Εφαρμογή

Η λύση κάθε είδους εξισώσεων διαδικτυακά στον ιστότοπο για ενοποίηση του μελετημένου υλικού από μαθητές και μαθητές Επίλυση εξισώσεων διαδικτυακά. Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Υπάρχουν αλγεβρικές, παραμετρικές, υπερβατικές, συναρτησιακές, διαφορικές και άλλοι τύποι εξισώσεων. Ορισμένες κατηγορίες εξισώσεων έχουν αναλυτικές λύσεις, οι οποίες είναι βολικές στο ότι όχι μόνο δίνουν την ακριβή τιμή της ρίζας, αλλά σας επιτρέπουν να γράψετε τη λύση στο μορφή ενός τύπου που μπορεί να περιλαμβάνει παραμέτρους. Οι αναλυτικές εκφράσεις επιτρέπουν όχι μόνο τον υπολογισμό των ριζών, αλλά και την ανάλυση της ύπαρξής τους και του αριθμού τους ανάλογα με τις τιμές των παραμέτρων, κάτι που είναι συχνά ακόμη πιο σημαντικό για Πρακτική εφαρμογηαπό συγκεκριμένες τιμές ρίζας. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Η λύση της εξίσωσης είναι το καθήκον της εύρεσης τέτοιων τιμών των επιχειρημάτων για τα οποία επιτυγχάνεται αυτή η ισότητα. Επί πιθανές τιμέςμπορούν να επιβληθούν επιχειρήματα πρόσθετους όρους(ακέραιος, πραγματικός κ.λπ.). Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση online άμεσα και με υψηλή ακρίβεια του αποτελέσματος. Τα ορίσματα των δεδομένων συναρτήσεων (μερικές φορές ονομάζονται "μεταβλητές") στην περίπτωση μιας εξίσωσης ονομάζονται "άγνωστα". Οι τιμές των αγνώστων για τις οποίες επιτυγχάνεται αυτή η ισότητα ονομάζονται λύσεις ή ρίζες της δεδομένης εξίσωσης. Οι ρίζες λέγεται ότι ικανοποιούν μια δεδομένη εξίσωση. Η επίλυση μιας εξίσωσης διαδικτυακά σημαίνει την εύρεση του συνόλου όλων των λύσεών της (ρίζες) ή την απόδειξη ότι δεν υπάρχουν ρίζες. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Ισοδύναμα ή ισοδύναμα ονομάζονται εξισώσεις, τα σύνολα των ριζών των οποίων συμπίπτουν. Ισοδύναμες θεωρούνται και οι εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες. Η ισοδυναμία των εξισώσεων έχει την ιδιότητα της συμμετρίας: αν μια εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια άλλη, τότε η δεύτερη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την πρώτη. Η ισοδυναμία των εξισώσεων έχει την ιδιότητα της μεταβατικότητας: αν μια εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια άλλη και η δεύτερη είναι ισοδύναμη με την τρίτη, τότε η πρώτη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την τρίτη. Η ιδιότητα ισοδυναμίας των εξισώσεων καθιστά δυνατή τη διεξαγωγή μετασχηματισμών με αυτές, στις οποίες βασίζονται οι μέθοδοι επίλυσής τους. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Ο ιστότοπος θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση διαδικτυακά. Οι εξισώσεις για τις οποίες είναι γνωστές οι αναλυτικές λύσεις περιλαμβάνουν αλγεβρικές εξισώσεις, όχι υψηλότερες από τον τέταρτο βαθμό: μια γραμμική εξίσωση, τετραγωνική εξίσωση, κυβική εξίσωση και εξίσωση τέταρτου βαθμού. Αλγεβρικές εξισώσειςστη γενική περίπτωση, δεν έχουν αναλυτική λύση, αν και ορισμένες από αυτές μπορούν να αναχθούν σε εξισώσεις χαμηλότερων βαθμών. Οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν υπερβατικές συναρτήσεις ονομάζονται υπερβατικές. Μεταξύ αυτών, είναι γνωστές για κάποιους αναλυτικές λύσεις τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού τα μηδενικά τριγωνομετρικές συναρτήσειςπολύ γνωστό. Στη γενική περίπτωση, όταν δεν μπορεί να βρεθεί αναλυτική λύση, χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι. Οι αριθμητικές μέθοδοι δεν δίνουν μια ακριβή λύση, αλλά επιτρέπουν μόνο τον περιορισμό του διαστήματος στο οποίο βρίσκεται η ρίζα σε μια συγκεκριμένη προκαθορισμένη τιμή. Επίλυση εξισώσεων διαδικτυακά.. Διαδικτυακές εξισώσεις.. Αντί για διαδικτυακή εξίσωση, θα παρουσιάσουμε πώς η ίδια έκφραση σχηματίζει μια γραμμική εξάρτηση και όχι μόνο κατά μήκος μιας ευθείας εφαπτομένης, αλλά και στο ίδιο το σημείο καμπής του γραφήματος. Αυτή η μέθοδος είναι απαραίτητη ανά πάσα στιγμή στη μελέτη του θέματος. Συχνά συμβαίνει η λύση των εξισώσεων να προσεγγίζει την τελική τιμή μέσω άπειρων αριθμών και γραφής διανυσμάτων. Είναι απαραίτητο να ελέγξετε τα αρχικά δεδομένα και αυτή είναι η ουσία της εργασίας. Διαφορετικά, η τοπική συνθήκη μετατρέπεται σε τύπο. Η ευθεία αναστροφή μιας δεδομένης συνάρτησης, την οποία ο υπολογιστής εξίσωσης θα υπολογίσει χωρίς μεγάλη καθυστέρηση στην εκτέλεση, θα αντισταθμιστεί από το προνόμιο του χώρου. Θα αφορά τις επιδόσεις των μαθητών σε ένα επιστημονικό περιβάλλον. Ωστόσο, όπως όλα τα παραπάνω, θα μας βοηθήσει στη διαδικασία εύρεσης και όταν λύσετε πλήρως την εξίσωση, αποθηκεύστε την απάντηση που προκύπτει στα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Οι ευθείες στο διάστημα τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο ονομάζεται τεμνόμενο από ευθείες. Το διάστημα στη γραμμή σημειώνεται όπως δόθηκε προηγουμένως. Θα δημοσιευτεί η υψηλότερη ανάρτηση για τη μελέτη των μαθηματικών. Η αντιστοίχιση μιας τιμής ορίσματος από μια παραμετρικά καθορισμένη επιφάνεια και η επίλυση μιας εξίσωσης διαδικτυακά θα είναι σε θέση να υποδείξουν τις αρχές μιας παραγωγικής κλήσης σε μια συνάρτηση. Η λωρίδα Möbius, ή όπως λέγεται άπειρο, μοιάζει με οκτώ. Αυτή είναι μια μονόπλευρη επιφάνεια, όχι μια διπλής όψης. Σύμφωνα με τη γνωστή σε όλους αρχή, θα δεχθούμε αντικειμενικά γραμμικές εξισώσειςγια τον βασικό προσδιορισμό ως έχει και στον κλάδο σπουδών. Μόνο δύο τιμές από διαδοχικά δοσμένα ορίσματα μπορούν να αποκαλύψουν την κατεύθυνση του διανύσματος. Το να υποθέσουμε ότι μια διαφορετική λύση των διαδικτυακών εξισώσεων είναι πολύ περισσότερα από την απλή επίλυση σημαίνει ότι θα αποκτήσουμε μια πλήρη έκδοση του αμετάβλητου στην έξοδο. Χωρίς ολοκληρωμένη προσέγγισηΕίναι δύσκολο για τους μαθητές να μάθουν αυτό το υλικό. Όπως και πριν, για κάθε ειδική περίπτωση, ο βολικός και έξυπνος ηλεκτρονικός υπολογιστής εξισώσεων μας θα βοηθήσει όλους σε μια δύσκολη στιγμή, γιατί απλά πρέπει να καθορίσετε τις παραμέτρους εισαγωγής και το σύστημα θα υπολογίσει την απάντηση από μόνο του. Πριν ξεκινήσουμε την εισαγωγή δεδομένων, χρειαζόμαστε ένα εργαλείο εισαγωγής, το οποίο μπορεί να γίνει χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Ο αριθμός κάθε βαθμολογίας απάντησης θα είναι μια τετραγωνική εξίσωση που οδηγεί στα συμπεράσματά μας, αλλά αυτό δεν είναι τόσο εύκολο να γίνει, γιατί είναι εύκολο να αποδειχθεί το αντίθετο. Η θεωρία, λόγω των ιδιαιτεροτήτων της, δεν υποστηρίζεται από πρακτικές γνώσεις. Το να δείτε έναν υπολογιστή κλασμάτων στο στάδιο της δημοσίευσης μιας απάντησης δεν είναι εύκολη δουλειά στα μαθηματικά, καθώς η εναλλακτική της εγγραφής ενός αριθμού σε ένα σύνολο αυξάνει την ανάπτυξη της συνάρτησης. Ωστόσο, θα ήταν λάθος να μην πούμε για την εκπαίδευση των μαθητών, επομένως θα εκφράσουμε τον καθένα όσο χρειάζεται. Η κυβική εξίσωση που βρέθηκε προηγουμένως θα ανήκει δικαιωματικά στο πεδίο ορισμού και θα περιέχει το χώρο των αριθμητικών τιμών, καθώς και συμβολικές μεταβλητές. Έχοντας μάθει ή απομνημονεύσει το θεώρημα, οι μαθητές μας θα αποδείξουν τον εαυτό τους μόνο με καλύτερη πλευράκαι θα χαρούμε γι' αυτούς. Σε αντίθεση με το σύνολο των τομών των πεδίων, οι διαδικτυακές μας εξισώσεις περιγράφονται από ένα επίπεδο κίνησης κατά μήκος του πολλαπλασιασμού δύο και τριών αριθμητικών συνδυασμένων γραμμών. Ένα σύνολο στα μαθηματικά δεν ορίζεται μοναδικά. Η καλύτερη λύση, σύμφωνα με τους μαθητές, είναι η γραπτή έκφραση συμπληρωμένη μέχρι το τέλος. Όπως ειπώθηκε στην επιστημονική γλώσσα, η αφαίρεση συμβολικών εκφράσεων δεν περιλαμβάνεται στην κατάσταση των πραγμάτων, αλλά η λύση των εξισώσεων δίνει ένα σαφές αποτέλεσμα σε όλες τις γνωστές περιπτώσεις. Η διάρκεια της συνεδρίας του καθηγητή βασίζεται στις ανάγκες αυτής της προσφοράς. Η ανάλυση έδειξε πόσο απαραίτητες είναι όλες οι υπολογιστικές τεχνικές σε πολλούς τομείς και είναι απολύτως σαφές ότι η αριθμομηχανή εξισώσεων είναι ένα απαραίτητο εργαλείο στα προικισμένα χέρια ενός μαθητή. Μια πιστή προσέγγιση στη μελέτη των μαθηματικών καθορίζει τη σημασία των απόψεων διαφορετικών κατευθύνσεων. Θέλετε να ορίσετε ένα από τα βασικά θεωρήματα και να λύσετε την εξίσωση με τέτοιο τρόπο, ανάλογα με την απάντηση της οποίας θα χρειαστεί περαιτέρω εφαρμογή της. Τα Analytics σε αυτόν τον τομέα κερδίζουν δυναμική. Ας ξεκινήσουμε από την αρχή και ας βγάλουμε τον τύπο. Έχοντας σπάσει το επίπεδο αύξησης της συνάρτησης, η εφαπτομένη στο σημείο καμπής θα οδηγήσει αναγκαστικά στο γεγονός ότι η επίλυση της εξίσωσης σε απευθείας σύνδεση θα είναι μία από τις κύριες πτυχές στην κατασκευή του ίδιου γραφήματος από το όρισμα συνάρτησης. Η ερασιτεχνική προσέγγιση έχει το δικαίωμα να εφαρμοστεί εάν αυτή η συνθήκηδεν έρχεται σε αντίθεση με τα πορίσματα των μαθητών. Είναι η υποεργασία που φέρνει την ανάλυση των μαθηματικών συνθηκών ως γραμμικές εξισώσεις στο υπάρχον πεδίο ορισμού του αντικειμένου που έρχεται στο παρασκήνιο. Η αντιστάθμιση προς την κατεύθυνση της ορθογωνικότητας ακυρώνει το πλεονέκτημα μιας μοναχικής απόλυτης τιμής. Modulo, η επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο δίνει τον ίδιο αριθμό λύσεων, αν ανοίξετε τις αγκύλες πρώτα με το σύμβολο συν και μετά με το σύμβολο μείον. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν διπλάσιες λύσεις και το αποτέλεσμα θα είναι πιο ακριβές. σταθερό και σωστή αριθμομηχανήΟι διαδικτυακές εξισώσεις είναι η επιτυχία στην επίτευξη του επιδιωκόμενου στόχου στην εργασία που έχει θέσει ο δάσκαλος. Απαιτούμενη ΜέθοδοςΦαίνεται δυνατή η επιλογή λόγω των σημαντικών διαφορών στις απόψεις μεγάλων επιστημόνων. Η προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση περιγράφει την καμπύλη των γραμμών, τη λεγόμενη παραβολή, και το πρόσημο θα καθορίσει την κυρτότητά της στο τετράγωνο σύστημα συντεταγμένων. Από την εξίσωση λαμβάνουμε τόσο τη διάκριση όσο και τις ίδιες τις ρίζες σύμφωνα με το θεώρημα Vieta. Η παρουσίαση της έκφρασης ως σωστό ή ακατάλληλο κλάσμα και η χρήση της αριθμομηχανής κλασμάτων είναι απαραίτητη στο πρώτο στάδιο. Ανάλογα με αυτό, θα διαμορφωθεί ένα σχέδιο για τους περαιτέρω υπολογισμούς μας. Τα μαθηματικά με θεωρητική προσέγγιση είναι χρήσιμα σε κάθε στάδιο. Σίγουρα θα παρουσιάσουμε το αποτέλεσμα ως κυβική εξίσωση, γιατί θα κρύψουμε τις ρίζες του σε αυτήν την έκφραση για να απλοποιήσουμε την εργασία για έναν φοιτητή σε ένα πανεπιστήμιο. Οποιεσδήποτε μέθοδοι είναι καλές εάν είναι κατάλληλες για επιφανειακή ανάλυση. Οι επιπλέον αριθμητικές πράξεις δεν θα οδηγήσουν σε σφάλματα υπολογισμού. Προσδιορίστε την απάντηση με δεδομένη ακρίβεια. Χρησιμοποιώντας τη λύση των εξισώσεων, ας το παραδεχτούμε - η εύρεση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής από μια δεδομένη συνάρτηση δεν είναι τόσο εύκολη, ειδικά κατά την περίοδο μελέτης παράλληλες γραμμέςστο άπειρο. Ενόψει της εξαίρεσης, η ανάγκη είναι πολύ προφανής. Η διαφορά πολικότητας είναι σαφής. Από την εμπειρία της διδασκαλίας σε ινστιτούτα, ο δάσκαλός μας πήρε κύριο μάθημα, στις οποίες οι εξισώσεις μελετήθηκαν διαδικτυακά με την πλήρη μαθηματική έννοια. Εδώ επρόκειτο για υψηλότερες προσπάθειες και ειδικές δεξιότητες στην εφαρμογή της θεωρίας. Υπέρ των συμπερασμάτων μας, δεν πρέπει να κοιτάξουμε μέσα από ένα πρίσμα. Μέχρι πρόσφατα, πίστευαν ότι ένα κλειστό σύνολο αναπτύσσεται ταχέως στην περιοχή ως έχει, και η λύση των εξισώσεων πρέπει απλώς να διερευνηθεί. Στο πρώτο στάδιο, δεν τα λάβαμε υπόψη όλα πιθανές επιλογές, αλλά μια τέτοια προσέγγιση είναι πιο δικαιολογημένη από ποτέ. Οι πρόσθετες ενέργειες με αγκύλες δικαιολογούν ορισμένες προόδους κατά μήκος των αξόνων τεταγμένων και τετμημένης, οι οποίες δεν μπορούν να παραβλεφθούν με γυμνό μάτι. Υπάρχει ένα σημείο καμπής με την έννοια της ευρείας αναλογικής αύξησης μιας συνάρτησης. Για άλλη μια φορά, αποδεικνύουμε πώς απαραίτητη προϋπόθεσηθα εφαρμοστεί σε όλο το φθίνον διάστημα της μιας ή της άλλης φθίνουσας θέσης του διανύσματος. Σε έναν περιορισμένο χώρο, θα επιλέξουμε μια μεταβλητή από το αρχικό μπλοκ του σεναρίου μας. Το σύστημα που χτίστηκε ως βάση σε τρία διανύσματα είναι υπεύθυνο για την απουσία της κύριας ροπής δύναμης. Ωστόσο, η αριθμομηχανή εξίσωσης συνήγαγε και βοήθησε στην εύρεση όλων των όρων της κατασκευασμένης εξίσωσης, τόσο πάνω από την επιφάνεια όσο και κατά μήκος παράλληλων γραμμών. Ας περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από το σημείο εκκίνησης. Έτσι, θα αρχίσουμε να κινούμαστε προς τα πάνω κατά μήκος των γραμμών τομής και η εφαπτομένη θα περιγράφει τον κύκλο σε όλο το μήκος του, ως αποτέλεσμα θα λάβουμε μια καμπύλη, η οποία ονομάζεται ελικοειδής. Παρεμπιπτόντως, ας μιλήσουμε για αυτήν την καμπύλη μια μικρή ιστορία. Γεγονός είναι ότι ιστορικά στα μαθηματικά δεν υπήρχε η έννοια των ίδιων των μαθηματικών με την καθαρή έννοια όπως είναι σήμερα. Προηγουμένως, όλοι οι επιστήμονες ασχολούνταν με ένα κοινό πράγμα, δηλαδή την επιστήμη. Αργότερα, αρκετούς αιώνες αργότερα, όταν επιστημονικό κόσμογεμάτη με κολοσσιαία ποσότητα πληροφοριών, η ανθρωπότητα εξακολουθούσε να ξεχωρίζει πολλούς κλάδους. Παραμένουν ακόμη αναλλοίωτες. Κι όμως, κάθε χρόνο, επιστήμονες σε όλο τον κόσμο προσπαθούν να αποδείξουν ότι η επιστήμη είναι απεριόριστη και δεν μπορείς να λύσεις μια εξίσωση αν δεν έχεις γνώση των φυσικών επιστημών. Ίσως να μην είναι δυνατόν να τεθεί τελικά ένα τέλος. Το να το σκέφτεσαι είναι τόσο άσκοπο όσο το να ζεσταίνεις τον αέρα έξω. Ας βρούμε το διάστημα στο οποίο το όρισμα, με τη θετική του τιμή, καθορίζει το μέτρο της τιμής σε μια απότομα αυξανόμενη κατεύθυνση. Η αντίδραση θα βοηθήσει να βρεθούν τουλάχιστον τρεις λύσεις, αλλά θα χρειαστεί να τις ελέγξετε. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι πρέπει να λύσουμε την εξίσωση online χρησιμοποιώντας τη μοναδική υπηρεσία της ιστοσελίδας μας. Ας εισάγουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης που δίνεται, πατάμε το κουμπί «ΛΥΣΗ» και πάρουμε την ακριβή απάντηση μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. ΣΕ ειδικές περιπτώσειςας πάρουμε ένα βιβλίο για τα μαθηματικά και ας ελέγξουμε ξανά την απάντησή μας, δηλαδή, ας δούμε μόνο την απάντηση και όλα θα γίνουν ξεκάθαρα. Το ίδιο έργο θα πετάξει σε ένα τεχνητό πλεονάζον παραλληλεπίπεδο. Υπάρχει ένα παραλληλόγραμμο με τις παράλληλες πλευρές του και εξηγεί πολλές αρχές και προσεγγίσεις στη μελέτη της χωρικής σχέσης της ανιούσας διαδικασίας συσσώρευσης του κοίλου χώρου σε τύπους φυσικής μορφής. Οι διφορούμενες γραμμικές εξισώσεις δείχνουν την εξάρτηση της επιθυμητής μεταβλητής με την κοινή μας αυτή τη στιγμήχρόνο με τη λύση και είναι απαραίτητο με κάποιο τρόπο να εξαχθεί και να μειωθεί το ακατάλληλο κλάσμα σε μια μη τετριμμένη περίπτωση. Σημειώνουμε δέκα σημεία στην ευθεία και σχεδιάζουμε μια καμπύλη σε κάθε σημείο προς μια δεδομένη κατεύθυνση και με κυρτότητα προς τα πάνω. Χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, η αριθμομηχανή εξισώσεων μας θα παρουσιάσει μια έκφραση με τέτοια μορφή που ο έλεγχος της για την εγκυρότητα των κανόνων θα είναι προφανής ακόμη και στην αρχή της εγγραφής. Το σύστημα ειδικών αναπαραστάσεων της σταθερότητας για τους μαθηματικούς καταρχήν, εκτός εάν προβλέπεται διαφορετικά από τον τύπο. Θα απαντήσουμε σε αυτό με μια λεπτομερή παρουσίαση μιας αναφοράς για την ισομορφική κατάσταση ενός πλαστικού συστήματος σωμάτων και η λύση των εξισώσεων διαδικτυακά θα περιγράψει την κίνηση κάθε υλικού σημείου σε αυτό το σύστημα. Σε επίπεδο εις βάθος μελέτης, θα χρειαστεί να διευκρινιστεί λεπτομερώς το ζήτημα των αναστροφών τουλάχιστον του κατώτερου στρώματος του χώρου. Ανεβαίνοντας στο τμήμα της ασυνέχειας της συνάρτησης εφαρμόζουμε γενική μέθοδοςένας εξαιρετικός ερευνητής, παρεμπιπτόντως, συμπατριώτης μας, και θα πούμε παρακάτω για τη συμπεριφορά του αεροπλάνου. Λόγω των ισχυρών χαρακτηριστικών της αναλυτικά δεδομένης συνάρτησης, χρησιμοποιούμε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή εξισώσεων μόνο για τον επιδιωκόμενο σκοπό της εντός των παραγόμενων ορίων εξουσίας. Διαφωνώντας περαιτέρω, σταματάμε την ανασκόπησή μας σχετικά με την ομοιογένεια της ίδιας της εξίσωσης, δηλαδή η δεξιά πλευρά της εξισώνεται με το μηδέν. Για άλλη μια φορά, θα επαληθεύσουμε την ορθότητα της απόφασής μας στα μαθηματικά. Για να αποφύγουμε μια ασήμαντη λύση, θα κάνουμε κάποιες προσαρμογές στις αρχικές συνθήκες για το πρόβλημα της ευστάθειας υπό όρους του συστήματος. Ας συνθέσουμε μια τετραγωνική εξίσωση, για την οποία γράφουμε δύο λήμματα χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο και βρίσκουμε αρνητικές ρίζες. Εάν μια ρίζα υπερβαίνει τη δεύτερη και την τρίτη ρίζα κατά πέντε μονάδες, τότε κάνοντας αλλαγές σε κύριο επιχείρημαπαραμορφώνουμε έτσι τις αρχικές συνθήκες του υποπροβλήματος. Στον πυρήνα του, κάτι ασυνήθιστο στα μαθηματικά μπορεί πάντα να περιγραφεί στο πλησιέστερο εκατοστό ενός θετικού αριθμού. Η αριθμομηχανή κλασμάτων είναι αρκετές φορές ανώτερη από τις αντίστοιχές της σε παρόμοιους πόρους την καλύτερη στιγμή φόρτωσης διακομιστή. Στην επιφάνεια του διανύσματος ταχύτητας που αναπτύσσεται κατά μήκος του άξονα y, σχεδιάζουμε επτά γραμμές λυγισμένες σε αντίθετες κατευθύνσεις μεταξύ τους. Η συγκρισιμότητα του ορίσματος της εκχωρημένης συνάρτησης οδηγεί τον μετρητή υπολοίπου ανάκτησης. Στα μαθηματικά, αυτό το φαινόμενο μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω μιας κυβικής εξίσωσης με φανταστικούς συντελεστές, καθώς και σε μια διπολική πρόοδο φθίνουσας γραμμής. Κρίσιμα σημείαΗ διαφορά θερμοκρασίας σε πολλές από τις έννοιες και την πρόοδό της περιγράφει τη διαδικασία παραγοντοποίησης μιας σύνθετης κλασματικής συνάρτησης. Εάν σας λένε να λύσετε την εξίσωση, μην βιαστείτε να το κάνετε αυτή τη στιγμή, οπωσδήποτε πρώτα αξιολογήστε ολόκληρο το σχέδιο δράσης και μόνο τότε ακολουθήστε τη σωστή προσέγγιση. Σίγουρα θα υπάρχουν οφέλη. Η ευκολία στη δουλειά είναι εμφανής και στα μαθηματικά το ίδιο. Λύστε την εξίσωση διαδικτυακά. Όλες οι διαδικτυακές εξισώσεις είναι ένας συγκεκριμένος τύπος εγγραφής αριθμών ή παραμέτρων και μια μεταβλητή που πρέπει να οριστεί. Υπολογίστε αυτήν ακριβώς τη μεταβλητή, δηλαδή βρείτε συγκεκριμένες τιμές ή διαστήματα ενός συνόλου τιμών για τις οποίες θα ικανοποιηθεί η ταυτότητα. Οι αρχικές και οι τελικές συνθήκες εξαρτώνται άμεσα. ΣΕ κοινή απόφασηΟι εξισώσεις συνήθως περιλαμβάνουν κάποιες μεταβλητές και σταθερές, ορίζοντας τις οποίες, θα λάβουμε ολόκληρες οικογένειες λύσεων για μια δεδομένη πρόταση προβλήματος. Σε γενικές γραμμές, αυτό δικαιολογεί τις προσπάθειες που καταβάλλονται προς την κατεύθυνση της αύξησης της λειτουργικότητας ενός χωρικού κύβου με πλευρά ίση με 100 εκατοστά. Μπορείτε να εφαρμόσετε ένα θεώρημα ή ένα λήμμα σε οποιοδήποτε στάδιο της κατασκευής μιας απάντησης. Ο ιστότοπος εκδίδει σταδιακά μια αριθμομηχανή εξισώσεων, εάν είναι απαραίτητο, σε οποιοδήποτε διάστημα άθροισης των εμφανιζόμενων προϊόντων μικρότερη τιμή. Στις μισές περιπτώσεις, μια τέτοια μπάλα ως κούφια δεν πληροί τις απαιτήσεις για τον καθορισμό μιας ενδιάμεσης απάντησης σε μεγαλύτερο βαθμό. Τουλάχιστον στον άξονα y προς την κατεύθυνση της φθίνουσας αναπαράστασης του διανύσματος, αυτή η αναλογία θα είναι αναμφίβολα βέλτιστη από την προηγούμενη έκφραση. Την ώρα που γραμμικές συναρτήσειςθα είναι μια ανάλυση πλήρους σημείου, στην πραγματικότητα, θα συγκεντρώσουμε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς και τους διπολικούς χώρους μας. Αντικαθιστώντας μια μεταβλητή στην παράσταση που προκύπτει, θα λύσετε την εξίσωση σταδιακά και θα δώσετε την πιο λεπτομερή απάντηση με υψηλή ακρίβεια. Για άλλη μια φορά, ο έλεγχος των ενεργειών σας στα μαθηματικά θα είναι μια καλή μορφή από την πλευρά ενός μαθητή. Η αναλογία στην αναλογία των κλασμάτων καθόρισε την ακεραιότητα του αποτελέσματος σε όλους τους σημαντικούς τομείς δραστηριότητας του μηδενικού διανύσματος. Η επιπολαιότητα επιβεβαιώνεται στο τέλος των ενεργειών που εκτελούνται. Με ένα απλό σύνολο εργασιών, οι μαθητές δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν δυσκολίες εάν λύσουν την εξίσωση μέσω διαδικτύου στο συντομότερο δυνατό χρονικό διάστημα, αλλά μην ξεχάσουν κάθε είδους κανόνες. Το σύνολο των υποσυνόλων τέμνεται στην περιοχή της σύγκλισης σημειογραφίας. ΣΕ διαφορετικές περιστάσειςτο προϊόν δεν έχει παραγοντοποιηθεί εσφαλμένα. Θα βοηθηθείτε να λύσετε την εξίσωση στο διαδίκτυο στην πρώτη μας ενότητα σχετικά με τα βασικά των μαθηματικών τεχνικών για σημαντικές ενότητες για φοιτητές σε πανεπιστήμια και τεχνικές σχολές. Τα παραδείγματα απόκρισης δεν θα μας αναγκάσουν να περιμένουμε αρκετές ημέρες, από τη διαδικασία καλύτερη αλληλεπίδρασηΗ διανυσματική ανάλυση με διαδοχική εύρεση λύσεων κατοχυρώθηκε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας στις αρχές του περασμένου αιώνα. Αποδεικνύεται ότι οι προσπάθειες σύνδεσης με τη γύρω ομάδα δεν ήταν μάταιες, κάτι άλλο προφανώς είχε καθυστερήσει αρχικά. Αρκετές γενιές αργότερα, οι επιστήμονες σε όλο τον κόσμο οδήγησαν να πιστέψουν ότι τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών. Είτε πρόκειται για την αριστερή απάντηση είτε για τη δεξιά απάντηση, οι εξαντλητικοί όροι πρέπει να γράφονται σε τρεις σειρές ούτως ή άλλως, αφού στην περίπτωσή μας θα μιλήσουμε ξεκάθαρα μόνο για τη διανυσματική ανάλυση των ιδιοτήτων του πίνακα. Οι μη γραμμικές και οι γραμμικές εξισώσεις, μαζί με τις διτετραγωνικές εξισώσεις, έχουν λάβει ιδιαίτερη θέση στο βιβλίο μας για βέλτιστες πρακτικέςυπολογισμός της τροχιάς της κίνησης στο χώρο όλων υλικά σημεία κλειστό σύστημα. Μια γραμμική ανάλυση του βαθμωτού γινόμενου τριών διαδοχικών διανυσμάτων θα μας βοηθήσει να δώσουμε ζωή στην ιδέα. Στο τέλος κάθε ρύθμισης, η εργασία γίνεται ευκολότερη με την εισαγωγή βελτιστοποιημένων αριθμητικών εξαιρέσεων στο πλαίσιο των επικαλύψεων αριθμητικών χώρων που εκτελούνται. Μια άλλη κρίση δεν θα αντιταχθεί στην απάντηση που βρέθηκε σε αυθαίρετη μορφή τριγώνου σε κύκλο. Η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων περιέχει το απαραίτητο ποσοστό περιθωρίου και η επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο συχνά αποκαλύπτει ένα ορισμένο κοινή ρίζαεξισώσεις σε αντίθεση με τις αρχικές συνθήκες. Η εξαίρεση παίζει ρόλο καταλύτη σε όλη την αναπόφευκτη διαδικασία εξεύρεσης μιας θετικής λύσης στον τομέα του ορισμού της συνάρτησης. Εάν δεν λέγεται ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε υπολογιστή, τότε η ηλεκτρονική αριθμομηχανή εξισώσεων είναι η κατάλληλη για τις δύσκολες εργασίες σας. Αρκεί απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα υπό όρους στη σωστή μορφή και ο διακομιστής μας θα εκδώσει μια ολοκληρωμένη προκύπτουσα απάντηση το συντομότερο δυνατό. Μια εκθετική συνάρτηση αναπτύσσεται πολύ πιο γρήγορα από μια γραμμική. Αυτό αποδεικνύεται από τα Ταλμούδια της έξυπνης βιβλιογραφίας της βιβλιοθήκης. Θα εκτελέσει τον υπολογισμό με τη γενική έννοια, όπως θα έκανε η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση με τρεις μιγαδικούς συντελεστές. Η παραβολή στο πάνω μέρος του ημιεπίπεδου χαρακτηρίζει την ευθύγραμμη παράλληλη κίνηση κατά μήκος των αξόνων του σημείου. Εδώ αξίζει να αναφέρουμε τη διαφορά δυναμικού στον χώρο εργασίας του αμαξώματος. Σε αντάλλαγμα για ένα μη βέλτιστο αποτέλεσμα, η αριθμομηχανή κλασμάτων μας καταλαμβάνει δικαίως την πρώτη θέση στη μαθηματική βαθμολογία της ανασκόπησης λειτουργικών προγραμμάτων στο πίσω μέρος. Η ευκολία χρήσης αυτής της υπηρεσίας θα εκτιμηθεί από εκατομμύρια χρήστες του Διαδικτύου. Εάν δεν ξέρετε πώς να το χρησιμοποιήσετε, τότε θα χαρούμε να σας βοηθήσουμε. Θέλουμε επίσης να επισημάνουμε και να επισημάνουμε την κυβική εξίσωση από μια σειρά από εργασίες μαθητών δημοτικού σχολείου, όταν πρέπει να βρείτε γρήγορα τις ρίζες της και να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης σε ένα επίπεδο. Οι υψηλότεροι βαθμοί αναπαραγωγής είναι από τους πιο δύσκολους μαθηματικά προβλήματαστο ινστιτούτο και διατίθεται επαρκής αριθμός ωρών για τη φοίτησή του. Όπως όλες οι γραμμικές εξισώσεις, η δική μας δεν αποτελεί εξαίρεση σε πολλούς αντικειμενικούς κανόνες, κοιτάξτε από διαφορετικές οπτικές γωνίες και θα αποδειχθεί απλή και επαρκής για να ορίσετε τις αρχικές συνθήκες. Το διάστημα της αύξησης συμπίπτει με το διάστημα κυρτότητας της συνάρτησης. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση. Η μελέτη της θεωρίας βασίζεται σε διαδικτυακές εξισώσεις από πολλές ενότητες για τη μελέτη του κύριου κλάδου. Στην περίπτωση μιας τέτοιας προσέγγισης σε αβέβαια προβλήματα, είναι πολύ εύκολο να παρουσιαστεί η λύση των εξισώσεων σε προκαθορισμένη μορφή και όχι μόνο να εξαχθούν συμπεράσματα, αλλά και να προβλεφθεί το αποτέλεσμα μιας τόσο θετικής λύσης. Η υπηρεσία θα μας βοηθήσει να μάθουμε το θέμα με τις καλύτερες παραδόσεις των μαθηματικών, όπως συνηθίζεται στην Ανατολή. Στις καλύτερες στιγμές του χρονικού διαστήματος, παρόμοιες εργασίες πολλαπλασιάζονταν με έναν κοινό πολλαπλασιαστή δέκα φορές. Με πληθώρα πολλαπλασιασμών πολλαπλών μεταβλητών στην αριθμομηχανή εξίσωσης, άρχισε να πολλαπλασιάζεται κατά ποιότητα και όχι με ποσοτικές μεταβλητές, όπως τιμές όπως μάζα ή βάρος σώματος. Προκειμένου να αποφευχθούν περιπτώσεις ανισορροπίας του υλικού συστήματος, είναι αρκετά προφανής για εμάς η παραγωγή ενός τρισδιάστατου μετατροπέα στη τετριμμένη σύγκλιση των μη εκφυλισμένων μαθηματικών πινάκων. Ολοκληρώστε την εργασία και λύστε την εξίσωση στις δεδομένες συντεταγμένες, καθώς η έξοδος είναι άγνωστη εκ των προτέρων, καθώς και όλες οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται στον μετα-χώρο χρόνο είναι άγνωστες. Για μικρό χρονικό διάστημα, σπρώξτε τον κοινό παράγοντα έξω από την παρένθεση και διαιρέστε με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη και των δύο μερών εκ των προτέρων. Από κάτω από το προκύπτον καλυμμένο υποσύνολο αριθμών εξάγετε αναλυτικό τρόποτριάντα τρεις βαθμούς στη σειρά σε σύντομο χρονικό διάστημα. Στο βαθμό που στο στα καλύτερά τουείναι δυνατό για κάθε μαθητή να λύσει την εξίσωση διαδικτυακά, κοιτάζοντας μπροστά, ας πούμε ένα σημαντικό, αλλά βασικό πράγμα, χωρίς το οποίο δεν θα είναι εύκολο να ζήσουμε στο μέλλον. Τον περασμένο αιώνα, ο μεγάλος επιστήμονας παρατήρησε μια σειρά από κανονικότητες στη θεωρία των μαθηματικών. Στην πράξη, δεν αποδείχθηκε η αναμενόμενη εντύπωση των γεγονότων. Ωστόσο, κατ' αρχήν, αυτή ακριβώς η λύση των εξισώσεων στο διαδίκτυο βοηθά στη βελτίωση της κατανόησης και της αντίληψης μιας ολιστικής προσέγγισης στη μελέτη και πρακτική εμπέδωση του θεωρητικού υλικού που καλύπτουν οι μαθητές. Είναι πολύ πιο εύκολο να το κάνετε αυτό κατά τη διάρκεια της μελέτης σας.

