Isang parihabang parallelepiped at ang mga dayagonal nito. Parallelepiped at kubo. Gabay sa Visual (2019)

Mga tagubilin

Paraan 2. Ipagpalagay natin na ang rectangular parallelepiped ay isang cube. Ang isang kubo ay isang hugis-parihaba na parallelepiped, ang bawat mukha ay kinakatawan ng isang parisukat. Samakatuwid, ang lahat ng panig nito ay pantay. Pagkatapos ay upang kalkulahin ang haba ng dayagonal nito ay ipapahayag ito bilang mga sumusunod:

Mga Pinagmulan:

parihaba dayagonal formula

Parallelepiped - espesyal na kaso isang prisma kung saan ang lahat ng anim na mukha ay parallelograms o parihaba. Ang parallelepiped na may mga hugis-parihaba na mukha ay tinatawag ding parihaba. Ang parallelepiped ay may apat na intersecting diagonal. Kung ang tatlong gilid a, b, c ay ibinigay, mahahanap mo ang lahat ng mga dayagonal ng isang parihabang parallelepiped sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga karagdagang konstruksyon.

Mga tagubilin

Hanapin ang dayagonal ng parallelepiped m. Upang gawin ito, hanapin ang hindi kilalang hypotenuse sa a, n, m: m² = n² + a². Kapalit kilalang halaga, pagkatapos ay kalkulahin ang square root. Ang resulta na nakuha ay ang unang dayagonal ng parallelepiped m.

Sa parehong paraan, iguhit nang sunud-sunod ang lahat ng iba pang tatlong dayagonal ng parallelepiped. Gayundin, para sa bawat isa sa kanila, magsagawa ng karagdagang pagtatayo ng mga diagonal ng mga katabing mukha. Isinasaalang-alang ang mga tamang tatsulok na nabuo at inilalapat ang Pythagorean theorem, hanapin ang mga halaga ng natitirang mga diagonal.

Video sa paksa

Mga Pinagmulan:

paghahanap ng parallelepiped

Ang hypotenuse ay ang kabaligtaran sa gilid tamang anggulo. Ang mga binti ay ang mga gilid ng isang tatsulok na katabi ng isang tamang anggulo. Kaugnay ng mga tatsulok na ABC at ACD: AB at BC, AD at DC–, ang AC ay ang karaniwang hypotenuse para sa parehong tatsulok (ang nais dayagonal). Samakatuwid, AC = square AB + square BC o AC b = square AD + square DC. Palitan ang mga haba ng gilid parihaba sa formula sa itaas at kalkulahin ang haba ng hypotenuse (diagonal parihaba).

Halimbawa, ang mga gilid parihaba Ang ABCD ay katumbas ng mga sumusunod na halaga: AB = 5 cm at BC = 7 cm. Ang parisukat ng dayagonal AC ng isang naibigay parihaba ayon sa Pythagorean theorem: AC squared = square AB + square BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 sq.cm. Gumamit ng calculator upang kalkulahin ang halaga parisukat na ugat 74. Dapat kang makakuha ng 8.6 cm (rounded value). Mangyaring tandaan na ayon sa isa sa mga property parihaba, ang mga diagonal nito ay pantay. Kaya ang haba ng pangalawang dayagonal BD parihaba Ang ABCD ay katumbas ng haba ng dayagonal na AC. Para sa halimbawa sa itaas, ang halagang ito

Sa geometry, ang mga sumusunod na uri ng parallelepipeds ay nakikilala: rectangular parallelepiped (ang mga mukha ng parallelepiped ay mga parihaba); isang kanang parallelepiped (ang mga gilid ng mukha nito ay kumikilos bilang mga parihaba); inclined parallelepiped (ang mga gilid nito ay kumikilos bilang mga patayo); ang isang kubo ay isang parallelepiped na may ganap na magkaparehong sukat, at ang mga mukha ng kubo ay mga parisukat. Ang mga parallelepiped ay maaaring maging hilig o tuwid.

