Kapag nag-aaral ng mga polygon, ang isa ay nagsasalita ng isang patag na polygon, ibig sabihin sa pamamagitan nito ang polygon mismo at ang panloob na rehiyon nito.
Ang parehong bagay ay nangyayari sa stereometry. Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa konsepto ng isang patag na polygon, ang konsepto ng isang katawan at ang ibabaw nito ay ipinakilala.
Dot geometric na pigura ay tinatawag na panloob kung mayroong isang bola na nakasentro sa puntong ito na ganap na kabilang sa figure na ito. Ang isang pigura ay tinatawag na isang lugar kung lahat
ang mga punto nito ay panloob at kung alinman sa dalawa sa mga punto nito ay maaaring ikonekta ng isang polyline na ganap na kabilang sa figure.
Ang isang punto sa espasyo ay tinatawag na boundary point ng isang naibigay na figure kung ang anumang bola na nakasentro sa puntong ito ay naglalaman ng parehong mga puntos na kabilang sa figure at mga puntong hindi kabilang dito. Ang mga hangganan ng rehiyon ay bumubuo sa hangganan ng rehiyon.
Ang katawan ay isang may hangganang rehiyon kasama ang hangganan nito. Ang hangganan ng katawan ay tinatawag na ibabaw ng katawan. Ang isang katawan ay tinatawag na simple kung maaari itong hatiin sa isang may hangganang bilang ng mga triangular na pyramids.
Sa pinakasimpleng kaso, ang katawan ng rebolusyon ay isang katawan na nagsasalubong sa mga bilog na may mga sentro sa linyang ito sa pamamagitan ng mga eroplanong patayo sa isang tiyak na linya (axis of rotation). Ang silindro, kono, bola ay mga halimbawa ng mga katawan ng rebolusyon.
48. Mga anggulo ng polyhedral. Polyhedra.
Ang anggulo ng dihedral ay isang pigura na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na may karaniwang linya ng paglilimita. Ang mga kalahating eroplano ay tinatawag na mga mukha, at ang tuwid na linya na nagbubuklod sa kanila ay tinatawag na gilid ng anggulo ng dihedral.
Ang Figure 142 ay nagpapakita ng isang dihedral na anggulo na may gilid a at mga mukha
Ang isang eroplanong patayo sa isang gilid ng isang dihedral na anggulo ay nag-intersect sa mga mukha nito kasama ang dalawang kalahating linya. Ang anggulo na nabuo ng mga kalahating linyang ito ay tinatawag na linear na anggulo ng dihedral angle. Ang sukat ng isang dihedral na anggulo ay ang sukat ng katumbas linear na anggulo. Kung sa pamamagitan ng punto A ng gilid a ng dihedral na anggulo ay gumuhit kami ng isang eroplanong y patayo sa gilid na ito, pagkatapos ay mag-intersect ito sa mga eroplano a at 0 kasama ang kalahating kanang linear na anggulo ng ibinigay na anggulo ng dihedral. Ang sukat ng antas ng linear na anggulo na ito ay sukat ng antas dihedral na anggulo. Ang sukat ng isang dihedral na anggulo ay hindi nakasalalay sa pagpili ng isang linear na anggulo.
Ang trihedral angle ay isang figure na binubuo ng tatlong flat angle. Ang mga anggulong ito ay tinatawag na mga mukha ng isang trihedral angle, at ang kanilang mga gilid ay tinatawag na mga gilid. Ang karaniwang vertex ng flat angle ay tinatawag na vertex ng isang trihedral angle. Ang mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga mukha at ang kanilang mga extension ay tinatawag na mga dihedral na anggulo ng trihedral na anggulo.
Katulad nito, ang konsepto ng isang polyhedral angle ay tinukoy bilang isang figure na binubuo ng mga flat angle. Para sa isang polyhedral angle, ang mga konsepto ng mga mukha, gilid, at dihedral angle ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng para sa isang trihedral angle.
Ang polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng may hangganang bilang flat polygons (Larawan 145).
Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay matatagpuan sa isang gilid ng eroplano ng bawat polygon sa ibabaw nito (Larawan 145, a, b). isang karaniwang bahagi ang nasabing eroplano at ibabaw ng isang matambok na polyhedron ay tinatawag na mukha. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag na mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertices ay tinatawag na mga vertices ng polyhedron.
