Μαθηματικά είναι σύμβολο της σοφίας της επιστήμης,
ένα μοντέλο επιστημονικής αυστηρότητας και απλότητας,
το πρότυπο της αριστείας και της ομορφιάς στην επιστήμη.
Ο Ρώσος φιλόσοφος, καθηγητής A.V. Βολοσίνοφ
Ανισώσεις με συντελεστή
Τα πιο δύσκολα προς επίλυση προβλήματα στα σχολικά μαθηματικά είναι οι ανισότητες, που περιέχει μεταβλητές κάτω από το σύμβολο συντελεστή. Για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοιες ανισότητες, πρέπει να έχετε καλή γνώση των ιδιοτήτων της ενότητας και να έχετε τις δεξιότητες να τις χρησιμοποιήσετε.
Βασικές έννοιες και ιδιότητες
Συντελεστής (απόλυτη τιμή) ενός πραγματικού αριθμούσυμβολίζεται με και ορίζεται ως εξής:
ΠΡΟΣ ΤΗΝ απλές ιδιότητεςη ενότητα περιλαμβάνει τις ακόλουθες σχέσεις:
ΚΑΙ .
Σημείωση, ότι τα δύο τελευταία ακίνητα ισχύουν για οποιοδήποτε ζυγό βαθμό.
Επιπλέον, εάν, πού, τότε και
Πιο πολύπλοκες ιδιότητες μονάδας, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων με συντελεστές, διατυπώνονται μέσω των παρακάτω θεωρημάτων:
Θεώρημα 1.Για οποιεσδήποτε αναλυτικές συναρτήσειςΚαι η ανισότητα είναι αλήθεια.
Θεώρημα 2.Ισότητα ισοδυναμεί με ανισότητα.
Θεώρημα 3.Ισότητα ισοδυναμεί με ανισότητα.
Οι πιο συχνές ανισότητες στα σχολικά μαθηματικά, που περιέχει άγνωστες μεταβλητές κάτω από το σύμβολο συντελεστή, είναι ανισότητες της μορφήςκαι που κάποια θετική σταθερά.
Θεώρημα 4.Ανισότητα ισοδυναμεί με διπλή ανισότητα, και η λύση της ανισότηταςανάγεται στην επίλυση ενός συνόλου ανισοτήτωνΚαι .
Αυτό το θεώρημα είναι μια ειδική περίπτωση των θεωρημάτων 6 και 7.
Πιο πολύπλοκες ανισότητες, που περιέχει μια ενότητα είναι ανισότητες της μορφής, Και .
Μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων ανισώσεων μπορούν να διατυπωθούν χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα τρία θεωρήματα.
Θεώρημα 5.Ανισότητα ισοδυναμεί με το συνδυασμό δύο συστημάτων ανισοτήτων
Ι (1)
Απόδειξη.Από τότε
Αυτό συνεπάγεται την εγκυρότητα του (1).
Θεώρημα 6.Ανισότητα ισοδυναμεί με το σύστημα των ανισοτήτων
Απόδειξη.Επειδή , τότε από την ανισότηταακολουθεί ότι . Υπό αυτή την προϋπόθεση, η ανισότητακαι σε αυτή την περίπτωση το δεύτερο σύστημα ανισοτήτων (1) θα αποδειχθεί ασυνεπές.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Θεώρημα 7.Ανισότητα ισοδυναμεί με τον συνδυασμό μιας ανισότητας και δύο συστημάτων ανισοτήτων
Ι (3)
Απόδειξη.Από τότε η ανισότητα εκτελείται πάντα, Αν .
Αφήστε, μετά ανισότηταθα ισοδυναμεί με ανισότητα, από το οποίο προκύπτει ένα σύνολο δύο ανισοτήτωνΚαι .
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ας δούμε χαρακτηριστικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στο θέμα «Ανισότητες, που περιέχει μεταβλητές κάτω από το σύμβολο του συντελεστή."
Επίλυση ανισώσεων με συντελεστή
Πλέον απλή μέθοδοςΗ επίλυση ανισώσεων με μέτρο είναι η μέθοδος, με βάση την επέκταση της ενότητας. Αυτή η μέθοδος είναι καθολική, Ωστόσο, στη γενική περίπτωση, η χρήση του μπορεί να οδηγήσει σε πολύ δυσκίνητους υπολογισμούς. Επομένως, οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν άλλες (πιο αποτελεσματικές) μεθόδους και τεχνικές για την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων. Συγκεκριμένα, είναι απαραίτητο να έχουν δεξιότητες στην εφαρμογή θεωρημάτων, δίνεται σε αυτό το άρθρο.
