Ipinapakita ang kaugnayan ng tanda ng derivative sa katangian ng monotonicity ng function.
Mangyaring maging lubhang maingat sa mga sumusunod. Tingnan mo, ang iskedyul ng ANO ay ibinigay sa iyo! Function o derivative nito
Nabigyan ng graph ng derivative, pagkatapos ay interesado lang kami sa mga function sign at zero. Walang mga "knolls" at "hollows" na interesado sa amin sa prinsipyo!
Gawain 1.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function na tinukoy sa isang pagitan. Tukuyin ang bilang ng mga integer point kung saan negatibo ang derivative ng function.
Solusyon:
Sa figure, ang mga lugar ng pagpapababa ng function ay naka-highlight sa kulay:
Ang 4 na mga halaga ng integer ay nahuhulog sa mga lugar na ito ng pagpapababa ng pag-andar.
Gawain 2.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function na tinukoy sa isang pagitan. Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function ay parallel o coincident sa linya.
Solusyon:
Dahil ang tangent sa function graph ay parallel (o nagtutugma) sa isang tuwid na linya (o, na pareho, ) na may dalisdis , sero, pagkatapos ay ang padaplis ay may slope.
Nangangahulugan ito na ang tangent ay parallel sa axis, dahil ang slope ay ang tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa axis.
Samakatuwid, nakakahanap kami ng mga extremum na puntos sa graph (maximum at minimum na mga puntos), - nasa kanila na ang mga function ng tangent sa graph ay magiging parallel sa axis.
Mayroong 4 na ganoong puntos.
Gawain 3.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng isang function na tinukoy sa pagitan. Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function ay parallel o coincident sa linya.
Solusyon:
Dahil ang tangent sa graph ng function ay parallel (o coincides) sa isang tuwid na linya, na may slope, kung gayon ang tangent ay may slope.
Nangangahulugan ito na sa mga punto ng pakikipag-ugnay.
Samakatuwid, tinitingnan namin kung gaano karaming mga punto sa graph ang may ordinate na katumbas ng .
Tulad ng nakikita mo, mayroong apat na ganoong punto.
Gawain 4.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function na tinukoy sa isang pagitan. Hanapin ang bilang ng mga puntos kung saan ang derivative ng function ay 0.
Solusyon:
Ang derivative ay zero sa mga extremum point. Mayroon kaming 4 sa kanila:
Gawain 5.
Ang figure ay nagpapakita ng isang function graph at labing-isang puntos sa x-axis:. Ilan sa mga puntong ito ang derivative ng function na negatibo?
Solusyon:
Sa mga pagitan ng pagpapababa ng function, ang derivative nito ay kumukuha ng mga negatibong halaga. At bumababa ang function sa mga punto. Mayroong 4 na ganoong puntos.
Gawain 6.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function na tinukoy sa isang pagitan. Hanapin ang kabuuan ng mga extremum point ng function .
Solusyon:
matinding puntos ay ang pinakamataas na puntos (-3, -1, 1) at ang pinakamababang puntos (-2, 0, 3).
Ang kabuuan ng matinding puntos: -3-1+1-2+0+3=-2.
Gawain 7.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng isang function na tinukoy sa pagitan. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga pagitan na ito.
Solusyon:
Itinatampok ng figure ang mga pagitan kung saan ang derivative ng function ay hindi negatibo.
Walang mga integer na puntos sa maliit na pagitan ng pagtaas, sa pagitan ng pagtaas mayroong apat na halaga ng integer: , , at .
Ang kanilang kabuuan:
Gawain 8.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng isang function na tinukoy sa pagitan. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function. Sa iyong sagot, isulat ang haba ng pinakamalaki sa mga ito.
Solusyon:
Sa figure, ang lahat ng mga pagitan kung saan ang derivative ay positibo ay naka-highlight, na nangangahulugan na ang function mismo ay tumataas sa mga pagitan na ito.
Ang haba ng pinakamalaki sa kanila ay 6.
Gawain 9.
