Druga operacija koja se može izvesti s običnim razlomcima je množenje. Pokušat ćemo objasniti njegova osnovna pravila pri rješavanju zadataka, pokazati kako se običan razlomak množi prirodnim brojem i kako pravilno pomnožiti tri obična razlomka ili više.
Zapišimo prvo osnovno pravilo:
Definicija 1
Ako pomnožimo jedan obični razlomak, tada će brojilac rezultirajućeg razlomka biti jednak umnošku brojnika originalnih razlomaka, a nazivnik će biti jednak umnošku njihovih nazivnika. U doslovnom obliku, za dva razlomka a / b i c / d, ovo se može izraziti kao a b · c d = a · c b · d.
Pogledajmo primjer kako pravilno primijeniti ovo pravilo. Recimo da imamo kvadrat čija je stranica jednaka jednoj brojevnoj jedinici. Tada će površina figure biti 1 kvadrat. jedinica. Ako kvadrat podijelimo na jednake pravokutnike sa stranicama jednakim 1 4 i 1 8 brojevnim jedinicama, dobićemo da se sada sastoji od 32 pravokutnika (jer je 8 4 = 32). Prema tome, površina svakog od njih bit će jednaka 1 32 površine cijele figure, tj. 1 32 sq. jedinice.
Imamo osenčeni fragment sa stranicama jednakim 5 8 numeričkih jedinica i 3 4 numeričkim jedinicama. U skladu s tim, da biste izračunali njegovu površinu, morate prvi razlomak pomnožiti s drugim. To će biti jednako 5 8 · 3 4 sq. jedinice. Ali možemo jednostavno izbrojati koliko je pravokutnika uključeno u fragment: ima ih 15, što znači da je ukupna površina 15 32 kvadratne jedinice.
Kako je 5 3 = 15 i 8 4 = 32, možemo napisati sljedeću jednakost:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
To potvrđuje pravilo koje smo formulirali za množenje običnih razlomaka, a koje se izražava kao a b · c d = a · c b · d. Radi isto i za pravilne i za nepravilne razlomke; Može se koristiti za množenje razlomaka sa različitim i identičnim nazivnicima.
Pogledajmo rješenja nekoliko problema koji uključuju množenje običnih razlomaka.
Primjer 1
Pomnožite 7 11 sa 9 8.
Rješenje
Prvo, izračunajmo proizvod brojila navedenih razlomaka množenjem 7 sa 9. Imamo 63. Zatim izračunamo proizvod nazivnika i dobijemo: 11 · 8 = 88. Sastavimo dva broja i odgovor je: 63 88.
Cijelo rješenje se može napisati ovako:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
odgovor: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Ako u odgovoru dobijemo razlomak koji se može smanjiti, moramo završiti proračun i izvršiti njegovo smanjenje. Ako dobijemo nepravilan razlomak, moramo iz njega izdvojiti cijeli dio.
Primjer 2
Izračunaj proizvod razlomaka 4 15 i 55 6 .
Rješenje
Prema gore proučenom pravilu, trebamo pomnožiti brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Zapis rješenja će izgledati ovako:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Dobili smo svodljivi razlomak, tj. onaj koji je deljiv sa 10.
Smanjimo razlomak: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Kao rezultat, dobili smo nepravilan razlomak, iz kojeg odabiremo cijeli dio i dobijemo mješoviti broj: 22 9 = 2 4 9.
odgovor: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Radi lakšeg izračunavanja, također možemo smanjiti originalne razlomke prije izvođenja operacije množenja, za koju trebamo svesti razlomak na oblik a · c b · d. Razložimo vrijednosti varijabli na jednostavne faktore i smanjimo iste.
Hajde da objasnimo kako ovo izgleda koristeći podatke iz određenog zadatka.
Primjer 3
Izračunaj proizvod 4 15 55 6.
Rješenje
Zapišimo proračune na osnovu pravila množenja. dobićemo:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Kako je 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 i 6 = 2 3, onda je 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odgovori: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Numerički izraz, u kojem se odvija množenje običnih razlomaka, ima komutativno svojstvo, odnosno, ako je potrebno, možemo promijeniti redoslijed faktora:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Kako pomnožiti razlomak prirodnim brojem
Hajdemo odmah da zapišemo osnovno pravilo, a zatim ga pokušajmo objasniti u praksi.
Definicija 2
Da biste običan razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac tog razlomka s tim brojem. U ovom slučaju, nazivnik konačnog razlomka će biti jednak nazivniku originalnog običnog razlomka. Množenje određenog razlomka a b prirodnim brojem n može se zapisati kao formula a b · n = a · n b.
Ovu formulu je lako razumjeti ako se sjetite da se bilo koji prirodni broj može predstaviti kao običan razlomak s nazivnikom jednakim jedan, to jest:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Objasnimo našu ideju konkretnim primjerima.
Primjer 4
Izračunaj proizvod 2 27 puta 5.
Rješenje
Kao rezultat množenja brojnika originalnog razlomka sa drugim faktorom, dobijamo 10. Na osnovu gore navedenog pravila, dobićemo 10 27 kao rezultat. Cijelo rješenje je dato u ovom postu:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
odgovor: 2 27 5 = 10 27
Kada prirodni broj množimo razlomkom, često moramo skratiti rezultat ili ga predstaviti kao mješoviti broj.
Primjer 5
Uslov: izračunaj proizvod 8 sa 5 12.
Rješenje
Prema gornjem pravilu, prirodni broj množimo brojicom. Kao rezultat, dobijamo da je 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Konačni razlomak ima znakove djeljivosti sa 2, pa ga moramo smanjiti:
LCM (40, 12) = 4, dakle 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Sada sve što treba da uradimo je da odaberemo ceo deo i zapišemo spreman odgovor: 10 3 = 3 1 3.
U ovom unosu možete vidjeti cjelokupno rješenje: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Također bismo mogli smanjiti razlomak tako što ćemo brojilac i imenilac razložiti na proste faktore, a rezultat bi bio potpuno isti.
odgovor: 5 12 8 = 3 1 3.
Numerički izraz u kojem se prirodni broj množi razlomkom također ima svojstvo pomaka, odnosno redoslijed faktora ne utječe na rezultat:
a b · n = n · a b = a · n b
Kako pomnožiti tri ili više uobičajenih razlomaka
Na radnju množenja običnih razlomaka možemo proširiti ista svojstva koja su karakteristična za množenje prirodnih brojeva. To proizilazi iz same definicije ovih pojmova.
Zahvaljujući poznavanju svojstava kombinovanja i komutacije, možete pomnožiti tri ili više običnih razlomaka. Prihvatljivo je preurediti faktore radi veće udobnosti ili rasporediti zagrade na način koji olakšava brojanje.
