Mga figure na may axis ng symmetry. Axial at central symmetry

sa kimika ay nagpapakita ng sarili sa geometric na pagsasaayos ng mga molekula, na nakakaapekto sa mga detalye ng pisikal at mga katangian ng kemikal mga molekula sa isang nakahiwalay na estado, sa isang panlabas na larangan at kapag nakikipag-ugnayan sa ibang mga atomo at molekula.

Karamihan sa mga simpleng molekula ay may mga elemento ng spatial symmetry ng equilibrium configuration: axes of symmetry, planes of symmetry, atbp. (tingnan ang Symmetry sa matematika). Kaya, ang molekula ng ammonia NH 3 ay may simetrya ng tama tatsulok na pyramid, CH 4 methane molecule - tetrahedral symmetry. Sa mga kumplikadong molekula, ang simetrya ng pagsasaayos ng balanse sa kabuuan, bilang panuntunan, ay wala, gayunpaman, ang simetrya ng mga indibidwal na mga fragment nito ay tinatayang napanatili (lokal na simetrya). Karamihan Buong paglalarawan ang simetrya ng parehong equilibrium at di-equilibrium na mga pagsasaayos ng mga molekula ay nakakamit sa batayan ng mga ideya tungkol sa tinatawag na. dynamical symmetry group - mga pangkat na kinabibilangan hindi lamang ng mga operasyon ng spatial symmetry ng nuclear configuration, kundi pati na rin ang mga operasyon ng permutation ng magkaparehong nuclei sa iba't ibang configuration. Halimbawa, ang dynamic na symmetry group para sa NH 3 molecule ay kasama rin ang operasyon ng inversion ng molekula na ito: ang paglipat ng N atom mula sa isang gilid ng eroplano na nabuo ng H atoms patungo sa kabilang panig nito.

Ang simetrya ng equilibrium configuration ng nuclei sa isang molekula ay nangangailangan ng isang tiyak na simetrya ng mga function ng wave (tingnan ang wave function) ng iba't ibang estado ng molekula na ito, na ginagawang posible na uriin ang mga estado ayon sa mga uri ng symmetry. Ang paglipat sa pagitan ng dalawang estado na nauugnay sa pagsipsip o paglabas ng liwanag, depende sa mga uri ng simetrya ng mga estado, ay maaaring lumitaw sa molecular spectrum (tingnan ang molecular spectra) o ipinagbabawal, upang ang linya o banda na tumutugma sa paglipat na ito ay wala sa spectrum. Ang mga uri ng simetrya ng mga estado sa pagitan ng kung saan posible ang mga paglipat ay nakakaapekto sa intensity ng mga linya at banda, pati na rin ang kanilang polariseysyon. Halimbawa, para sa mga homonuclear diatomic molecule, ang mga transition sa pagitan ng mga elektronikong estado ng parehong parity ay ipinagbabawal at hindi lumilitaw sa spectra, ang mga electronic wave function na kung saan ay kumikilos sa parehong paraan sa panahon ng inversion operation; para sa mga molekula ng benzene at mga katulad na compound, ipinagbabawal ang mga transition sa pagitan ng mga nondegenerate na elektronikong estado ng parehong uri ng symmetry, atbp. Ang mga panuntunan sa pagpili ng symmetry ay dinadagdagan para sa mga transition sa pagitan iba't ibang estado mga panuntunan sa pagpili na nauugnay sa Spin ng mga estadong ito.

Para sa mga molekula na may mga sentrong paramagnetic, ang simetrya ng kapaligiran ng mga sentrong ito ay humahantong sa tiyak na uri anisotropy g-factor (Lande factor), na nakakaapekto sa istruktura ng electron paramagnetic resonance spectra (tingnan ang Electron paramagnetic resonance), habang para sa mga molekula na ang atomic nuclei ay may nonzero spin, ang simetrya ng mga indibidwal na lokal na fragment ay humahantong sa isang tiyak na uri ng paghahati ng enerhiya ng mga estado na may iba't ibang mga projection nuclear spin, na nakakaapekto sa istraktura ng nuclear magnetic resonance spectra.

Sa tinatayang mga diskarte ng quantum chemistry, na gumagamit ng konsepto ng molecular orbitals, ang pag-uuri ng simetrya ay posible hindi lamang para sa pag-andar ng alon ng molekula sa kabuuan, kundi pati na rin para sa mga indibidwal na orbital. Kung ang pagsasaayos ng balanse ng isang molekula ay may isang eroplano ng simetriya kung saan ang nuclei ay namamalagi, kung gayon ang lahat ng mga orbital ng molekula na ito ay nahahati sa dalawang klase: simetriko (σ) at antisymmetric (π) na may paggalang sa operasyon ng pagmuni-muni sa eroplanong ito. . Ang mga molekula na ang itaas (sa enerhiya) ay sumasakop sa mga orbital ay π-orbital ay bumubuo ng mga tiyak na klase ng unsaturated at conjugated compound na may kanilang mga katangiang katangian. Ang pag-alam sa lokal na simetrya ng mga indibidwal na mga fragment ng mga molekula at ang mga molekular na orbital na naisalokal sa mga fragment na ito ay ginagawang posible upang hatulan kung aling mga fragment ang mas madaling ma-excite at magbago nang mas malakas sa kurso ng mga pagbabagong kemikal, halimbawa, sa mga reaksyon ng photochemical.