Ang mga pangunahing elemento ng isang parallelepiped ay ang dalawang mukha ng kinakatawan geometric na pigura, na walang karaniwang gilid ay kabaligtaran, at ang mga mayroon ay katabi. Ang mga vertices ng parallelepiped, na hindi kabilang sa parehong mukha, ay kumikilos sa tapat sa bawat isa. Ang parallelepiped ay may dimensyon - ito ang tatlong gilid na may karaniwang vertex.

Tinatawag na dayagonal ang segment ng linya na nag-uugnay sa magkabilang vertices. Ang apat na diagonal ng isang parallelepiped, na nagsa-intersecting sa isang punto, ay sabay na hinati sa kalahati.

Upang matukoy ang dayagonal ng isang parallelepiped, kailangan mong matukoy ang mga gilid at gilid, na kilala mula sa mga kondisyon ng problema. May tatlong kilalang tadyang A , SA , SA gumuhit ng dayagonal sa parallelepiped. Ayon sa pag-aari ng isang parallelepiped, na nagsasabi na ang lahat ng mga anggulo nito ay tama, ang dayagonal ay tinutukoy. Bumuo ng dayagonal mula sa isa sa mga mukha ng parallelepiped. Ang mga diagonal ay dapat iguhit sa paraang ang dayagonal ng mukha, ang nais na dayagonal ng parallelepiped at ang kilalang gilid ay lumikha ng isang tatsulok. Pagkatapos mabuo ang isang tatsulok, hanapin ang haba ng dayagonal na ito. Ang dayagonal sa iba pang nagreresultang tatsulok ay gumaganap bilang hypotenuse, kaya makikita ito gamit ang Pythagorean theorem, na dapat kunin sa ilalim ng square root. Sa ganitong paraan malalaman natin ang halaga ng pangalawang dayagonal. Upang mahanap ang unang dayagonal ng parallelepiped sa nabuong kanang tatsulok, kinakailangan ding hanapin ang hindi kilalang hypotenuse (gamit ang Pythagorean theorem). Gamit ang parehong halimbawa, sunud-sunod na hanapin ang natitirang tatlong diagonal na umiiral sa parallelepiped, nagsasagawa ng mga karagdagang konstruksyon ng mga diagonal na bumubuo ng mga right triangle at lutasin gamit ang Pythagorean theorem.

Ang isang parihabang parallelepiped (PP) ay walang iba kundi isang prisma, na ang base nito ay isang parihaba. Para sa isang PP, ang lahat ng mga diagonal ay pantay, na nangangahulugan na ang alinman sa mga diagonal nito ay kinakalkula gamit ang formula:

a, c - mga gilid ng base ng PP;

c ang taas nito.

Ang isa pang kahulugan ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa Cartesian rectangular coordinate system:

Ang PP diagonal ay ang radius vector ng anumang punto sa espasyo na tinukoy ng x, y at z coordinates sa Cartesian coordinate system. Ang radius vector na ito sa punto ay iginuhit mula sa pinanggalingan. At ang mga coordinate ng punto ay ang mga projection ng radius vector (diagonals ng PP) papunta sa mga coordinate axes. Ang mga projection ay nag-tutugma sa mga vertices ng parallelepiped na ito.

Parallelepiped at mga uri nito

Kung literal nating isasalin ang pangalan nito mula sa sinaunang Griyego, lumalabas na ito ay isang pigura na binubuo ng magkatulad na mga eroplano. Mayroong mga sumusunod na katumbas na kahulugan ng parallelepiped:

isang prisma na may base sa anyo ng isang paralelogram;
isang polyhedron, ang bawat mukha nito ay isang paralelogram.