Παράδειγμα 1.Λύστε την ανισότητα
. (4)
Λύση.Θα λύσουμε την ανισότητα (4) χρησιμοποιώντας την "κλασική" μέθοδο - τη μέθοδο αποκάλυψης μονάδων. Για το σκοπό αυτό, διαιρούμε τον αριθμητικό άξονατελείες και ανά διαστήματα και εξετάστε τρεις περιπτώσεις.
1. Εάν , τότε , , , και η ανισότητα (4) παίρνει τη μορφήή .
Εφόσον η περίπτωση εξετάζεται εδώ, είναι μια λύση στην ανισότητα (4).
2. Εάν, τότε από την ανισότητα (4) παίρνουμεή . Από τη διασταύρωση των διαστημάτωνΚαι είναι άδειο, τότε στο διάστημα των λύσεων που εξετάζουμε δεν υπάρχει ανισότητα (4).
3. Εάν, τότε η ανισότητα (4) παίρνει τη μορφήή . Είναι προφανές ότι είναι επίσης μια λύση στην ανισότητα (4).
Απάντηση: , .
Παράδειγμα 2.Λύστε την ανισότητα.
Λύση.Ας υποθέσουμε ότι. Επειδή , τότε η δεδομένη ανισότητα παίρνει τη μορφήή . Από τότε και από εδώ ακολουθείή .
Ωστόσο, επομένως ή.
Παράδειγμα 3.Λύστε την ανισότητα
. (5)
Λύση.Επειδή , τότε η ανισότητα (5) είναι ισοδύναμη με τις ανισώσειςή . Από εδώ, σύμφωνα με το Θεώρημα 4, έχουμε ένα σύνολο ανισοτήτωνΚαι .
Απάντηση: , .
Παράδειγμα 4.Λύστε την ανισότητα
. (6)
Λύση.Ας υποδηλώσουμε . Τότε από την ανισότητα (6) παίρνουμε τις ανισώσεις , , ή .
Από εδώ, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος, παίρνουμε . Επειδή , τότε εδώ έχουμε ένα σύστημα ανισοτήτων
Η λύση στην πρώτη ανισότητα του συστήματος (7) είναι η ένωση δύο διαστημάτωνΚαι , και η λύση της δεύτερης ανισότητας είναι η διπλή ανισότητα. Αυτό υπονοεί , ότι η λύση στο σύστημα των ανισώσεων (7) είναι η ένωση δύο διαστημάτωνΚαι .
Απάντηση:,
Παράδειγμα 5.Λύστε την ανισότητα
. (8)
Λύση. Ας μετατρέψουμε την ανισότητα (8) ως εξής:
Ή .
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος, παίρνουμε μια λύση στην ανισότητα (8).
Απάντηση: .
Σημείωση. Αν βάλουμε και στις συνθήκες του Θεωρήματος 5, λαμβάνουμε .
Παράδειγμα 6.Λύστε την ανισότητα
. (9)
Λύση. Από την ανισότητα (9) προκύπτει. Ας μετατρέψουμε την ανισότητα (9) ως εξής:
Ή
Από τότε ή .
Απάντηση: .
Παράδειγμα 7.Λύστε την ανισότητα
. (10)
Λύση.Αφού και , τότε ή .
Από αυτή την άποψη και η ανισότητα (10) παίρνει τη μορφή
Ή
. (11)
Από αυτό προκύπτει ότι ή . Αφού , τότε η ανισότητα (11) συνεπάγεται επίσης ή .
Απάντηση: .
Σημείωση. Αν εφαρμόσουμε το Θεώρημα 1 στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης (10), τότε παίρνουμε . Από αυτό και την ανισότητα (10) προκύπτει, τι ή . Επειδή , τότε η ανισότητα (10) παίρνει τη μορφήή .
Παράδειγμα 8.Λύστε την ανισότητα
. (12)
Λύση.Από τότε και από την ανισότητα (12) προκύπτειή . Ωστόσο, επομένως ή. Από εδώ παίρνουμε ή .
Απάντηση: .