49. Prisma. Parallelepiped. kubo.
Ang prisma ay isang polyhedron, na binubuo ng dalawang flat polygons, na pinagsama ng parallel na pagsasalin, at lahat ng mga segment, na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ng mga polygon na ito. Ang mga polygon ay tinatawag na mga base ng prism, at ang mga segment na nagkokonekta sa kaukulang mga vertices ay tinatawag na mga lateral edge ng prism (Fig. 146).
Dahil ang parallel na pagsasalin ay paggalaw, ang mga base ng prisma ay pantay. Dahil sa panahon ng parallel na pagsasalin ang eroplano ay pumasa sa isang parallel na eroplano (o sa sarili nito), kung gayon
ang mga base ng isang prisma ay namamalagi sa parallel na eroplano. Dahil, sa panahon ng parallel na paglipat, ang mga punto ay inilipat kasama ang parallel (o coinciding) na mga tuwid na linya sa parehong distansya, kung gayon ang mga gilid na gilid ng prisma ay parallel at pantay.
Ang Figure 147, a ay nagpapakita ng quadrangular prism. Flat polygons ABCD at pinagsama ng katumbas na parallel translation at ang mga base ng prism, at ang mga segment na AA ay ang mga gilid na gilid ng prisma. Ang mga base ng prisma ay pantay-pantay (parallel transfer ay isang paggalaw at transforms isang figure sa isang figure na katumbas nito, p. 79). Ang mga lateral ribs ay parallel at pantay.
Ang ibabaw ng isang prisma ay binubuo ng mga base at isang gilid na ibabaw. Ang lateral surface ay binubuo ng parallelograms. Para sa bawat isa sa mga parallelogram na ito, ang dalawang panig ay ang kaukulang panig ng mga base, at ang dalawa pa ay magkatabing gilid ng prisma.
Larawan 147, kasama ang ibabaw ng gilid Ang prism ay binubuo ng mga paralelogram Buong ibabaw binubuo ng mga base at ang mga paralelogram sa itaas.
Ang taas ng isang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito. Ang isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertice na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag na dayagonal ng prism. Ang diagonal na seksyon ng isang prisma ay isang seksyon ng eroplano nito na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.
Ang Figure 147, a ay nagpapakita ng isang prisma, ang taas nito, ang isa sa mga dayagonal nito. Ang seksyon ay isa sa mga dayagonal na seksyon ng prisma na ito.
Ang isang prisma ay tinatawag na tuwid kung ang mga gilid ng gilid nito ay patayo sa mga base. Kung hindi, ang prnma ay tinatawag
pahilig. Ang tamang prisma ay tinatawag na regular kung ang mga base nito ay mga regular na polygon.
Sa Figure 147, a, ipinapakita ang isang hilig na prisma, at sa Figure 147, b - isang tuwid na linya, dito ang gilid ay patayo sa mga base ng prisma. Ipinapakita ng Figure 148 regular na prisma, ang kanilang mga base ay, ayon sa pagkakabanggit, isang regular na tatsulok, isang parisukat, isang regular na heksagono.
Kung ang base ng prism ay isang parallelogram, kung gayon ito ay tinatawag na parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms. Sa figure 147, a, isang inclined parallelepiped ay ipinapakita, at sa figure 147, b, isang tuwid.
Ang mga mukha ng isang parallelepiped na walang mga karaniwang vertex ay tinatawag na magkasalungat na mukha. Sa Figure 147, at ang mga mukha ay kabaligtaran.
Posibleng patunayan ang ilang katangian ng isang parallelepiped.
Ang parallelepiped ay may magkasalungat na mukha na magkatulad at magkapantay.
Ang mga diagonal ng parallelepiped ay bumalandra sa isang punto at ang intersection point ay nahahati sa kalahati.
Ang punto ng intersection ng mga diagonal ng parallelepiped ay ang sentro ng simetrya nito.
Ang isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag na isang parihabang parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang cuboid ay parihaba.
Ang isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag na isang kubo.
Ang mga haba ng di-parallel na mga gilid ng isang cuboid ay tinatawag na mga linear na sukat o sukat nito. Ang isang cuboid ay may tatlong linear na sukat.