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng isang function na tinukoy sa pagitan. Sa anong punto sa segment ito kukuha ng pinakamalaking halaga.
Solusyon:
Tinitingnan namin kung paano kumikilos ang graph sa segment, ibig sabihin, interesado kami derivative sign lamang .
Ang sign ng derivative on ay minus, dahil ang graph sa segment na ito ay nasa ibaba ng axis.
Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.
Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives para sa pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga function sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng increment sa increment ng argument, lumitaw ang isang talahanayan ng mga derivatives at eksakto. ilang mga tuntunin pagkakaiba-iba. Sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives.
Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi kinakailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, ngunit kailangan lamang gamitin ang talahanayan. ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.
Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng stroke sign hatiin ang mga simpleng function at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, quotient) magkaugnay ang mga function na ito. Dagdag pa, makikita natin ang mga derivatives ng elementary functions sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba ay ibinigay pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.
Halimbawa 1 Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives, nalaman namin na ang derivative ng "X" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivatives at hanapin ang derivative na kinakailangan ng kondisyon ng problema:
Halimbawa 2 Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. I-differentiate bilang derivative ng kabuuan, kung saan ang pangalawang termino na may pare-parehong salik, maaari itong alisin sa tanda ng derivative:
Kung mayroon pa ring mga katanungan tungkol sa kung saan nagmula ang isang bagay, sila, bilang panuntunan, ay nagiging malinaw pagkatapos basahin ang talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Pupunta kami sa kanila ngayon.
Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function
| 1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Laging zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan | |
| 2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "x". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan | |
| 3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa isang kapangyarihan. | |
| 4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ng -1 | |
| 5. Derivative parisukat na ugat | |
| 6. Sine derivative | |
| 7. Cosine derivative |  |
| 8. Tangent derivative |  |
| 9. Derivative ng cotangent |  |
| 10. Derivative ng arcsine |  |
| 11. Derivative ng arc cosine |  |
| 12. Derivative ng arc tangent |  |
| 13. Derivative ng inverse tangent |  |
| 14. Derivative ng natural logarithm | |
| 15. Derivative ng isang logarithmic function |  |
| 16. Derivative ng exponent | |
| 17. Derivative ng exponential function |
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba
| 1. Derivative ng kabuuan o pagkakaiba |  |
| 2. Derivative ng isang produkto |  |
| 2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan | |
| 3. Derivative ng quotient |  |
| 4. Derivative ng isang kumplikadong function |  |
Panuntunan 1Kung functions
ay differentiable sa ilang mga punto , pagkatapos ay sa parehong punto ang mga function
at
mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum ng derivatives ng mga function na ito.
Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, kung gayon ang kanilang mga derivatives ay, ibig sabihin.
Panuntunan 2Kung functions
ay naiba-iba sa isang punto, kung gayon ang kanilang produkto ay naiba-iba din sa parehong punto
at
mga. ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.
Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:
Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat salik at lahat ng iba pa.
Halimbawa, para sa tatlong multiplier:
Panuntunan 3Kung functions
naiba sa isang punto At , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiable.u/v , at
mga. ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator .
Kung saan titingin sa ibang mga pahina
Kapag nahanap ang derivative ng produkto at ang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, samakatuwid higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito - sa artikulo"Ang derivative ng isang produkto at isang quotient".
Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng isang pare-parehong kadahilanan, ito ay kinuha mula sa tanda ng mga derivatives. Ito tipikal na pagkakamali, na nangyayari sa paunang yugto pag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang nilulutas nila ang ilang isa-dalawang bahagi na halimbawa, ang karaniwang mag-aaral ay hindi na gumagawa ng pagkakamaling ito.
At kung, kapag iniiba ang isang produkto o isang quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang ganitong kaso ay sinusuri sa halimbawa 10) .
Ang isa pang karaniwang pagkakamali ay ang mekanikal na solusyon ng derivative ng isang complex function bilang derivative ng isang simpleng function. kaya lang derivative ng isang kumplikadong function nakatuon sa isang hiwalay na artikulo. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives mga simpleng function.
