Αυτό το πρακτικό μάθημα θα καλύψει αρκετά χαρακτηριστικά παραδείγματα που δείχνουν μεθόδους επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων και των συστημάτων τους.
Αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για έναν από τους τύπους εργασιών Β5 και Γ1.
Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά
Πείραμα
Μάθημα 10. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τριγωνομετρικές εξισώσεις και τα συστήματά τους.
Πρακτική
Περίληψη μαθήματος
Θα αφιερώσουμε το κύριο μέρος του μαθήματος στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και συστημάτων, αλλά θα ξεκινήσουμε με εργασίες σχετικά με τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που δεν σχετίζονται με την επίλυση εξισώσεων. Ας εξετάσουμε τον υπολογισμό της περιόδου των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με σύνθετα ορίσματα.
Εργασία Νο. 1. Υπολογίστε την περίοδο των συναρτήσεων α) ; σι) 
.
Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους που δίνονται στη διάλεξη.
α) Για μια συνάρτηση 
περίοδος . Στην περίπτωσή μας, δηλ. .
β) Για τη συνάρτηση 
περίοδος . Μαζί μας γιατί το όρισμα μπορεί να αναπαρασταθεί όχι μόνο διαιρούμενο με τρία, αλλά και πολλαπλασιασμό με . Άλλες πράξεις με τη συνάρτηση (πολλαπλασιάζοντας με , προσθέτοντας 1) δεν επηρεάζουν το όρισμα, επομένως δεν μας ενδιαφέρει.
Το καταλαβαίνουμε
Απάντηση. ΕΝΑ) ; β) .
Ας προχωρήσουμε στο κύριο μέρος της πρακτικής μας και ας αρχίσουμε να λύνουμε τριγωνομετρικές εξισώσεις. Για ευκολία, θα αναλύσουμε τη λύση στα ίδια παραδείγματα που αναφέραμε στη διάλεξη όταν απαριθμήσαμε τους κύριους τύπους εξισώσεων.
Εργασία Νο. 2. Λύστε την εξίσωση: α) ; β) ; V) ; Ζ) .
Για να βρούμε τις ρίζες τέτοιων εξισώσεων, χρησιμοποιούμε τύπους για γενικές λύσεις.
Για να υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης τόξου, χρησιμοποιούμε την παραδοξότητα της εφαπτομένης του τόξου και τον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τον οποίο συζητήσαμε λεπτομερώς στο προηγούμενο μάθημα. Δεν θα σταθούμε περαιτέρω σε αυτές τις ενέργειες ξεχωριστά.
δ) Όταν λύνω μια εξίσωση, θα ήθελα να γράψω χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο που 
, αλλά αυτό δεν μπορεί να γίνει. Εδώ είναι θεμελιωδώς σημαντικό να ελέγξετε το εύρος των τιμών συνημιτόνου, το οποίο ελέγχεται στην αρχή της επίλυσης της εξίσωσης.
Επειδή η 
, η οποία δεν βρίσκεται στο εύρος τιμών της συνάρτησης, επομένως, η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
Είναι σημαντικό να μην συγχέουμε το νόημα με αξία πίνακασυνημίτον, πρόσεχε!
Σχόλιο. Πολύ συχνά, σε προβλήματα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων και συστημάτων, είναι απαραίτητο να υποδεικνύεται όχι μια γενική λύση που να δείχνει μια άπειρη οικογένεια ριζών, αλλά να επιλέγονται μόνο μερικές από αυτές που βρίσκονται σε ένα συγκεκριμένο εύρος τιμών. Ας κάνουμε αυτά τα βήματα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της απάντησης στο σημείο «γ».
Πρόσθετη εργασία στο σημείο "γ". Να αναφέρετε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα και να τις αναφέρετε.
Γνωρίζουμε ήδη τη γενική λύση:
Για να δηλωθούν οι ρίζες που ανήκουν στο καθορισμένο διάστημα, πρέπει να γραφτούν μία προς μία, αντικαθιστώντας συγκεκριμένες τιμές παραμέτρων. Θα αντικαταστήσουμε ακέραιους αριθμούς ξεκινώντας από , επειδή Μας ενδιαφέρουν οι ρίζες από ένα εύρος που είναι κοντά στο μηδέν.
Με την αντικατάσταση παίρνουμε περισσότερα υψηλότερη τιμή root, οπότε δεν έχει νόημα να το κάνετε αυτό. Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις αρνητικές τιμές:
Δεν έχει νόημα η αντικατάσταση για τους ίδιους λόγους. Επομένως, βρήκαμε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης που ανήκει στο καθορισμένο εύρος.
Απάντηση. ; το καθορισμένο εύρος περιέχει μία τιμή της ρίζας της εξίσωσης.
Παρόμοια διατύπωση της ερώτησης για την αναζήτηση ορισμένες αξίεςΟι ρίζες των εξισώσεων μπορούν επίσης να βρεθούν σε εργασίες άλλων τύπων· επιπλέον δεν θα χάσουμε χρόνο σε αυτό. Η αναζήτηση για τις απαραίτητες ρίζες θα γίνεται πάντα με τον ίδιο τρόπο. Μερικές φορές ένας τριγωνομετρικός κύκλος απεικονίζεται για το σκοπό αυτό. Προσπαθήστε να σχεδιάσετε στον κύκλο τις ρίζες των εξισώσεων από τα σημεία «α» και «β» που εμπίπτουν στην περιοχή.
Εργασία Νο. 3. Λύστε την εξίσωση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εύρεσης ριζών χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο, όπως φάνηκε στη διάλεξη.
Σχεδιάζουμε σημεία στον κύκλο που αντιστοιχούν στις γωνίες στις οποίες . Υπάρχει μόνο μία τέτοια γωνία.
Η πρώτη τιμή της γωνίας που αντιστοιχεί στο καθορισμένο σημείο - το σημείο βρίσκεται στην ακτίνα, η οποία είναι η αρχή. Στη συνέχεια, για να φτάσετε ξανά στο ίδιο σημείο, αλλά με διαφορετική τιμή γωνίας, πρέπει να προσθέσετε στην πρώτη ρίζα που βρέθηκε και να πάρετε την επόμενη ρίζα 
. Για να αποκτήσετε την επόμενη ρίζα, πρέπει να εκτελέσετε την ίδια λειτουργία κ.λπ.
Έτσι, μπορούμε να υποδείξουμε μια γενική λύση που θα αποδείξει ότι για να ληφθούν όλες οι ρίζες της εξίσωσης, είναι απαραίτητο να προσθέσουμε οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό φορές στην πρώτη τιμή:
Ας θυμηθούμε ότι οι εξισώσεις της μορφής μπορούν να λυθούν με παρόμοιο τρόπο:
Εργασία Νο. 4. Λύστε την εξίσωση 
.
Η παρουσία ενός σύνθετου επιχειρήματος δεν αλλάζει το γεγονός ότι η εξίσωση είναι, στην πραγματικότητα, η απλούστερη και η προσέγγιση της λύσης παραμένει η ίδια. Απλώς τώρα λειτουργεί ως επιχείρημα. Το γράφουμε στον τύπο γενική λύση:
Πρόβλημα #5. Λύστε την εξίσωση 
.
