Διάλεξη: «Μέθοδοι επίλυσης εκθετικών εξισώσεων».
1 . εκθετικές εξισώσεις.
Οι εξισώσεις που περιέχουν άγνωστους στον εκθέτη ονομάζονται εκθετικές εξισώσεις. Η απλούστερη από αυτές είναι η εξίσωση ax = b, όπου a > 0 και a ≠ 1.
1) Για β< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Για b > 0, χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της συνάρτησης και το θεώρημα της ρίζας, η εξίσωση έχει μία ρίζα. Για να το βρείτε, το b πρέπει να παριστάνεται ως b = aс, ax = bс ó x = c ή x = logab.
Οι εκθετικές εξισώσεις, μέσω αλγεβρικών μετασχηματισμών, οδηγούν σε τυπικές εξισώσεις, οι οποίες επιλύονται με τις ακόλουθες μεθόδους:
1) μέθοδος αναγωγής σε μία βάση.
2) μέθοδος αξιολόγησης.
3) γραφική μέθοδος?
4) η μέθοδος εισαγωγής νέων μεταβλητών.
5) μέθοδος παραγοντοποίησης?
6) ενδεικτικά - εξισώσεις ισχύος;
7) εκθετική με παράμετρο.
2 . Μέθοδος μείωσης σε μία βάση.
Η μέθοδος βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των μοιρών: εάν δύο μοίρες είναι ίσες και οι βάσεις τους είναι ίσες, τότε οι εκθέτες τους είναι ίσοι, δηλ., η εξίσωση θα πρέπει να προσπαθήσει να αναχθεί στη μορφή
Παραδείγματα. Λύστε την εξίσωση:
1 . 3x=81;
Ας αναπαραστήσουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με τη μορφή 81 = 34 και ας γράψουμε την εξίσωση που ισοδυναμεί με την αρχική 3 x = 34. x = 4. Απάντηση: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> και μεταβείτε στην εξίσωση για τους εκθέτες 3x+1 = 3 – 5x, 8x = 4; x = 0,5 Απάντηση: 0,5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Σημειώστε ότι οι αριθμοί 0,2, 0,04, √5 και 25 είναι δυνάμεις του 5. Ας εκμεταλλευτούμε αυτό και ας μετατρέψουμε την αρχική εξίσωση ως εξής:
,
απ' όπου 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, από την οποία βρίσκουμε τη λύση x = -1. Απάντηση: -1.
5. 3x = 5. Εξ ορισμού του λογαρίθμου, x = log35. Απάντηση: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, δηλ. png" width="181" height="49 src="> Επομένως x - 4 =0, x = 4. Απάντηση: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων γράφουμε την εξίσωση με τη μορφή ε. x+1 = 2, x =1. Απάντηση: 1.
Τράπεζα εργασιών Νο. 1.
Λύστε την εξίσωση:
Δοκιμή αριθμός 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
Α3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) χωρίς ρίζες |
1) 7;1 2) χωρίς ρίζες 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
Α5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
Α6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Δοκιμή #2
Α'1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
Α2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
Α3 | 1) 2;-1 2) χωρίς ρίζες 3) 0 4) -2;1 |
Α4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
Α5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Μέθοδος αξιολόγησης.
Το θεώρημα της ρίζας: αν η συνάρτηση f (x) αυξάνεται (μειώνεται) στο διάστημα I, ο αριθμός a είναι οποιαδήποτε τιμή που λαμβάνεται από τη f σε αυτό το διάστημα, τότε η εξίσωση f (x) = a έχει μία ρίζα στο διάστημα I.
Κατά την επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο εκτίμησης, χρησιμοποιείται αυτό το θεώρημα και οι ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης.
Παραδείγματα. Επίλυση εξισώσεων: 1. 4x = 5 - x.
Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως 4x + x = 5.
1. αν x \u003d 1, τότε 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 είναι αληθές, τότε το 1 είναι η ρίζα της εξίσωσης.
Η συνάρτηση f(x) = 4x αυξάνεται στο R και g(x) = x αυξάνεται στο R => h(x)= f(x)+g(x) αυξάνεται στο R ως το άθροισμα των αυξανόμενων συναρτήσεων, οπότε x = 1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης 4x = 5 – x. Απάντηση: 1.
