Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Magsimula tayo sa katangian ng logarithm ng isa. Ang pagbabalangkas nito ay ang mga sumusunod: logarithm ng pagkakaisa katumbas ng zero, yan ay, log a 1=0 para sa alinmang a>0, a≠1. Ang patunay ay hindi mahirap: dahil ang isang 0 =1 para sa anumang a na nagbibigay-kasiyahan sa mga kundisyon sa itaas a>0 at a≠1, kung gayon ang equality log a 1=0 na patunayan ay sumusunod kaagad mula sa kahulugan ng logarithm.
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng itinuturing na ari-arian: log 3 1=0, log1=0 at .
Lumipat tayo sa susunod na pag-aari: logarithm ng numero, katumbas ng base, katumbas ng isa, yan ay, log a a=1 para sa a>0, a≠1. Sa katunayan, dahil ang isang 1 =a para sa anumang a, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm log a a=1.
Ang mga halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms ay ang equalities log 5 5=1, log 5.6 5.6 at lne=1.
Halimbawa, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 at 
.
Logarithm ng produkto ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng produkto ng logarithms ng mga numerong ito: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Patunayan natin ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto. Dahil sa mga katangian ng degree isang log a x+log a y =a log a x ·a log a y, at dahil sa pamamagitan ng pangunahing logarithmic identity isang log a x =x at isang log a y =y, pagkatapos ay isang log a x ·a log a y =x·y. Kaya, ang isang log a x+log a y =x·y, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm, ang pagkakapantay-pantay na pinatutunayan ay sumusunod.
Magpakita tayo ng mga halimbawa ng paggamit ng property ng logarithm ng isang produkto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 at 
.
Ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto ay maaaring pangkalahatan sa produkto may hangganang bilang n positibong numero x 1 , x 2 , …, x n bilang log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay mapapatunayan nang walang mga problema.
Halimbawa, ang natural na logarithm ng produkto ay maaaring mapalitan ng kabuuan ng tatlong natural na logarithm ng mga numero 4, e, at.
Logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga numerong ito. Ang property ng logarithm ng isang quotient ay tumutugma sa isang formula ng form , kung saan ang a>0, a≠1, x at y ay ilang positibong numero. Ang bisa ng formula na ito ay napatunayan pati na rin ang formula para sa logarithm ng isang produkto: since 
, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm.
Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithm: 
.
Lumipat tayo sa ari-arian ng logarithm ng kapangyarihan. Ang logarithm ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng modulus ng base ng degree na ito. Isulat natin ang katangiang ito ng logarithm ng isang kapangyarihan bilang isang pormula: log a b p =p·log a |b|, kung saan ang a>0, a≠1, b at p ay mga numero na ang antas b p ay may katuturan at b p >0.
Una naming patunayan ang katangiang ito para sa positibo b. Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na kumatawan sa bilang b bilang isang log a b , pagkatapos ay b p =(a log a b) p , at ang resultang expression, dahil sa pag-aari ng kapangyarihan, ay katumbas ng isang p·log a b . Kaya't dumating tayo sa pagkakapantay-pantay b p =a p·log a b, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, napagpasyahan natin na ang log a b p =p·log a b.
Ito ay nananatiling upang patunayan ang ari-arian na ito para sa negatibo b. Dito napapansin natin na ang expression na log a b p para sa negatibong b ay may katuturan lamang para sa kahit na mga exponent p (dahil ang halaga ng degree b p ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kung hindi, ang logarithm ay hindi magkakaroon ng kahulugan), at sa kasong ito b p =|b| p. Pagkatapos b p ==b| p =(isang log a |b|) p =a p·log a |b|, mula sa kung saan log a b p =p·log a |b| .
Halimbawa, 
at ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Ito ay sumusunod mula sa nakaraang ari-arian ari-arian ng logarithm mula sa ugat: ang logarithm ng nth root ay katumbas ng produkto ng fraction 1/n ng logarithm ng radical expression, iyon ay, 
, kung saan a>0, a≠1, n – natural na numero, higit sa isa, b>0.
Ang patunay ay batay sa pagkakapantay-pantay (tingnan), na wasto para sa anumang positibong b, at ang pag-aari ng logarithm ng kapangyarihan: 
.
Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito: 
.
Ngayon patunayan natin formula para sa paglipat sa isang bagong logarithm base mabait 
. Upang gawin ito, sapat na upang patunayan ang bisa ng equality log c b=log a b·log c a. Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay log c b=log c a log a b . Ito ay nananatiling gamitin ang pag-aari ng logarithm ng degree: log c a log a b =log a b log c a. Pinatutunayan nito ang equality log c b=log a b·log c a, na nangangahulugan na ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay napatunayan na rin.
Magpakita tayo ng ilang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms: at 
.
Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ay nagbibigay-daan sa iyo na magpatuloy sa pagtatrabaho sa mga logarithms na may "maginhawa" na base. Halimbawa, maaari itong magamit upang pumunta sa natural o decimal logarithms upang makalkula mo ang halaga ng isang logarithm mula sa isang talahanayan ng mga logarithm. Ang formula para sa paglipat sa isang bagong logarithm base ay nagbibigay-daan din, sa ilang mga kaso, upang mahanap ang halaga ng isang naibigay na logarithm kapag ang mga halaga ng ilang logarithm sa iba pang mga base ay kilala.
Madalas na ginagamit espesyal na kaso mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm na may c=b ng form 
. Ipinapakita nito na ang log a b at log b a – . Hal, 
.
Madalas ding ginagamit ang formula 
, na maginhawa para sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm. Upang kumpirmahin ang aming mga salita, ipapakita namin kung paano ito magagamit upang kalkulahin ang halaga ng isang logarithm ng form . Meron kami 
. Upang patunayan ang formula 
ito ay sapat na upang gamitin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm a: 
.
Ito ay nananatiling patunayan ang mga katangian ng paghahambing ng logarithms.
Patunayan natin na para sa anumang positibong numero b 1 at b 2, b 1 log a b 2 , at para sa a>1 – ang inequality log a b 1 Sa wakas, nananatili itong patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng logarithms. Limitahan natin ang ating sarili sa patunay ng unang bahagi nito, ibig sabihin, patunayan natin na kung ang isang 1 >1, isang 2 >1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b>log a 2 b . Ang natitirang mga pahayag ng pag-aari na ito ng logarithms ay pinatunayan ayon sa isang katulad na prinsipyo. Gamitin natin ang kabaligtaran na pamamaraan. Ipagpalagay na para sa isang 1>1, isang 2>1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b≤log a 2 b . Batay sa mga katangian ng logarithms, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat bilang 
At 
ayon sa pagkakabanggit, at mula sa kanila ay sumusunod na log b a 1 ≤log b a 2 at log b a 1 ≥log b a 2, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, ayon sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga pagkakapantay-pantay b log b a 1 ≥b log b a 2 at b log b a 1 ≥b log b a 2 ay dapat hawakan, iyon ay, a 1 ≥a 2 . Kaya't dumating kami sa isang pagkakasalungatan sa kundisyon a 1
Bibliograpiya.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra at ang simula ng pagsusuri: Teksbuk para sa mga baitang 10 - 11 ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).
EXPONENTARY AT LOGARITHMIC FUNCTIONS VIII
§ 184. Logarithm ng antas at ugat
Teorama 1. Ang logarithm ng isang kapangyarihan ng isang positibong numero ay katumbas ng produkto ng exponent ng kapangyarihang ito at ang logarithm ng base nito.
Sa madaling salita, kung A At X positibo at A =/= 1, pagkatapos ay para sa anumang tunay na numero k
log isang x k = k log isang x . (1)
Upang patunayan ang formula na ito ay sapat na upang ipakita iyon
= a k log isang x . (2)
= x k
a k log isang x = (a log isang x ) k = x k .
Ito ay nagpapahiwatig ng bisa ng formula (2), at samakatuwid ay (1).
Tandaan na kung ang numero k ay natural ( k = n ), pagkatapos ang formula (1) ay isang espesyal na kaso ng formula
log a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = log isang x 1 + log isang x 2 + log isang x 3 + ... log isang x n .
napatunayan sa nakaraang talata. Sa katunayan, ipagpalagay sa formula na ito
x 1 = x 2 = ... = x n = x ,
nakukuha natin:
log isang x n = n log isang x .
1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;
2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.
Para sa mga negatibong halaga X ang formula (1) ay nawawalan ng kahulugan. Halimbawa, hindi mo maaaring isulat ang log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) dahil ang expression log 2 (-4) ay hindi natukoy. Tandaan na ang expression sa kaliwang bahagi ng formula na ito ay may kahulugan:
log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.