Το πιο σημαντικό είναι η πρόληψη τυπικό λάθοςκαι μην μειώνετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά , γιατί σε αυτή την περίπτωση θα χάσουμε τις ρίζες της εξίσωσης που αντιστοιχούν σε . Μια ικανή προσέγγιση για την επίλυση περιλαμβάνει τη μετακίνηση όλων των εκφράσεων προς τη μία πλευρά και την προσθήκη ενός κοινού παράγοντα.
Σε αυτό το στάδιο, είναι απαραίτητο να θυμάστε ότι εάν το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, τότε αυτό είναι δυνατό εάν ένας από τους παράγοντες ίσο με μηδέν, ή άλλο. Έτσι, η εξίσωσή μας μετατρέπεται σε ένα σύνολο εξισώσεων:
Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως ειδική περίπτωσηαπλούστερη εξίσωση. Κάντε το μόνοι σας, θα γράψουμε το τελικό αποτέλεσμα. Στη δεύτερη εξίσωση, θα εκτελέσουμε ενέργειες για να το φέρουμε στην απλούστερη μορφή του με ένα σύνθετο όρισμα και θα το λύσουμε χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο των ριζών.
Παρακαλούμε δώστε προσοχή σε αυτήν την απόχρωση - κατά την εγγραφή γενικός τύποςρίζες της δεύτερης εξίσωσης χρησιμοποιούμε μια άλλη παράμετρο "". Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι λύνουμε ένα σύνολο ανεξάρτητων εξισώσεων και δεν πρέπει να έχουν κοινές παραμέτρους. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο ανεξάρτητες οικογένειες λύσεων.
Απάντηση. ; 
.
Πρόβλημα #6. Λύστε την εξίσωση.
Για απλοποίηση, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη μετατροπή του γινόμενου τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε άθροισμα
Ας εκμεταλλευτούμε την ισοτιμία του συνημιτόνου και ας ακυρώσουμε τον ίδιο όρο στις δύο πλευρές της εξίσωσης.
Ας μετακινήσουμε τα πάντα στη μία πλευρά και ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη διαφορά των συνημιτόνων για να πάρουμε το γινόμενο των συναρτήσεων, το οποίο θα είναι ίσο με μηδέν. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για αυτό 
.
Ας μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά:
Μειώσαμε την εξίσωση στη μορφή προϊόντος που πήραμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Σας προτείνουμε να το επεξεργαστείτε μόνοι σας. Ας υποδείξουμε την τελική απάντηση.
Καταρχήν, αυτή είναι η τελική απάντηση. Ωστόσο, μπορεί να γραφτεί πιο συμπαγή ως μία οικογένεια λύσεων αντί για δύο. Η πρώτη λύση περιέχει όλα τα τέταρτα των μερών και η δεύτερη περιέχει όλα τα μισά των μερών, αλλά τα μισά περιλαμβάνονται στα τέταρτα, αφού το μισό είναι δύο τέταρτα. Έτσι, η δεύτερη οικογένεια ριζών περιλαμβάνεται στην πρώτη και η τελική απάντηση μπορεί να περιγραφεί από την πρώτη οικογένεια λύσεων.
Για να κατανοήσετε καλύτερα αυτά τα επιχειρήματα, δοκιμάστε να σχεδιάσετε τις ρίζες που προκύπτουν σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.
Απάντηση. 
ή .
Εξετάσαμε μια εξίσωση χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αλλά υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός από αυτές, καθώς και είδη μετασχηματισμών. Θα εξετάσουμε την εξίσωση για τη χρήση της καθολικής τριγωνομετρικής αντικατάστασης, ένα παράδειγμα της οποίας δεν δώσαμε στο προηγούμενο μάθημα, αφού αναλύσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης.
Πρόβλημα Νο. 7. Λύστε την εξίσωση.
ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΠρέπει πρώτα να προσπαθήσετε να μειώσετε την εξίσωση στη χρήση μιας μοναδικής τριγωνομετρικής συνάρτησης. Επειδή εκφράζεται εύκολα μέσω της χρήσης της τριγωνομετρικής μονάδας, μπορούμε εύκολα να μειώσουμε την εξίσωση σε ημίτονο.
Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση 
στην εξίσωσή μας:
Εφόσον όλα έχουν περιοριστεί σε μία λειτουργία, μπορούμε να εκτελέσουμε την αντικατάσταση: .
Λάβαμε μια τετραγωνική εξίσωση που μπορεί εύκολα να λυθεί με κάθε τρόπο που σας βολεύει, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta είναι εύκολο να λάβετε ότι:
Η πρώτη εξίσωση δεν έχει λύσεις, γιατί η ημιτονοειδής τιμή είναι εκτός της επιτρεπόμενης περιοχής.
Σας προτείνουμε να λύσετε τη δεύτερη εξίσωση μόνοι σας, γιατί... Αυτός είναι ο τύπος των ειδικών περιπτώσεων των απλούστερων εξισώσεων που έχουμε ήδη εξετάσει. Ας γράψουμε τις ρίζες του:
Απάντηση. 
.
Πρόβλημα Νο 8. Λύστε την εξίσωση.
Σε αυτήν την εξίσωση, οι μέθοδοι επίλυσης που έχουμε ήδη εξετάσει δεν είναι άμεσα ορατές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, θα πρέπει να προσπαθήσετε να εφαρμόσετε τους τύπους της καθολικής τριγωνομετρικής αντικατάστασης, οι οποίοι θα βοηθήσουν στη μείωση της εξίσωσης σε μία μόνο συνάρτηση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους: και , που θα φέρει ολόκληρη την εξίσωση σε .
Τώρα είναι σαφές ότι είναι δυνατή η αντικατάσταση.
Ας προσθέσουμε τα κλάσματα και ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον παρονομαστή, γιατί δεν ισούται με μηδέν.
Μειώσαμε την εξίσωση στη μορφή που ήδη συζητήθηκε νωρίτερα, δηλ. στο γινόμενο των παραγόντων, που είναι ίσο με μηδέν.
Ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση:
Και οι δύο προκύπτουσες οικογένειες λύσεων μπορούν εύκολα να συνδυαστούν σε μία:
Απάντηση. 
.
Πρόβλημα Νο. 9. Λύστε την εξίσωση. Στην απάντησή σας, δώστε μόνο ρίζες που είναι πολλαπλάσιες του .
Η υποδεικνυόμενη εξίσωση γίνεται πιο περίπλοκη μετά την αναγωγή σε ημίτονο ή συνημίτονα, όπως θα ήθελε να κάνει κάποιος χρησιμοποιώντας τον τύπο της τριγωνομετρικής μονάδας. Επομένως, χρησιμοποιείται μια άλλη μέθοδος.
Ονομάσαμε την υποδεικνυόμενη εξίσωση ομογενής, αυτό είναι το όνομα που δίνεται σε εξισώσεις στις οποίες, μετά την αναδιάταξη άγνωστων συναρτήσεων ή μεταβλητών, τίποτα δεν θα αλλάξει. Αλλάξτε το ημίτονο και το συνημίτονο και θα δείτε ότι αυτή είναι η περίπτωσή μας.
Οι ομοιογενείς εξισώσεις λύνονται διαιρώντας και τις δύο πλευρές με την υψηλότερη ισχύ της συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας είναι είτε είτε. Επιλέγουμε αυτό που μας αρέσει περισσότερο και διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτό. Ας πάρουμε για παράδειγμα αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, είναι επιτακτική ανάγκη να ελέγξουμε αν κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας διαίρεσης δεν θα χάσουμε τις ρίζες που αντιστοιχούν σε , δηλ. . Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε πρώτα την αρχική εξίσωση.