Kasama ang paraan, hindi mo magagawa nang walang mga pagbabagong-anyo ng mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan sa bagong mga manual ng windows Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat At Mga aksyon na may mga fraction .
Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivatives na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang 
, pagkatapos ay sundan ang aralin na " Derivative of the sum of fractions with powers and roots".
Kung mayroon kang gawain tulad ng 
, kung gayon ikaw ay nasa aralin na "Derivatives of simple trigonometric functions".
Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative
Halimbawa 3 Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng expression ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa produkto, at ang mga salik nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa:
Susunod, inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic sum ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan, ang pangalawang termino na may minus sign. Sa bawat kabuuan, makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (number), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "x" ay nagiging isa, at minus 5 - sa zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng mga derivatives:
Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:
Halimbawa 4 Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang pormula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:
Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa Halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator sa kasalukuyang halimbawa, ay kinuha gamit ang minus sign:
Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga ganitong problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at degree, tulad ng, halimbawa, 
pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Ang derivative ng kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at ugat" .
Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng mga sine, cosine, tangent at iba pa trigonometriko function, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , tapos may lesson ka "Derivatives ng simpleng trigonometriko function" .
Halimbawa 5 Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Sa function na ito, nakikita natin ang isang produkto, ang isa sa mga kadahilanan kung saan ay ang square root ng independent variable, na may derivative kung saan pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto at halaga ng talahanayan derivative ng square root na nakukuha natin:
Halimbawa 6 Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon. Sa function na ito, makikita natin ang quotient, na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha namin:
Upang maalis ang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .
Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema ng geometry, mechanics, physics at iba pang sangay ng kaalaman, naging kinakailangan na gumamit ng parehong proseso ng analytical mula sa isang naibigay na function. y=f(x) tumanggap bagong feature, na tinatawag na derivative function(o simple lang derivative) ng function na ito f(x) at sinasagisag
Ang proseso kung saan ang isang ibinigay na function f(x) kumuha ng bagong function f"(x), tinawag pagkakaiba-iba at ito ay binubuo ng sumusunod na tatlong hakbang: 1) binibigyan natin ng argumento x pagtaas
x at tukuyin ang kaukulang pagtaas ng function
y = f(x+
x)-f(x); 2) bumuo ng relasyon 
3) pagbibilang x permanente, at
x0, nakita namin 
, na tinutukoy ng f"(x), na parang binibigyang-diin na ang resultang function ay nakasalalay lamang sa halaga x, kung saan pumasa tayo sa limitasyon. Kahulugan:
Derivative y "=f" (x)
ibinigay na function y=f(x)
binigay x ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, sa kondisyon na ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero, kung, siyempre, umiiral ang limitasyong ito, i.e. may hangganan. kaya, 
, o 
Tandaan na kung para sa ilang halaga x, halimbawa kapag x=a, relasyon 
sa
x Ang 0 ay hindi malamang sa isang may hangganang limitasyon, pagkatapos ay sa kasong ito sinasabi namin na ang function f(x) sa x=a(o sa punto x=a) ay walang derivative o hindi naiba-iba sa isang punto x=a.
2. Ang geometric na kahulugan ng derivative.
Isaalang-alang ang graph ng function na y \u003d f (x), naiba-iba sa paligid ng puntong x 0
f(x)
Isaalang-alang natin ang isang arbitrary na tuwid na linya na dumadaan sa punto ng graph ng function - ang punto A (x 0, f (x 0)) at intersecting ang graph sa ilang punto B (x; f (x)). Ang nasabing tuwid na linya (AB) ay tinatawag na secant. Mula sa ∆ABC: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .
Dahil AC || Ox, pagkatapos ay ALO = BAC = β (bilang katumbas ng magkatulad). Ngunit ang ALO ay ang anggulo ng pagkahilig ng secant AB sa positibong direksyon ng axis ng Ox. Samakatuwid, ang tgβ = k ay ang slope ng tuwid na linya AB.