Ang mga uri nito ay nakikilala depende sa kung anong pigura ang nasa base nito at kung paano nakadirekta ang mga lateral ribs. Sa pangkalahatan, pinag-uusapan natin inclined parallelepiped, na ang base at lahat ng mukha ay parallelograms. Kung ang mga gilid na mukha ng nakaraang view ay naging mga parihaba, kakailanganin itong tawagan direkta. At hugis-parihaba at ang base ay mayroon ding 90º anggulo.

Bukod dito, sa geometry sinubukan nilang ilarawan ang huli sa paraang kapansin-pansin na ang lahat ng mga gilid ay magkatulad. Dito, sa pamamagitan ng paraan, ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga mathematician at artist. Mahalaga para sa huli na ihatid ang katawan bilang pagsunod sa batas ng pananaw. At sa kasong ito, ang paralelismo ng mga tadyang ay ganap na hindi nakikita.

Tungkol sa mga ipinakilalang notasyon

Sa mga formula sa ibaba, ang mga notasyong ipinahiwatig sa talahanayan ay wasto.

Mga formula para sa isang inclined parallelepiped

Una at pangalawa para sa mga lugar:

Ang pangatlo ay upang kalkulahin ang dami ng isang parallelepiped:

Dahil ang base ay isang paralelogram, upang makalkula ang lugar nito kakailanganin mong gamitin ang naaangkop na mga expression.

Mga formula para sa isang parihabang parallelepiped

Katulad ng unang punto - dalawang formula para sa mga lugar:

At isa pa para sa volume:

Unang gawain

Kundisyon. Dahil sa isang parihabang parallelepiped, ang dami nito ay kailangang matagpuan. Ang dayagonal ay kilala - 18 cm - at ang katunayan na ito ay bumubuo ng mga anggulo ng 30 at 45 degrees na may eroplano ng gilid na mukha at ang gilid ng gilid, ayon sa pagkakabanggit.

Solusyon. Upang masagot ang problemang tanong, kakailanganin mong malaman ang lahat ng panig sa tatlong tamang tatsulok. Ibibigay nila ang mga kinakailangang halaga ng mga gilid kung saan kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog.

Una kailangan mong malaman kung nasaan ang 30º na anggulo. Upang gawin ito, kailangan mong gumuhit ng isang dayagonal ng gilid ng mukha mula sa parehong vertex mula sa kung saan ang pangunahing dayagonal ng parallelogram ay iginuhit. Ang anggulo sa pagitan nila ay kung ano ang kinakailangan.

Ang unang tatsulok na magbibigay ng isa sa mga halaga ng mga gilid ng base ay ang mga sumusunod. Naglalaman ito ng kinakailangang panig at dalawang iginuhit na diagonal. Ito ay hugis-parihaba. Ngayon ay kailangan mong gamitin ang ratio ng kabaligtaran na binti (gilid ng base) at ang hypotenuse (diagonal). Ito ay katumbas ng sine ng 30º. Iyon ay, ang hindi kilalang bahagi ng base ay tutukuyin bilang ang dayagonal na pinarami ng sine na 30º o ½. Hayaang italaga ito ng letrang “a”.

Ang pangalawa ay isang tatsulok na naglalaman ng isang kilalang dayagonal at isang gilid kung saan ito ay bumubuo ng 45º. Ito rin ay hugis-parihaba, at maaari mong gamitin muli ang ratio ng binti sa hypotenuse. Sa madaling salita, gilid gilid sa dayagonal. Ito ay katumbas ng cosine ng 45º. Iyon ay, ang "c" ay kinakalkula bilang produkto ng dayagonal at ang cosine ng 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Sa parehong tatsulok kailangan mong makahanap ng isa pang binti. Ito ay kinakailangan upang pagkatapos ay kalkulahin ang pangatlong hindi alam - "sa". Hayaang italaga ito ng titik na "x". Madali itong makalkula gamit ang Pythagorean theorem:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Ngayon kailangan nating isaalang-alang ang isa pa kanang tatsulok. Naglalaman na ito mga kilalang partido"c", "x" at ang kailangang bilangin, "b":

sa = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Lahat ng tatlong dami ay kilala. Maaari mong gamitin ang formula para sa dami at kalkulahin ito:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Sagot: ang volume ng parallelepiped ay 729√2 cm 3.