Para sa isang parihabang parallelepiped, ang sumusunod na theorem ay totoo:
SA kuboid parisukat ng anumang dayagonal ay katumbas ng kabuuan mga parisukat ng tatlong linear na sukat nito.
Halimbawa, sa isang kubo na may gilid a, ang mga diagonal ay pantay:
50. Pyramid.
Ang isang pyramid ay isang polyhedron, na binubuo ng isang patag na polygon - ang base ng pyramid, isang punto na hindi namamalagi sa eroplano ng base - ang tuktok ng pyramid at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa tuktok na may mga punto ng base ( Larawan 150). Ang mga segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa mga tuktok ng base ay tinatawag na mga lateral edge. Ang Figure 150, a ay nagpapakita ng SABCD pyramid. Ang Quadrilateral ABCD ay ang base ng pyramid, ang point S ay ang tuktok ng pyramid, ang mga segment na SA, SB, SC at SD ay ang mga gilid ng pyramid.
Ang taas ng pyramid ay tinatawag na patayo, na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base. Sa Figure 150, ang SO ay ang taas ng pyramid.
Ang pyramid ay tinatawag na -coal kung ang base nito ay
Square. Ang tatsulok na pyramid ay tinatawag ding tetrahedron.
Sa Figure 151, a ay ipinapakita tatsulok na pyramid, o tetrahedron, sa Figure 151, b - quadrangular, sa Figure 151, c - hexagonal.
Ang isang eroplanong parallel sa base ng pyramid at ang intersecting nito ay pumutol sa isang katulad na pyramid.
Ang isang pyramid ay tinatawag na regular kung ang base nito ay isang regular na polygon, at ang base ng taas ay tumutugma sa gitna ng polygon na ito. Ang Figure 151 ay nagpapakita ng mga regular na pyramid. Sa isang regular na pyramid, ang mga lateral edge ay pantay; samakatuwid, ang mga gilid na mukha ay pantay isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito, ay tinatawag na apothem.
Ayon sa T.3.4, ang eroplanong a, parallel sa plane 0 ng base ng pyramid at intersecting ang pyramid, ay pinuputol ang isang katulad na pyramid mula dito. Ang iba pang bahagi ng pyramid ay isang polyhedron na tinatawag na truncated pyramid. Ang mga mukha ng pinutol na pyramid na nakahiga sa parallel na mga eroplano ay tinatawag na mga base ng pinutol na pyramid, ang natitirang mga mukha ay tinatawag na mga gilid na mukha. Ang mga base ng pinutol na pyramid ay magkatulad (bukod dito, homothetic) polygons, ang mga gilid na mukha ay trapezoids. Ang Figure 152 ay nagpapakita ng isang pinutol na pyramid
51. Regular na polyhedra.
Ang convex polyhedron ay tinatawag na regular kung ang mga mukha nito ay regular na polygons na may parehong bilang ng mga gilid at sa bawat vertex ng polyhedron ang parehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo.
Mayroong limang uri ng regular na convex polyhedra (Larawan 154): regular na tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron. Tungkol sa regular na tetrahedron at sa kubo na sinabi kanina (p. 49, 50). Tatlong gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex ng isang regular na tetrahedron at isang kubo.
Ang mga mukha ng octahedron ay regular na tatsulok. Apat na gilid ang nagtatagpo sa bawat vertice nito.
Ang mga mukha ng dodecahedron ay regular na mga pentagons. Tatlong gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex.
Ang mga mukha ng icosahedron ay regular na tatsulok, ngunit hindi katulad ng tetrahedron at octahedron, limang gilid ang nagtatagpo sa bawat vertex.
Panimula
Ang ibabaw na binubuo ng mga polygon at nililimitahan ang ilang geometric na katawan ay tinatawag na polyhedral surface o polyhedron.
Ang polyhedron ay isang bounded body na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga polygon. Ang mga polygon na nagbubuklod sa polyhedron ay tinatawag na mga mukha, at ang mga intersection na linya ng mga mukha ay tinatawag na mga gilid.
