Šta je jednačina?
Jednačina je jedan od temeljnih koncepata svake matematike. I školsko i visoko obrazovanje. Ima smisla shvatiti, zar ne? Štaviše, ovo je vrlo jednostavan koncept. Uvjerite se sami u nastavku. :) Pa koja je jednačina?
Činjenica da ova riječ ima isti korijen kao riječi “jednako”, “jednakost”, mislim, ne izaziva nikakve zamjerke ni od koga. Jednačina su dva matematička izraza povezana znakom jednakosti “=”. Ali... ne bilo koji. I one u kojima (barem jedan) sadrži nepoznata količina . Ili na drugi način varijabilna količina . Ili jednostavno "varijabilna" ukratko. Može postojati jedna ili više varijabli. U školskoj matematici, jednačine sa jedan varijabla. Što se obično označava slovomx . Ili druga zadnja slova latinice -y , z , t i tako dalje.
Za sada ćemo razmotriti i jednačine sa jednom promenljivom. Sa dvije ili više varijabli - u posebnoj lekciji.
Šta znači riješiti jednačinu?
Nastavi. Varijabla u izrazima uključenim u jednačinu može uzeti bilo koju važeće vrijednosti. Zato je varijabilna. :) Za neke vrijednosti varijable dobija se tačna jednakost, ali za druge nije. Riješite jednačinu- to znači pronalaženje svih takvih vrijednosti varijable, prilikom njihove zamjene original ispada jednačina istinska jednakost . Ili, naučnije, identitet. Na primjer, 5=5, 0=0, -10=-10. I tako dalje. :) Ili dokazati da takve vrijednosti varijabli ne postoje.
Posebno se fokusiram na riječ “original”. Zašto će biti jasno u nastavku.
Te same vrijednosti varijable, čijom zamjenom se jednačina pretvara u identitet, nazivaju se vrlo lijepo - korijeni jednadžbe. Ako se dokaže da takvih vrijednosti nema, onda u ovom slučaju kažu da je jednačina nema korena.
Zašto su potrebne jednačine?
Zašto su nam potrebne jednačine? Prije svega, jednadžbe su vrlo moćan i najsvestraniji alat za rješavanje problema . Veoma drugačije. :) U školi se po pravilu radi problemi sa rečima. To su zadaci o kretanju, o radu, o procentima i mnogi, mnogi drugi. Međutim, upotreba jednadžbi nije ograničena na školske probleme o bazenima, cijevima, vlakovima i stolicama. :)
Bez sposobnosti sastavljanja i rješavanja jednačina, nemoguće je riješiti nijedan ozbiljan naučni problem – fizički, inženjerski ili ekonomski. Na primjer, izračunajte gdje će raketa pogoditi. Ili odgovorite na pitanje hoće li neka važna konstrukcija (lift ili most, na primjer) izdržati ili neće izdržati opterećenje. Ili predvidjeti vrijeme, porast (ili pad) cijena ili prihoda...
Općenito, jednadžba je ključna figura u rješavanju širokog spektra računskih problema.
Koje su jednačine?
U matematici postoji bezbroj jednačina. Većina različite vrste. Međutim, sve jednačine se mogu podijeliti u samo 4 klase:
1) Linearni,
2) Kvadrat,
3) razlomka (ili razlomka-racionalna),
4) Drugi.
Različite vrste jednačina zahtijevaju i drugačiji pristup do njihovog rješenja: linearne jednačine se rješavaju na jedan način, kvadratne na drugi, frakcijske jednačine na treći, trigonometrijske, logaritamske, eksponencijalne i druge također se rješavaju vlastitim metodama.
Ima, naravno, još drugih jednačina. To su iracionalne, trigonometrijske, eksponencijalne, logaritamske i mnoge druge jednačine. Pa čak i diferencijalne jednadžbe (za studente), gdje nepoznata nije broj, već funkcija. Ili čak čitava porodica funkcija. :) U odgovarajućim lekcijama ćemo detaljno analizirati sve ove vrste jednačina. I ovdje imamo osnovne tehnike koje su primjenjive za rješavanje apsolutno bilo koji(da, bilo koje!) jednačine. Ove tehnike se nazivaju ekvivalentne transformacije jednačina . Ima ih samo dvoje. I nema načina da ih se zaobiđe. Pa hajde da se upoznamo!
Kako riješiti jednačine? Identične (ekvivalentne) transformacije jednačina.
Rješenje bilo koji jednačina se sastoji od transformacije korak-po-korak izraza uključenih u nju. Ali ne bilo kakve transformacije, već takve suština cele jednačine se nije promenila. Unatoč činjenici da će se nakon svake transformacije jednadžba mijenjati i na kraju postati potpuno drugačija od originalne. Takve transformacije u matematici se nazivaju ekvivalentno ili identičan . Među čitavom raznolikošću identičnih transformacija jednačina, jedna se izdvaja dva osnovna. Pričaćemo o njima. Da, da, samo dva! I svaki od njih zaslužuje posebnu pažnju. Primjena ove dvije identične transformacije u jednom ili drugom redu garantuje uspjeh u rješavanju 99% svih jednačina.
Pa, hajde da se upoznamo!
Prva transformacija identiteta:
Možete dodati (ili oduzeti) bilo koji (ali identičan!) broj ili izraz (uključujući one sa promjenljivom) na obje strane jednačine.
Suština jednačine će ostati ista. Tu transformaciju primjenjujete svuda, naivno misleći da neke članove prenosite iz jednog dijela jednačine u drugi, mijenjajući predznak. :)
Na primjer, ova cool jednadžba:
Ovdje nemate o čemu razmišljati: pomaknite minus tri udesno, mijenjajući minus u plus:
Ali šta se zapravo dešava? Ali u stvarnosti ti dodati tri na obje strane jednačine! Volim ovo:
Suština cijele jednadžbe se ne mijenja kada se na obje strane dodaju tri. Na lijevoj strani ostaje čisti X (što mi, zapravo, pokušavamo postići), a na desnoj - šta god da se dogodi.
