Επίλυση εξισώσεων με κλάσματαΑς δούμε παραδείγματα. Τα παραδείγματα είναι απλά και ενδεικτικά. Με τη βοήθειά τους, θα μπορείτε να καταλάβετε με τον πιο κατανοητό τρόπο.
Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την απλή εξίσωση x/b + c = d.

Μια εξίσωση αυτού του τύπου ονομάζεται γραμμική, επειδή Ο παρονομαστής περιέχει μόνο αριθμούς.

Η λύση εκτελείται πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με b, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή x = b*(d – c), δηλ. ο παρονομαστής του κλάσματος στην αριστερή πλευρά ακυρώνει.

Για παράδειγμα, πώς να λύσετε κλασματική εξίσωση:
x/5+4=9
Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές επί 5. Παίρνουμε:
x+20=45
x=45-20=25

Ένα άλλο παράδειγμα όταν ο άγνωστος είναι στον παρονομαστή:

Οι εξισώσεις αυτού του τύπου ονομάζονται κλασματικές-ορθολογικές ή απλώς κλασματικές.

Θα λύναμε μια κλασματική εξίσωση απαλλάσσοντας τα κλάσματα, μετά την οποία αυτή η εξίσωση, τις περισσότερες φορές, μετατρέπεται σε γραμμική ή τετραγωνική εξίσωση, η οποία λύνεται με τον συνηθισμένο τρόπο. Απλά πρέπει να λάβετε υπόψη τα ακόλουθα σημεία:

• η τιμή μιας μεταβλητής που μετατρέπει τον παρονομαστή σε 0 δεν μπορεί να είναι ρίζα.
• Δεν μπορείτε να διαιρέσετε ή να πολλαπλασιάσετε μια εξίσωση με την παράσταση =0.

Εδώ μπαίνει στο παιχνίδι η έννοια της περιοχής. αποδεκτές τιμές(ODZ) είναι τέτοιες τιμές των ριζών της εξίσωσης στις οποίες η εξίσωση έχει νόημα.

Έτσι, κατά την επίλυση της εξίσωσης, είναι απαραίτητο να βρείτε τις ρίζες και στη συνέχεια να τις ελέγξετε για συμμόρφωση με το ODZ. Όσες ρίζες δεν αντιστοιχούν στο δικό μας ODZ εξαιρούνται από την απάντηση.

Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε μια κλασματική εξίσωση:

Με βάση τον παραπάνω κανόνα, το x δεν μπορεί να είναι = 0, δηλ. ODZ σε σε αυτήν την περίπτωση: x – οποιαδήποτε τιμή εκτός από το μηδέν.

Απαλλαγούμε από τον παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της εξίσωσης επί x

Και λύνουμε τη συνηθισμένη εξίσωση

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Απάντηση: x = 1/3

Ας λύσουμε μια πιο περίπλοκη εξίσωση:

Το ODZ είναι επίσης παρόν εδώ: x -2.

Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, δεν θα μετακινήσουμε τα πάντα στη μία πλευρά και θα μειώσουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή. Θα πολλαπλασιάσουμε αμέσως και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με μια παράσταση που θα ακυρώσει όλους τους παρονομαστές ταυτόχρονα.

Για να μειώσετε τους παρονομαστές που χρειάζεστε αριστερή πλευράπολλαπλασιάστε με x+2 και το δεξί χέρι με 2. Αυτό σημαίνει ότι και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει να πολλαπλασιαστούν με 2(x+2):

Αυτός είναι ο πιο συνηθισμένος πολλαπλασιασμός των κλασμάτων, τον οποίο έχουμε ήδη συζητήσει παραπάνω.

Ας γράψουμε την ίδια εξίσωση, αλλά λίγο διαφορετικά

Η αριστερή πλευρά μειώνεται κατά (x+2), και η δεξιά κατά 2. Μετά τη μείωση παίρνουμε το συνηθισμένο γραμμική εξίσωση:

x = 4 – 2 = 2, που αντιστοιχεί στο δικό μας ODZ

Απάντηση: x = 2.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματαόχι τόσο δύσκολο όσο μπορεί να φαίνεται. Σε αυτό το άρθρο το δείξαμε με παραδείγματα. Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες με πώς να λύσετε εξισώσεις με κλάσματα, στη συνέχεια καταργήστε την εγγραφή σας στα σχόλια.

Σε αυτό το βίντεο θα αναλύσουμε ένα ολόκληρο σύνολο γραμμικών εξισώσεων που λύνονται χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο - γι' αυτό ονομάζονται οι απλούστερες.

Αρχικά, ας ορίσουμε: τι είναι μια γραμμική εξίσωση και ποια ονομάζεται απλούστερη;

Μια γραμμική εξίσωση είναι αυτή στην οποία υπάρχει μόνο μία μεταβλητή και μόνο στον πρώτο βαθμό.

Η απλούστερη εξίσωση σημαίνει την κατασκευή:

Όλες οι άλλες γραμμικές εξισώσεις μειώνονται στην απλούστερη χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1. Αναπτύξτε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν.
2. Μετακινήστε όρους που περιέχουν μια μεταβλητή στη μία πλευρά του πρόσημου ίσου και όρους χωρίς μεταβλητή στην άλλη.
3. Δώστε παρόμοιους όρους στα αριστερά και δεξιά του πρόσημου ίσου.
4. Διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τον συντελεστή της μεταβλητής $x$.