Polyhedra ay maaaring magkaroon ng iba't-ibang at napaka kumplikadong istraktura. Ang iba't ibang mga gusali, tulad ng mga bahay na gawa sa ladrilyo at konkretong bloke, ay mga halimbawa ng polyhedra. Ang iba pang mga halimbawa ay matatagpuan sa mga kasangkapan, tulad ng isang mesa. Sa kimika, ang hugis ng mga molekulang hydrocarbon ay isang tetrahedron, isang regular na dalawampu't-hedron, isang kubo. Sa pisika, ang mga kristal ay isang halimbawa ng polyhedra.
Mula noong sinaunang panahon, ang mga ideya tungkol sa kagandahan ay nauugnay sa mahusay na proporsyon. Marahil ito ay nagpapaliwanag ng interes ng isang tao sa polyhedra - kamangha-manghang mga simbolo ng simetrya, na nakakaakit ng pansin ng mga kilalang nag-iisip, na tinamaan ng kagandahan, pagiging perpekto, pagkakaisa ng mga figure na ito.
Ang unang pagbanggit ng polyhedra ay kilala noon pang tatlong libong taon BC sa Egypt at Babylon. Sapat na upang alalahanin ang sikat na Egyptian pyramids at ang pinakatanyag sa kanila - ang pyramid ng Cheops. Ito kanang pyramid, sa base nito ay isang parisukat na may gilid na 233 m at ang taas ay umabot sa 146.5 m. Hindi nagkataon na sinasabi nila na ang pyramid ng Cheops ay isang tahimik na treatise sa geometry.
Ang kasaysayan ng regular na polyhedra ay bumalik sa sinaunang panahon. Simula noong ika-7 siglo BC Sinaunang Greece ang mga paaralang pilosopikal ay nilikha kung saan mayroong unti-unting paglipat mula sa praktikal tungo sa pilosopikal na geometry. Sa mga paaralang ito, ang pangangatwiran ay napakahalaga, sa tulong kung saan posible na makakuha ng mga bagong geometric na katangian.
Ang isa sa mga una at pinakatanyag na paaralan ay ang Pythagorean, na ipinangalan sa tagapagtatag nito na Pythagoras. Ang tanda ng mga Pythagorean ay ang pentagram, sa wika ng matematika ito ay isang regular na non-convex o hugis-bituin na pentagon. Ang pentagram ay binigyan ng kakayahang protektahan ang isang tao mula sa masasamang espiritu.
Naniniwala ang mga Pythagorean na ang bagay ay binubuo ng apat na pangunahing elemento: apoy, lupa, hangin at tubig. Iniugnay nila ang pagkakaroon ng limang regular na polyhedra sa istruktura ng bagay at sa Uniberso. Ayon sa opinyon na ito, ang mga atomo ng mga pangunahing elemento ay dapat magkaroon ng anyo iba't ibang katawan:
§ Uniberso - dodecahedron
§ Lupa - kubo
§ Sunog - tetrahedron
§ Tubig - icosahedron
§ Hangin - octahedron
Nang maglaon, ang pagtuturo ng mga Pythagorean tungkol sa regular na polyhedra ay ipinaliwanag sa kanyang mga sinulat ng isa pang sinaunang siyentipikong Griyego, ang idealistang pilosopo na si Plato. Simula noon, ang regular na polyhedra ay tinawag na Platonic solids.
Ang mga platonic solid ay tinatawag na regular na homogeneous convex polyhedra, iyon ay, convex polyhedra, lahat ng mga mukha at anggulo ay pantay, at ang mga mukha ay mga regular na polygon. Ang parehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo sa bawat vertex ng isang regular na polyhedron. Lahat dihedral na mga anggulo sa mga gilid at lahat ng polyhedral na anggulo sa vertices ng isang regular na polygon ay pantay. Ang mga platonic solid ay isang three-dimensional na analog ng flat regular polygons.
Ang teorya ng polyhedra ay isang modernong sangay ng matematika. Ito ay malapit na nauugnay sa topology, graph theory, has pinakamahalaga para sa teoretikal na pananaliksik sa geometry, at para sa mga praktikal na aplikasyon sa ibang sangay ng matematika, halimbawa, sa algebra, teorya ng numero, inilapat na matematika - linear programming, ang teorya ng pinakamainam na kontrol. kaya, ang paksang ito ay may kaugnayan, at ang kaalaman sa isyung ito ay mahalaga para sa modernong lipunan.