Pokažimo na primjeru kako se to radi.
Primjer 6
Pomnožite četiri obična razlomka 1 20, 12 5, 3 7 i 5 8.
Rješenje: Prvo, snimimo rad. Dobijamo 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Moramo zajedno pomnožiti sve brojioce i nazivnike: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Prije nego što počnemo s množenjem, možemo malo olakšati sebi stvari i faktorizirati neke brojeve u proste faktore za daljnje smanjenje. To će biti lakše nego smanjiti rezultirajuću frakciju koja je već pripremljena.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280
odgovor: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.
Primjer 7
Pomnožite 5 brojeva 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Rješenje
Radi praktičnosti, možemo grupirati razlomak 7 8 sa brojem 8, a broj 12 sa razlomkom 5 36, jer će nam buduće skraćenice biti očigledne. Kao rezultat, dobićemo:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 7 5 10 6 2 3
odgovor: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
U srednjoj i srednjoj školi učenici su obrađivali temu „Razlomci“. Međutim, ovaj koncept je mnogo širi od onoga što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često i ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.
Šta je razlomak?
Tako se istorijski desilo razlomci brojeva nastao iz potrebe mjerenja. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri određivanja dužine segmenta i volumena pravokutnog pravokutnika.
U početku se učenici upoznaju sa konceptom dionice. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, tada će svaka osoba dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se udio.
Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovina; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Zapisi oblika 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Običan razlomak je podijeljen na brojnik i imenilac. Između njih je frakciona traka ili frakcija. Razlomka se može nacrtati kao horizontalna ili kosa linija. IN u ovom slučaju predstavlja znak podjele.
Imenilac predstavlja na koliko jednakih delova je podeljena količina ili predmet; a brojilac je koliko je identičnih udjela uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod.
Najpogodnije je prikazati obične razlomke na koordinatnoj zraci. Ako je segment jedinice podijeljen na 4 jednaka dijela, označite svaki dio latinično pismo, onda rezultat može biti odličan vizuelni materijal. Dakle, tačka A pokazuje udeo jednak 1/4 celokupnog segmenta jedinice, a tačka B označava 2/8 datog segmenta.
Vrste razlomaka
Razlomci mogu biti obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na pravilne i nepravilne. Ova klasifikacija je prikladnija za obične frakcije.
Pravi razlomak je broj čiji je brojilac manje od imenioca. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojilac veći od nazivnika. Drugi tip se obično piše kao mješoviti broj. Ovaj izraz se sastoji od cijelog broja i razlomka. Na primjer, 1½. 1 - cijeli dio, ½ - razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.
Tačan frakcijski izraz je uvijek manji od jedan, a netačan je uvijek veći ili jednak 1.
Što se tiče ovog izraza, mislimo na zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se imenilac razlomka može izraziti kao jedinica sa nekoliko nula. Ako je razlomak pravilan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti jednak nuli.
Da biste napisali decimalni razlomak, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga od razlomka pomoću zareza, a zatim napisati izraz razlomka. Treba imati na umu da nakon decimalnog zareza brojnik mora sadržavati isti broj digitalnih znakova kao što su nule u nazivniku.
Primjer. Izrazite razlomak 7 21 / 1000 decimalnim zapisom.
Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto
Pogrešno je napisati nepravilan razlomak u odgovoru na zadatak, pa ga treba pretvoriti u mješoviti broj:
- podijeliti brojilac sa postojećim nazivnikom;
- V konkretan primjer nepotpuni količnik - cijeli;
- a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.
Primjer. Pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47 / 5.
Rješenje. 47: 5. Parcijalni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:
- cijeli broj se množi sa nazivnikom razlomaka;
- rezultirajući proizvod se dodaje brojiocu;
- rezultat je upisan u brojiocu, nazivnik ostaje nepromijenjen.
Primjer. Predstavite broj u mješoviti oblik kao nepravilan razlomak: 9 8 / 10.
Rješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojilac.
Odgovori: 98 / 10.
Množenje razlomaka
Na običnim razlomcima mogu se izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Štaviše, množenje razlomaka sa različitim nazivnicima ne razlikuje se od množenja razlomaka sa istim nazivnicima.
Dešava se da nakon pronalaženja rezultata trebate smanjiti razlomak. Imperativ je pojednostaviti rezultirajući izraz što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je nepravilan razlomak u odgovoru greška, ali ga je teško nazvati i tačnim odgovorom.
Primjer. Pronađite proizvod dva obična razlomka: ½ i 20/18.
Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja proizvoda, dobiva se reducibilna frakcija. I brojnik i imenilac u ovom slučaju su podijeljeni sa 4, a rezultat je odgovor 5/9.
Množenje decimalnih razlomaka
Umnožak decimalnih razlomaka se po svom principu prilično razlikuje od proizvoda običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:
- dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da su krajnje desne cifre jedna ispod druge;
- morate pomnožiti napisane brojeve, uprkos zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
- izbrojati broj cifara iza decimalnog zareza u svakom broju;
- u rezultatu koji se dobije nakon množenja, potrebno je odbrojati s desne strane onoliko digitalnih simbola koliko ih sadrži zbir u oba faktora nakon decimalnog zareza i staviti znak za razdvajanje;
- ako je u proizvodu manje brojeva, potrebno je ispred njih napisati što više nula da pokrije ovaj broj, staviti zarez i dodati cijeli dio jednak nuli.
Primjer. Izračunajte proizvod dva decimalna razlomka: 2,25 i 3,6.
Rješenje.
Množenje mješovitih razlomaka
Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:
- pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
- pronaći umnožak brojilaca;
- naći umnožak nazivnika;
- zapišite rezultat;
- pojednostavite izraz što je više moguće.
Primjer. Pronađite proizvod 4½ i 6 2/5.
Množenje broja razlomkom (razlomci brojem)
Osim pronalaženja umnožaka dva razlomka i mješovitih brojeva, postoje zadaci gdje je potrebno množiti razlomkom.
Dakle, pronaći proizvod decimalni i prirodan broj, potrebno je:
- upišite broj ispod razlomka tako da su krajnje desne cifre jedna iznad druge;
- pronaći proizvod uprkos zarezu;
- u rezultirajućem rezultatu, odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući s desna broj cifara koje se nalaze iza decimalne točke u razlomku.
Da biste običan razlomak pomnožili brojem, morate pronaći proizvod brojnika i prirodnog faktora. Ako odgovor daje razlomak koji se može smanjiti, treba ga pretvoriti.
Primjer. Izračunaj proizvod 5/8 i 12.
Rješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Odgovori: 7 1 / 2.
Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno smanjiti rezultujući rezultat i pretvoriti netačan razlomak u mješoviti broj.
Množenje razlomaka također se odnosi na pronalaženje proizvoda broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli dio mješovitog faktora pomnožiti brojem, pomnožiti brojilac sa istom vrijednošću, a imenilac ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, rezultat je potrebno pojednostaviti što je više moguće.
Primjer. Pronađite proizvod 9 5 / 6 i 9.
Rješenje. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Odgovori: 88 1 / 2.
Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001
To proizilazi iz prethodnog stava sledeće pravilo. Da biste pomnožili decimalni razlomak sa 10, 100, 1000, 10000, itd., trebate pomaknuti decimalni zarez udesno za onoliko cifara koliko ima nula u faktoru iza jedinice.
Primjer 1. Pronađite proizvod 0,065 i 1000.
Rješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Odgovori: 65.
Primjer 2. Pronađite proizvod 3,9 i 1000.
Rješenje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Odgovori: 3900.
Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebali biste pomaknuti zarez u rezultirajućem proizvodu ulijevo za onoliko znakova cifara koliko ima nula ispred jedan. Ako je potrebno, dovoljan broj nula upisuje se ispred prirodnog broja.
Primjer 1. Pronađite proizvod 56 i 0,01.
Rješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Odgovori: 0,56.
Primjer 2. Pronađite proizvod 4 i 0,001.
Rješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Odgovori: 0,004.
Dakle, pronalaženje proizvoda različitih razlomaka ne bi trebalo uzrokovati nikakve poteškoće, osim možda izračunavanja rezultata; u ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.
Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Ova operacija je mnogo ljepša od sabiranja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećamo, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojilac rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). To je:
Na primjer:
Sve je krajnje jednostavno. I molim vas ne tražite zajednički imenitelj! Nema potrebe za njim ovde...
Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate obrnuti sekunda(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:
Na primjer:
Ako naiđete na množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja sa jedan u nazivniku - i samo naprijed! Na primjer:
U srednjoj školi često morate da imate posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako mogu učiniti da ovaj razlomak izgleda pristojno? Da, vrlo jednostavno! Koristite podjelu na dvije tačke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali lako je pogriješiti u trospratnom razlomku. Imajte na umu na primjer:
U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):
U drugom (izraz desno):
Osjećate li razliku? 4 i 1/9!
Šta određuje redoslijed podjele? Ili sa zagradama, ili (kao ovde) sa dužinom horizontalnih linija. Razvijte svoje oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:
zatim podijeli i pomnoži redom, s lijeva na desno!
I još jedna vrlo jednostavna i važna tehnika. U akcijama sa diplomama, to će vam biti od velike koristi! Podijelimo jedan bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:
Šut se preokrenuo! I to se uvijek dešava. Kada se 1 podijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo naopako.
To je to za operacije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktični saveti, i biće ih manje (greške)!
Praktični savjeti:
1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Nije uobičajene riječi, ne dobre želje! Ovo je strašna potreba! Uradite sve proračune na Jedinstvenom državnom ispitu kao potpuni zadatak, fokusiran i jasan. Bolje je da napišete dva dodatna reda u nacrtu nego da zabrljate dok radite mentalne proračune.
2. U primjerima sa različite vrste razlomci - idite na obične razlomke.
3. Smanjujemo sve razlomke dok se ne zaustave.
4. Razlomačke izraze na više nivoa svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije tačke (pratimo redoslijed dijeljenja!).
5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.
Evo zadataka koje svakako morate obaviti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale na ovu temu i praktične savjete. Procijenite koliko ste primjera uspjeli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...
Zapamtite - tačan odgovor je primljeno od drugog (naročito trećeg) puta se ne računa! Takav je surov život.
dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, već priprema za Jedinstveni državni ispit. Rešavamo primer, proveravamo ga, rešavamo sledeći. Odlučili smo sve - ponovo provjerili od prvog do posljednjeg. Ali samo Onda pogledajte odgovore.
Izračunati:
Jeste li odlučili?
Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Namerno sam ih zapisivao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, ispisanih tačkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, drago mi je zbog tebe! Osnovni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješivo Problemi.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Nastavimo proučavati operacije s običnim razlomcima. Sada u centru pažnje množenje običnih razlomaka. U ovom članku ćemo dati pravilo za množenje običnih razlomaka i razmotriti primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera. Također ćemo se fokusirati na množenje običnog razlomka prirodnim brojem. U zaključku, pogledajmo kako pomnožiti tri i više razlomci.
Navigacija po stranici.
Množenje običnog razlomka običnim razlomkom
Počnimo sa formulacijom pravila za množenje običnih razlomaka: Množenjem razlomka razlomkom dobija se razlomak čiji je brojilac jednak umnošku brojnika razlomaka koji se množe, a nazivnik je jednak proizvodu nazivnika.
To jest, formula odgovara množenju običnih razlomaka a/b i c/d.
Navedimo primjer koji ilustruje pravilo za množenje običnih razlomaka. Zamislite kvadrat sa stranom 1 jedinica. , dok je njegova površina 1 jedinica 2. Podijelite ovaj kvadrat na jednake pravokutnike sa stranicama od 1/4 jedinice. i 1/8 jedinica. , dok će se originalni kvadrat sastojati od 4·8=32 pravougaonika, dakle, površina svakog pravougaonika je 1/32 površine originalnog kvadrata, odnosno jednaka je 1/32 jedinice 2 . Sada prebojimo dio originalnog kvadrata. Sve naše akcije su prikazane na slici ispod.
Stranice zasjenjenog pravokutnika su 5/8 jedinica. i 3/4 jedinice. , što znači da je njegova površina jednaka proizvodu razlomaka 5/8 i 3/4, odnosno jedinica 2. Ali zasjenjeni pravougaonik se sastoji od 15 "malih" pravokutnika, što znači da je njegova površina 15/32 jedinice 2. Dakle, . Kako je 5·3=15 i 8·4=32, posljednja jednakost se može prepisati kao 
, što potvrđuje formulu za množenje običnih razlomaka oblika .
Imajte na umu da pomoću navedenog pravila množenja možete množiti i pravilne i nepravilne razlomke, i razlomke s istim nazivnicima, i razlomke s različitim nazivnicima.
Hajde da razmotrimo primjeri množenja običnih razlomaka.
Pomnožite običan razlomak 7/11 običnim razlomkom 9/8.
Proizvod brojnika pomnoženih razlomaka 7 i 9 jednak je 63, a proizvod nazivnika 11 i 8 jednak je 88. Dakle, množenje običnih razlomaka 7/11 i 9/8 daje razlomak 63/88.