Εφόσον δεν αποκτήσαμε ταυτότητα, οι ρίζες της εξίσωσής μας δεν θα αντιστοιχούν.
Τώρα μπορούμε με ασφάλεια να διαιρέσουμε με:
Έχουμε αναγάγει την εξίσωση σε αντικατάσταση, και αυτή η μέθοδος λύσης έχει ήδη εξεταστεί. Όπως λένε, «ας ρίξουμε το νερό από το βραστήρα» και μειώσουμε το πρόβλημα σε αυτό που είναι ήδη γνωστό. Αποφασίστε περαιτέρω μόνοι σας. Θα αναφέρουμε την τελική απάντηση:
Εφόσον στη δήλωση προβλήματος απαιτείται να υποδείξουμε μόνο πολλαπλές ρίζες, θα γράψουμε μόνο την πρώτη οικογένεια λύσεων ως απάντηση.
Πρόβλημα Νο 10. Λύστε την εξίσωση 
.
Αυτή η εξίσωση προκαλεί έκπληξη στο ότι περιέχει δύο άγνωστους, και όπως γνωρίζουμε, στη γενική περίπτωση μια τέτοια εξίσωση δεν μπορεί να λυθεί. Ένα άλλο πρόβλημα είναι ότι αυτή η εξίσωση είναι θεμελιωδώς διαφορετική από όλες αυτές που συζητήθηκαν προηγουμένως, επειδή το άγνωστο σε αυτό δεν βρίσκεται μόνο στο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Για να το λύσουμε, ας δώσουμε προσοχή στις ιδιότητες των συναρτήσεων που είναι ίσες στα αριστερά και στα δεξιά. Συγκεκριμένα, μας ενδιαφέρει σε ποιες τιμές περιορίζονται αυτές οι συναρτήσεις.
Για το συνημίτονο γνωρίζουμε το εύρος τιμών:
Για μια τετραγωνική συνάρτηση:
Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτές οι εκφράσεις μπορούν να έχουν μόνο μία γενική σημασία, όταν καθένα από αυτά είναι ίσο με 1. Λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων:
Και οι δύο εξισώσεις αποδεικνύονται ανεξάρτητες και περιέχουν μία μεταβλητή η καθεμία, έτσι ώστε να μπορούν εύκολα να λυθούν χρησιμοποιώντας μεθόδους που είναι ήδη γνωστές σε εμάς.
Φυσικά, αυτή η μέθοδος δεν είναι προφανής και η εργασία σχετίζεται με εργασίες αυξημένης πολυπλοκότητας. Αυτή η μέθοδοςμερικές φορές ονομάζεται "mini-max", επειδή χρησιμοποιείται η ισότητα της ελάχιστης και της μέγιστης τιμής των συναρτήσεων.
Τώρα θα εξετάσουμε χωριστά μεθόδους για την επίλυση συστημάτων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Οι μέθοδοι επίλυσής τους είναι τυπικές, απλώς θα χρησιμοποιήσουμε τύπους για μετασχηματισμούς τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ας δούμε τους πιο συνηθισμένους τύπους τέτοιων συστημάτων.
Πρόβλημα Νο. 11. Επίλυση συστήματος εξισώσεων 
.
Λύνουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης, εκφράζουμε από μια απλούστερη γραμμική εξίσωση, για παράδειγμα, και την αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση:
Στη δεύτερη εξίσωση χρησιμοποιούμε ποια είναι η περίοδος του ημιτονοειδούς, δηλ. μπορεί να αφαιρεθεί, και το ημίτονο περιττή συνάρτηση, δηλ. αφαιρείται ένα μείον.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την προσθήκη αρμονικών δονήσεων, ανάγουμε τη δεύτερη εξίσωση σε μία τριγωνομετρική συνάρτηση. Δοκιμάστε αυτές τις μετατροπές μόνοι σας.
Ας αντικαταστήσουμε τη λύση που προκύπτει στην έκφραση:
Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την ίδια παράμετρο και για τις δύο οικογένειες λύσεων, επειδή εξαρτώνται ο ένας από τον άλλον.
Συστήματα απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Πρόβλημα Νο. 12. Επίλυση συστήματος εξισώσεων 
.
Και οι δύο εξισώσεις στο σύστημα είναι ειδικές περιπτώσεις των απλούστερων εξισώσεων, ξέρουμε πώς να τις λύσουμε και το σύστημα μειώνεται γρήγορα σε γραμμικό.
Οι παράμετροι και στις δύο εξισώσεις είναι διαφορετικές, γιατί λύσαμε τις εξισώσεις ανεξάρτητα η μία από την άλλη και οι μεταβλητές δεν είχαν εκφραστεί ακόμη η μία μέσω της άλλης.
Τώρα ας αποφασίσουμε γραμμικό σύστημαχρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης ή προσθήκης, όπως προτιμάτε, κάντε αυτά τα βήματα μόνοι σας. Ας υποδείξουμε το τελικό αποτέλεσμα.
Προσοχή στην καταγραφή της λύσης του συστήματος όταν οι μεταβλητές εξαρτώνται ταυτόχρονα από δύο παραμέτρους. Για να γράψω έξω αριθμητικές τιμέςΣε αυτήν την περίπτωση, όλες οι ακέραιες τιμές των παραμέτρων που δεν εξαρτώνται η μία από την άλλη αντικαθίστανται με τη σειρά τους.
Σε αυτό το πρακτικό μέρος του μαθήματος, εξετάσαμε αρκετά χαρακτηριστικά παραδείγματα στα οποία δείξαμε μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και των συστημάτων τους.
Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι όλες οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης. Για παράδειγμα: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων καταλήγει στις ακόλουθες δευτερεύουσες εργασίες:
* Επίλυση της εξίσωσης.
* επιλογή ριζών.
Η απάντηση σε τέτοιες εξισώσεις γράφεται ως:
βαθμούς?
Radians.
Για να λυθεί αυτό το είδος εξίσωσης είναι απαραίτητο να μετατραπεί η εξίσωση σε μία/πολλές βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] Και η λύση σε τέτοιες βασικές εξισώσεις είναι να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα μετατροπών ή να αναζητήσετε τις θέσεις του \[x\] στον κύκλο μονάδας.
Για παράδειγμα, δίνονται τριγωνομετρικές εξισώσεις που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών της ακόλουθης μορφής:
\[\tan (x - \pi/4) = 0\]
Απάντηση: \
\[\cot2x = 1.732\]
Απάντηση: x = \[\pi /12 + \pi n\]
\[\sin x = 0,866\]
Απάντηση: \[ x = \pi/3 \]
Πού μπορώ να λύσω ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεων διαδικτυακά δωρεάν;
Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ένας δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.