Pangunahing bahagi
Ang polyhedron ay isang bounded body na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga polygon.
Magbigay tayo ng kahulugan ng polyhedron na katumbas ng unang kahulugan ng polyhedron.
Polyhedron – ay isang figure na isang unyon ng isang may hangganang bilang ng tetrahedra kung saan ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
1) bawat dalawang tetrahedra ay walang mga karaniwang punto, o may isang karaniwang vertex, o isang karaniwang gilid lamang, o isang buong karaniwang mukha;
2) ang isa ay maaaring pumunta mula sa bawat tetrahedron patungo sa isa pa kasama ang kadena ng isang tetrahedron, kung saan ang bawat kasunod ay katabi ng nauna kasama ang isang buong mukha.
Mga elemento ng polyhedron
Ang mukha ng isang polyhedron ay isang tiyak na polygon (ang isang polygon ay isang bounded closed area, ang hangganan nito ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga segment).
Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag na mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertices ng mga mukha ay tinatawag na mga vertices ng polyhedron. Ang mga elemento ng polyhedron, bilang karagdagan sa mga vertice, gilid at mukha nito, ay kinabibilangan din ng mga flat na anggulo ng mga mukha nito at ang mga dihedral na anggulo sa mga gilid nito. Ang dihedral na anggulo sa isang gilid ng isang polyhedron ay tinutukoy ng mga mukha nito na papalapit sa gilid na ito.
Pag-uuri ng polyhedra
Matambok na polyhedron - ay isang polyhedron, anumang dalawang punto na konektado dito sa pamamagitan ng isang segment. Ang convex polyhedra ay may maraming kahanga-hangang katangian.
Ang teorama ni Euler. Para sa anumang convex polyhedron V-R+G=2,
saan SA ay ang bilang ng mga vertex nito, R - ang bilang ng mga gilid nito, G ay ang bilang ng mga gilid nito.
Ang teorama ni Cauchy. Dalawang saradong convex polyhedra, na magkaparehong binubuo ng magkaparehong mga mukha, ay pantay.
Ang convex polyhedron ay itinuturing na regular kung ang lahat ng mukha nito ay pantay na regular na polygons at ang parehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo sa bawat vertice nito.
regular na polyhedron
Ang isang polyhedron ay tinatawag na regular kung, una, ito ay matambok, pangalawa, ang lahat ng mga mukha nito ay mga regular na polygon na katumbas ng bawat isa, at pangatlo, sila ay nagtatagpo sa bawat isa sa mga vertices nito. ang parehong numero mga mukha, at pang-apat, ang lahat ng dihedral na anggulo nito ay pantay.
Mayroong limang matambok na regular na polyhedra - isang tetrahedron, isang octahedron at isang icosahedron na may tatsulok na mukha, isang kubo (hexahedron) na may mga parisukat na mukha at isang dodecahedron na may mga pentagonal na mukha. Ang patunay ng katotohanang ito ay kilala nang higit sa dalawang libong taon; ang patunay na ito at ang pag-aaral ng lima tamang katawan ang "Mga Pasimula" ni Euclid (isang sinaunang Griyego na matematiko, may-akda ng unang teoretikal na treatise sa matematika na dumating sa atin) ay nakumpleto. Bakit nakuha ng regular na polyhedra ang mga ganoong pangalan? Ito ay dahil sa dami ng kanilang mga mukha. Ang isang tetrahedron ay may 4 na mukha, isinalin mula sa Greek na "tetra" - apat, "hedron" - isang mukha. Ang hexahedron (kubo) ay may 6 na mukha, ang "hexahedron" ay may anim; octahedron - octahedron, "octo" - walo; dodecahedron - dodecahedron, "dodeca" - labindalawa; ang icosahedron ay may 20 mukha, ang "ikosi" ay may dalawampu.
2.3. Mga uri ng regular na polyhedra:
1) regular na tetrahedron(binubuo ng apat na equilateral triangles. Ang bawat isa sa mga vertex nito ay ang vertex ng tatlong triangles. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay 180 0);
2)Cube- isang parallelepiped, ang lahat ng mga mukha ay mga parisukat. Ang kubo ay binubuo ng anim na parisukat. Ang bawat vertex ng cube ay ang vertex ng tatlong parisukat. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng plane sa bawat vertex ay 270 0 .