Evo kratkog sažetka rješenja: 
.
Ne treba zaboraviti na smanjenje rezultujućeg razlomka ako množenje rezultira svodljivim razlomkom i na odvajanje cijelog dijela od nepravilnog razlomka.
Pomnožite razlomke 4/15 i 55/6.
Primijenimo pravilo za množenje običnih razlomaka: 
.
Očigledno, rezultujući razlomak je reducibilan (test djeljivosti sa 10 nam omogućava da kažemo da brojnik i nazivnik razlomka 220/90 imaju zajednički množitelj 10). Smanjimo razlomak 220/90: gcd(220, 90)=10 i 
. Ostaje izolirati cijeli dio od rezultirajućeg nepravilnog razlomka: .
Imajte na umu da se smanjenje razlomka može izvršiti prije izračunavanja proizvoda brojilaca i proizvoda nazivnika pomnoženih razlomaka, odnosno kada razlomak ima oblik . Da bi se to postiglo, brojevi a, b, c i d se zamjenjuju njihovim faktorizacijama u proste faktore, nakon čega se isti faktori brojnika i nazivnika smanjuju.
Radi pojašnjenja, vratimo se na prethodni primjer.
Izračunajte proizvod razlomaka oblika .
Prema formuli za množenje običnih razlomaka imamo 
.
Kako je 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 i 6=2·3, onda 
. Sada smanjujemo uobičajene osnovne faktore: 
.
Sve što ostaje je izračunati proizvode u brojniku i nazivniku, a zatim izolirati cijeli dio od nepravilnog razlomka: 
.
Treba napomenuti da množenje razlomaka karakterizira komutativno svojstvo, odnosno da se pomnoženi razlomci mogu zamijeniti: 
.
Množenje običnog razlomka prirodnim brojem
Počnimo sa formulacijom pravila za množenje običnog razlomka prirodnim brojem: Množenjem razlomka prirodnim brojem dobija se razlomak čiji je brojilac jednak umnošku brojnika razlomka koji se množi prirodnim brojem, a imenilac je jednak nazivniku razlomka koji se množi.
Koristeći slova, pravilo za množenje razlomka a/b prirodnim brojem n ima oblik .
Formula slijedi iz formule za množenje dva obična razlomka oblika . Zaista, predstavljajući prirodni broj kao razlomak sa nazivnikom 1, dobijamo 
.
Pogledajmo primjere množenja razlomka prirodnim brojem.
Pomnožite razlomak 2/27 sa 5.
Množenjem brojnika 2 brojem 5 dobije se 10, dakle, na osnovu pravila za množenje razlomka prirodnim brojem, proizvod 2/27 sa 5 jednak je razlomku 10/27.
Zgodno je cijelo rješenje napisati ovako: 
.
Kada se razlomak množi prirodnim brojem, rezultujući razlomak se često mora smanjiti, a ako je i on netačan, onda ga prikazati kao mješoviti broj.
Pomnožite razlomak 5/12 brojem 8.
Prema formuli za množenje razlomka prirodnim brojem, imamo 
. Očigledno, rezultujući razlomak je svodljiv (znak djeljivosti sa 2 označava zajednički djelitelj 2 brojnika i nazivnika). Hajde da smanjimo razlomak 40/12: pošto je LCM(40, 12)=4, onda 
. Ostaje da istaknemo cijeli dio: .
Evo cijelog rješenja: 
.
Imajte na umu da se redukcija može izvršiti zamjenom brojeva u brojniku i nazivniku njihovim dekompozicijama na proste faktore. U ovom slučaju rješenje bi izgledalo ovako: .
U zaključku ove tačke, napominjemo da množenje razlomka prirodnim brojem ima komutativno svojstvo, to jest da je proizvod razlomka prirodnim brojem jednak umnošku ovog prirodnog broja s razlomkom: 
.
Množenje tri ili više razlomaka
Način na koji smo definirali obične razlomke i operacija množenja s njima omogućava nam da tvrdimo da se sva svojstva množenja prirodnih brojeva primjenjuju i na množenje razlomaka.
Komutativna i asocijativna svojstva množenja omogućavaju nedvosmisleno određivanje množenje tri ili više razlomaka i prirodnih brojeva. U ovom slučaju, sve se događa po analogiji s množenjem tri ili više prirodnih brojeva. Konkretno, razlomci i prirodni brojevi u proizvodu mogu se preurediti radi lakšeg izračunavanja, a u nedostatku zagrada koje označavaju redoslijed izvođenja radnji, možemo sami urediti zagrade na bilo koji od prihvatljivih načina.
Pogledajmo primjere množenja nekoliko razlomaka i prirodnih brojeva.
Pomnožite tri obična razlomka 1/20, 12/5, 3/7 i 5/8.
Zapišimo proizvod koji trebamo izračunati 
. Na osnovu pravila za množenje razlomaka, napisani proizvod je jednak razlomku čiji je brojilac jednak umnošku brojnika svih razlomaka, a nazivnik je jednak proizvodu nazivnika: 
.
Prije izračunavanja proizvoda u brojniku i nazivniku, preporučljivo je zamijeniti sve faktore njihovim dekompozicijama na jednostavne faktore i izvršiti redukciju (možete, naravno, smanjiti razlomak nakon množenja, ali u mnogim slučajevima to zahtijeva mnogo računski napor): .
.
Pomnožite pet brojeva 
.
U ovom proizvodu je zgodno grupirati razlomak 7/8 sa brojem 8, a broj 12 sa razlomkom 5/36, to će pojednostaviti proračune, jer je kod takvog grupisanja smanjenje očigledno. Imamo
.
.
Množenje razlomaka
Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka u nekoliko mogućih opcija.
Množenje običnog razlomka s razlomkom
Ovo je najjednostavniji slučaj u kojem trebate koristiti sljedeće pravila za množenje razlomaka.
To pomnožiti razlomak sa razlomkom, potrebno:
- pomnoži brojilac prvog razlomka sa brojicom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u brojnik novog razlomka;
- pomnoži nazivnik prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u nazivnik novog razlomka;
Prije množenja brojionika i nazivnika, provjerite da li se razlomci mogu smanjiti. Smanjenje razlomaka u proračunima znatno će olakšati vaše izračune.
Množenje razlomka prirodnim brojem
Da napravim razlomak pomnožiti prirodnim brojem Morate pomnožiti brojilac razlomka sa ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.
Ako je rezultat množenja nepravilan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno označiti cijeli dio.
Množenje mješovitih brojeva
Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.
Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem
Ponekad je prilikom izračunavanja zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.
Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojilac ostaviti isti.
Kao što se može vidjeti iz primjera, ova verzija pravila je pogodnija za korištenje ako je nazivnik razlomka djeljiv prirodnim brojem bez ostatka.