Ang mga konsepto ng simetrya ay may malaking kahalagahan sa teoretikal na pagsusuri ng istraktura ng mga kumplikadong compound, ang kanilang mga katangian at pag-uugali sa iba't ibang mga reaksyon. Ang crystal field theory at ligand field theory ay nagtatatag ng magkaparehong pag-aayos ng mga inookupahan at bakanteng mga orbital ng isang komplikadong tambalan batay sa data sa simetrya nito, ang kalikasan at antas ng paghahati mga antas ng enerhiya kapag binabago ang simetrya ng patlang ng ligand. Ang pag-alam lamang sa mahusay na proporsyon ng isang kumplikadong madalas ay ginagawang posible na husay na hatulan ang mga katangian nito.

Noong 1965, iniharap ni P. Woodward at R. Hoffman ang prinsipyo ng pagpapanatili ng orbital symmetry sa mga kemikal na reaksyon, na pagkatapos ay nakumpirma ng malawak na eksperimentong materyal at nagkaroon ng malaking impluwensya sa pagbuo ng paghahanda. organikong kimika. Ang prinsipyong ito (ang panuntunan ng Woodward-Hoffman) ay nagsasaad na ang indibidwal na elementarya ay kumikilos mga reaksiyong kemikal pumasa habang pinapanatili ang simetrya ng mga molecular orbital, o orbital symmetry. Kung mas nasira ang simetrya ng mga orbital sa panahon ng elementarya, mas mahirap ang reaksyon.

Ang pagsasaalang-alang sa simetrya ng mga molekula ay mahalaga sa paghahanap at pagpili ng mga sangkap na ginagamit sa paglikha ng mga kemikal na laser at molekular na rectifier, sa pagtatayo ng mga modelo ng mga organikong superconductors, sa pagsusuri ng carcinogenic at pharmacological aktibong sangkap atbp.

Lit.: Hochstrasser R., Molecular na aspeto ng symmetry, trans. mula sa English, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f. Teorya ng mga grupo at mga aplikasyon nito sa quantum mechanics ng mga molekula, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., konserbasyon ng orbital symmetry, trans. mula sa English, M., 1971.

N. F. Stepanov.

sa biology (biosymmetry). Ang kababalaghan ng S. sa buhay na kalikasan ay binigyang pansin sa Sinaunang Greece Pythagoreans (ika-5 siglo BC) na may kaugnayan sa kanilang pag-unlad ng doktrina ng pagkakaisa. Noong ika-19 na siglo ang mga nakahiwalay na gawa ay lumitaw sa S. ng mga halaman (French scientist O. P. Decandol at O. Bravo), mga hayop (German - E. Haeckel), biogenic molecule (French - A. Vechan, L. Pasteur, atbp.). Noong ika-20 siglo ang mga biyolohikal na bagay ay pinag-aralan mula sa pananaw pangkalahatang teorya S. (Soviet scientists Yu. V. Vulf, V. N. Beklemishev, B. K. Vainshtein, Dutch physicochemist F. M. Eger, English crystallographers na pinamumunuan ni J. Bernal) at ang doktrina ng rightism at leftism (Soviet scientists V. I. Vernadsky, V. V. Alpatov, V. V. Alpatov Gause, at iba pa, at ang Aleman na siyentipiko na si W. Ludwig). Ang mga gawa na ito ay humantong sa pagkakakilanlan noong 1961 ng isang espesyal na direksyon sa teorya ng S. - biosymmetry.

Ang Structural S. ng mga biological na bagay ay pinakamasinsinang pinag-aralan. Ang pag-aaral ng S. ng biostructures - molecular at supramolecular - mula sa pananaw ng structural S. ay ginagawang posible na matukoy nang maaga ang mga posibleng uri ng S. para sa kanila, at sa gayon ang bilang at uri ng mga posibleng pagbabago, upang mahigpit na ilarawan ang panlabas hugis at panloob na istraktura ng anumang spatial na biological na bagay. Nagdulot ito ng malawakang paggamit ng mga ideya ng istrukturang S. sa zoology, botany, at molecular biology. Ang Structural S. ay nagpapakita ng sarili lalo na sa anyo ng isa o isa pang regular na pag-uulit. Sa klasikal na teorya ng structural symmetry, na binuo ng German scientist na si I. F. Gessel, E. S. Fedorov, at iba pa, ang hitsura ng istraktura ng isang bagay ay maaaring inilarawan ng isang hanay ng mga elemento ng istraktura nito, i.e., tulad ng mga geometric na elemento (mga puntos, linya, eroplano), na nauugnay sa kung saan ang parehong mga bahagi ng bagay ay iniutos (tingnan ang Symmetry sa matematika). Halimbawa, ang view ng S. phlox flower ( kanin. 1 , c) - isang axis ng ika-5 order, na dumadaan sa gitna ng bulaklak; ginawa sa pamamagitan ng operasyon nito - 5 pag-ikot (sa pamamagitan ng 72, 144, 216, 288 at 360 °), sa bawat isa kung saan ang bulaklak ay nag-tutugma sa sarili nito. Tingnan ang C. butterfly figure ( kanin. 2 , b) - isang eroplano na naghahati nito sa 2 halves - kaliwa at kanan; ang operasyon na ginawa sa pamamagitan ng eroplano ay isang salamin na salamin, "ginagawa" ang kaliwang kalahati ng kanan, ang kanang kalahati ng kaliwa, at ang pigura ng butterfly na pinagsama sa sarili nito. Tingnan ang C. radiolarian Lithocubus geometricus ( kanin. 3 , b), bilang karagdagan sa mga axes ng pag-ikot at mga eroplano ng pagmuni-muni, naglalaman din ito ng sentro C. Anumang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng isang solong punto sa loob ng radiolaria sa magkabilang panig nito at sa magkaparehong mga distansya ay nakakatugon sa pareho (naaayon) mga punto ng pigura. Ang mga operasyon na isinagawa sa pamamagitan ng sentro ng S. ay mga pagmuni-muni sa isang punto, pagkatapos kung saan ang pigura ng radiolarian ay pinagsama din sa sarili nito.