Ngayon ay babawasan natin ang ∆x, i.e. ∆x→ 0. Sa kasong ito, lalapit ang point B sa point A ayon sa graph, at ang secant AB ay iikot. Ang paglilimita sa posisyon ng secant AB sa ∆x → 0 ay ang tuwid na linya (a), na tinatawag na tangent sa graph ng function na y \u003d f (x) sa punto A.
Kung pumasa tayo sa limitasyon bilang ∆х → 0 sa equality tgβ =∆y/∆x, pagkatapos ay makukuha natin 
o tg \u003d f "(x 0), mula noong 
-anggulo ng inclination ng tangent sa positibong direksyon ng Ox axis 
, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang derivative. Ngunit ang tg \u003d k ay ang slope ng tangent, na nangangahulugang k \u003d tg \u003d f "(x 0).
Kaya, ang geometric na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod:
Derivative ng isang function sa isang point x 0 katumbas ng slope ng tangent sa graph ng function na iginuhit sa puntong may abscissa x 0 .
3. Pisikal na kahulugan ng derivative.
Isaalang-alang ang paggalaw ng isang punto sa isang tuwid na linya. Hayaang maibigay ang coordinate ng punto sa anumang oras x(t). Ito ay kilala (mula sa kurso ng pisika) na ang average na bilis sa isang yugto ng panahon ay katumbas ng ratio ng distansya na nilakbay sa panahong ito hanggang sa oras, i.e.
Vav = ∆x/∆t. Ipasa natin ang limitasyon sa huling pagkakapantay-pantay bilang ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - agarang bilis sa oras t 0, ∆t → 0.
at lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (sa pamamagitan ng kahulugan ng isang derivative).
Kaya, (t) = x"(t).
Ang pisikal na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod: ang derivative ng functiony = f(x) sa puntox 0 ay ang rate ng pagbabago ng functionf(x) sa puntox 0
Ang derivative ay ginagamit sa physics upang mahanap ang bilis mula sa isang kilalang function ng mga coordinate mula sa oras, acceleration mula sa isang kilalang function ng bilis mula sa oras.
(t) \u003d x "(t) - bilis,
a(f) = "(t) - acceleration, o
Kung ang batas ng paggalaw ng isang materyal na punto sa kahabaan ng isang bilog ay kilala, kung gayon posible na mahanap ang angular velocity at angular acceleration sa panahon ng rotational motion:
φ = φ(t) - pagbabago sa anggulo sa oras,
ω \u003d φ "(t) - angular velocity,
ε = φ"(t) - angular acceleration, o ε = φ"(t).
Kung ang batas ng pamamahagi para sa masa ng isang hindi magkakatulad na baras ay kilala, kung gayon ang linear na density ng hindi magkakatulad na baras ay matatagpuan:
m \u003d m (x) - masa,
x , l - haba ng baras,
p \u003d m "(x) - linear density.
Sa tulong ng derivative, malulutas ang mga problema mula sa teorya ng elasticity at harmonic vibrations. Oo, ayon sa batas ni Hooke
F = -kx, x – variable coordinate, k – koepisyent ng elasticity ng spring. Ang paglalagay ng ω 2 \u003d k / m, nakuha namin ang differential equation ng spring pendulum x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,
kung saan ang ω = √k/√m ay ang dalas ng oscillation (l/c), ang k ay ang spring rate (H/m).
Ang isang equation ng form na y "+ ω 2 y \u003d 0 ay tinatawag na equation ng harmonic oscillations (mechanical, electrical, electromagnetic). Ang solusyon sa naturang mga equation ay ang function.
y = Asin(ωt + φ 0) o y = Acos(ωt + φ 0), kung saan
A - oscillation amplitude, ω - cyclic frequency,
φ 0 - paunang yugto.
Continuity at differentiability ng isang function.
Darboux theorem . Mga agwat ng monotonicity.
Mga kritikal na puntos . Extremum (pinakamababa, maximum).