Množenje mješovitih brojeva: pravila, primjeri, rješenja.
U ovom članku ćemo pogledati množenje mješovitih brojeva. Prvo ćemo opisati pravilo za množenje mješovitih brojeva i razmotriti primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera. Zatim ćemo govoriti o množenju mješovitog i prirodnog broja. Na kraju ćemo naučiti kako množiti mješoviti broj i običan razlomak.
Navigacija po stranici.
Množenje mješovitih brojeva.
Množenje mješovitih brojeva može se svesti na množenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, dovoljno je pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke.
Hajde da to zapišemo pravilo množenja mješovitih brojeva:
- Prvo, miješani brojevi koji se množe moraju biti zamijenjeni nepravilnim razlomcima;
- Drugo, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka po razlomcima.
Pogledajmo primjere primjene ovog pravila pri množenju mješovitog broja mješovitim brojem.
Izvršiti množenje mješovitih brojeva i .
Prvo, predstavimo miješane brojeve koji se množe kao nepravilni razlomci: 
I 
. Sada možemo zamijeniti množenje mješovitih brojeva množenjem običnih razlomaka: 
. Primjenom pravila za množenje razlomaka dobijamo 
. Rezultirajući razlomak je nesvodljiv (vidi svodljivi i nesvodljivi razlomci), ali je nepravilan (vidi pravi i nepravilni razlomci), stoga, da bismo dobili konačni odgovor, ostaje da se cijeli dio izoluje od nepravilnog razlomka: .
Napišimo cijelo rješenje u jednom redu: .
.
Da biste ojačali vještinu množenja mješovitih brojeva, razmislite o rješavanju drugog primjera.
Uradite množenje.
Smiješni brojevi i jednaki su razlomcima 13/5 i 10/9, respektivno. Onda 
. U ovoj fazi, vrijeme je da se prisjetite smanjenja razlomka: zamijenite sve brojeve u razlomku njihovim dekompozicijama na proste faktore i izvršite redukciju identičnih faktora.
Množenje mješovitog broja i prirodnog broja
Nakon zamjene mješovitog broja nepravilnim razlomkom, množenjem mješovitog broja i prirodnog broja dovodi do množenja običnog razlomka i prirodnog broja.
Pomnožite mješoviti broj i prirodni broj 45.
Tada je mješoviti broj jednak razlomku 
. Zamenimo brojeve u rezultujućem razlomku njihovim dekompozicijama na proste faktore, izvršimo redukciju, a zatim odaberimo ceo deo: .
.
Množenje mješovitog broja i prirodnog broja se ponekad zgodno izvodi pomoću distributivnog svojstva množenja u odnosu na sabiranje. U ovom slučaju, umnožak mješovitog broja i prirodnog broja jednak je zbroju proizvoda cjelobrojnog dijela na dati prirodni broj i razlomka na dati prirodni broj, tj. 
.
Izračunajte proizvod.
Zamijenimo mješoviti broj zbirom cijelog broja i razlomaka, nakon čega primjenjujemo distributivno svojstvo množenja: .
Množenje mješovitih brojeva i razlomaka Najprikladnije ga je svesti na množenje običnih razlomaka predstavljanjem miješanog broja koji se množi kao nepravilan razlomak.
Pomnožite mješoviti broj običnim razlomkom 4/15.
Zamijenimo mješoviti broj razlomkom, dobijemo 
.
Množenje razlomaka
§ 140. Definicije. 1) Množenje razlomka cijelim brojem definirano je na isti način kao i množenje cijelih brojeva, naime: pomnožiti broj (množenik) cijelim brojem (faktorom) znači sastaviti zbir identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množenju, a broj članova jednak množitelju.
Dakle, množenje sa 5 znači pronalaženje sume:
2) Množenje broja (množenika) sa razlomkom (faktorom) znači pronalaženje ovog razlomka množenika.
Stoga ćemo sada pronalaženje razlomka datog broja, koji smo ranije razmatrali, nazvati množenjem razlomkom.
3) Pomnožiti broj (množenik) s mješovitim brojem (faktorom) znači pomnožiti množenik prvo cijelim brojem množitelja, zatim razlomkom množenja, i sabrati rezultate ova dva množenja zajedno.
Na primjer:
Broj dobijen množenjem u svim ovim slučajevima se zove rad, tj. isto kao kod množenja cijelih brojeva.
Iz ovih definicija jasno je da je množenje razlomaka radnja koja je uvijek moguća i uvijek nedvosmislena.
§ 141. Svrsishodnost ovih definicija. Da bismo razumjeli preporučljivost uvođenja posljednje dvije definicije množenja u aritmetiku, uzmimo sljedeći problem:
Zadatak. Voz, koji se kreće jednoliko, prelazi 40 km na sat; kako saznati koliko kilometri će proći ovaj voz u određenom broju sati?
Ako bismo ostali pri toj jednoj definiciji množenja, koja je naznačena u cjelobrojnoj aritmetici (sabiranje jednakih članova), onda bi naš problem imao tri razna rješenja, naime:
Ako je dati broj sati cijeli broj (na primjer, 5 sati), tada da biste riješili problem morate pomnožiti 40 km sa ovim brojem sati.
Ako je dati broj sati izražen kao razlomak (na primjer, sat), tada ćete morati pronaći vrijednost ovog razlomka od 40 km.
Konačno, ako se zadati broj sati pomiješa (na primjer, sati), tada će se 40 km trebati pomnožiti s cijelim brojem sadržanim u mješovitom broju, a rezultatu dodati još jedan razlomak od 40 km, koji je u mješovitom broju. broj.
Definicije koje dajemo dozvoljavaju sve ovo mogući slučajevi dati jedan opšti odgovor:
morate pomnožiti 40 km sa datim brojem sati, bez obzira na to.
Dakle, ako je problem predstavljen u opšti pogled dakle:
Voz, koji se ravnomjerno kreće, pređe v km za sat vremena. Koliko kilometara će voz prijeći za t sati?
onda, bez obzira na to koji su brojevi v i t, možemo dati jedan odgovor: željeni broj je izražen formulom v · t.
Bilješka. Pronalaženje nekog razlomka datog broja, po našoj definiciji, znači isto što i množenje datog broja ovim razlomkom; stoga, na primjer, pronalaženje 5% (tj. pet stotinki) datog broja znači isto što i množenje datog broja sa ili sa ; pronalaženje 125% datog broja znači isto što i množenje ovog broja sa ili sa, itd.
§ 142. Napomena o tome kada se broj povećava, a kada smanjuje od množenja.
