Mga determinant at sistema ng mga linear na equation. Matrix na representasyon ng isang sistema ng mga linear equation. Matrix determinant

KOSTROMA BRANCH NG MILITARY UNIVERSITY OF RCB PROTECTION

Kagawaran ng Automation ng Troop Control

Para sa mga guro lamang

"Sang-ayon ako"

Pinuno ng Departamento Blg. 9

Koronel YAKOVLEV A.B.

"____"________________ 2004

Associate Professor A.I. SMIRNOVA

"Mga KUALIFIER.

SOLUSYON NG SYSTEM NG LINEAR EQUATIONS"

LECTURE Blg. 2 / 1

Tinalakay sa pulong ng departamento Blg. 9

"____"___________ 2004

Protocol No.___________

Kostroma, 2004.

Panimula

1. Pangalawa at pangatlong mga determinant ng pagkakasunud-sunod.

2. Mga katangian ng mga determinant. Decomposition theorem.

3. Teorama ni Cramer.

Konklusyon

Panitikan

1. V.E. Schneider et al. Maikling kurso Higher Mathematics, Volume I, Ch. 2, talata 1.

2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, kabanata 10, talata 2.

PANIMULA

Tinatalakay ng panayam ang mga determinant ng ikalawa at pangatlong order at ang kanilang mga katangian. At gayundin ang teorama ni Cramer, na nagpapahintulot sa paglutas ng mga sistema linear na equation gamit ang mga qualifier. Ginagamit din ang mga determinant mamaya sa paksang "Vector Algebra" kapag kinakalkula ang vector product ng mga vectors.

1st study na tanong MGA DETERMINANTS NG PANGALAWA AT PANGATLO

ORDER

Isaalang-alang ang isang talahanayan ng apat na numero ng form

Ang mga numero sa talahanayan ay ipinahiwatig ng isang titik na may dalawang indeks. Ang unang index ay nagpapahiwatig ng row number, ang pangalawa ay ang column number.

KAHULUGAN 1. Pangalawang order determinant tinawag pagpapahayag mabait :

(1)

Numero A 11, …, A 22 ay tinatawag na mga elemento ng determinant.

Diagonal na nabuo ng mga elemento A 11 ; A 22 ay tinatawag na pangunahing isa, at ang dayagonal na nabuo ng mga elemento A 12 ; A 21 - magkatabi.

Kaya, ang pangalawang-order na determinant ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng mga elemento ng pangunahing at pangalawang diagonal.

Tandaan na ang sagot ay isang numero.

MGA HALIMBAWA. Kalkulahin:

Ngayon isaalang-alang ang isang talahanayan ng siyam na numero, nakasulat sa tatlong hanay at tatlong hanay:

KAHULUGAN 2. Pangatlong determinant ng pagkakasunud-sunod tinatawag na pagpapahayag ng anyo :

Mga elemento A 11; A 22 ; A 33 – bumuo ng pangunahing dayagonal.

Numero A 13; A 22 ; A 31 - bumuo ng isang gilid dayagonal.

Ilarawan natin sa eskematiko kung paano nabuo ang mga plus at minus na termino:

" + " " – "

Kasama sa plus ang: ang produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal, ang natitirang dalawang termino ay ang produkto ng mga elemento na matatagpuan sa mga vertices ng mga tatsulok na may mga base na kahanay sa pangunahing dayagonal.

Ang mga minus na termino ay nabuo ayon sa parehong pamamaraan na may paggalang sa pangalawang dayagonal.

Ang panuntunang ito para sa pagkalkula ng third-order determinant ay tinatawag

Panuntunan T reugolnikov.

MGA HALIMBAWA. Kalkulahin gamit ang panuntunang tatsulok:

COMMENT. Ang mga determinant ay tinatawag ding mga determinant.

2nd pag-aaral na tanong MGA KATANGIAN NG MGA DETERMINANTS.

TEOREM NG EXPANSION

Ari-arian 1. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga hilera nito ay ipinagpalit sa mga kaukulang column.

Sa pamamagitan ng paglalahad ng parehong mga determinant, kami ay kumbinsido sa bisa ng pagkakapantay-pantay.

Itinatag ng Property 1 ang pagkakapantay-pantay ng mga row at column ng determinant. Samakatuwid, bubuo kami ng lahat ng karagdagang katangian ng determinant para sa parehong mga hilera at mga haligi.

Ari-arian 2. Kapag muling inaayos ang dalawang row (o column), binabago ng determinant ang sign nito sa kabaligtaran, pinapanatili ang ganap na halaga nito .

Ari-arian 3. Kabuuang multiplier mga elemento ng hilera (o kolum)maaaring kunin bilang determinant sign.

Ari-arian 4. Kung ang determinant ay may dalawa magkaparehong linya(o column), pagkatapos ay katumbas ito ng zero.

Maaaring patunayan ang property na ito sa pamamagitan ng direktang pag-verify, o maaari mong gamitin ang property 2.

Tukuyin natin ang determinant sa pamamagitan ng D. Kapag ang dalawang magkaparehong una at ikalawang hanay ay muling inayos, hindi ito magbabago, ngunit ayon sa pangalawang pag-aari ay dapat itong magbago ng tanda, i.e.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Ari-arian 5. Kung ang lahat ng mga elemento ng isang string (o kolum)ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

Ang ari-arian na ito ay maaaring ituring bilang espesyal na kaso ari-arian 3 sa

Ari-arian 6. Kung ang mga elemento ng dalawang linya (o mga hanay)ang mga determinant ay proporsyonal, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

Maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng direktang pag-verify o paggamit ng mga katangian 3 at 4.

Ari-arian 7. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang mga katumbas na elemento ng isa pang row (o column) ay idaragdag sa mga elemento ng isang row (o column), na i-multiply sa parehong numero.

Napatunayan sa pamamagitan ng direktang pag-verify.

Ang paggamit ng mga katangiang ito sa ilang mga kaso ay maaaring mapadali ang proseso ng pagkalkula ng mga determinant, lalo na sa ikatlong pagkakasunud-sunod.

Para sa mga sumusunod, kakailanganin natin ang mga konsepto ng minor at algebraic complement. Isaalang-alang natin ang mga konseptong ito upang tukuyin ang ikatlong pagkakasunud-sunod.

KAHULUGAN 3. menor de edad ng isang ibinigay na elemento ng isang third-order determinant ay tinatawag na pangalawang-order na determinant na nakuha mula sa isang ibinigay na elemento sa pamamagitan ng pagtawid sa row at column sa intersection kung saan nakatayo ang ibinigay na elemento.

