Αντίγραφο

1 I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά Συστήματα MathUs.ru τριγωνομετρικές εξισώσειςΣε αυτό το άρθρο εξετάζουμε τριγωνομετρικά συστήματα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Μέθοδοι επίλυσης τέτοιων συστημάτων και διάφορα ειδικές κινήσειςθα μελετήσουμε αμέσως συγκεκριμένα παραδείγματα. Μπορεί μια από τις εξισώσεις του συστήματος να περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις των αγνώστων x και y, ενώ η άλλη εξίσωση είναι γραμμική στα x και y. Σε αυτή την περίπτωση, ενεργούμε με τον προφανή τρόπο: εκφράζουμε έναν από τους αγνώστους από μια γραμμική εξίσωση και τον αντικαθιστούμε με μια άλλη εξίσωση του συστήματος. Πρόβλημα 1. Λύστε το σύστημα: x + y =, sin x + sin y = 1. Λύση. Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το y έως το x: και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Το αποτέλεσμα είναι η απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση για το x. Γράφουμε τις λύσεις του με τη μορφή δύο σειρών: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Απομένει να βρούμε τις αντίστοιχες τιμές του y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Όπως πάντα με ένα σύστημα εξισώσεων, η απάντηση δίνεται ως λίστα ζευγών x. y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Σημειώστε ότι το x και το y σχετίζονται μεταξύ τους μέσω της ακέραιας παραμέτρου n. Δηλαδή, εάν το +n εμφανίζεται στην παράσταση για το x, τότε το n εμφανίζεται αυτόματα στην παράσταση για το y και με το ίδιο n. Αυτό είναι συνέπεια της «σκληρής» σχέσης μεταξύ x και y, που δίνεται από την εξίσωση x + y =. Εργο. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, x y =. Λύση. Εδώ έχει νόημα να μετασχηματίσουμε πρώτα την πρώτη εξίσωση του συστήματος: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Έτσι, το σύστημά μας είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο σύστημα: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Αντικαταστήστε το x y = στην πρώτη εξίσωση: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στο σύστημα: x + y = n, x y =. Προσθέτουμε αυτές τις εξισώσεις, διαιρούμε με και βρίσκουμε το x. αφαιρέστε το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση, διαιρέστε με και βρείτε το y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Σε ορισμένες περιπτώσεις τριγωνομετρικό σύστημαμπορεί να αναχθεί σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με μια κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών. Εργο. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Λύση. Η αντικατάσταση u = sin x, v = cos y οδηγεί σε ένα αλγεβρικό σύστημα για το u και v: u + v = 1, u v = 1. Μπορείτε εύκολα να λύσετε αυτό το σύστημα μόνοι σας. Η λύση είναι μοναδική: u = 1, v = 0. Η αντίστροφη αντικατάσταση οδηγεί σε δύο απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις: sin x = 1, cos y = 0, από όπου + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Τώρα η εγγραφή απόκρισης περιέχει δύο ακέραιες παραμέτρους k και n. Η διαφορά από τα προηγούμενα προβλήματα είναι ότι σε αυτό το σύστημα δεν υπάρχει «σκληρή» σύνδεση μεταξύ του x και του y, για παράδειγμα, με τη μορφή γραμμικής εξίσωσης), επομένως τα x και y είναι πολύ πιο ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.

3 V σε αυτήν την περίπτωσηΘα ήταν λάθος να χρησιμοποιήσετε μόνο μία ακέραια παράμετρο n, γράφοντας την απάντηση ως + n;) + n. Αυτό θα οδηγούσε στην απώλεια ενός άπειρου αριθμού 5 λύσεων στο σύστημα. Για παράδειγμα, η λύση θα χαθεί ;) που προκύπτει στο k = 1 και n = 0. Πρόβλημα 4. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Λύση. Πρώτα μετασχηματίζουμε τη δεύτερη εξίσωση: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Τώρα κάνουμε την αντικατάσταση: u = sin x, v = sin y. Παίρνουμε το σύστημα: u + v = 1, u + 4v = 1. Οι λύσεις σε αυτό το σύστημα είναι δύο ζεύγη: u 1 = 0, v 1 = 1/ και u = /, v = 1/6. Το μόνο που μένει είναι να κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση: sin x = 0, sin x = sin y = 1 ή, sin y = 1 6, και να γράψουμε την απάντηση. κ; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Πρόβλημα 5. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Λύση. Εδώ, για να αποκτήσετε ένα αλγεβρικό σύστημα, πρέπει να εργαστείτε ακόμη περισσότερο. Γράφουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματός μας με τη μορφή: Στη δεύτερη εξίσωση έχουμε: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Έτσι, η αρχική το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Κάνουμε την αντικατάσταση u = cos x y, v = cos x + y και παίρνουμε ένα αλγεβρικό σύστημα: uv = 1, u v = 4. Οι λύσεις σε αυτό το σύστημα είναι δύο ζεύγη: u 1 = 1, v 1 = 1/ και u = 1, v = 1/. Το πρώτο ζεύγος δίνει το σύστημα: x y = 1, = k, Επομένως cos x y cos x + y Το δεύτερο ζεύγος δίνει το σύστημα: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Επομένως x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Ωστόσο, δεν είναι πάντα δυνατό να ανάγεται ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεων σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν διάφορες ειδικές τεχνικές. Μερικές φορές είναι δυνατό να απλοποιήσουμε ένα σύστημα προσθέτοντας ή αφαιρώντας εξισώσεις. Πρόβλημα 6. Λύστε το σύστημα: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Λύση. Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις εξισώσεις, προκύπτει ένα ισοδύναμο σύστημα: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. Και αυτό το σύστημα, με τη σειρά του, είναι ισοδύναμο με τον συνδυασμό δύο συστημάτων: x + y = + k, x + y = x y = + k, ή 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Επομένως x = + k + n), x = + k + n), y = ή + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Μερικές φορές μπορείτε να καταλήξετε σε μια λύση πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις μεταξύ τους. Πρόβλημα 7. Λύστε το σύστημα: tg x = sin y, ctg x = cos y. Λύση. Ας θυμηθούμε ότι ο πολλαπλασιασμός των εξισώσεων ενός συστήματος μεταξύ τους σημαίνει τη σύνταξη μιας εξίσωσης της μορφής «το γινόμενο των αριστερών πλευρών είναι ίσο με το γινόμενο των δεξιών πλευρών». Η προκύπτουσα εξίσωση θα είναι συνέπεια του αρχικού συστήματος, δηλαδή, όλες οι λύσεις του αρχικού συστήματος ικανοποιούν την εξίσωση που προκύπτει). Στην περίπτωση αυτή, ο πολλαπλασιασμός των εξισώσεων του συστήματος οδηγεί στην εξίσωση: 1 = sin y cos y = sin y, από όπου y = /4 + n n Z). Δεν είναι βολικό να αντικαταστήσετε το y σε αυτή τη μορφή στο σύστημα· είναι καλύτερα να το χωρίσετε σε δύο σειρές: y 1 = 4 + n. Αντικαταστήστε το y 1 στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Είναι εύκολο να δούμε ότι η αντικατάσταση του y 1 στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος θα οδηγήσει στο ίδιο αποτέλεσμα. Τώρα αντικαθιστούμε το y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Μερικές φορές η διαίρεση των εξισώσεων μεταξύ τους οδηγεί στο αποτέλεσμα. Πρόβλημα 8. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Λύση. Ας μετασχηματίσουμε: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Ας εισάγουμε προσωρινά τον ακόλουθο συμβολισμό: α = x + y, β = x y. Στη συνέχεια το προκύπτον σύστημα θα ξαναγραφεί με τη μορφή: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Είναι σαφές ότι cos β 0. Στη συνέχεια, διαιρώντας τη δεύτερη εξίσωση με την πρώτη, καταλήγουμε στην εξίσωση tg α =, η οποία είναι συνέπεια του συστήματος. Έχουμε: α = + n n Z), και πάλι, με σκοπό την περαιτέρω αντικατάσταση στο σύστημα), είναι βολικό για εμάς να διαιρέσουμε το προκύπτον σύνολο σε δύο σειρές: α 1 = + n, α = 4 + n. Η αντικατάσταση του α 1 σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος οδηγεί στην εξίσωση: cos β = 1 β 1 = k k Z). Ομοίως, αντικαθιστώντας το α σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος προκύπτει η εξίσωση: cos β = 1 β = + k k Z). Άρα, έχουμε: δηλαδή όπου α 1 = + n, β 1 = k ή α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y ή + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = ή + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Πρόβλημα 9. Λύστε το σύστημα: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Λύση. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές κάθε εξίσωσης: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Ας προσθέσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, από όπου sin y = 0 και y = n n Z). Αυτό είναι συνέπεια του αρχικού συστήματος. δηλαδή για οποιοδήποτε ζεύγος x? y), που είναι μια λύση στο σύστημα, ο δεύτερος αριθμός αυτού του ζεύγους θα έχει τη μορφή n με κάποιο ακέραιο n. Χωρίζουμε το y σε δύο σειρές: y 1 = n, y = + n. Αντικαθιστούμε το y 1 στο αρχικό σύστημα: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι η σειρά sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Σημειώστε ότι τώρα δεν θα ήταν αρκετό να αντικαταστήσετε το y 1 σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος. Η αντικατάσταση του y 1 στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση του συστήματος οδηγεί σε ένα σύστημα δύο διαφορετικών εξισώσεων για το x.) Ομοίως, αντικαθιστούμε το y στο αρχικό σύστημα: Επομένως sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z ))) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Μερικές φορές, κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, είναι δυνατό να αποκτήσουμε μια απλή σχέση μεταξύ αγνώστων και να εκφράσουμε από αυτή τη σχέση ένα άγνωστο ως προς το άλλο. Πρόβλημα 10. Λύστε το σύστημα: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Λύση. Στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος μετασχηματίζουμε διπλό προϊόνημίτονο στη διαφορά των συνημιτόνων: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Από εδώ εκφράζουμε το y ως x: y = x + n, 7