2.
Λύση. Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα 
.
1. αν x = -1, τότε 
, 3 = 3-true, άρα x = -1 είναι η ρίζα της εξίσωσης.
2. αποδείξει ότι είναι μοναδικό.
3. Η συνάρτηση f(x) = - μειώνεται στο R, και η g(x) = - x - μειώνεται στο R => h(x) = f(x) + g(x) - μειώνεται στο R, ως το άθροισμα φθίνουσες συναρτήσεις. Άρα από το θεώρημα της ρίζας, x = -1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης. Απάντηση: -1.
Τράπεζα εργασιών Νο. 2. λύσει την εξίσωση
α) 4x + 1 = 6 - x;
σι) 
γ) 2x – 2 =1 – x;
4. Μέθοδος εισαγωγής νέων μεταβλητών.
Η μέθοδος περιγράφεται στην ενότητα 2.1. Η εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής (υποκατάσταση) πραγματοποιείται συνήθως μετά από μετασχηματισμούς (απλούστευση) των όρων της εξίσωσης. Εξετάστε παραδείγματα.
Παραδείγματα.
Rεξίσωση φαγητού: 1.
.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση διαφορετικά: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> δηλαδή..png" width="210" ύψος = "45">
Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση διαφορετικά: 
Σημειώστε https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - δεν είναι κατάλληλο.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - παράλογη εξίσωση. Σημειώνουμε ότι 
Η λύση της εξίσωσης είναι x = 2,5 ≤ 4, άρα 2,5 είναι η ρίζα της εξίσωσης. Απάντηση: 2.5.
Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη μορφή και ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με 56x+6 ≠ 0. Παίρνουμε την εξίσωση
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, οπότε..png" width="118" height="56">
Οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης - t1 = 1 και t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Λύση . Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα
και σημειώστε ότι είναι ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού.
Διαιρέστε την εξίσωση με 42x, παίρνουμε 
Αντικαταστήστε τη https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Απάντηση: 0; 0,5.
Τράπεζα εργασιών #3. λύσει την εξίσωση
σι) 
ΣΟΛ) 
Δοκιμή #3 με επιλογή απαντήσεων. Ελάχιστο επίπεδο.
Α'1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) χωρίς ρίζες 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) χωρίς ρίζες 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Δοκιμή #4 με επιλογή απαντήσεων. Γενικό επίπεδο.
Α'1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
Α5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) χωρίς ρίζες |
5. Μέθοδος παραγοντοποίησης.
1. Λύστε την εξίσωση: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Λύση..png" width="169" height="69"> , από όπου
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Λύση. Ας βγάλουμε 6x στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και 2x στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε την εξίσωση 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Επειδή 2x >0 για όλα τα x, μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με 2x χωρίς να φοβόμαστε ότι θα χάσουμε λύσεις. Παίρνουμε 3x = 1 x = 0.
3. 
Λύση. Λύνουμε την εξίσωση με παραγοντοποίηση.
Επιλέγουμε το τετράγωνο του διωνύμου 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 είναι η ρίζα της εξίσωσης.
Εξίσωση x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Δοκιμή #6 Γενικό επίπεδο.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
Α2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
Α3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
Α4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
Α5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Εκθετικές - εξισώσεις ισχύος.
Οι εκθετικές εξισώσεις συνδέονται με τις λεγόμενες εξισώσεις εκθετικής ισχύος, δηλαδή εξισώσεις της μορφής (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Αν είναι γνωστό ότι f(x)>0 και f(x) ≠ 1, τότε η εξίσωση, όπως και η εκθετική, λύνεται εξισώνοντας τους εκθέτες g(x) = f(x).
Εάν η συνθήκη δεν αποκλείει την πιθανότητα f(x)=0 και f(x)=1, τότε πρέπει να λάβουμε υπόψη αυτές τις περιπτώσεις κατά την επίλυση της εξίσωσης εκθετικής ισχύος.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Λύση. x2 +2x-8 - έχει νόημα για οποιοδήποτε x, επειδή ένα πολυώνυμο, άρα η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύνολο
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
σι) 
7. Εκθετικές εξισώσεις με παραμέτρους.