Elementong menor de edad A i j ipinapahiwatig ng M i j. Kaya para sa elemento A 11 menor de edad

Ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa unang hilera at unang hanay sa ikatlong-order na determinant.

KAHULUGAN 4. Algebraic complement ng elemento ng determinant tinatawag nilang minor multiply by (-1)k , Saan k - ang kabuuan ng mga numero ng row at column sa intersection kung saan nakatayo ang elementong ito.

Algebraic complement ng isang elemento A i j ipinapahiwatig ng A i j .

kaya, A i j =

Isulat natin ang algebraic na mga karagdagan para sa mga elemento A 11 at A 12.

. .

Kapaki-pakinabang na tandaan ang panuntunan: ang algebraic complement ng isang elemento ng isang determinant ay katumbas ng signed minor nito. plus, kung ang kabuuan ng mga numero ng row at column kung saan lumalabas ang elemento ay kahit, at may tanda minus, kung ang halagang ito kakaiba .

Home > Dokumento

MATRICES, DETERMINANTS, SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS

KAHULUGAN NG MATRIX. MGA URI NG MATRICESMatrix ng laki m× n tinatawag na set m·n mga numerong nakaayos sa isang parihabang talahanayan ng m mga linya at n mga hanay. Ang talahanayang ito ay karaniwang nakapaloob sa mga panaklong. Halimbawa, ang matrix ay maaaring magmukhang:

Para sa kaiklian, ang isang matrix ay maaaring tukuyin ng isang malaking titik, halimbawa, A o SA.SA pangkalahatang pananaw laki ng matrix m× n isulat ito ng ganito

Tinatawag ang mga numerong bumubuo sa matrix mga elemento ng matrix. Maginhawang magbigay ng mga elemento ng matrix na may dalawang indeks a ij: Ang una ay nagpapahiwatig ng row number at ang pangalawa ay nagpapahiwatig ng column number. Halimbawa, a 23 – ang elemento ay nasa ika-2 hilera, ika-3 haligi. Kung ang bilang ng mga hilera sa isang matrix ay katumbas ng bilang ng mga hanay, kung gayon ang matrix ay tinatawag na parisukat, at ang bilang ng mga row o column nito ay tinatawag sa ayos matrice. Sa mga halimbawa sa itaas, ang pangalawang matrix ay parisukat - ang pagkakasunud-sunod nito ay 3, at ang ikaapat na matrix ay ang pagkakasunud-sunod nito 1. Ang isang matrix kung saan ang bilang ng mga hilera ay hindi katumbas ng bilang ng mga haligi ay tinatawag hugis-parihaba. Sa mga halimbawa, ito ang unang matrix at ang pangatlo. Mayroon ding mga matrice na mayroon lamang isang row o isang column. Ang matrix na may isang row lang ay tinatawag matris - hilera(o string), at isang matrix na may isang column lamang matris - hanay.Ang isang matrix na ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng zero ay tinatawag wala at tinutukoy ng (0), o simpleng 0. Halimbawa,

Pangunahing dayagonal ng isang parisukat na matrix na tinatawag nating dayagonal mula sa kaliwang itaas hanggang sa kanan ibabang sulok.

Ang isang parisukat na matrix kung saan ang lahat ng mga elemento sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero ay tinatawag tatsulok matris.

Ang isang parisukat na matrix kung saan ang lahat ng mga elemento, maliban marahil sa mga nasa pangunahing dayagonal, ay katumbas ng zero, ay tinatawag dayagonal matris. Halimbawa, o . Tinatawag ang isang dayagonal matrix kung saan ang lahat ng diagonal na elemento ay katumbas ng isa walang asawa matrix at tinutukoy ng letrang E. Halimbawa, ang 3rd order identity matrix ay may anyo .MGA PAGKILOS SA MATRICESPagkakapantay-pantay ng matrix. Dalawang matrice A At B ay sinasabing pantay-pantay kung mayroon silang parehong bilang ng mga hilera at hanay at ang mga katumbas na elemento nito ay magkapantay a ij = b ij. Kaya kung At , Iyon A=B, Kung a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 At a 22 = b 22 .Transpose. Isaalang-alang ang isang arbitrary na matrix A mula sa m mga linya at n mga hanay. Maaari itong maiugnay sa sumusunod na matrix B mula sa n mga linya at m mga column, kung saan ang bawat row ay isang matrix column A na may parehong numero (kaya ang bawat column ay isang hilera ng matrix A na may parehong numero). Kaya kung , Iyon .Itong matrix B tinawag inilipat matris A, at ang paglipat mula sa A Upang B transposisyon Kaya, ang transposisyon ay isang pagbabago sa mga tungkulin ng mga row at column ng matrix. Inilipat ang matrix sa matrix A, karaniwang tinutukoy A T.Relasyon sa pagitan ng matrix A at ang transpose nito ay maaaring isulat sa anyo . Halimbawa. Hanapin ang matrix na inilipat ng ibinigay na isa. Pagdaragdag ng matrix. Hayaan ang mga matrices A At B binubuo ng ang parehong numero mga hilera at ang parehong bilang ng mga column, i.e. mayroon parehong laki. Pagkatapos ay upang magdagdag ng mga matrice A At B kailangan para sa mga elemento ng matrix A magdagdag ng mga elemento ng matrix B nakatayo sa parehong mga lugar. Kaya, ang kabuuan ng dalawang matrice A At B tinatawag na matrix C, na tinutukoy ng panuntunan, halimbawa,

Mga halimbawa. Hanapin ang kabuuan ng matrices:

Madaling i-verify na ang pagdaragdag ng matrix ay sumusunod sa mga sumusunod na batas: commutative A+B=B+A at nag-uugnay ( A+B)+C=A+(B+C).Pagpaparami ng matrix sa isang numero. Upang i-multiply ang isang matrix A bawat numero k bawat elemento ng matrix ay kailangan A multiply sa numerong ito. Kaya, ang produkto ng matrix A bawat numero k mayroong isang bagong matrix, na tinutukoy ng panuntunan

o .Para sa anumang numero a At b at matrices A At B ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay hawak:

Mga halimbawa.