8 και αντικαταστήστε στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Το υπόλοιπο είναι ασήμαντο. Παίρνουμε: cos x = 1, από όπου x = ± Απομένει να βρούμε το y από τη σχέση που λήφθηκε παραπάνω: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Φυσικά, τα εξεταζόμενα προβλήματα δεν καλύπτουν όλη την ποικιλία συστημάτων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Σε κάθε κάπως δύσκολη κατάσταση, είναι απαραίτητο να δείξουμε εφευρετικότητα, η οποία αναπτύσσεται μόνο με την πρακτική στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Όλες οι απαντήσεις υποθέτουν ότι k, n Z. Προβλήματα 1. Λύστε το σύστημα: x + y =, cos x cos y = 1. β) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n) ; β) n; ιδ). Λύστε το σύστημα: x + y = 4, tg x tan y = 1 β) 6. x y = 5, sin x = sin y. Αρκτάνη 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; β) + n; 6 + n). Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, x y = 4 β). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n) ; β) 6 + n; 6 ιδ) 8

9 4. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. β) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; β) 1) k 4 + k; + n) 5. Λύστε το σύστημα: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = β) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; ιδ) ; β) Αρκτάνη 5 + k; Αρκτάνη 1 + n), Αρκτάνη 1 + Κ; arctan 5 + n) 6. Λύστε το σύστημα: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. β) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n) ; β) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Λύστε το σύστημα: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = β) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; β) ± + k + n); ± + k n)) 9. Λύστε το σύστημα: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. β) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; β)) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Λύστε το σύστημα: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + ν) 11. Λύστε το σύστημα:) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. κ; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Λύστε το σύστημα: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Λύστε το σύστημα: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Λύστε το σύστημα: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Λύστε το σύστημα: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Λύστε το σύστημα: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. β) κούνια x + sin y = αμαρτία x, αμαρτία x sinx + y) = cos y. κ; n); β)) 4 + k ; n, + k; + ν) 10

11 17. “Fiztekh”, 010) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, αντίγραφο. για ξένους gr-n, 01) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Βρείτε όλες τις λύσεις στο σύστημα εξισώσεων sin x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, όπου xn = 8 + n ± ιδ) 6 , n Z, n, 1, 0, 1 0. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, γεωγραφικό. f-t, 005) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, Σχολή του Κράτους. έλεγχος, 005) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x αμαρτία y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12 . MIPT, 199) Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctan 4 + n, arccos 4 + k) ; + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. MIPT, 1997) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + κ) ; k, n Z 1

I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Προβλήματα ελάχιστης τριγωνομετρίας Αυτό το φύλλο εξετάζει εξισώσεις για τη λύση των οποίων χρησιμοποιούνται εκτιμήσεις της δεξιάς και της αριστερής πλευράς. Να γίνω

I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Τριγωνομετρικές εξισώσεις με μέτρο Αυτό το φύλλο είναι αφιερωμένο σε τριγωνομετρικές εξισώσεις στις οποίες περιέχονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις άγνωστης ποσότητας

Πρακτική δουλειά: Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων διάφοροι τύποιΠρογραμματιστής: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko Σκοπός εργασίας: 1) Επανάληψη τριγωνομετρικούς τύπουςδιπλό επιχείρημα, τύποι προσθήκης,

I V Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUsru Τριγωνομετρικές ανισώσεις Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης μπορεί να λύσει τις απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις. Προχωράμε σε περισσότερα σύνθετες εργασίεςΕργο

I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοί και υπολογισμοί Προβλήματα που σχετίζονται με τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοίκαι οι υπολογισμοί, κατά κανόνα, δεν είναι περίπλοκοι και επομένως σπάνια

Περιεχόμενα I V Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUsru Παράλογες εξισώσειςκαι συστήματα 1 Λογιστική για ODZ 1 Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί 3 Αντικατάσταση μεταβλητής 6 4 Πολλαπλασιασμός με το συζυγές 7 5 Συστήματα εξισώσεων

I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις Αρχίζουμε να μελετάμε τις τριγωνομετρικές εξισώσεις κεντρικό θέμαολόκληρο το τριγωνομετρικό τμήμα. Αφήστε ένα

Εκπαιδευτικός Οργανισμός της Διοίκησης της Επικράτειας του Κρασνογιάρσκ Κρασνογιάρσκ Κρατικό ΠανεπιστήμιοΣχολή φυσικών επιστημών με αλληλογραφία στο Krasnoyarsk State University Μαθηματικά: Ενότητα για την τάξη 0 Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό μέρος / Σύνθεση:

Αμετάβλητο και προβλήματα με τις παραμέτρους G.I Falin, A.I. Κρατικό Πανεπιστήμιο Falin Moscow με το όνομα M.V. Lomonosov http://mech.math.msu.su/ falin 1 Εισαγωγή στα σύγχρονα μαθηματικά σημαντικός ρόλοςπαίζει την έννοια της αμετάβλητης, δηλ. αμετάβλητο

I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MthUs.ru Μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση fx) ονομάζεται περιοδική εάν υπάρχει ένας αριθμός T 0 τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού

Θέμα 14ο «Αλγεβρικές εξισώσεις και συστήματα Δεν γραμμικές εξισώσεις» Ένα πολυώνυμο βαθμού n είναι ένα πολυώνυμο της μορφής P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, όπου a 0, a 1, a n-1, a n δίνονται αριθμοί , ένα 0,