Αντίγραφο
1 I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων Σε αυτό το άρθρο εξετάζουμε τριγωνομετρικά συστήματα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Μέθοδοι επίλυσης τέτοιων συστημάτων και διάφορα ειδικές κινήσειςθα μελετήσουμε αμέσως συγκεκριμένα παραδείγματα. Μπορεί μια από τις εξισώσεις του συστήματος να περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις των αγνώστων x και y, ενώ η άλλη εξίσωση είναι γραμμική στα x και y. Σε αυτή την περίπτωση, ενεργούμε με τον προφανή τρόπο: εκφράζουμε έναν από τους αγνώστους από μια γραμμική εξίσωση και τον αντικαθιστούμε με μια άλλη εξίσωση του συστήματος. Πρόβλημα 1. Λύστε το σύστημα: x + y =, sin x + sin y = 1. Λύση. Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το y έως το x: και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Το αποτέλεσμα είναι η απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση για το x. Γράφουμε τις λύσεις του με τη μορφή δύο σειρών: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Απομένει να βρούμε τις αντίστοιχες τιμές του y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Όπως πάντα με ένα σύστημα εξισώσεων, η απάντηση δίνεται ως λίστα ζευγών x. y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Σημειώστε ότι το x και το y σχετίζονται μεταξύ τους μέσω της ακέραιας παραμέτρου n. Δηλαδή, εάν το +n εμφανίζεται στην παράσταση για το x, τότε το n εμφανίζεται αυτόματα στην παράσταση για το y και με το ίδιο n. Αυτό είναι συνέπεια της «σκληρής» σχέσης μεταξύ x και y, που δίνεται από την εξίσωση x + y =. Εργο. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, x y =. Λύση. Εδώ έχει νόημα να μετασχηματίσουμε πρώτα την πρώτη εξίσωση του συστήματος: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1
2 Έτσι, το σύστημά μας είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο σύστημα: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Αντικαταστήστε το x y = στην πρώτη εξίσωση: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στο σύστημα: x + y = n, x y =. Προσθέτουμε αυτές τις εξισώσεις, διαιρούμε με και βρίσκουμε το x. αφαιρέστε το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση, διαιρέστε με και βρείτε το y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το τριγωνομετρικό σύστημα μπορεί να αναχθεί σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με μια κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών. Εργο. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Λύση. Η αντικατάσταση u = sin x, v = cos y οδηγεί σε ένα αλγεβρικό σύστημα για το u και v: u + v = 1, u v = 1. Μπορείτε εύκολα να λύσετε αυτό το σύστημα μόνοι σας. Η λύση είναι μοναδική: u = 1, v = 0. Η αντίστροφη αντικατάσταση οδηγεί σε δύο απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις: sin x = 1, cos y = 0, από όπου + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Τώρα η εγγραφή απόκρισης περιέχει δύο ακέραιες παραμέτρους k και n. Η διαφορά από τα προηγούμενα προβλήματα είναι ότι σε αυτό το σύστημα δεν υπάρχει «σκληρή» σύνδεση μεταξύ του x και του y, για παράδειγμα, με τη μορφή γραμμικής εξίσωσης), επομένως τα x και y είναι πολύ πιο ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.
3 Σε αυτήν την περίπτωση, θα ήταν λάθος να χρησιμοποιήσετε μόνο μία ακέραια παράμετρο n, γράφοντας την απάντηση με τη μορφή + n;) + n. Αυτό θα οδηγούσε στην απώλεια ενός άπειρου αριθμού 5 λύσεων στο σύστημα. Για παράδειγμα, η λύση θα χαθεί ;) που προκύπτει στο k = 1 και n = 0. Πρόβλημα 4. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Λύση. Πρώτα μετασχηματίζουμε τη δεύτερη εξίσωση: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Τώρα κάνουμε την αντικατάσταση: u = sin x, v = sin y. Παίρνουμε το σύστημα: u + v = 1, u + 4v = 1. Οι λύσεις σε αυτό το σύστημα είναι δύο ζεύγη: u 1 = 0, v 1 = 1/ και u = /, v = 1/6. Το μόνο που μένει είναι να κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση: sin x = 0, sin x = sin y = 1 ή, sin y = 1 6, και να γράψουμε την απάντηση. κ; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Πρόβλημα 5. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Λύση. Εδώ, για να αποκτήσετε ένα αλγεβρικό σύστημα, πρέπει να εργαστείτε ακόμη περισσότερο. Γράφουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματός μας με τη μορφή: Στη δεύτερη εξίσωση έχουμε: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Έτσι, η αρχική το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.
4 Κάνουμε την αντικατάσταση u = cos x y, v = cos x + y και παίρνουμε ένα αλγεβρικό σύστημα: uv = 1, u v = 4. Οι λύσεις σε αυτό το σύστημα είναι δύο ζεύγη: u 1 = 1, v 1 = 1/ και u = 1, v = 1/. Το πρώτο ζεύγος δίνει το σύστημα: x y = 1, = k, Επομένως cos x y cos x + y Το δεύτερο ζεύγος δίνει το σύστημα: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Επομένως x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Ωστόσο, δεν είναι πάντα δυνατό να ανάγεται ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεων σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν διάφορες ειδικές τεχνικές. Μερικές φορές είναι δυνατό να απλοποιήσουμε ένα σύστημα προσθέτοντας ή αφαιρώντας εξισώσεις. Πρόβλημα 6. Λύστε το σύστημα: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Λύση. Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις εξισώσεις, προκύπτει ένα ισοδύναμο σύστημα: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. Και αυτό το σύστημα, με τη σειρά του, είναι ισοδύναμο με τον συνδυασμό δύο συστημάτων: x + y = + k, x + y = x y = + k, ή 6 + n x y = n k, n Z). 4
5 Επομένως x = + k + n), x = + k + n), y = ή + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Μερικές φορές μπορείτε να καταλήξετε σε μια λύση πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις μεταξύ τους. Πρόβλημα 7. Λύστε το σύστημα: tg x = sin y, ctg x = cos y. Λύση. Ας θυμηθούμε ότι ο πολλαπλασιασμός των εξισώσεων ενός συστήματος μεταξύ τους σημαίνει τη σύνταξη μιας εξίσωσης της μορφής «το γινόμενο των αριστερών πλευρών είναι ίσο με το γινόμενο των δεξιών πλευρών». Η προκύπτουσα εξίσωση θα είναι συνέπεια του αρχικού συστήματος, δηλαδή, όλες οι λύσεις του αρχικού συστήματος ικανοποιούν την εξίσωση που προκύπτει). Στην περίπτωση αυτή, ο πολλαπλασιασμός των εξισώσεων του συστήματος οδηγεί στην εξίσωση: 1 = sin y cos y = sin y, από όπου y = /4 + n n Z). Δεν είναι βολικό να αντικαταστήσετε το y σε αυτή τη μορφή στο σύστημα· είναι καλύτερα να το χωρίσετε σε δύο σειρές: y 1 = 4 + n. Αντικαταστήστε το y 1 στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Είναι εύκολο να δούμε ότι η αντικατάσταση του y 1 στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος θα οδηγήσει στο ίδιο αποτέλεσμα. Τώρα αντικαθιστούμε το y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Μερικές φορές η διαίρεση των εξισώσεων μεταξύ τους οδηγεί στο αποτέλεσμα. Πρόβλημα 8. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Λύση. Ας μετασχηματίσουμε: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5
6 Ας εισάγουμε προσωρινά τον ακόλουθο συμβολισμό: α = x + y, β = x y. Στη συνέχεια το προκύπτον σύστημα θα ξαναγραφεί με τη μορφή: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Είναι σαφές ότι cos β 0. Στη συνέχεια, διαιρώντας τη δεύτερη εξίσωση με την πρώτη, καταλήγουμε στην εξίσωση tg α =, η οποία είναι συνέπεια του συστήματος. Έχουμε: α = + n n Z), και πάλι, με σκοπό την περαιτέρω αντικατάσταση στο σύστημα), είναι βολικό για εμάς να διαιρέσουμε το προκύπτον σύνολο σε δύο σειρές: α 1 = + n, α = 4 + n. Η αντικατάσταση του α 1 σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος οδηγεί στην εξίσωση: cos β = 1 β 1 = k k Z). Ομοίως, αντικαθιστώντας το α σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος προκύπτει η εξίσωση: cos β = 1 β = + k k Z). Άρα, έχουμε: δηλαδή όπου α 1 = + n, β 1 = k ή α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y ή + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = ή + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα έρχεται στη διάσωση. Πρόβλημα 9. Λύστε το σύστημα: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Λύση. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές κάθε εξίσωσης: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6