Prenošenje pojmova iz jednog dijela u drugi je skraćena verzija prva transformacija identiteta. Jedina greška koju ovdje možete napraviti je da zaboravite promijeniti znak prilikom prijenosa. Na primjer, ova jednadžba:
To nije komplikovana stvar. Radimo direktno prema čaroliji: sa X na lijevo, bez X na desno. Koji je pojam sa X na desnoj strani? Šta? 2x? Pogrešno! Na desnoj strani imamo -2x (minus dva x-a)! Stoga će ovaj termin biti prebačen na lijevu stranu sa plusom :
Pola posla je obavljeno, X-ovi su sakupljeni na lijevoj strani. Ostaje samo da pomaknete jedinicu udesno. Opet se postavlja pitanje - sa kojim znakom? Na lijevoj strani ispred jedinice nema ništa napisano, što znači da treba da joj prethodi plus. Stoga će se 1 pomaknuti udesno sa minusom:
To je skoro sve. Na lijevoj strani prikazujemo slične, a na desnoj ih brojimo. I dobijamo:
Sada analizirajmo naše mahinacije s prijenosom termina. Šta smo uradili kada smo se pomerili -2x ulevo? Da! Mi dodat u oba dijela naše zle jednačine izraz je 2x. Rekao sam vam da imamo pravo sabirati (oduzeti) bilo koji broj, pa čak i izraz sa X! Sve dok je to ista stvar. :) A kada si pomerio 1 udesno? Apsolutno u pravu! Mi oduzeti od obe strane jednačine jedan. To je sve.) To je cela poenta prve ekvivalentne transformacije.
Ili ovaj primjer za srednjoškolce:
Jednačina je logaritamska. Pa šta? Koga briga? U svakom slučaju, prvi korak je napraviti osnovnu transformaciju identiteta - pomjerimo pojam s promjenljivom (tj. -log 3 x) ulijevo, i numerički izraz log 3 4 pomaknite se udesno. Uz promenu predznaka, naravno:
To je sve. Svako ko je upoznat sa logaritmima će popuniti jednačinu u svojoj glavi i dobiti:
Šta? Hoćeš li sinuse? Molim vas, evo sinusa:
Ponovo izvodimo prvu identičnu transformaciju - prenosimo sin x ulijevo (sa minusom) i pomaknite -1/4 udesno (sa plusom):
Imamo najjednostavnije trigonometrijska jednačina sa sinusom, što poznavaocima takođe nije teško riješiti.
Pogledajte koliko je univerzalna prva ekvivalentna transformacija! Ima ga svuda i svuda i nema načina da ga se zaobiđe. Stoga, morate biti u mogućnosti to učiniti automatski. Glavna stvar je da ne zaboravite promijeniti znak prilikom prijenosa! Nastavljamo se upoznavati s identičnim transformacijama jednadžbi.)
Druga transformacija identiteta:
Obje strane jednačine se mogu pomnožiti (podijeliti) istim brojem ili izrazom koji nije nula.
Ovu identičnu transformaciju stalno koristimo i kada nas neki koeficijenti u jednadžbi interferiraju i želimo ih se riješiti. Sigurno za samu jednačinu. :) Na primjer, ova zla jednačina:
To je svima ovdje jasno x = 3. Kako ste pogodili? Jesi li ga pokupio? Ili ste uperili prst u nebo i pogodili?
Da ne biste birali i pogađali (mi smo ipak matematičari, a ne gatari :)), morate shvatiti da ste samo podijelio obje strane jednačine za cetvorku. Što je ono što nam smeta.
Volim ovo:
Ovaj štap za podjelu znači da su podijeljeni sa četiri. oba dijela naša jednačina. Cijela lijeva i cijela desna strana:
Na lijevoj strani, četvorke su sigurno smanjene, a x ostaje u sjajnoj izolaciji. A na desnoj strani, kada se dijeli 12 sa 4, rezultat je, naravno, tri. :)
Ili ova jednačina:
Šta raditi sa jednom sedminom? Pomeri se desno? Ne, ne možeš! Jedna sedmina je povezana sa množenjem x. Koeficijent, razumete. :) Ne možete odvojiti koeficijent i pomeriti ga odvojeno od X. Samo cijeli izraz (1/7)x. Ali nema potrebe. :) Prisjetimo se opet množenja/dijeljenja. Šta nas sprečava? Razlomak je 1/7, zar ne? Pa hajde da ga se rešimo. Kako? I kao rezultat koje akcije gubimo razlomak? Naš razlomak nestane kada množenje brojem jednak njegovom nazivniku! Dakle, pomnožimo obje strane naše jednadžbe sa 7:
Na lijevoj strani, sedmice će se smanjiti i ostati samo usamljeni X, a na desnoj strani, ako se sjetite tablice množenja, dobijate 21:
Sada primjer za srednjoškolce:
Da bismo došli do x i time riješili našu zlu trigonometrijsku jednadžbu, prvo moramo dobiti čisti kosinus s lijeve strane, bez ikakvih koeficijenata. Ali dvojka stane na put. :) Dakle, cijelu lijevu stranu podijelimo sa 2:
Ali tada će i desna strana morati biti podijeljena na dva: to već zahtijeva MATEMATIKA. podijeliti:
Na desnoj strani vrijednost tabele kosinus. I sada je jednačina riješena za slatku dušu.)
Je li sve jasno sa množenjem/dijeljenjem? Odlično! Ali… pažnja! U ovoj transformaciji, uprkos svoj njenoj jednostavnosti, leži izvor vrlo dosadnih grešaka! To se zove gubitak korijena I sticanje stranih korena .
Već sam rekao gore da se obje strane jednačine mogu pomnožiti (podijeliti) bilo kojim brojem ili izraz sa x. Ali uz jedno važno upozorenje: izraz kojim množimo (dijelimo) mora biti različito od nule . Upravo ta tačka, koju mnogi u početku jednostavno ignorišu, dovodi do tako nesretnih grešaka. Zapravo, značenje ovog ograničenja je jasno: množenje sa nulom je glupo, a dijeljenje općenito nije dozvoljeno. Hajde da shvatimo šta je šta? Počnimo s podjelom i gubitak korijena .
Recimo da imamo ovu jednačinu:
Ovdje vas ruke zaista žude uzeti i podijeliti obje strane jednačine common bracket(x-1):
Recimo da zadatak Jedinstvenog državnog ispita kaže pronaći zbir korijena ove jednačine. Šta ćemo napisati kao odgovor? Tri? Ako odlučiš da je trojka, onda ti u zasjedi. Zove se "gubitak korijena". :) Sta je bilo?
Otvorimo zagrade u originalnoj jednadžbi i sakupimo sve s lijeve strane:
Dobili smo klasičnu kvadratnu jednačinu. Rješavamo kroz diskriminantu (ili preko Vietine teoreme) i dobivamo dva korijena:
Dakle, zbir korijena je 1+3 = 4. Četiri, a ne tri! Gdje je "nestao" naš korijen?
x = 1
Sa prvim rješenjem? A naš je nestao baš kad smo oba dijela dijelili zagradama (x-1). Zašto se to dogodilo? A sve zato što se kod x = 1 ova zagrada (x-1) resetuje na nulu. A mi imamo pravo samo da delimo nenulti izraz! Kako bi se mogao izbjeći gubitak ovog korijena? I gubitak korijena općenito? Da bismo to učinili, prvo, prije dijeljenja nekim izrazom sa x, uvijek dodajemo uslov da je ovaj izraz različit od nule. I nalazimo nule ovog izraza. Ovako (koristeći našu jednačinu kao primjer):
I drugo, da neki korijeni ne nestanu tokom procesa podjele, moramo posebno provjeriti kao kandidate za korijene Sve nule našeg izraza (onog s kojim dijelimo). Kako? Samo ih stavi unutra originalna jednadžba i računaj. U našem slučaju provjeravamo jedno:
Sve je pošteno. Dakle, jedan je korijen!