I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Προβλήματα εκπαίδευσης Συμμετρία σε προβλήματα με παραμέτρους 1. (MSU, Faculty of Soil Science, 001) Για ποιες τιμές του b έχει ακριβώς μια ρίζα η εξίσωση; ταν β = κούτσουρο

Υπουργείο Επιστημών και Παιδείας Ρωσική ΟμοσπονδίαΚρατικό Πανεπιστήμιο Γεωδαισίας και Χαρτογραφίας της Μόσχας T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΑΙΤΟΥΣΕΣ

Μάθημα Άλγεβρας στη 10η τάξη Θέμα μαθήματος: Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων Σκοπός του μαθήματος: Γενίκευση και συστηματοποίηση των γνώσεων των μαθητών για το θέμα. Στόχοι μαθήματος: 1) Εκπαιδευτικοί - Επέκταση και εμβάθυνση

Παραδείγματα δοκιμαστικών διαλυμάτων L.I. Terekhina, Ι.Ι. Διορθώστε 1 Δοκιμή 1 Λύση Γραμμικής Άλγεβρας εξίσωση μήτρας((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Ας πολλαπλασιάσουμε πρώτα τους πίνακες με

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ολοκλήρωση του γινομένου ημιτόνων και συνημιτόνων διαφόρων ορισμάτων Τριγωνομετρικοί τύποι k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ]), (k m [ (m k (m k

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας (Κρατικό Πανεπιστήμιο) Αλληλογραφία Σχολή Φυσικής και Τεχνολογίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ίδιοι μετασχηματισμοί. Λύση

Παράλογες εξισώσεις και ανισότητες Περιεχόμενα Ανορθολογικές εξισώσεις Μέθοδος αύξησης και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης στην ίδια ισχύ Εκχώρηση Ανάθεση Εκχώρηση Αντικατάσταση μιας παράλογης εξίσωσης με μια μικτή

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Molodechno State Polytechnic College Πρακτική εργασία: Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων περιορισμένη στην απλούστερη. Προγραμματιστής: I.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ TOMSK Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Κυβερνητικής Τμήμα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Μαθηματικής Στατιστικής ΟΡΙΑ Μεθοδολογική

Τάξη 10, βασικό επίπεδο Εργασία 1 Επιλογή 0 (επίδειξη, με λύσεις) Σχολή μαθηματικών αλληλογραφίας 009/010 ακαδημαϊκό έτος 1 Να εκφράσετε την έκφραση ως πολυώνυμο τυπική όψηκαι βρες τον

Διαλέξεις “INDEFINITE INTEGRAL” Συντάχθηκε από: VPBelkin Διάλεξη Αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές έννοιες Ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος 3 Κύριος πίνακας αντιπαραγώγων 3 4 Τυπικά παραδείγματα 3 5 Το απλούστερο

4. Τριγωνομετρία Τώρα όλα είναι έτοιμα για να δώσουν αυστηρούς ορισμούς τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Με την πρώτη ματιά μάλλον θα φαίνονται αρκετά περίεργα. ωστόσο, θα δείξουμε ότι ορισμένα

Θέμα ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ο αριθμός Α ονομάζεται όριο της συνάρτησης y = f), με το x να τείνει στο άπειρο, αν για οποιονδήποτε αριθμό ε>, όσο μικρό κι αν είναι, υπάρχει ένας θετικός αριθμός s τέτοιος ώστε για όλους >S,

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση του κράτους εκπαιδευτικό ίδρυμαπιο ψηλά επαγγελματική εκπαίδευση Ukhta State Technical University (USTU) LIMIT FUNCTION Μεθοδολογική

NE DEMIDOVA ΒΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΙΓΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Εγχειρίδιο για αλλοδαπούς πολίτες Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα οργανισμός που χρηματοδοτείται από το κράτοςανώτερος επαγγελματίας

Θέμα 1 Πραγματικοί αριθμοί και πράξεις σε αυτούς 4 ώρες 11 Ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού 1 Αρχικά, οι αριθμοί έγιναν κατανοητοί μόνο ακέραιοι αριθμοί, που αρκούν για να μετρηθούν μεμονωμένα είδηΕνα μάτσο

Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Στόχοι: Να εξοικειωθούν με τα είδη των τριγωνομετρικών εξισώσεων Να εξοικειωθούν με τρόπους επίλυσης εξισώσεων. Αναπτύξτε τις δεξιότητες εφαρμογής

I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MathUs.ru Συμμετρία σε προβλήματα με παραμέτρους Η συμμετρία είναι μια από τις βασικές έννοιες των μαθηματικών και της φυσικής. Είστε εξοικειωμένοι με τη γεωμετρική συμμετρία των σχημάτων και των διαφόρων

Δοκιμή. Δίνονται οι πίνακες A, B και D. Βρείτε το AB 9D αν: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Πολλαπλασιάστε τους πίνακες A 3 και B 3. Το αποτέλεσμα θα να είναι C μεγέθους 3 3, που αποτελείται από στοιχεία

Διάλεξη 13: Ταξινόμηση τετραγωνικών στο επίπεδο των Ουραλίων ομοσπονδιακό πανεπιστήμιο, Ινστιτούτο Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών, Τμήμα Άλγεβρας και Διακριτών Μαθηματικών Εισαγωγικές παρατηρήσεις Στα προηγούμενα τρία

Τάξη. Μια δύναμη με αυθαίρετο πραγματικό εκθέτη, τις ιδιότητές της. Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητές της, γραφήματα.. Ανακαλέστε τις ιδιότητες μιας δύναμης με λογικό εκθέτη. α α α α για φυσικό χρόνο

Τάξη 8.3, Μαθηματικά (σχολικό βιβλίο Makarychev) Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Θέμα ενότητας 5 «Τετράγωνη ρίζα. Πτυχίο με ακέραιο δείκτη» Το τεστ δοκιμάζει τα θεωρητικά και πρακτικά μέρη. ΘΕΜΑ Γνωρίζω Να μπορώ να γνωρίζω

Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών VSTU-VGASU, Αναπλ. Sedaev A.A. 06 ΠΑΡΑΓΩΓΗΚΕ;.. από το μηδέν;.. ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ;... ΑΥΤΟ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΟ Αγαπητέ αναγνώστη. Αν συναντήσετε την ανάγκη να βρείτε

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας ΕΘΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΟΣΧΑΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Μηχανικής και Μαθηματικών ΤΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ

Θέμα: Μετασχηματισμός τριγωνομετρικών παραστάσεων Λαμβάνοντας υπόψη το ODZ σε τριγωνομετρικές εξισώσεις Προετοιμασία για την ενιαία κρατική εξέταση (εργασία 9; ; 8) Ορισμός: Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης f g ή εμβαδού αποδεκτές τιμές

Ινστιτούτο Αεροπορίας της Μόσχας (Εθνικό Πανεπιστήμιο Ερευνών) Τμήμα "Ανώτατων Μαθηματικών" Όρια Παράγωγα Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Μεθοδολογικές οδηγίες και επιλογές δοκιμών

Κεφάλαιο 4 Όριο συνάρτησης 4 1 ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αυτό το κεφάλαιο εστιάζει στην έννοια του ορίου μιας συνάρτησης. Καθορίζεται ποιο είναι το όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο, και στη συνέχεια το όριο σε ένα σημείο, τα όρια

Θέμα 7 Κατάταξη πίνακα Βασικό δευτερεύον θεώρημα για την κατάταξη ενός πίνακα και οι συνέπειές του Συστήματα m γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους Θεώρημα Kronecker-Capelli Θεμελιώδες σύστημα λύσεων ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων

Θέμα 1-8: Μιγαδικοί αριθμοί A. Ya. Ovsyannikov Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Ουράλ Ινστιτούτο Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών Τμήμα Άλγεβρας και Διακριτών Μαθηματικών Άλγεβρα και γεωμετρία για τη μηχανική (1 εξάμηνο)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Έννοιες που μπορούν να περιγραφούν, αλλά δεν μπορούν να οριστούν αυστηρά, καθώς κάθε προσπάθεια να δοθεί ένας αυστηρός ορισμός θα καταλήξει αναπόφευκτα στην αντικατάσταση της καθορισμένης έννοιας με αυτήν

Μέθοδος διαχωρισμού μεταβλητών (μέθοδος Fourier) Γενικές αρχέςμέθοδος διαχωρισμού μεταβλητών Για την απλούστερη μερική διαφορική εξίσωση, διαχωρισμός μεταβλητών είναι η αναζήτηση λύσεων της μορφής μόνο στο t. u(x,t

64 Άλγεβρα 7ης τάξης (5 ώρες την εβδομάδα, 175 ώρες) Αλγεβρικό στοιχείο (3 ώρες την εβδομάδα) 105 ώρες και γεωμετρικό στοιχείο (2 ώρες την εβδομάδα) 70 ώρες Χρησιμοποιείται διδακτικά βοηθήματα: 1. Arefieva, I. G. Algebra: σχολικό βιβλίο. επίδομα

Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ρωσικό Κρατικό Πανεπιστήμιο Πετρελαίου και Φυσικού Αερίου με το όνομα του Ι.Μ. Gubkin VI Ivanov Οδηγίες για τη μελέτη του θέματος «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ» (για φοιτητές

Πρακτικό μάθημαΘέμα: Συνάρτηση Τομέας ορισμού και συνόλου τιμών συνάρτησης Στόχος: Ανάπτυξη δεξιοτήτων εύρεσης του τομέα ορισμού συναρτήσεων και υπολογισμός μερικών τιμών συναρτήσεων Για ολοκλήρωση

ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 0 Να σας υπενθυμίσουμε ότι οι λύσεις σε εργασίες μόνο από το τμήμα υποβάλλονται για δοκιμή. Οι λύσεις σε εργασίες από μέρη εκτελούνται σε προσχέδια και δεν επηρεάζουν την αξιολόγηση με κανέναν τρόπο. Κατά την ολοκλήρωση εργασιών από μέρος

57 (07) D DG Demyanov UNDETERMINED INTEGRAL Εκπαιδευτικό εγχειρίδιο και εγχειρίδιο αναφοράς Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG Indefinite integral: Εκπαιδευτικό και εγχειρίδιο αναφοράς / Επιμέλεια SA Ufimtsev Chelyabinsk: Εκδοτικός οίκος

Phystech 0, 0 class, λύσεις στο εισιτήριο cos x cosx Λύστε την εξίσωση = cos x sin x Απάντηση x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Λύση Υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις cos x cos x sin x sin x α) cos x 0 Τότε = = tan x = x =

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΥΠΟΛΟΙ Η επιτυχία της επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων, η απόδειξη τριγωνομετρικών ταυτοτήτων και η επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από τη γνώση των βασικών

Μάθημα 14 Μιγαδικοί αριθμοί. LOD με σταθερούς συντελεστές. 14.1 Μιγαδικοί αριθμοί Ένας μιγαδικός αριθμός είναι μια έκφραση της μορφής z = x+iy, όπου x R. Υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του συνόλου

Ερώτηση: Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί αριθμοί; Απάντηση Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση Τι είναι οι κλάσεις και οι τάξεις στη σημειογραφία των αριθμών; Πώς ονομάζονται οι αριθμοί κατά την πρόσθεση; Να διατυπώσετε ένα σύμφωνο

AA KIRSANOV COMPLEX NUMBERS PSKOV BBK 57 K45 Εκδόθηκε με απόφαση του Τμήματος Άλγεβρας και Γεωμετρίας και του Συντακτικού και Εκδοτικού Συμβουλίου του PSPI με το όνομα SM Kirov Κριτής: Medvedeva IN, Υποψήφια Φυσικής και Μαθηματικών, Αναπληρωτής Καθηγητής

Διάλεξη: Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης (DE-) Γενική μορφήη διαφορική εξίσωση της τάξης n θα γραφεί: (n) F, = 0 () Η εξίσωση της τάξης (n =) θα πάρει τη μορφή F(,) = 0 Παρόμοιες εξισώσεις

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Khabarovsk 01 ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Κρατικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "Κράτος του Ειρηνικού

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Κρατικό Πανεπιστήμιο Αρχιτεκτονικής και Πολιτικών Μηχανικών Αγίας Πετρούπολης V B SMIRNOVA, L E MOROZOVA ΤΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εκπαιδευτικές

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, τάξη Απαντήσεις και κριτήρια, Απρίλιος Επιλογή/εργασίες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8.7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Προβληματικές συνθήκες 1 Δημοτική σκηνή 8η τάξη 1. Στον πίνακα γράφονται δύο αριθμοί. Το ένα από αυτά αυξήθηκε κατά 6 φορές και το άλλο μειώθηκε για το 2015, ενώ το άθροισμα των αριθμών δεν άλλαξε. Βρείτε τουλάχιστον ένα ζευγάρι από αυτά

Αόριστο ολοκλήρωμα Εισαγωγή Ορισμός Μια συνάρτηση F() ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια δεδομένη συνάρτηση f() εάν F() f(), ή, τι είναι η ίδια, df f d Αυτή η λειτουργίαΗ f() μπορεί να έχει διαφορετικά αντιπαράγωγα,

Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας Ανορθολογικές εξισώσεις και ανισότητες Εργαλειοθήκησχετικά με την προετοιμασία για τις Ολυμπιάδες Συντάχθηκε από: Parkevich Egor Vadimovich Moscow 04 Εισαγωγή Σε αυτή την εργασία θα εξετάσουμε

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ένα διάνυσμα είναι ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό που δεν έχει μόνο αριθμητική τιμή, αλλά και κατεύθυνση.Μερικές φορές λένε ότι ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα Διανυσματικό σύστημα

Εκθετικές εξισώσεις. Μέθοδοι λύσης. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Εκθετική εξίσωση είναι αυτή που περιέχει μια μεταβλητή μόνο στον εκθέτη. Ας δούμε διάφορους τύπους εκθετικές εξισώσεις,

ΜΑΥ(Σ)ΟΥ "TsO 1" Μαθηματικά Α' τάξη Τριγωνομετρία ΤΕΣΤ 1, Πίνακες, δοκιμαστικά χαρτιά, τεστ Δάσκαλος Νέμοβα Ν.Μ. Α' προσόν 15η τάξη Επεξηγηματικό σημείωμα. Αυτό το διδακτικό υλικό προορίζεται

Αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές έννοιες και τύποι 1. Ορισμός αντιπαραγώγου και αόριστου ολοκληρώματος. Ορισμός. Η συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) στο διάστημα

ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων Το ορθολογικό κλάσμα είναι ένα κλάσμα της μορφής P Q, όπου το P και το Q είναι πολυώνυμα.

I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά MthUs.ru Το άρθρο γράφτηκε σε συνεργασία με τον A. G. Malkova Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Το προηγούμενο άρθρο ήταν αφιερωμένο στην κύρια ιδέα της επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών προβλημάτων

Θέμα Αόριστο ολοκλήρωμα Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκλήρωση κατά μέρη Έστω u και v δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις του ίδιου ορίσματος Είναι γνωστό ότι d(u v) udv vdu (77) Πάρτε και από τα δύο

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας (κρατικό πανεπιστήμιο) Σχολή αλληλογραφίας φυσικής και τεχνολογίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τετραγωνικές εξισώσεις Εργασία για μαθητές της 8ης τάξης

Προβλήματα ενός βήματος με ακέραιους αριθμούς (τυπικά) σελίδα 1 06/09/2012 1) Λύστε την ανίσωση: x 7 17. 2) Πολλαπλασιάστε το 612 με το 100000. 3) Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των αριθμών 661 και 752; 4) Συγκρίνετε τις εκφράσεις: 54 6 και 7.

