Kabilang sa buong iba't ibang logarithmic inequalities, ang mga inequalities na may variable na base ay pinag-aaralan nang hiwalay. Ang mga ito ay nalutas ayon sa isang espesyal na pormula, na sa ilang kadahilanan ay bihirang itinuro sa paaralan:
log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0
Sa halip na isang jackdaw "∨", maaari kang maglagay ng anumang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay: higit pa o mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay sa parehong hindi pagkakapantay-pantay ang mga palatandaan ay pareho.
Kaya't inaalis namin ang mga logarithms at binabawasan ang problema sa isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ang huli ay mas madaling malutas, ngunit kapag itinatapon ang mga logarithms, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat. Upang putulin ang mga ito, sapat na upang mahanap ang lugar pinahihintulutang halaga. Kung nakalimutan mo ang ODZ ng logarithm, masidhi kong inirerekumenda na ulitin ito - tingnan ang "Ano ang logarithm".
Ang lahat ng nauugnay sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay dapat na isulat at lutasin nang hiwalay:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ang apat na hindi pagkakapantay-pantay na ito ay bumubuo ng isang sistema at dapat matupad nang sabay-sabay. Kapag natagpuan ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, nananatili itong i-cross ito sa solusyon ng isang nakapangangatwiran na hindi pagkakapantay-pantay - at handa na ang sagot.
Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Una, isulat natin ang ODZ ng logarithm:
Ang unang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay awtomatikong ginagawa, at ang huli ay kailangang isulat. Dahil ang parisukat ng numero sero kung at kung ang numero mismo ay katumbas ng zero, mayroon tayong:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay lahat ng numero maliban sa zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ngayon malulutas namin ang pangunahing hindi pagkakapantay-pantay:
Isinasagawa namin ang paglipat mula sa logarithmic inequality hanggang sa rational. Sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay mayroong isang "mas mababa sa" na senyales, kaya ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat ding may isang "mas mababa sa" na senyales. Meron kami:
(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
Mga zero ng expression na ito: x = 3; x = -3; x = 0. Bukod dito, ang x = 0 ay ang ugat ng pangalawang multiplicity, na nangangahulugang kapag dumaan dito, ang tanda ng function ay hindi nagbabago. Meron kami:
Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ang set na ito ay ganap na nakapaloob sa ODZ ng logarithm, na nangangahulugan na ito ang sagot.
Pagbabago ng logarithmic inequalities
Kadalasan ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naiiba sa isa sa itaas. Madaling ayusin ito ayon sa karaniwang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa logarithms - tingnan ang "Mga pangunahing katangian ng logarithms". Namely:
- Anumang numero ay maaaring katawanin bilang isang logarithm na may ibinigay na base;
- Ang kabuuan at pagkakaiba ng logarithms na may parehong base ay maaaring mapalitan ng isang logarithm.
Hiwalay, gusto kong ipaalala sa iyo ang tungkol sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Dahil maaaring mayroong ilang logarithms sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang hanapin ang DPV ng bawat isa sa kanila. kaya, pangkalahatang pamamaraan Ang solusyon ng logarithmic inequalities ay ang mga sumusunod:
- Hanapin ang ODZ ng bawat logarithm na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay;
- Bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamantayan gamit ang mga formula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms;
- Lutasin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ayon sa pamamaraan sa itaas.
Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Hanapin ang domain ng kahulugan (ODZ) ng unang logarithm:
Malutas namin sa pamamagitan ng paraan ng agwat. Paghahanap ng mga zero ng numerator:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Pagkatapos - ang mga zero ng denominator:
x − 1 = 0;
x = 1.