Sa buhay na kalikasan (pati na rin sa walang buhay na kalikasan), dahil sa iba't ibang mga paghihigpit, ang isang makabuluhang mas maliit na bilang ng mga species ng S. ay karaniwang matatagpuan kaysa sa teoryang posible. Halimbawa, sa mas mababang mga yugto ng pag-unlad ng buhay na kalikasan, mayroong mga kinatawan ng lahat ng mga klase ng punctate S. - hanggang sa mga organismo na nailalarawan ng S. ng regular na polyhedra at isang bola (tingnan. kanin. 3 ). Gayunpaman, para sa higit pa matataas na hakbang ebolusyon, halaman at hayop ay matatagpuan higit sa lahat sa tinatawag na. axial (uri n) at actinomorphic (uri n(m)SA. (sa parehong mga kaso n maaaring tumagal ng mga halaga mula 1 hanggang ∞). Mga bioobject na may axial S. (tingnan. kanin. 1 ) ay nailalarawan lamang ng C. axis ng order n. Mga bioobject ng sactinomorphic S. (tingnan. kanin. 2 ) ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang axis ng order n at mga eroplanong bumabagtas sa kahabaan ng axis na ito m. Sa wildlife, ang S. species ay pinakakaraniwan. n = 1 at 1․ m = m, ay tinatawag, ayon sa pagkakabanggit, asymmetry (Tingnan ang Asymmetry) at bilateral, o bilateral, S. Asymmetry ay katangian ng mga dahon ng karamihan sa mga species ng halaman, bilateral S. - sa isang tiyak na lawak para sa panlabas na anyo katawan ng tao, vertebrates at maraming invertebrates. Sa mga mobile na organismo, ang naturang paggalaw ay maliwanag na nauugnay sa mga pagkakaiba sa kanilang paggalaw pataas at pababa at pasulong at paatras, habang ang kanilang mga paggalaw sa kanan at kaliwa ay pareho. Ang paglabag sa kanilang bilateral na S. ay tiyak na hahantong sa pagsugpo sa paggalaw ng isa sa mga partido at pagbabago ng pasulong na kilusan sa isang pabilog. Noong 50-70s. ika-20 siglo masinsinang pag-aaral (pangunahin sa USSR) ay sumailalim sa tinatawag na. dissymmetric bio-objects ( kanin. 4 ). Ang huli ay maaaring umiral sa hindi bababa sa dalawang mga pagbabago - sa anyo ng orihinal at ang mirror na imahe nito (antipode). Bukod dito, ang isa sa mga form na ito (kahit alin) ay tinatawag na kanan o D (mula sa Latin dextro), ang isa pa - kaliwa o L (mula sa Latin laevo). Kapag pinag-aaralan ang hugis at istraktura ng D- at L-biological na mga bagay, ang teorya ng dissymmetrizing factor ay binuo, na nagpapatunay ng posibilidad para sa anumang D- o L-object ng dalawa o higit pa (hanggang sa isang walang katapusang bilang) mga pagbabago (tingnan din kanin. 5 ); kasabay nito, naglalaman din ito ng mga formula para sa pagtukoy ng bilang at uri ng huli. Ang teoryang ito ay humantong sa pagkatuklas ng tinatawag na. biological isomerism (Tingnan. Isomerism) (iba't ibang biological na bagay ng parehong komposisyon; sa kanin. 5 16 na mga isomer ng dahon ng linden ay ipinapakita).

Kapag pinag-aaralan ang paglitaw ng mga biological na bagay, natagpuan na sa ilang mga kaso ang D-form ay nangingibabaw, sa iba L-form, sa iba ay pareho silang karaniwan. Bechamp at Pasteur (40s ng ika-19 na siglo), at noong 30s. ika-20 siglo Ipinakita ng mga siyentipikong Sobyet na si G.F. Gause at iba pa na ang mga selula ng mga organismo ay binuo lamang o pangunahin mula sa mga L-amino acid, L-proteins, D-deoxyribonucleic acid, D-sugar, L-alkaloids, D- at L-terpenes, atbp. e Kaya pangunahing at katangian ng mga buhay na selula, na tinawag ni Pasteur na dissymmetry ng protoplasm, ay nagbibigay ng selula, gaya ng itinatag noong ika-20 siglo, na may mas aktibong metabolismo at pinapanatili sa pamamagitan ng mga kumplikadong biological at physico-chemical na mekanismo na lumitaw sa proseso ng ebolusyon. Mga kuwago. Noong 1952, itinatag ng siyentipiko na si V. V. Alpatov sa 204 na species ng mga vascular na halaman na 93.2% ng mga species ng halaman ay nabibilang sa uri na may L-, 1.5% - kasama ang D-course ng helical thickenings ng mga pader ng mga daluyan ng dugo, 5.3% ng mga species. - sa uri ng racemic (ang bilang ng mga D-vessel ay humigit-kumulang katumbas ng bilang ng mga L-vessel).