Matrix C hindi mahanap, dahil matrice A At B may iba't ibang laki. Pagpaparami ng matris. Ang operasyong ito ay isinasagawa ayon sa isang kakaibang batas. Una sa lahat, tandaan namin na ang mga sukat ng mga factor matrice ay dapat na pare-pareho. Maaari mong i-multiply lamang ang mga matrice kung saan ang bilang ng mga column ng unang matrix ay tumutugma sa bilang ng mga row ng pangalawang matrix (ibig sabihin, ang haba ng unang row ay katumbas ng taas ng pangalawang column). Ang trabaho matrice A hindi isang matrix B tinatawag na bagong matrix C=AB, ang mga elemento nito ay binubuo ng mga sumusunod:

Kaya, halimbawa, upang makuha ang produkto (i.e. sa matrix C) elemento na matatagpuan sa 1st row at 3rd column c 13 , kailangan mong kunin ang 1st row sa 1st matrix, ang 3rd column sa 2nd, at pagkatapos ay i-multiply ang row elements sa mga kaukulang elemento ng column at idagdag ang mga resultang produkto. At ang iba pang mga elemento ng product matrix ay nakuha gamit ang isang katulad na produkto ng mga hilera ng unang matrix at ang mga column ng pangalawang matrix. Sa pangkalahatan, kung i-multiply natin ang isang matrix A = (a ij ) laki m× n sa matrix B = (b ij ) laki n× p, pagkatapos ay makuha namin ang matrix C laki m× p, na ang mga elemento ay kinakalkula tulad ng sumusunod: elemento c ij ay nakuha bilang isang resulta ng produkto ng mga elemento i ika-hilera ng matris A sa mga kaukulang elemento j ika-matrix na hanay B at ang kanilang mga karagdagan. Mula sa panuntunang ito ay sumusunod na maaari mong palaging i-multiply ang dalawang square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod, bilang isang resulta makakakuha tayo ng isang square matrix ng parehong pagkakasunud-sunod. Sa partikular, ang isang square matrix ay maaaring palaging i-multiply sa sarili nito, i.e. square. Ang isa pang mahalagang kaso ay ang pagpaparami ng isang row matrix sa isang column matrix, at ang lapad ng una ay dapat na katumbas ng taas ng pangalawa, na nagreresulta sa isang first-order matrix (ibig sabihin, isang elemento). Talaga,

Mga halimbawa.

Maghanap ng mga elemento c 12 , c 23 At c 21 matrice C.

Hanapin ang produkto ng matrices.

Hanapin AB At VA.

Hanapin AB At VA. , B·A– walang saysay. Kaya, ang mga simpleng halimbawang ito ay nagpapakita na ang mga matrice, sa pangkalahatan, ay hindi nagko-commute sa isa't isa, i.e. A∙B ≠ B∙A . Samakatuwid, kapag nagpaparami ng mga matrice, kailangan mong maingat na subaybayan ang pagkakasunud-sunod ng mga salik. (AB)C=A(BC) At (A+B)C=AC+BC.Madali ring suriin iyon kapag nagpaparami ng square matrix A sa identity matrix E ng parehong pagkakasunud-sunod muli naming makakuha ng isang matrix A, at AE=EA=A Mapapansin ang sumusunod na kawili-wiling katotohanan. Tulad ng alam mo, ang produkto ng 2 di-zero na mga numero ay hindi katumbas ng 0. Para sa mga matrice maaaring hindi ito ang kaso, i.e. ang produkto ng 2 non-zero matrice ay maaaring maging katumbas ng zero matrix. Halimbawa, Kung

, Iyon

ANG KONSEPTO NG MGA DETERMINANTS Hayaang magbigay ng second-order matrix - isang square matrix na binubuo ng dalawang row at dalawang column. Pangalawang order determinant na naaayon sa isang ibinigay na matrix ay ang bilang na nakuha tulad ng sumusunod: a 11 a 22 -a 12 a 21 .Ang determinant ay ipinahihiwatig ng simbolo

Kaya, upang mahanap ang pangalawang-order na determinant, kailangan mong ibawas ang produkto ng mga elemento kasama ang pangalawang dayagonal mula sa produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal. Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga determinant ng pangalawang order.

Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang isang third-order matrix at ang kaukulang determinant nito. Pangatlong determinant ng pagkakasunud-sunod, na tumutugma sa isang ibinigay na parisukat na matrix ng ikatlong pagkakasunud-sunod, ay ang bilang na tinutukoy at nakuha bilang mga sumusunod:

Kaya, ang formula na ito ay nagbibigay ng pagpapalawak ng third-order determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang hilera a 11 , a 12 , a 13 at binabawasan ang pagkalkula ng third-order determinant sa pagkalkula ng second-order determinants. Mga halimbawa. Kalkulahin ang third order determinant.
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. Katulad nito, maaari mong ipakilala ang mga konsepto ng mga determinant ng ikaapat, ikalima, atbp. mga order, na nagpapababa ng kanilang pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng pagpapalawak sa mga elemento ng 1st row, habang ang mga senyales na "+" at "–" ng mga termino ay kahalili. Kaya, hindi tulad ng isang matrix, na isang talahanayan ng mga numero, ang isang determinant ay isang numero na ilagay sa sulat sa isang tiyak na paraan matrix.

MGA KATANGIAN NG MGA DETERMINANTS

Patunay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapatunay, i.e. sa pamamagitan ng paghahambing ng magkabilang panig ng nakasulat na pagkakapantay-pantay. Kalkulahin natin ang mga determinant sa kaliwa at kanan:

Kapag muling inaayos ang 2 row o column, babaguhin ng determinant ang sign nito sa kabaligtaran, pinapanatili ang absolute value, i.e., halimbawa,Patunay ay isinasagawa katulad ng patunay ng ari-arian 1 sa pamamagitan ng paghahambing ng parehong bahagi. Isagawa natin ito para sa second-order determinant.

Para sa third-order determinant, suriin ito mismo. Sa katunayan, kung muling ayusin natin ang ika-2 at ika-3 na linya dito, sa pamamagitan ng property 2 ang determinant na ito ay dapat magbago ng sign, ngunit ang determinant mismo ay nasa sa kasong ito ay hindi nagbabago, i.e. makuha namin | A| = –|A| o | A| = 0. Patunay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-verify, tulad ng property 1. (Independently)

Kung ang lahat ng elemento ng anumang row o column ng isang determinant ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant mismo ay katumbas ng zero. (Patunay sa pamamagitan ng pagpapatunay). Kung ang lahat ng elemento ng anumang row o column ng isang determinant ay ipinakita bilang isang kabuuan ng 2 termino, kung gayon ang determinant ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng 2 determinant gamit ang formula, halimbawa,

Patunay- pag-verify, katulad ng property 1.