Παράδειγμα 9.Λύστε την ανισότητα
. (13)
Λύση.Σύμφωνα με το Θεώρημα 7, η λύση της ανισότητας (13) είναι ή .
Ας είναι τώρα. Σε αυτήν την περίπτωση και η ανισότητα (13) παίρνει τη μορφήή .
Αν συνδυάσετε τα διαστήματαΚαι , τότε παίρνουμε λύση στην ανισότητα (13) της μορφής.
Παράδειγμα 10.Λύστε την ανισότητα
. (14)
Λύση.Ας ξαναγράψουμε την ανισότητα (14) σε ισοδύναμη μορφή: . Αν εφαρμόσουμε το Θεώρημα 1 στην αριστερή πλευρά αυτής της ανισότητας, λαμβάνουμε την ανισότητα .
Από εδώ και από το Θεώρημα 1 προκύπτει, ότι η ανισότητα (14) ικανοποιείται για οποιεσδήποτε τιμές.
Απάντηση: οποιοσδήποτε αριθμός.
Παράδειγμα 11.Λύστε την ανισότητα
. (15)
Λύση. Εφαρμογή του Θεωρήματος 1 στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης (15), παίρνουμε . Αυτό και η ανισότητα (15) δίνουν την εξίσωση, που έχει τη μορφή.
Σύμφωνα με το Θεώρημα 3, η εξίσωση ισοδυναμεί με ανισότητα. Από εδώ παίρνουμε.
Παράδειγμα 12.Λύστε την ανισότητα
. (16)
Λύση. Από την ανισότητα (16), σύμφωνα με το Θεώρημα 4, προκύπτει ένα σύστημα ανισώσεων
Κατά την επίλυση της ανισότηταςΑς χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 6 και πάρουμε ένα σύστημα ανισώσεωναπό το οποίο προκύπτει.
Σκεφτείτε την ανισότητα. Σύμφωνα με το Θεώρημα 7, λαμβάνουμε ένα σύνολο ανισοτήτωνΚαι . Η δεύτερη πληθυσμιακή ανισότητα ισχύει για κάθε πραγματικό.
Ως εκ τούτου , η λύση στην ανισότητα (16) είναι.
Παράδειγμα 13.Λύστε την ανισότητα
. (17)
Λύση.Σύμφωνα με το Θεώρημα 1, μπορούμε να γράψουμε
(18)
Λαμβάνοντας υπόψη την ανισότητα (17), συμπεραίνουμε ότι και οι δύο ανισότητες (18) μετατρέπονται σε ισότητες, δηλ. υπάρχει ένα σύστημα εξισώσεων
Με το Θεώρημα 3 αυτό το σύστημαεξισώσεις είναι ισοδύναμο με το σύστημα των ανισοτήτων
ή
Παράδειγμα 14.Λύστε την ανισότητα
. (19)
Λύση.Από τότε. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας (19) με την έκφραση , η οποία παίρνει μόνο θετικές τιμές για οποιεσδήποτε τιμές. Τότε λαμβάνουμε μια ανισότητα που είναι ισοδύναμη με την ανισότητα (19), της μορφής
Από εδώ φτάνουμε ή , πού . Αφού και τότε η λύση της ανισότητας (19) είναιΚαι .
Απάντηση: , .
Για μια πιο εις βάθος μελέτη των μεθόδων επίλυσης ανισοτήτων με συντελεστή, συνιστούμε να στραφείτε σε σχολικά βιβλία, δίνεται στον κατάλογο της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.
1. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους στα κολέγια / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – Μ.: Ειρήνη και Παιδεία, 2013. – 608 σελ.
2. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: μέθοδοι επίλυσης και απόδειξης ανισοτήτων. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 σελ.
3. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: μη τυπικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων. – Μ.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 σελ.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Συντελεστής αριθμώνΑυτός ο ίδιος ο αριθμός ονομάζεται αν είναι μη αρνητικός ή ο ίδιος αριθμός με το αντίθετο πρόσημο αν είναι αρνητικός.
Για παράδειγμα, ο συντελεστής του αριθμού 6 είναι 6 και ο συντελεστής του αριθμού -6 είναι επίσης 6.
Δηλαδή, ο συντελεστής ενός αριθμού νοείται ως η απόλυτη τιμή, η απόλυτη τιμή αυτού του αριθμού χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πρόσημο του.