1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου p έχει μοναδική λύση η εξίσωση 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1);
Λύση. Ας εισάγουμε την αλλαγή 2x = t, t > 0, τότε η εξίσωση (1) θα πάρει τη μορφή t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Η διάκριση της εξίσωσης (2) είναι D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Η εξίσωση (1) έχει μια μοναδική λύση εάν η εξίσωση (2) έχει μια θετική ρίζα. Αυτό είναι δυνατό στις ακόλουθες περιπτώσεις.
1. Αν D = 0, δηλαδή p = 1, τότε η εξίσωση (2) θα πάρει τη μορφή t2 – 2t + 1 = 0, άρα t = 1, επομένως, η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση x = 0.
2. Αν p1, τότε 9(p – 1)2 > 0, τότε η εξίσωση (2) έχει δύο διαφορετική ρίζα t1 = p, t2 = 4p – 3. Η συνθήκη του προβλήματος ικανοποιείται από το σύνολο των συστημάτων
Αντικαθιστώντας τα t1 και t2 στα συστήματα, έχουμε
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Λύση. Αφήνω 
τότε η εξίσωση (3) θα πάρει τη μορφή t2 – 6t – a = 0. (4)
Ας βρούμε τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης (4) ικανοποιεί τη συνθήκη t > 0.
Ας εισάγουμε τη συνάρτηση f(t) = t2 – 6t – a. Οι ακόλουθες περιπτώσεις είναι πιθανές.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Περίπτωση 2. Η εξίσωση (4) έχει μοναδική θετική λύση αν
D = 0, εάν a = – 9, τότε η εξίσωση (4) θα πάρει τη μορφή (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Περίπτωση 3. Η εξίσωση (4) έχει δύο ρίζες, αλλά η μία από αυτές δεν ικανοποιεί την ανισότητα t > 0. Αυτό είναι δυνατό αν
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Έτσι, στο a 0 η εξίσωση (4) έχει μία μόνο θετική ρίζα 
. Τότε η εξίσωση (3) έχει μια μοναδική λύση 
Για ένα< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
αν ένα< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
αν a = – 9, τότε x = – 1;
αν a 0, τότε
Ας συγκρίνουμε τις μεθόδους για την επίλυση των εξισώσεων (1) και (3). Σημειώστε ότι κατά την επίλυση της εξίσωσης (1) ανάγεται σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση, η διάκριση της οποίας είναι ένα πλήρες τετράγωνο. Έτσι, οι ρίζες της εξίσωσης (2) υπολογίστηκαν αμέσως με τον τύπο των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και στη συνέχεια εξήχθησαν συμπεράσματα σχετικά με αυτές τις ρίζες. Η εξίσωση (3) ανάγεται σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση (4), η διάκριση της οποίας δεν είναι τέλειο τετράγωνο, επομένως, κατά την επίλυση της εξίσωσης (3), είναι σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν θεωρήματα για τη θέση των ριζών ενός τετραγωνικού τριωνύμου και ένα γραφικό μοντέλο. Σημειώστε ότι η εξίσωση (4) μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta.
Ας λύσουμε πιο σύνθετες εξισώσεις.
Εργασία 3. Λύστε την εξίσωση 
Λύση. ODZ: x1, x2.
Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση. Έστω 2x = t, t > 0, τότε, ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Βρείτε τις τιμές του a για τις οποίες τουλάχιστον μία ρίζα η εξίσωση (*) ικανοποιεί τη συνθήκη t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Απάντηση: αν a > - 13, a 11, a 5, τότε αν a - 13,
a = 11, a = 5, τότε δεν υπάρχουν ρίζες.
Βιβλιογραφία.
1. Guzeev θεμέλια της εκπαιδευτικής τεχνολογίας.
2. Τεχνολογία Guzeev: από τη λήψη στη φιλοσοφία.