Kung sa alinmang row (o column) ng determinant ay idinagdag namin ang mga kaukulang elemento ng isa pang row (o column), na pinarami ng parehong numero, hindi babaguhin ng determinant ang halaga nito. Halimbawa,

. Patunayan natin ang pagkakapantay-pantay na ito gamit ang mga dating katangian ng determinant.

Ang mga katangiang ito ng mga determinant ay kadalasang ginagamit kapag kinakalkula ang mga determinant at sa iba't ibang problema. MGA ALGEBRAIC COMPLEMENTS AT MINORS Magkaroon tayo ng third-order determinant:

.menor de edad, naaayon sa elementong ito a ij Ang third-order determinant ay tinatawag na second-order determinant na nakuha mula sa isang ibinigay sa pamamagitan ng pagtanggal sa row at column sa intersection kung saan nakatayo ang ibinigay na elemento, i.e. i-ika-linya at j ika-kolum. Mga menor de edad na naaayon sa isang ibinigay na elemento a ij kami ay magsasaad M ij .Halimbawa, menor de edad M 12 , naaayon sa elemento a 12 , magkakaroon ng determinant

, na nakukuha sa pamamagitan ng pagtanggal sa 1st row at 2nd column mula sa isang ibinigay na determinant. Kaya, ang formula na tumutukoy sa third-order determinant ay nagpapakita na ang determinant na ito katumbas ng kabuuan mga produkto ng mga elemento ng 1st row ng kanilang kaukulang mga menor de edad; sa kasong ito ang menor de edad na naaayon sa elemento a 12 , ay kinukuha gamit ang isang “–” sign, i.e. kaya nating isulat yan

Katulad nito, maaari nating ipakilala ang mga kahulugan ng mga menor de edad para sa mga determinant ng pangalawang pagkakasunud-sunod at mas mataas na mga order. Ipakilala natin ang isa pang konsepto. Algebraic na pandagdag elemento a ij ang determinant ay tinatawag na menor nito M ij, pinarami ng (–1) i+j .Algebraic complement ng elemento a ij ipinapahiwatig ng A ij.Mula sa depinisyon nalaman namin na ang koneksyon sa pagitan ng algebraic complement ng isang elemento at ang menor nito ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay A ij= (–1) i+j M ij . Halimbawa, Halimbawa. Ang isang determinant ay ibinigay. Hanapin A 13 , A 21 , A 32 .

Madaling makita na gamit ang algebraic na mga pagdaragdag ng mga elemento, ang formula (1) ay maaaring isulat sa anyo:. Katulad ng formula na ito, maaari mong makuha ang pagpapalawak ng determinant sa mga elemento ng anumang row o column. Halimbawa, ang Ang pagpapalawak ng determinant sa mga elemento ng 2nd row ay maaaring makuha tulad ng sumusunod. Ayon sa property 2 ng determinant, mayroon tayong: Palawakin natin ang nagresultang determinant sa mga elemento ng 1st row.

Mula rito

kasi Ang pangalawang-order na mga determinant sa formula (2) ay mga menor de edad ng mga elemento a 21 , a 22 , a 23 . Kaya, i.e. nakuha namin ang pagpapalawak ng determinant sa mga elemento ng 2nd row. Katulad nito, maaari naming makuha ang pagpapalawak ng determinant sa mga elemento ng ikatlong hilera. Gamit ang Property 1 ng mga determinant (tungkol sa transposisyon), maaari nating ipakita na ang mga katulad na pagpapalawak ay may bisa din kapag pinalawak ng mga elemento ng mga column. Kaya, ang sumusunod na theorem ay wasto. Theorem (tungkol sa pagpapalawak ng isang determinant sa isang ibinigay na row o column). Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng alinman sa mga row (o column) nito at ang kanilang mga algebraic complement. Totoo rin ang lahat ng nasa itaas para sa mga determinant ng anumang mas mataas na pagkakasunod-sunod. Mga halimbawa.

katumbas ng zero

INVERSE MATRIX

Ang konsepto ng isang inverse matrix ay ipinakilala lamang para sa square matrice.Kung A ay isang parisukat na matrix, kung gayon reverse para dito ang isang matrix ay isang matrix, na tinutukoy A -1 at nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon. (Ang kahulugang ito ay ipinakilala sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pagpaparami ng mga numero) Ang sumusunod na teorama ay wasto: Teorama. Para sa isang square matrix A nagkaroon ng kabaligtaran, kinakailangan at sapat na ang determinant nito ay naiiba sa zero. Patunay:

Pangangailangan

-1

Una sa lahat, tandaan namin na maaari naming patunayan ang sumusunod na pag-aari ng mga determinant. Ipagpalagay natin na | A| = 0. Pagkatapos

. Ngunit sa ibang paraan

. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapatunay na | A| ≠ 0.

Ipakita natin na sa kasong ito ang inverse matrix ay magiging matrix

, Saan A ij algebraic complement ng isang elemento a ij. Hanapin natin AB=C. Tandaan na ang lahat ng dayagonal na elemento ng matrix C ay magiging katumbas ng 1. Sa katunayan, halimbawa,

Katulad nito, gamit ang theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga elemento ng isang string, mapapatunayan na c 22 =c 33 = 1. Bilang karagdagan, ang lahat ng non-diagonal na elemento ng matrix C ay katumbas ng zero. Halimbawa,
Kaya naman, AB=E. Katulad nito, maaari itong ipakita na BA=E. kaya lang B=A -1 .Kaya, ang theorem ay naglalaman ng isang paraan para sa paghahanap ng inverse matrix. Kung ang mga kondisyon ng theorem ay natutugunan, ang matrix na inverse sa matrix ay matatagpuan tulad ng sumusunod

saan A ij- algebraic na pagdaragdag ng mga elemento a ij ibinigay na matrix A.Kaya, para mahanap ang inverse matrix na kailangan mo: Katulad din para sa second-order matrices, ang inverse ay ang sumusunod na matrix .Mga halimbawa. |A| = 2. Hanapin ang algebraic complements ng mga elemento ng matrix A. Pagsusuri: . Ganun din A∙A -1 = E. . kalkulahin natin | A| = 4. Pagkatapos . .