Množenje pravilnim razlomkom smanjuje broj, a množenje nepravilnim razlomkom povećava broj ako je ovaj nepravilni razlomak veći od jedan, a ostaje nepromijenjen ako je jednak jedan.
Komentar. Prilikom množenja razlomaka, kao i cijelih brojeva, proizvod se uzima jednakim nuli ako je bilo koji od faktora jednaka nuli Dakle, .
§ 143. Izvođenje pravila množenja.
1) Množenje razlomka cijelim brojem. Neka se razlomak pomnoži sa 5. To znači povećanje za 5 puta. Da bi se razlomak povećao za 5 puta, dovoljno je povećati njegov brojilac ili smanjiti imenilac za 5 puta (§ 127).
Zbog toga:
Pravilo 1. Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, trebate pomnožiti brojilac s cijelim brojem, ali ostavite nazivnik isti; umjesto toga, također možete podijeliti imenilac razlomka datim cijelim brojem (ako je moguće), a brojilac ostaviti isti.
Komentar. Umnožak razlomka i njegovog nazivnika jednak je brojiocu.
dakle:
Pravilo 2. Da biste cijeli broj pomnožili razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti sa brojnikom razlomka i ovaj proizvod učiniti brojnikom, a nazivnik ovog razlomka potpisati kao nazivnik.
Pravilo 3. Da biste razlomak pomnožili razlomkom, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a nazivnik sa nazivnikom, i da prvi proizvod bude brojilac, a drugi nazivnik proizvoda.
Komentar. Ovo pravilo se također može primijeniti na množenje razlomka cijelim brojem i cijelog broja razlomkom, samo ako cijeli broj smatramo razlomak sa nazivnikom jedan. dakle:
Dakle, tri pravila koja su sada navedena su sadržana u jednom, koje se općenito može izraziti na sljedeći način:
4) Množenje mješovitih brojeva.
Pravilo 4. Za množenje mješovitih brojeva, trebate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim pomnožiti prema pravilima za množenje razlomaka. Na primjer:
§ 144. Smanjenje pri množenju. Prilikom množenja razlomaka, ako je moguće, potrebno je izvršiti preliminarnu redukciju, što se može vidjeti iz sljedećih primjera:
Takvo smanjenje se može izvršiti jer se vrijednost razlomka neće promijeniti ako se brojilac i imenilac smanje za isti broj jednom.
§ 145. Promjena proizvoda sa promjenjivim faktorima. Kada se faktori promijene, proizvod razlomaka će se promijeniti na potpuno isti način kao i proizvod cijelih brojeva (§ 53), naime: ako povećate (ili smanjite) bilo koji faktor nekoliko puta, tada će se proizvod povećati (ili smanjiti) za isti iznos.
Dakle, ako je u primjeru:
da biste pomnožili nekoliko razlomaka, morate pomnožiti njihove brojnike jedan s drugim i nazivnike jedan s drugim i prvi proizvod učiniti brojnikom, a drugi nazivnikom proizvoda.
Komentar. Ovo pravilo se može primijeniti i na takve proizvode u kojima su neki od faktora broja cijeli brojevi ili mješoviti, ako samo cijeli broj smatramo razlomkom s nazivnikom jedan, a miješane brojeve pretvorimo u nepravilne razlomke. Na primjer:
§ 147. Osnovna svojstva množenja. One osobine množenja koje smo naveli za cele brojeve (§ 56, 57, 59) važe i za množenje razlomaka. Naznačimo ova svojstva.
1) Proizvod se ne mijenja kada se promijene faktori.
Na primjer:
Zaista, prema pravilu iz prethodnog stava, prvi proizvod je jednak razlomku, a drugi je jednak razlomku. Ali ovi razlomci su isti, jer se njihovi članovi razlikuju samo po redoslijedu cjelobrojnih faktora, a proizvod cijelih brojeva se ne mijenja kada se mijenjaju mjesta faktora.
2) Proizvod se neće promijeniti ako se bilo koja grupa faktora zamijeni njihovim proizvodom.
Na primjer:
Rezultati su isti.
Iz ovog svojstva množenja može se izvesti sljedeći zaključak:
da pomnožite broj sa proizvodom, ovaj broj možete pomnožiti s prvim faktorom, pomnožiti rezultirajući broj sa drugim, itd.
Na primjer:
3) Distributivni zakon množenja (u odnosu na sabiranje). Da biste zbroj pomnožili brojem, možete svaki pojam posebno pomnožiti tim brojem i dodati rezultate.
Ovaj zakon smo mi objasnili (§ 59) kao primenjen na cele brojeve. Ostaje istinito bez ikakvih promjena za razlomke.
Pokažimo, zapravo, da je jednakost
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(distributivni zakon množenja u odnosu na sabiranje) ostaje istinit čak i kada slova predstavljaju razlomke. Razmotrimo tri slučaja.
1) Pretpostavimo prvo da je faktor m cijeli broj, na primjer m = 3 (a, b, c – bilo koji brojevi). Prema definiciji množenja cijelim brojem, možemo napisati (ograničavajući se na tri pojma radi jednostavnosti):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Na osnovu asocijativnog zakona sabiranja, možemo izostaviti sve zagrade na desnoj strani; Primjenom komutativnog zakona sabiranja, pa opet asocijativnog zakona, očito možemo prepisati desna strana dakle:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
To znači da je distributivni zakon potvrđen u ovom slučaju.
Deljenje razlomka prirodnim brojem
Odjeljci: Matematika
T vrsta lekcije: ONZ (otkrivanje novih znanja - korištenjem tehnologije metode nastave zasnovane na aktivnostima).
- Izvesti metode za dijeljenje razlomka prirodnim brojem;
- Razviti sposobnost dijeljenja razlomka prirodnim brojem;
- Ponovite i pojačajte podjelu razlomaka;
- Osposobiti sposobnost smanjenja razlomaka, analiziranja i rješavanja problema.
Materijal za demonstraciju opreme:
1. Zadaci za ažuriranje znanja:
2. Probni (individualni) zadatak.
1. Izvršite podjelu:
2. Izvršite dijeljenje bez izvođenja cijelog lanca proračuna: .
- Kada dijelite razlomak prirodnim brojem, nazivnik možete pomnožiti s tim brojem, ali ostavite brojilac istim.
- Ako je brojnik djeljiv prirodnim brojem, onda kada dijelite razlomak ovim brojem, možete podijeliti brojnik brojem, a nazivnik ostaviti isti.
I. Motivacija (samoopredjeljenje) za obrazovne aktivnosti.
- Organizirati ažuriranje zahtjeva za učenika u pogledu obrazovnih aktivnosti („mora”);
- Organizirati aktivnosti učenika radi uspostavljanja tematskih okvira („Ja mogu“);
- Stvoriti uslove da učenik razvije internu potrebu za uključivanjem u obrazovne aktivnosti („Želim“).