3) Regular na octahedron o simple lang octahedron– isang polyhedron na may walong regular na triangular na mukha at apat na mukha na nagtatagpo sa bawat tuktok. Ang octahedron ay binubuo ng walong equilateral triangles. Ang bawat vertex ng octahedron ay isang vertex ng apat na tatsulok. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay 240 0 . Maaari itong itayo sa pamamagitan ng pagtiklop sa mga base ng dalawang pyramids, sa base nito ay mga parisukat, at ang mga gilid na mukha ay regular na mga tatsulok. Ang mga gilid ng isang octahedron ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga sentro ng kalapit na mga mukha ng isang kubo, ngunit kung ikinonekta namin ang mga sentro ng mga kalapit na mukha ng isang regular na octahedron, nakukuha namin ang mga gilid ng isang kubo. Ang kubo at octahedron ay sinasabing dalawahan sa isa't isa.
4)icosahedron- binubuo ng dalawampung equilateral triangles. Ang bawat vertex ng icosahedron ay isang vertex ng limang triangles. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay 300 0 .
5) Dodecahedron- isang polyhedron na binubuo ng labindalawa regular na mga pentagon. Ang bawat vertex ng dodecahedron ay isang vertex ng tatlong regular na pentagons. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa bawat vertex ay 324 0 .
Ang dodecahedron at icosahedron ay dalawahan din sa isa't isa sa kahulugan na sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga sentro ng mga katabing mukha ng icosahedron na may mga segment, nakakakuha tayo ng isang dodecahedron, at kabaliktaran.
Ang isang regular na tetrahedron ay dalawahan sa sarili nito.
Bukod dito, walang regular na polyhedron na ang mga mukha ay regular na hexagons, heptagons, at sa pangkalahatan n-gons para sa n ≥ 6.
Ang isang regular na polyhedron ay isang polyhedron kung saan ang lahat ng mga mukha ay regular na pantay na mga polygon at lahat ng mga anggulo ng dihedral ay pantay. Ngunit mayroon ding mga polyhedra kung saan ang lahat ng mga anggulo ng polyhedral ay pantay, at ang mga mukha ay regular, ngunit kabaligtaran ng mga regular na polygon. Ang polyhedra ng ganitong uri ay tinatawag na equiangular semiregular polyhedra. Ang polyhedra ng ganitong uri ay unang natuklasan ni Archimedes. Inilarawan niya nang detalyado ang 13 polyhedra, na kalaunan ay pinangalanang mga katawan ni Archimedes bilang parangal sa dakilang siyentipiko. Ito ay ang pinutol na tetrahedron, pinutol na oxahedron, pinutol na icosahedron, pinutol na kubo, pinutol na dodecahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron, pinutol na cuboctahedron hedron
2.4. Ang semi-regular polyhedra o Archimedean solids ay convex polyhedra na may dalawang katangian:
1. Ang lahat ng mga mukha ay mga regular na polygon ng dalawa o higit pang mga uri (kung ang lahat ng mga mukha ay regular na polygon ng parehong uri, ito ay isang regular na polyhedron).
2. Para sa anumang pares ng vertices, mayroong simetriya ng polyhedron (iyon ay, isang paggalaw na nagpapalit ng polyhedron sa sarili nito) na nagpapalit ng isang vertex sa isa pa. Sa partikular, ang lahat ng mga anggulo ng polyhedral vertex ay magkatugma.
Bilang karagdagan sa semi-regular na polyhedra mula sa regular na polyhedra - Platonic solids, maaari mong makuha ang tinatawag na regular star polyhedra. Apat lang sila, tinatawag din silang Kepler-Poinsot bodies. Natuklasan ni Kepler ang maliit na dodecahedron, na tinawag niyang prickly o hedgehog, at ang dakilang dodecahedron. Natuklasan ni Poinsot ang dalawa pang regular na stellated polyhedra, dalawahan ayon sa pagkakabanggit sa una 
dalawa: ang dakilang stellated dodecahedron at ang dakilang icosahedron.