Sa pangkalahatan, kung ang numero X ay negatibo, pagkatapos ay ang expression log isang x 2k = 2k log isang x tinukoy dahil x 2k > 0. Ang expression ay 2 k log isang x sa kasong ito ay walang saysay. Samakatuwid sumulat
Log isang x 2k = 2k log isang x
ito ay ipinagbabawal. Gayunpaman, maaari kang magsulat
log isang x 2k = 2k log isang | x | (3)
Ang formula na ito ay madaling makuha mula sa (1), na isinasaalang-alang iyon
x 2k = | x | 2k
Halimbawa,
log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.
Teorama 2. Ang logarithm ng root ng positive number ay katumbas ng logarithm ng radical expression na hinati sa exponent ng root.
Sa madaling salita, kung ang mga numero A At X ay positibo A =/= 1 at P ay isang natural na numero, kung gayon
log a n √x = 1 / n log isang x
Talaga, n √x = . Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1
log a n √x =log a = 1 / n log isang x .
1) log 3 √8 = 1 / 2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1 / 5 log 2 27.
Mga ehersisyo
1408. Paano magbabago ang logarithm ng isang numero kung, nang hindi binabago ang base:
a) parisukat ang numero;
b) kunin ang square root ng isang numero?
1409. Paano magbabago ang pagkakaiba ng log 2? a -log 2 b , kung mga numero A At b palitan nang naaayon sa:
A) A 3 at b 3; b) 3 A at 3 b ?
1410. Alam na ang log 10 2 ≈ 0.3010, log 10 3 ≈ 0.4771, hanapin ang logarithms sa base 10:
8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9
1411. Patunayan na ang logarithms ng sunud-sunod na termino ng isang geometric progression ay bumubuo ng arithmetic progression.
1412. Magkaiba ba ang mga function sa bawat isa?
sa = log 3 X 2 at sa = 2 log 3 X
Bumuo ng mga graph ng mga function na ito.
1413. Hanapin ang error sa mga sumusunod na pagbabago:
log 2 1/3 = log 2 1/3
2log 2 1 / 3 > log 2 1 / 3 ;
log 2 (1 / 3) 2 > log 2 1 / 3
(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;
ugat ng logarithm ng isang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng radical expression na hinati ng exponent ng root:
At sa katotohanan, kapag nagtatrabaho sa mga degree, ang pag-asa ay ginagamit, samakatuwid, sa pamamagitan ng paglalapat ng theorem ng logarithm ng mga degree, nakuha namin ang formula na ito.
Isagawa natin ito, isaalang-alang halimbawa:
Sa paglutas ng mga problema upang mahanap ang logarithm Kadalasan ito ay nagiging kapaki-pakinabang mula sa logarithms hanggang sa isang base (halimbawa, A) pumunta sa logarithms sa ibang base (halimbawa, Sa) . Sa ganitong mga sitwasyon, ginagamit ang sumusunod na formula:
Ibig sabihin nito a, b At Sa siyempre positibong mga numero, at A At Sa ay hindi katumbas ng isa.
Upang patunayan ang formula na ito ay gagamitin namin pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:
Kung ang mga positibong numero ay pantay, malinaw na ang kanilang mga logarithms sa parehong base ay pantay Sa. kaya naman:
Sa pamamagitan ng pagaaplay logarithm ng power theorem:
Kaya naman , mag-log a b · log c a = log c b kung saan galing formula para sa pagbabago ng base ng isang logarithm.
So, we have powers of two. Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas ang dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.
At ngayon - talaga, ang kahulugan ng logarithm:
Ang base ng logarithm ng x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang isang upang makakuha ng x.
Pagtatalaga: log a x = b, kung saan ang a ay ang base, x ang argumento, b ay kung ano talaga ang katumbas ng logarithm.
Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Sa parehong tagumpay log 2 64 = 6, dahil 2 6 = 64.
Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang naibigay na base ay tinatawag na logarithmization. Kaya, magdagdag tayo ng bagong linya sa ating talahanayan:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay madaling kalkulahin. Halimbawa, subukang maghanap ng log 2 5 . Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang lohika ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa segment. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Ang mga naturang numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat ng ad infinitum, at hindi na mauulit ang mga ito. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mabuting iwanan ito sa ganoong paraan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (ang base at ang argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:
Sa harap natin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: Ang logarithm ay isang kapangyarihan, kung saan dapat itayo ang base upang makakuha ng argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - ito ay naka-highlight sa pula sa larawan. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko sa aking mga mag-aaral ang napakagandang tuntuning ito sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan na lumitaw.
Nalaman namin ang kahulugan - ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:
- Ang argumento at ang base ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang degree sa pamamagitan ng isang rational exponent, kung saan ang kahulugan ng isang logarithm ay nabawasan.
- Ang base ay dapat na iba sa isa, dahil ang isa sa anumang antas ay nananatiling isa. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganyang degree!
Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga(ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Tandaan na walang mga paghihigpit sa numero b (ang halaga ng logarithm). Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 = −1, dahil 0.5 = 2 −1.
Gayunpaman, ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerical na expression, kung saan hindi kinakailangang malaman ang VA ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay isinasaalang-alang na ng mga may-akda ng mga problema. Ngunit kapag naganap ang mga logarithmic equation at inequalities, magiging mandatory ang mga kinakailangan sa DL. Pagkatapos ng lahat, ang batayan at argumento ay maaaring maglaman ng napakalakas na mga konstruksyon na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.
Ngayon tingnan natin ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms. Binubuo ito ng tatlong hakbang:
- Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamababang posibleng base na mas malaki kaysa sa isa. Sa daan, mas mainam na alisin ang mga decimal;
- Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
- Ang resultang numero b ang magiging sagot.
Iyon lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napakahalaga: binabawasan nito ang posibilidad ng pagkakamali at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Ito ay pareho sa mga decimal fraction: kung agad mong i-convert ang mga ito sa mga ordinaryo, magkakaroon ng mas kaunting mga error.
Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito gamit ang mga partikular na halimbawa:
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25
- Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Natanggap namin ang sagot: 2.
Gumawa tayo at lutasin ang equation:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Gawain. Kalkulahin ang logarithm:
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64
- Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Gumawa tayo at lutasin ang equation:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Natanggap namin ang sagot: 3.
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1
- Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Gumawa tayo at lutasin ang equation:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Natanggap namin ang sagot: 0.
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14
- Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; 14 ay hindi maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
- Mula sa nakaraang talata ito ay sumusunod na ang logarithm ay hindi binibilang;
- Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.
Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano ka makatitiyak na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Napakasimple nito - isama lang ito sa mga pangunahing kadahilanan. Kung ang pagpapalawak ay may hindi bababa sa dalawang magkaibang mga kadahilanan, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.
Gawain. Alamin kung ang mga numero ay eksaktong kapangyarihan: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ay hindi eksaktong kapangyarihan, dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 · 5 - muli hindi isang eksaktong kapangyarihan;
14 = 7 · 2 - muli hindi isang eksaktong antas;
Tandaan din na ang mga prime number mismo ay palaging eksaktong kapangyarihan ng kanilang mga sarili.
Decimal logarithm
Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang isang espesyal na pangalan at simbolo.
Ang decimal logarithm ng x ay ang logarithm sa base 10, i.e. Ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong 10 upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lg x.
Halimbawa, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.
Mula ngayon, kapag lumitaw ang isang pariralang tulad ng "Hanapin ang lg 0.01" sa isang aklat-aralin, alamin na hindi ito isang typo. Ito ay isang decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka pamilyar sa notasyong ito, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x
Lahat ng totoo para sa ordinaryong logarithms ay totoo rin para sa decimal logarithms.
Likas na logarithm
May isa pang logarithm na may sariling pagtatalaga. Sa ilang paraan, mas mahalaga pa ito kaysa decimal. Pinag-uusapan natin ang natural logarithm.
Ang natural na logarithm ng x ay ang logarithm sa base e, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: ln x .
Marami ang magtatanong: ano ang numero e? Ito ay isang hindi makatwirang numero; ang eksaktong halaga nito ay hindi mahanap at maisulat. Ibibigay ko lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459...
Hindi na namin idedetalye kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ay ang batayan ng natural na logarithm:
ln x = log e x
Kaya ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anumang rational na numero ay hindi makatwiran. Maliban, siyempre, para sa isa: ln 1 = 0.
Para sa mga natural na logarithms, ang lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay may bisa.