Ito ay kilala na ang tanda ng ugat ay ang square root ng isang tiyak na numero. Gayunpaman, ang root sign ay nangangahulugang hindi lamang isang algebraic na operasyon, ngunit ginagamit din sa woodworking - sa pagkalkula ng mga kamag-anak na laki.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kung gusto mong matutunan kung paano paramihin ang mga ugat na "na may" o "walang" mga kadahilanan, kung gayon ang artikulong ito ay para sa iyo. Sa loob nito ay titingnan natin ang mga paraan ng pagpaparami ng mga ugat:
- walang multiplier;
- may mga multiplier;
- na may iba't ibang mga tagapagpahiwatig.
Paraan para sa pagpaparami ng mga ugat nang walang mga kadahilanan
Algorithm ng mga aksyon:
Siguraduhin na ang ugat ay may parehong mga tagapagpahiwatig (degree). Alalahanin na ang degree ay nakasulat sa kaliwa sa itaas ng root sign. Kung walang pagtatalaga ng degree, nangangahulugan ito na ang ugat ay parisukat, i.e. na may kapangyarihan na 2, at maaari itong i-multiply sa iba pang mga ugat na may kapangyarihan na 2.
Halimbawa
Halimbawa 1: 18 × 2 = ?
Halimbawa 2: 10 × 5 = ?
Halimbawa
Halimbawa 1: 18 × 2 = 36
Halimbawa 2: 10 × 5 = 50
Halimbawa 3: 3 3 × 9 3 = 27 3
Pasimplehin ang mga radikal na expression. Kapag pinarami natin ang mga ugat sa isa't isa, maaari nating gawing simple ang resultang radical expression sa produkto ng isang numero (o expression) sa pamamagitan ng isang buong parisukat o kubo:
Halimbawa
Halimbawa 1: 36 = 6. Ang 36 ay ang square root ng anim (6 × 6 = 36).
Halimbawa 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2. Binubulok namin ang numero 50 sa produkto ng 25 at 2. Ang ugat ng 25 ay 5, kaya kumukuha kami ng 5 mula sa ilalim ng root sign at pinasimple ang expression.
Halimbawa 3: 27 3 = 3. Ang cube root ng 27 ay 3: 3 × 3 × 3 = 27.
Paraan ng pagpaparami ng mga tagapagpahiwatig na may mga kadahilanan
Algorithm ng mga aksyon:
Multiply factor. Ang multiplier ay ang numero na nauuna sa root sign. Kung walang multiplier, ito ay itinuturing na isa bilang default. Susunod na kailangan mong i-multiply ang mga kadahilanan:
Halimbawa
Halimbawa 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3
Halimbawa 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 × 3 = 12
I-multiply ang mga numero sa ilalim ng root sign. Kapag na-multiply mo na ang mga salik, huwag mag-atubiling i-multiply ang mga numero sa ilalim ng root sign:
Halimbawa
Halimbawa 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20
Halimbawa 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18
Pasimplehin ang radikal na pagpapahayag. Susunod, dapat mong pasimplehin ang mga halaga na nasa ilalim ng root sign - kailangan mong ilipat ang mga kaukulang numero sa kabila ng root sign. Pagkatapos nito, kailangan mong i-multiply ang mga numero at mga kadahilanan na lumilitaw bago ang root sign:
Halimbawa
Halimbawa 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5
Halimbawa 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2
Paraan ng pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponents
Algorithm ng mga aksyon:
Hanapin ang least common multiple (LCM) ng mga indicator. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati ng parehong mga exponent.
Halimbawa
Kinakailangang hanapin ang LCM ng mga indicator para sa sumusunod na expression:
Ang mga tagapagpahiwatig ay 3 at 2. Para sa dalawang numerong ito, ang pinakamaliit na common multiple ay ang numero 6 (ito ay nahahati nang walang nalalabi sa parehong 3 at 2). Upang i-multiply ang mga ugat, kinakailangan ang isang exponent na 6.
Isulat ang bawat expression na may bagong exponent:
Hanapin ang mga numero kung saan kailangan mong i-multiply ang mga indicator para makuha ang LOC.
Sa expression na 5 3 kailangan mong i-multiply ang 3 sa 2 upang makakuha ng 6. At sa expression na 2 2 - sa kabaligtaran, kinakailangan na i-multiply ng 3 upang makakuha ng 6.