Pangalawang gawain

Kundisyon. Kailangan mong hanapin ang dami ng isang parallelepiped. Ang mga gilid ng paralelogram na nasa base ay kilala na 3 at 6 cm, pati na rin ang talamak na anggulo nito - 45º. Ang gilid ng tadyang ay may pagkahilig sa base na 30º at katumbas ng 4 cm.

Solusyon. Upang masagot ang tanong ng problema, kailangan mong kunin ang formula na isinulat para sa dami ng isang hilig na parallelepiped. Ngunit ang parehong dami ay hindi kilala dito.

Ang lugar ng base, iyon ay, ng isang parallelogram, ay matutukoy ng isang formula kung saan kailangan mong i-multiply ang mga kilalang panig at ang sine ng matinding anggulo sa pagitan nila.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

Ang pangalawang hindi kilalang dami ay taas. Maaari itong iguguhit mula sa alinman sa apat na vertice sa itaas ng base. Ito ay matatagpuan mula sa isang kanang tatsulok kung saan ang taas ay ang binti at ang gilid ng gilid ay ang hypotenuse. Sa kasong ito, ang isang anggulo na 30º ay nasa tapat ng hindi kilalang taas. Nangangahulugan ito na maaari nating gamitin ang ratio ng binti sa hypotenuse.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Ngayon ang lahat ng mga halaga ay kilala at ang dami ay maaaring kalkulahin:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Sagot: ang volume ay 18 √2 cm 3.

Ikatlong gawain

Kundisyon. Hanapin ang volume ng isang parallelepiped kung alam na ito ay tuwid. Ang mga gilid ng base nito ay bumubuo ng paralelogram at katumbas ng 2 at 3 cm. Matalim na sulok may 60º sa pagitan nila. Ang mas maliit na dayagonal ng parallelepiped ay katumbas ng mas malaking dayagonal ng base.

Solusyon. Upang malaman ang dami ng isang parallelepiped, ginagamit namin ang formula na may base area at taas. Ang parehong mga dami ay hindi alam, ngunit ang mga ito ay madaling kalkulahin. Ang una ay ang taas.

Dahil ang mas maliit na dayagonal ng parallelepiped ay tumutugma sa laki sa mas malaking base, maaari silang italaga ng parehong titik d. Mas malaking anggulo ang isang paralelogram ay 120º, dahil ito ay bumubuo ng 180º na may isang talamak. Hayaang ang pangalawang dayagonal ng base ay itinalaga ng titik na "x". Ngayon para sa dalawang diagonal ng base maaari naming isulat ang cosine theorems:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Walang saysay na makahanap ng mga halaga nang walang mga parisukat, dahil mamaya sila ay itataas muli sa pangalawang kapangyarihan. Pagkatapos palitan ang data, nakukuha namin:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Ngayon ang taas, na siyang gilid din ng parallelepiped, ay magiging isang binti sa tatsulok. Ang hypotenuse ay ang kilalang dayagonal ng katawan, at ang pangalawang binti ay magiging "x". Maaari nating isulat ang Pythagorean Theorem:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Kaya naman: n = √12 = 2√3 (cm).

Ngayon ang pangalawang hindi kilalang dami ay ang lugar ng base. Maaari itong kalkulahin gamit ang formula na binanggit sa pangalawang problema.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Ang pagsasama-sama ng lahat sa formula ng dami, nakukuha namin:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Sagot: V = 18 cm 3.

Ikaapat na gawain

Kundisyon. Kinakailangang malaman ang dami ng isang parallelepiped na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: ang base ay isang parisukat na may gilid na 5 cm; ang mga gilid na mukha ay mga rhombus; ang isa sa mga vertices na matatagpuan sa itaas ng base ay katumbas ng layo mula sa lahat ng vertices na nakahiga sa base.