Organizacija obrazovni proces u fazi I.
Zdravo! Drago mi je da vas sve vidim na času matematike. Nadam se da je obostrano.
Ljudi, koja ste nova znanja stekli na prošloj lekciji? (Podijelite razlomke).
U redu. Šta vam pomaže pri dijeljenju razlomaka? (Pravilo, svojstva).
Gdje nam treba ovo znanje? (U primjerima, jednadžbama, problemima).
Dobro urađeno! Dobro ste uradili zadatke na prošloj lekciji. Želite li i sami danas otkriti nova znanja? (Da).
Onda - idemo! A moto lekcije će biti izjava „Matematiku ne možeš naučiti gledajući kako to tvoj komšija radi!“
II. Ažuriranje znanja i otklanjanje pojedinačnih poteškoća u probnoj akciji.
- Organizirajte ažuriranje naučenih metoda djelovanja dovoljno za izgradnju novog znanja. Zabilježite ove metode verbalno (u govoru) i simbolički (standardno) i generalizirajte ih;
- Organizirati aktualizaciju mentalnih operacija i kognitivni procesi, dovoljan za izgradnju novih znanja;
- Motivisati za probnu akciju i njeno nezavisno sprovođenje i opravdanje;
- Predstaviti individualni zadatak za probnu radnju i analizirati ga u cilju identifikacije novih obrazovnih sadržaja;
- Organizirati fiksiranje obrazovnog cilja i teme časa;
- Organizirati provedbu probne akcije i popraviti poteškoću;
- Organizirajte analizu primljenih odgovora i evidentirajte pojedinačne poteškoće u izvođenju probne radnje ili njenom opravdavanju.
Organizacija obrazovnog procesa na II stepenu.
Frontalno, pomoću tableta (pojedinačne ploče).
1. Uporedite izraze:
(Ovi izrazi su jednaki)
Koje ste zanimljive stvari primijetili? (Brojnik i imenilac dividende, brojilac i imenilac delioca u svakom izrazu uvećani za isti broj puta. Dakle, dividende i delioci u izrazima su predstavljeni razlomcima koji su međusobno jednaki).
Pronađite značenje izraza i zapišite ga na tabletu. (2)
Kako da zapišem ovaj broj kao razlomak?
Kako ste izveli akciju podjele? (Djeca izgovaraju pravilo, nastavnik postavlja simbole slova na tabli)
2. Izračunajte i zabilježite samo rezultate:
3. Zbrojite rezultate i zapišite odgovor. (2)
Kako se zove broj dobijen u zadatku 3? (Prirodno)
Mislite li da možete podijeliti razlomak prirodnim brojem? (Da, pokušat ćemo)
Probati ovaj.
4. Individualni (probni) zadatak.
Izvrši podjelu: (samo primjer a)
Koje pravilo ste koristili za podjelu? (Prema pravilu dijeljenja razlomaka razlomcima)
Sada podijelite razlomak prirodnim brojem na jednostavniji način, bez izvođenja cijelog lanca proračuna: (primjer b). Daću ti 3 sekunde za ovo.
Ko nije mogao završiti zadatak za 3 sekunde?
ko je to uradio? (nema takvih)
Zašto? (ne znamo put)
šta si dobio? (poteškoće)
Šta mislite da ćemo raditi na času? (Podijelite razlomke prirodnim brojevima)
Tako je, otvorite svoje sveske i zapišite temu lekcije: “Dijeljenje razlomka prirodnim brojem.”
Zašto ova tema zvuči novo kada već znate kako dijeliti razlomke? (Potrebno novi način)
U redu. Danas ćemo uspostaviti tehniku koja pojednostavljuje dijeljenje razlomka prirodnim brojem.
III. Identificiranje lokacije i uzroka problema.
- Organizirati obnavljanje izvršenih operacija i evidentirati (verbalno i simbolično) mjesto – korak, operaciju – gdje je nastala poteškoća;
- Organizovati korelaciju učeničkih radnji sa upotrebljenom metodom (algoritmom) i fiksiranje u spoljašnjem govoru uzroka teškoće – tog specifičnog znanja, veština ili sposobnosti koje nedostaju za rešavanje početnog problema ove vrste.
Organizacija obrazovnog procesa na III stepenu.
Koji zadatak ste morali da uradite? (Podijelite razlomak prirodnim brojem bez prolaska kroz cijeli lanac izračunavanja)
Šta vam je izazvalo poteškoće? (Nisam se mogao odlučiti za kratko vrijeme brz način)
Koji cilj smo sebi postavili na lekciji? (Pronađi brz način dijeljenje razlomka prirodnim brojem)
Šta će vam pomoći? (Već poznato pravilo za dijeljenje razlomaka)
IV. Izgradnja projekta za izlazak iz problema.
- Pojašnjenje cilja projekta;
- Izbor metode (pojašnjenje);
- Određivanje sredstava (algoritam);
- Izgradnja plana za postizanje cilja.
Organizacija obrazovnog procesa u fazi IV.
Vratimo se na testni zadatak. Rekli ste da dijelite po pravilu za dijeljenje razlomaka? (da)
Da biste to učinili, zamijenite prirodni broj razlomkom? (da)
Šta mislite koji korak (ili korake) možete preskočiti?
(Lanac rješenja je otvoren na ploči: 
Analizirajte i donesite zaključak. (Korak 1)
Ako nema odgovora, vodimo vas kroz pitanja:
Gdje je nestao prirodni djelitelj? (u imenilac)
Da li se brojilac promijenio? (ne)
Dakle, koji korak možete "izostaviti"? (Korak 1)
- Pomnožite nazivnik razlomka prirodnim brojem.
- Ne mijenjamo brojilac.
- Dobijamo novi razlomak.
V. Realizacija izvedenog projekta.
- Organizovati komunikativnu interakciju u cilju realizacije izgrađenog projekta u cilju sticanja znanja koje nedostaje;
- Organizirati snimanje izgrađene metode radnje u govoru i znakovima (pomoću standarda);
- Organizirajte rješenje početnog problema i zabilježite kako prevladati poteškoću;
- Organizirajte pojašnjenje general nova znanja.
Organizacija obrazovnog procesa na V.
Sada brzo pokrenite test slučaj na novi način.
Sada ste uspjeli brzo završiti zadatak? (da)
Objasni kako si to uradio? (djeca pričaju)
To znači da smo stekli novo znanje: pravilo za dijeljenje razlomka prirodnim brojem.
Dobro urađeno! Reci to u parovima.