Kapag nag-aaral ng D- at L-biological na mga bagay, natagpuan na ang pagkakapantay-pantay sa pagitan D at L na mga hugis sa ilang mga kaso, ito ay nabalisa dahil sa pagkakaiba sa kanilang physiological, biochemical, at iba pang mga katangian. Ang tampok na ito ng buhay na kalikasan ay tinatawag na dissymmetry ng buhay. Kaya, ang excitatory effect ng L-amino acids sa paggalaw ng plasma in mga selula ng halaman sampu at daan-daang beses na nakahihigit sa parehong epekto ng kanilang mga D-form. Maraming antibiotics (penicillin, gramicidin, atbp.) na naglalaman ng D-amino acids ay mas bactericidal kaysa sa kanilang mga form na may L-amino acids. Ang mas karaniwang helical L-kop beet ay 8-44% (depende sa iba't) na mas mabigat at naglalaman ng 0.5-1% na mas maraming asukal kaysa sa D-kop beets.

Sa araling ito, titingnan natin ang isa pang katangian ng ilang figure - axial at central symmetry. Nakatagpo tayo ng axial symmetry araw-araw kapag tumitingin tayo sa salamin. Ang sentral na simetrya ay karaniwan sa wildlife. Kasabay nito, ang mga figure na may mahusay na proporsyon ay may ilang mga katangian. Bilang karagdagan, malalaman natin sa ibang pagkakataon na ang axial at central symmetries ay mga uri ng paggalaw sa tulong kung saan nalutas ang isang buong klase ng mga problema.

Ang araling ito ay tungkol sa axial at central symmetry.

Kahulugan

Ang dalawang puntos at tinatawag simetriko nauugnay sa isang tuwid na linya kung:

Sa Fig. Ang 1 ay nagpapakita ng mga halimbawa ng mga puntong simetriko na may kinalaman sa isang tuwid na linya at , at .

kanin. 1

Napansin din namin ang katotohanan na ang anumang punto ng isang linya ay simetriko sa sarili nito na may paggalang sa linyang ito.

Ang mga figure ay maaari ding maging simetriko na may paggalang sa isang tuwid na linya.

Bumuo tayo ng isang mahigpit na kahulugan.

Kahulugan

Ang pigura ay tinatawag simetriko tungkol sa isang tuwid na linya, kung para sa bawat punto ng figure ang puntong simetriko dito na may paggalang sa linyang ito ay kabilang din sa figure. Sa kasong ito, ang linya ay tinatawag axis ng simetrya. Ang figure ay may axial symmetry.

Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga figure na may axial symmetry at ang kanilang mga axes ng symmetry.

Halimbawa 1

Ang anggulo ay axially simetriko. Ang axis ng symmetry ng anggulo ay ang bisector. Sa katunayan: i-drop natin ang patayo sa bisector mula sa anumang punto ng anggulo at i-extend ito hanggang sa mag-intersect ito sa kabilang panig ng anggulo (tingnan ang Fig. 2).

kanin. 2

(dahil - ang karaniwang panig, (property ng bisector), at ang mga triangles ay right-angled). Ibig sabihin, . Samakatuwid, ang mga punto at ay simetriko na may paggalang sa bisector ng anggulo.

Ito ay sumusunod mula dito na isosceles triangle ay may axial symmetry na may paggalang sa bisector (taas, median) na iginuhit sa warp.

Halimbawa 2

Ang isang equilateral triangle ay may tatlong axes ng symmetry (bisectors / median / heights ng bawat isa sa tatlong anggulo (tingnan ang Fig. 3).

kanin. 3

Halimbawa 3

Ang isang parihaba ay may dalawang axes ng symmetry, bawat isa ay dumadaan sa mga midpoint ng dalawa nito magkabilang panig(tingnan ang Fig. 4).

kanin. 4

Halimbawa 4

Ang rhombus ay mayroon ding dalawang axes ng symmetry: mga tuwid na linya na naglalaman ng mga diagonal nito (tingnan ang Fig. 5).

kanin. 5

Halimbawa 5

Ang isang parisukat, na parehong isang rhombus at isang parihaba, ay may 4 na axes ng symmetry (tingnan ang Fig. 6).

kanin. 6

Halimbawa 6

Para sa isang bilog, ang axis ng symmetry ay anumang tuwid na linya na dumadaan sa gitna nito (iyon ay, naglalaman ng diameter ng bilog). Samakatuwid, ang bilog ay may walang katapusang maraming axes ng simetrya (tingnan ang Fig. 7).

kanin. 7

Isaalang-alang ngayon ang konsepto sentral na simetrya.

Kahulugan

Ang mga puntos at tinatawag simetriko kaugnay sa punto , kung: - sa gitna ng segment .

Tingnan natin ang ilang halimbawa: sa Fig. Ipinapakita ng Figure 8 ang mga punto at , pati na rin at , na simetriko sa punto , habang ang mga punto at ay hindi simetriko sa puntong ito.

kanin. 8

Ang ilang mga figure ay simetriko tungkol sa ilang mga punto. Bumuo tayo ng isang mahigpit na kahulugan.