Itaas ang numero sa ilalim ng root sign sa kapangyarihan na katumbas ng numerong nakita sa nakaraang hakbang. Para sa unang pagpapahayag, ang 5 ay dapat itaas sa kapangyarihan ng 2, at para sa pangalawa, ang 2 ay dapat na itaas sa kapangyarihan ng 3:
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Itaas ang expression sa kapangyarihan at isulat ang resulta sa ilalim ng root sign:
5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6
I-multiply ang mga numero sa ilalim ng ugat:
(8 × 25) 6
Itala ang resulta:
(8 × 25) 6 = 200 6
Kung maaari, ito ay kinakailangan upang pasimplehin ang expression, ngunit sa sa kasong ito hindi ito pinasimple.
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Availability parisukat na ugat sa isang expression ay nagpapalubha sa proseso ng paghahati, ngunit may mga panuntunan kung saan ang pagtatrabaho sa mga fraction ay nagiging mas madali.
Ang tanging bagay na kailangan mong tandaan sa lahat ng oras- Ang mga radikal na pagpapahayag ay nahahati sa mga radikal na pagpapahayag, at mga salik sa mga salik. Sa proseso ng paghahati ng mga square root, pinapasimple namin ang fraction. Gayundin, tandaan na ang ugat ay maaaring nasa denominator.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Paraan 1. Paghahati ng mga radikal na ekspresyon
Algorithm ng mga aksyon:
Sumulat ng isang fraction
Kung ang expression ay hindi kinakatawan bilang isang fraction, ito ay kinakailangan upang isulat ito tulad nito, dahil mas madaling sundin ang prinsipyo ng paghahati ng mga square root.
Halimbawa 1
144 ÷ 36, dapat na muling isulat ang expression na ito tulad ng sumusunod: 144 36
Gumamit ng isang root sign
Kung pareho ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga square root, kinakailangang isulat ang kanilang mga radical expression sa ilalim ng parehong root sign upang gawing mas madali ang proseso ng solusyon.
Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang radikal na expression (o numero) ay isang expression sa ilalim ng root sign.
Halimbawa 2
144 36. Ang expression na ito ay dapat na nakasulat tulad ng sumusunod: 144 36
Paghiwalayin ang mga radikal na ekspresyon
Hatiin lamang ang isang expression sa isa pa, at isulat ang resulta sa ilalim ng root sign.
Halimbawa 3
144 36 = 4, isulat natin itong expression na ganito: 144 36 = 4
Pasimplehin ang radikal na expression (kung kinakailangan)
Kung ang radikal na expression o isa sa mga kadahilanan ay isang perpektong parisukat, pasimplehin ang expression.
Alalahanin na ang perpektong parisukat ay isang numero na parisukat ng ilang integer.
Halimbawa 4
Ang 4 ay isang perpektong parisukat dahil 2 × 2 = 4. Samakatuwid:
4 = 2 × 2 = 2. Samakatuwid 144 36 = 4 = 2.
Paraan 2. Pagsasaliksik ng radikal na pagpapahayag
Algorithm ng mga aksyon:
Sumulat ng isang fraction
Isulat muli ang expression bilang isang fraction (kung ito ay kinakatawan sa ganoong paraan). Ginagawa nitong mas madali ang paghahati ng mga expression na may mga square root, lalo na kapag nagfa-factor.
Halimbawa 5
8 ÷ 36, isulat itong muli ng ganito 8 36
I-factor ang bawat isa sa mga radikal na expression
I-factor ang numero sa ilalim ng ugat tulad ng iba pang integer, isulat lamang ang mga kadahilanan sa ilalim ng root sign.
Halimbawa 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Pasimplehin ang numerator at denominator ng isang fraction
Upang gawin ito, alisin ang mga salik na kumakatawan sa mga perpektong parisukat mula sa ilalim ng root sign. Kaya, ang kadahilanan ng radikal na expression ay magiging salik bago ang root sign.
Halimbawa 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, ito ay sumusunod: 8 36 = 2 2 6
I-rationalize ang denominator (alisin ang ugat)
Sa matematika, may mga panuntunan ayon sa kung saan ang pag-iwan ng ugat sa denominator ay isang tanda ng masamang anyo, i.e. ito ay ipinagbabawal. Kung mayroong isang square root sa denominator, pagkatapos ay alisin ito.
I-multiply ang numerator at denominator sa square root na gusto mong alisin.
Halimbawa 8
Sa expression na 6 2 3, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa 3 upang maalis ito sa denominator:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Pasimplehin ang resultang expression (kung kinakailangan)
Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga numero na maaari at dapat bawasan. Pasimplehin ang mga expression na tulad ng gagawin mo sa anumang fraction.