Općenito, u budućnosti uvijek pokušajte izbjegavati divizije na izraz sa X. Gubitak korijena je vrlo opasna i dosadna stvar! Koristite bilo koje druge metode - otvaranje zagrada i posebno faktorizacija. Faktorizacija je najjednostavnija i siguran način izbjeći gubitak korijena. Da bismo to učinili, skupljamo sve što je s lijeve strane, zatim izvlačimo zajednički faktor (za koji želimo da „smanjimo”) iz zagrada, činimo ga u faktore i zatim svaki rezultirajući faktor izjednačavamo sa nulom. Na primjer, naša jednačina bi se mogla riješiti sasvim bezopasno ne samo redukcijom na kvadrat, već i faktorizacijom. Uvjerite se sami:
Pomjerite cijeli izraz (x-1) ulijevo. Sa znakom minus:
Uzimamo (x-1) iz zagrada kao zajednički faktor i činimo ga na faktore:
Proizvod je nula kada barem jedan od množitelja jednaka nuli . Sada izjednačavamo (u našem umu!) svaku zagradu sa nulom i dobijamo naša zakonska dva korijena:
I nijedan korijen nije izgubljen!
Pogledajmo sada suprotnu situaciju - sticanje stranih korena. Ova situacija nastaje kada množenje obje strane jednačine izraza sa x. Često se javlja prilikom rješavanja razlomaka racionalnih jednačina. Na primjer, ova jednostavna jednadžba:
To je poznata stvar - množimo obje strane sa nazivnikom da bismo se riješili razlomka i dobili jednadžbu ravnala:
Svaki faktor izjednačavamo sa nulom i dobijamo dva korena:
Čini se da je sve u redu. Ali hajde da pokušamo da izvršimo osnovnu proveru. I ako na x = 0 sve ce se lepo srasti, dobijamo identitet 2=2, onda kada x = 1 Ovo će rezultirati dijeljenjem sa nulom. Ono što apsolutno ne možete učiniti. Jedan nije prikladan kao korijen naše jednadžbe. U takvim slučajevima se kaže da x = 1- takozvani vanjski korijen . Jedan je korijen naše nove jednadžbe bez razlomka x(x-1) = 0, Ali nije root original frakciona jednačina. Kako se pojavljuje ovaj strani korijen? Pojavljuje se kada se obje strane pomnože sa nazivnikom x-1. koji na x = 1 samo ide na nulu! I imamo pravo da množimo samo izrazom koji nije nula!
Kako biti? Da se uopšte ne množe? Tada nećemo moći ništa riješiti. Trebam li provjeriti svaki put? Može. Ali često je radno intenzivan ako je originalna jednadžba previše zamršena. U takvim slučajevima u pomoć priskaču tri magična slova - ODZ. O području D izostavljeno Z dostignuća. A kako biste isključili pojavu stranih korijena, prilikom množenja izrazom s X, uvijek morate dodatno zapisati ODZ. u našem slučaju:
Sada, s ovim ograničenjem, možete sigurno pomnožiti obje strane sa nazivnikom. Isključit ćemo sve štetne posljedice takvog umnožavanja (tj. strane korijene) prema DZ. A mi ćemo svoju nemilosrdno baciti.
Dakle, pojava stranih korijena nije toliko opasna kao gubitak: ODZ je moćna stvar. I tvrd. Ona će uvijek ukloniti sve nepotrebno. :) ODZ i ja ćemo biti prijatelji i upoznaćemo se detaljnije u posebnoj lekciji.
To su sve identične transformacije.) Samo dvije. Međutim, neiskusni učenik može imati određene poteškoće sekvenca njihove primjene: u nekim primjerima počinju množenjem (ili dijeljenjem), u drugim - prijenosom. Na primjer, ova linearna jednadžba:
Gdje početi? Možete početi sa transferom:
Ili možete prvo podijeliti oba dijela sa pet, a zatim prenijeti. Tada će brojevi postati jednostavniji i lakše će se brojati:
Kao što vidimo, oba načina su moguća. Stoga se za neke studente postavlja pitanje: „Šta je tačno?“ Odgovor: "U svakom pogledu tačno!" Kako vam je zgodnije. :) Sve dok tvoji postupci nisu u suprotnosti sa pravilima matematike. A redoslijed samih ovih radnji ovisi isključivo o ličnim preferencijama i navikama donosioca odluke. Međutim, s iskustvom će takva pitanja nestati sama od sebe, i na kraju neće matematika zapovijedati vama, već ćete vi zapovijedati matematikom. :)
U zaključku, želio bih posebno reći o tzv uslovno identične transformacije, važi za neki uslovi. Na primjer, podizanje obje strane jednadžbe na isti stepen. Ili vađenje korijena iz oba dijela. Ako je eksponent neparan, onda nema ograničenja - konstruirajte i izdvojite bez straha. Ali ako je paran, onda će takva transformacija biti identična samo ako obje strane jednačine nisu negativne. O ovim zamkama ćemo detaljno govoriti u temi o iracionalnim jednačinama.
Instrukcije
Metoda zamjene Izrazite jednu varijablu i zamijenite je drugom jednačinom. Možete izraziti bilo koju varijablu po svom nahođenju. Na primjer, izrazite y iz druge jednadžbe:
x-y=2 => y=x-2 Zatim sve zamijenite u prvu jednačinu:
2x+(x-2)=10 Premjestite sve bez "x" na desnu stranu i izračunajte:
2x+x=10+2
3x=12 Zatim, da dobijete x, podijelite obje strane jednadžbe sa 3:
x=4 Dakle, pronašli ste “x. Pronađite "y. Da biste to učinili, zamijenite "x" u jednačinu iz koje ste izrazili "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.
Proveri. Da biste to učinili, zamijenite rezultirajuće vrijednosti u jednadžbe:
2*4+2=10
4-2=2
Nepoznate su tačno pronađene!
Način sabiranja ili oduzimanja jednačina Odmah se riješite bilo koje varijable. U našem slučaju, to je lakše uraditi sa „y.
Pošto se u "y" nalazi znak "+", a u drugom "-", onda možete izvršiti operaciju sabiranja, tj. preklopite lijevu stranu lijevom, a desnu desnom:
2x+y+(x-y)=10+2Pretvori:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Zamijenite “x” u bilo koju jednačinu i pronađite “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Prvom metodom možete vidjeti da su pronađeni ispravno.