Plano ng pananaliksik sa pag-andar.
Relasyon sa pagitan ng continuity at differentiability ng isang function. Kung ang function f(x)ay naiba sa isang punto, pagkatapos ito ay tuloy-tuloy sa puntong iyon. Ang kabaligtaran ay hindi totoo: tuluy-tuloy na pag-andar maaaring walang derivative.
Corollary. Kung ang pagpapaandar ay hindi natuloy sa isang punto, pagkatapos ay wala itong derivative sa puntong iyon.
Sapat na pamantayan para sa monotonicity ng isang function.
Kung f’(x) > 0 sa bawat punto ng pagitan (a, b), pagkatapos ay ang function f (x)tumataas sa pagitan na ito.
Kung f’(x) < 0 sa bawat punto ng pagitan (a, b) , pagkatapos ay ang function f(x)bumababa sa pagitan na ito.
Darboux theorem. Mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay 0o wala, hatiin ang domain ng function sa mga pagitan kung saan pinapanatili ng derivative ang sign nito.
Gamit ang mga agwat na ito, mahahanap ng isa mga pagitan ng monotonicity function, na napakahalaga sa kanilang pag-aaral.
Samakatuwid, ang pag-andar ay tumataas sa mga pagitan (- , 0) at ( 1, + ) at bumababa sa pagitan ( 0, 1). Dot x= 0 ay hindi kasama sa kahulugan ng function, ngunit bilang ang approximationx k0 termino x - 2 tumataas nang walang katiyakan, kaya tumataas din ang function nang walang katiyakan. Sa puntox= 1 ang halaga ng function ay 3. Ayon sa pagsusuri na ito, maaari tayong mag-postkuyog ang graph ng function ( fig.4 b ) .
kritikal na puntos. Panloob na mga punto ng domain ng pag-andar, kung saan ang derivative ay null o wala tinawag mapanganib tuldok function na ito. Napakahalaga ng mga puntong ito kapag sinusuri ang isang function at inilalagay ang graph nito, dahil sa mga puntong ito lamang maaaring magkaroon ang isang function sukdulan (pinakamababa o maximum , fig.5 A,b).
Sa mga punto x 1 , x 2 (fig.5 a) At x 3 (fig.5 b) ang derivative ay katumbas ng 0; sa mga punto x 1 , x 2 (fig.5 b) wala ang derivative. Ngunit lahat sila ay mga matinding punto.
Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Kung x 0 - matinding punto ng pag-andar f(x) at ang derivative f' ay umiiral sa puntong ito, pagkatapos f'(x 0)= 0.
Ang teorama na ito ay kailangan matinding kalagayan. Kung ang derivative ng isang function sa isang punto ay 0, tapos hindi ibig sabihin nun may extremum ang function sa puntong ito. Halimbawa, ang derivative ng functionf (x) = x 3 katumbas ng 0 sa x= 0, ngunit ang function na ito ay walang extremum sa puntong ito (Fig. 6).
Sa kabilang banda, ang pag-andary = | x| , na ipinapakita sa Fig. 3, ay may pinakamababa sa puntox= 0 , ngunit ang derivative ay hindi umiiral sa puntong ito.
Sapat na mga kondisyon para sa isang extremum.
Kung ang derivative kapag dumadaan sa puntong x 0 binabago ang sign nito mula plus hanggang minus, pagkatapos x 0 - pinakamataas na punto.
Kung ang derivative kapag dumadaan sa puntong x 0 binabago ang sign nito mula minus hanggang plus, pagkatapos ay x 0 - pinakamababang punto.
Plano ng pananaliksik sa pag-andar. Upang mag-plot ng isang function graph, kailangan mo:
1) hanapin ang domain ng kahulugan at saklaw ng function,
2) tukuyin kung ang function ay pantay o kakaiba,
3) tukuyin kung ang function ay pana-panahon o hindi,
4) hanapin ang mga zero ng function at ang mga halaga nito sax = 0,
5) maghanap ng mga pagitan ng sign constancy,
6) maghanap ng mga pagitan ng monotonicity,
7) maghanap ng mga extremum point at function value sa mga puntong ito,
8) pag-aralan ang pag-uugali ng function na malapit sa "isahan" na mga punto
At sa malalaking halaga modyulx .