Halimbawa 9
Ang 2 6 ay pinapasimple sa 1 3 ; kaya ang 2 2 6 ay pinapasimple sa 1 2 3 = 2 3
Paraan 3: Paghahati ng mga square root na may mga salik
Algorithm ng mga aksyon:
Pasimplehin ang mga kadahilanan
Alalahanin na ang mga kadahilanan ay ang mga numero na nauuna sa root sign. Upang gawing simple ang mga kadahilanan, kakailanganin mong hatiin o bawasan ang mga ito. Huwag hawakan ang mga radikal na ekspresyon!
Halimbawa 10
4 32 6 16 . Una, binabawasan natin ang 4 6: hatiin ang numerator at denominator ng 2: 4 6 = 2 3.
Pasimplehin ang mga square root
Kung ang numerator ay pantay na mahahati ng denominator, pagkatapos ay hatiin. Kung hindi, pasimplehin ang mga radikal na expression tulad ng iba pa.
Halimbawa 11
Ang 32 ay nahahati sa 16, kaya: 32 16 = 2
I-multiply ang pinasimple na mga kadahilanan sa pamamagitan ng pinasimple na mga ugat
Tandaan ang panuntunan: huwag mag-iwan ng mga ugat sa denominator. Samakatuwid, pinaparami lang natin ang numerator at denominator sa ugat na ito.
Halimbawa 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Rationalize ang denominator (alisin ang ugat sa denominator)
Halimbawa 13
4 3 2 7 . Dapat mong i-multiply ang numerator at denominator sa 7 upang maalis ang ugat sa denominator.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Paraan 4: Dibisyon ayon sa binomial na may square root
Algorithm ng mga aksyon:
Tukuyin kung ang isang binomial ay nasa denominator
Alalahanin na ang binomial ay isang expression na may kasamang 2 monomial. Gumagana lang ang pamamaraang ito sa mga kaso kung saan ang denominator ay may binomial na may square root.
Halimbawa 14
1 5 + 2 - mayroong binomial sa denominator, dahil mayroong dalawang monomial.
Hanapin ang conjugate expression ng binomial
Alalahanin na ang conjugate binomial ay isang binomial na may parehong monomial, ngunit may magkasalungat na mga palatandaan. Upang gawing simple ang expression at maalis ang ugat sa denominator, dapat mong i-multiply ang conjugate binomials.
Halimbawa 15
Ang 5 + 2 at 5 - 2 ay conjugate binomials.
I-multiply ang numerator at denominator sa binomial na conjugate ng binomial sa denominator
Makakatulong ang opsyong ito na maalis ang ugat sa denominator, dahil ang produkto ng conjugate binomials ay katumbas ng pagkakaiba ng mga parisukat ng bawat termino ng binomials: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Halimbawa 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
Mula dito ito ay sumusunod: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.
Payo:
- Kung nagtatrabaho ka gamit ang mga square root ng magkahalong numero, i-convert ang mga ito sa mga hindi wastong fraction.
- Ang pagkakaiba sa pagitan ng pagdaragdag at pagbabawas mula sa paghahati ay ang mga radikal na expression sa kaso ng paghahati ay hindi inirerekomenda na gawing simple (sa gastos ng kumpletong mga parisukat).
- Huwag kailanman (!) mag-iwan ng ugat sa denominator.
- Walang mga decimal o pinaghalong fraction bago ang ugat - kailangan mong i-convert ang mga ito sa isang karaniwang fraction at pagkatapos ay pasimplehin.
- Ang denominator ba ay kabuuan o pagkakaiba ng dalawang monomial? I-multiply ang naturang binomial sa conjugate binomial nito at alisin ang ugat sa denominator.
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Pagbati, mga pusa! Huling oras na tinalakay namin nang detalyado kung ano ang mga ugat (kung hindi mo matandaan, inirerekumenda kong basahin ito). Ang pangunahing takeaway mula sa araling iyon: mayroon lamang isang pangkalahatang kahulugan ng mga ugat, na kung ano ang kailangan mong malaman. Ang natitira ay walang kapararakan at pag-aaksaya ng oras.
Ngayon ay higit pa tayo. Matututo tayong magparami ng mga ugat, pag-aaralan natin ang ilang problemang nauugnay sa multiplication (kung hindi nalutas ang mga problemang ito, maaari silang maging fatal sa pagsusulit) at magsasanay tayo ng maayos. Kaya mag-stock ng popcorn, gawing komportable ang iyong sarili - at magsisimula na tayo. :)
Hindi ka pa naninigarilyo, hindi ba?