Kahulugan

Ang pigura ay tinatawag simetriko tungkol sa isang punto, kung para sa anumang punto ng figure, ang puntong simetriko dito ay kabilang din sa figure na ito. Tinatawag ang punto sentro ng simetrya, at ang pigura ay may sentral na simetrya.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga figure na may central symmetry.

Halimbawa 7

Para sa isang bilog, ang sentro ng simetrya ay ang sentro ng bilog (ito ay madaling patunayan sa pamamagitan ng pag-alala sa mga katangian ng diameter at radius ng bilog) (tingnan ang Fig. 9).

kanin. 9

Halimbawa 8

Para sa isang paralelogram, ang sentro ng simetrya ay ang intersection point ng mga diagonal (tingnan ang Fig. 10).

kanin. 10

Lutasin natin ang ilang problema sa axial at central symmetry.

Gawain 1.

Ilang axes ng symmetry mayroon ang line segment?

Ang segment ay may dalawang axes ng symmetry. Ang una sa mga ito ay isang linya na naglalaman ng isang segment (dahil ang anumang punto ng isang linya ay simetriko sa sarili nito na may paggalang sa linyang ito). Pangalawa - midperpendicular sa segment, iyon ay, isang tuwid na linya na patayo sa segment at dumadaan sa gitnang punto nito.

Sagot: 2 axes ng simetrya.

Gawain 2.

Ilang axes ng symmetry mayroon ang isang linya?

Ang isang tuwid na linya ay may walang katapusang maraming mga palakol ng mahusay na proporsyon. Ang isa sa mga ito ay ang linya mismo (dahil ang anumang punto ng linya ay simetriko sa sarili nito na may paggalang sa linyang ito). At gayundin ang mga palakol ng mahusay na proporsyon ay anumang mga linya na patayo sa isang naibigay na linya.

Sagot: mayroong walang katapusang maraming mga palakol ng mahusay na proporsyon.

Gawain 3.

Ilang axes ng symmetry mayroon ang ray?

Ang ray ay may isang axis ng symmetry, na tumutugma sa linyang naglalaman ng ray (dahil ang anumang punto ng linya ay simetriko sa sarili nito na may kinalaman sa linyang ito).

Sagot: isang axis ng simetrya.

Gawain 4.

Patunayan na ang mga linyang naglalaman ng mga dayagonal ng isang rhombus ay ang mga palakol ng simetriya nito.

Patunay:

Isaalang-alang ang isang rhombus. Patunayan natin, halimbawa, na ang isang tuwid na linya ay ang axis ng symmetry nito. Malinaw, ang mga punto at ay simetriko sa kanilang mga sarili, dahil sila ay namamalagi sa linyang ito. Bilang karagdagan, ang mga punto at ay simetriko na may paggalang sa linyang ito, dahil . Pumili tayo ngayon ng isang di-makatwirang punto at patunayan na ang puntong simetriko kaugnay nito ay kabilang din sa rhombus (tingnan ang Fig. 11).

kanin. labing-isa

Gumuhit ng patayo sa linya sa pamamagitan ng punto at i-extend ito sa intersection na may . Isaalang-alang ang mga tatsulok at . Ang mga tatsulok na ito ay hugis-parihaba (sa pamamagitan ng konstruksiyon), bilang karagdagan, sa kanila: - isang karaniwang binti, at (dahil ang mga diagonal ng isang rhombus ay ang mga bisector nito). Kaya ang mga tatsulok na ito ay pantay: . Nangangahulugan ito na ang lahat ng kanilang mga kaukulang elemento ay pantay din, samakatuwid: . Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga segment na ito, sumusunod na ang mga punto at ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya. Nangangahulugan ito na ang axis ng symmetry ng rhombus. Ang katotohanang ito ay maaaring patunayan nang katulad para sa pangalawang dayagonal.

Napatunayan.

Gawain 5.

Patunayan na ang punto ng intersection ng mga diagonal ng isang paralelogram ay ang sentro ng simetrya nito.

Patunay:

Isaalang-alang ang isang paralelogram. Patunayan natin na ang punto ay ang sentro ng simetrya nito. Malinaw na ang mga punto at , at ay magkapares na simetriko na may kinalaman sa punto , dahil ang mga dayagonal ng paralelogram ay nahahati sa intersection point sa kalahati. Pumili tayo ngayon ng isang di-makatwirang punto at patunayan na ang puntong simetriko patungkol dito ay kabilang din sa paralelogram (tingnan ang Fig. 12).

Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa isang kababalaghan na patuloy na nakatagpo ng bawat isa sa atin sa buhay: tungkol sa simetrya. Ano ang symmetry?

Tinatayang naiintindihan nating lahat ang kahulugan ng terminong ito. Sinasabi ng diksyunaryo: ang symmetry ay ang proporsyonalidad at buong pagsusulatan ng pagkakaayos ng mga bahagi ng isang bagay na may kaugnayan sa isang linya o punto. Mayroong dalawang uri ng simetrya: axial at radial. Tingnan muna natin ang axis. Ito ay, sabihin nating, "mirror" symmetry, kapag ang kalahati ng bagay ay ganap na magkapareho sa pangalawa, ngunit inuulit ito bilang isang pagmuni-muni. Tingnan ang mga kalahati ng sheet. Ang mga ito ay simetriko sa salamin. Ang mga kalahati ng katawan ng tao (buong mukha) ay simetriko din - ang parehong mga braso at binti, ang parehong mga mata. Ngunit huwag tayong magkamali, sa katunayan, sa organic (nabubuhay) na mundo, hindi mahahanap ang ganap na simetrya! Ang mga halves ng sheet ay hindi perpektong kopyahin ang bawat isa, ang parehong naaangkop sa katawan ng tao(tingnan ang iyong sarili); ganoon din sa ibang organismo! Sa pamamagitan ng paraan, ito ay nagkakahalaga ng pagdaragdag na ang anumang simetriko na katawan ay simetriko na may kaugnayan sa manonood sa isang posisyon lamang. Ito ay kinakailangan, sabihin, upang i-on ang sheet, o itaas ang isang kamay, at ano? - tingnan mo ang iyong sarili.