MGA SYSTEM NG LINEAR EQUATIONS

Isang sistema ng m linear equation na may n hindi alam tinatawag na sistema ng anyo

saan a ij At b i (i=1,…,m; b=1,…,n) - ilan mga kilalang numero, A x 1 ,…,x n– hindi kilala. Sa pagtatalaga ng mga coefficient a ij unang index i nagsasaad ng equation number, at ang pangalawa j– ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang coefficient na ito. Isusulat namin ang mga coefficient para sa mga hindi alam sa anyo ng isang matrix, na tatawagin namin matrix ng system.Ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation ay b 1 ,…,b m ay tinatawag libreng miyembro. Kabuuan n numero c 1 ,…,c n tinawag desisyon ng isang ibinigay na sistema, kung ang bawat equation ng system ay nagiging isang pagkakapantay-pantay pagkatapos na palitan ang mga numero dito c 1 ,…,c n sa halip na ang kaukulang mga hindi alam x 1 ,…,x n.Ang aming gawain ay maghanap ng mga solusyon sa system. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang tatlong sitwasyon: Tinatawag ang isang sistema ng mga linear equation na mayroong kahit isang solusyon magkadugtong. Kung hindi, i.e. kung ang sistema ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkasanib Isaalang-alang natin ang mga paraan upang makahanap ng mga solusyon sa system. MATRIX METHOD PARA SA PAGSOLBA NG MGA SISTEMA NG LINEAR EQUATIONS Ginagawang posible ng mga matrice na maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Hayaang magbigay ng isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam:

Isaalang-alang ang system matrix at mga matrice na hanay ng hindi alam at libreng mga termino Hanapin natin ang trabaho

mga. bilang resulta ng produkto, nakukuha natin ang kaliwang bahagi ng mga equation ng sistemang ito. Pagkatapos ay ginagamit ang kahulugan ng matrix equality ang sistemang ito maaaring isulat sa anyo o mas maikli A∙X=B.Narito ang mga matrice A At B ay kilala, at ang matris X hindi kilala. Kailangang hanapin ito, dahil... ang mga elemento nito ang solusyon sa sistemang ito. Ang equation na ito ay tinatawag equation ng matrix.Hayaan ang determinant ng matrix ay naiiba mula sa zero | A| ≠ 0. Pagkatapos ay malulutas ang matrix equation bilang mga sumusunod. I-multiply ng matrix ang magkabilang panig ng equation sa kaliwa A -1 , kabaligtaran ng matris A: . Dahil ang A -1 A=E At E∙X = X, pagkatapos ay makakakuha tayo ng solusyon sa matrix equation sa anyo X = A -1 B Tandaan na dahil ang inverse matrix ay matatagpuan lamang para sa mga square matrice, ang matrix method ay maaari lamang malutas ang mga system kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam. Gayunpaman, ang pag-record ng matrix ng system ay posible rin sa kaso kapag ang bilang ng mga equation ay hindi katumbas ng bilang ng mga hindi alam, pagkatapos ay ang matrix. A ay hindi magiging parisukat at samakatuwid ay imposibleng makahanap ng solusyon sa sistema sa anyo X = A -1 B.Mga halimbawa. Lutasin ang mga sistema ng mga equation. Hanapin natin ang inverse ng matrix ng matrix A. , kaya, x = 3, y = – 1.
Kaya, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. Ipahayag natin ang kinakailangang matrix X mula sa ibinigay na equation. Hanapin natin ang matrix A -1 . Pagsusuri: Mula sa equation na nakukuha natin . Kaya naman, PANUNTUNAN NI CRAMER Isaalang-alang ang isang sistema ng 3 linear equation na may tatlong hindi alam:

Third-order determinant na naaayon sa system matrix, i.e. binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam,

tinawag determinant ng sistema. Bumuo tayo ng tatlo pang determinant gaya ng sumusunod: palitan ang sunud-sunod na 1, 2 at 3 column sa determinant D ng column ng mga libreng termino

Pagkatapos ay maaari nating patunayan ang sumusunod na resulta. Theorem (panuntunan ng Cramer). Kung ang determinant ng system Δ ≠ 0, kung gayon ang system na isinasaalang-alang ay may isa at isang solusyon lamang, at

Patunay. Kaya, isaalang-alang natin ang isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam. I-multiply natin ang 1st equation ng system sa algebraic complement A 11 elemento a 11 , 2nd equation – on A 21 at ika-3 - sa A 31 :

Idagdag natin ang mga equation na ito:

Tingnan natin ang bawat isa sa mga bracket at kanang bahagi equation na ito. Sa pamamagitan ng theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga elemento ng 1st column

Katulad nito, maaari itong ipakita na at . Sa wakas, madaling mapansin iyon Kaya, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: .Samakatuwid, .Ang mga pagkakapantay-pantay at hinango nang magkatulad, kung saan ang pahayag ng teorama ay sumusunod.Kaya, mapapansin natin na kung ang determinant ng sistema Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon at vice versa. Kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, kung gayon ang system ay alinman ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon o walang mga solusyon, i.e. hindi magkatugma. Mga halimbawa. Lutasin ang sistema ng mga equation
Kaya, X=1, sa=2, z=3. Ang sistema ay may natatanging solusyon kung Δ ≠ 0. . kaya lang . PARAAN NG GAUSS Ang mga naunang tinalakay na pamamaraan ay maaaring gamitin upang malutas lamang ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng system ay dapat na iba sa zero. Ang Gauss method ay mas unibersal at angkop para sa mga system na may anumang bilang ng mga equation. Binubuo ito sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga equation ng system. Muli nating isaalang-alang ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:

Ang matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan na binubuo ng mga numero.

Hayaang magbigay ng square matrix ng order 2:

Ang determinant (o determinant) ng order 2 na tumutugma sa isang ibinigay na matrix ay ang numero

Ang 3rd order determinant (o determinant) na tumutugma sa isang matrix ay isang numero

Halimbawa 1: Maghanap ng mga determinant ng matrices at

Sistema ng mga linear algebraic equation

Hayaang magbigay ng isang sistema ng 3 linear equation na may 3 hindi alam

Ang system (1) ay maaaring isulat sa anyong matrix-vector

kung saan ang A ay ang coefficient matrix

B - pinalawak na matrix

X ang kinakailangang component vector;

Paglutas ng mga sistema ng mga equation gamit ang pamamaraan ni Cramer

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam:

Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawa at tatlong hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer. Theorem 1. Kung ang pangunahing determinant ng system ay iba sa zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon, at isang kakaiba. Ang solusyon ng system ay tinutukoy ng mga formula:

kung saan ang x1, x2 ay ang mga ugat ng sistema ng mga equation,

Ang pangunahing determinant ng system, x1, x2 ay mga auxiliary determinants.