Solusyon. Una kailangan mong harapin ang kondisyon. Walang mga tanong sa unang punto tungkol sa parisukat. Ang pangalawa, tungkol sa mga rhombus, ay nilinaw na ang parallelepiped ay hilig. Bukod dito, ang lahat ng mga gilid nito ay katumbas ng 5 cm, dahil ang mga gilid ng rhombus ay pareho. At mula sa ikatlo ay nagiging malinaw na ang tatlong diagonal na iginuhit mula dito ay pantay. Ang mga ito ay dalawang nakahiga sa gilid na mga mukha, at ang huli ay nasa loob ng parallelepiped. At ang mga diagonal na ito ay katumbas ng gilid, iyon ay, mayroon din silang haba na 5 cm.

Upang matukoy ang lakas ng tunog, kakailanganin mo ng isang formula na nakasulat para sa isang inclined parallelepiped. Wala na namang alam na dami dito. Gayunpaman, ang lugar ng base ay madaling kalkulahin dahil ito ay isang parisukat.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

Ang sitwasyon sa taas ay medyo mas kumplikado. Magiging ganito ito sa tatlong figure: isang parallelepiped, isang quadrangular pyramid at isosceles triangle. Ang huling pangyayaring ito ay dapat samantalahin.

Dahil ito ang taas, ito ay isang binti sa isang kanang tatsulok. Ang hypotenuse sa loob nito ay magiging isang kilalang gilid, at ang pangalawang binti ay katumbas ng kalahati ng dayagonal ng parisukat (ang taas ay ang median din). At ang dayagonal ng base ay madaling mahanap:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (cm).

V = 25 * 2.5 √2 = 62.5 √2 (cm 3).

Sagot: 62.5 √2 (cm 3).

Sa araling ito, pag-aaralan ng lahat ang paksang “Rectangular parallelepiped”. Sa simula ng aralin, uulitin natin kung ano ang mga arbitrary at tuwid na parallelepiped, alalahanin ang mga katangian ng kanilang mga kabaligtaran na mukha at mga dayagonal ng parallelepiped. Pagkatapos ay titingnan natin kung ano ang isang cuboid at tatalakayin ang mga pangunahing katangian nito.

Paksa: Perpendicularity ng mga linya at eroplano

Aralin: Kuboid

Ang ibabaw na binubuo ng dalawang magkaparehong parallelograms ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 at apat na parallelograms ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ay tinatawag parallelepiped(Larawan 1).

kanin. 1 Parallelepiped

Iyon ay: mayroon kaming dalawang magkaparehong parallelogram na ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 (mga base), nakahiga sila sa parallel na eroplano upang ang mga gilid ng gilid AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ay parallel. Kaya, ang isang ibabaw na binubuo ng mga paralelogram ay tinatawag parallelepiped.

Kaya, ang ibabaw ng isang parallelepiped ay ang kabuuan ng lahat ng parallelograms na bumubuo sa parallelepiped.

1. Ang kabaligtaran ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallel at pantay.

(ang mga hugis ay pantay-pantay, iyon ay, maaari silang pagsamahin sa pamamagitan ng magkakapatong)

Halimbawa:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (katumbas ng mga paralelogram ayon sa kahulugan),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (dahil ang AA 1 B 1 B at DD 1 C 1 C ay magkatapat na mukha ng parallelepiped),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (dahil ang AA 1 D 1 D at BB 1 C 1 C ay magkatapat na mukha ng parallelepiped).

2. Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa puntong ito.

Ang mga diagonal ng parallelepiped AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ay nagsalubong sa isang punto O, at ang bawat dayagonal ay nahahati sa kalahati sa puntong ito (Fig. 2).

kanin. 2 Ang mga dayagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong at nahahati sa kalahati ng intersection point.