7 Ας προσθέσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, από όπου sin y = 0 και y = n n Z). Αυτό είναι συνέπεια του αρχικού συστήματος. δηλαδή για οποιοδήποτε ζεύγος x? y), που είναι μια λύση στο σύστημα, ο δεύτερος αριθμός αυτού του ζεύγους θα έχει τη μορφή n με κάποιο ακέραιο n. Χωρίζουμε το y σε δύο σειρές: y 1 = n, y = + n. Αντικαθιστούμε το y 1 στο αρχικό σύστημα: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι η σειρά sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Σημειώστε ότι τώρα δεν θα ήταν αρκετό να αντικαταστήσετε το y 1 σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος. Η αντικατάσταση του y 1 στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση του συστήματος οδηγεί σε ένα σύστημα δύο διαφορετικών εξισώσεων για το x.) Ομοίως, αντικαθιστούμε το y στο αρχικό σύστημα: Επομένως sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z ))) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Μερικές φορές, κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, είναι δυνατό να αποκτήσουμε μια απλή σχέση μεταξύ αγνώστων και να εκφράσουμε από αυτή τη σχέση ένα άγνωστο ως προς το άλλο. Πρόβλημα 10. Λύστε το σύστημα: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Λύση. Στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος μετασχηματίζουμε διπλό προϊόνημίτονο στη διαφορά των συνημιτόνων: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Από εδώ εκφράζουμε το y ως x: y = x + n, 7
8 και αντικαταστήστε στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Το υπόλοιπο είναι ασήμαντο. Παίρνουμε: cos x = 1, από όπου x = ± Απομένει να βρούμε το y από τη σχέση που λήφθηκε παραπάνω: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Φυσικά, τα εξεταζόμενα προβλήματα δεν καλύπτουν όλη την ποικιλία συστημάτων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Σε κάθε κάπως δύσκολη κατάσταση, είναι απαραίτητο να δείξουμε εφευρετικότητα, η οποία αναπτύσσεται μόνο με την πρακτική στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Όλες οι απαντήσεις υποθέτουν ότι k, n Z. Προβλήματα 1. Λύστε το σύστημα: x + y =, cos x cos y = 1. β) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n) ; β) n; ιδ). Λύστε το σύστημα: x + y = 4, tg x tan y = 1 β) 6. x y = 5, sin x = sin y. Αρκτάνη 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; β) + n; 6 + n). Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, x y = 4 β). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n) ; β) 6 + n; 6 ιδ) 8
9 4. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. β) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; β) 1) k 4 + k; + n) 5. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = β) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; ιδ) ; β) Αρκτάνη 5 + k; Αρκτάνη 1 + n), Αρκτάνη 1 + Κ; arctan 5 + n) 6. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. β) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n) ; β) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Λύστε το σύστημα: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = β) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; β) ± + k + n); ± + k n)) 9. Λύστε το σύστημα: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. β) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; β)) 4 + k ; 4 + k + n 9
10 10. Λύστε το σύστημα: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + ν) 11. Λύστε το σύστημα:) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. κ; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Λύστε το σύστημα: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Λύστε το σύστημα: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Λύστε το σύστημα: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Λύστε το σύστημα: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. β) κούνια x + sin y = αμαρτία x, αμαρτία x sinx + y) = cos y. κ; n); β)) 4 + k ; n, + k; + ν) 10
11 17. “Fiztekh”, 010) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, αντίγραφο. για ξένους gr-n, 01) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Βρείτε όλες τις λύσεις στο σύστημα εξισώσεων sin x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, όπου xn = 8 + n ± ιδ) 6 , n Z, n, 1, 0, 1 0. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, γεωγραφικό. f-t, 005) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, Σχολή του Κράτους. έλεγχος, 005) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x αμαρτία y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11
12 . MIPT, 199) Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctan 4 + n, arccos 4 + k) ; + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. MIPT, 1997) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + κ) ; k, n Z 1
I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Προβλήματα ελάχιστης τριγωνομετρίας Αυτό το φύλλο εξετάζει εξισώσεις για τη λύση των οποίων χρησιμοποιούνται εκτιμήσεις της δεξιάς και της αριστερής πλευράς. Να γίνω
I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Τριγωνομετρικές εξισώσεις με μέτρο Αυτό το φύλλο είναι αφιερωμένο σε τριγωνομετρικές εξισώσεις στις οποίες περιέχονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις άγνωστης ποσότητας
Πρακτική εργασία: Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων διάφοροι τύποιΠρογραμματιστής: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko Σκοπός εργασίας: 1) Επανάληψη τριγωνομετρικούς τύπουςδιπλό επιχείρημα, τύποι προσθήκης,
I V Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUsru Τριγωνομετρικές ανισώσεις Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης μπορεί να λύσει τις απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις. Προχωράμε σε περισσότερα σύνθετες εργασίεςΕργο
I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοί και υπολογισμοί Προβλήματα που σχετίζονται με τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοίκαι οι υπολογισμοί, κατά κανόνα, δεν είναι περίπλοκοι και επομένως σπάνια
Περιεχόμενα I V Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUsru Παράλογες εξισώσειςκαι συστήματα 1 Λογιστική για ODZ 1 Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί 3 Αντικατάσταση μεταβλητής 6 4 Πολλαπλασιασμός με το συζυγές 7 5 Συστήματα εξισώσεων
I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις Αρχίζουμε να μελετάμε τις τριγωνομετρικές εξισώσεις κεντρικό θέμαολόκληρο το τριγωνομετρικό τμήμα. Αφήστε ένα
Εκπαιδευτικός Οργανισμός της Διοίκησης της Επικράτειας του Κρασνογιάρσκ Κρασνογιάρσκ Κρατικό ΠανεπιστήμιοΣχολή φυσικών επιστημών με αλληλογραφία στο Krasnoyarsk State University Μαθηματικά: Ενότητα για την τάξη 0 Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό μέρος / Σύνθεση:
Αμετάβλητο και προβλήματα με τις παραμέτρους G.I Falin, A.I. Κρατικό Πανεπιστήμιο Falin Moscow με το όνομα M.V. Lomonosov http://mech.math.msu.su/ falin 1 Εισαγωγή στα σύγχρονα μαθηματικά σημαντικός ρόλοςπαίζει την έννοια της αμετάβλητης, δηλ. αμετάβλητο
I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MthUs.ru Μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση fx) ονομάζεται περιοδική εάν υπάρχει ένας αριθμός T 0 τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού
Θέμα 14" Αλγεβρικές εξισώσειςκαι συστήματα μη γραμμικές εξισώσεις» Ένα πολυώνυμο βαθμού n είναι ένα πολυώνυμο της μορφής P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, όπου a 0, a 1, a n-1, a n δίνονται αριθμοί , ένα 0,
I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Προβλήματα εκπαίδευσης Συμμετρία σε προβλήματα με παραμέτρους 1. (MSU, Faculty of Soil Science, 001) Για ποιες τιμές του b έχει ακριβώς μια ρίζα η εξίσωση; ταν β = κούτσουρο
Υπουργείο Επιστημών και Παιδείας Ρωσική ΟμοσπονδίαΚρατικό Πανεπιστήμιο Γεωδαισίας και Χαρτογραφίας της Μόσχας T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΑΙΤΟΥΣΕΣ
Μάθημα Άλγεβρας στη 10η τάξη Θέμα μαθήματος: Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων Σκοπός του μαθήματος: Γενίκευση και συστηματοποίηση των γνώσεων των μαθητών για το θέμα. Στόχοι μαθήματος: 1) Εκπαιδευτικοί - Επέκταση και εμβάθυνση
Παραδείγματα δοκιμαστικών διαλυμάτων L.I. Terekhina, Ι.Ι. Διορθώστε 1 Δοκιμή 1 Λύση Γραμμικής Άλγεβρας εξίσωση μήτρας((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Ας πολλαπλασιάσουμε πρώτα τους πίνακες με
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ολοκλήρωση του γινομένου ημιτόνων και συνημιτόνων διαφόρων ορισμάτων Τριγωνομετρικοί τύποι k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ]), (k m [ (m k (m k
Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας (Κρατικό Πανεπιστήμιο) Αλληλογραφία Σχολή Φυσικής και Τεχνολογίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ίδιοι μετασχηματισμοί. Λύση
Παράλογες εξισώσεις και ανισότητες Περιεχόμενα Ανορθολογικές εξισώσεις Μέθοδος αύξησης και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης στην ίδια ισχύ Εκχώρηση Ανάθεση Εκχώρηση Αντικατάσταση μιας παράλογης εξίσωσης με μια μικτή
Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Molodechno State Polytechnic College Πρακτική εργασία: Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων περιορισμένη στην απλούστερη. Προγραμματιστής: I.