Φυσικά, αυτός ο αλγόριθμος δεν βοηθά πάντα. Το γεγονός είναι ότι μερικές φορές μετά από όλες αυτές τις μηχανορραφίες ο συντελεστής της μεταβλητής $x$ αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατές δύο επιλογές:

1. Η εξίσωση δεν έχει καθόλου λύσεις. Για παράδειγμα, όταν προκύπτει κάτι σαν $0\cdot x=8$, π.χ. στα αριστερά είναι το μηδέν και στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν. Στο παρακάτω βίντεο θα δούμε αρκετούς λόγους για τους οποίους αυτή η κατάσταση είναι πιθανή.
2. Η λύση είναι όλοι οι αριθμοί. Η μόνη περίπτωση που αυτό είναι δυνατό είναι όταν η εξίσωση έχει μειωθεί στην κατασκευή $0\cdot x=0$. Είναι πολύ λογικό ότι ανεξάρτητα από το $x$ που αντικαθιστούμε, θα εξακολουθεί να αποδεικνύεται "το μηδέν ισούται με μηδέν", δηλ. σωστή αριθμητική ισότητα.

Τώρα ας δούμε πώς λειτουργούν όλα αυτά χρησιμοποιώντας παραδείγματα από την πραγματική ζωή.

Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων

Σήμερα έχουμε να κάνουμε με γραμμικές εξισώσεις, και μόνο τις πιο απλές. Γενικά, γραμμική εξίσωση σημαίνει κάθε ισότητα που περιέχει ακριβώς μία μεταβλητή και πηγαίνει μόνο στον πρώτο βαθμό.

Τέτοιες κατασκευές επιλύονται περίπου με τον ίδιο τρόπο:

1. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να επεκτείνετε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν (όπως στο τελευταίο μας παράδειγμα).
2. Στη συνέχεια συνδυάστε παρόμοια
3. Τέλος, απομονώστε τη μεταβλητή, δηλ. μετακινήστε όλα όσα συνδέονται με τη μεταβλητή - τους όρους στους οποίους περιέχεται - στη μία πλευρά και μετακινήστε ό,τι απομένει χωρίς αυτήν στην άλλη πλευρά.

Στη συνέχεια, κατά κανόνα, πρέπει να δώσετε παρόμοια σε κάθε πλευρά της ισότητας που προκύπτει και μετά από αυτό το μόνο που μένει είναι να διαιρέσετε με τον συντελεστή "x" και θα λάβουμε την τελική απάντηση.

Θεωρητικά, αυτό φαίνεται ωραίο και απλό, αλλά στην πράξη, ακόμη και έμπειροι μαθητές γυμνασίου μπορούν να κάνουν προσβλητικά λάθη σε αρκετά απλές γραμμικές εξισώσεις. Συνήθως, γίνονται σφάλματα είτε κατά το άνοιγμα των αγκύλων είτε κατά τον υπολογισμό των "συν" και "πλην".

Επιπλέον, συμβαίνει μια γραμμική εξίσωση να μην έχει καθόλου λύσεις ή η λύση να είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλ. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Θα εξετάσουμε αυτές τις λεπτότητες στο σημερινό μάθημα. Θα ξεκινήσουμε όμως, όπως ήδη καταλάβατε, με το πολύ απλές εργασίες.

Σχέδιο επίλυσης απλών γραμμικών εξισώσεων

Αρχικά, επιτρέψτε μου για άλλη μια φορά να γράψω ολόκληρο το σχήμα για την επίλυση των απλούστερων γραμμικών εξισώσεων:

1. Αναπτύξτε τις αγκύλες, εάν υπάρχουν.
2. Απομονώνουμε τις μεταβλητές, δηλ. Μετακινούμε ό,τι περιέχει "Χ" στη μία πλευρά και οτιδήποτε χωρίς "Χ" στην άλλη.
3. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.
4. Διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x".

Φυσικά, αυτό το σχέδιο δεν λειτουργεί πάντα· υπάρχουν ορισμένες λεπτές αποχρώσεις και κόλπα σε αυτό, και τώρα θα τα γνωρίσουμε.

Επίλυση πραγματικών παραδειγμάτων απλών γραμμικών εξισώσεων

Εργασία Νο. 1

Το πρώτο βήμα απαιτεί να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά δεν είναι σε αυτό το παράδειγμα, οπότε παραλείπουμε αυτό το βήμα. Στο δεύτερο βήμα πρέπει να απομονώσουμε τις μεταβλητές. Σημείωση: μιλάμε γιαμόνο για μεμονωμένους όρους. Ας το γράψουμε:

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους αριστερά και δεξιά, αλλά αυτό έχει ήδη γίνει εδώ. Επομένως, προχωράμε στο τέταρτο βήμα: διαιρούμε με τον συντελεστή:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Λοιπόν πήραμε την απάντηση.

Εργασία Νο. 2

Μπορούμε να δούμε τις παρενθέσεις σε αυτό το πρόβλημα, οπότε ας τις επεκτείνουμε:

Τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά βλέπουμε περίπου το ίδιο σχέδιο, αλλά ας ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. διαχωρισμός των μεταβλητών:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Σε ποιες ρίζες λειτουργεί αυτό; Απάντηση: για οποιαδήποτε. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι το $x$ είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Εργασία Νο. 3

Η τρίτη γραμμική εξίσωση είναι πιο ενδιαφέρουσα:

\[\αριστερά(6-x \δεξιά)+\αριστερά(12+x \δεξιά)-\αριστερά(3-2x \δεξιά)=15\]

Υπάρχουν πολλές παρενθέσεις, αλλά δεν πολλαπλασιάζονται με τίποτα, απλώς προηγούνται διάφορα σημάδια. Ας τα αναλύσουμε:

Εκτελούμε το δεύτερο βήμα που είναι ήδη γνωστό σε εμάς:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Ας κάνουμε τα μαθηματικά:

πραγματοποιούμε τελευταίο βήμα— διαιρέστε τα πάντα με τον συντελεστή «x»:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Πράγματα που πρέπει να θυμάστε κατά την επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Αν αγνοήσουμε πολύ απλές εργασίες, θα ήθελα να πω τα εξής:

• Όπως είπα παραπάνω, δεν έχει λύση κάθε γραμμική εξίσωση - μερικές φορές απλά δεν υπάρχουν ρίζες.
• Ακόμα κι αν υπάρχουν ρίζες, μπορεί να υπάρχει μηδέν ανάμεσά τους - δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό.