3. Mayroong tatlong quadruples ng pantay at magkatulad na mga gilid ng isang parallelepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Kahulugan. Ang isang parallelepiped ay tinatawag na tuwid kung ang mga lateral edge nito ay patayo sa mga base.

Hayaang ang gilid ng gilid AA 1 ay patayo sa base (Larawan 3). Nangangahulugan ito na ang tuwid na linya AA 1 ay patayo sa mga tuwid na linya AD at AB, na nasa eroplano ng base. Nangangahulugan ito na ang mga gilid na mukha ay naglalaman ng mga parihaba. At ang mga base ay naglalaman ng mga di-makatwirang paralelogram. Ipahiwatig natin ang ∠BAD = φ, ang anggulo φ ay maaaring maging anuman.

kanin. 3 Kanang parallelepiped

Kaya, ang isang kanang parallelepiped ay isang parallelepiped kung saan ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base ng parallelepiped.

Kahulugan. Ang parallelepiped ay tinatawag na hugis-parihaba, kung ang mga gilid nito ay patayo sa base. Ang mga base ay mga parihaba.

Ang parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay hugis-parihaba (Fig. 4), kung:

1. AA 1 ⊥ ABCD (lateral edge patayo sa eroplano ng base, iyon ay, isang tuwid na parallelepiped).

2. ∠BAD = 90°, ibig sabihin, ang base ay isang parihaba.

kanin. 4 Parihabang parallelepiped

Ang isang parihabang parallelepiped ay may lahat ng mga katangian ng isang arbitrary parallelepiped. Ngunit may mga karagdagang katangian na nagmula sa kahulugan ng isang cuboid.

Kaya, kuboid ay isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa base. Ang base ng isang cuboid ay isang parihaba.

1. Sa isang parihabang parallelepiped, lahat ng anim na mukha ay mga parihaba.

Ang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay mga parihaba ayon sa kahulugan.

2. Ang mga lateral ribs ay patayo sa base. Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga lateral na mukha ng isang parihabang parallelepiped ay mga parihaba.

3. Lahat dihedral na mga anggulo parihabang parallelepiped na tuwid na mga linya.

Isaalang-alang natin, halimbawa, ang dihedral na anggulo ng isang parihabang parallelepiped na may gilid AB, ibig sabihin, ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC 1 at ABC.

Ang AB ay isang gilid, ang punto A 1 ay nasa isang eroplano - sa eroplanong ABB 1, at ang punto D sa kabilang banda - sa eroplano A 1 B 1 C 1 D 1. Kung gayon ang anggulo ng dihedral na isinasaalang-alang ay maaari ding tukuyin bilang mga sumusunod: ∠A 1 ABD.

Kunin natin ang point A sa gilid AB. Ang AA 1 ay patayo sa gilid ng AB sa eroplanong АВВ-1, ang AD ay patayo sa gilid ng AB sa eroplanong ABC. Kaya, ∠A 1 AD - linear na anggulo ibinigay na anggulo ng dihedral. ∠A 1 AD = 90°, na nangangahulugan na ang dihedral na anggulo sa gilid AB ay 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Katulad nito, napatunayan na ang anumang dihedral na anggulo ng isang parihabang parallelepiped ay tama.

Square diagonal ng isang cuboid katumbas ng kabuuan mga parisukat ng tatlong sukat nito.

Tandaan. Ang mga haba ng tatlong gilid na nagmumula sa isang vertex ng isang cuboid ay ang mga sukat ng cuboid. Minsan tinatawag silang haba, lapad, taas.

Ibinigay: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parihabang parallelepiped (Larawan 5).