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ TOMSK Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Κυβερνητικής Τμήμα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Μαθηματικής Στατιστικής ΟΡΙΑ Μεθοδολογική
Τάξη 10, βασικό επίπεδο Εργασία 1 Επιλογή 0 (επίδειξη, με λύσεις) Σχολή μαθηματικών αλληλογραφίας 009/010 ακαδημαϊκό έτος 1 Να εκφράσετε την έκφραση ως πολυώνυμο τυπική όψηκαι βρες τον
Διαλέξεις “INDEFINITE INTEGRAL” Συντάχθηκε από: VPBelkin Διάλεξη Αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές έννοιες Ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος 3 Κύριος πίνακας αντιπαραγώγων 3 4 Τυπικά παραδείγματα 3 5 Το απλούστερο
4. Τριγωνομετρία Τώρα όλα είναι έτοιμα για να δώσουν αυστηρούς ορισμούς τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Με την πρώτη ματιά μάλλον θα φαίνονται αρκετά περίεργα. ωστόσο, θα δείξουμε ότι ορισμένα
Θέμα ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ο αριθμός Α ονομάζεται όριο της συνάρτησης y = f), με το x να τείνει στο άπειρο, αν για οποιονδήποτε αριθμό ε>, όσο μικρό κι αν είναι, υπάρχει ένας θετικός αριθμός s τέτοιος ώστε για όλους >S,
Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση του κράτους εκπαιδευτικό ίδρυμαπιο ψηλά επαγγελματική εκπαίδευση Ukhta State Technical University (USTU) LIMIT FUNCTION Μεθοδολογική
NE DEMIDOVA ΒΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΙΓΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Εγχειρίδιο για αλλοδαπούς πολίτες Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα οργανισμός που χρηματοδοτείται από το κράτοςανώτερος επαγγελματίας
Θέμα 1 Πραγματικοί αριθμοί και πράξεις σε αυτούς 4 ώρες 11 Ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού 1 Αρχικά, οι αριθμοί έγιναν κατανοητοί μόνο ακέραιοι αριθμοί, που αρκούν για να μετρηθούν μεμονωμένα είδηΕνα μάτσο
Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Στόχοι: Να εξοικειωθούν με τα είδη των τριγωνομετρικών εξισώσεων Να εξοικειωθούν με τρόπους επίλυσης εξισώσεων. Αναπτύξτε τις δεξιότητες εφαρμογής
I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Συμμετρία σε προβλήματα με παραμέτρους Η συμμετρία είναι μια από τις βασικές έννοιες των μαθηματικών και της φυσικής. Είστε εξοικειωμένοι με τη γεωμετρική συμμετρία των σχημάτων και των διαφόρων
Δοκιμή. Δίνονται οι πίνακες A, B και D. Βρείτε το AB 9D αν: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Πολλαπλασιάστε τους πίνακες A 3 και B 3. Το αποτέλεσμα θα να είναι C μεγέθους 3 3, που αποτελείται από στοιχεία
Διάλεξη 13: Ταξινόμηση τετραγωνικών στο επίπεδο των Ουραλίων ομοσπονδιακό πανεπιστήμιο, Ινστιτούτο Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών, Τμήμα Άλγεβρας και Διακριτών Μαθηματικών Εισαγωγικές παρατηρήσεις Στα προηγούμενα τρία
Τάξη. Μια δύναμη με αυθαίρετο πραγματικό εκθέτη, τις ιδιότητές της. Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητές της, γραφήματα.. Ανακαλέστε τις ιδιότητες μιας δύναμης με λογικό εκθέτη. α α α α για φυσικό χρόνο
Τάξη 8.3, Μαθηματικά (σχολικό βιβλίο Makarychev) ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Θέμα ενότητας 5 “ Τετραγωνική ρίζα. Πτυχίο με ακέραιο δείκτη» Το τεστ δοκιμάζει τα θεωρητικά και πρακτικά μέρη. ΘΕΜΑ Γνωρίζω Να μπορώ να γνωρίζω
Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών VSTU-VGASU, Αναπλ. Sedaev A.A. 06 ΠΑΡΑΓΩΓΗΚΕ;.. από το μηδέν;.. ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ;... ΑΥΤΟ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΟ Αγαπητέ αναγνώστη. Αν συναντήσετε την ανάγκη να βρείτε
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας ΕΘΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΟΣΧΑΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Μηχανικής και Μαθηματικών ΤΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ
Θέμα: Μετασχηματισμός τριγωνομετρικών παραστάσεων Λαμβάνοντας υπόψη το ODZ σε τριγωνομετρικές εξισώσεις Προετοιμασία για την ενιαία κρατική εξέταση (εργασία 9; ; 8) Ορισμός: Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης f g ή εμβαδού αποδεκτές τιμές
Ινστιτούτο Αεροπορίας της Μόσχας (Εθνικό Πανεπιστήμιο Ερευνών) Τμήμα "Ανώτατων Μαθηματικών" Όρια Παράγωγα Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Μεθοδολογικές οδηγίες και επιλογές δοκιμών
Κεφάλαιο 4 Όριο συνάρτησης 4 1 ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αυτό το κεφάλαιο εστιάζει στην έννοια του ορίου μιας συνάρτησης. Καθορίζεται ποιο είναι το όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο, και στη συνέχεια το όριο σε ένα σημείο, τα όρια
Θέμα 7 Κατάταξη πίνακα Βασικό δευτερεύον θεώρημα για την κατάταξη ενός πίνακα και οι συνέπειές του Συστήματα m γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους Θεώρημα Kronecker-Capelli Θεμελιώδες σύστημα λύσεων ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων
Θέμα 1-8: Μιγαδικοί αριθμοί A. Ya. Ovsyannikov Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Ουράλ Ινστιτούτο Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών Τμήμα Άλγεβρας και Διακριτών Μαθηματικών Άλγεβρα και γεωμετρία για τη μηχανική (1 εξάμηνο)
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Έννοιες που μπορούν να περιγραφούν, αλλά δεν μπορούν να οριστούν αυστηρά, καθώς κάθε προσπάθεια να δοθεί ένας αυστηρός ορισμός θα καταλήξει αναπόφευκτα στην αντικατάσταση της καθορισμένης έννοιας με αυτήν