Dalawang tetrahedra na dumadaan sa isa't isa ay bumubuo ng isang octahedron. Ibinigay ni Johannes Kepler ang figure na ito ng pangalang "stella octangula" - "octagonal star". Ito ay matatagpuan din sa kalikasan: ito ang tinatawag na double crystal.
Sa kahulugan ng isang regular na polyhedron, ang salitang "matambok" ay hindi sinasadyang nakasalungguhit - umaasa sa maliwanag na ebidensya. At nangangahulugan ito ng karagdagang kinakailangan: "at ang lahat ng mga mukha nito ay nasa isang gilid ng eroplano na dumadaan sa alinman sa kanila." Kung tatanggihan natin ang gayong paghihigpit, kung gayon bilang karagdagan sa "pinalawak na octahedron", kakailanganin nating magdagdag ng apat pang polyhedra sa mga solidong Platonic (tinatawag silang mga katawan ng Kepler-Poinsot), na ang bawat isa ay magiging "halos regular". Ang lahat ng mga ito ay nakuha sa pamamagitan ng "starring" Platonov 
katawan, iyon ay, ang extension ng mga mukha nito sa intersection sa bawat isa, at samakatuwid ay tinatawag na hugis-bituin. Ang kubo at ang tetrahedron ay hindi bumubuo ng mga bagong figure - ang kanilang mga mukha, kahit na paano ka magpatuloy, ay hindi magsalubong.
Kung i-extend namin ang lahat ng mga mukha ng octahedron hanggang sa mag-intersect sila sa isa't isa, makakakuha tayo ng figure na nangyayari kapag ang dalawang tetrahedra interpenetrate - "octangula stella", na tinatawag na "continued 
octahedron".
Ang icosahedron at dodecahedron ay nagbibigay sa mundo ng apat na "halos regular na polyhedra" nang sabay-sabay. Ang isa sa kanila ay isang maliit na stellated dodecahedron, unang nakuha ni Johannes Kepler.
Sa loob ng maraming siglo, hindi kinilala ng mga mathematician ang karapatan ng lahat ng uri ng mga bituin na tawaging mga polygon dahil sa katotohanan na ang kanilang mga panig ay nagsalubong. Hindi pinatalsik ni Ludwig Schläfli ang isang geometric na katawan mula sa pamilya ng polyhedra dahil lamang sa mga mukha nito ay nagsalubong sa kanilang mga sarili, gayunpaman, nanatiling matatag sa sandaling ang maliit na stellated dodecahedron ay tinalakay. Ang kanyang argumento ay simple at mabigat: ang hayop na Keplerian na ito ay hindi sumusunod sa pormula ni Euler! Nabubuo ang mga spines nito 
labindalawang mukha, tatlumpung gilid at labindalawang vertice, at, samakatuwid, ang V + D-P ay hindi katumbas ng dalawa.
Parehong tama at mali ang Schläfli. Siyempre, ang geometric na parkupino ay hindi napakasakit para maghimagsik laban sa hindi nagkakamali na pormula. Kinakailangan lamang na huwag isaalang-alang na ito ay nabuo sa pamamagitan ng labindalawang intersecting na hugis-bituin na mga mukha, ngunit upang tingnan ito bilang isang simple, tapat na geometric na katawan, na binubuo ng 60 tatsulok, na mayroong 90 gilid at 32 vertices.
Pagkatapos В+Г-Р=32+60-90 ay katumbas, gaya ng inaasahan, 2. Ngunit pagkatapos ay ang salitang "tama" ay hindi naaangkop sa polyhedron na ito - pagkatapos ng lahat, ang mga mukha nito ay hindi na equilateral, ngunit isosceles triangles lamang. Si Kepler ay hindi 
naisip na ang figure na natanggap niya ay may doble.
Ang polyhedron, na tinatawag na "great dodecahedron" - ay itinayo ng French geometer na si Louis Poinsot dalawang daang taon pagkatapos ng mga numero ng bituin ng Keplerian.
Ang dakilang icosahedron ay unang inilarawan ni Louis Poinsot noong 1809. At muli, si Kepler, na nakakita ng isang malaking stellated dodecahedron, iniwan ni Louis Poinsot ang karangalan na matuklasan ang pangalawang pigura. Ang mga figure na ito ay kalahati din na napapailalim sa formula ni Euler.