Ako nema jasno definisanih varijabli, onda je potrebno malo transformisati jednačine.
U prvoj jednačini imamo “2x”, au drugoj jednostavno “x”. Da bi se x smanjio tokom sabiranja, pomnožite drugu jednačinu sa 2:
x-y=2
2x-2y=4 Zatim oduzmite drugu od prve jednačine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Imajte na umu da ako postoji minus ispred zagrade, onda ga nakon otvaranja promijenite u suprotno:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
naći y=2x izražavanjem iz bilo koje jednačine, tj.
x=4
Video na temu
Savjet 2: Kako riješiti linearnu jednačinu u dvije varijable
Jednačina, napisan u opštem obliku ax+bu+c=0, naziva se linearna jednačina sa dva varijable. Takva jednačina sama po sebi sadrži beskonačan broj rješenja, pa se u zadacima uvijek dopunjava nečim - drugom jednačinom ili graničnim uvjetima. U zavisnosti od uslova koje daje zadatak, rešiti linearnu jednačinu sa dva varijable trebalo bi Različiti putevi.
Trebaće ti
- - linearna jednačina sa dvije varijable;
- - druga jednačina ili dodatni uslovi.
Instrukcije
Dat sistem od dvije linearne jednačine, riješite ga na sljedeći način. Odaberite jednu od jednačina u kojima su koeficijenti varijable manji i izraziti jednu od varijabli, na primjer, x. Zatim ovu vrijednost koja sadrži y zamijenite drugom jednačinom. U rezultirajućoj jednačini postojat će samo jedna varijabla y, pomjeriti sve dijelove sa y na lijevu stranu, a slobodne na desnu. Pronađite y i zamijenite bilo koju od originalnih jednadžbi da biste pronašli x.
Postoji još jedan način da se reši sistem od dve jednačine. Pomnožite jednu od jednadžbi brojem tako da koeficijent jedne od varijabli, kao što je x, bude isti u obje jednačine. Zatim oduzmite jednu od jednadžbi od druge (ako desna strana nije jednaka 0, ne zaboravite da oduzmete desne strane na isti način). Vidjet ćete da je varijabla x nestala i da je ostala samo jedna varijabla y. Riješite rezultirajuću jednačinu i zamijenite pronađenu vrijednost y u bilo koju od originalnih jednakosti. Pronađite x.
Treći način rješavanja sistema od dvije linearne jednačine je grafički. Nacrtajte koordinatni sistem i nacrtajte dvije linije čije su jednačine date u vašem sistemu. Da biste to učinili, zamijenite bilo koje dvije vrijednosti x u jednadžbu i pronađite odgovarajući y - to će biti koordinate tačaka koje pripadaju pravoj. Najprikladniji način da pronađete sjecište s koordinatnim osa je jednostavno zamijeniti vrijednosti x=0 i y=0. Koordinate tačke preseka ove dve linije biće zadaci.
Ako postoji samo jedna linearna jednačina u uslovima problema, onda su vam dati dodatni uslovi kroz koje možete pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako varijable x i y označavaju udaljenost, brzinu, težinu - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skrivaju broj jabuka itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x godina sina, jasno je da on ne može biti stariji od oca, pa to navedite u uslovima zadatka.
Izvori:
- kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom
Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.
Trebaće ti
- - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.
Instrukcije
Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i zamijeniti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj u ovom slučaju je da ga pretvorite u normalu jednačina sa nepoznatom osobom. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednačine i pronađite sve ostale nepoznanice.
Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jednu od ili varijablu tako da se dvije nepoznate ponište odjednom. Ako postoji takva prilika, najvjerovatnije je iskoristite, naknadno rješenje neće biti teško. Zapamtite da kada množite brojem, morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Isto tako, kada oduzimate jednačine, morate zapamtiti da se desna strana također mora oduzeti.
Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite na opšti način rješenja bilo koje jednačine sa tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednačine u obliku a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sada kreirajte matricu koeficijenata za x (A), matricu nepoznatih (X) i matricu slobodnih (B). Imajte na umu da množenjem matrice koeficijenata sa matricom nepoznatih, dobit ćete matricu slobodnih termina, odnosno A*X=B.
Pronađite matricu A na stepen (-1) tako što ćete prvo pronaći , imajte na umu da ona ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.
Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara sistemskoj matrici. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih pojmova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Izvori:
- rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice
Rješavanje sistema jednačina je izazovno i uzbudljivo. Kako složeniji sistem, interesantnije je to riješiti. Najčešće u matematici srednja škola Postoje sistemi jednačina sa dvije nepoznate, ali u višoj matematici može biti više varijabli. Sistemi se mogu riješiti korištenjem nekoliko metoda.
Instrukcije
Najčešća metoda za rješavanje sistema jednačina je supstitucija. Da biste to učinili, trebate izraziti jednu varijablu u terminima druge i zamijeniti je drugom jednačina sistema, čime se vodi jednačina na jednu varijablu. Na primjer, date su sljedeće jednačine: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Iz drugog izraza zgodno je izraziti jednu od varijabli, pomjerajući sve ostalo na desnu stranu izraza, ne zaboravljajući promijeniti predznak koeficijenta: x = 3-y.
Otvorite zagrade: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Dobivenu vrijednost y zamjenjujemo u izraz: x=3-y;x=3-1;x=2. .
U prvom izrazu, svi članovi su 2, možete uzeti 2 iz zagrade na distributivno svojstvo množenja: 2*(2x-y-3)=0. Sada se oba dijela izraza mogu smanjiti za ovaj broj, a zatim izraziti kao y, pošto je koeficijent modula za njega jednak jedan: -y = 3-2x ili y = 2x-3.
Kao iu prvom slučaju, ovaj izraz zamjenjujemo drugim jednačina i dobijamo: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Zamenimo rezultujuću vrednost u izraz: y=2x -3;y=4-3=1.
Vidimo da je koeficijent za y isti po vrijednosti, ali različit po predznaku, stoga, ako dodamo ove jednačine, potpuno ćemo se riješiti y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 Zameniti vrednost x u bilo koju od dve jednačine sistema i dobiti y=1.
Video na temu
Bikvadratično jednačina predstavlja jednačinačetvrti stepen, opšti oblik koji je predstavljen izrazom ax^4 + bx^2 + c = 0. Njegovo rješenje se zasniva na korištenju metode zamjene nepoznatih. IN u ovom slučaju x^2 je zamijenjen drugom varijablom. Dakle, rezultat je običan kvadrat jednačina, što treba riješiti.
Instrukcije
Riješite kvadrat jednačina, koji je rezultat zamjene. Da biste to učinili, prvo izračunajte vrijednost u skladu sa formulom: D = b^2? 4ac. U ovom slučaju, varijable a, b, c su koeficijenti naše jednačine.