Nakamit ng mga tao ang tunay na simetrya sa mga produkto ng kanilang paggawa (mga bagay) - mga damit, mga kotse ... Sa kalikasan, ito ay katangian ng mga inorganikong pormasyon, halimbawa, mga kristal.

Ngunit magpatuloy tayo sa pagsasanay. Hindi sulit na magsimula sa mga kumplikadong bagay tulad ng mga tao at hayop, subukan nating tapusin ang salamin sa kalahati ng sheet bilang unang ehersisyo sa isang bagong larangan.

Gumuhit ng simetriko na bagay - aralin 1

Subukan nating gawing katulad ito hangga't maaari. Para magawa ito, literal nating bubuuin ang ating soul mate. Huwag isipin na napakadali, lalo na sa unang pagkakataon, upang gumuhit ng isang linya na katumbas ng salamin na may isang stroke!

Markahan natin ang ilang reference point para sa hinaharap na simetriko na linya. Kumilos kami tulad nito: gumuhit kami ng isang lapis nang walang presyon ng ilang mga patayo sa axis ng simetrya - ang gitnang ugat ng sheet. Apat o lima ay sapat na. At sa mga perpendicular na ito ay sinusukat namin sa kanan ang parehong distansya tulad ng sa kaliwang kalahati sa linya ng gilid ng dahon. Payo ko sa iyo na gamitin ang ruler, huwag talagang umasa sa mata. Bilang isang patakaran, malamang na bawasan namin ang pagguhit - napansin ito sa karanasan. Hindi namin inirerekomenda ang pagsukat ng mga distansya gamit ang iyong mga daliri: ang error ay masyadong malaki.

Ikonekta ang mga nagresultang punto sa isang linya ng lapis:

Ngayon kami ay tumingin meticulously - ang mga kalahati ay talagang pareho. Kung tama ang lahat, bibilugan namin ito gamit ang isang felt-tip pen, linawin ang aming linya:

Ang dahon ng poplar ay nakumpleto na, ngayon ay maaari kang umindayog sa oak.

Gumuhit tayo ng simetriko figure - aralin 2

Sa kasong ito, ang kahirapan ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga ugat ay minarkahan at hindi sila patayo sa axis ng simetrya, at hindi lamang ang mga sukat kundi pati na rin ang anggulo ng pagkahilig ay kailangang eksaktong obserbahan. Well, sanayin natin ang mata:

Kaya't ang isang simetriko na dahon ng oak ay iginuhit, o sa halip, itinayo namin ito ayon sa lahat ng mga patakaran:

Paano gumuhit ng simetriko na bagay - aralin 3

At aayusin namin ang paksa - tatapusin namin ang pagguhit ng simetriko na dahon ng lilac.

Mayroon din siyang kawili-wiling hugis - hugis-puso at may mga tainga sa base kailangan mong puff:

Narito ang kanilang iginuhit:

Tingnan ang nagresultang trabaho mula sa malayo at suriin kung gaano katumpak ang naihatid namin ang kinakailangang pagkakatulad. Narito ang isang tip para sa iyo: tingnan ang iyong imahe sa salamin, at ito ay magsasabi sa iyo kung mayroong anumang mga pagkakamali. Ang isa pang paraan: ibaluktot ang imahe nang eksakto sa kahabaan ng axis (natutunan na namin kung paano yumuko nang tama) at gupitin ang dahon kasama ang orihinal na linya. Tingnan ang pigura mismo at ang ginupit na papel.

symmetry arkitektura facade gusali

Ang simetrya ay isang konsepto na sumasalamin sa pagkakasunud-sunod na umiiral sa kalikasan, proporsyonalidad at proporsyonalidad sa pagitan ng mga elemento ng anumang sistema o bagay ng kalikasan, kaayusan, balanse ng sistema, katatagan, i.e. ilang elemento ng pagkakaisa.

Lumipas ang libu-libong taon bago napagtanto ng sangkatauhan, sa takbo ng aktibidad ng produksyong panlipunan nito, ang pangangailangang ipahayag sa ilang partikular na termino ang dalawang tendensiyang itinatag nito pangunahin sa kalikasan: ang pagkakaroon ng mahigpit na kaayusan, proporsyonalidad, balanse, at ang kanilang paglabag. Matagal nang binibigyang pansin ng mga tao ang kawastuhan ng hugis ng mga kristal, ang geometriko na higpit ng istraktura ng mga pulot-pukyutan, ang pagkakasunud-sunod at pag-uulit ng pag-aayos ng mga sanga at dahon sa mga puno, petals, bulaklak, buto ng halaman, at ipinakita ang kaayusan na ito sa kanilang praktikal na gawain, pag-iisip at sining.