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων, μέθοδοι επίλυσης Πρόβλημα Cauchy Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων Ομοιογενείς γραμμικές εξισώσεις Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων,

Μαθήματα 54-55. Συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων (προαιρετικά)

09.07.2015 9099 895

Στόχος: εξετάστε τα πιο τυπικά συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων και μεθόδους επίλυσής τους.

I. Επικοινωνία του θέματος και του σκοπού των μαθημάτων

II. Επανάληψη και εμπέδωση του καλυπτόμενου υλικού

1. Απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με εργασία για το σπίτι(ανάλυση άλυτων προβλημάτων).

2. Παρακολούθηση αφομοίωσης του υλικού (ανεξάρτητη εργασία).

Επιλογή 1

Λύστε την ανισότητα:

Επιλογή 2

Λύστε την ανισότητα:

III. Εκμάθηση νέου υλικού

Στις εξετάσεις, τα συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ λιγότερο κοινά από τις τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις. Δεν υπάρχει σαφής ταξινόμηση συστημάτων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επομένως, θα τα χωρίσουμε υπό όρους σε ομάδες και θα εξετάσουμε τρόπους επίλυσης αυτών των προβλημάτων.

1. Τα απλούστερα συστήματα εξισώσεων

Αυτά περιλαμβάνουν συστήματα στα οποία είτε μία από τις εξισώσεις είναι γραμμική είτε οι εξισώσεις του συστήματος μπορούν να λυθούν ανεξάρτητα η μία από την άλλη.

Παράδειγμα 1

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Εφόσον η πρώτη εξίσωση είναι γραμμική, εκφράζουμε τη μεταβλητή από αυτήνκαι αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο αναγωγής και την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα. Παίρνουμε την εξίσωσηή Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητήτ = αμαρτία u. Έχουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, του οποίου οι ρίζες t 1 = 1/3 και t 2 = 2 (δεν είναι κατάλληλο γιατίαμαρτία y ≤ 1). Ας επιστρέψουμε στο παλιό άγνωστο και ας πάρουμε την εξίσωσηαμαρτωλός = 1/3, του οποίου η λύσηΤώρα είναι εύκολο να βρεις το άγνωστο:Άρα, το σύστημα των εξισώσεων έχει λύσειςόπου n ∈ Z.

Παράδειγμα 2

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Οι εξισώσεις του συστήματος είναι ανεξάρτητες. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε τις λύσεις σε κάθε εξίσωση. Παίρνουμε:Προσθέτουμε και αφαιρούμε τις εξισώσεις αυτού του συστήματος γραμμικών εξισώσεων ανά όρο και βρίσκουμε:που

Λάβετε υπόψη ότι λόγω της ανεξαρτησίας των εξισώσεων, κατά την εύρεση των x - y και x + y, πρέπει να καθορίζονται διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί n και k. Αν αντί για κ προμηθεύτηκε επίσης n , τότε οι λύσεις θα έχουν την εξής μορφή:Σε αυτή την περίπτωση, ένας άπειρος αριθμός λύσεων θα χαθεί και, επιπλέον, θα προέκυπτε σύνδεση μεταξύ των μεταβλητώνΧ και y: x = 3y (κάτι που δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα). Για παράδειγμα, είναι εύκολο να το ελέγξετε αυτό το σύστημαέχει λύση x = 5π και y = n (σύμφωνα με τους τύπους που λαμβάνονται), η οποία όταν k = n αδύνατο να βρεθεί. Οπότε να προσέχεις.

2. Συστήματα τύπου

Τέτοια συστήματα ανάγονται στα απλούστερα με την προσθήκη και την αφαίρεση εξισώσεων. Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε συστήματαή Ας σημειώσουμε έναν προφανή περιορισμό:Και Η ίδια η λύση τέτοιων συστημάτων δεν παρουσιάζει δυσκολίες.

Παράδειγμα 3

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Ας μετατρέψουμε πρώτα τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος χρησιμοποιώντας την ισότηταΠαίρνουμε: Ας αντικαταστήσουμε την πρώτη εξίσωση με τον αριθμητή αυτού του κλάσματος:και εκφράζουν Τώρα έχουμε ένα σύστημα εξισώσεωνΑς προσθέσουμε και ας αφαιρέσουμε αυτές τις εξισώσεις. Εχουμε: ήΑς γράψουμε τις λύσεις σε αυτό το απλούστερο σύστημα:Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις γραμμικές εξισώσεις, βρίσκουμε:

3. Συστήματα τύπου

Τέτοια συστήματα μπορούν να θεωρηθούν ως τα πιο απλά και να επιλυθούν ανάλογα. Ωστόσο, υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να το λύσετε: να μετατρέψετε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο και να χρησιμοποιήσετε την υπόλοιπη εξίσωση.

Παράδειγμα 4

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Αρχικά, μετασχηματίζουμε την πρώτη εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων των γωνιών. Παίρνουμε:Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση, έχουμε:που Ας γράψουμε τις λύσεις αυτής της εξίσωσης:Λαμβάνοντας υπόψη τη δεύτερη εξίσωση αυτού του συστήματος, προκύπτει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεωνΑπό αυτό το σύστημα βρίσκουμε Είναι βολικό να γράφουμε τέτοιες αποφάσεις με πιο ορθολογική μορφή. Για τα ανώτερα ζώδια έχουμε:για χαμηλότερα ζώδια -

4. Συστήματα τύπου

Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ληφθεί μια εξίσωση που περιέχει μόνο έναν άγνωστο. Για να γίνει αυτό, για παράδειγμα, ας εκφράσουμε από μια εξίσωσηαμαρτία υ, από άλλο - cos u. Ας τετραγωνίσουμε αυτές τις αναλογίες και ας τις αθροίσουμε. Τότε παίρνουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση που περιέχει τον άγνωστο x. Ας λύσουμε αυτή την εξίσωση. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε εξίσωση αυτού του συστήματος, παίρνουμε μια εξίσωση για την εύρεση του αγνώστου y.

Παράδειγμα 5

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Ας γράψουμε το σύστημα στη φόρμαΑς τετραγωνίσουμε κάθε εξίσωση του συστήματος και πάρουμε:Ας προσθέσουμε τις εξισώσεις αυτού του συστήματος:ή Χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, γράφουμε την εξίσωση στη μορφήή Λύσεις αυτής της εξίσωσης cos x = 1/2 (τότε ) και cos x = 1/4 (από όπου ), όπου n, k ∈ Z . Λαμβάνοντας υπόψη τη σύνδεση μεταξύ των αγνώστων cos y = 1 – 3 cos x, παίρνουμε: για cos x = 1/2 cos y = -1/2; για cos x = 1/4 cos y = 1/4. Πρέπει να θυμόμαστε ότι κατά την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων, πραγματοποιήθηκε τετραγωνισμός και αυτή η λειτουργία θα μπορούσε να οδηγήσει στην εμφάνιση εξωτερικών ριζών. Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η πρώτη εξίσωση αυτού του συστήματος, από την οποία προκύπτει ότι οι ποσότητεςαμαρτία x και αμαρτία y πρέπει να έχει το ίδιο πρόσημο.

Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, λαμβάνουμε λύσεις σε αυτό το σύστημα εξισώσεωνΚαι όπου n, m, k, l ∈ Z . Σε αυτή την περίπτωση, για άγνωστα x και y, επιλέγονται ταυτόχρονα είτε το ανώτερο είτε το κατώτερο πρόσημο.