Minarkahan namin ang mga zero at sign sa coordinate arrow:
Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Magiging pareho ang pangalawang logarithm ng ODZ. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong suriin. Ngayon binabago namin ang pangalawang logarithm upang ang base ay dalawa:
Tulad ng makikita mo, ang mga triple sa base at bago ang logarithm ay lumiit. Nakakuha kami ng dalawang logarithms mula sa parehong base. Pagsama-samahin natin sila:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Nakuha namin ang karaniwang logarithmic inequality. Inaalis namin ang logarithms sa pamamagitan ng formula. Dahil mayroong "mas mababa sa" sign sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, ang resulta makatwirang pagpapahayag dapat din mas mababa sa zero. Meron kami:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Mayroon kaming dalawang set:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Sagutin ang kandidato: x ∈ (−1; 3).
Ito ay nananatiling tumawid sa mga hanay na ito - nakuha namin ang tunay na sagot:
Interesado kami sa intersection ng mga set, kaya pipiliin namin ang mga agwat na may kulay sa parehong mga arrow. Nakukuha namin ang x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - lahat ng puntos ay nabutas.
Sa palagay mo ba ay may oras pa bago ang pagsusulit, at magkakaroon ka ng oras upang maghanda? Marahil ay ganito. Ngunit sa anumang kaso, mas maaga ang mag-aaral ay nagsisimula sa pagsasanay, mas matagumpay na pumasa siya sa mga pagsusulit. Ngayon ay nagpasya kaming mag-alay ng isang artikulo sa mga logarithmic inequalities. Ito ay isa sa mga gawain, na nangangahulugang isang pagkakataon upang makakuha ng dagdag na punto.
Alam mo na ba kung ano ang logarithm (log)? Sana talaga. Ngunit kahit na wala kang sagot sa tanong na ito, hindi ito problema. Napakadaling maunawaan kung ano ang logarithm.
Bakit eksaktong 4? Kailangan mong itaas ang numero 3 sa ganoong kapangyarihan upang makakuha ng 81. Kapag naunawaan mo ang prinsipyo, maaari kang magpatuloy sa mas kumplikadong mga kalkulasyon.
Dumaan ka sa hindi pagkakapantay-pantay ilang taon na ang nakalipas. At mula noon, palagi mo silang nakikilala sa matematika. Kung nagkakaproblema ka sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, tingnan ang naaangkop na seksyon.
Ngayon, kapag nakilala na natin ang mga konsepto nang hiwalay, ipapasa natin ang kanilang pagsasaalang-alang sa pangkalahatan.
Ang pinakasimpleng logarithmic inequality.
Ang pinakasimpleng logarithmic inequalities ay hindi limitado sa halimbawang ito, mayroong tatlo pa, na may iba't ibang mga palatandaan lamang. Bakit kailangan ito? Upang mas maunawaan kung paano lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa mga logarithms. Ngayon ay nagbibigay kami ng isang mas naaangkop na halimbawa, medyo simple pa rin, iniiwan namin ang mga kumplikadong logarithmic inequalities para sa ibang pagkakataon.
Paano ito lutasin? Nagsisimula ang lahat sa ODZ. Dapat mong malaman ang higit pa tungkol dito kung gusto mong laging madaling malutas ang anumang hindi pagkakapantay-pantay.
Ano ang ODZ? DPV para sa logarithmic inequalities
Ang pagdadaglat ay kumakatawan sa hanay ng mga wastong halaga. Sa mga takdang-aralin para sa pagsusulit, madalas na lumalabas ang mga salitang ito. Ang DPV ay kapaki-pakinabang sa iyo hindi lamang sa kaso ng logarithmic inequalities.
Tingnan muli ang halimbawa sa itaas. Isasaalang-alang namin ang ODZ batay dito, upang maunawaan mo ang prinsipyo, at ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi nagtataas ng mga katanungan. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na ang 2x+4 ay dapat na mas malaki sa zero. Sa aming kaso, nangangahulugan ito ng sumusunod.
Ang bilang na ito ay dapat na positibo ayon sa kahulugan. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ipinakita sa itaas. Ito ay maaaring gawin kahit pasalita, dito ay malinaw na ang X ay hindi maaaring mas mababa sa 2. Ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang kahulugan ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga.