Το μηδέν είναι ο ίδιος αριθμός με τους άλλους· δεν πρέπει να κάνετε διακρίσεις εναντίον του με κανέναν τρόπο ή να υποθέσετε ότι εάν λάβετε μηδέν, τότε κάνατε κάτι λάθος.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό σχετίζεται με το άνοιγμα των στηρίξεων. Προσοχή: όταν υπάρχει ένα "μείον" μπροστά τους, το αφαιρούμε, αλλά σε παρένθεση αλλάζουμε τα σημάδια σε απεναντι απο. Και μετά μπορούμε να το ανοίξουμε χρησιμοποιώντας τυπικούς αλγόριθμους: θα πάρουμε αυτό που είδαμε στους παραπάνω υπολογισμούς.

Η κατανόηση αυτού του απλού γεγονότος θα σας βοηθήσει να αποφύγετε να κάνετε ανόητα και βλαβερά λάθη στο γυμνάσιο, όταν το να κάνετε τέτοια πράγματα θεωρείται δεδομένο.

Επίλυση μιγαδικών γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε σε περισσότερα σύνθετες εξισώσεις. Τώρα τα σχέδια θα γίνουν πιο περίπλοκα όταν εκτελεστούν διάφορες μεταμορφώσειςθα προκύψει μια τετραγωνική συνάρτηση. Ωστόσο, δεν πρέπει να το φοβόμαστε αυτό, γιατί εάν, σύμφωνα με το σχέδιο του συγγραφέα, λύσουμε μια γραμμική εξίσωση, τότε κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού όλα τα μονώνυμα που περιέχουν μια τετραγωνική συνάρτηση σίγουρα θα ακυρωθούν.

Παράδειγμα Νο. 1

Προφανώς, το πρώτο βήμα είναι να ανοίξετε τις αγκύλες. Ας το κάνουμε πολύ προσεκτικά:

Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά στο απόρρητο:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις, οπότε θα γράψουμε αυτό στην απάντηση:

\[\varnothing\]

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Παράδειγμα Νο. 2

Κάνουμε τις ίδιες ενέργειες. Το πρώτο βήμα:

Ας μετακινήσουμε τα πάντα με μια μεταβλητή προς τα αριστερά και χωρίς αυτήν - προς τα δεξιά:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η γραμμική εξίσωση δεν έχει λύση, οπότε θα τη γράψουμε ως εξής:

\[\varnothing\],

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Αποχρώσεις της λύσης

Και οι δύο εξισώσεις έχουν λυθεί πλήρως. Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο εκφράσεις ως παράδειγμα, πειστήκαμε για άλλη μια φορά ότι ακόμα και στις πιο απλές γραμμικές εξισώσεις, όλα μπορεί να μην είναι τόσο απλά: μπορεί να υπάρχουν είτε μία, είτε καμία, ή άπειρες ρίζες. Στην περίπτωσή μας, εξετάσαμε δύο εξισώσεις, και οι δύο απλώς δεν έχουν ρίζες.

Θα ήθελα όμως να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα άλλο γεγονός: πώς να εργάζεστε με παρενθέσεις και πώς να τις ανοίγετε εάν υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά τους. Σκεφτείτε αυτήν την έκφραση:

Πριν ανοίξετε, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με "Χ". Σημείωση: πολλαπλασιάζεται κάθε επιμέρους όρος. Μέσα υπάρχουν δύο όροι - αντίστοιχα, δύο όροι και πολλαπλασιασμένοι.

Και μόνο μετά την ολοκλήρωση αυτών των φαινομενικά στοιχειωδών, αλλά πολύ σημαντικών και επικίνδυνων μετασχηματισμών, μπορείτε να ανοίξετε την αγκύλη από την άποψη του γεγονότος ότι υπάρχει ένα σημάδι μείον μετά από αυτό. Ναι, ναι: μόνο τώρα, όταν ολοκληρωθούν οι μετασχηματισμοί, θυμόμαστε ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι όλα από κάτω αλλάζουν απλώς πρόσημα. Ταυτόχρονα, οι ίδιες οι αγκύλες εξαφανίζονται και, το πιο σημαντικό, το μπροστινό "μείον" εξαφανίζεται επίσης.

Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη εξίσωση:

Δεν είναι τυχαίο που δίνω σημασία σε αυτά τα μικρά, φαινομενικά ασήμαντα γεγονότα. Επειδή η επίλυση εξισώσεων είναι πάντα μια ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών, όπου η αδυναμία εκτέλεσης απλών ενεργειών με σαφήνεια και ικανότητα οδηγεί στο γεγονός ότι μαθητές γυμνασίου έρχονται σε μένα και μαθαίνουν ξανά να λύνουν τέτοιες απλές εξισώσεις.

Φυσικά, θα έρθει η μέρα που θα ακονίσετε αυτές τις δεξιότητες σε σημείο αυτοματισμού. Δεν θα χρειάζεται πλέον να κάνετε τόσους πολλούς μετασχηματισμούς κάθε φορά· θα γράφετε τα πάντα σε μια γραμμή. Αλλά ενώ μόλις μαθαίνετε, πρέπει να γράψετε κάθε ενέργεια ξεχωριστά.

Επίλυση ακόμη πιο περίπλοκων γραμμικών εξισώσεων

Αυτό που θα λύσουμε τώρα δύσκολα μπορεί να ονομαστεί η απλούστερη εργασία, αλλά το νόημα παραμένει το ίδιο.