Μ. «Διευθυντής» Νο. 4, 1996
3. Guzeev και οργανωτικές μορφέςμάθηση.
4. Guzeev και η πρακτική της ολοκληρωμένης εκπαιδευτικής τεχνολογίας.
Μ. " δημόσια εκπαίδευση", 2001
5. Guzeev από τα έντυπα του μαθήματος - σεμιναρίου.
Τα μαθηματικά στο σχολείο Νο 2, 1987, σελ. 9 - 11.
6. Εκπαιδευτικές τεχνολογίες Selevko.
Μ. «Λαϊκή εκπαίδευση», 1998
7. Οι μαθητές του Episheva μαθαίνουν μαθηματικά.
Μ. «Διαφωτισμός», 1990
8. Ο Ιβάνοφ να ετοιμάζει μαθήματα – εργαστήρια.
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο. 6, 1990, σελ. 37-40.
9. Μοντέλο διδασκαλίας μαθηματικών Smirnov.
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο 1, 1997, σελ. 32-36.
10. Tarasenko τρόποι οργάνωσης πρακτικής εργασίας.
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο 1, 1993, σελ. 27 - 28.
11. Σχετικά με ένα από τα είδη ατομικής εργασίας.
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο 2, 1994, σελ. 63 - 64.
12. Χαζάνκιν Δημιουργικές δεξιότητεςμαθητές.
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Νο 2, 1989, σελ. 10.
13. Σκανάβι. Εκδότης, 1997
14. et al. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Διδακτικό υλικό για
15. Εργασίες Krivonogov στα μαθηματικά.
Μ. «Πρωτο Σεπτέμβρη», 2002
16. Τσερκάσοφ. Εγχειρίδιο για μαθητές γυμνασίου και
εισαγωγή στα πανεπιστήμια. "A S T - σχολή τύπου", 2002
17. Zhevnyak για αιτούντες σε πανεπιστήμια.
Minsk and RF "Review", 1996
18. Γραπτή Δ. Προετοιμασία για την εξέταση στα μαθηματικά. M. Rolf, 1999
19. και άλλα Μαθαίνοντας να λύνουμε εξισώσεις και ανισώσεις.
Μ. «Διάνοια – Κέντρο», 2003
20. και άλλα.Εκπαιδευτικό και εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία για το E G E.
Μ. «Διάνοια – Κέντρο», 2003 και 2004
21 και άλλα.Παραλλαγές CMM. Κέντρο δοκιμών του Υπουργείου Άμυνας της Ρωσικής Ομοσπονδίας, 2002, 2003
22. Εξισώσεις Goldberg. «Quantum» Νο. 3, 1971
23. Volovich M. Πώς να διδάξετε με επιτυχία μαθηματικά.
Μαθηματικά, 1997 Νο. 3.
24 Okunev για το μάθημα, παιδιά! Μ. Διαφωτισμός, 1988
25. Yakimanskaya - προσανατολισμένη εκπαίδευση στο σχολείο.
26. Liimets δουλειά στο μάθημα. M. Knowledge, 1975
Στο κανάλι youtube του site μας για να ενημερωθείτε για όλα τα νέα μαθήματα βίντεο.
Αρχικά, ας θυμηθούμε τους βασικούς τύπους των βαθμών και τις ιδιότητές τους.
Προϊόν ενός αριθμού έναεμφανίζεται στον εαυτό του n φορές, μπορούμε να γράψουμε αυτή την έκφραση ως a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Ισχύς ή εκθετικές εξισώσεις - αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις (ή εκθέτες) και η βάση είναι ένας αριθμός.
Παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:
Σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι η βάση, είναι πάντα στο κάτω μέρος και η μεταβλητή Χβαθμό ή μέτρο.
Ας δώσουμε περισσότερα παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Τώρα ας δούμε πώς λύνονται οι εκθετικές εξισώσεις;
Ας πάρουμε μια απλή εξίσωση:
2 x = 2 3
Ένα τέτοιο παράδειγμα μπορεί να λυθεί ακόμα και στο μυαλό. Μπορεί να φανεί ότι x=3. Εξάλλου, για να είναι ίσες η αριστερή και η δεξιά πλευρά, πρέπει να βάλετε τον αριθμό 3 αντί για το x.