Ngayon ay lumipat tayo sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic inequality.
Itinatapon namin ang mga logarithms mismo mula sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Ano ang natitira sa atin bilang resulta? simpleng hindi pagkakapantay-pantay.
Madali itong malutas. Ang X ay dapat na mas malaki kaysa sa -0.5. Ngayon pinagsasama namin ang dalawang nakuhang halaga sa system. kaya,
Ito ang magiging rehiyon ng mga tinatanggap na halaga para sa itinuturing na hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
Bakit kailangan ang ODZ? Ito ay isang pagkakataon upang alisin ang mga mali at imposibleng mga sagot. Kung ang sagot ay wala sa saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga, kung gayon ang sagot ay walang katuturan. Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa loob ng mahabang panahon, dahil sa pagsusulit ay madalas na kailangan upang maghanap para sa ODZ, at ito ay may kinalaman hindi lamang sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
Algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality
Ang solusyon ay binubuo ng ilang mga hakbang. Una, kinakailangan upang mahanap ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Magkakaroon ng dalawang halaga sa ODZ, isinasaalang-alang namin ito sa itaas. Ang susunod na hakbang ay upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay mismo. Ang mga pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:
- paraan ng pagpapalit ng multiplier;
- pagkabulok;
- paraan ng rasyonalisasyon.
Depende sa sitwasyon, dapat gamitin ang isa sa mga pamamaraan sa itaas. Dumiretso tayo sa solusyon. Ipapakita namin ang pinakasikat na paraan na angkop para sa paglutas ng mga gawain sa PAGGAMIT sa halos lahat ng kaso. Susunod, isasaalang-alang natin ang paraan ng agnas. Makakatulong ito kung makatagpo ka ng isang partikular na "mapanlinlang" na hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, ang algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality.
Mga halimbawa ng solusyon :
Ito ay hindi walang kabuluhan na kinuha namin ang gayong hindi pagkakapantay-pantay! Bigyang-pansin ang base. Tandaan: kung ito ay mas malaki sa isa, ang tanda ay nananatiling pareho kapag hinahanap ang hanay ng mga wastong halaga; kung hindi, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat baguhin.
Bilang resulta, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Ngayon present kami kaliwang bahagi sa anyo ng equation na katumbas ng zero. Sa halip na "mas mababa sa" sign, inilalagay namin ang "pantay", nilulutas namin ang equation. Kaya, mahahanap natin ang ODZ. Umaasa kami na wala kang problema sa paglutas ng gayong simpleng equation. Ang mga sagot ay -4 at -2. Hindi lamang yan. Kailangan mong ipakita ang mga puntong ito sa tsart, ilagay ang "+" at "-". Ano ang kailangang gawin para dito? Palitan ang mga numero mula sa mga pagitan sa expression. Kung saan ang mga halaga ay positibo, inilalagay namin ang "+" doon.
Sagot: Ang x ay hindi maaaring mas malaki sa -4 at mas mababa sa -2.
Natagpuan namin ang hanay ng mga wastong halaga para lamang sa kaliwang bahagi, ngayon kailangan naming hanapin ang hanay ng mga wastong halaga para sa kanang bahagi. Ito ay hindi nangangahulugang mas madali. Sagot: -2. Nag-intersect kami sa parehong natanggap na mga lugar.
At ngayon lamang natin sinisimulan na lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay mismo.
Pasimplehin natin ito hangga't maaari para mas madaling magdesisyon.
Muli naming ginagamit ang paraan ng agwat sa solusyon. Laktawan natin ang mga kalkulasyon, kasama niya ang lahat ay malinaw na mula sa nakaraang halimbawa. Sagot.
Ngunit ang pamamaraang ito ay angkop kung ang logarithmic inequality ay may parehong mga batayan.