Εργασία Νο. 1

\[\αριστερά(7x+1 \δεξιά)\αριστερά(3x-1 \δεξιά)-21((x)^(2))=3\]

Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία στο πρώτο μέρος:

Ας κάνουμε λίγο απόρρητο:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Ας ολοκληρώσουμε το τελευταίο βήμα:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Εδώ είναι η τελική μας απάντηση. Και, παρά το γεγονός ότι στη διαδικασία επίλυσης είχαμε συντελεστές με τετραγωνική συνάρτηση, ακυρώνονταν ο ένας τον άλλον, γεγονός που κάνει την εξίσωση γραμμική και όχι τετραγωνική.

Εργασία Νο. 2

\[\αριστερά(1-4x \δεξιά)\αριστερά(1-3x \δεξιά)=6x\αριστερά(2x-1 \δεξιά)\]

Ας εκτελέσουμε προσεκτικά το πρώτο βήμα: πολλαπλασιάστε κάθε στοιχείο από την πρώτη αγκύλη με κάθε στοιχείο από τη δεύτερη. Θα πρέπει να υπάρχουν συνολικά τέσσερις νέοι όροι μετά τους μετασχηματισμούς:

Τώρα ας εκτελέσουμε προσεκτικά τον πολλαπλασιασμό σε κάθε όρο:

Ας μετακινήσουμε τους όρους με "Χ" προς τα αριστερά και αυτούς χωρίς - προς τα δεξιά:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Εδώ είναι παρόμοιοι όροι:

Για άλλη μια φορά λάβαμε την τελική απάντηση.

Αποχρώσεις της λύσης

Η πιο σημαντική σημείωση σχετικά με αυτές τις δύο εξισώσεις είναι ότι μόλις αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε παρενθέσεις που περιέχουν περισσότερους από έναν όρους, το κάνει με επόμενος κανόνας: παίρνουμε τον πρώτο όρο από τον πρώτο και πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο του δεύτερου. τότε παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο από το πρώτο και ομοίως πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε τέσσερις θητείες.

Σχετικά με το αλγεβρικό άθροισμα

Με αυτό το τελευταίο παράδειγμα, θα ήθελα να υπενθυμίσω στους μαθητές τι είναι το αλγεβρικό άθροισμα. Στα κλασικά μαθηματικά, με το $1-7$ εννοούμε μια απλή κατασκευή: αφαιρέστε επτά από ένα. Στην άλγεβρα εννοούμε το εξής: στον αριθμό "ένα" προσθέτουμε έναν άλλο αριθμό, δηλαδή "μείον επτά". Έτσι διαφέρει ένα αλγεβρικό άθροισμα από ένα συνηθισμένο αριθμητικό άθροισμα.

Μόλις, όταν εκτελείτε όλους τους μετασχηματισμούς, κάθε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, αρχίσετε να βλέπετε κατασκευές παρόμοιες με αυτές που περιγράφονται παραπάνω, απλά δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα στην άλγεβρα όταν εργάζεστε με πολυώνυμα και εξισώσεις.

Τέλος, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα που θα είναι ακόμα πιο περίπλοκα από αυτά που μόλις εξετάσαμε και για να τα λύσουμε θα πρέπει να επεκτείνουμε ελαφρώς τον τυπικό μας αλγόριθμο.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα

Για να λύσουμε τέτοιες εργασίες, θα πρέπει να προσθέσουμε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμό μας. Αλλά πρώτα, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τον αλγόριθμό μας:

1. Ανοίξτε τις αγκύλες.
2. Ξεχωριστές μεταβλητές.
3. Φέρτε παρόμοια.
4. Διαιρέστε με την αναλογία.

Αλίμονο, αυτός ο υπέροχος αλγόριθμος, παρ' όλη την αποτελεσματικότητά του, αποδεικνύεται ότι δεν είναι απολύτως κατάλληλος όταν έχουμε κλάσματα μπροστά μας. Και σε αυτό που θα δούμε παρακάτω, έχουμε ένα κλάσμα και στα αριστερά και στα δεξιά και στις δύο εξισώσεις.

Πώς να εργαστείτε σε αυτή την περίπτωση; Ναι, είναι πολύ απλό! Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να προσθέσετε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμο, το οποίο μπορεί να γίνει τόσο πριν όσο και μετά την πρώτη ενέργεια, δηλαδή να απαλλαγείτε από κλάσματα. Ο αλγόριθμος λοιπόν θα είναι ο εξής:

1. Απαλλαγείτε από τα κλάσματα.
2. Ανοίξτε τις αγκύλες.
3. Ξεχωριστές μεταβλητές.
4. Φέρτε παρόμοια.
5. Διαιρέστε με την αναλογία.

Τι σημαίνει «να απαλλαγούμε από τα κλάσματα»; Και γιατί μπορεί να γίνει αυτό τόσο μετά όσο και πριν από το πρώτο τυπικό βήμα; Στην πραγματικότητα, στην περίπτωσή μας, όλα τα κλάσματα είναι αριθμητικά στον παρονομαστή τους, δηλ. Παντού ο παρονομαστής είναι απλώς ένας αριθμός. Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον αριθμό, θα απαλλαγούμε από τα κλάσματα.

Παράδειγμα Νο. 1

\[\frac(\αριστερά(2x+1 \δεξιά)\αριστερά(2x-3 \δεξιά))(4)=((x)^(2))-1\]

Ας απαλλαγούμε από τα κλάσματα αυτής της εξίσωσης:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Παρακαλώ σημειώστε: όλα πολλαπλασιάζονται με "τέσσερα" μία φορά, δηλ. Ακριβώς επειδή έχετε δύο παρενθέσεις δεν σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε την καθεμία με "τέσσερις". Ας γράψουμε:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Τώρα ας επεκταθούμε:

Αποκλείουμε τη μεταβλητή:

Πραγματοποιούμε τη μείωση παρόμοιων όρων:

\[-4x=-1\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Λάβαμε την τελική λύση, ας περάσουμε στη δεύτερη εξίσωση.