=

Οποιαδήποτε γλώσσα μπορεί να εκφράσει τις ίδιες πληροφορίες διαφορετικές λέξειςκαι τζίρους. Η μαθηματική γλώσσα δεν αποτελεί εξαίρεση. Αλλά η ίδια έκφραση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα με διαφορετικούς τρόπους. Και σε ορισμένες περιπτώσεις, μία από τις καταχωρίσεις είναι απλούστερη. Θα μιλήσουμε για απλοποίηση εκφράσεων σε αυτό το μάθημα.

Οι άνθρωποι επικοινωνούν διαφορετικές γλώσσες. Για εμάς σημαντική σύγκριση είναι το ζευγάρι «Ρωσική γλώσσα – μαθηματική γλώσσα». Οι ίδιες πληροφορίες μπορούν να αναφέρονται σε διαφορετικές γλώσσες. Αλλά, εκτός από αυτό, μπορεί να προφερθεί διαφορετικά σε μία γλώσσα.

Για παράδειγμα: "Ο Πέτρος είναι φίλος με τη Βάσια", "Η Βάσια είναι φίλος με την Πέτυα", "Ο Πέτρος και η Βάσια είναι φίλοι". Είπε διαφορετικά, αλλά ένα και το αυτό. Με οποιαδήποτε από αυτές τις φράσεις, θα καταλάβαμε τι διακυβεύεται.

Ας δούμε αυτή τη φράση: «Το αγόρι Petya και το αγόρι Vasya είναι φίλοι». Καταλαβαίνουμε τι υπό αμφισβήτηση. Ωστόσο, δεν μας αρέσει το πώς ακούγεται αυτή η φράση. Δεν μπορούμε να το απλοποιήσουμε, να πούμε το ίδιο, αλλά πιο απλό; "Αγόρι και αγόρι" - μπορείτε να πείτε μια φορά: "Τα αγόρια Petya και Vasya είναι φίλοι."

«Αγόρια» ... Δεν φαίνεται από τα ονόματά τους ότι δεν είναι κορίτσια. Αφαιρούμε τα "αγόρια": "Η Πέτυα και η Βάσια είναι φίλοι". Και η λέξη "φίλοι" μπορεί να αντικατασταθεί με "φίλοι": "Η Petya και η Vasya είναι φίλοι". Ως αποτέλεσμα, η πρώτη, μεγάλη, άσχημη φράση αντικαταστάθηκε με μια ισοδύναμη δήλωση που είναι πιο εύκολο να ειπωθεί και πιο εύκολα κατανοητή. Έχουμε απλοποιήσει αυτή τη φράση. Το να απλοποιείς σημαίνει να το λες πιο εύκολα, αλλά να μην χάνεις, να μην διαστρεβλώνεις το νόημα.

Το ίδιο συμβαίνει και στη μαθηματική γλώσσα. Το ίδιο πράγμα μπορεί να ειπωθεί διαφορετικά. Τι σημαίνει απλοποίηση μιας έκφρασης; Αυτό σημαίνει ότι για την αρχική έκφραση υπάρχουν πολλές ισοδύναμες εκφράσεις, δηλαδή αυτές που σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Και από όλο αυτό το πλήθος, πρέπει να επιλέξουμε το πιο απλό, κατά τη γνώμη μας, ή το πιο κατάλληλο για τους περαιτέρω σκοπούς μας.

Για παράδειγμα, σκεφτείτε αριθμητική παράσταση. Θα ισοδυναμεί με .

Θα είναι επίσης ισοδύναμο με τα δύο πρώτα: .

Αποδεικνύεται ότι έχουμε απλοποιήσει τις εκφράσεις μας και βρήκαμε τη συντομότερη ισοδύναμη έκφραση.

Για αριθμητικές εκφράσεις, πρέπει πάντα να κάνετε όλη τη δουλειά και να λαμβάνετε την ισοδύναμη έκφραση ως έναν μόνο αριθμό.

Εξετάστε ένα παράδειγμα κυριολεκτικής έκφρασης . Προφανώς, θα είναι πιο απλό.

Όταν απλοποιείτε κυριολεκτικές εκφράσεις, πρέπει να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες που είναι δυνατές.

Είναι πάντα απαραίτητο να απλοποιούμε μια έκφραση; Όχι, μερικές φορές μια ισοδύναμη αλλά μεγαλύτερη σημειογραφία θα είναι πιο βολική για εμάς.

Παράδειγμα: Αφαιρέστε τον αριθμό από τον αριθμό.

Είναι δυνατός ο υπολογισμός, αλλά αν ο πρώτος αριθμός αντιπροσωπευόταν με τον ισοδύναμο συμβολισμό του: , τότε οι υπολογισμοί θα ήταν στιγμιαίοι: .

Δηλαδή, μια απλοποιημένη έκφραση δεν είναι πάντα ωφέλιμη για εμάς για περαιτέρω υπολογισμούς.

Ωστόσο, πολύ συχνά βρισκόμαστε αντιμέτωποι με μια εργασία που ακούγεται απλώς σαν "απλοποίηση της έκφρασης".

Απλοποιήστε την έκφραση: .

Λύση

1) Εκτελέστε ενέργειες στην πρώτη και στη δεύτερη παρένθεση: .