Mga pantulong na kwalipikasyon:

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam gamit ang pamamaraan ni Cramer.

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam:

Theorem 2. Kung ang pangunahing determinant ng system ay naiiba sa zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon, at isang kakaiba. Ang solusyon ng system ay tinutukoy ng mga formula:

kung saan ang x1, x2, x3 ay ang mga ugat ng sistema ng mga equation,

Ang pangunahing determinant ng system,

Ang x1, x2, x3 ay mga pantulong na pantukoy.

Ang pangunahing determinant ng system ay tinutukoy ng:

Mga pantulong na kwalipikasyon:

1. Gumawa ng talahanayan (matrix) ng mga coefficient para sa mga hindi alam at kalkulahin ang pangunahing determinant.
2. Find - isang karagdagang determinant ng x na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column ng column ng mga free terms.
3. Find - isang karagdagang determinant ng y na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa pangalawang column ng column ng mga libreng termino.
4. Hanapin - isang karagdagang determinant ng z, na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong hanay ng isang haligi ng mga libreng termino. Kung ang pangunahing determinant ng system ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay gagawin ang hakbang 5.
5. Hanapin ang halaga ng variable na x gamit ang formula x / .
6. Hanapin ang halaga ng variable na y gamit ang formula y /.
7. Hanapin ang halaga ng variable na z gamit ang formula z / .
8. Isulat ang sagot: x=...; y=…, z=… .

Pahina 1

Ang pangunahing determinant ay pinagsama-sama upang ang unang column ay naglalaman ng mga coefficient para sa parameter na naka-plot sa pahalang na axis. Sa kasong ito, ipinapalagay na ang klK ay naka-plot kasama ang vertical axis, a & 2it - kasama ang horizontal axis.

Ang pangunahing determinant ay katumbas ng zero, at hindi bababa sa isang auxiliary determinant ay hindi katumbas ng zero.

Ang pangunahing determinant - Hurwitz ay pinagsama-sama bilang mga sumusunod.

Graph /C4 - x at ang mga skeleton nito.

Ang pangunahing determinant ng matrix P (o Q) ay nasa pagkakasunud-sunod m, at ang katumbas na expression na pangunahing determinant ay nangangahulugan na ang mga column ng matrix P na kasama sa determinant na pinag-uusapan ay may parehong mga numero at parehong pagkakasunud-sunod ng mga hilera ng matrix Q kasama sa iba pang determinant.

Ang pangunahing determinant D (p), na tinatawag na katangian, ay hindi nakasalalay sa alinman sa nais na variable o sa lokasyon ng aplikasyon ng nakakagambalang puwersa.

Binubuo namin ang pangunahing determinant A.

Binubuo namin ang pangunahing determinant ng system at itinutumbas ito sa zero. Hinahatulan namin ang katatagan sa pamamagitan ng likas na katangian ng mga ugat. Ang antas ng katangian ng equation ay natutukoy sa pamamagitan ng bilang ng mga elemento ng enerhiya-intensive na nakapag-iisa na nag-iipon ng enerhiya, na isinasaalang-alang ang mga pole ng bawat isa sa mga pinagkukunan na kinokontrol na umaasa sa dalas na magagamit sa circuit. Sa ilang mga kaso, kapag nag-aaral ng katatagan, kinakailangang isaalang-alang hindi lamang ang unang nangingibabaw na poste ng isang op-amp o transistor, kundi pati na rin ang natitirang mga poste.

Dahil ang pangunahing determinant ng system (3.50) ay katumbas ng zero, ang eigenvectors ay hindi natutukoy nang natatangi, ngunit sa loob ng isang pare-parehong kadahilanan.

Ipahayag natin ang pangunahing determinant D [formula (8.35)] sa pamamagitan ng mga parameter ng circuit.

Kung ang pangunahing determinant ng isang sistema ng n linear equation na may n hindi alam ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, ngunit kung ang determinant na ito ay katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay alinman sa hindi tiyak o hindi pare-pareho.

Kung ang pangunahing determinant ng isang homogenous system (9) ay hindi katumbas ng zero, kung gayon, ayon sa nakaraang teorama, ang sistema ay may natatanging solusyon. Ang solusyon na ito ay walang halaga. Kung ang pangunahing determinant ay katumbas ng zero, kung gayon ang sistema, alinsunod sa Theorem 2, ay maaaring maging hindi pare-pareho o hindi tiyak. Gayunpaman, ang sistema ng mga equation (9) ay hindi maaaring hindi magkatugma, dahil mayroong isang maliit na solusyon.

Kung ang pangunahing determinant ng isang homogenous system (9) ay hindi katumbas ng zero, kung gayon, ayon sa nakaraang teorama, ang sistema ay may natatanging solusyon. Ang solusyon na ito ay walang halaga. Kung ang pangunahing determinant ay katumbas ng zero, kung gayon ang sistema. Gayunpaman, ang sistema ng mga equation (9) ay hindi maaaring hindi magkatugma, dahil mayroong isang maliit na solusyon.

Sagot: Ang pamamaraan ni Cramer ay batay sa paggamit ng mga determinant sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ito ay makabuluhang nagpapabilis sa proseso ng solusyon.

Kahulugan. Ang determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ay tinatawag na determinant ng system at denoted (delta).

Mga Determinant

ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng kaukulang hindi alam ng mga libreng termino:

;

Mga formula ng Cramer para sa paghahanap ng mga hindi alam:

Ang paghahanap ng mga halaga ng at posible lamang kung

Ang konklusyong ito ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.

Teorama ni Cramer. Kung ang determinant ng system ay nonzero, kung gayon ang sistema ng mga linear equation ay may isang natatanging solusyon, at ang hindi alam ay katumbas ng ratio ng mga determinant. Ang denominator ay naglalaman ng determinant ng system, at ang numerator ay naglalaman ng determinant na nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng hindi alam na ito ng mga libreng termino. Ang theorem na ito ay humahawak para sa isang sistema ng mga linear na equation ng anumang pagkakasunud-sunod.

Halimbawa 1. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:

Ayon sa teorama ni Cramer mayroon tayong:

Kaya, ang solusyon sa system (2):
9.operasyon sa mga set. Mga diagram ng Vien.