Παράδειγμα Νο. 2

\[\frac(\αριστερά(1-x \δεξιά)\αριστερά(1+5x \δεξιά))(5)+((x)^(2))=1\]

Εδώ εκτελούμε όλες τις ίδιες ενέργειες:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Το πρόβλημα λύθηκε.

Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το μόνο που ήθελα να σας πω σήμερα.

Βασικά σημεία

Βασικά ευρήματα είναι:

• Να γνωρίζετε τον αλγόριθμο επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.
• Δυνατότητα ανοίγματος αγκύλων.
• Μην ανησυχείς αν δεις τετραγωνικές συναρτήσεις, πιθανότατα, στη διαδικασία περαιτέρω μετασχηματισμών θα μειωθούν.
• Υπάρχουν τρεις τύποι ριζών στις γραμμικές εξισώσεις, ακόμα και οι πιο απλές: μία μόνο ρίζα, ολόκληρη η αριθμητική γραμμή είναι ρίζα και καθόλου ρίζες.

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατακτήσετε ένα απλό, αλλά πολύ σημαντικό θέμα για περαιτέρω κατανόηση όλων των μαθηματικών. Εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, μεταβείτε στον ιστότοπο και λύστε τα παραδείγματα που παρουσιάζονται εκεί. Μείνετε συντονισμένοι, σας περιμένουν πολλά ακόμα ενδιαφέροντα πράγματα!

να λύσουν τα μαθηματικά. Βρείτε γρήγορα επίλυση μαθηματικής εξίσωσηςσε λειτουργία Σε σύνδεση. Ο ιστότοπος www.site επιτρέπει λύσει την εξίσωσησχεδόν κάθε δεδομένο αλγεβρικός, τριγωνομετρικήή υπερβατική εξίσωση σε απευθείας σύνδεση. Όταν μελετάτε σχεδόν οποιοδήποτε κλάδο των μαθηματικών σε διαφορετικά στάδια, πρέπει να αποφασίσετε εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Για να λάβετε μια απάντηση αμέσως, και κυρίως μια ακριβή απάντηση, χρειάζεστε έναν πόρο που σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό. Χάρη στον ιστότοπο www.site επίλυση εξισώσεων διαδικτυακάθα διαρκέσει μερικά λεπτά. Το κύριο πλεονέκτημα του www.site κατά την επίλυση μαθηματικών εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση- αυτή είναι η ταχύτητα και η ακρίβεια της απόκρισης που παρέχεται. Ο ιστότοπος είναι σε θέση να λύσει οποιαδήποτε αλγεβρικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση, τριγωνομετρικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση, υπερβατικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση, και εξισώσειςμε άγνωστες παραμέτρους στη λειτουργία Σε σύνδεση. Εξισώσειςχρησιμεύει ως μια ισχυρή μαθηματική συσκευή λύσειςπρακτικά προβλήματα. Με βοήθεια μαθηματικές εξισώσειςείναι δυνατό να εκφραστούν γεγονότα και σχέσεις που μπορεί να φαίνονται μπερδεμένα και περίπλοκα με την πρώτη ματιά. Άγνωστες ποσότητες εξισώσειςμπορεί να βρεθεί διατυπώνοντας το πρόβλημα στο μαθηματικόςγλώσσα στη μορφή εξισώσειςΚαι αποφασίζωέλαβε εργασία σε λειτουργία Σε σύνδεσηστον ιστότοπο www.site. Οποιος αλγεβρική εξίσωση, τριγωνομετρική εξίσωσηή εξισώσειςπου περιέχει υπερφυσικόςχαρακτηριστικά που μπορείτε εύκολα αποφασίζω online και λάβετε την ακριβή απάντηση. Όταν σπουδάζεις φυσικές επιστήμες, αναπόφευκτα συναντάς την ανάγκη επίλυση εξισώσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, η απάντηση πρέπει να είναι ακριβής και πρέπει να λαμβάνεται αμέσως στη λειτουργία Σε σύνδεση. Επομένως για επίλυση μαθηματικών εξισώσεων διαδικτυακάπροτείνουμε τον ιστότοπο www.site, ο οποίος θα γίνει ο απαραίτητος υπολογιστής σας λύσεις αλγεβρικές εξισώσειςΣε σύνδεση, τριγωνομετρικές εξισώσειςΣε σύνδεση, και υπερβατικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεσηή εξισώσειςμε άγνωστες παραμέτρους. Για πρακτικά προβλήματα εύρεσης των ριζών διαφόρων μαθηματικές εξισώσειςπόρος www.. Επίλυση εξισώσεις σε απευθείας σύνδεσημόνοι σας, είναι χρήσιμο να ελέγξετε την απάντηση που λάβατε χρησιμοποιώντας διαδικτυακή λύσηεξισώσειςστον ιστότοπο www.site. Πρέπει να γράψετε την εξίσωση σωστά και να λάβετε αμέσως διαδικτυακή λύση, μετά από την οποία το μόνο που μένει είναι να συγκρίνετε την απάντηση με τη λύση σας στην εξίσωση. Ο έλεγχος της απάντησης δεν θα διαρκέσει περισσότερο από ένα λεπτό, είναι αρκετό επίλυση εξίσωσης διαδικτυακάκαι συγκρίνετε τις απαντήσεις. Αυτό θα σας βοηθήσει να αποφύγετε λάθη απόφασηκαι διορθώστε την απάντηση εγκαίρως όταν επίλυση εξισώσεων διαδικτυακάείτε αλγεβρικός, τριγωνομετρική, υπερφυσικόςή την εξίσωσημε άγνωστες παραμέτρους.