2) Υπολογίστε τα προϊόντα: .

Προφανώς, η τελευταία έκφραση έχει πιο απλή μορφή από την αρχική. Το έχουμε απλοποιήσει.

Για να απλοποιηθεί η έκφραση, πρέπει να αντικατασταθεί με ένα ισοδύναμο (ίσο).

Για να προσδιορίσετε την ισοδύναμη έκφραση, πρέπει:

1) εκτελέστε όλες τις πιθανές ενέργειες,

2) Χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς.

Ιδιότητες πρόσθεσης και αφαίρεσης:

1. Μεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης: το άθροισμα δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των όρων.

2. Συνειρμική ιδιότητα πρόσθεσης: για να προσθέσετε έναν τρίτο αριθμό στο άθροισμα δύο αριθμών, μπορείτε να προσθέσετε το άθροισμα του δεύτερου και του τρίτου αριθμού στον πρώτο αριθμό.

3. Η ιδιότητα της αφαίρεσης ενός αθροίσματος από έναν αριθμό: για να αφαιρέσετε το άθροισμα από έναν αριθμό, μπορείτε να αφαιρέσετε κάθε όρο ξεχωριστά.

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης

1. Η μεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: το γινόμενο δεν αλλάζει από μια μετάθεση παραγόντων.

2. Συνειρμική ιδιότητα: για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με το γινόμενο δύο αριθμών, μπορείτε πρώτα να τον πολλαπλασιάσετε με τον πρώτο παράγοντα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε το γινόμενο που προκύπτει με τον δεύτερο παράγοντα.

3. Η διανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα άθροισμα, πρέπει να τον πολλαπλασιάσετε με κάθε όρο ξεχωριστά.

Ας δούμε πώς πραγματικά κάνουμε νοητικούς υπολογισμούς.

Υπολογίζω:

Λύση

1) Φανταστείτε πώς

2) Ας αναπαραστήσουμε τον πρώτο παράγοντα ως άθροισμα όροι bitκαι κάνε τον πολλαπλασιασμό:

3) μπορείτε να φανταστείτε πώς και να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό:

4) Αντικαταστήστε τον πρώτο παράγοντα με ένα ισοδύναμο άθροισμα:

Ο διανεμητικός νόμος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί σε αντιθετη πλευρα: .

Ακολουθήστε αυτά τα βήματα:

1) 2)

Λύση

1) Για ευκολία, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον νόμο διανομής, απλώς χρησιμοποιήστε τον προς την αντίθετη κατεύθυνση - αφαιρέστε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

2) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων

Είναι απαραίτητο να αγοράσετε λινέλαιο στην κουζίνα και στο διάδρομο. Χώρος κουζίνας - διάδρομος -. Υπάρχουν τρεις τύποι λινελαίου: για και ρούβλια για. Πόσο θα το καθένα από τρία είδημουσαμάς? (Εικ. 1)

Ρύζι. 1. Απεικόνιση για την κατάσταση του προβλήματος

Λύση

Μέθοδος 1. Μπορείτε να βρείτε χωριστά πόσα χρήματα θα χρειαστούν για να αγοράσετε λινέλαιο στην κουζίνα και στη συνέχεια να το προσθέσετε στο διάδρομο και να προσθέσετε τα έργα που προκύπτουν.

Πρώτο επίπεδο

Μετατροπή έκφρασης. Λεπτομερής θεωρία (2019)

Συχνά ακούμε αυτή τη δυσάρεστη φράση: "απλοποιήστε την έκφραση."Συνήθως, σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε κάποιο είδος τέρατος όπως αυτό:

«Ναι, πολύ πιο εύκολο», λέμε, αλλά μια τέτοια απάντηση συνήθως δεν λειτουργεί.

Τώρα θα σας διδάξω να μην φοβάστε καμία τέτοια εργασία.

Επιπλέον, στο τέλος του μαθήματος, εσείς οι ίδιοι θα απλοποιήσετε αυτό το παράδειγμα σε έναν (απλώς!) συνηθισμένο αριθμό (ναι, στο διάολο με αυτά τα γράμματα).

Αλλά πριν ξεκινήσετε αυτό το μάθημα, πρέπει να είστε σε θέση ασχολούνται με κλάσματαΚαι παραγοντοποιούν πολυώνυμα.

Επομένως, εάν δεν το έχετε κάνει πριν, φροντίστε να κατακτήσετε τα θέματα "" και "".

Ανάγνωση? Αν ναι, τότε είστε έτοιμοι.

Πάμε! (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση!Εάν αντί για τύπους βλέπετε ασυναρτησίες, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac)

Λειτουργίες απλοποίησης βασικής έκφρασης

Τώρα θα αναλύσουμε τις κύριες τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση των εκφράσεων.

Το πιο απλό από αυτά είναι

1. Φέρνοντας παρόμοια

Τι είναι παρόμοια; Αυτό το περάσατε στην 7η δημοτικού, όταν τα γράμματα εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στα μαθηματικά αντί για αριθμούς.

Παρόμοιοςείναι όροι (μονώνυμα) με το ίδιο γράμμα μέρος.

Για παράδειγμα, στο άθροισμα, όπως οι όροι είναι και.

Θυμήθηκε;

Φέρε παρόμοια- σημαίνει να προσθέσετε πολλούς παρόμοιους όρους μεταξύ τους και να πάρετε έναν όρο.

Πώς όμως μπορούμε να ενώσουμε τα γράμματα; - εσύ ρωτάς.

Αυτό είναι πολύ εύκολο να το καταλάβετε αν φανταστείτε ότι τα γράμματα είναι κάποιο είδος αντικειμένων.

Για παράδειγμα, το γράμμα είναι μια καρέκλα. Τότε ποια είναι η έκφραση;

Δύο καρέκλες συν τρεις καρέκλες, πόσο θα είναι; Σωστά, καρέκλες: .

Δοκιμάστε τώρα αυτήν την έκφραση:

Για να μην μπερδευτούμε, ας διαφορετικά γράμματααντιπροσωπεύουν διαφορετικά πράγματα.

Για παράδειγμα, - αυτό είναι (ως συνήθως) μια καρέκλα και - αυτό είναι ένα τραπέζι.

καρέκλες τραπέζια καρέκλες τραπέζια καρέκλες καρέκλες τραπέζια

Οι αριθμοί με τους οποίους πολλαπλασιάζονται τα γράμματα σε τέτοιους όρους καλούνται συντελεστές.

Για παράδειγμα, στο μονώνυμο ο συντελεστής είναι ίσος. Και είναι ίσος.

Λοιπόν, ο κανόνας για να φέρουμε παρόμοια:

Παραδείγματα:

Φέρε παρόμοια:

Απαντήσεις:

2. (και είναι όμοιοι, αφού, επομένως, οι όροι αυτοί έχουν το ίδιο γράμμα).

2. Παραγοντοποίηση

Αυτό είναι συνήθως το πιο σημαντικό μέρος στην απλοποίηση των εκφράσεων.

Αφού δώσετε παρόμοια, τις περισσότερες φορές χρειάζεται η έκφραση που προκύπτει παραγοντοποιώ, δηλαδή αντιπροσωπεύουν ως προϊόν.

Ειδικά αυτό σημαντικό σε κλάσματα:γιατί για να μειωθεί το κλάσμα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να εκφράζονται ως γινόμενο.

Περάστε από τις λεπτομερείς μεθόδους παραγοντοποίησης εκφράσεων στο θέμα "", οπότε εδώ πρέπει απλώς να θυμάστε τι έχετε μάθει.

Για να το κάνετε αυτό, λύστε μερικά παραδείγματα (πρέπει να παραγοντοποιήσετε)

Παραδείγματα:

Λύσεις:

3. Αναγωγή κλασμάτων.

Λοιπόν, τι θα μπορούσε να είναι πιο ωραίο από το να διαγράψεις μέρος του αριθμητή και του παρονομαστή και να τα πετάξεις από τη ζωή σου;

Αυτή είναι η ομορφιά της συντομογραφίας.

Είναι απλό:

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τους ίδιους παράγοντες, μπορούν να μειωθούν, δηλαδή να αφαιρεθούν από το κλάσμα.

Αυτός ο κανόνας προκύπτει από τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος:

Δηλαδή, η ουσία της λειτουργίας μείωσης είναι ότι Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό (ή με την ίδια παράσταση).

Για να μειώσετε ένα κλάσμα, χρειάζεστε:

1) αριθμητής και παρονομαστής παραγοντοποιώ

2) αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν κοινούς παράγοντες , μπορούν να διαγραφούν.

Παραδείγματα:

Η αρχή, νομίζω, είναι σαφής;

Θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα τυπικό συντομογραφικό λάθος. Αν και αυτό το θέμα είναι απλό, αλλά πολλοί άνθρωποι κάνουν τα πάντα λάθος, χωρίς να το συνειδητοποιούν Τομή- αυτό σημαίνει διαιρέστεαριθμητής και παρονομαστής με τον ίδιο αριθμό.

Χωρίς συντομογραφίες εάν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής είναι το άθροισμα.

Για παράδειγμα: πρέπει να απλοποιήσετε.

Κάποιοι κάνουν αυτό: που είναι απολύτως λάθος.

Άλλο παράδειγμα: μείωση.

Ο πιο «έξυπνος» θα κάνει αυτό:

Πες μου τι φταίει εδώ; Φαίνεται: - αυτός είναι ένας πολλαπλασιαστής, ώστε να μπορείτε να μειώσετε.

Αλλά όχι: - αυτός είναι ένας παράγοντας μόνο ενός όρου στον αριθμητή, αλλά ο ίδιος ο αριθμητής ως σύνολο δεν αποσυντίθεται σε παράγοντες.

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα: .

Αυτή η έκφραση αποσυντίθεται σε παράγοντες, πράγμα που σημαίνει ότι μπορείτε να μειώσετε, δηλαδή να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με και στη συνέχεια με:

Μπορείτε να διαιρέσετε αμέσως με:

Για να αποφύγετε τέτοια λάθη, θυμηθείτε εύκολος τρόποςπώς να προσδιορίσετε εάν μια έκφραση συνυπολογίζεται:

Η αριθμητική πράξη που εκτελείται τελευταία κατά τον υπολογισμό της τιμής της παράστασης είναι η "κύρια".

Δηλαδή, αν αντικαταστήσετε κάποιους (οποιονδήποτε) αριθμούς αντί για γράμματα και προσπαθήσετε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης, τότε εάν η τελευταία ενέργεια είναι πολλαπλασιασμός, τότε έχουμε ένα γινόμενο (η παράσταση αποσυντίθεται σε παράγοντες).

Εάν η τελευταία ενέργεια είναι πρόσθεση ή αφαίρεση, αυτό σημαίνει ότι η έκφραση δεν συνυπολογίζεται (και επομένως δεν μπορεί να μειωθεί).

Για να το διορθώσετε μόνοι σας, μερικά παραδείγματα:

Παραδείγματα:

Λύσεις:

1. Ελπίζω να μην βιάσατε αμέσως να κόψετε και; Δεν ήταν ακόμα αρκετό να «μειωθούν» μονάδες όπως αυτό:

Το πρώτο βήμα πρέπει να είναι η παραγοντοποίηση:

4. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων. Φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή.

Η πρόσθεση και η αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων είναι μια πολύ γνωστή πράξη: αναζητούμε έναν κοινό παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε κάθε κλάσμα με τον παράγοντα που λείπει και προσθέτουμε/αφαιρούμε τους αριθμητές.

Ας θυμηθούμε:

Απαντήσεις:

1. Οι παρονομαστές και είναι συμπρωτογενείς, δηλαδή δεν έχουν κοινούς παράγοντες. Επομένως, το LCM αυτών των αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο τους. Αυτός θα είναι ο κοινός παρονομαστής:

2. Εδώ ο κοινός παρονομαστής είναι:

3. Εδώ, πρώτα απ 'όλα, μετατρέπουμε τα μικτά κλάσματα σε ακατάλληλα και στη συνέχεια - σύμφωνα με το συνηθισμένο σχήμα:

Είναι εντελώς άλλο θέμα εάν τα κλάσματα περιέχουν γράμματα, για παράδειγμα:

Ας ξεκινήσουμε απλά:

α) Οι παρονομαστές δεν περιέχουν γράμματα

Εδώ όλα είναι ίδια με τα συνηθισμένα αριθμητικά κλάσματα: βρίσκουμε έναν κοινό παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε κάθε κλάσμα με τον παράγοντα που λείπει και προσθέτουμε / αφαιρούμε τους αριθμητές:

τώρα στον αριθμητή μπορείτε να φέρετε παρόμοια, εάν υπάρχουν, και να τα συνυπολογίσετε:

Δοκιμάστε το μόνοι σας:

Απαντήσεις:

β) Οι παρονομαστές περιέχουν γράμματα

Ας θυμηθούμε την αρχή της εύρεσης κοινού παρονομαστή χωρίς γράμματα:

Πρώτα απ 'όλα, προσδιορίζουμε τους κοινούς παράγοντες.

Στη συνέχεια, γράφουμε όλους τους κοινούς παράγοντες μία φορά.

και πολλαπλασιάστε τους με όλους τους άλλους παράγοντες, όχι με τους κοινούς.

Για να προσδιορίσουμε τους κοινούς παράγοντες των παρονομαστών, πρώτα τους αναλύουμε σε απλούς παράγοντες:

Τονίζουμε τους κοινούς παράγοντες:

Τώρα γράφουμε τους κοινούς παράγοντες μία φορά και προσθέτουμε σε αυτούς όλους τους μη κοινούς (όχι υπογραμμισμένους) παράγοντες:

Αυτός είναι ο κοινός παρονομαστής.

Ας επιστρέψουμε στα γράμματα. Οι παρονομαστές δίνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο:

Αποσυνθέτουμε τους παρονομαστές σε παράγοντες.

προσδιορίζει κοινούς (πανομοιότυπους) πολλαπλασιαστές.

γράψτε όλους τους κοινούς παράγοντες μία φορά.

Τους πολλαπλασιάζουμε με όλους τους άλλους παράγοντες, όχι με τους κοινούς.