Pronađite korijene bikvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen dobivenih rješenja. Ako je bilo jedno rješenje, onda će biti dva - pozitivna i negativna vrijednost kvadratnog korijena. Ako postoje dva rješenja, bikvadratna jednačina će imati četiri korijena.
Video na temu
Jedan od klasične metode rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda. Sastoji se u sekvencijalnoj eliminaciji varijabli kada se koristi sistem jednačina jednostavne transformacije se prevodi u postupni sistem, iz kojeg se sve varijable nalaze sekvencijalno, počevši od posljednje.
Instrukcije
Prvo, dovedite sistem jednačina u oblik u kojem su sve nepoznanice u strogo definisanom redosledu. Na primjer, svi nepoznati X će se pojaviti prvi u svakoj liniji, svi Y će doći iza X, svi Z će doći nakon Y, itd. Na desnoj strani svake jednačine ne bi trebalo biti nepoznanica. Mentalno odredite koeficijente ispred svake nepoznate, kao i koeficijente na desnoj strani svake jednačine.
Linearne jednadžbe. Rješenje, primjeri.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Linearne jednadžbe.
Linearne jednačine nisu najteža tema u školskoj matematici. Ali postoje neki trikovi koji mogu zbuniti čak i obučenog učenika. Hajde da to shvatimo?)
Obično se linearna jednačina definira kao jednačina oblika:
sjekira + b = 0 Gdje a i b– bilo koji broj.
2x + 7 = 0. Evo a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Ovdje a=0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Ovdje a=12, b=1/2
Ništa komplikovano, zar ne? Pogotovo ako ne primjećujete riječi: "gdje su a i b bilo koji brojevi"... A ako primijetite i nemarno razmislite o tome?) Uostalom, ako a=0, b=0(da li su mogući brojevi?), onda dobijamo smiješan izraz:
Ali to nije sve! ako, recimo, a=0, A b=5, Ovo se ispostavilo kao nešto potpuno apsurdno:
Što je dosadno i podriva samopouzdanje u matematiku, da...) Pogotovo na ispitima. Ali od ovih čudnih izraza također morate pronaći X! Koji uopšte ne postoji. I, iznenađujuće, ovaj X je vrlo lako pronaći. Naučićemo to da radimo. U ovoj lekciji.
Kako prepoznati linearnu jednačinu po izgledu? Zavisi šta izgled.) Trik je u tome što se linearne jednačine ne nazivaju samo jednačinama oblika sjekira + b = 0 , ali i sve jednadžbe koje se transformacijama i simplifikacijama mogu svesti na ovaj oblik. I ko zna da li pada ili ne?)
U nekim slučajevima može se jasno prepoznati linearna jednačina. Recimo, ako imamo jednačinu u kojoj postoje samo nepoznanice prvog stepena i brojevi. A u jednačini nema razlomci podijeljeni sa nepoznato , važno je! I podjela po broj, ili brojčani razlomak - to je dobrodošlo! Na primjer:
Ovo je linearna jednadžba. Ovdje postoje razlomci, ali nema x u kvadratu, kocki, itd., i nema x u nazivnicima, tj. br podjela sa x. A evo jednačine
ne može se nazvati linearnim. Ovdje su svi X u prvom stepenu, ali ih ima podjela po izrazu sa x. Nakon pojednostavljenja i transformacija, možete dobiti linearnu jednačinu, kvadratnu jednačinu ili bilo šta što želite.
Ispada da je nemoguće prepoznati linearnu jednačinu u nekom komplikovanom primjeru dok je gotovo ne riješite. Ovo je uznemirujuće. Ali u zadacima se po pravilu ne pitaju za oblik jednačine, zar ne? Zadaci traže jednačine odlučiti. Ovo me čini srećnom.)
Rješavanje linearnih jednadžbi. Primjeri.
Cjelokupno rješenje linearnih jednačina sastoji se od identičnih transformacija jednačina. Inače, ove transformacije (njih dvije!) su osnova rješenja sve matematičke jednačine. Drugim riječima, rješenje bilo koji jednadžba počinje upravo ovim transformacijama. U slučaju linearnih jednadžbi, ono (rešenje) se zasniva na ovim transformacijama i završava se punim odgovorom. Ima smisla pratiti vezu, zar ne?) Štaviše, tamo postoje i primjeri rješavanja linearnih jednačina.
Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer. Bez ikakvih zamki. Pretpostavimo da trebamo riješiti ovu jednačinu.
x - 3 = 2 - 4x
Ovo je linearna jednadžba. Svi X su u prvom stepenu, nema podjele na X. Ali, u stvari, nije nam važno kakva je to jednačina. Moramo to riješiti. Shema je ovdje jednostavna. Sakupite sve sa X-ovima na lijevoj strani jednadžbe, sve bez X-ova (brojeva) na desnoj strani.
Da biste to učinili, morate izvršiti transfer - 4x na lijevu stranu, uz promjenu znaka, naravno, i - 3 - nadesno. Usput, ovo je prva identična transformacija jednačina. Iznenađen? To znači da niste pratili link, ali uzalud...) Dobijamo:
x + 4x = 2 + 3
Evo sličnih, smatramo:
Šta nam je potrebno za potpunu sreću? Da, tako da je čisto X na lijevoj strani! Pet je na putu. Riješite se petorice uz pomoć druga identična transformacija jednačina. Naime, obje strane jednačine podijelimo sa 5. Dobijamo gotov odgovor:
Elementarni primjer, naravno. Ovo je za zagrevanje.) Nije baš jasno zašto sam se setio identičnih transformacija ovde? UREDU. Uzmimo bika za rogove.) Odlučimo nešto solidnije.
Na primjer, evo jednadžbe:
Gdje da počnemo? Sa X-ovima - lijevo, bez X-a - desno? Moglo bi biti tako. U malim koracima dug put. Ili možete odmah, univerzalno i na moćan način. Ako, naravno, imate identične transformacije jednačina u svom arsenalu.
Postavljam vam ključno pitanje: Šta vam se najviše ne sviđa kod ove jednačine?