Σε ειδική περίπτωσητο σύστημα μπορεί να λυθεί μετατρέποντας το άθροισμα (ή τη διαφορά) των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο και στη συνέχεια διαιρώντας τις εξισώσεις όρο προς όρο.

Παράδειγμα 6

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Σε κάθε εξίσωση, μετατρέπουμε το άθροισμα και τη διαφορά των συναρτήσεων σε γινόμενο και διαιρούμε κάθε εξίσωση με το 2. Παίρνουμε:Αφού ούτε ένας παράγοντας στις αριστερές πλευρές των εξισώσεων ίσο με μηδέν, στη συνέχεια διαιρούμε τις εξισώσεις η μία στην άλλη κατά όρο (για παράδειγμα, τη δεύτερη με την πρώτη). Παίρνουμε:που Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκεγια παράδειγμα, στην πρώτη εξίσωση:Ας το λάβουμε υπόψη Επειτα που

Αποκτήσαμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεωνΠροσθέτοντας και αφαιρώντας τις εξισώσεις αυτού του συστήματος, βρίσκουμεΚαι όπου n, k ∈ Z.

5. Συστήματα που επιλύονται με αντικατάσταση αγνώστων

Εάν το σύστημα περιέχει μόνο δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις ή μπορεί να αναχθεί σε αυτήν τη μορφή, τότε είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση αγνώστων.

Παράδειγμα 7

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Δεδομένου ότι αυτό το σύστημα περιλαμβάνει μόνο δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις, εισάγουμε νέες μεταβλητές a =ταν χ και β = αμαρτία u. Λαμβάνουμε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεωνΑπό την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε ένα =σι + 3 και αντικαταστήστε στο δεύτερο:ή Οι ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης b 1 = 1 και b 2 = -4. Οι αντίστοιχες τιμές είναι a1 = 4 και a2 = -1. Ας επιστρέψουμε στα παλιά άγνωστα. Λαμβάνουμε δύο συστήματα απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων:

α) την απόφασή της όπου n, k ∈ Z.

σι) δεν έχει λύσεις, γιατί sin y ≥ -1.

Παράδειγμα 8

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Ας μετατρέψουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος έτσι ώστε να περιέχει μόνο τις συναρτήσεις sin x και cos u. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τους τύπους μείωσης. Παίρνουμε:(που ) Και (Επειτα ). Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος έχει τη μορφή:ή Αποκτήσαμε ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεωνΑς εισάγουμε νέες μεταβλητές a = sin x και b = cos u. Έχουμε ένα συμμετρικό σύστημα εξισώσεων η μόνη λύση στην οποίαα = β = 1/2. Ας επιστρέψουμε στα παλιά άγνωστα και ας πάρουμε το απλούστερο σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεωνη λύση του οποίου όπου n, k ∈ Z.

6. Συστήματα για τα οποία είναι σημαντικά τα χαρακτηριστικά των εξισώσεων

Σχεδόν κατά την επίλυση οποιουδήποτε συστήματος εξισώσεων, χρησιμοποιείται ένα ή άλλο χαρακτηριστικό του. Συγκεκριμένα, ένα από τα πιο γενικές τεχνικέςΟι λύσεις του συστήματος είναι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί που καθιστούν δυνατή τη λήψη μιας εξίσωσης που περιέχει μόνο έναν άγνωστο. Η επιλογή των μετασχηματισμών, φυσικά, καθορίζεται από τις ιδιαιτερότητες των εξισώσεων του συστήματος.

Παράδειγμα 9

Ας λύσουμε το σύστημα

Ας δώσουμε προσοχή στις αριστερές πλευρές των εξισώσεων, για παράδειγμα προςΧρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής, την κάνουμε συνάρτηση με όρισμα π/4 + x. Παίρνουμε:Τότε το σύστημα των εξισώσεων μοιάζει με:Για να εξαλείψουμε τη μεταβλητή x, πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις όρο προς όρο και παίρνουμε:ή 1 = αμαρτία 3 2у, από όπου αμαρτία 2у = 1. Βρίσκουμε Και Είναι βολικό να εξετάζουμε χωριστά τις περιπτώσεις ζυγών και περιττών τιμών n. Για άρτιο n (n = 2 k, όπου k ∈ Z) Τότε από την πρώτη εξίσωση αυτού του συστήματος παίρνουμε:όπου m ∈ Z. Για περίεργο Τότε από την πρώτη εξίσωση έχουμε:Λοιπόν, αυτό το σύστημα έχει λύσεις

Όπως και στην περίπτωση των εξισώσεων, αρκετά συχνά υπάρχουν συστήματα εξισώσεων στα οποία Σημαντικός ρόλοςπαίζει από την περιορισμένη φύση των συναρτήσεων ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς.

Παράδειγμα 10

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Πρώτα απ 'όλα, μετασχηματίζουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος:ή ή ή ή Λαμβάνοντας υπόψη την περιορισμένη φύση της συνάρτησης ημιτόνου, βλέπουμε ότι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης δεν είναι μικρότερη από 2, και δεξί μέροςόχι περισσότερο από 2. Επομένως, μια τέτοια εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις συνθήκες sin 2 2x = 1 και sin 2 y = 1.

Γράφουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος στη μορφή sin 2 y = 1 - cos 2 z ή sin 2 y = sin 2 z, και μετά sin 2 z = 1. Αποκτήσαμε ένα σύστημα απλών τριγωνομετρικών εξισώσεωνΧρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού, γράφουμε το σύστημα στη φόρμαή Επειτα

Φυσικά, όταν λύνουμε άλλα συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να προσέχουμε και τα χαρακτηριστικά αυτών των εξισώσεων.

Λήψη υλικού

Δείτε το αρχείο με δυνατότητα λήψης για το πλήρες κείμενο του υλικού.
Η σελίδα περιέχει μόνο ένα τμήμα του υλικού.

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Εισαγωγή 2

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων 5

Αλγεβρική 5

Επίλυση εξισώσεων με χρήση της συνθήκης ισότητας τριγωνομετρικών συναρτήσεων με το ίδιο όνομα 7

Παραγοντοποίηση 8

Αναγωγή στην ομοιογενή εξίσωση 10

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας 11

Μετατροπή προϊόντος σε άθροισμα 14

Καθολική αντικατάσταση 14

Συμπέρασμα 17

Εισαγωγή

Μέχρι τη δέκατη τάξη, η σειρά των ενεργειών πολλών ασκήσεων που οδηγούν στον στόχο είναι, κατά κανόνα, σαφώς καθορισμένη. Για παράδειγμα, γραμμικό και τετραγωνικές εξισώσειςκαι ανισότητες κλασματικές εξισώσειςκαι εξισώσεις ανάγονται σε τετραγωνικό κ.λπ. Χωρίς να εξετάσουμε λεπτομερώς την αρχή επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα παραδείγματα, σημειώνουμε τα γενικά πράγματα που είναι απαραίτητα για την επιτυχή επίλυσή τους.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, πρέπει να καθορίσετε τι είδους εργασία είναι η εργασία, να θυμάστε τη σειρά των ενεργειών που οδηγούν στον στόχο και να εκτελέσετε αυτές τις ενέργειες. Προφανώς, η επιτυχία ή η αποτυχία ενός μαθητή στην κατάκτηση τεχνικών για την επίλυση εξισώσεων εξαρτάται κυρίως από το πόσο καλά είναι σε θέση να προσδιορίσει σωστά τον τύπο της εξίσωσης και να θυμάται την ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, υποτίθεται ότι ο μαθητής έχει τις δεξιότητες να εκτελεί πανομοιότυπους μετασχηματισμούς και υπολογισμούς.