Λοιπόν, με τη σειρά:

1) διασπάστε τους παρονομαστές σε παράγοντες:

2) προσδιορίστε τους κοινούς (πανομοιότυπους) παράγοντες:

3) Καταγράψτε όλους τους κοινούς παράγοντες μία φορά και πολλαπλασιάστε τους με όλους τους άλλους (όχι υπογραμμισμένους) παράγοντες:

Ο κοινός παρονομαστής λοιπόν είναι εδώ. Το πρώτο κλάσμα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με, το δεύτερο - με:

Παρεμπιπτόντως, υπάρχει ένα κόλπο:

Για παράδειγμα: .

Βλέπουμε τους ίδιους παράγοντες στους παρονομαστές, μόνο τα πάντα με διαφορετικούς δείκτες. Ο κοινός παρονομαστής θα είναι:

στο βαθμό

στο βαθμό

στο βαθμό

σε βαθμό.

Ας περιπλέκουμε το έργο:

Πώς να κάνετε τα κλάσματα να έχουν τον ίδιο παρονομαστή;

Ας θυμηθούμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος:

Πουθενά δεν λέγεται ότι ο ίδιος αριθμός μπορεί να αφαιρεθεί (ή να προστεθεί) από τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος. Γιατί δεν είναι αλήθεια!

Δείτε μόνοι σας: πάρτε οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, και προσθέστε κάποιον αριθμό στον αριθμητή και στον παρονομαστή, για παράδειγμα, . Τι έχει μάθει;

Λοιπόν, ένας άλλος ακλόνητος κανόνας:

Όταν φέρνετε κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, χρησιμοποιήστε μόνο την πράξη πολλαπλασιασμού!

Τι χρειάζεται όμως να πολλαπλασιάσετε για να πάρετε;

Εδώ και πολλαπλασιάστε. Και πολλαπλασιάστε με:

Οι εκφράσεις που δεν μπορούν να παραγοντοποιηθούν θα ονομάζονται «στοιχειώδεις παράγοντες».

Για παράδειγμα, είναι ένας στοιχειώδης παράγοντας. - Το ίδιο. Αλλά - όχι: αποσυντίθεται σε παράγοντες.

Τι γίνεται με την έκφραση; Είναι στοιχειώδες;

Όχι, γιατί μπορεί να παραγοντοποιηθεί:

(διάβασες ήδη για παραγοντοποίηση στο θέμα "").

Έτσι, οι στοιχειώδεις παράγοντες στους οποίους αποσυνθέτεις μια έκφραση με γράμματα είναι ανάλογοι των απλών παραγόντων στους οποίους αποσυνθέτεις τους αριθμούς. Και με αυτούς θα κάνουμε το ίδιο.

Βλέπουμε ότι και οι δύο παρονομαστές έχουν έναν παράγοντα. Θα πάει στον κοινό παρονομαστή στην εξουσία (θυμάστε γιατί;).

Ο πολλαπλασιαστής είναι στοιχειώδης και δεν τον έχουν κοινό, πράγμα που σημαίνει ότι το πρώτο κλάσμα θα πρέπει απλώς να πολλαπλασιαστεί με αυτό:

Ενα άλλο παράδειγμα:

Λύση:

Πριν πολλαπλασιάσετε αυτούς τους παρονομαστές σε έναν πανικό, πρέπει να σκεφτείτε πώς να τους συνυπολογίσετε; Και οι δύο αντιπροσωπεύουν:

Εξαιρετική! Επειτα:

Ενα άλλο παράδειγμα:

Λύση:

Ως συνήθως, παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές. Στον πρώτο παρονομαστή, το βάζουμε απλά εκτός παρενθέσεων. στο δεύτερο - η διαφορά των τετραγώνων:

Φαίνεται ότι δεν υπάρχουν κοινοί παράγοντες. Αλλά αν κοιτάξετε προσεκτικά, μοιάζουν ήδη τόσο πολύ... Και η αλήθεια είναι:

Ας γράψουμε λοιπόν:

Δηλαδή, έγινε έτσι: μέσα στην αγκύλη, αλλάξαμε τους όρους και ταυτόχρονα, το πρόσημο μπροστά από το κλάσμα άλλαξε στο αντίθετο. Λάβετε υπόψη σας, θα πρέπει να το κάνετε συχνά.

Τώρα φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή:

Το έπιασα? Τώρα ας ελέγξουμε.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Απαντήσεις:

Εδώ πρέπει να θυμηθούμε ένα ακόμη πράγμα - τη διαφορά των κύβων:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος δεν περιέχει τον τύπο "τετράγωνο του αθροίσματος"! Το τετράγωνο του αθροίσματος θα μοιάζει με αυτό:

Το Α είναι το λεγόμενο ατελές τετράγωνο του αθροίσματος: ο δεύτερος όρος σε αυτό είναι το γινόμενο του πρώτου και του τελευταίου, και όχι το διπλασιασμένο γινόμενο τους. Το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος είναι ένας από τους παράγοντες για την επέκταση της διαφοράς των κύβων:

Τι γίνεται αν υπάρχουν ήδη τρία κλάσματα;

Ναι, το ίδιο! Πρώτα απ 'όλα, θα βεβαιωθούμε ότι ο μέγιστος αριθμός παραγόντων στους παρονομαστές είναι ο ίδιος:

Προσοχή: αν αλλάξετε τα σημάδια μέσα σε μία αγκύλη, το πρόσημο μπροστά από το κλάσμα αλλάζει στο αντίθετο. Όταν αλλάξουμε τα σημάδια στη δεύτερη αγκύλη, το πρόσημο μπροστά από το κλάσμα αντιστρέφεται ξανά. Ως αποτέλεσμα, αυτός (το πρόσημο μπροστά από το κλάσμα) δεν έχει αλλάξει.

Γράφουμε τον πρώτο παρονομαστή πλήρως στον κοινό παρονομαστή και μετά προσθέτουμε σε αυτόν όλους τους παράγοντες που δεν έχουν γραφτεί ακόμη, από τον δεύτερο και μετά από τον τρίτο (και ούτω καθεξής, αν υπάρχουν περισσότερα κλάσματα). Δηλαδή, πάει ως εξής:

Χμ... Με τα κλάσματα, είναι ξεκάθαρο τι πρέπει να κάνουμε. Τι γίνεται όμως με τα δύο;

Είναι απλό: ξέρεις πώς να προσθέτεις κλάσματα, σωστά; Άρα, πρέπει να βεβαιωθείτε ότι το δίδυμο γίνεται κλάσμα! Θυμηθείτε: ένα κλάσμα είναι μια πράξη διαίρεσης (ο αριθμητής διαιρείται με τον παρονομαστή, σε περίπτωση που το ξεχάσατε ξαφνικά). Και δεν υπάρχει τίποτα πιο εύκολο από τη διαίρεση ενός αριθμού με. Σε αυτή την περίπτωση, ο ίδιος ο αριθμός δεν θα αλλάξει, αλλά θα μετατραπεί σε κλάσμα:

Ακριβώς ότι χρειάζεται!

5. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Λοιπόν, το πιο δύσκολο κομμάτι έχει τελειώσει. Και μπροστά μας είναι το πιο απλό, αλλά ταυτόχρονα το πιο σημαντικό:

Διαδικασία

Ποια είναι η διαδικασία για τον υπολογισμό μιας αριθμητικής παράστασης; Θυμηθείτε, λαμβάνοντας υπόψη την αξία μιας τέτοιας έκφρασης:

μετρήσατε;

Θα πρέπει να λειτουργήσει.

Σας θυμίζω λοιπόν.

Το πρώτο βήμα είναι ο υπολογισμός του πτυχίου.

Το δεύτερο είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση. Εάν υπάρχουν πολλοί πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις ταυτόχρονα, μπορείτε να τους κάνετε με οποιαδήποτε σειρά.

Και τέλος, κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση. Και πάλι, με οποιαδήποτε σειρά.

Αλλά: η έκφραση σε παρένθεση αξιολογείται εκτός σειράς!

Εάν πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν πολλές αγκύλες η μία με την άλλη, πρώτα αξιολογούμε την έκφραση σε κάθε μία από τις αγκύλες και στη συνέχεια τις πολλαπλασιάζουμε ή τις διαιρούμε.

Τι γίνεται αν υπάρχουν άλλες παρενθέσεις μέσα στις αγκύλες; Λοιπόν, ας σκεφτούμε: κάποια έκφραση είναι γραμμένη μέσα στις αγκύλες. Ποιο είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε κατά την αξιολόγηση μιας έκφρασης; Σωστά, υπολογίστε αγκύλες. Λοιπόν, το καταλάβαμε: πρώτα υπολογίζουμε τις εσωτερικές αγκύλες και μετά όλα τα άλλα.

Έτσι, η σειρά των ενεργειών για την παραπάνω έκφραση είναι η εξής (η τρέχουσα ενέργεια επισημαίνεται με κόκκινο, δηλαδή η ενέργεια που εκτελώ αυτήν τη στιγμή):

Εντάξει, όλα είναι απλά.

Αλλά αυτό δεν είναι το ίδιο με μια έκφραση με γράμματα, έτσι δεν είναι;

Όχι, το ίδιο είναι! Μόνο αντί για αριθμητικές πράξεις είναι απαραίτητο να γίνουν αλγεβρικές πράξεις, δηλαδή οι πράξεις που περιγράφονται στο προηγούμενη ενότητα: φέρνοντας παρόμοια, προσθήκη κλασμάτων, μείωση κλασμάτων κ.ο.κ. Η μόνη διαφορά θα είναι η δράση της παραγοντοποίησης πολυωνύμων (το χρησιμοποιούμε συχνά όταν εργαζόμαστε με κλάσματα). Τις περισσότερες φορές, για παραγοντοποίηση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το i ή απλώς να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

Συνήθως ο στόχος μας είναι να αναπαραστήσουμε μια έκφραση ως προϊόν ή πηλίκο.

Για παράδειγμα:

Ας απλοποιήσουμε την έκφραση.

1) Αρχικά απλοποιούμε την έκφραση σε αγκύλες. Εκεί έχουμε τη διαφορά των κλασμάτων, και στόχος μας είναι να την παραστήσουμε ως γινόμενο ή πηλίκο. Έτσι, φέρνουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτουμε:

Είναι αδύνατο να απλοποιηθεί περαιτέρω αυτή η έκφραση, όλοι οι παράγοντες εδώ είναι στοιχειώδεις (θυμάστε ακόμα τι σημαίνει αυτό;).

2) Παίρνουμε:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων: τι θα μπορούσε να είναι ευκολότερο.

3) Τώρα μπορείτε να συντομεύσετε:

Εντάξει όλα τελείωσαν τώρα. Τίποτα περίπλοκο, σωστά;

Ενα άλλο παράδειγμα:

Απλοποιήστε την έκφραση.

Πρώτα, προσπαθήστε να το λύσετε μόνοι σας και μόνο μετά δείτε τη λύση.

Λύση:

Πρώτα απ 'όλα, ας ορίσουμε τη διαδικασία.

Αρχικά, ας προσθέσουμε τα κλάσματα σε αγκύλες, αντί για δύο κλάσματα, θα βγει ένα.

Στη συνέχεια θα κάνουμε τη διαίρεση των κλασμάτων. Λοιπόν, προσθέτουμε το αποτέλεσμα με το τελευταίο κλάσμα.

Θα αριθμήσω σχηματικά τα βήματα:

Τώρα θα δείξω όλη τη διαδικασία, χρωματίζοντας την τρέχουσα ενέργεια με κόκκινο:

Τέλος, θα σας δώσω δύο χρήσιμες συμβουλές:

1. Εάν υπάρχουν παρόμοια, πρέπει να προσκομιστούν άμεσα. Όποια στιγμή κι αν έχουμε παρόμοια, καλό είναι να τα φέρουμε άμεσα.

2. Το ίδιο ισχύει και για τα αναγωγικά κλάσματα: μόλις παρουσιαστεί ευκαιρία για μείωση, πρέπει να χρησιμοποιηθεί. Η εξαίρεση είναι τα κλάσματα που προσθέτετε ή αφαιρείτε: εάν τώρα έχουν τους ίδιους παρονομαστές, τότε η αναγωγή θα πρέπει να αφεθεί για αργότερα.

Ακολουθούν ορισμένες εργασίες που πρέπει να επιλύσετε μόνοι σας:

Και υποσχέθηκε στην αρχή:

Απαντήσεις:

Λύσεις (σύντομη):

Εάν αντιμετωπίσατε τουλάχιστον τα τρία πρώτα παραδείγματα, τότε σκεφτείτε ότι έχετε κατακτήσει το θέμα.

Τώρα στη μάθηση!

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΚΦΡΑΣΗΣ. ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Βασικές λειτουργίες απλοποίησης:

• Φέρνοντας παρόμοια: για να προσθέσετε (μειώσετε) όρους όπως, πρέπει να προσθέσετε τους συντελεστές τους και να αντιστοιχίσετε το τμήμα γράμματος.
• Παραγοντοποίηση:βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσης, εφαρμόζοντας κ.λπ.
• Αναγωγή κλασμάτων: ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος μπορούν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, από τον οποίο η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει.
  1) αριθμητής και παρονομαστής παραγοντοποιώ
  2) εάν υπάρχουν κοινοί παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή, μπορούν να διαγραφούν.

  ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: μόνο οι πολλαπλασιαστές μπορούν να μειωθούν!

• Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων:
  ;
• Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων:
  ;

Μια αλγεβρική έκφραση στην εγγραφή της οποίας, μαζί με τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού, χρησιμοποιεί και τη διαίρεση σε κυριολεκτικές εκφράσεις, ονομάζεται κλασματική αλγεβρική έκφραση. Τέτοιες είναι, για παράδειγμα, οι εκφράσεις

Ονομάζουμε αλγεβρικό κλάσμα μια αλγεβρική παράσταση που έχει τη μορφή πηλίκου διαίρεσης δύο αλγεβρικών παραστάσεων ακέραιων αριθμών (για παράδειγμα, μονοώνυμα ή πολυώνυμα). Τέτοιες είναι, για παράδειγμα, οι εκφράσεις

η τρίτη από τις εκφράσεις).

