Transcript

1 I. V. Yakovlev Mga materyales sa matematika MathUs.ru Systems trigonometriko equation Sa artikulong ito, isinasaalang-alang namin ang mga sistemang trigonometriko ng dalawang equation na may dalawang hindi alam. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema at iba't ibang mga espesyal na galaw pag-aaralan natin agad tiyak na mga halimbawa. Maaaring mangyari na ang isa sa mga equation ng system ay naglalaman ng mga trigonometric na function ng mga hindi alam na x at y, habang ang isa pang equation ay linear sa x at y. Sa kasong ito, kumikilos kami sa malinaw na paraan: ipinapahayag namin ang isa sa mga hindi alam mula sa isang linear equation at pinapalitan ito sa isa pang equation ng system. Suliranin 1. Lutasin ang sistema: x + y =, sin x + sin y = 1. Solusyon. Mula sa unang equation ay ipinapahayag namin ang y hanggang x: at i-substitute ito sa pangalawang equation: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Ang resulta ay ang pinakasimpleng trigonometric equation para sa x. Isinulat namin ang mga solusyon nito sa anyo ng dalawang serye: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Nananatili itong hanapin ang mga katumbas na halaga ng y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Gaya ng dati sa isang sistema ng mga equation, ang sagot ay ibinibigay bilang isang listahan ng mga pares x; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Tandaan na ang x at y ay nauugnay sa isa't isa sa pamamagitan ng integer parameter n. Lalo na, kung ang +n ay lilitaw sa expression para sa x, pagkatapos ay awtomatikong lilitaw ang n sa expression para sa y, at may parehong n. Ito ay isang kinahinatnan ng "mahirap" na relasyon sa pagitan ng x at y, na ibinigay ng equation na x + y =. Gawain. Lutasin ang system: cos x + cos y = 1, x y =. Solusyon. Dito makatuwirang baguhin muna ang unang equation ng system: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Kaya, ang aming sistema ay katumbas ng sumusunod na sistema: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Palitan ang x y = sa unang equation: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Bilang resulta, nakarating tayo sa system: x + y = n, x y =. Idinagdag namin ang mga equation na ito, hatiin at hanapin ang x; ibawas ang pangalawa sa unang equation, hatiin at hanapin ang y: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Sa ilang mga kaso sistemang trigonometriko ay maaaring bawasan sa isang sistema ng mga algebraic equation sa pamamagitan ng angkop na pagbabago ng mga variable. Gawain. Lutasin ang sistema: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Solusyon. Ang pagpapalit ng u = sin x, v = cos y ay humahantong sa isang algebraic system para sa u at v: u + v = 1, u v = 1. Madali mong malulutas ang sistemang ito sa iyong sarili. Ang solusyon ay natatangi: u = 1, v = 0. Ang reverse substitution ay humahantong sa dalawang pinakasimpleng trigonometric equation: sin x = 1, cos y = 0, kung saan + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Ngayon ang rekord ng tugon ay naglalaman ng dalawang integer na parameter k at n. Ang pagkakaiba mula sa mga nakaraang problema ay na sa sistemang ito ay walang "mahirap" na koneksyon sa pagitan ng x at y, halimbawa, sa anyo ng isang linear equation), samakatuwid ang x at y ay higit na independyente sa bawat isa.

3 V sa kasong ito Magiging isang pagkakamali na gumamit lamang ng isang integer na parameter n, pagsusulat ng sagot bilang + n;) + n. Ito ay hahantong sa pagkawala ng isang walang katapusang bilang ng 5 solusyon sa system. Halimbawa, ang solusyon ay mawawala ;) na magmumula sa k = 1 at n = 0. Problema 4. Lutasin ang sistema: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Solusyon. Una ay binabago natin ang pangalawang equation: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Ngayon ginagawa namin ang kapalit: u = sin x, v = sin y. Nakukuha namin ang system: u + v = 1, u + 4v = 1. Ang mga solusyon sa sistemang ito ay dalawang pares: u 1 = 0, v 1 = 1/ at u = /, v = 1/6. Ang natitira na lang ay gawin ang reverse substitution: sin x = 0, sin x = sin y = 1 o, sin y = 1 6, at isulat ang sagot. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Problema 5. Lutasin ang sistema: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Solusyon. Dito, upang makakuha ng isang algebraic system, kailangan mong magtrabaho nang higit pa. Isinulat natin ang unang equation ng ating system sa anyo: Sa pangalawang equation mayroon tayo: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Kaya, ang orihinal ang sistema ay katumbas ng sistema: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Ginagawa namin ang kapalit na u = cos x y, v = cos x + y at kumuha ng algebraic system: uv = 1, u v = 4. Ang mga solusyon sa system na ito ay dalawang pares: u 1 = 1, v 1 = 1/ at u = 1, v = 1/. Ang unang pares ay nagbibigay ng system: x y = 1, = k, Kaya cos x y cos x + y Ang pangalawang pares ay nagbibigay ng system: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Samakatuwid x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Gayunpaman, hindi laging posible na bawasan ang isang sistema ng mga trigonometric equation sa isang sistema ng mga algebraic equation. Sa ilang mga kaso, kinakailangan na gumamit ng iba't ibang mga espesyal na pamamaraan. Minsan posibleng gawing simple ang isang sistema sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga equation. Suliranin 6. Lutasin ang sistema: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Solusyon. Sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga equation na ito, nakakakuha tayo ng katumbas na sistema: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. At ang sistemang ito, naman, ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema: x + y = + k, x + y = x y = + k, o 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Kaya naman x = + k + n), x = + k + n), y = o + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Minsan makakarating ka sa isang solusyon sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga equation sa bawat isa. Suliranin 7. Lutasin ang sistema: tg x = sin y, ctg x = cos y. Solusyon. Alalahanin natin na ang pagpaparami ng mga equation ng isang sistema sa bawat isa ay nangangahulugan ng pagsulat ng isang equation ng anyo na "ang produkto ng mga kaliwang bahagi ay katumbas ng produkto ng mga kanang bahagi." Ang resultang equation ay magiging bunga ng orihinal na sistema, iyon ay, lahat ng solusyon ng orihinal na sistema ay nakakatugon sa resultang equation). Sa kasong ito, ang pagpaparami ng mga equation ng system ay humahantong sa equation: 1 = sin y cos y = sin y, kung saan y = /4 + n n Z). Hindi maginhawang i-substitute ang y sa form na ito sa system, mas mabuting hatiin ito sa dalawang serye: y 1 = 4 + n. I-substitute ang y 1 sa unang equation ng system: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Madaling makita na ang pagpapalit ng y 1 sa pangalawang equation ng system ay hahantong sa parehong resulta. Ngayon ay pinapalitan natin ang y: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Minsan ang paghahati ng mga equation sa bawat isa ay humahantong sa resulta. Suliranin 8. Lutasin ang sistema: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Solusyon. Ibahin natin ang anyo: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Pansamantala nating ipakilala ang sumusunod na notasyon: α = x + y, β = x y. Pagkatapos ang resultang sistema ay muling isusulat sa anyo: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Malinaw na ang cos β 0. Pagkatapos, hinahati ang pangalawang equation sa una, dumating tayo sa equation tg α =, na isang resulta ng system. Mayroon kaming: α = + n n Z), at muli, para sa layunin ng karagdagang pagpapalit sa system), maginhawa para sa amin na hatiin ang nagresultang set sa dalawang serye: α 1 = + n, α = 4 + n. Ang pagpapalit ng α 1 sa alinman sa mga equation ng system ay humahantong sa equation: cos β = 1 β 1 = k k Z). Katulad nito, ang pagpapalit ng α sa alinman sa mga equation ng system ay nagbibigay ng equation: cos β = 1 β = + k k Z). Kaya, mayroon tayo: ibig sabihin, kung saan ang α 1 = + n, β 1 = k o α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y o + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = o + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Sa ilang mga kaso, ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan. Suliranin 9. Lutasin ang sistema: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Solusyon. I-square natin ang magkabilang panig ng bawat equation: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Idagdag natin ang mga resultang equation: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, kung saan sin y = 0 at y = n n Z). Ito ay bunga ng orihinal na sistema; iyon ay, para sa anumang pares x; y), na isang solusyon sa system, ang pangalawang numero ng pares na ito ay magkakaroon ng form n na may ilang integer n. Hinahati namin ang y sa dalawang serye: y 1 = n, y = + n. Pinapalitan natin ang y 1 sa orihinal na sistema: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Ang solusyon sa sistemang ito ay ang serye sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ). Pakitandaan na ngayon ay hindi sapat na palitan ang y 1 sa isa sa mga equation ng system. Ang pagpapalit ng y 1 sa una at pangalawang equation ng system ay humahantong sa isang sistema ng dalawang magkaibang equation para sa x.) Sa katulad na paraan, pinapalitan natin ang y sa orihinal na sistema: Kaya sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z ).)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Minsan, sa kurso ng mga pagbabagong-anyo, posible na makakuha ng isang simpleng relasyon sa pagitan ng mga hindi alam at ipahayag mula sa relasyong ito na hindi kilala sa mga tuntunin ng isa pa. Suliranin 10. Lutasin ang sistema: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Solusyon. Sa pangalawang equation ng system ay binago natin dobleng produkto sinus sa pagkakaiba ng mga cosine: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Mula dito ipinapahayag namin ang y sa mga tuntunin ng x: y = x + n, 7