Οδηγίες

Μέθοδος αντικατάστασηςΕκφράστε μια μεταβλητή και αντικαταστήστε την με μια άλλη εξίσωση. Μπορείτε να εκφράσετε οποιαδήποτε μεταβλητή κατά την κρίση σας. Για παράδειγμα, εκφράστε το y από τη δεύτερη εξίσωση:
x-y=2 => y=x-2 Στη συνέχεια αντικαταστήστε τα πάντα στην πρώτη εξίσωση:
2x+(x-2)=10 Μετακινήστε τα πάντα χωρίς «x» στο σωστη πλευρακαι υπολογίστε:
2x+x=10+2
3x=12 Στη συνέχεια, για να πάρετε το x, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3:
x=4. Έτσι, βρήκατε το «x. Βρείτε το "y. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το "x" στην εξίσωση από την οποία εκφράσατε το "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Κάντε έναν έλεγχο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις προκύπτουσες τιμές στις εξισώσεις:
2*4+2=10
4-2=2
Τα άγνωστα βρέθηκαν σωστά!

Ένας τρόπος για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εξισώσεις Ξεφορτωθείτε οποιαδήποτε μεταβλητή αμέσως. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει με το «y.
Δεδομένου ότι στο "y" υπάρχει το σύμβολο "+" και στο δεύτερο "-", τότε μπορείτε να εκτελέσετε τη λειτουργία πρόσθεσης, δηλ. διπλώστε την αριστερή πλευρά με την αριστερή και τη δεξιά με τη δεξιά:
2x+y+(x-y)=10+2Μετατροπή:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Αντικαταστήστε το «x» σε οποιαδήποτε εξίσωση και βρείτε το «y»:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Με την 1η μέθοδο μπορείτε να δείτε ότι βρέθηκαν σωστά.

Εάν δεν υπάρχουν σαφώς καθορισμένες μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να μετασχηματιστούν ελαφρώς οι εξισώσεις.
Στην πρώτη εξίσωση έχουμε «2x» και στη δεύτερη έχουμε απλώς «x». Για να μειωθεί το x κατά την πρόσθεση, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 2:
x-y=2
2x-2y=4Στη συνέχεια αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Σημειώστε ότι αν υπάρχει ένα μείον πριν από το στήριγμα, μετά το άνοιγμα, αλλάξτε το στο αντίθετο:
2x+y-2x+2y=6
3υ=6
βρείτε y=2x εκφράζοντας από οποιαδήποτε εξίσωση, δηλ.
x=4

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Συμβουλή 2: Πώς να λύσετε μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές

Η εξίσωση, γραμμένο σε γενική μορφή ax+bу+c=0, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές. Μια τέτοια εξίσωση περιέχει από μόνη της έναν άπειρο αριθμό λύσεων, επομένως στα προβλήματα συμπληρώνεται πάντα με κάτι - μια άλλη εξίσωση ή περιοριστικές συνθήκες. Ανάλογα με τις συνθήκες που παρέχει το πρόβλημα, να λύσετε μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητέςπρέπει διαφορετικοί τρόποι.

Θα χρειαστείτε

• - γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.
• - δεύτερη εξίσωση ή πρόσθετες προϋποθέσεις.

Οδηγίες

Δίνεται ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων, λύστε το ως εξής. Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις στις οποίες βρίσκονται οι συντελεστές μεταβλητέςμικρότερο και εκφράζει μία από τις μεταβλητές, για παράδειγμα, x. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτή την τιμή που περιέχει το y στη δεύτερη εξίσωση. Στην εξίσωση που προκύπτει θα υπάρχει μόνο μία μεταβλητή y, μετακινήστε όλα τα μέρη με το y στην αριστερή πλευρά και τα ελεύθερα προς τα δεξιά. Βρείτε το y και αντικαταστήστε με οποιαδήποτε από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε το x.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Πολλαπλασιάστε μια από τις εξισώσεις με έναν αριθμό έτσι ώστε ο συντελεστής μιας από τις μεταβλητές, όπως x, να είναι ίδιος και στις δύο εξισώσεις. Στη συνέχεια αφαιρέστε τη μία από τις εξισώσεις από την άλλη (αν η δεξιά πλευρά δεν είναι ίση με 0, θυμηθείτε να αφαιρέσετε τις δεξιές πλευρές με τον ίδιο τρόπο). Θα δείτε ότι η μεταβλητή x έχει εξαφανιστεί και παραμένει μόνο μία μεταβλητή y. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει και αντικαταστήστε την τιμή του y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις αρχικές ισότητες. Βρείτε το x.

Ο τρίτος τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων είναι ο γραφικός. Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων και γράψτε δύο ευθείες γραμμές των οποίων οι εξισώσεις δίνονται στο σύστημά σας. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε οποιεσδήποτε δύο τιμές x στην εξίσωση και βρείτε το αντίστοιχο y - αυτές θα είναι οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στη γραμμή. Ο πιο βολικός τρόπος για να βρείτε την τομή με τους άξονες συντεταγμένων είναι απλώς να αντικαταστήσετε τις τιμές x=0 και y=0. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών των δύο ευθειών θα είναι οι εργασίες.

Εάν υπάρχει μόνο μία γραμμική εξίσωση στις προβληματικές συνθήκες, τότε σας έχουν δοθεί πρόσθετες συνθήκες μέσω των οποίων μπορείτε να βρείτε μια λύση. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα για να βρείτε αυτές τις συνθήκες. Αν μεταβλητέςΤα x και y υποδεικνύουν απόσταση, ταχύτητα, βάρος - μη διστάσετε να ορίσετε το όριο x≥0 και y≥0. Είναι πολύ πιθανό το x ή το y να κρύβει τον αριθμό των μήλων κ.λπ. – τότε οι τιμές μπορούν να είναι μόνο . Εάν το x είναι η ηλικία του γιου, είναι σαφές ότι δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον πατέρα του, οπότε υποδείξτε αυτό στις συνθήκες του προβλήματος.