Ang aralin ay naging medyo malaki, kaya hinati ko ito sa dalawang bahagi:
- Una, titingnan natin ang mga patakaran para sa pagpaparami. Ang cap ay tila nagpapahiwatig: ito ay kapag mayroong dalawang ugat, sa pagitan ng mga ito ay may isang "multiply" na senyales - at gusto naming gawin ang isang bagay dito.
- Pagkatapos ay tingnan natin ang kabaligtaran na sitwasyon: mayroong isang malaking ugat, ngunit sabik kaming kumatawan dito bilang isang produkto ng dalawang mas simpleng ugat. Sa kung anong takot ang kinakailangan ay isang hiwalay na tanong. Susuriin lamang namin ang algorithm.
Para sa mga hindi makapaghintay na tumalon sa Part 2, welcome kayo. Magsimula tayo sa natitira sa pagkakasunud-sunod.
Pangunahing Tuntunin ng Multiplikasyon
Magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - classic square roots. Ang parehong mga na tinutukoy ng $\sqrt(a)$ at $\sqrt(b)$. Ang lahat ay halata sa kanila:
Panuntunan sa pagpaparami. Upang i-multiply ang isang square root sa isa pa, paramihin mo lang ang kanilang mga radical expression, at isulat ang resulta sa ilalim ng karaniwang radical:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung ang mga ugat na kadahilanan ay umiiral, kung gayon ang produkto ay umiiral din.
Mga halimbawa. Tingnan natin ang apat na halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahulugan ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatwiran na expression. At kung sa unang halimbawa tayo mismo ay nakuha ang mga ugat ng 25 at 4 nang walang anumang mga bagong panuntunan, kung gayon ang mga bagay ay magiging matigas: $\sqrt(32)$ at $\sqrt(2)$ ay hindi isinasaalang-alang ng kanilang mga sarili, ngunit ang kanilang produkto ay lumabas na isang perpektong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng isang rational na numero.
Gusto ko lalo na i-highlight ang huling linya. Doon, ang parehong mga radikal na expression ay mga fraction. Salamat sa produkto, maraming mga kadahilanan ang nakansela, at ang buong expression ay nagiging isang sapat na numero.
Siyempre, ang mga bagay ay hindi palaging magiging napakaganda. Minsan magkakaroon ng kumpletong dumi sa ilalim ng mga ugat - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano ito baguhin pagkatapos ng multiplikasyon. Maya-maya pa, kapag nagsimula kang mag-aral hindi makatwiran na mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, sa pangkalahatan ay magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at function. At napakadalas, umaasa ang mga manunulat ng problema sa katotohanan na matutuklasan mo ang ilang mga termino o salik sa pagkansela, pagkatapos nito ang problema ay pasimplehin nang maraming beses.
Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na magparami ng eksaktong dalawang ugat. Maaari kang magparami ng tatlo, apat, o kahit sampu nang sabay-sabay! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan mo:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]
At muli isang maliit na tala sa pangalawang halimbawa. Tulad ng nakikita mo, sa ikatlong kadahilanan sa ilalim ng ugat mayroong isang decimal na bahagi - sa proseso ng mga kalkulasyon pinapalitan namin ito ng isang regular, pagkatapos nito ang lahat ay madaling nabawasan. Kaya: Lubos kong inirerekumenda na alisin ang mga decimal fraction sa alinman hindi makatwiran na mga ekspresyon(ibig sabihin, naglalaman ng hindi bababa sa isang radikal na simbolo). Makakatipid ito sa iyo ng maraming oras at nerbiyos sa hinaharap.
Ngunit ito ay lyrical digression. Ngayon isaalang-alang natin ang isang mas pangkalahatang kaso - kapag ang root exponent ay naglalaman ng isang di-makatwirang numero na $n$, at hindi lamang ang "klasikal" na dalawa.
Ang kaso ng isang di-makatwirang tagapagpahiwatig
Kaya, inayos namin ang mga square root. Ano ang gagawin sa mga kubiko? O kahit na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $n$? Oo, ang lahat ay pareho. Ang panuntunan ay nananatiling pareho:
Upang i-multiply ang dalawang ugat ng degree $n$, sapat na upang i-multiply ang kanilang mga radical expression, at pagkatapos ay isulat ang resulta sa ilalim ng isang radical.
Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban na ang halaga ng mga kalkulasyon ay maaaring mas malaki. Tingnan natin ang ilang halimbawa:
Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]
At muli pansin ang pangalawang ekspresyon. Pinarami namin ang mga ugat ng kubo, mapupuksa decimal at bilang resulta, nakukuha natin ang produkto ng mga numerong 625 at 25 sa denominator. malaking numero- Sa personal, hindi ko agad na isinasaalang-alang kung ano ang katumbas nito.
Samakatuwid, ibinukod lang namin ang eksaktong cube sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung gusto mo, kahulugan) ng $n$th na ugat:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\kaliwa| isang\kanan|. \\ \end(align)\]
Ang ganitong mga "machinations" ay maaaring makatipid sa iyo ng maraming oras sa pagsusulit o pagsubok na gawain, kaya tandaan:
Huwag magmadali sa pagpaparami ng mga numero gamit ang mga radikal na expression. Una, suriin: paano kung ang eksaktong antas ng anumang expression ay "naka-encrypt" doon?
Sa lahat ng kaliwanagan ng pangungusap na ito, dapat kong aminin na ang karamihan sa mga hindi handa na mga estudyante ay hindi nakikita ang eksaktong mga antas. Sa halip, pinarami nila ang lahat ng bagay sa unahan, at pagkatapos ay nagtataka: bakit sila nakakuha ng mga brutal na numero? :)
Gayunpaman, ang lahat ng ito ay baby talk kumpara sa pag-aaralan natin ngayon.
Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponents
Okay, ngayon ay maaari nating i-multiply ang mga ugat gamit ang ang parehong mga tagapagpahiwatig. Paano kung magkaiba ang mga indicator? Sabihin natin, kung paano i-multiply ang isang ordinaryong $\sqrt(2)$ ng ilang crap tulad ng $\sqrt(23)$? Posible bang gawin ito?
Oo syempre kaya mo. Ang lahat ay ginagawa ayon sa formula na ito:
Panuntunan para sa pagpaparami ng mga ugat. Upang i-multiply ang $\sqrt[n](a)$ sa $\sqrt[p](b)$, gawin lamang ang sumusunod na pagbabago:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Gayunpaman, ang formula na ito ay gagana lamang kung Ang mga radikal na ekspresyon ay hindi negatibo. Ito ay isang napakahalagang tala na babalikan natin mamaya.
Sa ngayon, tingnan natin ang ilang halimbawa:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon, alamin natin kung saan nanggaling ang non-negativity requirement, at ano ang mangyayari kung lalabagin natin ito. :)
Ang pagpaparami ng mga ugat ay madali Bakit dapat hindi negatibo ang mga radikal na pagpapahayag?
Siyempre, maaari kang maging tulad ng mga guro sa paaralan at mag-quote ng isang aklat-aralin na may matalinong hitsura:
Ang pangangailangang hindi negatibo ay nauugnay sa iba't ibang kahulugan mga ugat ng pantay at kakaibang antas (ayon sa pagkakabanggit, ang kanilang mga domain ng kahulugan ay iba rin).
Well, naging mas malinaw ba? Sa personal, nang basahin ko ang kalokohang ito sa ika-8 baitang, naunawaan ko ang isang bagay tulad ng sumusunod: "Ang kinakailangan ng hindi negatibo ay nauugnay sa *#&^@(*#@^#)~%" - sa madaling salita, ginawa ko Hindi ko maintindihan ang isang bagay sa oras na iyon. :)
Kaya ngayon ipapaliwanag ko ang lahat sa normal na paraan.
Una, alamin natin kung saan nagmula ang multiplication formula sa itaas. Upang gawin ito, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang katangian ng ugat:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Sa madaling salita, madali nating itaas ang radikal na pagpapahayag sa anumang natural na kapangyarihan $k$ - sa kasong ito, ang exponent ng ugat ay kailangang i-multiply sa parehong kapangyarihan. Samakatuwid, madali nating bawasan ang anumang mga ugat sa pangkalahatang tagapagpahiwatig, pagkatapos ay magparami. Dito nagmula ang multiplication formula:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Ngunit may isang problema na lubhang naglilimita sa paggamit ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:
Ayon sa ibinigay na formula, maaari tayong magdagdag ng anumang antas. Subukan nating magdagdag ng $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Inalis namin ang minus nang tumpak dahil sinusunog ng parisukat ang minus (tulad ng anumang iba pang kahit na antas). Ngayon, gawin natin ang reverse transformation: "bawasan" ang dalawa sa exponent at power. Pagkatapos ng lahat, ang anumang pagkakapantay-pantay ay mababasa sa parehong kaliwa-papuntang-kanan at kanan-papuntang-kaliwa:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]
Ngunit pagkatapos ay isang kabaliwan ang nangyari:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Hindi ito maaaring mangyari, dahil $\sqrt(-5) \lt 0$, at $\sqrt(5) \gt 0$. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga kapangyarihan at mga negatibong numero hindi na gumagana ang aming formula. Pagkatapos nito, mayroon kaming dalawang pagpipilian:
- Upang labanan laban sa pader upang sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "may ilang mga patakaran, ngunit ito ay hindi tumpak";
- Pumasok karagdagang mga paghihigpit, kung saan gagana nang 100% ang formula.