8 at palitan sa unang equation ng system: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Ang natitira ay walang halaga. Nakukuha natin ang: cos x = 1, kung saan ang x = ± Nananatili itong hanapin ang y mula sa kaugnayang nakuha sa itaas: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Siyempre, ang mga isinasaalang-alang na mga problema ay hindi sumasaklaw sa buong iba't ibang mga sistema ng trigonometric equation. Sa anumang medyo mahirap na sitwasyon, kinakailangan upang ipakita ang katalinuhan, na binuo lamang sa pamamagitan ng pagsasanay sa paglutas ng iba't ibang mga problema. Ipinapalagay ng lahat ng sagot na k, n Z. Mga Problema 1. Lutasin ang sistema: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n); b) n; n). Lutasin ang sistema: x + y = 4, tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctan 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n); b) + n; 6 + n). Lutasin ang sistema: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, kasalanan x kasalanan y = n; 6 + n); b) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Lutasin ang sistema: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. b) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n); b) 1) k 4 + k; + n) 5. Lutasin ang sistema: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n); b) arctan 5 + k; arctan 1 + n), arctan 1 + k; arctan 5 + n) 6. Lutasin ang sistema: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. b) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n); b) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Lutasin ang sistema: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Lutasin ang sistema: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)); b) ± + k + n); ± + k n)) 9. Lutasin ang sistema: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. b) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)); b)) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Lutasin ang sistema: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Lutasin ang sistema:) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Lutasin ang sistema: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Lutasin ang sistema: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Lutasin ang sistema: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Lutasin ang sistema: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Lutasin ang sistema: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. b) cot x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); b)) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. “Fiztekh”, 010) Lutasin ang sistema ng mga equation 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n); k, n Z 18. Moscow State University, kopya. para sa mga dayuhan gr-n, 01) Lutasin ang sistema ng mga equation: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Hanapin ang lahat ng solusyon sa sistema ng mga equation sin x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, kung saan xn = 8 + n ± n) 6 , n Z, n, 1, 0, 1 0. Moscow State University, heograpikal. f-t, 005) Lutasin ang sistema ng mga equation 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. Moscow State University, Faculty of State. control, 005) Solve the system of equation sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Solve the system of equation 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x kasalanan y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12 . MIPT, 199) Lutasin ang sistema ng mga equation tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctan 4 + n, arccos 4 + k); + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Lutasin ang sistema ng mga equation sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k); k, n Z 5. MIPT, 1996) Lutasin ang sistema ng mga equation sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k); k, n Z 6. MIPT, 1997) Lutasin ang sistema ng mga equation 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k); k, n Z 1

I. V. Yakovlev Mga materyales sa matematika MathUs.ru Minimax na mga problema sa trigonometrya Tinatalakay ng sheet na ito ang mga equation para sa solusyon kung aling mga pagtatantya ng kanan at kaliwang panig ang ginagamit. Upang maging

I. V. Yakovlev Mga materyales sa matematika MathUs.ru Trigonometric equation na may modulus Ang sheet na ito ay nakatuon sa trigonometric equation kung saan ang mga trigonometric na function ng hindi kilalang dami ay naglalaman

Praktikal na trabaho: Paglutas ng mga trigonometric equation iba't ibang uri Developer: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko Layunin ng trabaho: 1) Ulitin mga formula ng trigonometriko dobleng argumento, mga formula ng karagdagan,

I V Yakovlev Mga Materyales sa matematika MathUsru Mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko Ipinapalagay na malulutas ng mambabasa ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. kumplikadong mga gawain Gawain

I. V. Yakovlev Mga materyales sa matematika MathUs.ru Trigonometric transformations at kalkulasyon Mga problemang nauugnay sa mga pagbabagong trigonometriko at ang mga kalkulasyon, bilang panuntunan, ay hindi kumplikado at samakatuwid ay madalang

Mga Nilalaman I V Yakovlev Mga Materyales sa matematika MathUsru Mga hindi makatwirang equation at mga sistema 1 Accounting para sa ODZ 1 Mga katumbas na pagbabagong-anyo 3 Pagpapalit ng variable 6 4 Pagpaparami sa conjugate 7 5 Mga sistema ng equation

I. V. Yakovlev Mga materyales sa matematika MathUs.ru Ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko Nagsisimula kaming pag-aralan ang mga equation ng trigonometric sentral na tema ang buong seksyon ng trigonometriko. Hayaan ang a

Ahensiya ng Edukasyon ng Pangangasiwa ng Krasnoyarsk Territory Krasnoyarsk Pambansang Unibersidad Correspondence natural science school sa Krasnoyarsk State University Mathematics: Module para sa grade 0 Educational and methodological part / Composition:

Invariance at mga problema sa mga parameter ng G.I Falin, A.I. Falin Moscow State University na pinangalanang M.V. Lomonosov http://mech.math.msu.su/ falin 1 Panimula Sa modernong matematika mahalagang papel gumaganap ng konsepto ng invariance, i.e. kawalan ng pagbabago