95 od 100 ljudi će odgovoriti: razlomci ! Odgovor je tačan. Pa hajde da ih se riješimo. Stoga odmah počinjemo sa druga transformacija identiteta. Čime je potrebno pomnožiti razlomak na lijevoj strani tako da se nazivnik potpuno smanji? Tako je, u 3. A desno? Sa 4. Ali matematika nam omogućava da obje strane pomnožimo sa isti broj. Kako možemo izaći? Pomnožimo obje strane sa 12! One. on zajednički imenilac. Tada će se i tri i četiri smanjiti. Ne zaboravite da svaki dio trebate pomnožiti u potpunosti. Evo kako izgleda prvi korak:
Proširivanje zagrada:
Bilješka! Brojač (x+2) Stavio sam to u zagrade! To je zato što se pri množenju razlomaka množi cijeli brojilac! Sada možete smanjiti razlomke:
Proširite preostale zagrade:
Nije primjer, već čisto zadovoljstvo!) Sada se prisjetimo čarolije iz junior classes: sa X - lijevo, bez X - desno! I primijenite ovu transformaciju:
Evo nekih sličnih:
I podijelite oba dijela sa 25, tj. ponovo primijeni drugu transformaciju:
To je sve. odgovor: X=0,16
Imajte na umu: da bismo originalnu zbunjujuću jednadžbu doveli u lijep oblik, koristili smo dva (samo dva!) transformacije identiteta– prevođenje lijevo-desno sa promjenom predznaka i množenjem-dijeljenjem jednačine istim brojem. Ovo je univerzalna metoda! Na ovaj način ćemo raditi sa bilo koji jednačine! Apsolutno bilo koga. Zato stalno zamorno ponavljam ove identične transformacije.)
Kao što vidite, princip rješavanja linearnih jednadžbi je jednostavan. Uzimamo jednačinu i pojednostavljujemo je koristeći identične transformacije dok ne dobijemo odgovor. Ovdje su glavni problemi u proračunima, a ne u principu rješenja.
Ali... U procesu rješavanja najelementarnijih linearnih jednačina ima takvih iznenađenja da vas mogu dovesti u jaku omamljenost...) Na sreću, takva iznenađenja mogu biti samo dva. Nazovimo ih posebnim slučajevima.
Posebni slučajevi u rješavanju linearnih jednačina.
Prvo iznenađenje.
Pretpostavimo da naiđete na vrlo osnovnu jednačinu, nešto poput:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Pomalo dosadno, pomeramo ga sa X ulevo, bez X - udesno... Sa promenom predznaka sve je savršeno... Dobijamo:
2x-5x+3x=5-2-3
Računamo, i... ups!!! Dobijamo:
Ova jednakost sama po sebi nije sporna. Nula je zaista nula. Ali X nedostaje! I moramo napisati u odgovoru, čemu je x jednako? Inače, rješenje se ne računa, zar ne...) Zastoj?
Miran! U takvim sumnjivim slučajevima, najopštija pravila će vas spasiti. Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu? Ovo znači, pronađite sve vrijednosti x koje će nam, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati tačnu jednakost.
Ali mi imamo istinsku jednakost već dogodilo! 0=0, koliko tačnije?! Ostaje da shvatimo pri čemu se to događa. U koje se vrijednosti X mogu zamijeniti original jednadžba ako su ova x hoće li oni i dalje biti svedeni na nulu? Hajde?)
Da!!! X se mogu zamijeniti bilo koji! koje želite? Najmanje 5, najmanje 0,05, najmanje -220. I dalje će se smanjiti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti.) Zamijenite bilo koju vrijednost X u original jednačinu i izračunaj. Sve vreme ćete dobijati čistu istinu: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tako dalje.
Evo vašeg odgovora: x - bilo koji broj.
Odgovor se može napisati različitim matematičkim simbolima, suština se ne mijenja. Ovo je potpuno tačan i potpun odgovor.
Drugo iznenađenje.
Uzmimo istu elementarnu linearnu jednačinu i promijenimo samo jedan broj u njoj. Evo šta ćemo odlučiti:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Nakon istih identičnih transformacija, dobijamo nešto intrigantno:
Volim ovo. Riješili smo linearnu jednačinu i dobili smo čudnu jednakost. U matematičkom smislu, dobili smo lažna jednakost. I govoreći jednostavnim jezikom, ovo nije istina. Rave. Ali ipak, ova glupost je vrlo dobar razlog za ispravna odluka jednačine.)
Opet razmišljamo na osnovu opšta pravila. Ono što će nam dati x, kada se zameni u originalnu jednačinu istinito jednakost? Da, nijedan! Ne postoje takvi X-ovi. Šta god ubacite, sve će se smanjiti, samo će gluposti ostati.)
Evo vašeg odgovora: nema rješenja.
Ovo je također potpuno potpun odgovor. U matematici se takvi odgovori često nalaze.
Volim ovo. Sada se nadam da vas nestanak X-ova u procesu rješavanja bilo koje (ne samo linearne) jednačine neće nimalo zbuniti. Ovo je već poznata stvar.)
Sada kada smo se izborili sa svim zamkama linearne jednačine, ima smisla riješiti ih.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
U 7. razredu matematike prvi put se susrećemo jednadžbe sa dvije varijable, ali se proučavaju samo u kontekstu sistema jednačina sa dvije nepoznanice. Zato iz vida ispada čitav niz problema u kojima se uvode određeni uslovi na koeficijente jednačine koji ih ograničavaju. Osim toga, zanemaruju se i metode za rješavanje problema poput “Rješavanje jednadžbe prirodnim ili cijelim brojevima”, iako u Materijali za Jedinstveni državni ispit I na prijemnim ispitima sve češće se susreću problemi ove vrste.
Koja će se jednačina zvati jednačina s dvije varijable?
Tako, na primjer, jednačine 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ili xy = 12 su jednačine u dvije varijable.
Razmotrimo jednačinu 2x – y = 1. Ona postaje istinita kada su x = 2 i y = 3, pa je ovaj par varijabilnih vrijednosti rješenje dotične jednačine.
Dakle, rješenje bilo koje jednadžbe s dvije varijable je skup uređenih parova (x; y), vrijednosti varijabli koje ovu jednadžbu pretvaraju u pravu numeričku jednakost.
Jednačina sa dvije nepoznanice može:
A) imaju jedno rešenje. Na primjer, jednadžba x 2 + 5y 2 = 0 ima jedinstveno rješenje (0; 0);
b) imaju više rješenja. Na primjer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rješenja: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nemaju rješenja. Na primjer, jednadžba x 2 + y 2 + 1 = 0 nema rješenja;
G) imaju beskonačno mnogo rješenja. Na primjer, x + y = 3. Rješenja ove jednačine će biti brojevi čiji je zbir jednak 3. Skup rješenja ove jednačine može se napisati u obliku (k; 3 – k), gdje je k bilo koji realan broj.
Glavne metode za rješavanje jednadžbi s dvije varijable su metode zasnovane na faktorskim izrazima, izolaciji potpunog kvadrata, korištenjem svojstava kvadratne jednačine, ograničenih izraza i metoda procjene. Jednačina se obično pretvara u oblik iz kojeg se može dobiti sistem za pronalaženje nepoznanica.
Faktorizacija
Primjer 1.
Riješite jednačinu: xy – 2 = 2x – y.