Ang mga diagram ng Euler-Venn ay mga geometric na representasyon ng mga set. Ang pagtatayo ng diagram ay binubuo ng pagguhit ng isang malaking rektanggulo na kumakatawan sa unibersal na set U, at sa loob nito - mga bilog (o ilang iba pang saradong figure) na kumakatawan sa mga hanay. Ang mga hugis ay dapat magsalubong sa pinakapangkalahatang paraan na kinakailangan ng problema at dapat na may label na naaayon. Ang mga puntong nasa loob ng iba't ibang bahagi ng diagram ay maaaring ituring na mga elemento ng kaukulang set. Gamit ang diagram na binuo, maaari mong lilim ang ilang mga lugar upang ipahiwatig ang mga bagong nabuong set.

Isinasaalang-alang ang mga set operation upang makakuha ng mga bagong hanay mula sa mga umiiral na.

Kahulugan. Ang unyon ng set A at B ay isang set na binubuo ng lahat ng mga elementong iyon na kabilang sa kahit isa sa mga set A, B (Fig. 1):

Kahulugan. Ang intersection ng set A at B ay isang set na binubuo ng lahat ng mga at tanging mga elementong iyon na sabay-sabay na nabibilang sa parehong set A at set B (Fig. 2):

Kahulugan. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga hanay A at B ay ang hanay ng lahat ng iyon at ang mga elemento lamang ng A na hindi nakapaloob sa B (Larawan 3):

Kahulugan. Ang simetriko pagkakaiba ng set A at B ay ang hanay ng mga elemento ng mga set na ito na nabibilang lamang sa set A o sa set B lamang (Larawan 4):

11. pagmamapa (function), domain ng kahulugan, mga larawan ng mga set sa panahon ng pagmamapa, set ng mga halaga ng isang function at ang graph nito.

Sagot: Ang pagmamapa mula sa isang set E hanggang sa isang set F, o isang function na tinukoy sa E na may mga halaga sa F, ay isang panuntunan o batas f, na nagtatalaga sa bawat elemento ng isang tiyak na elemento.

Ang isang elemento ay tinatawag na isang independiyenteng elemento, o isang argumento ng isang function f, isang elemento ay tinatawag na isang halaga ng isang function f, o isang imahe; sa kasong ito, ang elemento ay tinatawag na preimage ng elemento.

Ang pagmamapa (function) ay karaniwang tinutukoy ng letrang f o ng simbolo, na nagpapahiwatig na ang f ay nagmamapa sa hanay ng E hanggang F. Ginagamit din ang notasyon, na nagpapahiwatig na ang isang elementong x ay tumutugma sa isang elementong f(x). Minsan ito ay maginhawa upang tukuyin ang isang function sa pamamagitan ng isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang batas sa pagsusulatan. Halimbawa, masasabi ng isa na "ang function f ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay ". Kung ang "y" ay ang pangkalahatang pangalan ng mga elemento ng set F, i.e. F = (y), ang pagmamapa ay isusulat bilang pagkakapantay-pantay na y = f(x) at sinasabi namin na ang pagmamapa na ito ay tahasang tinukoy.

2. Imahe at kabaligtaran na larawan ng isang set sa ilalim ng ibinigay na pagmamapa

Hayaang magbigay ng pagmamapa at isang set.

Ang hanay ng mga elemento mula sa F, na ang bawat isa ay larawan ng hindi bababa sa isang elemento mula sa D sa ilalim ng pagmamapa f, ay tinatawag na imahe ng set D at tinutukoy ng f(D).

Malinaw, .

Hayaan ngayon ang set ay ibigay.

Ang hanay ng mga elemento tulad na , ay tinatawag na kabaligtaran na imahe ng set Y sa ilalim ng pagmamapa f at ipinapahiwatig ng f -1 (Y).

Kung, kung gayon. Kung para sa bawat set f -1 (y) ay binubuo ng hindi hihigit sa isang elemento , kung gayon ang f ay tinatawag na one-to-one na pagmamapa mula E hanggang F. Gayunpaman, posibleng tukuyin ang one-to-one na pagmamapa f ng ang set E sa F.

Ang display ay tinatawag na:

Injective (o injection, o one-to-one na pagmamapa ng set E sa F) kung , o kung ang equation na f(x) = y ay may hindi hihigit sa isang solusyon;

Surjective (o surjection, o pagmamapa ng isang set E sa F) kung f(E) = F at kung ang equation na f(x) = y ay may kahit isang solusyon;

Bijective (o bijection, o one-to-one na pagmamapa ng isang set E papunta sa F) kung ito ay injective at surjective, o kung ang equation na f(x) = y ay may isa at isa lamang na solusyon.

3. Superposisyon ng mga pagmamapa. Inverse, parametric at implicit na mga pagmamapa

1) Hayaan at . Dahil , ang pagmamapa g ay nagtatalaga ng isang partikular na elemento sa bawat elemento.

Kaya, ang bawat elemento ay itinalaga sa pamamagitan ng isang panuntunan

Tinutukoy nito ang isang bagong pagmamapa (o bagong feature), na tinatawag naming komposisyon ng mga pagmamapa, o isang superposisyon ng mga pagmamapa, o isang kumplikadong pagmamapa.

2) Hayaan ay isang bijective mapping at F = (y). Dahil sa bijectivity ng f, ang bawat isa ay tumutugma sa isang unit image x, na tinutukoy namin ng f -1 (y), at tulad ng f(x) = y. Kaya, ang isang pagmamapa ay tinukoy, na tinatawag na kabaligtaran ng pagmamapa f, o ang kabaligtaran na pag-andar ng function na f.

Malinaw, ang pagmamapa f ay ang kabaligtaran ng pagmamapa f -1 . Samakatuwid, ang mga pagmamapa f at f -1 ay tinatawag na mutually inverse. Ang mga relasyon ay may bisa para sa kanila

at hindi bababa sa isa sa mga pagmamapa na ito, halimbawa, ay bijective. Pagkatapos ay mayroong isang kabaligtaran na pagmamapa, na nangangahulugang .

Ang isang pagmamapa na tinukoy sa paraang ito ay sinasabing tinukoy sa parametrically gamit ang mga pagmamapa; at ang variable mula sa ay tinatawag na isang parameter.

4) Hayaang tukuyin ang isang pagmamapa sa isang set, kung saan naglalaman ang set ng zero na elemento. Ipagpalagay natin na may mga set na para sa bawat nakapirming equation ay may natatanging solusyon. Pagkatapos sa set E posibleng tukuyin ang isang pagmamapa na nagtatalaga sa bawat isa ng halaga na, para sa isang naibigay na x, ay isang solusyon sa equation.