I. V. Yakovlev Mga materyales sa matematika MthUs.ru Pag-aaral ng mga trigonometrikong function Alalahanin na ang function na fx) ay tinatawag na periodic kung mayroong isang numerong T 0 na para sa alinmang x mula sa domain ng kahulugan

Paksa 14 “Algebraic equation and systems Hindi linear na equation» Ang polynomial ng degree n ay isang polynomial ng form na P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, kung saan ang a 0, a 1, a n-1, a n ay binibigyan ng mga numero , a 0,

I. V. Yakovlev Mga materyales sa matematika MathUs.ru Mga problema sa pagsasanay Symmetry sa mga problema sa mga parameter 1. (MSU, Faculty of Soil Science, 001) Para sa anong mga halaga ng b ang equation ay may eksaktong isang ugat? tan b = log

Ministri ng Agham at Edukasyon Pederasyon ng Russia Moscow State University of Geodesy and Cartography T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman MATHEMATICS MANUAL PARA SA MGA APPLICANT

Aralin sa algebra sa baitang 10 Paksa ng aralin: Mga paraan ng paglutas ng mga trigonometric equation Layunin ng aralin: Paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral sa paksa. Mga layunin ng aralin: 1) Pang-edukasyon - Palawakin at palalimin

Mga halimbawa ng mga solusyon sa pagsubok ni L.I. Terekhina, I.I. Ayusin ang 1 Pagsusulit 1 Linear algebra Solve equation ng matrix((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 I-multiply muna natin ang mga matrice sa

PAGSASAMA NG MGA TIGONOMETRIC FUNCTION Pagsasama-sama ng produkto ng mga sine at cosines ng iba't ibang argumento Mga formula ng trigonometriko k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ] ] ])), (k m [ (m k (m k ])

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation Moscow Institute of Physics and Technology (State University) Correspondence School of Physics and Technology MATHEMATICS Magkaparehong pagbabago. Solusyon

Irrational equation and inequalities Nilalaman Irrational equation Paraan ng pagtaas ng magkabilang panig ng isang equation sa parehong kapangyarihan Assignment Assignment Assignment Pagpapalit ng irrational equation na may mixed one

Ministri ng Edukasyon ng Republika ng Belarus Molodechno State Polytechnic College Praktikal na gawain: Paglutas ng mga trigonometrikong equation na binawasan sa pinakasimpleng. Nag-develop: I.

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION TOMSK STATE UNIVERSITY Faculty of Applied Mathematics and Cybernetics Department of Probability Theory and Mathematical Statistics LIMITS Methodological

Baitang 10, pangunahing antas Gawain 1 Pagpipilian 0 (pagpapakita, kasama ang mga solusyon) Correspondence mathematics school 009/010 Taong panuruan 1 Ipahayag ang expression bilang polynomial karaniwang view at hanapin siya

Mga Lekturang “INDEFINITE INTEGRAL” Compiled by: VPBelkin Lecture Indefinite integral Pangunahing konsepto Mga katangian ng di-tiyak na integral 3 Pangunahing talahanayan ng mga antiderivative 3 4 Mga karaniwang halimbawa 3 5 Ang pinakasimpleng

4. Trigonometry Ngayon ang lahat ay handa na upang magbigay ng mahigpit na mga kahulugan ng trigonometriko function. Sa unang sulyap ay malamang na tila kakaiba sila; gayunpaman, ipapakita namin na tiyak

Paksa LIMITASYON NG MGA FUNCTION Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na y = f), na may x na humahantong sa infinity, kung para sa anumang numerong ε>, gaano man kaliit, mayroong positibong numero na para sa lahat >S,

Federal Agency for Education State institusyong pang-edukasyon mas mataas bokasyonal na edukasyon Ukhta State Technical University (USTU) LIMIT FUNCTION Methodological

NE DEMIDOVA FUNDAMENTALS OF TRIGONOMETRI Textbook para sa mga dayuhang mamamayan Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation Federal State Educational Institution organisasyong pinondohan ng estado mas mataas na propesyonal

Paksa 1 Mga totoong numero at operasyon sa mga ito 4 na oras 11 Pagbuo ng konsepto ng numero 1 Sa una, ang mga numero ay naunawaan lamang mga integer, na sapat na upang mabilang indibidwal na mga item Isang grupo ng

Paglutas ng mga trigonometric equation Paglutas ng mga trigonometriko equation Layunin: Upang maging pamilyar sa mga uri ng trigonometriko equation Upang maging pamilyar sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation. Bumuo ng mga kasanayan sa aplikasyon

I. V. Yakovlev Mga Materyales sa matematika MathUs.ru Symmetry sa mga problema sa mga parameter Ang Symmetry ay isa sa mga pangunahing konsepto ng matematika at pisika. Pamilyar ka ba sa geometric symmetry ng mga figure at iba't-ibang

Pagsusulit. Given matrices A, B at D. Hanapin ang AB 9D kung: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Multiply matrices A 3 at B 3. Result will maging C ng laki 3 3, na binubuo ng mga elemento

Lecture 13: Pag-uuri ng quadrics sa Ural plane pederal na unibersidad, Institute of Mathematics and Computer Science, Department of Algebra at Discrete Mathematics Panimulang pangungusap Sa nakaraang tatlong

Klase. Isang kapangyarihan na may di-makatwirang tunay na exponent, ang mga katangian nito. Power function, mga katangian nito, mga graph.. Alalahanin ang mga katangian ng isang kapangyarihan na may rational exponent. a a a a para sa natural na panahon

Baitang 8.3, Mathematics (textbook Makarychev) 2016-2017 academic year Paksa ng modyul 5 “Square root. Degree with an integer indicator” Ang pagsubok ay sumusubok sa teoretikal at praktikal na mga bahagi. PAKSANG-ARALIN Malaman Magagawang Malaman

Department of Higher Mathematics ng VSTU-VGASU, Assoc. Sedaev A.A. 06 PRODUCED?.. from scratch?.. FOR C H A Y N I K O V?... ITO AY HINDI SIMPLE Dear reader. Kung nakatagpo ka ng pangangailangan upang mahanap

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation NATIONAL RESEARCH MOSCOW STATE CIVIL UNIVERSITY Department of Applied Mechanics and Mathematics ORDINARY DIFFERENTIALS

Paksa: Pagbabago ng mga trigonometric na expression Isinasaalang-alang ang ODZ sa trigonometric equation Paghahanda para sa Pinag-isang State Exam (gawain 9; ; 8) Depinisyon: Ang domain ng kahulugan ng equation f g o area mga katanggap-tanggap na halaga

Moscow Aviation Institute (National Research University) Department of "Higher Mathematics" Limits Derivatives Functions of several variables Mga methodological instructions at test options

Kabanata 4 Limitasyon ng isang Tungkulin 4 1 KONSEPTO NG LIMITASYON NG ISANG TUNGKULIN Ang kabanatang ito ay nakatuon sa konsepto ng limitasyon ng isang function. Natutukoy kung ano ang limitasyon ng isang function sa infinity, at pagkatapos ay ang limitasyon sa isang punto, mga limitasyon

Paksa 7 Ranggo ng isang matrix Basic minor Theorem sa ranggo ng isang matrix at ang mga kahihinatnan nito Mga sistema ng m linear equation na may hindi alam Kronecker-Capelli theorem Pangunahing sistema ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng linear equation

Paksa 1-8: Mga kumplikadong numero A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science Departamento ng Algebra at Discrete Mathematics algebra at geometry para sa mechanics (1 semester)

MGA BATAYANG KONSEPTO NG MATHEMATICAL ANALYSIS mga konsepto na maaaring ilarawan, ngunit hindi maaaring mahigpit na tukuyin, dahil ang anumang pagtatangka na magbigay ng isang mahigpit na kahulugan ay hindi maiiwasang palitan ang tinukoy na konsepto dito.