Οι μετασχηματισμοί ταυτότητας των κλασματικών αλγεβρικών εκφράσεων έχουν ως επί το πλείστον σκοπό να τις αναπαραστήσουν ως αλγεβρικό κλάσμα. Για την εύρεση κοινού παρονομαστή χρησιμοποιείται η παραγοντοποίηση των παρονομαστών των κλασμάτων - όρων προκειμένου να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους. Κατά τη μείωση των αλγεβρικών κλασμάτων, μπορεί να παραβιαστεί η αυστηρή ταυτότητα των εκφράσεων: είναι απαραίτητο να αποκλειστούν οι τιμές των ποσοτήτων στις οποίες εξαφανίζεται ο παράγοντας με τον οποίο γίνεται η αναγωγή.

Ας δώσουμε παραδείγματα πανομοιότυπων μετασχηματισμών κλασματικών αλγεβρικών παραστάσεων.

Παράδειγμα 1: Απλοποιήστε μια έκφραση

Όλοι οι όροι μπορούν να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή (είναι βολικό να αλλάξετε το πρόσημο στον παρονομαστή του τελευταίου όρου και το πρόσημο μπροστά του):

Η έκφρασή μας είναι ίση με ένα για όλες τις τιμές εκτός από αυτές τις τιμές, δεν ορίζεται και η μείωση κλασμάτων είναι παράνομη).

Παράδειγμα 2. Αντιπροσωπεύστε την έκφραση ως αλγεβρικό κλάσμα

Λύση. Η έκφραση μπορεί να ληφθεί ως κοινός παρονομαστής. Βρίσκουμε διαδοχικά:

Γυμνάσια

1. Βρείτε τις τιμές των αλγεβρικών παραστάσεων για τις καθορισμένες τιμές των παραμέτρων:

2. Παραγοντοποιήστε.

Μια κυριολεκτική έκφραση (ή μια έκφραση με μεταβλητές) είναι μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς, γράμματα και σημάδια μαθηματικών πράξεων. Για παράδειγμα, η ακόλουθη έκφραση είναι κυριολεκτική:

α+β+4

Χρησιμοποιώντας κυριολεκτικές εκφράσεις, μπορείτε να γράψετε νόμους, τύπους, εξισώσεις και συναρτήσεις. Η ικανότητα χειρισμού κυριολεκτικών εκφράσεων είναι το κλειδί για μια καλή γνώση της άλγεβρας και των ανώτερων μαθηματικών.

Κάθε σοβαρό πρόβλημα στα μαθηματικά καταλήγει στην επίλυση εξισώσεων. Και για να μπορέσετε να λύσετε εξισώσεις, πρέπει να είστε σε θέση να εργαστείτε με κυριολεκτικές εκφράσεις.

Για να εργαστείτε με κυριολεκτικές εκφράσεις, πρέπει να μελετήσετε καλά τη βασική αριθμητική: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση, βασικοί νόμοι των μαθηματικών, κλάσματα, ενέργειες με κλάσματα, αναλογίες. Και όχι μόνο για να μελετήσει, αλλά για να καταλάβει ενδελεχώς.

Περιεχόμενο μαθήματος

Μεταβλητές

Τα γράμματα που περιέχονται σε κυριολεκτικές εκφράσεις ονομάζονται μεταβλητές. Για παράδειγμα, στην έκφραση α+β+4τα γράμματα είναι μεταβλητές έναΚαι σι. Αν αντί για αυτές τις μεταβλητές αντικαταστήσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς, τότε η κυριολεκτική έκφραση α+β+4θα μετατραπεί σε μια αριθμητική παράσταση, η τιμή της οποίας μπορεί να βρεθεί.

Οι αριθμοί που αντικαθιστούν τις μεταβλητές καλούνται μεταβλητές τιμές. Για παράδειγμα, ας αλλάξουμε τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι. Χρησιμοποιήστε το σύμβολο ίσον για να αλλάξετε τις τιμές

a = 2, b = 3

Έχουμε αλλάξει τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι. μεταβλητός έναεκχωρήθηκε μια τιμή 2 , μεταβλητή σιεκχωρήθηκε μια τιμή 3 . Ως αποτέλεσμα, η κυριολεκτική έκφραση α+β+4μετατρέπεται σε κανονική αριθμητική έκφραση 2+3+4 του οποίου η τιμή μπορεί να βρεθεί:

2 + 3 + 4 = 9

Όταν οι μεταβλητές πολλαπλασιάζονται, γράφονται μαζί. Για παράδειγμα, η καταχώρηση αβσημαίνει το ίδιο με το λήμμα α×β. Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές έναΚαι σιαριθμοί 2 Και 3 , τότε παίρνουμε 6

2 x 3 = 6

Μαζί, μπορείτε επίσης να γράψετε τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με μια παράσταση σε αγκύλες. Για παράδειγμα, αντί για a×(b + c)μπορεί να γραφτεί α(β + γ). Εφαρμόζοντας τον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού, λαμβάνουμε a(b + c)=ab+ac.

Πιθανότητα

Στις κυριολεκτικές εκφράσεις, μπορείτε συχνά να βρείτε μια σημείωση στην οποία ένας αριθμός και μια μεταβλητή γράφονται μαζί, για παράδειγμα 3α. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι μια συντομογραφία για τον πολλαπλασιασμό του αριθμού 3 με μια μεταβλητή. ένακαι αυτή η καταχώρηση μοιάζει 3×α .

Με άλλα λόγια η έκφραση 3αείναι το γινόμενο του αριθμού 3 και της μεταβλητής ένα. Αριθμός 3 σε αυτό το έργο ονομάζεται συντελεστής. Αυτός ο συντελεστής δείχνει πόσες φορές θα αυξηθεί η μεταβλητή ένα. Αυτή η έκφραση μπορεί να διαβαστεί ως " ένατρεις ή τρεις φορές ΕΝΑ", ή "αυξήστε την τιμή της μεταβλητής ένατρεις φορές», αλλά τις περισσότερες φορές διαβάζεται ως «τρεις ένα«

Για παράδειγμα, εάν η μεταβλητή έναείναι ίσο με 5 , τότε η τιμή της έκφρασης 3αθα είναι ίσο με 15.

3 x 5 = 15

ομιλία απλή γλώσσα, ο συντελεστής είναι ο αριθμός που βρίσκεται πριν από το γράμμα (πριν από τη μεταβλητή).

Μπορεί να υπάρχουν πολλά γράμματα, για παράδειγμα 5αβ. Εδώ ο συντελεστής είναι ο αριθμός 5 . Αυτός ο συντελεστής δείχνει ότι το γινόμενο των μεταβλητών αλφάβητοαυξάνεται πέντε φορές. Αυτή η έκφραση μπορεί να διαβαστεί ως " αλφάβητοπέντε φορές» ή «αυξήστε την αξία της έκφρασης αλφάβητοπέντε φορές» ή «πέντε αλφάβητο«.

Αν αντί για μεταβλητές αλφάβητοαντικαταστήστε τους αριθμούς 2, 3 και 4 και μετά την τιμή της παράστασης 5αβθα είναι ίσο με 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Μπορείτε να φανταστείτε διανοητικά πώς πολλαπλασιάστηκαν αρχικά οι αριθμοί 2, 3 και 4 και η τιμή που προέκυψε αυξήθηκε πέντε φορές:

Το πρόσημο του συντελεστή αναφέρεται μόνο στον συντελεστή και δεν ισχύει για μεταβλητές.

Σκεφτείτε την έκφραση −6β. Μείον μπροστά από τον συντελεστή 6 , ισχύει μόνο για τον συντελεστή 6 , και δεν ισχύει για τη μεταβλητή σι. Η κατανόηση αυτού του γεγονότος θα σας επιτρέψει να μην κάνετε λάθη στο μέλλον με σημάδια.

Βρείτε την τιμή της έκφρασης −6βστο b = 3.

−6β −6×b. Για λόγους σαφήνειας, γράφουμε την έκφραση −6βσε διευρυμένη μορφή και αντικαταστήστε την τιμή της μεταβλητής σι

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης −6βστο b = −5

Ας γράψουμε την έκφραση −6βσε διευρυμένη μορφή

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης −5a+bστο α = 3Και b = 2

−5a+bείναι η σύντομη φόρμα για −5 × a + b, επομένως, για λόγους σαφήνειας, γράφουμε την έκφραση −5×a+bσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Μερικές φορές τα γράμματα γράφονται χωρίς συντελεστή, για παράδειγμα έναή αβ. Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής είναι ένας:

αλλά η μονάδα παραδοσιακά δεν είναι γραμμένη, έτσι απλά γράφουν έναή αβ

Εάν υπάρχει ένα μείον πριν από το γράμμα, τότε ο συντελεστής είναι ένας αριθμός −1 . Για παράδειγμα, η έκφραση -έναστην πραγματικότητα μοιάζει −1α. Αυτό είναι το γινόμενο του μείον ένα και της μεταβλητής ένα.Βγήκε έτσι:

−1 × a = −1a

Εδώ βρίσκεται ένα μικρό κόλπο. Στην έκφραση -έναμείον πριν από τη μεταβλητή έναστην πραγματικότητα αναφέρεται στην "αόρατη μονάδα" και όχι στη μεταβλητή ένα. Επομένως, όταν επιλύετε προβλήματα, θα πρέπει να είστε προσεκτικοί.

Για παράδειγμα, δεδομένης της έκφρασης -ένακαι μας ζητείται να βρούμε την τιμή του στο α = 2, τότε στο σχολείο αντικαταστήσαμε ένα δίδυμο αντί για μια μεταβλητή ένακαι πάρε απάντηση −2 , χωρίς να εστιάσουμε πραγματικά στο πώς εξελίχθηκε. Στην πραγματικότητα, υπήρξε πολλαπλασιασμός του μείον ένα με έναν θετικό αριθμό 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Αν δοθεί έκφραση -ένακαι απαιτείται να βρεθεί η τιμή του στο a = −2, τότε αντικαθιστούμε −2 αντί για μεταβλητή ένα

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Προκειμένου να αποφευχθούν λάθη, στην αρχή οι αόρατες μονάδες μπορούν να γραφτούν ρητά.

Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης αλφάβητοστο a=2 , b=3Και c=4

Εκφραση αλφάβητο 1×a×b×c.Για λόγους σαφήνειας, γράφουμε την έκφραση αλφάβητο α , βΚαι ντο

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Παράδειγμα 5Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης αλφάβητοστο a=−2, b=−3Και c=−4

Ας γράψουμε την έκφραση αλφάβητοσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών α , βΚαι ντο

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Παράδειγμα 6Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης − αλφάβητοστο a=3, b=5 και c=7

Εκφραση − αλφάβητοείναι η σύντομη φόρμα για −1×a×b×c.Για λόγους σαφήνειας, γράφουμε την έκφραση − αλφάβητοσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών α , βΚαι ντο

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Παράδειγμα 7Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης − αλφάβητοστο a=−2 , b=−4 και c=−3

Ας γράψουμε την έκφραση − αλφάβητοαναπτυγμένος:

−abc = −1 × a × b × c

Αντικαταστήστε την τιμή των μεταβλητών ένα , σιΚαι ντο

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Πώς να προσδιορίσετε τον συντελεστή

Μερικές φορές απαιτείται να λυθεί ένα πρόβλημα στο οποίο απαιτείται να προσδιοριστεί ο συντελεστής μιας παράστασης. Βασικα, δοθείσα εργασίαπολύ απλό. Αρκεί να μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους αριθμούς.

Για να προσδιορίσετε τον συντελεστή σε μια παράσταση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμούς που περιλαμβάνονται σε αυτήν την έκφραση και ξεχωριστά να πολλαπλασιάσετε τα γράμματα. Ο αριθμητικός παράγοντας που προκύπτει θα είναι ο συντελεστής.

Παράδειγμα 1 7m×5a×(−3)×n

Η έκφραση αποτελείται από πολλούς παράγοντες. Αυτό μπορεί να φανεί καθαρά εάν η έκφραση είναι γραμμένη σε διευρυμένη μορφή. Δουλεύει δηλαδή 7μΚαι 5αγράψτε στη φόρμα 7×mΚαι 5×α

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Εφαρμόζουμε τον συνειρμικό νόμο του πολλαπλασιασμού, ο οποίος μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε τους παράγοντες με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, πολλαπλασιάστε χωριστά τους αριθμούς και πολλαπλασιάστε ξεχωριστά τα γράμματα (μεταβλητές):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 άτομα

Ο συντελεστής είναι −105 . Μετά την ολοκλήρωση, το γράμμα είναι κατά προτίμηση ταξινομημένο με αλφαβητική σειρά:

−105 π.μ

Παράδειγμα 2Να προσδιορίσετε τον συντελεστή στην παράσταση: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Ο συντελεστής είναι 6.

Παράδειγμα 3Να προσδιορίσετε τον συντελεστή στην παράσταση:

Ας πολλαπλασιάσουμε χωριστά αριθμούς και γράμματα:

Ο συντελεστής είναι −1. Λάβετε υπόψη ότι η μονάδα δεν καταγράφεται, καθώς ο συντελεστής 1 συνήθως δεν καταγράφεται.

Αυτές οι φαινομενικά απλές εργασίες μπορούν να παίξουν ένα πολύ σκληρό αστείο μαζί μας. Συχνά αποδεικνύεται ότι το πρόσημο του συντελεστή έχει οριστεί εσφαλμένα: είτε παραλείπεται ένα μείον είτε, αντίθετα, τίθεται μάταια. Για να αποφύγετε αυτά τα ενοχλητικά λάθη, πρέπει να μελετηθεί σε καλό επίπεδο.