Μια εντελώς διαφορετική κατάσταση προκύπτει όταν ένας μαθητής συναντά τριγωνομετρικές εξισώσεις. Επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να διαπιστωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά την εύρεση της σειράς των ενεργειών που θα οδηγούσαν σε θετικό αποτέλεσμα. Και εδώ ο μαθητής αντιμετωπίζει δύο προβλήματα. Με εμφάνισηΟι εξισώσεις είναι δύσκολο να προσδιοριστούν ο τύπος. Και χωρίς να γνωρίζετε τον τύπο, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε την επιθυμητή φόρμουλα από τις πολλές δεκάδες διαθέσιμες.

Για να βοηθήσουν τους μαθητές να βρουν το δρόμο τους μέσα από τον σύνθετο λαβύρινθο των τριγωνομετρικών εξισώσεων, εισάγονται αρχικά σε εξισώσεις που ανάγονται σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις όταν εισάγεται μια νέα μεταβλητή. Στη συνέχεια λύνουν ομοιογενείς εξισώσεις και αυτές που μπορούν να αναχθούν σε αυτές. Όλα τελειώνουν, κατά κανόνα, με εξισώσεις, για να λύσετε τις οποίες πρέπει να παραγοντοποιήσετε αριστερή πλευρά, τότε εξισώνοντας κάθε έναν από τους παράγοντες με μηδέν.

Συνειδητοποιώντας ότι οι δώδεκα και μισή εξισώσεις που συζητούνται στα μαθήματα δεν είναι σαφώς αρκετές για να θέσουν τον μαθητή σε ένα ανεξάρτητο ταξίδι στην τριγωνομετρική «θάλασσα», ο δάσκαλος προσθέτει μερικές ακόμη συστάσεις.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».

Μειώστε την εξίσωση σε "πανομοιότυπες συναρτήσεις".

Συντελεστής στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.

Ωστόσο, παρά το γεγονός ότι γνωρίζουν τους βασικούς τύπους τριγωνομετρικών εξισώσεων και πολλές αρχές για την εύρεση της επίλυσής τους, πολλοί μαθητές εξακολουθούν να βρίσκονται μπερδεμένοι από κάθε εξίσωση που είναι ελαφρώς διαφορετική από αυτές που λύθηκαν πριν. Παραμένει ασαφές τι πρέπει να επιδιώξουμε όταν έχουμε αυτή ή εκείνη την εξίσωση, γιατί σε μια περίπτωση είναι απαραίτητο να εφαρμόζουμε τους τύπους διπλή γωνία, σε άλλο - μισό, και στον τρίτο - τύποι προσθήκης κ.λπ.

Ορισμός 1.Τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο περιέχεται κάτω από το πρόσημο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ορισμός 2.Μια τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται ότι έχει ίσες γωνίες αν όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτήν έχουν ίσα ορίσματα. Μια τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται ότι έχει πανομοιότυπες συναρτήσεις εάν περιέχει μόνο μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Ορισμός 3.Η ισχύς ενός μονωνύμου που περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το άθροισμα των εκθετών των δυνάμεων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Ορισμός 4.Μια εξίσωση ονομάζεται ομοιογενής αν όλα τα μονώνυμα που περιλαμβάνονται σε αυτήν έχουν τον ίδιο βαθμό. Αυτός ο βαθμός ονομάζεται τάξη της εξίσωσης.

Ορισμός 5.Τριγωνομετρική εξίσωση που περιέχει μόνο συναρτήσεις αμαρτίαΚαι cos, ονομάζεται ομοιογενής αν όλα τα μονώνυμα ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ίδιο βαθμό, και οι ίδιες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ίσες γωνίεςκαι ο αριθμός των μονοωνύμων είναι 1 μεγαλύτερος από τη σειρά της εξίσωσης.

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων αποτελείται από δύο στάδια: μετασχηματισμός της εξίσωσης για να ληφθεί η απλούστερη μορφή της και επίλυση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης που προκύπτει. Υπάρχουν επτά βασικές μέθοδοι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Εγώ. Αλγεβρική μέθοδος.Αυτή η μέθοδος είναι πολύ γνωστή από την άλγεβρα. (Μέθοδος αντικατάστασης και αντικατάστασης μεταβλητής).

Λύστε εξισώσεις.

1)

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία Χ=2 αμαρτία3 t, παίρνουμε

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε:
ή

εκείνοι. μπορεί να καταγραφεί

Κατά την καταγραφή του προκύπτοντος διαλύματος λόγω της παρουσίας σημείων βαθμός
δεν έχει νόημα να το γράψω.

Απάντηση:

Ας υποδηλώσουμε

Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση
. Οι ρίζες του είναι αριθμοί
Και
. Επομένως, αυτή η εξίσωση ανάγεται στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις
Και
. Λύνοντάς τα, διαπιστώνουμε ότι
ή
.

Απάντηση:
;
.

Ας υποδηλώσουμε

δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση

Που σημαίνει

Απάντηση:

Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

Έτσι, αυτή η αρχική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως:

, δηλ.

Έχοντας ορίσει
, παίρνουμε
Λύνοντας αυτήν την τετραγωνική εξίσωση έχουμε:

δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση

Καταγράφουμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης:

Απάντηση:

Υποκατάσταση
ανάγει αυτή την εξίσωση σε δευτεροβάθμια εξίσωση
. Οι ρίζες του είναι αριθμοί
Και
. Επειδή
, τότε η δεδομένη εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

II. Επίλυση εξισώσεων με χρήση της συνθήκης ισότητας ομώνυμων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

ΕΝΑ)
, Αν

σι)
, Αν

V)
, Αν

Χρησιμοποιώντας αυτές τις συνθήκες, εξετάστε το ενδεχόμενο να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις:

6)

Χρησιμοποιώντας όσα ειπώθηκαν στο μέρος α) βρίσκουμε ότι η εξίσωση έχει λύση αν και μόνο αν
.

Λύνοντας αυτή την εξίσωση, βρίσκουμε
.

Έχουμε δύο ομάδες λύσεων:

.

7) Λύστε την εξίσωση:
.

Χρησιμοποιώντας την συνθήκη του στοιχείου β) συμπεραίνουμε ότι
.

Λύνοντας αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, παίρνουμε:

.

8) Λύστε την εξίσωση
.

Από αυτή την εξίσωση συμπεραίνουμε ότι . Λύνοντας αυτήν την τετραγωνική εξίσωση, βρίσκουμε ότι

.

III. Παραγοντοποίηση.

Εξετάζουμε αυτή τη μέθοδο με παραδείγματα.

9) Λύστε την εξίσωση
.

Λύση. Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους της εξίσωσης προς τα αριστερά: .

Ας μετασχηματίσουμε και παραγοντοποιήσουμε την παράσταση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
.

.

.

1)
2)

Επειδή
Και
μην αποδεχτείτε την τιμή μηδέν

ταυτόχρονα, τότε χωρίζουμε και τα δύο μέρη

εξισώσεις για
,

Απάντηση:

10) Λύστε την εξίσωση:

Λύση.

ή

Απάντηση:

11) Λύστε την εξίσωση

Λύση:

1)
2)
3)

,

Απάντηση:

IV. Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση.

Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση χρειάζεστε:

Μετακινήστε όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά.

Βγάλ' τα όλα κοινούς παράγοντεςπέρα από αγκύλες?

Εξισώστε όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με μηδέν.

Οι αγκύλες ίσες με το μηδέν δίνουν μια ομοιογενή εξίσωση μικρότερου βαθμού, η οποία πρέπει να διαιρεθεί με
(ή
) στο ανώτερο πτυχίο?