Zatim jedan učenik govori razredu. Pravilo-algoritam fiksiramo usmeno iu obliku standarda na tabli.
Sada unesite oznake slova i zapišite formulu za naše pravilo.
Učenik piše na ploču, izgovarajući pravilo: kada dijelite razlomak prirodnim brojem, nazivnik možete pomnožiti ovim brojem, ali brojilac ostaviti isti.
(Svako zapisuje formulu u svoje sveske).
Sada ponovo analizirajte lanac rješavanja testnog zadatka okretanjem Posebna pažnja na odgovor. sta si uradio (Brojnik razlomka 15 je podijeljen (smanjen) brojem 3)
Koji je ovo broj? (prirodni, djelitelj)
Pa kako drugačije možete podijeliti razlomak prirodnim brojem? (Provjerite: ako je brojilac razlomka djeljiv sa ovim prirodnim brojem, tada možete podijeliti brojilac ovim brojem, rezultat upisati u brojilac novog razlomka, a nazivnik ostaviti isti)
Zapišite ovu metodu kao formulu. (Učenik zapisuje pravilo na tabli dok ga izgovara. Svako zapisuje formulu u svoje sveske.)
Vratimo se na prvu metodu. Možete ga koristiti ako a:n? (Da opšta metoda)
A kada je zgodno koristiti drugu metodu? (Kada se brojilac razlomka podijeli prirodnim brojem bez ostatka)
VI. Primarna konsolidacija s izgovorom u vanjskom govoru.
- Organizirajte dječju asimilaciju nove metode djelovanja prilikom rješavanja standardnih problema s njihovim izgovorom u vanjskom govoru (frontalno, u parovima ili grupama).
Organizacija obrazovnog procesa u fazi VI.
Računajte na novi način:
- br. 363 (a; d) - izvedeno na tabli, izgovaranje pravila.
- br. 363 (e; f) - u paru sa provjerom prema uzorku.
VII. Samostalan rad sa samotestiranjem prema standardu.
- Organizovati samoizvršenje studenti dobijaju zadatke za novi način glume;
- Organizirati samotestiranje na osnovu poređenja sa standardom;
- Na osnovu rezultata izvršenja samostalan rad organizirati refleksiju o usvajanju novog načina djelovanja.
Organizacija obrazovnog procesa na VII stepenu.
Računajte na novi način:
Učenici provjeravaju standard i ocjenjuju ispravnost izvođenja. Analiziraju se uzroci grešaka i greške se ispravljaju.
Učitelj pita učenike koji su pogriješili, šta je razlog?
U ovoj fazi važno je da svaki student samostalno provjerava svoj rad.
Prije rješavanja zadatka 8), razmotrite primjer iz udžbenika:
IX. Razmišljanje o aktivnostima učenja u učionici.
- Organizirati snimanje novih sadržaja naučenih na lekciji;
- Organizovati refleksivnu analizu vaspitno-obrazovnih aktivnosti sa stanovišta ispunjavanja uslova koji su učenicima poznati;
- Organizirati učenikovu procjenu vlastitih aktivnosti na času;
- Organizirati evidentiranje neriješenih poteškoća na času kao smjer za buduće obrazovne aktivnosti;
- Organizirajte diskusiju i snimanje domaće zadaće.
Organizacija obrazovnog procesa na IX stepenu.
Ljudi, koja nova saznanja ste danas otkrili? (Naučio kako podijeliti razlomak prirodnim brojem na jednostavan način)
Formulirajte opštu metodu. (Oni kazu)
Na koji način i u kojim slučajevima ga možete koristiti? (Oni kazu)
Koja je prednost nove metode?
Jesmo li postigli cilj lekcije? (da)
Koje ste znanje koristili da postignete svoj cilj? (Oni kazu)
Je li ti sve uspjelo?
Koje su bile poteškoće?
Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.
Množenje običnog razlomka s razlomkom.
Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati proizvod brojilaca i umnožaka nazivnika ovih razlomaka.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)
Pogledajmo primjer:
Množimo brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka množimo i imeniocem drugog razlomka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)
Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \puts 3) = \frac(4)(7)\\\) smanjen je za 3.
Množenje razlomka brojem.
Prvo, zapamtimo pravilo, bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Koristimo ovo pravilo prilikom množenja.
\(5 \ puta \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvoreno u mješoviti razlomak.
Drugim riječima, Kada broj množimo razlomkom, množimo broj sa brojnikom i imenilac ostavljamo nepromijenjen. primjer:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Množenje mješovitih razlomaka.
Da biste pomnožili mješovite razlomke, prvo morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim koristiti pravilo množenja. Množimo brojilac sa brojicom, a nazivnik množimo sa imeniocem.
primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.
Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzan razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni razlomci. Proizvod recipročnih razlomaka jednak je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak sa razlomkom?
Odgovor: Proizvod običnih razlomaka je množenje brojnika sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom. Da biste dobili proizvod miješanih razlomaka, trebate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.
Kako pomnožiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno da li razlomci imaju iste ili različite nazivnike, množenje se vrši po pravilu pronalaženja umnožaka brojnika sa brojicom, nazivnika sa nazivnikom.
Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod koristeći pravila množenja.
Kako pomnožiti broj sa razlomkom?
Odgovor: množimo broj sa brojicom, ali imenilac ostavljamo isti.
Primjer #1:
Izračunajte proizvod: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Rješenje:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)
Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)
Rješenje:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost razlomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)
Primjer #4:
Izračunajte proizvod dva međusobno inverzna razlomka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)
Rješenje:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)
Primjer #5:
Mogu li recipročni razlomci biti:
a) istovremeno sa pravim razlomcima;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) istovremeno prirodni brojevi?
Rješenje:
a) da bismo odgovorili na prvo pitanje, dajmo primjer. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(3)(2)\) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.
b) u skoro svim nabrajanjima razlomaka ovaj uslov nije ispunjen, ali postoje neki brojevi koji ispunjavaju uslov da su istovremeno nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilan razlomak je \(\frac(3)(3)\), njegov inverzni razlomak je jednak \(\frac(3)(3)\). Dobijamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uslovima kada su brojnik i imenilac jednaki.
c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo prilikom brojanja, na primjer, 1, 2, 3, …. Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegov inverzni razlomak biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost broja je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, onda će njegov recipročni razlomak biti \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu istovremeno biti prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je to broj 1.
Primjer #6:
Uradite umnožak mješovitih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puta 3\frac(2)(7)\ )
Rješenje:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Primjer #7:
Mogu li dva recipročna broja biti mješoviti brojevi u isto vrijeme?
Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađemo njegov inverzni razlomak, da bismo to učinili pretvaramo ga u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva razlomka koja su međusobno inverzna ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.