Μέθοδος διαχωρισμού μεταβλητών (μέθοδος Fourier) Γενικές αρχέςμέθοδος διαχωρισμού μεταβλητών Για την απλούστερη μερική διαφορική εξίσωση, διαχωρισμός μεταβλητών είναι η αναζήτηση λύσεων της μορφής μόνο στο t. u(x,t
64 Άλγεβρα 7ης τάξης (5 ώρες την εβδομάδα, 175 ώρες) Αλγεβρικό στοιχείο (3 ώρες την εβδομάδα) 105 ώρες και γεωμετρικό στοιχείο (2 ώρες την εβδομάδα) 70 ώρες Χρησιμοποιείται διδακτικά βοηθήματα: 1. Arefieva, I. G. Algebra: σχολικό βιβλίο. επίδομα
Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ρωσικό Κρατικό Πανεπιστήμιο Πετρελαίου και Φυσικού Αερίου με το όνομα του Ι.Μ. Gubkin VI Ivanov Οδηγίες για τη μελέτη του θέματος «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ» (για φοιτητές
Πρακτικό μάθημαΘέμα: Συνάρτηση Τομέας ορισμού και συνόλου τιμών συνάρτησης Στόχος: Ανάπτυξη δεξιοτήτων εύρεσης του τομέα ορισμού συναρτήσεων και υπολογισμός μερικών τιμών συναρτήσεων Για ολοκλήρωση
ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 0 Να σας υπενθυμίσουμε ότι οι λύσεις σε εργασίες μόνο από το τμήμα υποβάλλονται για δοκιμή. Οι λύσεις σε εργασίες από μέρη εκτελούνται σε προσχέδια και δεν επηρεάζουν την αξιολόγηση με κανέναν τρόπο. Κατά την ολοκλήρωση εργασιών από μέρος
57 (07) D DG Demyanov UNDETERMINED INTEGRAL Εκπαιδευτικό εγχειρίδιο και εγχειρίδιο αναφοράς Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG Indefinite integral: Εκπαιδευτικό και εγχειρίδιο αναφοράς / Επιμέλεια SA Ufimtsev Chelyabinsk: Εκδοτικός οίκος
Phystech 0, 0 class, λύσεις στο εισιτήριο cos x cosx Λύστε την εξίσωση = cos x sin x Απάντηση x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Λύση Υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις cos x cos x sin x sin x α) cos x 0 Τότε = = tan x = x =
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ Επιτυχία στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων, απόδειξη τριγωνομετρικές ταυτότητεςκαι οι λύσεις σε υπολογιστικά προβλήματα καθορίζονται σε μεγάλο βαθμό από τη γνώση των βασικών
Μάθημα 14 Μιγαδικοί αριθμοί. LOD με σταθερούς συντελεστές. 14.1 Μιγαδικοί αριθμοί Ένας μιγαδικός αριθμός είναι μια έκφραση της μορφής z = x+iy, όπου x R. Υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του συνόλου
Ερώτηση: Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί αριθμοί; Απάντηση Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση Τι είναι οι κλάσεις και οι τάξεις στη σημειογραφία των αριθμών; Πώς ονομάζονται οι αριθμοί κατά την πρόσθεση; Να διατυπώσετε ένα σύμφωνο
AA KIRSANOV COMPLEX NUMBERS PSKOV BBK 57 K45 Εκδόθηκε με απόφαση του Τμήματος Άλγεβρας και Γεωμετρίας και του Συντακτικού και Εκδοτικού Συμβουλίου του PSPI με το όνομα SM Kirov Κριτής: Medvedeva IN, Υποψήφια Φυσικής και Μαθηματικών, Αναπληρωτής Καθηγητής
Διάλεξη: Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης (DE-) Γενική μορφήη διαφορική εξίσωση της τάξης n θα γραφεί: (n) F, = 0 () Η εξίσωση της τάξης (n =) θα πάρει τη μορφή F(,) = 0 Παρόμοιες εξισώσεις
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Khabarovsk 01 ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Κρατικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "Κράτος του Ειρηνικού
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Κρατικό Πανεπιστήμιο Αρχιτεκτονικής και Πολιτικών Μηχανικών Αγίας Πετρούπολης V B SMIRNOVA, L E MOROZOVA ΤΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εκπαιδευτικές
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, τάξη Απαντήσεις και κριτήρια, Απρίλιος Επιλογή/εργασίες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8.7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7
Προβληματικές συνθήκες 1 Δημοτική σκηνή 8η τάξη 1. Στον πίνακα γράφονται δύο αριθμοί. Το ένα από αυτά αυξήθηκε κατά 6 φορές και το άλλο μειώθηκε για το 2015, ενώ το άθροισμα των αριθμών δεν άλλαξε. Βρείτε τουλάχιστον ένα ζευγάρι από αυτά
Αόριστο ολοκλήρωμα Εισαγωγή Ορισμός Μια συνάρτηση F() ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια δεδομένη συνάρτηση f() εάν F() f(), ή, τι είναι η ίδια, df f d Αυτή η λειτουργίαΗ f() μπορεί να έχει διαφορετικά αντιπαράγωγα,
Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας Ανορθολογικές εξισώσεις και ανισότητες Εργαλειοθήκησχετικά με την προετοιμασία για τις Ολυμπιάδες Συντάχθηκε από: Parkevich Egor Vadimovich Moscow 04 Εισαγωγή Σε αυτή την εργασία θα εξετάσουμε
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ένα διάνυσμα είναι ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό που δεν έχει μόνο αριθμητική τιμή, αλλά και κατεύθυνση.Μερικές φορές λένε ότι ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα Διανυσματικό σύστημα
Εκθετικές εξισώσεις. Μέθοδοι λύσης. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Εκθετική εξίσωση είναι αυτή που περιέχει μια μεταβλητή μόνο στον εκθέτη. Ας δούμε διάφορους τύπους εκθετικές εξισώσεις,
ΜΑΥ(Σ)ΟΥ "TsO 1" Μαθηματικά Α' τάξη Τριγωνομετρία ΤΕΣΤ 1, Πίνακες, χαρτιά δοκιμής, τεστ Δάσκαλος Νέμοβα Ν.Μ. Α' προσόν 15η τάξη Επεξηγηματικό σημείωμα. Αυτό το διδακτικό υλικό προορίζεται
Αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές έννοιες και τύποι 1. Ορισμός αντιπαραγώγου και αόριστου ολοκληρώματος. Ορισμός. Η συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) στο διάστημα
ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων Το ορθολογικό κλάσμα είναι ένα κλάσμα της μορφής P Q, όπου το P και το Q είναι πολυώνυμα.