Sa unang pagpipilian, kailangan nating patuloy na mahuli ang mga "hindi gumagana" na mga kaso - ito ay mahirap, mahaba at sa pangkalahatan ay fu. Samakatuwid, ginusto ng mga mathematician ang pangalawang opsyon. :)
Ngunit huwag mag-alala! Sa pagsasagawa, ang paghihigpit na ito ay hindi nakakaapekto sa mga kalkulasyon sa anumang paraan, dahil ang lahat ng inilarawan na mga problema ay may kinalaman lamang sa mga ugat ng isang kakaibang antas, at ang mga minus ay maaaring alisin sa kanila.
Samakatuwid, bumubuo kami ng isa pang panuntunan na nalalapat sa pangkalahatan sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:
Bago i-multiply ang mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.
Halimbawa. Sa numerong $\sqrt(-5)$ maaari mong alisin ang minus mula sa ilalim ng root sign - kung gayon ang lahat ay magiging normal:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba? Kung nag-iiwan ka ng minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos ay kapag ang radikal na expression ay parisukat, ito ay mawawala, at ang crap ay magsisimula. At kung aalisin mo muna ang minus, maaari mong kuwadrado/alisin hanggang sa maging asul ka sa mukha - mananatiling negatibo ang numero. :)
Kaya, ang pinaka tama at pinaka-maaasahang paraan ng pagpaparami ng mga ugat ay ang mga sumusunod:
- Alisin ang lahat ng mga negatibo mula sa mga radikal. Ang mga minus ay umiiral lamang sa mga ugat ng kakaibang multiplicity - maaari silang ilagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, bawasan (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga minus na ito).
- Magsagawa ng multiplikasyon ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pareho, pinaparami lang natin ang mga radikal na expression. At kung magkaiba sila, ginagamit namin ang masamang formula na \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Tangkilikin ang resulta at magagandang marka. :)
Well? Magpractice ba tayo?
Halimbawa 1: Pasimplehin ang expression:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]
Ito ang pinakasimpleng opsyon: ang mga ugat ay pareho at kakaiba, ang tanging problema ay ang pangalawang kadahilanan ay negatibo. Kinukuha namin ang minus na ito sa larawan, pagkatapos ay madaling kalkulahin ang lahat.
Halimbawa 2: Pasimplehin ang expression:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ihanay)\]
Dito, marami ang malito sa katotohanan na ang output ay naging isang hindi makatwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na maalis ang ugat, ngunit hindi bababa sa pinasimple namin ang expression.
Halimbawa 3: Pasimplehin ang expression:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Ito ang gusto kong makuha ang iyong atensyon. Mayroong dalawang puntos dito:
- Ang ugat ay hindi isang tiyak na numero o kapangyarihan, ngunit ang variable na $a$. Sa unang sulyap, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa katotohanan, kapag nalutas mga problema sa matematika kadalasan kailangan mong harapin ang mga variable.
- Sa huli, nagawa naming "bawasan" ang radikal na tagapagpahiwatig at ang antas ng radikal na pagpapahayag. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo ginamit ang pangunahing formula.
Halimbawa, maaari mong gawin ito:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]
Sa katunayan, ang lahat ng mga pagbabago ay ginanap lamang sa pangalawang radikal. At kung hindi mo inilalarawan nang detalyado ang lahat ng mga intermediate na hakbang, pagkatapos ay sa dulo ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang bawasan.
Sa katunayan, nakatagpo na kami ng katulad na gawain sa itaas nang malutas namin ang halimbawang $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ngayon ay maaari itong isulat nang mas simple:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]
Buweno, inayos namin ang pagpaparami ng mga ugat. Ngayon isaalang-alang natin ang reverse operation: ano ang gagawin kapag may produkto sa ilalim ng ugat?