Patunayan: .

kanin. 5 Parihabang parallelepiped

Patunay:

Ang straight line CC 1 ay patayo sa plane ABC, at samakatuwid ay sa straight line AC. Nangangahulugan ito na ang tatsulok na CC 1 A ay right-angled. Ayon sa Pythagorean theorem:

Isaalang-alang ang tamang tatsulok na ABC. Ayon sa Pythagorean theorem:

Ngunit BC at AD - magkabilang panig parihaba. Kaya BC = AD. Pagkatapos:

kasi , A , Iyon. Dahil CC 1 = AA 1, ito ang kailangang patunayan.

Ang mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay pantay.

Tukuyin natin ang mga sukat ng parallelepiped ABC bilang a, b, c (tingnan ang Fig. 6), pagkatapos AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Kahulugan

Polyhedron tatawagin natin ang isang saradong ibabaw na binubuo ng mga polygon at nagbubuklod sa isang tiyak na bahagi ng espasyo.

Tinatawag ang mga segment na nasa gilid ng mga polygon na ito tadyang polyhedron, at ang mga polygon mismo ay mga gilid. Ang vertices ng polygons ay tinatawag na polyhedron vertices.

Isasaalang-alang lamang namin ang convex polyhedra (ito ay isang polyhedron na matatagpuan sa isang gilid ng bawat eroplano na naglalaman ng mukha nito).

Ang mga polygon na bumubuo sa isang polyhedron ay bumubuo sa ibabaw nito. Ang bahagi ng espasyo na nakatali sa isang binigay na polyhedron ay tinatawag na interior nito.

Kahulugan: prisma

Isaalang-alang ang dalawang pantay na polygons \(A_1A_2A_3...A_n\) at \(B_1B_2B_3...B_n\) na matatagpuan sa magkatulad na mga eroplano upang ang mga segment \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallel. Isang polyhedron na nabuo ng mga polygons \(A_1A_2A_3...A_n\) at \(B_1B_2B_3...B_n\) , pati na rin ng mga parallelograms \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), ay tinatawag na (\(n\)-gonal) prisma.

Ang mga polygons \(A_1A_2A_3...A_n\) at \(B_1B_2B_3...B_n\) ay tinatawag na prism base, parallelograms \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– mga gilid ng mukha, mga segment \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- lateral ribs.
Kaya, ang mga lateral na gilid ng prisma ay parallel at katumbas ng bawat isa.

Tingnan natin ang isang halimbawa - isang prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), sa base kung saan matatagpuan ang isang matambok na pentagon.

taas Ang mga prisma ay isang patayo na bumaba mula sa anumang punto ng isang base patungo sa eroplano ng isa pang base.

Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa base, kung gayon ang naturang prisma ay tinatawag hilig(Larawan 1), kung hindi - tuwid. Sa isang tuwid na prisma, ang mga gilid ng gilid ay taas, at ang mga gilid ng mukha ay pantay na mga parihaba.

Kung ang isang regular na polygon ay nasa base ng isang tuwid na prisma, kung gayon ang prisma ay tinatawag tama.

Kahulugan: konsepto ng lakas ng tunog

Ang unit ng volume measurement ay isang unit cube (isang cube na may sukat na \(1\times1\times1\) units\(^3\), kung saan ang unit ay isang partikular na unit ng measurement).

Masasabi nating ang dami ng polyhedron ay ang dami ng espasyo na nililimitahan ng polyhedron na ito. Kung hindi: ito ay isang dami kung saan ang numerical na halaga ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang isang unit cube at ang mga bahagi nito ay magkasya sa isang ibinigay na polyhedron.

Ang volume ay may parehong mga katangian tulad ng lugar:

1. Mga Tomo pantay na mga numero ay pantay-pantay.

2. Kung ang isang polyhedron ay binubuo ng ilang hindi intersecting polyhedra, kung gayon ang volume nito ay katumbas ng kabuuan ng mga volume ng polyhedra na ito.

3. Ang volume ay isang hindi negatibong dami.

4. Ang volume ay sinusukat sa cm\(^3\) (cubic centimeters), m\(^3\) (cubic meters), atbp.

Teorama

1. Ang lugar ng lateral surface ng prism ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prisma.
Ang lateral surface area ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces ng prism.