I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MthUs.ru Το άρθρο γράφτηκε σε συνεργασία με τον A. G. Malkova Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Το προηγούμενο άρθρο ήταν αφιερωμένο στην κύρια ιδέα της επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών προβλημάτων
Θέμα Αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκλήρωση κατά μέρη Έστω u και v δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις του ίδιου ορίσματος Είναι γνωστό ότι d(u v) udv vdu (77) Πάρτε και από τα δύο
Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας (κρατικό πανεπιστήμιο) Σχολή αλληλογραφίας φυσικής και τεχνολογίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τετραγωνικές εξισώσεις Εργασία για μαθητές της 8ης τάξης
Προβλήματα ενός βήματος με ακέραιους αριθμούς (τυπικά) σελίδα 1 06/09/2012 1) Λύστε την ανίσωση: x 7 17. 2) Πολλαπλασιάστε το 612 με το 100000. 3) Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των αριθμών 661 και 752; 4) Συγκρίνετε τις εκφράσεις: 54 6 και 7.
ΔΙΑΛΕΞΗ Ν Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων, μέθοδοι επίλυσης Πρόβλημα Cauchy Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων Ομοιογενής γραμμικές εξισώσειςΔιαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων,
Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα , ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικά και τετραγωνικές εξισώσειςγραμμικές και τετραγωνικές ανισότητες, κλασματικές εξισώσειςκαι εξισώσεις που ανάγονται σε δευτεροβάθμιες. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: είναι απαραίτητο να καθοριστεί ποιος τύπος προβλήματος επιλύεται, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν σε το επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.
Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.
Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τεκμηριωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.
Με εμφάνισηεξίσωση, μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.
Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:
1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».
2. Φέρτε την εξίσωση σε «πανομοιότυπες συναρτήσεις».
3. ξεδιπλώνομαι αριστερή πλευράεξισώσεις παραγοντοποίησης κ.λπ.
Ας σκεφτούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Εξπρές τριγωνομετρική συνάρτησημέσω γνωστών εξαρτημάτων.
Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.
Παράδειγμα.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Λύση.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Αντικατάσταση μεταβλητής
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Να μειώσετε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).
Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.
Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.
Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.
Παράδειγμα.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Λύση.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού:
αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.
Παράδειγμα.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Λύση.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ομογενείς εξισώσεις
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα
α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)
ή στη θέα
β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).
Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με
α) cos x ≠ 0;
β) cos 2 x ≠ 0;
και πάρτε την εξίσωση για το tan x:
α) a tan x + b = 0;
β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.
Παράδειγμα.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Λύση.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Έστω tg x = t, τότε
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ή t = -4, που σημαίνει
tg x = 1 ή tg x = -4.
Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλους τους πιθανούς τριγωνομετρικούς τύπους, ανάγετε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που επιλύεται με τις μεθόδους I, II, III, IV.
Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.
Παράδειγμα.
αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.
Λύση.
1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;
Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.
Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Η ικανότητα και η ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ 
σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.
Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων ενσωματώνει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται με τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία εκμάθησης των μαθηματικών και της προσωπικής ανάπτυξης γενικότερα.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Τελειωμένες εργασίες
ΠΤΥΧΙΟ ΕΡΓΑΣΙΕΣ
Έχουν ήδη περάσει πολλά και τώρα είσαι απόφοιτος, αν, φυσικά, γράψεις τη διατριβή σου εγκαίρως. Αλλά η ζωή είναι τέτοιο πράγμα που μόνο τώρα σου γίνεται ξεκάθαρο ότι, έχοντας πάψει να είσαι μαθητής, θα χάσεις όλες τις φοιτητικές χαρές, πολλές από τις οποίες δεν έχεις δοκιμάσει ποτέ, αναβάλλοντας τα πάντα και αναβάλλοντάς τα για αργότερα. Και τώρα, αντί να προλάβετε, εργάζεστε στη διατριβή σας; Υπάρχει μια εξαιρετική λύση: κατεβάστε τη διατριβή που χρειάζεστε από την ιστοσελίδα μας - και θα έχετε αμέσως πολύ ελεύθερο χρόνο!
Οι διατριβές έχουν υπερασπιστεί με επιτυχία σε κορυφαία πανεπιστήμια της Δημοκρατίας του Καζακστάν.
Κόστος εργασίας από 20.000 τένγκε
ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Το πρόγραμμα του μαθήματος είναι η πρώτη σοβαρή πρακτική εργασία. Με τη συγγραφή των μαθημάτων ξεκινά η προετοιμασία για την ανάπτυξη διπλωματικών έργων. Εάν ένας μαθητής μάθει να παρουσιάζει σωστά το περιεχόμενο ενός θέματος σε ένα έργο μαθήματος και να το μορφοποιεί σωστά, τότε στο μέλλον δεν θα έχει προβλήματα ούτε με τη σύνταξη εκθέσεων ούτε με τη σύνταξη διατριβές, ούτε με την εκτέλεση άλλων πρακτικών εργασιών. Προκειμένου να βοηθηθούν οι μαθητές στη συγγραφή αυτού του τύπου μαθητικής εργασίας και να διευκρινιστούν ερωτήματα που προκύπτουν κατά την προετοιμασία της, μάλιστα, δημιουργήθηκε αυτή η ενότητα πληροφοριών.
Κόστος εργασίας από 2.500 τένγκε
ΔΙΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΔΙΑΤΡΙΒΕΣ
Αυτή τη στιγμή σε υψηλότερο Εκπαιδευτικά ιδρύματαΣτο Καζακστάν και στις χώρες της ΚΑΚ, το επίπεδο ανώτερης επαγγελματικής εκπαίδευσης που ακολουθεί ένα πτυχίο είναι πολύ συνηθισμένο - ένα μεταπτυχιακό. Στο μεταπτυχιακό οι φοιτητές σπουδάζουν με στόχο την απόκτηση μεταπτυχιακού τίτλου, το οποίο αναγνωρίζεται στις περισσότερες χώρες του κόσμου περισσότερο από ένα πτυχίο και αναγνωρίζεται και από ξένους εργοδότες. Αποτέλεσμα των μεταπτυχιακών σπουδών είναι η υπεράσπιση μιας μεταπτυχιακής διατριβής.
Θα σας παρέχουμε ενημερωμένο αναλυτικό και κειμενικό υλικό, η τιμή περιλαμβάνει 2 επιστημονικά άρθρακαι αφηρημένη.
Κόστος εργασίας από 35.000 τένγκε
ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ
Αφού περάσετε οποιοδήποτε τύπο πρακτική του μαθητή(εκπαιδευτικό, βιομηχανικό, προπτυχιακό) απαιτείται η σύνταξη έκθεσης. Αυτό το έγγραφο θα είναι επιβεβαίωση πρακτική δουλειάμαθητή και τη βάση για τη διαμόρφωση αξιολόγησης για εξάσκηση. Συνήθως, για να συντάξετε μια έκθεση για μια πρακτική άσκηση, πρέπει να συλλέξετε και να αναλύσετε πληροφορίες σχετικά με την επιχείρηση, να εξετάσετε τη δομή και τη ρουτίνα εργασίας του οργανισμού στον οποίο πραγματοποιείται η πρακτική άσκηση, να καταρτίσετε ένα χρονοδιάγραμμα και να περιγράψετε την πρακτική σας δραστηριότητες.
Θα σας βοηθήσουμε να συντάξετε μια αναφορά για την πρακτική σας άσκηση, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιαιτερότητες των δραστηριοτήτων μιας συγκεκριμένης επιχείρησης.