Ας δούμε τώρα πώς πρέπει να ληφθεί αυτή η απόφαση:
2 x = 2 3
x = 3
Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, αφαιρέσαμε ίδιους λόγους(δηλαδή αποσπάσματα) και έγραψε ό,τι απέμεινε, αυτά είναι μοίρες. Πήραμε την απάντηση που ψάχναμε.
Τώρα ας συνοψίσουμε τη λύση μας.
Αλγόριθμος για την επίλυση της εκθετικής εξίσωσης:
1. Χρειάζεται έλεγχος το ίδιοείτε οι βάσεις της εξίσωσης δεξιά και αριστερά. Εάν οι λόγοι δεν είναι οι ίδιοι, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.
2. Αφού οι βάσεις είναι ίδιες, εξισώνωβαθμό και λύστε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.
Τώρα ας λύσουμε μερικά παραδείγματα:
Ας ξεκινήσουμε απλά.
Οι βάσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά είναι ίσες με τον αριθμό 2, που σημαίνει ότι μπορούμε να απορρίψουμε τη βάση και να εξισώσουμε τις μοίρες τους.
x+2=4 Έχει βγει η απλούστερη εξίσωση.
x=4 - 2
x=2
Απάντηση: x=2
Στο παρακάτω παράδειγμα, μπορείτε να δείτε ότι οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτές είναι 3 και 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Αρχικά, μεταφέρουμε τα εννέα στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:
Τώρα πρέπει να φτιάξετε τις ίδιες βάσεις. Γνωρίζουμε ότι 9=3 2 . Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ισχύος (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Παίρνουμε 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 τώρα μπορείτε να δείτε ότι στα αριστερά και σωστη πλευραοι βάσεις είναι ίδιες και ίσες με τρεις, που σημαίνει ότι μπορούμε να τις απορρίψουμε και να εξισώσουμε τις μοίρες.
3x=2x+16 πήρε την απλούστερη εξίσωση
3x-2x=16
x=16
Απάντηση: x=16.
Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Πρώτα απ 'όλα, κοιτάμε τις βάσεις, οι βάσεις είναι διαφορετικές δύο και τέσσερις. Και πρέπει να είμαστε ίδιοι. Μετασχηματίζουμε το τετραπλό σύμφωνα με τον τύπο (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Και χρησιμοποιούμε επίσης έναν τύπο a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Προσθέστε στην εξίσωση:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Μας παρεμβαίνουν όμως άλλοι αριθμοί 10 και 24. Τι να τους κάνουμε; Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι στην αριστερή πλευρά επαναλαμβάνουμε 2 2x, εδώ είναι η απάντηση - μπορούμε να βάλουμε 2 2x εκτός παρενθέσεων:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Ας υπολογίσουμε την έκφραση σε αγκύλες:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το 6:
Φανταστείτε 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 βάσεις είναι ίδιες, πετάξτε τις και εξισώστε τις μοίρες.
Το 2x \u003d 2 αποδείχθηκε η απλούστερη εξίσωση. Το διαιρούμε με το 2, παίρνουμε
x = 1
Απάντηση: x = 1.
Ας λύσουμε την εξίσωση:
9 x - 12*3 x +27= 0
Ας μεταμορφώσουμε:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Παίρνουμε την εξίσωση:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Οι βάσεις μας είναι ίδιες, ίσες με τρεις Σε αυτό το παράδειγμα, είναι ξεκάθαρο ότι η πρώτη τριάδα έχει βαθμό διπλάσια (2x) από τη δεύτερη (μόλις x). Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να αποφασίσετε μέθοδος αντικατάστασης. Ο αριθμός με τον μικρότερο βαθμό αντικαθίσταται από:
Στη συνέχεια 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Αντικαθιστούμε όλες τις μοίρες με x στην εξίσωση με t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Παίρνουμε τετραγωνική εξίσωση. Επιλύουμε μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Επιστροφή στη Μεταβλητή Χ.