Πηγές:

• πώς να λύσετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή

Από μόνο του την εξίσωσημε τρεις άγνωστοςέχει πολλές λύσεις, επομένως τις περισσότερες φορές συμπληρώνεται από δύο ακόμη εξισώσεις ή συνθήκες. Ανάλογα με το ποια είναι τα αρχικά δεδομένα, θα εξαρτηθεί σε μεγάλο βαθμό η πορεία της απόφασης.

Θα χρειαστείτε

• - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Οδηγίες

Εάν δύο από τα τρία συστήματα έχουν μόνο δύο από τα τρία άγνωστα, προσπαθήστε να εκφράσετε ορισμένες μεταβλητές ως προς τις υπόλοιπες και να τις αντικαταστήσετε σε την εξίσωσημε τρεις άγνωστος. Ο στόχος σας σε αυτή την περίπτωση είναι να το μετατρέψετε σε κανονικό την εξίσωσημε άγνωστο άτομο. Εάν αυτό είναι , η περαιτέρω λύση είναι αρκετά απλή - αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε με άλλες εξισώσεις και βρείτε όλους τους άλλους άγνωστους.

Ορισμένα συστήματα εξισώσεων μπορούν να αφαιρεθούν από μια εξίσωση με μια άλλη. Δείτε αν είναι δυνατό να πολλαπλασιάσετε ένα από ή μια μεταβλητή έτσι ώστε δύο άγνωστα να ακυρωθούν ταυτόχρονα. Εάν υπάρχει μια τέτοια ευκαιρία, εκμεταλλευτείτε την· πιθανότατα, η επόμενη λύση δεν θα είναι δύσκολη. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζετε με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Ομοίως, κατά την αφαίρεση των εξισώσεων, πρέπει να θυμάστε ότι πρέπει να αφαιρεθεί και η δεξιά πλευρά.

Εάν οι προηγούμενες μέθοδοι δεν βοήθησαν, χρησιμοποιήστε με γενικό τρόπολύσεις οποιωνδήποτε εξισώσεων με τρία άγνωστος. Για να το κάνετε αυτό, ξαναγράψτε τις εξισώσεις με τη μορφή a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Τώρα δημιουργήστε έναν πίνακα συντελεστών για το x (A), έναν πίνακα αγνώστων (X) και έναν πίνακα ελεύθερων μεταβλητών (B). Σημειώστε ότι πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα των συντελεστών με τον πίνακα των αγνώστων, θα λάβετε έναν πίνακα ελεύθερων όρων, δηλαδή A*X=B.

Βρείτε τον πίνακα Α στην ισχύ (-1) βρίσκοντας πρώτα το , σημειώστε ότι δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Μετά από αυτό, πολλαπλασιάστε τον προκύπτοντα πίνακα με τον πίνακα Β, ως αποτέλεσμα θα λάβετε τον επιθυμητό πίνακα X, υποδεικνύοντας όλες τις τιμές.

Μπορείτε επίσης να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την ορίζουσα Δ τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος. Στη συνέχεια, βρείτε διαδοχικά τρεις ακόμη ορίζουσες Δ1, Δ2 και Δ3, αντικαθιστώντας τις τιμές των ελεύθερων όρων αντί για τις τιμές των αντίστοιχων στηλών. Τώρα βρείτε το x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Πηγές:

• λύσεις σε εξισώσεις με τρεις αγνώστους

Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι προκλητική και συναρπαστική. Πως πιο πολύπλοκο σύστημα, τόσο πιο ενδιαφέρον είναι να το λύσουμε. Τις περισσότερες φορές στα μαθηματικά ΛύκειοΥπάρχουν συστήματα εξισώσεων με δύο άγνωστα, αλλά στα ανώτερα μαθηματικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές. Τα συστήματα μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους.

Οδηγίες

Η πιο κοινή μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι η αντικατάσταση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε μια μεταβλητή ως προς την άλλη και να την αντικαταστήσετε με τη δεύτερη την εξίσωσησυστήματα, οδηγώντας έτσι την εξίσωσησε μία μεταβλητή. Για παράδειγμα, δίνονται οι ακόλουθες εξισώσεις: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Από τη δεύτερη παράσταση είναι βολικό να εκφράσουμε μία από τις μεταβλητές, μετακινώντας όλα τα άλλα στη δεξιά πλευρά της παράστασης, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε το πρόσημο του συντελεστή: x = 3-y.

Ανοίξτε τις αγκύλες: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Αντικαθιστούμε την τιμή y που προκύπτει στην παράσταση: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Στην πρώτη έκφραση, όλοι οι όροι είναι 2, μπορείτε να αφαιρέσετε 2 από την αγκύλα στην κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: 2*(2x-y-3)=0. Τώρα και τα δύο μέρη της παράστασης μπορούν να μειωθούν κατά αυτόν τον αριθμό και στη συνέχεια να εκφραστούν ως y, αφού ο συντελεστής συντελεστή για αυτήν είναι ίσος με ένα: -y = 3-2x ή y = 2x-3.

Όπως και στην πρώτη περίπτωση, αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση με τη δεύτερη την εξίσωσηκαι παίρνουμε: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην παράσταση: y=2x -3;y=4-3=1.

Βλέπουμε ότι ο συντελεστής για το y είναι ίδιος σε τιμή, αλλά διαφορετικός ως προς το πρόσημο, επομένως, αν προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις, θα απαλλαγούμε εντελώς από το y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0· 7x- 14=0 x=2 Αντικαταστήστε την τιμή του x σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λάβετε y=1.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Διτετραγωνικό την εξίσωσηαντιπροσωπεύει την εξίσωσητέταρτο βαθμό, γενική μορφήπου παριστάνεται με την έκφραση ax^4 + bx^2 + c = 0. Η λύση του βασίζεται στη χρήση της μεθόδου αντικατάστασης αγνώστων. Σε αυτήν την περίπτωση, το x^2 αντικαθίσταται από μια άλλη μεταβλητή. Έτσι, το αποτέλεσμα είναι ένα συνηθισμένο τετράγωνο την εξίσωση, που πρέπει να λυθεί.

Οδηγίες

Λύστε το τετραγωνικό την εξίσωση, που προκύπτει από την αντικατάσταση. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε πρώτα την τιμή σύμφωνα με τον τύπο: D = b^2; 4ac. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβλητές a, b, c είναι οι συντελεστές της εξίσωσής μας.

Να βρείτε τις ρίζες της διτετραγωνικής εξίσωσης. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την τετραγωνική ρίζα των λυμάτων που ελήφθησαν. Εάν υπήρχε μία λύση, τότε θα υπάρχουν δύο - μια θετική και αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Αν υπήρχαν δύο λύσεις, η διτετραγωνική εξίσωση θα έχει τέσσερις ρίζες.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Ενας από κλασικές μεθόδουςΗ επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Gauss. Συνίσταται στη διαδοχική εξάλειψη μεταβλητών όταν χρησιμοποιεί ένα σύστημα εξισώσεων απλές μεταμορφώσειςμεταφράζεται σε ένα σταδιακό σύστημα, από το οποίο βρίσκονται όλες οι μεταβλητές διαδοχικά, ξεκινώντας από την τελευταία.

Οδηγίες

Πρώτα, φέρτε το σύστημα των εξισώσεων σε μια μορφή όπου όλοι οι άγνωστοι είναι σε μια αυστηρά καθορισμένη σειρά. Για παράδειγμα, όλα τα άγνωστα Χ θα εμφανίζονται πρώτα σε κάθε γραμμή, όλα τα Υ θα έρχονται μετά τα Χ, όλα τα Ζ θα έρχονται μετά τα Υ και ούτω καθεξής. Δεν πρέπει να υπάρχουν άγνωστοι στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης. Προσδιορίστε νοερά τους συντελεστές μπροστά από κάθε άγνωστο, καθώς και τους συντελεστές στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης.

Ας αναλύσουμε δύο τύπους λύσεων σε συστήματα εξισώσεων:

1. Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο της αντικατάστασης.
2. Επίλυση του συστήματος με όρο προς όρο πρόσθεση (αφαίρεση) των εξισώσεων του συστήματος.

Για να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων με μέθοδο αντικατάστασηςπρέπει να ακολουθήσετε έναν απλό αλγόριθμο:
1. Εξπρές. Από οποιαδήποτε εξίσωση εκφράζουμε μία μεταβλητή.
2. Υποκατάστατο. Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει με μια άλλη εξίσωση αντί της εκφρασμένης μεταβλητής.
3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Για να λύσω σύστημα με τη μέθοδο της πρόσθεσης (αφαίρεσης).Χρειάζομαι:
1. Επιλέξτε μια μεταβλητή για την οποία θα κάνουμε πανομοιότυπους συντελεστές.
2. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε εξισώσεις, με αποτέλεσμα μια εξίσωση με μία μεταβλητή.
3. Λύστε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Η λύση στο σύστημα είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων συναρτήσεων.

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τη λύση των συστημάτων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα #1:

Ας λύσουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της αντικατάστασης

2x+5y=1 (1 εξίσωση)
x-10y=3 (2η εξίσωση)

1. Εξπρές
Μπορεί να φανεί ότι στη δεύτερη εξίσωση υπάρχει μια μεταβλητή x με συντελεστή 1, που σημαίνει ότι είναι ευκολότερο να εκφραστεί η μεταβλητή x από τη δεύτερη εξίσωση.
x=3+10y

2. Αφού το εκφράσουμε, αντικαθιστούμε το 3+10y στην πρώτη εξίσωση αντί της μεταβλητής x.
2(3+10y)+5y=1

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.
2(3+10y)+5y=1 (ανοίξτε τις αγκύλες)
6+20ε+5ε=1
25ε=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Η λύση στο σύστημα εξισώσεων είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων, επομένως πρέπει να βρούμε τα x και y, γιατί το σημείο τομής αποτελείται από x και y. Ας βρούμε το x, στο πρώτο σημείο που το εκφράσαμε αντικαθιστούμε το y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Συνηθίζεται να γράφουμε σημεία στην πρώτη θέση γράφουμε τη μεταβλητή x και στη δεύτερη τη μεταβλητή y.
Απάντηση: (1; -0,2)

Παράδειγμα #2:

Ας λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της πρόσθεσης (αφαίρεσης) όρο προς όρο.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της πρόσθεσης

3x-2y=1 (1 εξίσωση)
2x-3y=-10 (2η εξίσωση)

1. Επιλέγουμε μια μεταβλητή, ας πούμε ότι επιλέγουμε x. Στην πρώτη εξίσωση, η μεταβλητή x έχει συντελεστή 3, στη δεύτερη - 2. Πρέπει να κάνουμε τους συντελεστές ίδιους, για αυτό έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάσουμε τις εξισώσεις ή να διαιρέσουμε με οποιονδήποτε αριθμό. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 2 και τη δεύτερη με 3 και παίρνουμε συνολικό συντελεστή 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση για να απαλλαγείτε από τη μεταβλητή x. Λύστε τη γραμμική εξίσωση.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Βρείτε το x. Αντικαθιστούμε το y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις, ας πούμε στην πρώτη εξίσωση.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Το σημείο τομής θα είναι x=4,6; y=6,4
Απάντηση: (4.6; 6.4)

Θέλετε να προετοιμαστείτε για εξετάσεις δωρεάν; Δάσκαλος σε απευθείας σύνδεση δωρεάν. Δεν αστειεύομαι.