Λύστε το αποτέλεσμα αλγεβρική εξίσωσησχετικά
.

Ας δούμε παραδείγματα:

12) Λύστε την εξίσωση:

Λύση.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με
,

Εισαγωγή ονομασιών
, όνομα

ρίζες αυτής της εξίσωσης:

επομένως 1)
2)

Απάντηση:

13) Λύστε την εξίσωση:

Λύση. Χρησιμοποιώντας τους τύπους διπλής γωνίας και τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, ανάγουμε αυτήν την εξίσωση σε ένα μισό όρισμα:

Αφού μειώσουμε παρόμοιους όρους έχουμε:

Διαιρώντας την ομοιογενή τελευταία εξίσωση με
, παίρνουμε

θα υποδείξω
, παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση
, του οποίου οι ρίζες είναι αριθμοί

Ετσι

Εκφραση
πηγαίνει στο μηδέν στο
, δηλ. στο
,
.

Η λύση της εξίσωσης που λάβαμε δεν περιλαμβάνει αυτούς τους αριθμούς.

Απάντηση:
, .

V. Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας.

Θεωρήστε μια εξίσωση της φόρμας

Οπου α, β, γ- συντελεστές, Χ- άγνωστο.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με

Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή: το μέτρο του καθενός από αυτά δεν υπερβαίνει το ένα και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 1.

Τότε μπορούμε να τα ορίσουμε ανάλογα
(Εδώ - βοηθητική γωνία) και η εξίσωσή μας παίρνει τη μορφή: .

Επειτα

Και η απόφασή του

Σημειώστε ότι οι συμβολισμοί που εισάγονται είναι αμοιβαία εναλλάξιμοι.

14) Λύστε την εξίσωση:

Λύση. Εδώ
, οπότε διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

Απάντηση:

15) Λύστε την εξίσωση

Λύση. Επειδή
, τότε αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

Επειδή
, τότε υπάρχει μια γωνία τέτοια που
,
(εκείνοι.
).

Εχουμε

Επειδή
, τότε τελικά παίρνουμε:

.

Σημειώστε ότι οι εξισώσεις της μορφής έχουν λύση αν και μόνο αν

16) Λύστε την εξίσωση:

Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, ομαδοποιούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τα ίδια ορίσματα

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με δύο

Ας μετατρέψουμε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο:

Απάντηση:

VI. Μετατροπή προϊόντος σε άθροισμα.

Εδώ χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχοι τύποι.

17) Λύστε την εξίσωση:

Λύση. Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά σε άθροισμα:

VII.Καθολική αντικατάσταση.

,

αυτοί οι τύποι ισχύουν για όλους

Υποκατάσταση
που ονομάζεται καθολική.

18) Λύστε την εξίσωση:

Λύση: Αντικαταστήστε και
στην έκφρασή τους μέσω
και δηλώνουν
.

Παίρνουμε μια ορθολογική εξίσωση
, το οποίο μετατρέπεται σε τετράγωνο
.

Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι οι αριθμοί
.

Επομένως, το πρόβλημα περιορίστηκε στην επίλυση δύο εξισώσεων
.

Το βρίσκουμε
.

Προβολή αξίας
δεν ικανοποιεί την αρχική εξίσωση, η οποία ελέγχεται με έλεγχο - αντικατάσταση δεδομένη αξία tστην αρχική εξίσωση.

Απάντηση:
.

Σχόλιο. Η εξίσωση 18 θα μπορούσε να είχε λυθεί με άλλο τρόπο.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με 5 (δηλ. με
):
.

Επειδή
, τότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός
, Τι
Και
. Επομένως η εξίσωση παίρνει τη μορφή:
ή
. Από εδώ το βρίσκουμε
Οπου
.

19) Λύστε την εξίσωση
.

Λύση. Δεδομένου ότι οι λειτουργίες
Και
έχω υψηλότερη τιμή, ίσο με 1, τότε το άθροισμά τους είναι 2 αν
Και
, ταυτόχρονα δηλαδή
.

Απάντηση:
.

Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης χρησιμοποιήθηκε το όριο των συναρτήσεων και.

Συμπέρασμα.

Όταν εργάζεστε στο θέμα «Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων», είναι χρήσιμο για κάθε δάσκαλο να ακολουθεί τις ακόλουθες συστάσεις:

Συστηματοποίηση μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Επιλέξτε μόνοι σας τα βήματα για να εκτελέσετε μια ανάλυση της εξίσωσης και τα σημάδια της σκοπιμότητας χρήσης μιας συγκεκριμένης μεθόδου λύσης.

Σκεφτείτε τρόπους για να παρακολουθείτε μόνοι σας τις δραστηριότητές σας κατά την εφαρμογή της μεθόδου.

Μάθετε να συνθέτετε «δικές σας» εξισώσεις για καθεμία από τις μεθόδους που μελετάτε.

Παράρτημα Νο. 1

Να λύσετε ομογενείς ή αναγώγιμες σε ομοιογενείς εξισώσεις.

1.	Μαλλομέταξο ύφασμα.
	Μαλλομέταξο ύφασμα.
	Μαλλομέταξο ύφασμα.
5.	Μαλλομέταξο ύφασμα.
	Μαλλομέταξο ύφασμα.
7.	Μαλλομέταξο ύφασμα.
	Μαλλομέταξο ύφασμα.

Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι όλες οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης. Για παράδειγμα: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων καταλήγει στις ακόλουθες δευτερεύουσες εργασίες:

* Επίλυση της εξίσωσης.

* επιλογή ριζών.

Η απάντηση σε τέτοιες εξισώσεις γράφεται ως:

βαθμούς?

Radians.

Για να λυθεί αυτό το είδος εξίσωσης είναι απαραίτητο να μετατραπεί η εξίσωση σε μία/πολλές βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] Και η λύση σε τέτοιες βασικές εξισώσεις είναι να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα μετατροπών ή να αναζητήσετε τις θέσεις του \[x\] στον κύκλο μονάδας.

Για παράδειγμα, δίνονται τριγωνομετρικές εξισώσεις που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών της ακόλουθης μορφής:

\[\tan (x - \pi/4) = 0\]

Απάντηση: \

\[\cot2x = 1.732\]

Απάντηση: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0,866\]

Απάντηση: \[ x = \pi/3 \]

Πού μπορώ να λύσω ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεων διαδικτυακά δωρεάν;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ένας δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.

Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα , ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισώσεις, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: είναι απαραίτητο να καθοριστεί ποιος τύπος προβλήματος επιλύεται, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν σε το επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.

Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.

Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τεκμηριωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.

Μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του με βάση την εμφάνιση μιας εξίσωσης. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».
2. Φέρτε την εξίσωση σε «πανομοιότυπες συναρτήσεις».
3. παραμετροποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.

Ας σκεφτούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Εξπρές τριγωνομετρική συνάρτησημέσω γνωστών εξαρτημάτων.

Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Λύση.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Αντικατάσταση μεταβλητής

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Ανάγοντας την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).

Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.

Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.

Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Λύση.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού:

αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Λύση.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ομογενείς εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα

α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)

ή στη θέα

β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και πάρτε την εξίσωση για το tan x:

α) a tan x + b = 0;

β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Λύση.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Έστω tg x = t, τότε

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ή t = -4, που σημαίνει

tg x = 1 ή tg x = -4.

Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλους τους πιθανούς τριγωνομετρικούς τύπους, ανάγετε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που επιλύεται με τις μεθόδους I, II, III, IV.

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.

Λύση.

1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.

Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Η ικανότητα και η ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.

Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με τη λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων.Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων ενσωματώνει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται με τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία εκμάθησης των μαθηματικών και της προσωπικής ανάπτυξης γενικότερα.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.