HALIMBAWA I-explore ang Functionf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 at gumuhit ng graph.
Solusyon. Sinisiyasat namin ang function ayon sa scheme sa itaas.
1) domainxR (x- anumang tunay numero);
Saklaw ng mga halagayR , dahil f (x) ay isang kakaibang polynomial
degrees;
2) function f (x) ay hindi kahit na o kakaiba
(paki linaw naman);
3) f (x) ay isang non-periodic function (patunayan ito sa iyong sarili);
4) ang graph ng function ay nag-intersect sa axisY sa punto (0, - 2),
kasi f (0) = - 2; upang mahanap ang mga zero ng isang function
Lutasin ang equation:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, isa sa mga ugat
alin ( x= 1) ay halata. Ang iba pang mga ugat ay
(kung sila ay! ) mula sa solusyon ng quadratic equation:
x 2 + 3 x+ 2 = 0, na nakukuha sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial
x 3 + 2 x 2 - x- 2 bawat binomial ( x- 1). Madaling suriin
Ano ang iba pang dalawang ugat:x 2 = - 2 at x 3 = - 1. Kaya,
Ang mga function na zero ay: - 2, - 1 at 1.
5) Nangangahulugan ito na ang tunay na aksis ay nahahati sa mga ugat na ito
Apat na pagitan ng sign constancy, sa loob nito
Pinapanatili ng function ang tanda nito:
Ang resulta na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpapalawak
multiplier polynomial:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
At ang pagsusuri ng tanda ng trabaho .
6) Hinalaw f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 ay walang mga punto kung saan
Wala ito, kaya saklaw nitoR (Lahat
tunay na mga numero); mga zerof' (x) ay ang mga ugat ng equation:
3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .
Ang mga resulta na nakuha ay buod sa talahanayan:
Gawain.
Ang function na y=f(x) ay tinukoy sa pagitan (-5; 6). Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x). Hanapin sa mga puntos na x 1, x 2, ..., x 7 ang mga puntong iyon kung saan ang derivative ng function na f (x) ay katumbas ng zero. Bilang tugon, isulat ang bilang ng mga puntos na natagpuan.
Solusyon:
Ang prinsipyo sa paglutas ng problemang ito ay ang mga sumusunod: mayroong tatlo posibleng pag-uugali mga function sa pagitan na ito:
1) kapag ang function ay tumataas (kung saan ang derivative ay mas malaki kaysa sa zero)
2) kapag ang function ay bumababa (kung saan ang derivative ay mas mababa sa zero)
3) kapag ang function ay hindi tumaas at hindi bumababa (kung saan ang derivative ay katumbas ng zero o wala)
Interesado kami sa ikatlong opsyon.
Ang derivative ay zero kung saan ang function ay makinis at hindi umiiral sa mga breakpoint. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga puntong ito.
x 1 - tumataas ang function, kaya ang derivative f (x) > 0
x 2 - ang function ay tumatagal ng isang minimum at makinis, kaya ang derivative f ′(x) = 0
x 3 - ang pag-andar ay tumatagal ng isang maximum, ngunit sa puntong ito ay may pahinga, na nangangahulugang hinalaw f ′(x) ay wala
x 4 - ang pag-andar ay tumatagal sa isang maximum, ngunit may pahinga sa puntong ito, na nangangahulugang hinalaw f ′(x) ay wala
x 5 - derivative f ′(x) = 0
x 6 - tumataas ang function, kaya ang derivative f′(x) >0
x 7 - ang pag-andar ay tumatagal ng isang minimum at makinis, kaya derivative f ′(x) = 0
Nakikita natin na f ′(x) \u003d 0 sa mga puntos na x 2, x 5 at x 7, kabuuang 3 puntos.