Παίρνουμε το t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Αυτό είναι,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο, από το t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Απάντηση: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Στον ιστότοπο μπορείτε στην ενότητα ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΠΟΦΑΣΙΣΤΕ να κάνετε ερωτήσεις που σας ενδιαφέρουν, σίγουρα θα σας απαντήσουμε.
Εγγραφείτε σε μια ομάδα
Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται από τον άνθρωπο από την αρχαιότητα και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Ισχύς ή εκθετικές εξισώσεις ονομάζονται εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις και η βάση είναι ένας αριθμός. Για παράδειγμα:
Η επίλυση της εκθετικής εξίσωσης καταλήγει σε 2 αρκετά απλά βήματα:
1. Είναι απαραίτητο να ελέγξετε αν οι βάσεις της εξίσωσης δεξιά και αριστερά είναι ίδιες. Εάν οι βάσεις δεν είναι ίδιες, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.
2. Αφού οι βάσεις γίνουν ίδιες, εξισώνουμε τις μοίρες και λύνουμε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια εκθετική εξίσωση της ακόλουθης μορφής:
Αξίζει να ξεκινήσετε τη λύση αυτής της εξίσωσης με ανάλυση της βάσης. Οι βάσεις είναι διαφορετικές - 2 και 4, και για τη λύση χρειαζόμαστε να είναι ίδιες, επομένως μετατρέπουμε το 4 σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]
Προσθέστε στην αρχική εξίσωση:
Ας βγάλουμε τις αγκύλες \
Express \
Επειδή οι μοίρες είναι οι ίδιες, τους απορρίπτουμε:
Απάντηση: \
Πού μπορώ να λύσω μια εκθετική εξίσωση online με έναν λύτη;
Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπο https:// site μας. Ο δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα λύσει την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε τις οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.
Στο στάδιο της προετοιμασίας για την τελική εξέταση, οι μαθητές Λυκείου πρέπει να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στο θέμα «Εκθετικές Εξισώσεις». Η εμπειρία των προηγούμενων ετών δείχνει ότι τέτοιες εργασίες προκαλούν ορισμένες δυσκολίες για τους μαθητές. Επομένως, οι μαθητές γυμνασίου, ανεξάρτητα από το επίπεδο προετοιμασίας τους, πρέπει να κατακτήσουν προσεκτικά τη θεωρία, να απομνημονεύσουν τους τύπους και να κατανοήσουν την αρχή της επίλυσης τέτοιων εξισώσεων. Έχοντας μάθει να αντιμετωπίζουν αυτό το είδος εργασιών, οι απόφοιτοι θα μπορούν να υπολογίζουν σε υψηλές βαθμολογίες όταν περνούν τις εξετάσεις στα μαθηματικά.
Ετοιμαστείτε για τις εξετάσεις μαζί με το Shkolkovo!
Κατά την επανάληψη των υλικών που καλύπτονται, πολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν το πρόβλημα να βρουν τους τύπους που απαιτούνται για την επίλυση των εξισώσεων. Το σχολικό εγχειρίδιο δεν είναι πάντα διαθέσιμο, και η επιλογή απαραίτητες πληροφορίεςγια το θέμα στο Διαδίκτυο παίρνει πολύ χρόνο.
Η εκπαιδευτική πύλη Shkolkovo προσκαλεί τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν τη βάση γνώσεων μας. Εφαρμόζουμε πλήρως νέα μέθοδοςπροετοιμασία για την τελική δοκιμασία. Μελετώντας στον ιστότοπό μας, θα μπορείτε να εντοπίσετε κενά στη γνώση και να δώσετε προσοχή σε αυτές ακριβώς τις εργασίες που προκαλούν τις μεγαλύτερες δυσκολίες.
Οι δάσκαλοι του "Shkolkovo" συγκέντρωσαν, συστηματοποίησαν και παρουσίασαν όλα τα απαραίτητα για την επιτυχή παράδοση ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΤΕ υλικόμε τον πιο απλό και προσιτό τρόπο.
Οι κύριοι ορισμοί και τύποι παρουσιάζονται στην ενότητα "Θεωρητική αναφορά".