Polyhedra sa kalikasan
Ang mga regular na polyhedra ay ang pinaka-kapaki-pakinabang na mga numero, kaya malawak silang ipinamamahagi sa kalikasan. Ito ay nakumpirma sa pamamagitan ng hugis ng ilang mga kristal. Halimbawa, mga kristal asin magkaroon ng hugis ng isang kubo. Sa paggawa ng aluminyo, ginagamit ang aluminum-potassium quartz, ang nag-iisang kristal na may hugis ng isang regular na octahedron. Ang pagkuha ng sulfuric acid, iron, mga espesyal na grado ng semento ay hindi kumpleto nang walang sulfurous pyrites. Mga kristal nito kemikal ay hugis tulad ng isang dodecahedron. sa iba't ibang mga reaksiyong kemikal antimony sodium sulfate ay ginagamit - isang sangkap na synthesize ng mga siyentipiko. Ang kristal ng antimony sodium sulfate ay may hugis ng isang tetrahedron. Ang huling regular na polyhedron - ang icosahedron ay nagbibigay ng hugis ng mga kristal ng boron.
Ang mga polyhedron na hugis-bituin ay napaka-pandekorasyon, na nagpapahintulot sa kanila na malawakang magamit sa industriya ng alahas sa paggawa ng lahat ng uri ng alahas. Ginagamit din ang mga ito sa arkitektura. Maraming anyo ng stellate polyhedra ang iminungkahi mismo ng kalikasan. Ang mga snowflake ay polyhedra na hugis bituin. Mula noong sinaunang panahon, sinubukan ng mga tao na ilarawan ang lahat ng posibleng uri ng mga snowflake, at nag-compile ng mga espesyal na atlas. Ilang libo na ang kilala ngayon iba't ibang uri mga snowflake.
Ang regular na polyhedra ay matatagpuan din sa wildlife. Halimbawa, isang balangkas unicellular na organismo Ang Theodarium (Circjgjnia icosahtdra) ay hugis tulad ng isang icosahedron. Karamihan sa mga feodarii ay nakatira sa malalim na dagat at nagsisilbing biktima ng coral fish. Ngunit pinoprotektahan ng pinakasimpleng hayop ang sarili gamit ang labindalawang karayom na lumalabas sa 12 vertices ng balangkas. Mas mukhang star polyhedron ito. 
Maaari din nating obserbahan ang polyhedra sa anyo ng mga bulaklak. Ang Cacti ay isang pangunahing halimbawa.
Katulad na impormasyon.
Ang mga mukha ng isang polyhedron ay ang mga polygon na bumubuo nito. Ang mga mukha ng isang polyhedron ay ang mga polygon na bumubuo nito. Ang mga gilid ng isang polyhedron ay ang mga gilid ng mga polygon. Ang mga gilid ng isang polyhedron ay ang mga gilid ng mga polygon. Ang vertices ng polyhedron ay ang vertices ng polygon. Ang vertices ng polyhedron ay ang vertices ng polygon. Ang dayagonal ng polyhedron ay isang segment na nagkokonekta sa 2 vertices na hindi kabilang sa parehong mukha. Ang dayagonal ng polyhedron ay isang segment na nagkokonekta sa 2 vertices na hindi kabilang sa parehong mukha.
Regular na polyhedra Kung ang mga mukha ng isang polyhedron ay mga regular na polygon na may parehong bilang ng mga gilid at ang parehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo sa bawat vertex ng polyhedron, kung gayon ang convex polyhedron ay tinatawag na regular. Kung ang mga mukha ng isang polyhedron ay mga regular na polygon na may parehong bilang ng mga gilid at ang parehong bilang ng mga gilid ay nagtatagpo sa bawat tuktok ng polyhedron, kung gayon ang convex polyhedron ay tinatawag na regular.
Ang octahedron ay isang polyhedron na ang mga mukha ay regular na tatsulok at 4 na mukha ang nagtatagpo sa bawat vertex. Ang octahedron ay isang polyhedron na ang mga mukha ay regular na tatsulok at 4 na mukha ang nagtatagpo sa bawat vertex. wastong porma brilyante - octahedron