Ang paglutas ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay na may iba't ibang base ay nagsasangkot ng paunang pagbawas sa isang base. Pagkatapos ay gamitin ang pamamaraan sa itaas. Pero meron pa mahirap kaso. Isaalang-alang ang isa sa pinaka kumplikadong uri hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
Logarithmic inequalities na may variable na base
Paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may ganitong mga katangian? Oo, at ito ay matatagpuan sa pagsusulit. Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa sumusunod na paraan ay magkakaroon din ng kapaki-pakinabang na epekto sa iyong proseso ng edukasyon. Unawain natin ang isyu nang detalyado. Isantabi natin ang teorya at dumiretso sa pagsasanay. Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, sapat na upang maging pamilyar sa halimbawa.
Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ng ipinakita na form, kinakailangan upang mabawasan kanang bahagi sa logarithm na may parehong base. Ang prinsipyo ay kahawig ng mga katumbas na transition. Bilang resulta, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging ganito.
Sa totoo lang, nananatili itong lumikha ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na walang logarithms. Gamit ang paraan ng rasyonalisasyon, pumasa tayo sa isang katumbas na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Mauunawaan mo ang mismong panuntunan kapag pinalitan mo ang mga naaangkop na halaga at sinunod ang mga pagbabago nito. Ang sistema ay magkakaroon ng mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay.
Gamit ang paraan ng rasyonalisasyon kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong tandaan ang mga sumusunod: kailangan mong ibawas ang isa mula sa base, x, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, ay ibabawas mula sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (ang kanan mula sa kaliwa), ang dalawa ang mga expression ay pinarami at itinatakda sa ilalim ng orihinal na tanda na may kaugnayan sa zero.
Ang karagdagang solusyon ay isinasagawa sa pamamagitan ng paraan ng agwat, ang lahat ay simple dito. Mahalaga para sa iyo na maunawaan ang mga pagkakaiba sa mga pamamaraan ng solusyon, kung gayon ang lahat ay magsisimulang gumana nang madali.
Mayroong maraming mga nuances sa logarithmic inequalities. Ang pinakasimpleng sa kanila ay sapat na madaling malutas. Paano ito gagawin upang malutas ang bawat isa sa kanila nang walang mga problema? Natanggap mo na ang lahat ng sagot sa artikulong ito. Ngayon ay mayroon kang mahabang pagsasanay sa unahan mo. Patuloy na magsanay sa paglutas ng iba't ibang mga problema sa loob ng pagsusulit at magagawa mong makuha ang pinakamataas na marka. Good luck sa iyong mahirap na trabaho!
Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Nagsasagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na logarithmic kung naglalaman ito logarithmic function.
Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi naiiba sa maliban sa dalawang bagay.
Una, kapag pumasa mula sa logarithmic inequality hanggang sa hindi pagkakapantay-pantay ng sublogarithmic function, ito ay sumusunod sundin ang palatandaan ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay. Sinusunod nito ang sumusunod na tuntunin.
Kung ang base ng logarithmic function ay mas malaki kaysa sa $1$, pagkatapos ay kapag pumasa mula sa logarithmic inequality sa hindi pagkakapantay-pantay ng sublogarithmic function, ang inequality sign ay pinapanatili, at kung ito ay mas mababa sa $1$, ito ay mababaligtad.
Pangalawa, ang solusyon ng anumang hindi pagkakapantay-pantay ay isang agwat, at, samakatuwid, sa pagtatapos ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ng mga sublogarithmic function, kinakailangan na bumuo ng isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay: ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistemang ito ay ang hindi pagkakapantay-pantay ng sublogarithmic function, at ang pangalawa ay ang agwat ng domain ng kahulugan ng logarithmic function na kasama sa logarithmic inequality.
Magsanay.
Lutasin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Ang base ng logarithm ay $2>1$, kaya hindi nagbabago ang sign. Gamit ang kahulugan ng logarithm, nakukuha natin ang:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )