα, γνωρίζοντας απλά ότι από το διακριτικό (δηλαδή, το \(\sqrt(D)\) περιλαμβάνεται στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών της εξίσωσης : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) και \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2α)\) Ας δούμε κάθε περίπτωση με περισσότερες λεπτομέρειες.
Εάν η διάκριση είναι θετική
Σε αυτήν την περίπτωση, η ρίζα του είναι κάποιος θετικός αριθμός, που σημαίνει ότι \(x_(1)\) και \(x_(2)\) θα έχουν διαφορετικές σημασίες, επειδή στον πρώτο τύπο \(\sqrt(D)\ ) προστίθεται και στο δεύτερο αφαιρείται. Και έχουμε δύο διαφορετικές ρίζες.
Παράδειγμα
: Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης \(x^2+2x-3=0\)
Λύση
:
Απάντηση : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Αν η διάκριση είναι μηδέν
Πόσες ρίζες θα υπάρχουν αν η διάκριση είναι μηδέν; Ας λογικευτούμε.
Οι τύποι ρίζας μοιάζουν με αυτό: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) και \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Και αν η διάκριση είναι μηδέν, τότε η ρίζα της είναι επίσης μηδέν. Τότε αποδεικνύεται:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Δηλαδή, οι τιμές των ριζών της εξίσωσης θα είναι οι ίδιες, γιατί η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός δεν αλλάζει τίποτα.
Παράδειγμα
: Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης \(x^2-4x+4=0\)
Λύση
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Γράφουμε τους συντελεστές: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Υπολογίζουμε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Εύρεση των ριζών της εξίσωσης |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Έχουμε δύο ίδιες ρίζες, οπότε δεν έχει νόημα να τις γράψουμε χωριστά - τις γράφουμε ως μία. |
Απάντηση : \(x=2\)
Τύποι για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Εξετάζονται οι περιπτώσεις πραγματικών, πολλαπλών και σύνθετων ριζών. Παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου. Γεωμετρική ερμηνεία. Παραδείγματα προσδιορισμού ριζών και παραγοντοποίησης.
Βασικοί τύποι
Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση:
(1)
.
Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης(1) καθορίζονται από τους τύπους:
;
.
Αυτοί οι τύποι μπορούν να συνδυαστούν ως εξής:
.
Όταν οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι γνωστές, τότε ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο παραγόντων (παραγοντικά):
.
Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι είναι πραγματικοί αριθμοί.
Ας σκεφτούμε διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
.
Εάν η διάκριση είναι θετική, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:
;
.
Τότε η παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου έχει τη μορφή:
.
Εάν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο πολλαπλές (ίσες) πραγματικές ρίζες:
.
Παραγοντοποίηση:
.
Εάν η διάκριση είναι αρνητική, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες:
;
.
Εδώ είναι η φανταστική μονάδα, ;
και είναι τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των ριζών:
;
.
Επειτα
.
Γραφική ερμηνεία
Αν χτίσεις γράφημα μιας συνάρτησης
,
που είναι παραβολή, τότε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης
.
Στο , το γράφημα τέμνει τον άξονα x (άξονα) σε δύο σημεία.
Όταν , το γράφημα αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο.
Όταν , το γράφημα δεν διασχίζει τον άξονα x.
Παρακάτω είναι παραδείγματα τέτοιων γραφημάτων.
Χρήσιμοι τύποι που σχετίζονται με την τετραγωνική εξίσωση
(στ.1) ;
(στ.2) ;
(στ.3) .
Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς και εφαρμόζουμε τους τύπους (στ.1) και (στ.3):
,
Οπου
;
.
Έτσι, πήραμε τον τύπο για ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού με τη μορφή:
.
Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση
εκτελείται στο
Και .
Δηλαδή και είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης
.
Παραδείγματα προσδιορισμού των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Παράδειγμα 1
(1.1)
.
Λύση
.
Συγκρίνοντας με την εξίσωσή μας (1.1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Εφόσον η διάκριση είναι θετική, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες:
;
;
.
Από εδώ προκύπτει η παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου:
.
Γράφημα της συνάρτησης y = 2 x 2 + 7 x + 3τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία.
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Διασχίζει τον άξονα (άξονα) της τετμημένης σε δύο σημεία:
Και .
Αυτά τα σημεία είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης (1.1).
Απάντηση
;
;
.
Παράδειγμα 2
Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
(2.1)
.
Λύση
Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική μορφή:
.
Συγκρίνοντας με την αρχική εξίσωση (2.1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Εφόσον η διάκριση είναι μηδέν, η εξίσωση έχει δύο πολλαπλές (ίσες) ρίζες:
;
.
Τότε η παραγοντοποίηση του τριωνύμου έχει τη μορφή:
.
Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 - 4 x + 4αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο.
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Αγγίζει τον άξονα x (άξονα) σε ένα σημείο:
.
Αυτό το σημείο είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης (2.1). Επειδή αυτή η ρίζα συνυπολογίζεται δύο φορές:
,
τότε μια τέτοια ρίζα συνήθως ονομάζεται πολλαπλή. Δηλαδή, πιστεύουν ότι υπάρχουν δύο ίσες ρίζες:
.
Απάντηση
;
.
Παράδειγμα 3
Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
(3.1)
.
Λύση
Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική μορφή:
(1)
.
Ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση (3.1):
.
Συγκρίνοντας με το (1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Η διάκριση είναι αρνητική, . Επομένως δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Μπορείτε να βρείτε πολύπλοκες ρίζες:
;
;
.
Επειτα
.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν διασχίζει τον άξονα x. Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Δεν τέμνει τον άξονα x (άξονα). Επομένως δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Απάντηση
Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. Σύνθετες ρίζες:
;
;
.
Τετραγωνική εξίσωση - εύκολο να λυθεί! *Στο εξής θα αναφέρεται ως «KU».Φίλοι, φαίνεται ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει τίποτα πιο απλό στα μαθηματικά από την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης. Αλλά κάτι μου είπε ότι πολλοί άνθρωποι έχουν προβλήματα μαζί του. Αποφάσισα να δω πόσες εμφανίσεις κατ' απαίτηση δίνει η Yandex ανά μήνα. Να τι συνέβη, δείτε:
Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι περίπου 70.000 άτομα το μήνα αναζητούν αυτή η πληροφορία, τι σχέση έχει αυτό το καλοκαίρι και τι θα γίνει μεταξύ σχολική χρονιά— θα υπάρξουν διπλάσιες αιτήσεις. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή εκείνοι οι τύποι και τα κορίτσια που αποφοίτησαν από το σχολείο πριν από πολύ καιρό και προετοιμάζονται για τις εξετάσεις του Unified State, αναζητούν αυτές τις πληροφορίες και οι μαθητές προσπαθούν επίσης να ανανεώσουν τη μνήμη τους.
Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν πολλοί ιστότοποι που σας λένε πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση, αποφάσισα επίσης να συνεισφέρω και να δημοσιεύσω το υλικό. Πρώτον, θέλω οι επισκέπτες να έρχονται στον ιστότοπό μου με βάση αυτό το αίτημα. Δεύτερον, σε άλλα άρθρα, όταν εμφανιστεί το θέμα "KU", θα παράσχω έναν σύνδεσμο προς αυτό το άρθρο. Τρίτον, θα σας πω λίγα περισσότερα για τη λύση του από ό,τι συνήθως αναφέρεται σε άλλους ιστότοπους. Ας αρχίσουμε!Το περιεχόμενο του άρθρου:
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:
όπου οι συντελεστές α,σικαι c είναι αυθαίρετοι αριθμοί, με a≠0.
ΣΕ σχολικό μάθηματο υλικό δίνεται στην ακόλουθη μορφή - οι εξισώσεις χωρίζονται υπό όρους σε τρεις κατηγορίες:
1. Έχουν δύο ρίζες.
2. *Έχετε μόνο μία ρίζα.
3. Δεν έχουν ρίζες. Αξίζει ιδιαίτερα να σημειωθεί εδώ ότι δεν έχουν πραγματικές ρίζες
Πώς υπολογίζονται οι ρίζες; Μόλις!
Υπολογίζουμε τη διάκριση. Κάτω από αυτή την «τρομερή» λέξη κρύβεται ένας πολύ απλός τύπος:
Οι τύποι ρίζας είναι οι εξής:
*Πρέπει να γνωρίζετε αυτούς τους τύπους από έξω.
Μπορείτε να γράψετε αμέσως και να λύσετε:
Παράδειγμα:
1. Αν D > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
2. Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.
3. Εάν ο Δ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Ας δούμε την εξίσωση:
Από αυτή την άποψη, όταν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, το σχολικό μάθημα λέει ότι προκύπτει μία ρίζα, εδώ είναι ίση με εννέα. Όλα είναι σωστά, έτσι είναι, αλλά...
Αυτή η ιδέα είναι κάπως εσφαλμένη. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο ρίζες. Ναι, ναι, μην εκπλαγείτε, παίρνετε δύο ίσες ρίζες, και για να είμαστε μαθηματικά ακριβείς, τότε η απάντηση θα πρέπει να γράφει δύο ρίζες:
x 1 = 3 x 2 = 3
Αλλά αυτό είναι έτσι - μια μικρή παρέκβαση. Στο σχολείο μπορείς να το γράψεις και να πεις ότι υπάρχει μία ρίζα.
Τώρα το επόμενο παράδειγμα:
Όπως γνωρίζουμε, η ρίζα του αρνητικός αριθμόςδεν εξάγεται, επομένως τα διαλύματα σε σε αυτήν την περίπτωσηΟχι.
Αυτή είναι η όλη διαδικασία απόφασης.
Τετραγωνική λειτουργία.
Αυτό δείχνει πώς φαίνεται γεωμετρικά η λύση. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό να το κατανοήσουμε (στο μέλλον, σε ένα από τα άρθρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς τη λύση της τετραγωνικής ανισότητας).
Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας:
όπου x και y είναι μεταβλητές
a, b, c – δεδομένοι αριθμοί, με a ≠ 0
Η γραφική παράσταση είναι παραβολή:
Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι η επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης στο "y" ίσο με μηδένβρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x. Μπορεί να υπάρχουν δύο από αυτά τα σημεία (το διακριτικό είναι θετικό), ένα (το διακριτικό είναι μηδέν) και κανένα (το διακριτικό είναι αρνητικό). Λεπτομέρειες για τετραγωνική λειτουργία Μπορείτε να δείτεάρθρο της Inna Feldman.
Ας δούμε παραδείγματα:
Παράδειγμα 1: Λύση 2x 2 +8 Χ–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Απάντηση: x 1 = 8 x 2 = –12
*Ήταν δυνατό να διαιρεθεί αμέσως η αριστερή και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το 2, δηλαδή να απλοποιηθεί. Οι υπολογισμοί θα είναι ευκολότεροι.
Παράδειγμα 2: Αποφασίζω x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Βρήκαμε ότι x 1 = 11 και x 2 = 11
Επιτρέπεται να γράψετε x = 11 στην απάντηση.
Απάντηση: x = 11
Παράδειγμα 3: Αποφασίζω x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχει λύση σε πραγματικούς αριθμούς.
Απάντηση: Καμία λύση
Η διάκριση είναι αρνητική. Υπάρχει λύση!
Εδώ θα μιλήσουμε για την επίλυση της εξίσωσης στην περίπτωση που προκύπτει αρνητικός διαχωριστής. Γνωρίζετε τίποτα για τους μιγαδικούς αριθμούς; Δεν θα μπω σε λεπτομέρειες εδώ για το γιατί και πού προέκυψαν και ποιος είναι ο συγκεκριμένος ρόλος και η αναγκαιότητά τους στα μαθηματικά· αυτό είναι ένα θέμα για ένα μεγάλο ξεχωριστό άρθρο.
Η έννοια του μιγαδικού αριθμού.
Λίγη θεωρία.
Ένας μιγαδικός αριθμός z είναι ένας αριθμός της φόρμας
z = a + bi
όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, το i είναι η λεγόμενη φανταστική μονάδα.
α+δι – αυτός είναι ΜΟΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, όχι προσθήκη.
Η φανταστική μονάδα είναι ίση με τη ρίζα μείον ένα:
Τώρα σκεφτείτε την εξίσωση:
Παίρνουμε δύο συζυγείς ρίζες.
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση.
Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις, όταν ο συντελεστής "b" ή "c" είναι ίσος με μηδέν (ή και οι δύο είναι ίσοι με μηδέν). Μπορούν να λυθούν εύκολα χωρίς διακρίσεις.
Περίπτωση 1. Συντελεστής b = 0.
Η εξίσωση γίνεται:
Ας μεταμορφώσουμε:
Παράδειγμα:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Περίπτωση 2. Συντελεστής c = 0.
Η εξίσωση γίνεται:
Ας μετασχηματίσουμε και παραγοντοποιήσουμε:
*Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.
Παράδειγμα:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ή x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Περίπτωση 3. Συντελεστές b = 0 και c = 0.
Εδώ είναι σαφές ότι η λύση της εξίσωσης θα είναι πάντα x = 0.
Χρήσιμες ιδιότητες και μοτίβα συντελεστών.
Υπάρχουν ιδιότητες που σας επιτρέπουν να λύσετε εξισώσεις με μεγάλους συντελεστές.
ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα
ένα + σι+ c = 0,Οτι
- αν για τους συντελεστές της εξίσωσης ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα
ένα+ γ =σι, Οτι
Αυτές οι ιδιότητες βοηθούν στην επίλυση ενός συγκεκριμένου τύπου εξίσωσης.
Παράδειγμα 1: 5001 Χ 2 –4995 Χ – 6=0
Το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, που σημαίνει
Παράδειγμα 2: 2501 Χ 2 +2507 Χ+6=0
Ισχύει η ισότητα ένα+ γ =σι, Που σημαίνει
Κανονικότητα συντελεστών.
1. Αν στην εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι ίσες
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx + c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής “c” είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Αν στην Εξ. ax 2 + bx – c = 0 συντελεστής «b» ισούται με (α 2 – 1), και ο συντελεστής «γ» ισούται αριθμητικά με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι ίσες
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx – c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 – 1), και ο συντελεστής c είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Το θεώρημα του Βιέτα.
Το θεώρημα του Βιέτα πήρε το όνομά του από τον διάσημο Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιέτα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορούμε να εκφράσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός αυθαίρετου KU ως προς τους συντελεστές του.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Συνολικά, ο αριθμός 14 δίνει μόνο 5 και 9. Αυτές είναι ρίζες. Με μια συγκεκριμένη ικανότητα, χρησιμοποιώντας το παρουσιαζόμενο θεώρημα, μπορείτε να λύσετε πολλές δευτεροβάθμιες εξισώσεις προφορικά αμέσως.
Το θεώρημα του Vieta, επιπλέον. Είναι βολικό στο ότι μετά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον συνήθη τρόπο (μέσω ενός διαχωριστή), οι προκύπτουσες ρίζες μπορούν να ελεγχθούν. Συνιστώ να το κάνετε αυτό πάντα.
ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής "α" πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να "πεταχτεί" σε αυτόν, γι' αυτό ονομάζεται μέθοδος «μεταφοράς».Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.
Αν ΕΝΑ± β+γ≠ 0, τότε χρησιμοποιείται η τεχνική μεταφοράς, για παράδειγμα:
2Χ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => Χ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta στην εξίσωση (2), είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι x 1 = 10 x 2 = 1
Οι προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης πρέπει να διαιρεθούν με το 2 (καθώς οι δύο "πετάχτηκαν" από το x 2), παίρνουμε
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Ποιο είναι το σκεπτικό; Κοίτα τι συμβαίνει.
Οι διακρίσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι ίσες:
Αν κοιτάξετε τις ρίζες των εξισώσεων, λαμβάνετε μόνο διαφορετικούς παρονομαστές και το αποτέλεσμα εξαρτάται ακριβώς από τον συντελεστή x 2:
Το δεύτερο (τροποποιημένο) έχει ρίζες 2 φορές μεγαλύτερες.
Επομένως, διαιρούμε το αποτέλεσμα με 2.
*Αν ξανατυλίξουμε τα τρία, θα διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το 3 κ.λπ.
Απάντηση: x 1 = 5 x 2 = 0,5
πλ. ur-ie και Ενιαία Κρατική Εξέταση.
Θα σας πω εν συντομία για τη σημασία του - ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΤΕ γρήγορα και χωρίς σκέψη, πρέπει να γνωρίζετε τις φόρμουλες των ριζών και των διακρίσεων από καρδιάς. Πολλά από τα προβλήματα που περιλαμβάνονται στις εργασίες της Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης συνοψίζονται στην επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης (συμπεριλαμβανομένων των γεωμετρικών).
Κάτι που αξίζει να σημειωθεί!
1. Η μορφή γραφής μιας εξίσωσης μπορεί να είναι «σιωπηρή». Για παράδειγμα, είναι δυνατή η ακόλουθη καταχώρηση:
15+ 9x 2 - 45x = 0 ή 15x+42+9x 2 - 45x=0 ή 15 -5x+10x 2 = 0.
Πρέπει να τον φέρεις τυπική όψη(για να μην μπερδεύεστε όταν αποφασίζετε).
2. Θυμηθείτε ότι το x είναι άγνωστη ποσότητα και μπορεί να συμβολιστεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα - t, q, p, h και άλλα.
ΣΕ σύγχρονη κοινωνίαη ικανότητα εκτέλεσης πράξεων με εξισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή στο τετράγωνο μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στις επιστημονικές και τεχνικές εξελίξεις. Απόδειξη αυτού μπορούν να βρεθούν στον σχεδιασμό των θαλάσσιων και ποταμόπλοια, αεροπλάνα και πυραύλους. Χρησιμοποιώντας τέτοιους υπολογισμούς, οι τροχιές της κίνησης των περισσότερων διαφορετικά σώματα, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με λύση τετραγωνικές εξισώσειςχρησιμοποιούνται όχι μόνο στις οικονομικές προβλέψεις, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε πεζοπορικές εκδρομές, σε αθλητικές εκδηλώσεις, σε καταστήματα κατά τις αγορές και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.
Ας χωρίσουμε την έκφραση στους συντελεστές της
Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η παράσταση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική.
Εάν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε οι υποδεικνυόμενες εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν αριστερή πλευράη έκφραση αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή, μια μεταβλητή σε τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (μια άγνωστη χωρίς τετράγωνο με τον συντελεστή της) και c (ένα ελεύθερο συστατικό, δηλαδή ένας συνηθισμένος αριθμός). Όλα αυτά στη δεξιά πλευρά είναι ίσα με 0. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο στερείται ενός από τους όρους του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι τιμές των μεταβλητών στις οποίες είναι εύκολο να βρεθούν, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.
Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, ο ευκολότερος τρόπος να βρείτε το x είναι βάζοντας τη μεταβλητή εκτός αγκύλων. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Στη συνέχεια, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα καταλήγει στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.
Παράδειγμα
x=0 ή 8x - 3 = 0
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.
Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό την επίδραση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο που λαμβάνεται ως η αρχή των συντεταγμένων. Εδώ ο μαθηματικός συμβολισμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε το χρόνο που περνά από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά θα μιλήσουμε για αυτό αργότερα.
Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης
Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσεις. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.
X 2 - 33x + 200 = 0
Αυτό το τετραγωνικό τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, ας μεταμορφώσουμε την έκφραση και ας την παραμετροποιήσουμε. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.
Παραδείγματα με επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.
Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x+1), (x-3) και (x+ 3).
Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -1; 3.
Τετραγωνική ρίζα
Άλλη περίπτωση ημιτελής εξίσωσηδεύτερης τάξης είναι μια έκφραση που αναπαρίσταται στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε δεξί μέροςείναι κατασκευασμένο από τα εξαρτήματα ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, ο ελεύθερος όρος μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και μετά εξάγεται και από τις δύο πλευρές της ισότητας Τετραγωνική ρίζα. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις μπορεί να είναι ισότητες που δεν περιέχουν όρο με καθόλου, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και παραλλαγές εκφράσεων όταν η δεξιά πλευρά αποδεικνύεται αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.
Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.
Υπολογισμός επιφάνειας γης
Η ανάγκη για τέτοιου είδους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους καθορίστηκε σε μεγάλο βαθμό από την ανάγκη να προσδιοριστούν με τη μεγαλύτερη ακρίβεια οι περιοχές και οι περιμέτρους των οικοπέδων.
Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων που βασίζονται σε προβλήματα αυτού του είδους.
Ας πούμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο οικόπεδο, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας εάν γνωρίζετε ότι η έκτασή της είναι 612 m2.
Για να ξεκινήσουμε, ας δημιουργήσουμε πρώτα την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε με x το πλάτος της περιοχής, τότε το μήκος της θα είναι (x+16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι το εμβαδόν καθορίζεται από την παράσταση x(x+16), η οποία, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x(x+16) = 612.
Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν ισούται καθόλου με 0, επομένως χρησιμοποιούνται διαφορετικές μέθοδοι εδώ.
Διακριτικός
Πρώτα από όλα, ας κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς, λοιπόν εμφάνισηαυτής της έκφρασης θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει μια έκφραση σε μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c=-612.
Αυτό θα μπορούσε να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό. Εδώ γίνονται οι απαραίτητοι υπολογισμοί σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική ποσότητα όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των απαιτούμενων ποσοτήτων σε μια εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει την ποσότητα πιθανές επιλογές. Αν D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους
Στην περίπτωσή μας, η διάκριση ισούται με: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό υποδηλώνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε k, η λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.
Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί οι διαστάσεις του οικοπέδου δεν μπορούν να μετρηθούν σε αρνητικές ποσότητες, που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος του οικοπέδου) είναι 18 μ. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18 +16=34, και η περίμετρος 2(34+ 18)=104(m2).
Παραδείγματα και εργασίες
Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερείς λύσεις αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή, θα πάρουμε τον τύπο της εξίσωσης που συνήθως ονομάζεται τυπική και θα την εξισώσουμε με το μηδέν.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Προσθέτοντας παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D = 49 - 48 = 1. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Ας τα υπολογίσουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο με 1.
2) Τώρα ας λύσουμε μυστήρια διαφορετικού είδους.
Ας μάθουμε αν υπάρχουν ρίζες εδώ x 2 - 4x + 5 = 1; Για να λάβουμε μια ολοκληρωμένη απάντηση, ας μειώσουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη συνήθη μορφή και ας υπολογίσουμε τη διάκριση. Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση, γιατί αυτή δεν είναι καθόλου η ουσία του προβλήματος. Σε αυτή την περίπτωση, D = 16 - 20 = -4, που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.
Το θεώρημα του Βιέτα
Είναι βολικό να λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους και το διαχωριστικό, όταν η τετραγωνική ρίζα λαμβάνεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα. Πήρε το όνομά της από αυτόν που έζησε τον 16ο αιώνα στη Γαλλία και έκανε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.
Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αθροίζονται αριθμητικά σε -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.
Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:
x 2 + 7x - 18 = 0
Ας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Αφού ελέγξουμε, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι μεταβλητές τιμές ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.
Γράφημα παραβολής και εξίσωση
Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί νωρίτερα. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους λίγο πιο αναλυτικά. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια σχέση, σχεδιασμένη ως γράφημα, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα.
Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο αναδύονται οι κλάδοι της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b/2a. Και αντικαθιστώντας την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε το y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής, η οποία ανήκει στον άξονα τεταγμένων.
Η τομή των κλάδων μιας παραβολής με τον άξονα της τετμημένης
Υπάρχουν πολλά παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τους δούμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το 0 λάβει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Από το γράφημα της παραβολής μπορείτε να προσδιορίσετε και τις ρίζες. Το αντίθετο ισχύει επίσης. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι ευκολότερο να κατασκευάσετε ένα γράφημα.
Από την ιστορία
Χρησιμοποιώντας εξισώσεις που περιείχαν μια τετράγωνη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια δεν έκαναν μόνο μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν τα εμβαδά των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγάλες ανακαλύψεις στους τομείς της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για την πραγματοποίηση αστρολογικών προβλέψεων.
Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την εποχή μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν ριζικά διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν εξοικειωμένοι με άλλες λεπτότητες που γνωρίζει κάθε σύγχρονος μαθητής.
Ίσως ακόμη νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία Baudhayama άρχισε να λύνει τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την εποχή του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφερόντουσαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις τα παλιά χρόνια. Στην Ευρώπη, οι τετραγωνικές εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στα έργα τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Νεύτωνας, ο Ντεκάρτ και πολλοί άλλοι.