Tungkol sa tinukoy na pagmamapa

ito ay sinabi na implicitly ibinigay sa pamamagitan ng equation.

5) Ang pagmamapa ay tinatawag na pagpapatuloy ng pagmamapa , at ang g ay isang paghihigpit ng pagmamapa f kung at .

Ang paghihigpit ng isang pagmamapa sa isang set ay minsan ay tinutukoy ng simbolo.

6) Ang isang display graph ay isang set

Malinaw na .

12. monotonikong pag-andar. Kabaligtaran na pag-andar, teorama ng pagkakaroon. Mga function y=arcsinx y=arcos x x mga katangian at graph.

Sagot: Ang monotonic function ay isang function na ang increment ay hindi nagbabago ng sign, ibig sabihin, ito ay palaging hindi negatibo o palaging hindi positibo. Kung, bilang karagdagan, ang pagtaas ay hindi zero, kung gayon ang function ay tinatawag na mahigpit na monotoniko.

Hayaang magkaroon ng function na f(x) na tinukoy sa pagitan , na ang mga halaga ay kabilang sa isang partikular na segment . Kung

tapos sinasabi nila yan sa segment ang isang function ay tinukoy na kabaligtaran sa function na f(x) at ipinahiwatig bilang mga sumusunod: x=f (-1) (y).

Pansinin ang pagkakaiba sa pagitan ng kahulugang ito at ng kahulugan kung puno ang isang segment ganap. Ang kahulugan ng f (-1) (...) ay naglalaman ng isang quantifier, i.e. ang halaga ng x na nagsisiguro sa pagkakapantay-pantay y=f(x) ay dapat na natatangi, habang sa pagtukoy ng occupancy ng segment mayroong isang quantifier sa lahat ng paraan, na nangangahulugan na maaaring mayroong ilang mga halaga ng x na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay y=f(x).

Karaniwan, kapag pinag-uusapan ang inverse function, pinapalitan nila ang x ng y at y ng x(x "y) at isulat ang y=f (-1) (x). Malinaw na ang orihinal na function na f(x) at baligtad na pag-andar f (-1) (x) masiyahan ang kaugnayan

f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.

Ang mga graph ng orihinal at kabaligtaran na mga function ay nakuha mula sa isa't isa sa pamamagitan ng mirror na imahe na may kaugnayan sa bisector ng unang kuwadrante.

Teorama. Hayaang tukuyin ang function na f(x), tuluy-tuloy at mahigpit na monotonikong pagtaas (pagbaba) sa pagitan. Pagkatapos ay ang inverse function na f (-1) (x) ay tinukoy sa segment, na tuloy-tuloy din at mahigpit na monotonically tumataas (bumababa).

Patunay.

Patunayan natin ang theorem para sa kaso kapag ang f(x) ay mahigpit na tumataas.

1. Pagkakaroon ng inverse function.

Dahil, sa pamamagitan ng mga kondisyon ng theorem, ang f(x) ay tuloy-tuloy, kung gayon, ayon sa nakaraang theorem, ang segment ay ganap na napuno. Ibig sabihin nito ay.

Patunayan natin na ang x ay natatangi. Sa katunayan, kung kukunin natin ang x'>x, kung gayon ang f(x')>f(x)=y at samakatuwid ay f(x')>y. Kung kukuha tayo ng x''

2. Monotonicity ng inverse function.

Gawin natin ang karaniwang kapalit na x «y at isulat ang y= f (-1) (x). Nangangahulugan ito na x=f(y).

Hayaan ang x 1 >x 2 . Pagkatapos:

y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1)

y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2)

Ano ang kaugnayan sa pagitan ng y 1 at y 2? Suriin natin ang mga posibleng opsyon.

a) y 1 x 2 .

b) y 1 =y 2? Ngunit pagkatapos ay f(y 1)=f(y 2) at x 1 =x 2, at nagkaroon kami ng x 1 >x 2.

c) Ang tanging opsyon na natitira ay y 1 >y 2, i.e. Ngunit pagkatapos ay f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), at nangangahulugan ito na ang f (-1) (...) ay mahigpit na tumataas nang monotoniko.

3. Pagpapatuloy ng inverse function.

kasi ang mga halaga ng inverse function ay punan ang buong segment, pagkatapos ay sa pamamagitan ng nakaraang theorem f (-1) (...) ay tuloy-tuloy.<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arcsin x	y = arccos x
inverse function ng function na y = sin x, - / 2 x / 2	inverse function ng function na y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = arctan x	y = arcctg x
kabaligtaran na function ng function y = tan x, - / 2< x < / 2	kabaligtaran na function ng function na y = cot x, 0< x <

13.komposisyon ng mga function. Mga tungkulin sa elementarya. Mga function na y=arctg x, y = arcctg x, ang kanilang mga katangian at mga graph.

Sagot: Sa matematika, ang komposisyon ng mga function (superposition of functions) ay ang aplikasyon ng isang function sa resulta ng isa pa.

Ang komposisyon ng mga function G at F ay karaniwang tinutukoy na G∘F, na nagsasaad ng aplikasyon ng isang function G sa resulta ng isang function F.

Hayaan ang F:X→Y at G:F(X)⊂Y→Z maging dalawang function. Pagkatapos ang kanilang komposisyon ay ang function na G∘F:X→Z, na tinukoy ng pagkakapantay-pantay:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

Ang mga pag-andar ng elementarya ay mga pag-andar na maaaring makuha gamit ang isang may hangganang bilang ng mga pagpapatakbo at komposisyon ng aritmetika mula sa mga sumusunod na pangunahing pag-andar ng elementarya:

algebraic:

pagpapatahimik;
makatwiran.

transendental:

exponential at logarithmic;
trigonometriko at kabaligtaran na trigonometriko.

Ang bawat elementary function ay maaaring tukuyin ng isang formula, iyon ay, isang set ng isang may hangganan na bilang ng mga simbolo na naaayon sa mga operasyong ginamit. Ang lahat ng elementarya ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan.

Minsan ang mga pangunahing elementary function ay kinabibilangan din ng hyperbolic at inverse hyperbolic function, bagama't maaari silang ipahayag sa pamamagitan ng mga pangunahing elementary function na nakalista sa itaas.

y > 0 sa x R EXTREMA: Hindi Hindi MGA PERSPEKTIBO NG MONOTONY: tumataas ng x R bumababa bilang x R