Paraan ng paghihiwalay ng mga variable (Fourier method) Pangkalahatang mga prinsipyo paraan ng paghihiwalay ng mga variable Para sa pinakasimpleng partial differential equation, ang paghihiwalay ng mga variable ay ang paghahanap para sa mga solusyon ng form lamang sa t. u(x,t

64 7th grade Algebra (5 oras bawat linggo, 175 oras) Algebraic component (3 oras bawat linggo) 105 oras at Geometric component (2 oras bawat linggo) 70 oras na Nagamit pantulong sa pagtuturo: 1. Arefieva, I. G. Algebra: aklat-aralin. allowance

Ministri ng Edukasyon ng Russian Federation Russian State University of Oil and Gas na pinangalanan sa IM Gubkin VI Ivanov Mga Alituntunin para sa pag-aaral ng paksang "DIFFERENTIAL EQUATIONS" (para sa mga mag-aaral

Praktikal na aralin Paksa: Function Domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga ng isang function Layunin: Pagbuo ng mga kasanayan sa paghahanap ng domain ng kahulugan ng mga function at pagkalkula ng mga bahagyang halaga ng mga function Upang makumpleto

MGA SOLUSYON SA MGA GAWAIN NG OPSYON 0 Ipaalala sa iyo na ang mga solusyon sa mga gawain lamang mula sa bahagi ay isinumite para sa pagsubok. Ang mga solusyon sa mga gawain mula sa mga bahagi ay ginagawa sa mga draft at hindi nakakaapekto sa pagtatasa sa anumang paraan. Kapag kinukumpleto ang mga gawain mula sa bahagi

57 (07) D DG Demyanov UNDETERMINED INTEGRAL Educational and reference manual Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG Indefinite integral: Educational and reference manual / Edited by SA Ufimtsev Chelyabinsk: Publishing house

Phystech 0, 0 class, mga solusyon sa ticket cos x cosx Solve the equation = cos x sin x Answer x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Solution Mayroong dalawang posibleng kaso cos x cos x sin x sin x a) cos x 0 Then = = tan x = x =

TRIGONOMETRIC FORMULAS Ang tagumpay ng paglutas ng mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay, pagpapatunay ng mga trigonometric na pagkakakilanlan at paglutas ng mga problema sa computational ay higit na tinutukoy ng kaalaman sa pangunahing

Aralin 14 Mga kumplikadong numero. LOD na may pare-parehong coefficient. 14.1 Mga kumplikadong numero Ang kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyong z = x+iy, kung saan ang x R. Mayroong isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng set

Tanong: Anong mga numero ang tinatawag na natural na mga numero? Sagot Ang mga natural na numero ay mga numerong ginagamit sa pagbibilang.Ano ang mga klase at ranggo sa notasyon ng mga numero? Ano ang tawag sa mga numero kapag nagdadagdag? Bumuo ng isang katinig

AA KIRSANOV COMPLEX NUMBERS PSKOV BBK 57 K45 Nai-publish sa pamamagitan ng desisyon ng Department of Algebra and Geometry, at ng Editorial and Publishing Council ng PSPI na pinangalanang SM Kirov Reviewer: Medvedeva IN, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor

Lecture: Differential equation ng ika-order (DE-) Pangkalahatang anyo Ang differential equation ng order n ay isusulat: (n) F, = 0 () Ang equation ng ika-order (n =) ay kukuha ng form F(,) = 0 Katulad na equation

DIFFERENTIAL EQUATIONS Khabarovsk 01 FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION State budgetary educational institution of higher professional education "Pacific State

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering V B SMIRNOVA, L E MOROZOVA ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Educational

MATHEMATICS, klase Mga sagot at pamantayan, Abril Opsyon/gawain MGA SAGOT B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8.7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Kondisyon ng problema 1 Entablado ng munisipyo Ika-8 baitang 1. Dalawang numero ang nakasulat sa pisara. Ang isa sa kanila ay nadagdagan ng 6 na beses, at ang isa ay nabawasan para sa 2015, habang ang kabuuan ng mga numero ay hindi nagbago. Maghanap ng hindi bababa sa isang pares ng mga ito

Indefinite integral Panimula Kahulugan Ang isang function F() ay tinatawag na isang antiderivative para sa isang ibinigay na function f() kung F() f(), o, ano ang pareho, df f d Ang function na ito f() ay maaaring magkaroon ng iba't ibang antiderivatives,

Moscow Institute of Physics and Technology Irrational equation at inequalities Toolkit sa paghahanda para sa mga Olympiad Compiled by: Parkevich Egor Vadimovich Moscow 04 Panimula Sa gawaing ito ay titingnan natin ang

MGA BASIKS NG VECTOR CALCULUS Ang vector ay isang quantitative na katangian na hindi lamang numerical value, kundi pati na rin direksyon. Minsan sinasabi nila na ang vector ay isang directed segment Vector system

Exponential equation. Mga paraan ng solusyon. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Ang exponential equation ay isa na naglalaman lamang ng variable sa exponent. Tingnan natin ang ilang uri mga exponential equation,

MAV(S)OU "TsO 1" Mathematics 1st grade Trigonometry TEST 1, Tables, mga test paper, pagsusulit Guro Nemova N.M. Unang kwalipikasyon ika-15 baitang Explanatory note. Ang didactic na materyal na ito ay inilaan

Antiderivative at indefinite integral Pangunahing konsepto at formula 1. Depinisyon ng antiderivative at indefinite integral. Kahulugan. Ang function na F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function na f(x) sa pagitan

PRAKTIKAL NA ARALIN Pagsasama ng mga rational fraction Ang rational fraction ay isang fraction ng form na P Q, kung saan ang P at Q ay polynomials. Ang rational fraction ay tinatawag na proper kung ang degree ng polynomial P ay mas mababa kaysa sa degree

I. V. Yakovlev Mga materyales sa matematika MthUs.ru Ang artikulo ay isinulat sa pakikipagtulungan ni A. G. Malkova Ang pinakasimpleng trigonometriko equation. Ang nakaraang artikulo ay nakatuon sa pangunahing ideya ng paglutas ng pinakasimpleng mga problema sa trigonometriko

Paksa Indefinite integral Pangunahing paraan ng integrasyon Pagsasama-sama ng mga bahagi Hayaan ang u at v na maging dalawang differentiable function ng parehong argumento Nalaman na d(u v) udv vdu (77) Take from both

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation Moscow Institute of Physics and Technology (state university) Correspondence school of physics and technology MATHEMATICS Quadratic equation Assignment para sa 8th graders

Isang hakbang na problema sa mga integer (pormal) pahina 1 09/06/2012 1) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: x 7 17. 2) I-multiply ang 612 sa 100000. 3) Ano ang pagkakaiba ng mga numerong 661 at 752? 4) Ihambing ang mga expression: 54 6 at 7.

LECTURE N Differential equation of higher orders, method of solution Cauchy problem Linear differential equation of higher orders Homogeneous linear equation Differential equation of higher orders,

Aralin 54-55. Mga sistema ng trigonometric equation (opsyonal)

09.07.2015 9099 895

Target: isaalang-alang ang pinakakaraniwang mga sistema ng trigonometriko equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

I. Paglalahad ng paksa at layunin ng mga aralin

II. Pag-uulit at pagsasama-sama ng materyal na sakop

1. Mga sagot sa mga tanong tungkol sa takdang aralin(pagsusuri ng hindi nalutas na mga problema).

2. Pagsubaybay sa asimilasyon ng materyal (independiyenteng gawain).

Pagpipilian 1

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Opsyon 2

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

III. Pag-aaral ng bagong materyal

Sa mga pagsusulit, ang mga sistema ng trigonometriko equation ay mas karaniwan kaysa sa trigonometriko equation at hindi pagkakapantay-pantay. Walang malinaw na pag-uuri ng mga sistema ng mga equation ng trigonometriko. Samakatuwid, kondisyonal naming hatiin sila sa mga grupo at isaalang-alang ang mga paraan upang malutas ang mga problemang ito.

1. Ang pinakasimpleng sistema ng mga equation

Kabilang dito ang mga sistema kung saan ang alinman sa mga equation ay linear, o ang mga equation ng system ay maaaring malutas nang hiwalay sa isa't isa.

Halimbawa 1

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Dahil ang unang equation ay linear, ipinapahayag namin ang variable mula ditoat palitan sa pangalawang equation:Ginagamit namin ang formula ng pagbabawas at ang pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko. Nakukuha namin ang equation o Magpakilala tayo ng bagong variable t = kasalanan u. Mayroon kaming quadratic equation 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, na ang mga ugat t 1 = 1/3 at t 2 = 2 (hindi angkop dahil kasalanan y ≤ 1). Bumalik tayo sa dating hindi alam at kunin ang equation siny = 1/3, na ang solusyonNgayon ay madaling mahanap ang hindi alam:Kaya, ang sistema ng mga equation ay may mga solusyon kung saan n ∈ Z.

Halimbawa 2

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Ang mga equation ng system ay independyente. Samakatuwid, maaari nating isulat ang mga solusyon sa bawat equation. Nakukuha namin:Idinaragdag at ibinabawas namin ang mga equation ng sistemang ito ng mga linear equation na termino ayon sa termino at nahanap namin:saan

Pakitandaan na dahil sa kalayaan ng mga equation, kapag naghahanap ng x - y at x + y, dapat tukuyin ang iba't ibang integer n at k. Kung sa halip na k ay ibinigay din n , kung gayon ang mga solusyon ay magiging ganito:Sa kasong ito, mawawala ang isang walang katapusang bilang ng mga solusyon at, bilang karagdagan, magkakaroon ng koneksyon sa pagitan ng mga variable. x at y: x = 3y (na hindi ang kaso sa katotohanan). Halimbawa, madaling suriin iyon ang sistemang ito ay may solusyon na x = 5π at y = n (alinsunod sa mga formula na nakuha), na kapag k = n imposibleng mahanap. Kaya mag-ingat ka.

2. Uri ng mga sistema

Ang ganitong mga sistema ay nababawasan sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga equation. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng mga sistemao Pansinin natin ang isang malinaw na limitasyon: At Ang solusyon ng naturang mga sistema mismo ay hindi nagpapakita ng anumang mga paghihirap.

Halimbawa 3

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Ibahin muna natin ang pangalawang equation ng system gamit ang pagkakapantay-pantay Nakukuha namin: I-substitute natin ang unang equation sa numerator ng fraction na ito:at ipahayag Ngayon mayroon kaming isang sistema ng mga equationIdagdag at ibawas natin ang mga equation na ito. Meron kami: oIsulat natin ang mga solusyon sa pinakasimpleng sistemang ito:Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga linear na equation na ito, makikita natin:

3. Uri ng mga sistema

Ang ganitong mga sistema ay maaaring ituring na pinakasimple at malulutas nang naaayon. Gayunpaman, may isa pang paraan upang malutas ito: i-convert ang kabuuan ng mga trigonometriko function sa isang produkto at gamitin ang natitirang equation.

Halimbawa 4

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Una, binabago namin ang unang equation gamit ang formula para sa kabuuan ng mga sine ng mga anggulo. Nakukuha namin:Gamit ang pangalawang equation, mayroon kaming:saan Isulat natin ang mga solusyon sa equation na ito:Isinasaalang-alang ang pangalawang equation ng sistemang ito, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na equationMula sa sistemang ito makikita natin Maginhawang isulat ang gayong mga desisyon sa mas makatwirang anyo. Para sa itaas na mga palatandaan mayroon kaming:para sa mas mababang mga palatandaan -

4. Uri ng mga sistema

Una sa lahat, kinakailangan upang makakuha ng isang equation na naglalaman lamang ng isang hindi alam. Upang gawin ito, halimbawa, ipahayag natin mula sa isang equation sin y, mula sa iba - cos u. I-square natin ang mga ratio na ito at idagdag ang mga ito. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang trigonometric equation na naglalaman ng hindi kilalang x. Lutasin natin ang equation na ito. Pagkatapos, gamit ang anumang equation ng sistemang ito, nakakakuha tayo ng equation para sa paghahanap ng hindi kilalang y.

Halimbawa 5

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Isulat natin ang sistema sa formI-square natin ang bawat equation ng system at makuha ang:Pagsamahin natin ang mga equation ng sistemang ito: o Gamit ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan, isinusulat namin ang equation sa form o Mga solusyon sa equation na ito cos x = 1/2 (pagkatapos ) at cos x = 1/4 (mula sa kung saan ), kung saan n, k ∈ Z . Isinasaalang-alang ang koneksyon sa pagitan ng mga hindi alam cos y = 1 – 3 cos x, nakukuha natin: para sa cos x = 1/2 cos y = -1/2; para sa cos x = 1/4 cos y = 1/4. Dapat alalahanin na kapag nilulutas ang isang sistema ng mga equation, ang pag-squaring ay isinagawa at ang operasyong ito ay maaaring humantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang unang equation ng sistemang ito, kung saan sumusunod na ang mga dami kasalanan x at kasalanan y dapat magkaroon ng parehong tanda.

Isinasaalang-alang ito, nakakakuha tayo ng mga solusyon sa sistemang ito ng mga equationAt kung saan n, m, k, l ∈ Z . Sa kasong ito, para sa hindi kilalang x at y, alinman sa itaas o mas mababang mga palatandaan ay sabay-sabay na pinili.

Sa isang espesyal na kasoang sistema ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pag-convert ng kabuuan (o pagkakaiba) ng trigonometriko function sa isang produkto at pagkatapos ay hatiin ang mga equation term sa pamamagitan ng term.