Ang simetrya ay nagtataglay ng mga bagay at phenomena ng buhay na kalikasan. Hindi lamang ito nakalulugod sa mata at nagbibigay inspirasyon sa mga makata sa lahat ng panahon at mga tao, ngunit nagbibigay-daan sa mga buhay na organismo na mas mahusay na umangkop sa kanilang kapaligiran at simpleng mabuhay.

Sa buhay na kalikasan, ang karamihan sa mga nabubuhay na organismo ay nagpapakita iba't ibang uri symmetries (hugis, pagkakatulad, kamag-anak na posisyon). Bukod dito, iba't ibang mga organismo anatomikal na istraktura maaaring magkaroon ng parehong uri ng panlabas na simetrya.

Ang prinsipyo ng simetrya - nagsasaad na kung ang espasyo ay homogenous, ang paglipat ng system sa kabuuan sa espasyo ay hindi nagbabago sa mga katangian ng system. Kung ang lahat ng mga direksyon sa espasyo ay katumbas, kung gayon ang prinsipyo ng simetrya ay nagbibigay-daan sa pag-ikot ng system sa kabuuan sa espasyo. Ang prinsipyo ng simetrya ay sinusunod kung babaguhin mo ang pinagmulan ng oras. Alinsunod sa prinsipyo, posible na gumawa ng isang paglipat sa isa pang frame ng sanggunian na gumagalaw na may kaugnayan sa frame na ito sa isang pare-pareho ang bilis. Ang walang buhay na mundo ay napaka simetriko. Kadalasan mayroong isang paglabag sa mahusay na proporsyon sa quantum physics elementarya particle ay isang manipestasyon ng mas malalim na simetrya. Ang kawalaan ng simetrya ay ang pagbuo ng istraktura at malikhaing prinsipyo ng buhay. Sa mga buhay na selula, ang mga biomolecules na gumagana ay walang simetriko: ang mga protina ay binubuo ng mga left-handed amino acids (L-form), at mga nucleic acid naglalaman sa kanilang komposisyon, bilang karagdagan sa mga heterocyclic base, dextrorotatory carbohydrates - sugars (D-form), bilang karagdagan, ang DNA mismo - ang batayan ng pagmamana ay isang tamang double helix.

Ang mga prinsipyo ng symmetry ay sumasailalim sa teorya ng relativity, quantum mechanics, physics matibay na katawan, atomic at nuclear physics, elementary particle physics. Ang mga prinsipyong ito ay pinakamalinaw na ipinahayag sa mga katangian ng invariance ng mga batas ng kalikasan. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin hindi lamang ang tungkol sa mga pisikal na batas, kundi pati na rin ang iba, halimbawa, mga biyolohikal. Isang halimbawa batas biyolohikal ang konserbasyon ay maaaring magsilbing batas ng mana. Ito ay batay sa invariance ng biological properties na may paggalang sa paglipat mula sa isang henerasyon patungo sa isa pa. Malinaw na kung wala ang mga batas ng konserbasyon (pisikal, biyolohikal at iba pa), ang ating mundo ay hindi maaaring umiral.

Kaya, ang symmetry ay nagpapahayag ng pag-iingat ng isang bagay na may ilang mga pagbabago o ang pag-iingat ng isang bagay sa kabila ng pagbabago. Ang symmetry ay nagpapahiwatig ng immutability ng hindi lamang ng object mismo, kundi ng alinman sa mga katangian nito na may kaugnayan sa mga pagbabagong ginawa sa object. Ang immutability ng ilang mga bagay ay maaaring maobserbahan na may kaugnayan sa iba't ibang mga operasyon - sa mga pag-ikot, pagsasalin, kapwa pagpapalit ng mga bahagi, pagmuni-muni, atbp.

Isaalang-alang ang mga uri ng simetrya sa matematika:

• * sentral (kamag-anak sa punto)
• * axial (medyo tuwid)
• * salamin (kamag-anak sa eroplano)
• 1. Central symmetry (Appendix 1)

Ang isang pigura ay tinatawag na simetriko na may paggalang sa punto O kung para sa bawat punto ng figure ang puntong simetriko dito na may paggalang sa punto O ay kabilang din sa figure na ito. Point O ay tinatawag na sentro ng mahusay na proporsyon ng figure.

Ang konsepto ng isang sentro ng simetrya ay unang nakilala noong ika-16 na siglo. Sa isa sa mga theorems ng Clavius, na nagsasabing: "kung ang isang kahon ay pinutol ng isang eroplano na dumadaan sa gitna, pagkatapos ay nahahati ito sa kalahati at, sa kabaligtaran, kung ang kahon ay pinutol sa kalahati, pagkatapos ay ang eroplano ay dumaan sa gitna." Si Legendre, na unang nagpakilala ng mga elemento ng teorya ng simetrya sa elementarya na geometry, ay nagpapakita na kanang parallelepiped mayroong 3 eroplano ng simetrya na patayo sa mga gilid, at ang kubo ay may 9 na eroplano ng simetriya, kung saan 3 ay patayo sa mga gilid, at ang iba pang 6 ay dumadaan sa mga dayagonal ng mga mukha.

Ang mga halimbawa ng mga figure na may central symmetry ay ang bilog at ang paralelogram.