Rješenje.
Grupiramo termine u svrhu faktorizacije:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Iz svake zagrade vadimo zajednički faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Imamo:
y = 2, x – bilo koji realan broj ili x = -1, y – bilo koji realan broj.
dakle, odgovor su svi parovi oblika (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.
Jednako nuli nije negativni brojevi
Primjer 2.
Riješite jednačinu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Rješenje.
Grupisanje:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sada se svaka zagrada može presavijati koristeći formulu kvadratne razlike.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Zbir dva nenegativna izraza je nula samo ako je 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.
To znači da je x = 2/3 i y = 3/2.
Odgovor: (2/3; 3/2).
Metoda procjene
Primjer 3.
Riješite jednačinu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Rješenje.
U svakoj zagradi biramo ceo kvadrat:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Procijenimo 
značenje izraza u zagradama.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, tada je lijeva strana jednadžbe uvijek najmanje 2. Jednakost je moguća ako:
(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, što znači x = -1, y = 2.
Odgovor: (-1; 2).
Hajde da se upoznamo sa još jednom metodom za rešavanje jednačina sa dve varijable drugog stepena. Ova metoda se sastoji od tretiranja jednačine kao kvadrat u odnosu na neku varijablu.
Primjer 4.
Riješite jednačinu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Rješenje.
Rešimo jednačinu kao kvadratnu jednačinu za x. Nađimo diskriminanta:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Jednačina će imati rješenje samo kada je D = 0, odnosno ako je y = 4. Vrijednost y zamjenjujemo u originalnu jednačinu i nalazimo da je x = 3.
Odgovor: (3; 4).
Često u jednačinama sa dvije nepoznate one ukazuju ograničenja na varijable.
Primjer 5.
Riješite jednačinu cijelim brojevima: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Rješenje.
Prepišimo jednačinu kao x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desni deo rezultirajuća jednadžba kada se podijeli sa 5 daje ostatak od 2. Dakle, x 2 nije djeljiv sa 5. Ali kvadrat broja koji nije djeljiv sa 5 daje ostatak od 1 ili 4. Dakle, jednakost je nemoguća i nema rješenja.
Odgovor: nema korijena.
Primjer 6.
Riješite jednačinu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Rješenje.
Istaknimo kompletne kvadrate u svakoj zagradi:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lijeva strana jednačina je uvijek veća ili jednaka 3. Jednakost je moguća pod uvjetom |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Dakle, x = ± 2, y = -3.
Odgovor: (2; -3) i (-2; -3).
Primjer 7.
Za svaki par negativnih cijelih brojeva (x;y) koji zadovoljavaju jednadžbu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunaj zbroj (x + y). Molimo navedite najmanji iznos u svom odgovoru.
Rješenje.
Odaberimo kompletne kvadrate:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Pošto su x i y cijeli brojevi, njihovi kvadrati su također cijeli brojevi. Dobijamo zbroj kvadrata dva cijela broja jednak 37 ako dodamo 1 + 36. Dakle:
(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.
Rješavajući ove sisteme i uzimajući u obzir da su x i y negativni, nalazimo rješenja: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Odgovor: -17.
Ne očajavajte ako imate poteškoća u rješavanju jednadžbi s dvije nepoznanice. Uz malo vježbe, možete se nositi sa bilo kojom jednačinom.
Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe u dvije varijable?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!
web-stranici, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je poveznica na izvorni izvor.
Rješavanje eksponencijalnih jednačina. Primjeri.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta se desilo eksponencijalna jednačina? Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori nekoliko stepeni. I samo tamo! Važno je.
Tu ste primjeri eksponencijalne jednačine :
3 x 2 x = 8 x+3
Bilješka! U osnovama stepeni (ispod) - samo brojevi. IN indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa X. Ako se odjednom X pojavi u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:
ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješavanje eksponencijalnih jednačina u svom najčistijem obliku.
U stvari, čak i čiste eksponencijalne jednačine nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalne jednadžbe koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su vrste koje ćemo razmotriti.
Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.
Prvo, riješimo nešto vrlo osnovno. Na primjer:
Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnom selekcijom je jasno da je x = 2. Ništa drugo, zar ne!? Nijedna druga vrijednost X ne radi. Pogledajmo sada rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:
Šta smo uradili? Zapravo smo ga samo bacili identične osnove(trojke). Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili nokat na glavi!
Zaista, ako u eksponencijalnoj jednačini postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojem stepenu, ovi brojevi se mogu ukloniti i eksponenti se mogu izjednačiti. Matematika dozvoljava. Ostaje riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično, zar ne?)
Međutim, zapamtimo čvrsto: Možete ukloniti baze samo kada su brojevi baze s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih komšija i koeficijenata. Recimo u jednačinama:
2 x +2 x+1 = 2 3, ili
dvojke se ne mogu ukloniti!
Pa, savladali smo ono najvažnije. Kako preći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.
"Takva su vremena!" - ti kažeš. “Ko bi održao tako primitivnu lekciju o testovima i ispitima!?”
Moram se složiti. Niko neće. Ali sada znate kamo ciljati kada rješavate škakljive primjere. Potrebno ga je dovesti u formu gdje je isti osnovni broj lijevo i desno. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasik matematike. Uzimamo originalni primjer i pretvaramo ga u željeni nas um. Po pravilima matematike, naravno.
Pogledajmo primjere koji zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Pozovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.
Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.
Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednačina, glavna pravila su akcije sa stepenom. Bez znanja o ovim radnjama ništa neće raditi.
Radnjama sa stepenom mora se dodati lično zapažanje i domišljatost. Mi zahtevamo isti brojevi-osnove? Stoga ih tražimo u primjeru u eksplicitnom ili šifriranom obliku.
Da vidimo kako se to radi u praksi?
Neka nam se da primjer:
2 2x - 8 x+1 = 0
Prvi pažljiv pogled je na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vreme je da se toga setimo
Dva i osam su rođaci po stepenu.) Sasvim je moguće napisati:
8 x+1 = (2 3) x+1
Ako se prisjetimo formule iz operacija sa stupnjevima:
(a n) m = a nm ,
ovo odlično funkcionira:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Originalni primjer je počeo izgledati ovako:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Mi prenosimo 2 3 (x+1) desno (niko nije otkazao elementarne operacije matematike!), dobijamo:
2 2x = 2 3(x+1)
To je praktično sve. Uklanjanje baza:
Riješimo ovo čudovište i dobijemo
Ovo je tačan odgovor.
U ovom primjeru, poznavanje moći dvojke nam je pomoglo. Mi identifikovan u osam je šifrovana dva. Ova tehnika (šifriranje zajedničkih osnova pod različiti brojevi) je vrlo popularna tehnika u eksponencijalnim jednačinama! Da, i u logaritmima. Morate znati prepoznati potencije drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednačina.