2. Ang volume ng prism ay katumbas ng produkto ng base area at ang taas ng prism: \

Kahulugan: parallelepiped

Parallelepiped ay isang prisma na may paralelogram sa base nito.

Ang lahat ng mukha ng parallelepiped (mayroong \(6\) : \(4\) side faces at \(2\) bases) ay parallelograms, at ang magkasalungat na mukha (parallel sa isa't isa) ay pantay na parallelograms (Fig. 2) .

Diagonal ng isang parallelepiped ay isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertices ng isang parallelepiped na hindi nakahiga sa parehong mukha (mayroong \(8\) sa mga ito: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) atbp.).

Parihabang parallelepiped ay isang kanang parallelepiped na may isang parihaba sa base nito.
kasi Dahil ito ay isang kanang parallelepiped, ang mga gilid na mukha ay mga parihaba. Nangangahulugan ito na sa pangkalahatan ang lahat ng mga mukha ng isang parihabang parallelepiped ay mga parihaba.

Ang lahat ng mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay pantay (ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) atbp.).

Magkomento

Kaya, ang isang parallelepiped ay may lahat ng mga katangian ng isang prisma.

Teorama

Ang lateral surface area ng isang rectangular parallelepiped ay \

Square buong ibabaw parihabang parallelepiped ay katumbas ng \

Teorama

Ang volume ng isang cuboid ay katumbas ng produkto ng tatlong gilid nito na lumalabas mula sa isang vertex (tatlong dimensyon ng cuboid): \

Patunay

kasi Sa isang parihabang parallelepiped, ang mga lateral na gilid ay patayo sa base, pagkatapos ay sila rin ang mga taas nito, iyon ay, \(h=AA_1=c\) Dahil ang base ay isang parihaba, kung gayon \(S_(\text(pangunahing))=AB\cdot AD=ab\). Dito nagmula ang formula na ito.

Teorama

Ang dayagonal na \(d\) ng isang rectangular parallelepiped ay matatagpuan gamit ang formula (kung saan ang \(a,b,c\) ay ang mga sukat ng parallelepiped) \

Patunay

Tingnan natin ang Fig. 3. Dahil ang base ay isang parihaba, pagkatapos ay ang \(\triangle ABD\) ay hugis-parihaba, samakatuwid, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

kasi lahat ng mga lateral na gilid ay patayo sa mga base, pagkatapos \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) patayo sa anumang tuwid na linya sa eroplanong ito, i.e. \(BB_1\perp BD\) . Nangangahulugan ito na ang \(\triangle BB_1D\) ay hugis-parihaba. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Kahulugan: kubo

Cube ay isang parihabang parallelepiped, na ang lahat ng mga mukha ay pantay na mga parisukat.

Kaya, ang tatlong dimensyon ay katumbas ng bawat isa: \(a=b=c\) . Kaya totoo ang mga sumusunod

Theorems

1. Ang volume ng isang cube na may gilid \(a\) ay katumbas ng \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Ang dayagonal ng kubo ay matatagpuan gamit ang formula \(d=a\sqrt3\) .

3. Kabuuang surface area ng isang cube \(S_(\text(full cube))=6a^2\).

Paksa: Perpendicularity ng mga linya at eroplano

Aralin: Kuboid

Ang ibabaw na binubuo ng dalawang magkaparehong parallelograms ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 at apat na parallelograms ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ay tinatawag parallelepiped(Larawan 1).

kanin. 1 Parallelepiped

Iyon ay: mayroon kaming dalawang pantay na parallelograms ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 (mga base), nakahiga sila sa magkatulad na mga eroplano upang ang mga gilid na gilid AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ay magkatulad. Kaya, ang isang ibabaw na binubuo ng mga paralelogram ay tinatawag parallelepiped.