Για καλύτερη αφομοίωση της ύλης, σας προτείνουμε να εξασκηθείτε στις εργασίες. Εξετάστε προσεκτικά τα παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων με λύσεις που παρουσιάζονται σε αυτή τη σελίδα για να κατανοήσετε τον αλγόριθμο υπολογισμού. Μετά από αυτό, προχωρήστε με τις εργασίες στην ενότητα "Κατάλογοι". Μπορείτε να ξεκινήσετε με τις πιο εύκολες εργασίες ή να προχωρήσετε κατευθείαν στην επίλυση σύνθετων εκθετικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους ή . Η βάση δεδομένων των ασκήσεων στην ιστοσελίδα μας συμπληρώνεται και ενημερώνεται συνεχώς.
Αυτά τα παραδείγματα με δείκτες που σας προκάλεσαν δυσκολίες μπορούν να προστεθούν στα "Αγαπημένα". Έτσι μπορείτε να τα βρείτε γρήγορα και να συζητήσετε τη λύση με τον δάσκαλο.
Για να περάσετε με επιτυχία τις εξετάσεις, μελετήστε στην πύλη Shkolkovo κάθε μέρα!
Οι λεγόμενες εξισώσεις της μορφής, όπου το άγνωστο είναι τόσο στον εκθέτη όσο και στη βάση του βαθμού.
Μπορείτε να καθορίσετε έναν εντελώς σαφή αλγόριθμο για την επίλυση μιας εξίσωσης της φόρμας. Για αυτό πρέπει να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι Ω)Δεν μηδέν, ενότητα και μείον ένα ισότητα δυνάμεων με τους ίδιους λόγους(είτε θετικό είτε αρνητικό) είναι δυνατό μόνο εάν οι δείκτες είναι ίσοι, δηλαδή όλες οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x)Η αντίστροφη πρόταση δεν είναι αληθής, αν Ω)< 0 και κλασματικές τιμές f(x)Και g(x)εκφράσεις Ω) f(x) Και
Ω) g(x) χάνουν το νόημά τους. Δηλαδή όταν πηγαίνεις από f(x) = g(x)(για και μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες, οι οποίες πρέπει να εξαιρεθούν με έλεγχο σύμφωνα με την αρχική εξίσωση. Και οι περιπτώσεις a = 0, a = 1, a = -1πρέπει να εξετάζονται χωριστά.
Ετσι, για ολοκληρωμένη λύσηοι εξισώσεις εξετάζουν τις περιπτώσεις:
a(x) = 0 f(x)Και g(x)είναι θετικοί αριθμοί, τότε αυτή είναι η λύση. Διαφορετικά, όχι
a(x) = 1. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι επίσης οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
a(x) = -1. Εάν, για μια τιμή του x που ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, f(x)Και g(x)είναι ακέραιοι της ίδιας ισοτιμίας (είτε και οι δύο είναι ζυγοί είτε και οι δύο είναι περιττοί), τότε αυτή είναι η λύση. Διαφορετικά, όχι
Για και λύνουμε την εξίσωση f(x)=g(x)και αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν στην αρχική εξίσωση, κόψαμε τις ξένες ρίζες.
Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων εκθετικής ισχύος.
Παράδειγμα #1.
1) x - 3 = 0, x = 3. επειδή 3 > 0, και 3 2 > 0, τότε x 1 = 3 είναι η λύση.
2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.
3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Και οι δύο δείκτες είναι ζυγοί. Αυτή είναι η λύση x 3 = 1.
4) x - 3; 0 και x; ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 ή x \u003d 1. Για x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, αυτή η λύση είναι x 4 \u003d 0. Για x \ u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - αυτή η λύση είναι σωστή x 5 = 1.
Απάντηση: 0, 1, 2, 3, 4.
Παράδειγμα #2.
Με τον ορισμό της αριθμητικής τετραγωνική ρίζα: x - 1 ? 0,x; 1.
1) x - 1 = 0 ή x = 1, = 0, 0 0 δεν είναι λύση.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) Το x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 δεν ταιριάζει στο ODZ.
D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - δεν υπάρχουν ρίζες.