Όροι σε κυριολεκτικές εκφράσεις

Όταν προσθέτετε πολλούς αριθμούς, λαμβάνετε το άθροισμα αυτών των αριθμών. Οι αριθμοί που αθροίζονται ονομάζονται όροι. Μπορεί να υπάρχουν διάφοροι όροι, για παράδειγμα:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Όταν μια παράσταση αποτελείται από όρους, είναι πολύ πιο εύκολο να την υπολογίσεις, αφού είναι πιο εύκολο να προσθέσεις παρά να αφαιρέσεις. Αλλά η έκφραση μπορεί να περιέχει όχι μόνο πρόσθεση, αλλά και αφαίρεση, για παράδειγμα:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Σε αυτήν την έκφραση, οι αριθμοί 3 και 5 αφαιρούνται, δεν προστίθενται. Όμως τίποτα δεν μας εμποδίζει να αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση. Στη συνέχεια, παίρνουμε πάλι μια έκφραση που αποτελείται από όρους:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Δεν πειράζει που οι αριθμοί -3 και -5 είναι τώρα με αρνητικό πρόσημο. Το κύριο πράγμα είναι ότι όλοι οι αριθμοί σε αυτήν την παράσταση συνδέονται με το πρόσθετο πρόσημο, δηλαδή, η παράσταση είναι ένα άθροισμα.

Και οι δύο εκφράσεις 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Και 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) ισούνται με την ίδια τιμή - μείον ένα

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Έτσι, η αξία της έκφρασης δεν θα υποφέρει από το γεγονός ότι κάπου αντικαθιστούμε την αφαίρεση με την πρόσθεση.

Μπορείτε επίσης να αντικαταστήσετε την αφαίρεση με πρόσθεση σε κυριολεκτικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη έκφραση:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Για οποιεσδήποτε τιμές μεταβλητών Α Β Γ ΔΚαι μικρόεκφράσεις 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Και 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) θα είναι ίση με την ίδια τιμή.

Πρέπει να είστε προετοιμασμένοι για το γεγονός ότι ένας δάσκαλος στο σχολείο ή ένας δάσκαλος σε ένα ινστιτούτο μπορεί να καλέσει όρους ακόμη και εκείνους τους αριθμούς (ή τις μεταβλητές) που δεν είναι αυτοί.

Για παράδειγμα, αν η διαφορά είναι γραμμένη στον πίνακα α-β, τότε ο δάσκαλος δεν θα το πει αυτό έναείναι το minuend, και σι- εκπιπτόμενο. Θα ονομάσει και τις δύο μεταβλητές μια κοινή λέξη - όροι. Και όλα αυτά επειδή η έκφραση της μορφής α-βμαθηματικός βλέπει πώς το άθροισμα a + (−b). Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση γίνεται άθροισμα και οι μεταβλητές έναΚαι (−β)γίνονται εξαρτήματα.

Παρόμοιοι όροι

Παρόμοιοι όροιείναι όροι που έχουν το ίδιο γράμμα. Για παράδειγμα, εξετάστε την έκφραση 7α + 6β + 2α. Οροι 7αΚαι 2αέχουν το ίδιο γράμμα μέρος - μεταβλητή ένα. Οι όροι λοιπόν 7αΚαι 2αείναι παρόμοια.

Συνήθως, παρόμοιοι όροι προστίθενται για να απλοποιήσουν μια έκφραση ή να λύσουν μια εξίσωση. Αυτή η λειτουργία ονομάζεται μείωση παρόμοιων όρων.

Για να φέρετε παρόμοιους όρους, πρέπει να προσθέσετε τους συντελεστές αυτών των όρων και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος.

Για παράδειγμα, δίνουμε παρόμοιους όρους στην έκφραση 3α + 4α + 5α. ΣΕ αυτή η υπόθεση, όλοι οι όροι είναι παρόμοιοι. Προσθέτουμε τους συντελεστές τους και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα - με τη μεταβλητή ένα

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Τέτοιοι όροι συνήθως δίνονται στο μυαλό και το αποτέλεσμα γράφεται αμέσως:

3a + 4a + 5a = 12a

Επίσης, μπορείτε να διαφωνήσετε ως εξής:

Υπήρχαν 3 μεταβλητές a , 4 ακόμη μεταβλητές a και 5 ακόμη μεταβλητές a προστέθηκαν σε αυτές. Ως αποτέλεσμα, πήραμε 12 μεταβλητές α

Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα μείωσης παρόμοιων όρων. Λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτό το θέμα είναι πολύ σημαντικό, αρχικά θα καταγράψουμε κάθε λεπτομέρεια λεπτομερώς. Παρά το γεγονός ότι όλα είναι πολύ απλά εδώ, οι περισσότεροι άνθρωποι κάνουν πολλά λάθη. Κυρίως λόγω απροσεξίας, όχι άγνοιας.

Παράδειγμα 1 3α + 2α + 6α + 8ένα

Προσθέτουμε τους συντελεστές σε αυτήν την έκφραση και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

σχέδιο (3 + 2 + 6 + 8)×αδεν μπορείτε να γράψετε, οπότε θα γράψουμε αμέσως την απάντηση

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Παράδειγμα 2Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 2α+α

Δεύτερη περίοδος έναγράφεται χωρίς συντελεστή, αλλά στην πραγματικότητα προηγείται συντελεστής 1 , το οποίο δεν βλέπουμε λόγω του ότι δεν καταγράφεται. Έτσι η έκφραση μοιάζει με αυτό:

2α + 1α

Τώρα παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή προσθέτουμε τους συντελεστές και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:

2α + α = 3α

2α+α, μπορείτε να διαφωνήσετε με άλλο τρόπο:

Παράδειγμα 3Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 2α - α

Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση:

2a + (−a)

Δεύτερη περίοδος (−a)γραμμένο χωρίς συντελεστή, αλλά στην πραγματικότητα μοιάζει (−1a).Συντελεστής −1 πάλι αόρατο λόγω του ότι δεν καταγράφεται. Έτσι η έκφραση μοιάζει με αυτό:

2a + (−1a)

Τώρα παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους. Προσθέτουμε τους συντελεστές και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Συνήθως γράφεται πιο σύντομα:

2a − a = a

Φέρνοντας παρόμοιους όρους στην έκφραση 2a−aΜπορείτε επίσης να διαφωνήσετε με άλλο τρόπο:

Υπήρχαν 2 μεταβλητές a , αφαιρέθηκε μία μεταβλητή a , ως αποτέλεσμα υπήρχε μόνο μία μεταβλητή a

Παράδειγμα 4Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 6α - 3α + 4α - 8α

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Τώρα παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους. Προσθέτουμε τους συντελεστές και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Υπάρχουν εκφράσεις που περιέχουν αρκετές διάφορες ομάδεςπαρόμοιους όρους. Για παράδειγμα, 3α + 3β + 7α + 2β. Για τέτοιες εκφράσεις, ισχύουν οι ίδιοι κανόνες όπως και για τις υπόλοιπες, δηλαδή η πρόσθεση των συντελεστών και ο πολλαπλασιασμός του αποτελέσματος με το μέρος του κοινού γράμματος. Αλλά για να αποφύγετε λάθη, είναι βολικό διαφορετικές ομάδεςυπογραμμίστε τους όρους με διαφορετικές γραμμές.

Για παράδειγμα, στην έκφραση 3α + 3β + 7α + 2βτους όρους που περιέχουν μια μεταβλητή ένα, μπορούν να υπογραμμιστούν με μία γραμμή και οι όροι που περιέχουν μια μεταβλητή σι, μπορεί να υπογραμμιστεί με δύο γραμμές:

Τώρα μπορούμε να φέρουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή, προσθέστε τους συντελεστές και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος. Αυτό πρέπει να γίνει και για τις δύο ομάδες όρων: για όρους που περιέχουν μια μεταβλητή ένακαι για όρους που περιέχουν τη μεταβλητή σι.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Και πάλι, επαναλαμβάνουμε, η έκφραση είναι απλή και παρόμοιοι όροι μπορούν να δοθούν στο μυαλό:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Παράδειγμα 5Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 5α - 6α - 7β + β

Αντικαθιστούμε την αφαίρεση με πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Υπογραμμίστε τους ομοίους όρους με διαφορετικές γραμμές. Όροι που περιέχουν μεταβλητές έναυπογραμμίστε με μία γραμμή και οι όροι περιεχόμενο είναι μεταβλητές σι, υπογραμμισμένο με δύο γραμμές:

Τώρα μπορούμε να φέρουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή, προσθέστε τους συντελεστές και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Εάν η παράσταση περιέχει συνηθισμένους αριθμούς χωρίς αλφαβητικούς παράγοντες, τότε προστίθενται χωριστά.

Παράδειγμα 6Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους. Αριθμοί −5 Και 7 δεν έχουν κυριολεκτικούς παράγοντες, αλλά είναι παρόμοιοι όροι - απλά πρέπει να τους αθροίσετε. Και ο όρος 2βθα παραμείνει αμετάβλητο, αφού είναι το μόνο σε αυτή την έκφραση που έχει παράγοντα γράμμα σι,και δεν υπάρχει τίποτα να το προσθέσω με:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Οι όροι μπορούν να παραγγελθούν έτσι ώστε οι όροι που έχουν το ίδιο γράμμα να βρίσκονται στο ίδιο μέρος της έκφρασης.

Παράδειγμα 7Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 5t+2x+3x+5t+x

Δεδομένου ότι η έκφραση είναι το άθροισμα πολλών όρων, αυτό μας επιτρέπει να την αξιολογήσουμε με οποιαδήποτε σειρά. Επομένως, οι όροι που περιέχουν τη μεταβλητή t, μπορούν να γραφούν στην αρχή της έκφρασης και οι όροι που περιέχουν τη μεταβλητή Χστο τέλος της έκφρασης:

5t+5t+2x+3x+x

Τώρα μπορούμε να προσθέσουμε παρόμοιους όρους:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Το άθροισμα των αντίθετων αριθμών είναι μηδέν. Αυτός ο κανόνας λειτουργεί επίσης για κυριολεκτικές εκφράσεις. Εάν η έκφραση περιέχει τους ίδιους όρους, αλλά με αντίθετα σημάδια, τότε μπορείτε να απαλλαγείτε από αυτούς στο στάδιο της μείωσης παρόμοιων όρων. Με άλλα λόγια, απλώς αφαιρέστε τα από την έκφραση γιατί το άθροισμά τους είναι μηδέν.

Παράδειγμα 8Φέρτε παρόμοιους όρους στην έκφραση 3t − 4t − 3t + 2t

Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Οροι 3tΚαι (−3t)είναι απέναντι. Το άθροισμα των αντίθετων όρων είναι ίσο με μηδέν. Εάν αφαιρέσουμε αυτό το μηδέν από την παράσταση, τότε η τιμή της παράστασης δεν θα αλλάξει, οπότε θα την αφαιρέσουμε. Και θα το αφαιρέσουμε με τη συνήθη διαγραφή των όρων 3tΚαι (−3t)

Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε την έκφραση (−4t) + 2t. Σε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε όρους όπως και να λάβετε την τελική απάντηση:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:

Απλοποίηση έκφρασης

"απλοποιήστε την έκφραση" και η παρακάτω είναι η έκφραση που πρέπει να απλοποιηθεί. Απλοποίηση έκφρασηςσημαίνει να το κάνουμε πιο απλό και συντομότερο.

Στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη ασχοληθεί με την απλοποίηση των εκφράσεων κατά τη μείωση των κλασμάτων. Μετά τη μείωση, το κλάσμα έγινε πιο σύντομο και ευανάγνωστο.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.

Αυτή η εργασία μπορεί να κατανοηθεί κυριολεκτικά ως εξής: «Κάνε ό,τι μπορείς με αυτή την έκφραση, αλλά κάνε την πιο απλή» .

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα, δηλαδή να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με 2:

Τι άλλο μπορεί να γίνει; Μπορείτε να υπολογίσετε το κλάσμα που προκύπτει. Τότε παίρνουμε το δεκαδικό 0,5

Ως αποτέλεσμα, το κλάσμα απλοποιήθηκε στο 0,5.

Η πρώτη ερώτηση που πρέπει να κάνετε στον εαυτό σας όταν επιλύετε τέτοια προβλήματα πρέπει να είναι "τί μπορεί να γίνει?" . Γιατί υπάρχουν πράγματα που μπορείς να κάνεις και υπάρχουν πράγματα που δεν μπορείς να κάνεις.

Αλλο σημαντικό σημείοΑυτό που πρέπει να έχετε κατά νου είναι ότι η τιμή μιας έκφρασης δεν πρέπει να αλλάξει μετά την απλοποίηση της έκφρασης. Ας επιστρέψουμε στην έκφραση. Αυτή η έκφραση είναι μια διαίρεση που μπορεί να εκτελεστεί. Έχοντας εκτελέσει αυτή τη διαίρεση, παίρνουμε την τιμή αυτής της έκφρασης, η οποία είναι ίση με 0,5

Αλλά απλοποιήσαμε την έκφραση και πήραμε μια νέα απλοποιημένη έκφραση. Η τιμή της νέας απλοποιημένης έκφρασης εξακολουθεί να είναι 0,5

Αλλά προσπαθήσαμε επίσης να απλοποιήσουμε την έκφραση υπολογίζοντάς την. Ως αποτέλεσμα, η τελική απάντηση ήταν 0,5.

Έτσι, ανεξάρτητα από το πόσο απλοποιούμε την έκφραση, η τιμή των παραστάσεων που προκύπτουν είναι 0,5. Αυτό σημαίνει ότι η απλοποίηση πραγματοποιήθηκε σωστά σε κάθε στάδιο. Αυτό είναι που πρέπει να επιδιώξουμε κατά την απλοποίηση των εκφράσεων - το νόημα της έκφρασης δεν πρέπει να υποφέρει από τις πράξεις μας.

Συχνά είναι απαραίτητο να απλοποιηθούν οι κυριολεκτικές εκφράσεις. Για αυτούς, ισχύουν οι ίδιοι κανόνες απλοποίησης όπως και για τις αριθμητικές εκφράσεις. Μπορείτε να εκτελέσετε οποιαδήποτε έγκυρη ενέργεια, αρκεί να μην αλλάξει η τιμή της έκφρασης.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1Απλοποίηση έκφρασης 5,21 × t × 2,5

Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς χωριστά και να πολλαπλασιάσετε τα γράμματα χωριστά. Αυτή η εργασία είναι πολύ παρόμοια με αυτήν που εξετάσαμε όταν μάθαμε να προσδιορίζουμε τον συντελεστή:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Η έκφραση λοιπόν 5,21 × t × 2,5απλοποιημένη σε 13.025η.

Παράδειγμα 2Απλοποίηση έκφρασης −0,4×(−6,3b)×2

Δεύτερη εργασία (−6,3b)μπορεί να μεταφραστεί σε μια μορφή κατανοητή σε εμάς, δηλαδή, γραμμένη με τη μορφή ( −6.3)×b ,στη συνέχεια πολλαπλασιάστε χωριστά τους αριθμούς και χωριστά πολλαπλασιάστε τα γράμματα:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Η έκφραση λοιπόν −0,4×(−6,3b)×2 απλοποιημένη σε 5.04β

Παράδειγμα 3Απλοποίηση έκφρασης

Ας γράψουμε αυτή την έκφραση με περισσότερες λεπτομέρειες για να δούμε ξεκάθαρα πού είναι οι αριθμοί και πού τα γράμματα:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς χωριστά και πολλαπλασιάζουμε τα γράμματα χωριστά:

Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε −abc.Αυτή η λύση μπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:

Κατά την απλοποίηση των εκφράσεων, τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν κατά τη διαδικασία της επίλυσης, και όχι στο τέλος, όπως κάναμε με τα συνηθισμένα κλάσματα. Για παράδειγμα, εάν κατά τη διάρκεια της επίλυσης συναντήσουμε μια έκφραση της μορφής , τότε δεν είναι καθόλου απαραίτητο να υπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και να κάνουμε κάτι σαν αυτό:

Ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί επιλέγοντας τόσο τον παράγοντα στον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή και μειώνοντας αυτούς τους παράγοντες με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους. Με άλλα λόγια, η χρήση , στην οποία δεν περιγράφουμε λεπτομερώς σε τι χωρίστηκαν ο αριθμητής και ο παρονομαστής.

Για παράδειγμα, στον αριθμητή, τον παράγοντα 12 και στον παρονομαστή, ο παράγοντας 4 μπορεί να μειωθεί κατά 4. Έχουμε υπόψη μας τα τέσσερα και διαιρώντας το 12 και το 4 με αυτό το τέσσερα, γράφουμε τις απαντήσεις δίπλα σε αυτούς τους αριθμούς, έχοντας τα διέγραψε προηγουμένως

Τώρα μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους μικρούς παράγοντες που προκύπτουν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι πολλά από αυτά και μπορείτε να τα πολλαπλασιάσετε στο μυαλό σας:

Με την πάροδο του χρόνου, μπορεί να διαπιστώσετε ότι κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, οι εκφράσεις αρχίζουν να "παχαίνουν", επομένως είναι σκόπιμο να συνηθίσετε σε γρήγορους υπολογισμούς. Ό,τι μπορεί να υπολογιστεί στο μυαλό πρέπει να υπολογίζεται στο μυαλό. Ό,τι μπορεί να κοπεί γρήγορα πρέπει να κοπεί γρήγορα.

Παράδειγμα 4Απλοποίηση έκφρασης

Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε

Παράδειγμα 5Απλοποίηση έκφρασης

Πολλαπλασιάζουμε χωριστά αριθμούς και χωριστά γράμματα:

Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε μν.

Παράδειγμα 6Απλοποίηση έκφρασης

Ας γράψουμε αυτή την έκφραση με περισσότερες λεπτομέρειες για να δούμε ξεκάθαρα πού είναι οι αριθμοί και πού τα γράμματα:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς χωριστά και τα γράμματα χωριστά. Για ευκολία στους υπολογισμούς, το δεκαδικό κλάσμα −6,4 και ο μεικτός αριθμός μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα:

Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε

Η λύση για αυτό το παράδειγμα μπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομη. Θα μοιάζει με αυτό:

Παράδειγμα 7Απλοποίηση έκφρασης

Πολλαπλασιάζουμε χωριστά αριθμούς και χωριστά γράμματα. Για ευκολία υπολογισμού, ο μικτός αριθμός και δεκαδικάΤα 0,1 και 0,6 μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα:

Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε Α Β Γ Δ. Αν παραλείψετε τις λεπτομέρειες, τότε αυτή την απόφασημπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομα:

Παρατηρήστε πώς το κλάσμα έχει μειωθεί. Οι νέοι πολλαπλασιαστές, οι οποίοι προκύπτουν με τη μείωση των προηγούμενων πολλαπλασιαστών, μπορούν επίσης να μειωθούν.

Τώρα ας μιλήσουμε για το τι δεν πρέπει να κάνουμε. Κατά την απλοποίηση παραστάσεων, απαγορεύεται αυστηρά ο πολλαπλασιασμός αριθμών και γραμμάτων εάν η παράσταση είναι άθροισμα και όχι γινόμενο.

Για παράδειγμα, εάν θέλετε να απλοποιήσετε την έκφραση 5α + 4β, τότε δεν μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι αν μας ζητούσαν να προσθέσουμε δύο αριθμούς και θα τους πολλαπλασιάζαμε αντί να τους προσθέσουμε.

Κατά την αντικατάσταση οποιωνδήποτε τιμών μεταβλητών έναΚαι σιέκφραση 5α+4βμετατρέπεται σε απλή αριθμητική έκφραση. Ας υποθέσουμε τις μεταβλητές έναΚαι σιέχουν τις ακόλουθες έννοιες:

a = 2, b = 3

Τότε η τιμή της έκφρασης θα είναι 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Αρχικά, εκτελείται ο πολλαπλασιασμός και στη συνέχεια προστίθενται τα αποτελέσματα. Και αν προσπαθούσαμε να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση πολλαπλασιάζοντας αριθμούς και γράμματα, θα παίρναμε τα εξής:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Αποδεικνύεται μια εντελώς διαφορετική έννοια της έκφρασης. Στην πρώτη περίπτωση αποδείχθηκε 22 , στη δεύτερη περίπτωση 120 . Αυτό σημαίνει ότι η απλοποίηση της έκφρασης 5α + 4βεκτελέστηκε λανθασμένα.

Μετά την απλοποίηση της έκφρασης, η τιμή της δεν πρέπει να αλλάξει με τις ίδιες τιμές των μεταβλητών. Εάν, κατά την αντικατάσταση οποιωνδήποτε μεταβλητών τιμών στην αρχική έκφραση, προκύπτει μία τιμή, τότε μετά την απλοποίηση της έκφρασης, θα πρέπει να ληφθεί η ίδια τιμή όπως πριν από την απλοποίηση.

Με έκφραση 5α + 4βστην πραγματικότητα δεν μπορεί να γίνει τίποτα. Δεν γίνεται πιο εύκολο.

Εάν η έκφραση περιέχει παρόμοιους όρους, τότε μπορούν να προστεθούν εάν στόχος μας είναι να απλοποιήσουμε την έκφραση.

Παράδειγμα 8Απλοποίηση έκφρασης 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ή μικρότερη: 0,3α - 0,4α + α = 0,9α

Η έκφραση λοιπόν 0,3a−0,4a+aαπλοποιημένη σε 0,9α

Παράδειγμα 9Απλοποίηση έκφρασης −7,5a − 2,5b + 4a

Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ή μικρότερη −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

όρος (−2,5b)παρέμεινε αμετάβλητο, αφού δεν υπήρχε τίποτα να το διπλώσει.

Παράδειγμα 10Απλοποίηση έκφρασης

Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους:

Ο συντελεστής ήταν για την ευκολία του υπολογισμού.

Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε

Παράδειγμα 11.Απλοποίηση έκφρασης

Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους:

Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένο σε .

Σε αυτό το παράδειγμα, θα ήταν πιο λογικό να προσθέσουμε πρώτα τον πρώτο και τον τελευταίο συντελεστή. Σε αυτή την περίπτωση, θα είχαμε μια σύντομη λύση. Θα μοιάζει με αυτό:

Παράδειγμα 12.Απλοποίηση έκφρασης

Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους:

Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε .

Ο όρος παρέμεινε αμετάβλητος, αφού δεν υπήρχε τίποτα να τον προσθέσω.

Αυτή η λύση μπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομα. Θα μοιάζει με αυτό:

Η σύντομη λύση παραλείπει τα βήματα αντικατάστασης της αφαίρεσης με πρόσθεση και μια λεπτομερή καταγραφή του τρόπου με τον οποίο τα κλάσματα ανήχθησαν σε έναν κοινό παρονομαστή.

Μια άλλη διαφορά είναι ότι σε αναλυτική απόφασηη απάντηση μοιάζει , αλλά εν συντομία ως . Στην πραγματικότητα, είναι η ίδια έκφραση. Η διαφορά είναι ότι στην πρώτη περίπτωση, η αφαίρεση αντικαθίσταται από την πρόσθεση, γιατί στην αρχή, όταν καταγράψαμε τη λύση σε λεπτομερή μορφή, αντικαταστήσαμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου ήταν δυνατόν, και αυτή η αντικατάσταση διατηρήθηκε για την απάντηση.

Ταυτότητες. Πανομοιότυπες ίσες εκφράσεις

Αφού έχουμε απλοποιήσει οποιαδήποτε έκφραση, γίνεται πιο απλή και πιο σύντομη. Για να ελέγξετε εάν μια έκφραση απλοποιείται σωστά, αρκεί να αντικαταστήσετε τυχόν τιμές των μεταβλητών πρώτα στην προηγούμενη έκφραση, η οποία επρόκειτο να απλοποιηθεί, και στη συνέχεια στη νέα, η οποία απλοποιήθηκε. Εάν η τιμή και στις δύο παραστάσεις είναι η ίδια, τότε η έκφραση απλοποιείται σωστά.

Ας εξετάσουμε το απλούστερο παράδειγμα. Αφήστε να απαιτείται η απλοποίηση της έκφρασης 2a × 7b. Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ξεχωριστά τους αριθμούς και τα γράμματα:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Ας ελέγξουμε αν απλοποιήσαμε σωστά την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τυχόν τιμές των μεταβλητών έναΚαι σιπρώτα στην πρώτη έκφραση, που έπρεπε να απλοποιηθεί, και μετά στη δεύτερη, που απλοποιήθηκε.

Αφήστε τις τιμές των μεταβλητών ένα , σιθα είναι ως εξής:

a = 4, b = 5

Αντικαταστήστε τα στην πρώτη έκφραση 2a × 7b

Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις ίδιες τιμές των μεταβλητών στην έκφραση που προέκυψε από την απλοποίηση 2a×7b, δηλαδή στην έκφραση 14αβ

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Το βλέπουμε στο a=4Και b=5την αξία της πρώτης έκφρασης 2a×7bκαι την τιμή της δεύτερης έκφρασης 14αβίσος

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Το ίδιο θα συμβεί και για οποιεσδήποτε άλλες τιμές. Για παράδειγμα, ας a=1Και b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Έτσι, για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών, οι εκφράσεις 2a×7bΚαι 14αβισούνται με την ίδια τιμή. Τέτοιες εκφράσεις λέγονται πανομοιότυπα ίσα.

Συμπεραίνουμε ότι ανάμεσα στις εκφράσεις 2a×7bΚαι 14αβμπορείτε να βάλετε ένα σύμβολο ίσου, αφού είναι ίσα με την ίδια τιμή.

2a × 7b = 14ab

Ισότητα είναι κάθε έκφραση που ενώνεται με σύμβολο ίσου (=).

Και η ισότητα της μορφής 2a×7b = 14abπου ονομάζεται Ταυτότητα.

Μια ταυτότητα είναι μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών.

Άλλα παραδείγματα ταυτοτήτων:

α + β = β + α

a(b+c) = ab + ac

α(βγ) = (αβ)γ

Ναι, οι νόμοι των μαθηματικών που μελετήσαμε είναι ταυτότητες.

Οι αληθινές αριθμητικές ισότητες είναι επίσης ταυτότητες. Για παράδειγμα:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Αποφασίζοντας δύσκολη εργασία, για να διευκολυνθεί ο υπολογισμός, η σύνθετη παράσταση αντικαθίσταται από μια απλούστερη έκφραση που είναι πανομοιότυπα ίση με την προηγούμενη. Μια τέτοια αντικατάσταση ονομάζεται ταυτόσημος μετασχηματισμός της έκφρασηςή απλά μετατροπή έκφρασης.

Για παράδειγμα, απλοποιήσαμε την έκφραση 2a × 7b, και αποκτήστε μια πιο απλή έκφραση 14αβ. Αυτή η απλοποίηση μπορεί να ονομαστεί μετασχηματισμός ταυτότητας.

Μπορείτε συχνά να βρείτε μια εργασία που λέει «Αποδείξει ότι η ισότητα είναι ταυτότητα» και τότε δίνεται η ισότητα που θα αποδειχθεί. Συνήθως αυτή η ισότητα αποτελείται από δύο μέρη: το αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας. Το καθήκον μας είναι να εκτελέσουμε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς με ένα από τα μέρη της ισότητας και να πάρουμε το άλλο μέρος. Ή εκτελέστε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς και με τα δύο μέρη της ισότητας και βεβαιωθείτε ότι και τα δύο μέρη της ισότητας περιέχουν τις ίδιες εκφράσεις.

Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε ότι η ισότητα 0,5a × 5b = 2,5abείναι ταυτότητα.

Απλοποιήστε την αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς και τα γράμματα χωριστά:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Ως αποτέλεσμα ενός μικρού πανομοιότυπου μετασχηματισμού, αριστερή πλευράη ισότητα έγινε ίση με τη δεξιά πλευρά της ισότητας. Έτσι έχουμε αποδείξει ότι η ισότητα 0,5a × 5b = 2,5abείναι ταυτότητα.

Από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, μάθαμε να προσθέτουμε, να αφαιρούμε, να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε αριθμούς, να μειώνουμε κλάσματα, να φέρνουμε παρόμοιους όρους και επίσης να απλοποιούμε ορισμένες εκφράσεις.

Αλλά αυτοί απέχουν πολύ από όλους τους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς που υπάρχουν στα μαθηματικά. Υπάρχουν πολλοί ακόμη ίδιοι μετασχηματισμοί. Θα το δούμε ξανά και ξανά στο μέλλον.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα