Aralin sa paksa: "Mga panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may pareho at magkakaibang exponents. Mga halimbawa"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.
Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 7
Manwal para sa aklat-aralin Yu.N. Makarycheva Manual para sa aklat-aralin A.G. Mordkovich
Ang layunin ng aralin: matutunan kung paano magsagawa ng mga operasyon na may mga kapangyarihan ng isang numero.
Upang magsimula, alalahanin natin ang konsepto ng "kapangyarihan ng isang numero". Ang isang expression tulad ng $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ay maaaring katawanin bilang $a^n$.
Totoo rin ang kabaligtaran: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na "pagtatala ng antas bilang isang produkto". Makakatulong ito sa atin na matukoy kung paano paramihin at hatiin ang mga kapangyarihan.
Tandaan:
a- ang batayan ng antas.
n- exponent.
Kung n=1, na nangangahulugang ang numero A kinuha nang isang beses at ayon sa pagkakabanggit: $a^n= 1$.
Kung n=0, pagkatapos ay $a^0= 1$.
Kung bakit ito nangyayari, maaari nating malaman kapag nakilala natin ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.
mga tuntunin sa pagpaparami
a) Kung ang mga kapangyarihan ay pinarami ng parehong base.Sa $a^n * a^m$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Ipinapakita ng figure na ang numero A kinuha n+m beses, pagkatapos ay $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Halimbawa.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Ang ari-arian na ito ay maginhawang gamitin upang pasimplehin ang trabaho kapag nagtataas ng isang numero sa isang malaking kapangyarihan.
Halimbawa.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Kung ang mga kapangyarihan ay pinarami sa ibang base, ngunit sa parehong exponent.
Sa $a^n * b^n$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Kung papalitan natin ang mga salik at bibilangin ang mga resultang pares, makakakuha tayo ng: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Kaya $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Halimbawa.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
mga panuntunan sa paghahati
a) Ang base ng degree ay pareho, ang mga exponent ay iba.Pag-isipang hatiin ang isang degree na may mas malaking exponent sa pamamagitan ng paghahati ng degree na may mas maliit na exponent.
Kaya, ito ay kinakailangan $\frac(a^n)(a^m)$, Saan n>m.
Isinulat namin ang mga degree bilang isang fraction:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Para sa kaginhawahan, isinusulat namin ang dibisyon bilang isang simpleng fraction.Ngayon bawasan natin ang fraction.
Ito ay lumabas: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ibig sabihin, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Makakatulong ang property na ito na ipaliwanag ang sitwasyon sa pagpapataas ng numero sa kapangyarihan ng zero. Ipagpalagay natin na n=m, pagkatapos ay $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Mga halimbawa.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Ang mga batayan ng antas ay magkakaiba, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho.
Sabihin nating kailangan mo ng $\frac(a^n)( b^n)$. Isinulat namin ang mga kapangyarihan ng mga numero bilang isang fraction:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Isipin natin para sa kaginhawahan.
Gamit ang pag-aari ng mga fraction, hinahati namin ang isang malaking fraction sa isang produkto ng mga maliliit, nakukuha namin.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Alinsunod dito: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Halimbawa.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Paano paramihin ang kapangyarihan? Aling mga kapangyarihan ang maaaring paramihin at alin ang hindi? Paano mo i-multiply ang isang numero sa isang kapangyarihan?
Sa algebra, mahahanap mo ang produkto ng mga kapangyarihan sa dalawang kaso:
1) kung ang mga degree ay may parehong batayan;
2) kung ang mga degree ay may parehong mga tagapagpahiwatig.
Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay dapat manatiling pareho, at ang mga exponent ay dapat idagdag:
Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan sa ang parehong mga tagapagpahiwatig Kabuuang puntos maaaring naka-bracket:
Isaalang-alang kung paano paramihin ang mga kapangyarihan, na may mga partikular na halimbawa.
Ang yunit sa exponent ay hindi nakasulat, ngunit kapag pinarami ang mga degree, isinasaalang-alang nila:
Kapag nagpaparami, ang bilang ng mga degree ay maaaring anuman. Dapat tandaan na hindi mo maaaring isulat ang multiplication sign bago ang titik:
Sa mga expression, ang exponentiation ay unang ginagawa.
Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa pamamagitan ng isang kapangyarihan, kailangan mo munang magsagawa ng exponentiation, at pagkatapos lamang - multiplikasyon:
www.algebraclass.ru
Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati ng mga kapangyarihan
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga kapangyarihan
Malinaw, ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.
Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay katumbas ng 5a 2 .
Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.
Ngunit degree iba't ibang variable At iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .
Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.
Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.
O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Pagpaparami ng kapangyarihan
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.
Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng isang 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.
O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .
Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.
Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.
Kaya, a n .a m = a m+n .
Para sa a n , ang a ay kinukuha bilang salik na kasing dami ng kapangyarihan ng n;
At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;
kaya lang, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.
Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay − negatibo.
1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin
Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.
Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.
Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Dibisyon ng mga degree
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.
Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .
Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac $. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.
Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..
Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac = y$.
At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac = a^n$.
O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan
1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac $ Sagot: $\frac $.
2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac$. Sagot: $\frac $ o 2x.
3. Bawasan ang mga exponents a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa karaniwang denominador.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .
4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.
5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .
8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.
mga katangian ng degree
Ipinapaalala namin sa iyo na sa araling ito ay naiintindihan namin mga katangian ng degree na may mga natural na tagapagpahiwatig at zero. Tatalakayin sa mga aralin para sa ika-8 baitang ang mga degree na may mga rational indicator at ang kanilang mga katangian.
Ang isang exponent na may natural na exponent ay may ilang mahahalagang katangian na nagbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang mga kalkulasyon sa mga halimbawa ng exponent.
Ari-arian #1
Produkto ng mga kapangyarihan
Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay idinagdag.
a m a n \u003d a m + n, kung saan ang "a" ay anumang numero, at ang "m", "n" ay anumang natural na mga numero.
Ang pag-aari na ito ng mga kapangyarihan ay nakakaapekto rin sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
Pakitandaan na sa ipinahiwatig na ari-arian ito ay tungkol lamang sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.. Hindi ito naaangkop sa kanilang karagdagan.
Hindi mo maaaring palitan ang kabuuan (3 3 + 3 2) ng 3 5 . Ito ay maliwanag kung
kalkulahin ang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 at 3 5 = 243
Ari-arian #2
Mga pribadong degree
Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Halimbawa. Lutasin ang equation. Ginagamit namin ang pag-aari ng mga bahagyang degree.
3 8: t = 3 4
Sagot: t = 3 4 = 81
Gamit ang mga katangian No. 1 at No. 2, madali mong gawing simple ang mga expression at magsagawa ng mga kalkulasyon.
- Halimbawa. Pasimplehin ang expression.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression gamit ang mga katangian ng degree.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Pakitandaan na ang property 2 ay nakipag-ugnayan lamang sa dibisyon ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.
Hindi mo maaaring palitan ang pagkakaiba (4 3 −4 2) ng 4 1 . Maiintindihan ito kung kalkulahin mo ang (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, at 4 1 = 4
Ari-arian #3
Exponentiation
Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ng kapangyarihan ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay dumarami.
(a n) m \u003d a n m, kung saan ang "a" ay anumang numero, at "m", "n" ay anumang natural na mga numero.
Pakitandaan na ang property No. 4, tulad ng iba pang property ng degrees, ay inilalapat din sa reverse order.
(a n b n)= (a b) n
Iyon ay, upang i-multiply ang mga degree na may parehong mga exponent, maaari mong i-multiply ang mga base, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
Sa mas maraming mahirap na mga halimbawa maaaring may mga kaso kung kailan dapat gawin ang multiplication at division over powers na may iba't ibang batayan At iba't ibang mga tagapagpahiwatig. Sa kasong ito, ipinapayo namin sa iyo na gawin ang sumusunod.
Halimbawa, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Halimbawa ng exponentiation ng isang decimal fraction.
4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Mga Katangian 5
Kapangyarihan ng quotient (mga fraction)
Upang itaas ang isang quotient sa isang kapangyarihan, maaari mong itaas ang dibidendo at divisor nang hiwalay sa kapangyarihang ito, at hatiin ang unang resulta sa pangalawa.
(a: b) n \u003d a n: b n, kung saan ang "a", "b" ay anumang mga rational na numero, b ≠ 0, n ay anumang natural na numero.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang quotient ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Samakatuwid, tatalakayin natin ang paksa ng pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan nang mas detalyado sa susunod na pahina.
Degrees at Roots
Mga operasyong may kapangyarihan at ugat. Degree na may negatibo ,
zero at fractional tagapagpahiwatig. Tungkol sa mga ekspresyong walang katuturan.
Mga operasyon na may mga degree.
1. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay idinaragdag:
isang m · a n = a m + n .
2. Kapag naghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ibinawas .
3. Ang antas ng produkto ng dalawa o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito.
4. Ang antas ng ratio (fraction) ay katumbas ng ratio ng mga degree ng dibidendo (numerator) at divisor (denominator):
(a/b) n = a n / b n .
5. Kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay pinarami:
Ang lahat ng mga formula sa itaas ay binabasa at isinasagawa sa parehong direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.
HALIMBAWA (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Mga operasyon na may mga ugat. Sa lahat ng mga formula sa ibaba, ang ibig sabihin ng simbolo ugat ng aritmetika(positibo ang radikal na ekspresyon).
1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:
2. Ang ugat ng ratio ay katumbas ng ratio ng mga ugat ng dibidendo at divisor:
3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas sa kapangyarihang ito numero ng ugat:
4. Kung tinaasan mo ang antas ng ugat ng m beses at sabay na itataas ang numero ng ugat sa m -th degree, hindi magbabago ang halaga ng ugat:
5. Kung bawasan mo ang antas ng ugat ng m beses at sabay na i-extract ang ugat ng m-th degree mula sa radikal na numero, hindi magbabago ang halaga ng ugat:
Pagpapalawig ng konsepto ng degree. Sa ngayon, isinasaalang-alang lamang namin ang mga degree na may natural na tagapagpahiwatig; ngunit ang mga operasyong may kapangyarihan at ugat ay maaari ding humantong sa negatibo, sero At fractional mga tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga exponent na ito ay nangangailangan ng karagdagang kahulugan.
Degree na may negatibong exponent. Ang kapangyarihan ng ilang numero na may negatibong (integer) exponent ay tinukoy bilang isa na hinati sa kapangyarihan ng parehong numero na may exponent na katumbas ng absolute value ng negatibong exponent:
Ngayon ang formula isang m : isang n = isang m-n maaaring gamitin hindi lamang para sa m, higit sa n, ngunit din sa m, mas mababa sa n .
HALIMBAWA a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Kung gusto natin ang formula isang m : isang n = isang m — n ay patas sa m = n, kailangan natin ng kahulugan zero degree.
Degree na may zero exponent. Ang antas ng anumang hindi-zero na numero na may zero exponent ay 1.
MGA HALIMBAWA. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Isang degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero a sa kapangyarihan m / n, kailangan mong kunin ang ugat ng ika-n degree mula sa mth kapangyarihan ng numerong ito a:
Tungkol sa mga ekspresyong walang katuturan. Mayroong ilang mga ganoong expression.
saan a ≠ 0 , ay wala.
Sa katunayan, kung ipagpalagay natin iyon x ay isang tiyak na numero, kung gayon, alinsunod sa kahulugan ng operasyon ng paghahati, mayroon kaming: a = 0· x, ibig sabihin. a= 0, na sumasalungat sa kundisyon: a ≠ 0
— kahit anong numero.
Sa katunayan, kung ipagpalagay natin na ang expression na ito ay katumbas ng ilang numero x, pagkatapos ay ayon sa kahulugan ng operasyon ng paghahati na mayroon tayo: 0 = 0 x. Ngunit ang pagkakapantay-pantay na ito ay pinanghahawakan anumang numero x, na dapat patunayan.
0 0 — kahit anong numero.
Solusyon. Isaalang-alang ang tatlong pangunahing kaso:
1) x = 0 – hindi natutugunan ng halagang ito ang equation na ito
2) kailan x> 0 nakukuha namin: x / x= 1, ibig sabihin. 1 = 1, kung saan sumusunod,
Ano x- kahit anong numero; ngunit isinasaalang-alang iyon
ang kaso natin x> 0 , ang sagot ay x > 0 ;
Mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may iba't ibang base
DEGREE NA MAY RASYONAL NA INDICATOR,
POWER FUNCTION IV
§ 69. Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan
Teorama 1. Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong mga base, sapat na upang idagdag ang mga exponents, at iwanan ang base na pareho, iyon ay
Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Isinaalang-alang namin ang produkto ng dalawang kapangyarihan. Sa katunayan, ang napatunayang ari-arian ay totoo para sa anumang bilang ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.
Teorama 2. Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong mga base, kapag ang tagapagpahiwatig ng dibidendo ay mas malaki kaysa sa tagapagpahiwatig ng divisor, sapat na upang ibawas ang tagapagpahiwatig ng divisor mula sa tagapagpahiwatig ng dibidendo, at iwanan ang base na pareho, iyon ay sa t > n
(a =/= 0)
Patunay. Alalahanin na ang quotient ng paghahati ng isang numero sa isa pa ay ang bilang na, kapag pinarami ng isang divisor, ay nagbibigay ng dibidendo. Samakatuwid, patunayan ang formula , kung saan a =/= 0, parang pagpapatunay ng formula
Kung t > n , pagkatapos ay ang numero t - p magiging natural; samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1
Ang Theorem 2 ay napatunayan.
Tandaan na ang formula
pinatunayan lamang namin sa ilalim ng pag-aakalang iyon t > n . Samakatuwid, mula sa napatunayan, hindi pa posible na gumuhit, halimbawa, ang mga sumusunod na konklusyon:
Bilang karagdagan, hindi pa namin isinasaalang-alang ang mga degree na may mga negatibong exponents, at hindi pa namin alam kung anong kahulugan ang maaaring ibigay sa expression 3 - 2 .
Teorama 3. Upang itaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, sapat na upang i-multiply ang mga exponent, na iniiwan ang base ng exponent na pareho., yan ay
Patunay. Gamit ang kahulugan ng degree at Theorem 1 ng seksyong ito, nakukuha natin ang:
Q.E.D.
Halimbawa, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Oral.) Tukuyin X mula sa mga equation:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Inaayos) Pasimplehin:
520. (Isinaayos) Pasimplehin:
521. Ipakita ang mga expression na ito bilang mga degree na may parehong mga base:
1) 32 at 64; 3) 85 at 163; 5) 4 100 at 32 50;
2) -1000 at 100; 4) -27 at -243; 6) 81 75 8 200 at 3 600 4 150.
Malinaw, ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4 .
Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.
Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay katumbas ng 5a 2 .
Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.
Ngunit degree iba't ibang variable At iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .
Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.
Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.
O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Pagpaparami ng kapangyarihan
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.
Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng isang 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.
O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .
Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.
Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.
Kaya, a n .a m = a m+n .
Para sa a n , ang a ay kinukuha bilang salik na kasing dami ng kapangyarihan ng n;
At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;
kaya lang, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.
Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay - negatibo.
1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin
Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.
Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.
Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Dibisyon ng mga degree
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.
Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .
O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Ang pagsulat ng 5 na hinati sa 3 ay mukhang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.
Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..
Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.
At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan
1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.
3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .
4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.
5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .
8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.
9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.
Ang bawat operasyon ng aritmetika kung minsan ay nagiging napakahirap upang itala at sinusubukan nilang gawing simple ito. Ito ay dati ay pareho sa operasyon ng karagdagan. Kinakailangan para sa mga tao na magsagawa ng paulit-ulit na pagdaragdag ng parehong uri, halimbawa, upang kalkulahin ang halaga ng isang daang Persian carpet, ang halaga nito ay 3 gintong barya para sa bawat isa. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Dahil sa bulkiness, naisip na bawasan ang notasyon sa 3 * 100 = 300. Sa katunayan, ang notasyong "tatlong beses isang daan" ay nangangahulugan na kailangan mong kumuha isang daang triple at idagdag ang mga ito nang sama-sama. Nag-ugat ang multiplikasyon, nakakuha ng pangkalahatang katanyagan. Ngunit ang mundo ay hindi tumitigil, at sa Middle Ages ito ay naging kinakailangan upang isagawa ang paulit-ulit na pagpaparami ng parehong uri. Naaalala ko ang isang matandang bugtong na Indian tungkol sa isang pantas na humihingi ng gantimpala para sa isang mahusay na trabaho. butil ng trigo sa sumusunod na dami: para sa unang parisukat ng chessboard humingi siya ng isang butil, para sa pangalawa - dalawa, pangatlo - apat, panglima - walo, at iba pa. Ito ay kung paano lumitaw ang unang pagpaparami ng mga kapangyarihan, dahil ang bilang ng mga butil ay katumbas ng dalawa sa kapangyarihan ng numero ng cell. Halimbawa, sa huling cell ay magkakaroon ng 2*2*2*…*2 = 2^63 na butil, na katumbas ng bilang na 18 character ang haba, na, sa katunayan, ay ang kahulugan ng bugtong.
Ang pagpapatakbo ng pagtaas sa isang kapangyarihan ay nag-ugat nang napakabilis, at mabilis din itong naging kinakailangan upang magsagawa ng karagdagan, pagbabawas, paghahati at pagpaparami ng mga degree. Ang huli ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang mas detalyado. Ang mga formula para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan ay simple at madaling matandaan. Bilang karagdagan, napakadaling maunawaan kung saan sila nanggaling kung ang pagpapatakbo ng kuryente ay papalitan ng multiplikasyon. Ngunit kailangan mo munang maunawaan ang elementarya na terminolohiya. Ang expression na a ^ b (basahin ang "a sa kapangyarihan ng b") ay nangangahulugan na ang bilang a ay dapat na i-multiply sa sarili nitong b beses, at ang "a" ay tinatawag na base ng degree, at ang "b" ay ang exponent. Kung ang mga batayan ng mga kapangyarihan ay pareho, kung gayon ang mga formula ay hinango nang simple. Tiyak na halimbawa: hanapin ang halaga ng expression na 2^3 * 2^4. Upang malaman kung ano ang dapat mangyari, dapat mong malaman ang sagot sa computer bago simulan ang solusyon. Ang pagpasok ng expression na ito sa anumang online na calculator, search engine, pag-type ng "multiplication of powers na may iba't ibang base at pareho" o isang mathematical package, ang output ay magiging 128. Ngayon, isulat natin ang expression na ito: 2^3 = 2*2*2, at 2^4 = 2 *2*2*2. Lumalabas na 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Lumalabas na ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong base ay katumbas ng base na itinaas sa isang kapangyarihan, katumbas ng kabuuan ang nakaraang dalawang degree.
Maaari mong isipin na ito ay isang aksidente, ngunit hindi: ang anumang iba pang halimbawa ay maaari lamang kumpirmahin panuntunang ito. Kaya, sa pangkalahatang pananaw ang formula ay ganito ang hitsura: a^n * a^m = a^(n+m) . Mayroon ding panuntunan na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. Dito dapat nating tandaan ang tuntunin ng mga negatibong kapangyarihan: a^(-n) = 1 / a^n. Iyon ay, kung 2^3 = 8, pagkatapos ay 2^(-3) = 1/8. Gamit ang panuntunang ito, mapapatunayan natin ang pagkakapantay-pantay a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) ay maaaring bawasan at mananatiling isa. Mula dito, hinango ang tuntunin na ang quotient ng mga kapangyarihan na may parehong mga base ay katumbas ng base na ito sa isang antas na katumbas ng quotient ng dividend at divisor: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Halimbawa: Pasimplehin ang expression na 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Ang multiplication ay isang commutative operation, kaya dapat munang idagdag ang multiplication exponents: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Ang susunod na hakbang ay upang harapin ang dibisyon sa negatibong kapangyarihan. Kinakailangang ibawas ang divisor exponent mula sa dividend exponent: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ito lumalabas na ang operasyon ng paghahati sa isang negatibong antas ay magkapareho sa pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang katulad na positibong exponent. Kaya ang huling sagot ay 8.
May mga halimbawa kung saan nagaganap ang non-canonical multiplication of powers. Ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base ay kadalasang mas mahirap, at kung minsan ay imposible pa. Ilang mga halimbawa ng iba't-ibang posibleng mga trick. Halimbawa: pasimplehin ang expression na 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Malinaw, mayroong multiplikasyon ng mga kapangyarihan na may iba't ibang base. Ngunit, dapat tandaan na ang lahat ng mga batayan ay iba't ibang antas triplets. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. Gamit ang panuntunan (a^n) ^m = a^(n*m) , dapat mong muling isulat ang expression sa isang mas maginhawang anyo: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Sagot: 3^11. Sa mga kaso kung saan may iba't ibang base, gumagana ang panuntunan a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n para sa pantay na mga indicator. Halimbawa, 3^3 * 7^3 = 21^3. Kung hindi, kapag mayroong iba't ibang mga base at tagapagpahiwatig, imposibleng gumawa ng isang buong multiplikasyon. Minsan maaari mong bahagyang pasimplehin o gamitin sa tulong ng teknolohiya ng computer.