Halimbawa 6

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Sa bawat equation, binabago namin ang kabuuan at pagkakaiba ng mga function sa isang produkto at hinahati ang bawat equation sa 2. Nakukuha namin ang:Dahil walang isang kadahilanan sa kaliwang bahagi ng mga equation katumbas ng zero, pagkatapos ay hinahati namin ang mga equation sa bawat isa na termino ayon sa termino (halimbawa, ang pangalawa sa una). Nakukuha namin:saan Palitan natin ang nahanap na halagahalimbawa, sa unang equation:Isaalang-alang natin iyon Pagkatapos saan

Nakakuha kami ng isang sistema ng mga linear na equationSa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga equation ng sistemang ito, makikita natinAt kung saan n, k ∈ Z.

5. Nalutas ang mga sistema sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga hindi alam

Kung ang sistema ay naglalaman lamang ng dalawang trigonometric function o maaaring bawasan sa form na ito, kung gayon ito ay maginhawa upang gamitin ang pagpapalit ng mga hindi alam.

Halimbawa 7

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Dahil ang sistemang ito ay kinabibilangan lamang ng dalawang trigonometric function, ipinakilala namin ang mga bagong variable a = tan x at b = kasalanan u. Kumuha kami ng sistema ng mga algebraic equationMula sa unang equation ipinapahayag namin ang isang = b + 3 at palitan ang pangalawa:o Ang mga ugat ng quadratic equation na ito b 1 = 1 at b 2 = -4. Ang mga katumbas na halaga ay a1 = 4 at a2 = -1. Bumalik tayo sa mga dating hindi alam. Kumuha kami ng dalawang sistema ng simpleng mga equation ng trigonometriko:

a) ang kanyang desisyon kung saan n, k ∈ Z.

b) walang solusyon, dahil kasalanan y ≥ -1.

Halimbawa 8

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Ibahin natin ang pangalawang equation ng system upang naglalaman lamang ito ng mga function kasalanan x at cos u. Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga formula ng pagbabawas. Nakukuha namin:(saan ) At (Pagkatapos ). Ang pangalawang equation ng system ay may anyo: o Nakuha namin ang isang sistema ng mga trigonometrikong equationIpakilala natin ang mga bagong variable a = sin x at b = cos u. Mayroon kaming simetriko na sistema ng mga equation ang tanging solusyon kung saan a = b = 1/2. Bumalik tayo sa mga lumang hindi alam at kunin ang pinakasimpleng sistema ng mga trigonometrikong equation ang solusyon nito kung saan n, k ∈ Z.

6. Mga sistema kung saan mahalaga ang mga katangian ng mga equation

Halos kapag nilulutas ang anumang sistema ng mga equation, ginagamit ang isa o isa pa sa mga tampok nito. Sa partikular, isa sa pinaka pangkalahatang mga pamamaraan ang mga solusyon ng system ay magkaparehong pagbabagong-anyo na ginagawang posible upang makakuha ng isang equation na naglalaman lamang ng isang hindi alam. Ang pagpili ng mga pagbabago, siyempre, ay tinutukoy ng mga detalye ng mga equation ng system.

Halimbawa 9

Solusyonan natin ang sistema

Bigyang-pansin natin ang kaliwang bahagi ng mga equation, halimbawa saGamit ang mga formula ng pagbabawas, ginagawa namin itong isang function na may argumento π/4 + x. Nakukuha namin:Pagkatapos ang sistema ng mga equation ay ganito ang hitsura:Upang alisin ang variable na x, i-multiply natin ang term ng equation sa pamamagitan ng term at makuha ang:o 1 = kasalanan 3 2у, kung saan kasalanan 2у = 1. Nahanap namin At Maginhawang isaalang-alang nang hiwalay ang mga kaso ng pantay at kakaibang mga halaga n. Para sa kahit na n (n = 2 k, kung saan k ∈ Z) Pagkatapos ay mula sa unang equation ng sistemang ito nakukuha natin ang:kung saan m ∈ Z. Para sa kakaiba Pagkatapos mula sa unang equation mayroon kaming:Kaya, ang sistemang ito ay may mga solusyon

Tulad ng sa kaso ng mga equation, medyo madalas mayroong mga sistema ng mga equation kung saan malaki ang bahagi gumaganap sa pamamagitan ng limitadong katangian ng mga function ng sine at cosine.

Halimbawa 10

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Una sa lahat, binabago namin ang unang equation ng system:o o o o Isinasaalang-alang ang limitadong katangian ng pag-andar ng sine, nakikita natin na ang kaliwang bahagi ng equation ay hindi mas mababa sa 2, at kanang bahagi hindi hihigit sa 2. Samakatuwid, ang naturang equation ay katumbas ng mga kondisyon sin 2 2x = 1 at sin 2 y = 1.

Isinulat namin ang pangalawang equation ng system sa form sin 2 y = 1 - cos 2 z o sin 2 y = sin 2 z, at pagkatapos ay sin 2 z = 1. Nakuha namin ang isang sistema ng mga simpleng trigonometric equationGamit ang formula para sa pagbabawas ng antas, isinulat namin ang system sa formo Pagkatapos

Siyempre, kapag nilulutas ang iba pang mga sistema ng mga equation ng trigonometriko, kinakailangan ding bigyang-pansin ang mga tampok ng mga equation na ito.

Mag-download ng materyal

Tingnan ang nada-download na file para sa buong teksto ng materyal.
Ang pahina ay naglalaman lamang ng isang fragment ng materyal.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Panimula 2

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation 5

Algebraic 5

Paglutas ng mga equation gamit ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga trigonometric function na may parehong pangalan 7

Factorization 8

Pagbawas sa homogenous na equation 10

Panimula ng auxiliary angle 11

I-convert ang produkto sa kabuuan 14

Pangkalahatang pagpapalit 14

Konklusyon 17

Panimula

Hanggang sa ikasampung baitang, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ng maraming pagsasanay na humahantong sa layunin ay, bilang panuntunan, malinaw na tinukoy. Halimbawa, linear at quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay mga fractional equation at mga equation na binawasan sa quadratic, atbp. Nang hindi sinusuri nang detalyado ang prinsipyo ng paglutas ng bawat isa sa mga nabanggit na halimbawa, napapansin namin ang mga pangkalahatang bagay na kinakailangan para sa kanilang matagumpay na solusyon.

Sa karamihan ng mga kaso, kailangan mong itatag kung anong uri ng gawain ang gawain, tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na humahantong sa layunin, at isagawa ang mga pagkilos na ito. Malinaw, ang tagumpay o kabiguan ng isang mag-aaral sa pag-master ng mga diskarte para sa paglutas ng mga equation ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano siya kahusay na matukoy nang tama ang uri ng equation at matandaan ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito. Siyempre, ipinapalagay na ang mag-aaral ay may mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na pagbabago at pagkalkula.

Ang isang ganap na naiibang sitwasyon ay lumitaw kapag ang isang mag-aaral ay nakatagpo ng mga trigonometric equation. Bukod dito, hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometriko. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag hinahanap ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa positibong resulta. At dito nahaharap ang estudyante sa dalawang problema. Sa pamamagitan ng hitsura ang mga equation ay mahirap matukoy ang uri. At nang hindi nalalaman ang uri, halos imposibleng piliin ang nais na formula mula sa ilang dosenang magagamit.

Upang matulungan ang mga mag-aaral na mahanap ang kanilang daan sa masalimuot na maze ng trigonometric equation, una silang ipinakilala sa mga equation na binabawasan sa quadratic equation kapag may ipinakilalang bagong variable. Pagkatapos ay malulutas nila ang mga homogenous na equation at ang mga mababawasan sa kanila. Ang lahat ay nagtatapos, bilang isang panuntunan, na may mga equation, upang malutas kung saan kailangan mong i-factorize kaliwang bahagi, pagkatapos ay equating ang bawat isa sa mga kadahilanan sa zero.

Napagtatanto na ang dosenang at kalahating equation na tinalakay sa mga aralin ay malinaw na hindi sapat upang itakda ang mag-aaral sa isang independiyenteng paglalakbay sa trigonometric na "dagat," ang guro ay nagdagdag ng ilan pang mga rekomendasyon sa kanyang sarili.

Upang malutas ang isang trigonometric equation, kailangan mong subukan:

Dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";

Bawasan ang equation sa "magkaparehong mga function";

I-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Ngunit sa kabila ng pag-alam sa mga pangunahing uri ng trigonometriko equation at ilang mga prinsipyo para sa paghahanap ng kanilang mga solusyon, maraming mag-aaral pa rin ang nalilito sa bawat equation na bahagyang naiiba sa mga nalutas na dati. Ito ay nananatiling hindi malinaw kung ano ang dapat pagsikapan ng isang tao kapag mayroon ito o ang equation na iyon, bakit sa isang kaso kinakailangan na ilapat ang mga formula dobleng anggulo, sa isa pa - kalahati, at sa pangatlo - mga formula ng karagdagan, atbp.

Kahulugan 1. Ang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng trigonometriko function.

Kahulugan 2. Ang isang trigonometric equation ay sinasabing may pantay na mga anggulo kung ang lahat ng trigonometric function na kasama dito ay may pantay na argumento. Ang isang trigonometric equation ay sinasabing may magkaparehong function kung ito ay naglalaman lamang ng isa sa mga trigonometric function.

Kahulugan 3. Ang kapangyarihan ng isang monomial na naglalaman ng trigonometric function ay ang kabuuan ng mga exponent ng mga kapangyarihan ng trigonometriko function na kasama dito.

Kahulugan 4. Ang isang equation ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng mga monomial na kasama dito ay may parehong antas. Ang antas na ito ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng equation.

Kahulugan 5. Trigonometric equation na naglalaman lamang ng mga function kasalanan At cos, ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng monomial na may kinalaman sa trigonometriko function ay mayroon parehong degree, at ang mga trigonometric function mismo ay mayroon pantay na anggulo at ang bilang ng mga monomial ay 1 na mas malaki kaysa sa pagkakasunud-sunod ng equation.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Ang paglutas ng mga trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto: pagbabago ng equation upang makuha ang pinakasimpleng anyo nito at paglutas ng resultang pinakasimpleng trigonometric equation. Mayroong pitong pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

ako. Algebraic na pamamaraan. Ang pamamaraang ito ay kilala mula sa algebra. (Paraan ng variable na pagpapalit at pagpapalit).

Lutasin ang mga equation.

1)

Ipakilala natin ang notasyon x=2 kasalanan3 t, nakukuha namin

Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha natin:
o

mga. maaaring isulat

Kapag nagre-record ng nagresultang solusyon dahil sa pagkakaroon ng mga palatandaan degree
walang saysay na isulat ito.

Sagot:

Tukuyin natin

Kumuha kami ng isang quadratic equation
. Ang mga ugat nito ay mga numero
At
. Samakatuwid, ang equation na ito ay bumababa sa pinakasimpleng trigonometric equation
At
. Ang paglutas ng mga ito, nakita namin iyon
o
.

Sagot:
;
.

Tukuyin natin

hindi nakakatugon sa kondisyon

ibig sabihin

Sagot:

Ibahin natin ang kaliwang bahagi ng equation:

Kaya, ang paunang equation na ito ay maaaring isulat bilang:

, ibig sabihin.

Ang pagkakaroon ng itinalaga
, nakukuha namin
Ang paglutas ng quadratic equation na ito ay mayroon tayo:

hindi nakakatugon sa kondisyon

Isinulat namin ang solusyon sa orihinal na equation:

Sagot:

Pagpapalit
binabawasan ang equation na ito sa isang quadratic equation
. Ang mga ugat nito ay mga numero
At
. kasi
, kung gayon ang ibinigay na equation ay walang mga ugat.

Sagot: walang ugat.

II. Paglutas ng mga equation gamit ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga trigonometriko function ng parehong pangalan.

A)
, Kung

b)
, Kung

V)
, Kung

Gamit ang mga kundisyong ito, isaalang-alang ang paglutas ng mga sumusunod na equation:

6)

Gamit ang sinabi sa bahagi a) makikita natin na ang equation ay may solusyon kung at kung lamang
.

Ang paglutas ng equation na ito, nakita namin
.

Mayroon kaming dalawang grupo ng mga solusyon:

.

7) Lutasin ang equation:
.

Gamit ang kondisyon ng aytem b) hinuhusgahan natin iyon
.

Ang paglutas ng mga quadratic equation na ito, nakukuha natin:

.

8) Lutasin ang equation
.

Mula sa equation na ito ay hinuhusgahan natin na . Ang paglutas ng quadratic equation na ito, nakita natin iyon

.

III. Factorization.

Isinasaalang-alang namin ang pamamaraang ito na may mga halimbawa.

9) Lutasin ang equation
.

Solusyon. Ilipat natin ang lahat ng termino ng equation sa kaliwa: .

Ibahin natin at i-factor ang expression sa kaliwang bahagi ng equation:
.

.

.

1)
2)

kasi
At
huwag tanggapin ang halagang zero

sabay-sabay, tapos hinahati namin ang magkabilang bahagi

mga equation para sa
,

Sagot:

10) Lutasin ang equation:

Solusyon.

o

Sagot:

11) Lutasin ang equation

Solusyon:

1)
2)
3)

,

Sagot:

IV. Pagbawas sa isang homogenous na equation.

Upang malutas ang isang homogenous na equation kailangan mo:

Ilipat ang lahat ng miyembro nito sa kaliwang bahagi;

Ilabas mo lahat karaniwang mga kadahilanan lampas sa mga bracket;

I-equate ang lahat ng salik at bracket sa zero;

Ang mga bracket na katumbas ng zero ay nagbibigay ng homogenous na equation ng mas mababang antas, na dapat ay hatiin sa
(o
) sa senior degree;

Lutasin ang resulta algebraic equation medyo
.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

12) Lutasin ang equation:

Solusyon.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng
,

Ipinapakilala ang mga pagtatalaga
, pangalan

mga ugat ng equation na ito:

kaya 1)
2)

Sagot:

13) Lutasin ang equation:

Solusyon. Gamit ang mga formula ng dobleng anggulo at ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, binabawasan namin ang equation na ito sa kalahating argumento:

Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino mayroon kaming:

Hinahati ang homogenous na huling equation sa pamamagitan ng
, nakukuha namin

Ipapahiwatig ko
, nakakakuha tayo ng quadratic equation
, na ang mga ugat ay mga numero

Sa gayon

Pagpapahayag
napupunta sa zero sa
, ibig sabihin. sa
,
.

Ang solusyon sa equation na nakuha namin ay hindi kasama ang mga numerong ito.

Sagot:
, .

V. Pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo.

Isaalang-alang ang isang equation ng form

saan a, b, c- mga coefficient, x- hindi kilala.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng

Ngayon ang mga coefficient ng equation ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin: ang modulus ng bawat isa sa kanila ay hindi lalampas sa isa, at ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1.

Pagkatapos ay maaari nating italaga ang mga ito nang naaayon
(Dito - auxiliary angle) at ang aming equation ay nasa anyo: .

Pagkatapos

At ang kanyang desisyon

Tandaan na ang mga ipinakilalang notasyon ay kapwa mapapalitan.

14) Lutasin ang equation:

Solusyon. Dito
, kaya hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

Sagot:

15) Lutasin ang equation

Solusyon. kasi
, kung gayon ang equation na ito ay katumbas ng equation

kasi
, tapos may anggulo na ganyan
,
(mga.
).

Meron kami

kasi
, pagkatapos ay nakuha namin sa wakas:

.

Tandaan na ang mga equation ng form ay may solusyon kung at kung lamang

16) Lutasin ang equation:

Upang malutas ang equation na ito, pinapangkat namin ang mga function ng trigonometriko na may parehong mga argumento

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa dalawa

Ibahin natin ang kabuuan ng mga trigonometric function sa isang produkto:

Sagot:

VI. Pag-convert ng isang produkto sa isang kabuuan.

Ang mga kaukulang formula ay ginagamit dito.

17) Lutasin ang equation:

Solusyon. Ibahin natin ang kaliwang bahagi sa kabuuan:

VII.Pangkalahatang pagpapalit.

,

ang mga formula na ito ay totoo para sa lahat

Pagpapalit
tinatawag na unibersal.

18) Lutasin ang equation:

Solusyon: Palitan at
sa kanilang pagpapahayag sa pamamagitan ng
at magpakilala
.

Nakakakuha tayo ng rational equation
, na nagko-convert sa square
.

Ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero
.

Samakatuwid, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang equation
.

Nahanap namin iyon
.

Tingnan ang halaga
ay hindi nakakatugon sa orihinal na equation, na sinusuri sa pamamagitan ng pagsuri - pagpapalit binigay na halaga t sa orihinal na equation.

Sagot:
.

Magkomento. Ang equation 18 ay maaaring malutas sa ibang paraan.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 (i.e. ng
):
.

kasi
, tapos may ganyang numero
, Ano
At
. Samakatuwid ang equation ay tumatagal ng anyo:
o
. Mula dito makikita natin iyan
saan
.

19) Lutasin ang equation
.

Solusyon. Dahil ang mga pag-andar
At
mayroon pinakamataas na halaga, katumbas ng 1, kung gayon ang kanilang kabuuan ay 2 kung
At
, sabay-sabay, iyon ay
.

Sagot:
.

Kapag nilulutas ang equation na ito, ang boundedness ng mga function at ginamit.

Konklusyon.

Kapag nagtatrabaho sa paksang "Paglutas ng mga trigonometric equation," kapaki-pakinabang para sa bawat guro na sundin ang mga sumusunod na rekomendasyon:

I-systematize ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Piliin para sa iyong sarili ang mga hakbang upang magsagawa ng pagsusuri ng equation at mga palatandaan ng pagiging advisability ng paggamit ng isang partikular na paraan ng solusyon.

Mag-isip ng mga paraan upang masubaybayan ang iyong sarili sa iyong mga aktibidad sa pagpapatupad ng pamamaraan.

Matutong gumawa ng "iyong sariling" mga equation para sa bawat isa sa mga pamamaraang pinag-aaralan.

Appendix Blg. 1

Lutasin ang homogenous o reducible sa homogenous na equation.

1.	Sinabi ni Rep.
	Sinabi ni Rep.
	Sinabi ni Rep.
5.	Sinabi ni Rep.
	Sinabi ni Rep.
7.	Sinabi ni Rep.
	Sinabi ni Rep.

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Gumamit ang tao ng mga equation noong sinaunang panahon, at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Ang mga equation ng trigonometric ay lahat ng mga equation na may kasamang variable sa ilalim ng sign ng trigonometriko function. Halimbawa: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Ang paglutas ng mga trigonometric equation ay bumaba sa mga sumusunod na subtasks:

* paglutas ng equation;

* pagpili ng mga ugat.

Ang sagot sa naturang mga equation ay nakasulat bilang:

degrees;

Mga Radian.

Upang malutas ang ganitong uri ng equation, kinakailangan na baguhin ang equation sa isa/ilang pangunahing trigonometric equation: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] At ang solusyon sa naturang mga pangunahing equation ay ang paggamit ng talahanayan ng conversion o hanapin ang mga posisyon ng \[x\] sa unit circle.

Halimbawa, ibinigay ang mga trigonometrikong equation na maaaring malutas gamit ang isang talahanayan ng conversion ng sumusunod na anyo:

\[\tan (x - \pi/4) = 0\]

Sagot: \

\[\cot2x = 1.732\]

Sagot: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0.866\]

Sagot: \[ x = \pi/3 \]

Saan ko malulutas ang isang sistema ng mga trigonometric equation online nang libre?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https://site. Ang isang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation online kahit ano pagiging kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari ka ring manood ng mga tagubilin sa video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming VKontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika , lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation at equation na bumababa sa quadratic na mga equation. Ang prinsipyo ng matagumpay na paglutas ng bawat isa sa mga nabanggit na problema ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitatag kung anong uri ng problema ang malulutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa ang nais na resulta, ibig sabihin. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw na ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalulutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito ay kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba ang sitwasyon sa trigonometriko equation. Hindi naman mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Minsan mahirap matukoy ang uri nito batay sa hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang isang trigonometric equation, kailangan mong subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";
2. dalhin ang equation sa "magkaparehong pag-andar";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isaalang-alang natin mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Express trigonometriko function sa pamamagitan ng mga kilalang sangkap.

Hakbang 2. Hanapin ang argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3. Hanapin ang hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation sa algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2. Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3. Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4. Gumawa ng reverse replacement.

Hakbang 5. Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 – kasalanan 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2, ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear, gamit ang formula para sa pagbabawas ng degree:

kasalanan 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Bawasan ang equation na ito sa anyo

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tan x:

a) isang tan x + b = 0;

b) isang tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Hakbang 3. Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

kasalanan 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 o t = -4, ibig sabihin

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan ng pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Diagram ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng posibleng trigonometriko formula, bawasan ang equation na ito sa isang equation na nalutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2. Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng makabuluhang pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at sa bahagi ng guro.

Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa paglutas ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema ay naglalaman ng marami sa mga kaalaman at kasanayan na nakukuha sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pag-aaral ng matematika at personal na pag-unlad sa pangkalahatan.

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.