Sa algebra, kapag nag-aaral ng even at odd na function, ang kanilang mga graph ay isinasaalang-alang. Ang graph ng kahit na function kapag naka-plot ay simetriko tungkol sa y-axis, at ang graph ng isang kakaibang function ay tungkol sa pinagmulan, i.e. punto O. Kaya, hindi kahit function ay may sentral na simetrya, at ang pantay na function ay may axial symmetry.

2. Axial symmetry (Appendix 2)

Ang figure ay tinatawag na simetriko na may kinalaman sa isang linya a, kung para sa bawat punto ng figure ang punto simetriko dito na may paggalang sa linya a ay kabilang din sa figure na ito. Ang linya a ay tinatawag na axis ng symmetry ng figure. Ang pigura ay sinasabing mayroon ding axial symmetry.

Sa mas makitid na kahulugan, ang axis ng symmetry ay tinatawag na axis of symmetry ng pangalawang order at pinag-uusapan nila ang tungkol sa "axial symmetry", na maaaring tukuyin bilang mga sumusunod: isang figure (o katawan) ay may axial symmetry tungkol sa ilang axis, kung ang bawat isa. ng mga puntong E nito ay tumutugma sa naturang punto F na kabilang sa parehong figure, na ang segment na EF ay patayo sa axis, intersects ito at nahahati sa kalahati sa punto ng intersection.

Magbibigay ako ng mga halimbawa ng mga figure na may axial symmetry. Ang isang nakabukas na anggulo ay may isang axis ng symmetry - isang tuwid na linya kung saan matatagpuan ang bisector ng anggulo. Ang isosceles (ngunit hindi equilateral) triangle ay mayroon ding isang axis ng symmetry, at ang equilateral triangle ay may tatlong axes ng symmetry. Ang isang parihaba at isang rhombus, na hindi mga parisukat, ang bawat isa ay may dalawang axes ng simetrya, at ang isang parisukat ay may apat na axes ng simetrya. Ang isang bilog ay may walang katapusang bilang ng mga ito - anumang tuwid na linya na dumadaan sa gitna nito ay isang axis ng simetrya.

May mga figure na walang anumang axis ng symmetry. Kabilang sa mga naturang figure ang isang paralelogram maliban sa isang parihaba, isang tatsulok na scalene.

3. Mirror symmetry (Appendix 3)

Ang mirror symmetry (simetrya na may kinalaman sa isang eroplano) ay isang pagmamapa ng espasyo papunta sa sarili nito, kung saan ang anumang puntong M ay dumadaan sa isang puntong M1 na simetriko dito patungkol sa eroplanong ito.

Ang simetrya ng salamin ay kilala sa bawat tao mula sa pang-araw-araw na pagmamasid. Tulad ng ipinapakita ng pangalan mismo, ang mirror symmetry ay nag-uugnay sa anumang bagay at ang repleksyon nito sa isang patag na salamin. Ang isang pigura (o katawan) ay sinasabing salamin na simetriko sa isa pa kung magkasama sila ay bumubuo ng isang salamin na simetriko figure (o katawan).

Ang mga manlalaro ng bilyar ay matagal nang pamilyar sa aksyon ng pagmuni-muni. Ang kanilang "salamin" ay mga panig palaruan, at ang papel na ginagampanan ng isang sinag ng liwanag ay ginagampanan ng mga trajectory ng mga bola. Ang pagkakaroon ng pindutin ang board malapit sa sulok, ang bola ay gumulong sa gilid na matatagpuan sa isang tamang anggulo, at, na makikita mula dito, gumagalaw pabalik parallel sa direksyon ng unang epekto.

Dapat pansinin na dalawa simetriko figure o dalawang simetriko na bahagi ng isang pigura, kasama ang lahat ng kanilang pagkakatulad, pagkakapantay-pantay ng mga volume at mga lugar sa ibabaw, sa pangkalahatang kaso, ay hindi pantay, i.e. hindi sila maaaring pagsamahin sa isa't isa. Ito iba't ibang pigura, hindi sila maaaring palitan sa isa't isa, tulad ng kanang guwantes, boot, atbp. hindi angkop para sa kaliwang kamay, paa. Ang mga item ay maaaring magkaroon ng isa, dalawa, tatlo, atbp. mga eroplano ng simetrya. Halimbawa, ang isang tuwid na pyramid na ang base ay isang isosceles triangle ay simetriko na may kinalaman sa isang eroplanong P. Ang isang prisma na may parehong base ay may dalawang eroplano ng simetriya. Ang isang regular na hexagonal prism ay may pito sa kanila. Solids ng rebolusyon: bola, torus, silindro, kono, atbp. magkaroon ng isang walang katapusang bilang ng mga eroplano ng mahusay na proporsyon.

Naniniwala ang mga sinaunang Griyego na ang uniberso ay simetriko dahil lang sa maganda ang simetrya. Batay sa mga pagsasaalang-alang ng simetrya, gumawa sila ng isang bilang ng mga haka-haka. Kaya, ang Pythagoras (ika-5 siglo BC), na isinasaalang-alang ang globo bilang ang pinaka simetriko at perpektong anyo, ay napagpasyahan na ang Earth ay spherical at gumagalaw sa paligid ng globo. Kasabay nito, naniniwala siya na ang Earth ay gumagalaw kasama ang globo ng isang tiyak na "gitnang apoy". Sa paligid ng parehong "apoy", ayon kay Pythagoras, ang anim na planeta na kilala noong panahong iyon, pati na rin ang Buwan, Araw, at mga bituin, ay dapat na umiikot.