Činjenica je da podizanje bilo kog broja na bilo koji stepen nije problem. Umnožite, čak i na papiru, i to je to. Na primjer, svako može podići 3 na peti stepen. 243 će ispasti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo češće nije potrebno podići na stepen, već obrnuto... Saznajte koji broj do kog stepena se krije iza broja 243, ili recimo 343... Tu vam neće pomoći nijedan kalkulator.
Morate znati moći nekih brojeva iz vida, zar ne... Hajde da vježbamo?
Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Odgovori (naravno u neredu!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Ako dobro pogledate, možete vidjeti čudna činjenica. Odgovora je znatno više nego zadataka! Pa, dešava se... Na primjer, 2 6, 4 3, 8 2 - to je sve 64.
Pretpostavimo da ste primili k znanju informacije o poznavanju brojeva.) Dozvolite mi da vas podsjetim i da za rješavanje eksponencijalnih jednačina koristimo sve zaliha matematičkog znanja. Uključujući i one iz mlađih i srednjih razreda. Nisi išao pravo u srednju školu, zar ne?)
Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednačina, stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada često pomaže (pozdrav 7. razredu!). Pogledajmo primjer:
3 2x+4 -11 9 x = 210
I opet, prvi pogled je na temelje! Osnove stepeni su različite... Tri i devet. I želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju želja je u potpunosti ispunjena!) Jer:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Koristeći ista pravila za postupanje sa diplomama:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Odlično, možete to zapisati:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Naveli smo primjer iz istih razloga. Dakle, šta je sljedeće!? Ne možete izbaciti trojke... Slepa ulica?
Ne sve. Zapamtite najuniverzalnije i najmoćnije pravilo odlučivanja svima matematički zadaci:
Ako ne znate šta vam treba, uradite šta možete!
Vidite, sve će uspjeti).
Šta je u ovoj eksponencijalnoj jednačini Može učiniti? Da, na lijevoj strani samo moli da se izvuče iz zagrada! Ukupni množitelj od 3 2x to jasno nagoveštava. Hajde da probamo, pa cemo videti:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Primjer postaje sve bolji i bolji!
Sjećamo se da nam je za eliminaciju osnova potreban čisti stepen, bez ikakvih koeficijenata. Broj 70 nam smeta. Dakle, podijelimo obje strane jednačine sa 70, dobićemo:
Ups! Sve je postalo bolje!
Ovo je konačan odgovor.
Događa se, međutim, da je taksiranje po istom osnovu moguće, ali njihovo otklanjanje nije moguće. Ovo se dešava u drugim vrstama eksponencijalnih jednačina. Savladajmo ovu vrstu.
Zamjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednačina. Primjeri.
Rešimo jednačinu:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Prvo - kao i obično. Pređimo na jednu bazu. Za dvojku.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Dobijamo jednačinu:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
I ovo je mjesto gdje visimo. Prethodne tehnike neće raditi, bez obzira kako na to gledate. Morat ćemo izvući još jednu moćnu i univerzalnu metodu iz našeg arsenala. To se zove varijabilna zamjena.
Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju - 2 x) pišemo drugu, jednostavniju (na primjer - t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!
Pa neka
Tada je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
U našoj jednadžbi zamjenjujemo sve potencije sa x sa t:
Pa, da li ti je svanulo?) Kvadratne jednadžbe Jeste li već zaboravili? Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:
Ovdje je najvažnije ne stati, kao što se dešava... Ovo još nije odgovor, treba nam x, a ne t. Vratimo se na X, tj. vršimo obrnutu zamjenu. Prvo za t 1:
To je,
Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:
Hm... 2 x lijevo, 1 desno... Problem? Ne sve! Dovoljno je zapamtiti (iz operacija sa moćima, da...) da je jedinica bilo koji broj u nulti stepen. Bilo koji. Šta god je potrebno, mi ćemo to instalirati. Treba nam dvojka. znači:
To je to sada. Imamo 2 korijena:
Ovo je odgovor.
At rješavanje eksponencijalnih jednačina na kraju ponekad završiš sa nekom vrstom neugodnog izraza. Vrsta:
Sedam se ne može pretvoriti u dva jednostavnom potencijom. Nisu rođaci... Kako da budemo? Neko će se možda zbuniti... Ali osoba koja je na ovom sajtu pročitala temu “Šta je logaritam?” , samo se štedljivo nasmiješi i čvrstom rukom zapiše apsolutno tačan odgovor:
Takav odgovor ne može biti u zadacima „B“ na Jedinstvenom državnom ispitu. Tamo je potreban određeni broj. Ali u zadacima "C" je lako.
Ova lekcija daje primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednačina. Istaknimo glavne tačke.
1. Prije svega, pogledamo osnove stepeni. Pitamo se da li je moguće da ih napravimo identičan. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije sa stepenom. Ne zaboravite da se brojevi bez x-a također mogu pretvoriti u stepene!
2. Pokušavamo da eksponencijalnu jednačinu dovedemo u oblik kada se s lijeve i desne strane nalaze isto brojevi u bilo kojem stepenu. Koristimo akcije sa stepenom I faktorizacija. Ono što se može izbrojati u brojevima, mi brojimo.
3. Ako drugi vrh nije uspio, pokušajte koristiti zamjenu promjenjivog. Rezultat može biti jednačina koja se može lako riješiti. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.
4. Da biste uspješno riješili eksponencijalne jednačine, morate znati stepene nekih brojeva iz vida.
Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo odlučite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.
Riješite eksponencijalne jednadžbe:
Teže:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0
Pronađite proizvod korijena:
2 3 + 2 x = 9
Desilo se?
Dobro onda najkomplikovaniji primjer(odlučeno, međutim, u mislima...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Šta je interesantnije? Onda evo lošeg primjera za vas. Prilično privučeno povećana težina. Dozvolite mi da nagovijestim da vas u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih problema.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Jednostavniji primjer, za opuštanje):
9 2 x - 4 3 x = 0
I za desert. Pronađite zbir korijena jednačine:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Da da! Ovo je jednačina mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. Zašto ih razmatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednadžbe. Pa treba ti domišljatost... I neka ti pomogne sedmi razred (ovo je nagoveštaj!).
Odgovori (u neredu, odvojeni tačkom i zarezom):
1; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.
Je li sve uspješno? Odlično.
Postoji problem? Nema problema! U Posebnom odjeljku 555, sve ove eksponencijalne jednadžbe su riješene sa detaljna objašnjenja. Šta, zašto i zašto. I, naravno, postoje dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednačina. Ne samo sa ovim.)
Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji smo radili sa eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječi o ODZ-u? U jednačinama je ovo, inače, veoma važna stvar...
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.