Ορίζεται ως εξής: |6|, | Χ|, |ΕΝΑ| και τα λοιπά.
(Περισσότερες λεπτομέρειες στην ενότητα "Αριθμός ενότητα").
Εξισώσεις με συντελεστή.
Παράδειγμα 1 . Λύστε την εξίσωση|10 Χ - 5| = 15.
Λύση.
Σύμφωνα με τον κανόνα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τον συνδυασμό δύο εξισώσεων:
10Χ - 5 = 15
10Χ - 5 = -15
Εμείς αποφασίζουμε:
10Χ = 15 + 5 = 20
10Χ = -15 + 5 = -10
Χ = 20: 10
Χ = -10: 10
Χ = 2
Χ = -1
Απάντηση: Χ 1 = 2, Χ 2 = -1.
Παράδειγμα 2 . Λύστε την εξίσωση|2 Χ + 1| = Χ + 2.
Λύση.
Αφού ο συντελεστής είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε Χ+ 2 ≥ 0. Συνεπώς:
Χ ≥ -2.
Ας κάνουμε δύο εξισώσεις:
2Χ + 1 = Χ + 2
2Χ + 1 = -(Χ + 2)
Εμείς αποφασίζουμε:
2Χ + 1 = Χ + 2
2Χ + 1 = -Χ - 2
2Χ - Χ = 2 - 1
2Χ + Χ = -2 - 1
Χ = 1
Χ = -1
Και οι δύο αριθμοί είναι μεγαλύτεροι από -2. Άρα και τα δύο είναι ρίζες της εξίσωσης.
Απάντηση: Χ 1 = -1, Χ 2 = 1.
Παράδειγμα 3
. Λύστε την εξίσωση
|Χ + 3| - 1
————— = 4
Χ - 1
Λύση.
Η εξίσωση έχει νόημα εάν ο παρονομαστής δεν είναι ίσο με μηδέν- σημαίνει εάν Χ≠ 1. Ας λάβουμε υπόψη αυτή τη συνθήκη. Η πρώτη μας ενέργεια είναι απλή - δεν ξεφορτώνουμε απλώς το κλάσμα, αλλά το μετασχηματίζουμε έτσι ώστε να αποκτήσουμε τη μονάδα στην καθαρή της μορφή:
|Χ+ 3| - 1 = 4 · ( Χ - 1),
|Χ + 3| - 1 = 4Χ - 4,
|Χ + 3| = 4Χ - 4 + 1,
|Χ + 3| = 4Χ - 3.
Τώρα έχουμε μόνο μια έκφραση κάτω από το μέτρο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Προχώρα.
Ο συντελεστής ενός αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός - δηλαδή, πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το μηδέν ή ίσος με το μηδέν. Αντίστοιχα, λύνουμε την ανισότητα:
4Χ - 3 ≥ 0
4Χ ≥ 3
Χ ≥ 3/4
Έτσι, έχουμε μια δεύτερη συνθήκη: η ρίζα της εξίσωσης πρέπει να είναι τουλάχιστον 3/4.
Σύμφωνα με τον κανόνα, συνθέτουμε ένα σύνολο δύο εξισώσεων και τις λύνουμε:
Χ + 3 = 4Χ - 3
Χ + 3 = -(4Χ - 3)
Χ + 3 = 4Χ - 3
Χ + 3 = -4Χ + 3
Χ - 4Χ = -3 - 3
Χ + 4Χ = 3 - 3
Χ = 2
Χ = 0
Λάβαμε δύο απαντήσεις. Ας ελέγξουμε αν είναι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Είχαμε δύο προϋποθέσεις: η ρίζα της εξίσωσης δεν μπορεί να είναι ίση με 1 και πρέπει να είναι τουλάχιστον 3/4. Αυτό είναι Χ ≠ 1, Χ≥ 3/4. Και οι δύο αυτές συνθήκες αντιστοιχούν μόνο σε μία από τις δύο απαντήσεις που ελήφθησαν - τον αριθμό 2. Αυτό σημαίνει ότι μόνο αυτή είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Απάντηση: Χ = 2.
Ανισώσεις με συντελεστή.
Παράδειγμα 1 . Λύστε την ανισότητα| Χ - 3| < 4
Λύση.
Ο κανόνας της ενότητας αναφέρει:
|ΕΝΑ| = ΕΝΑ, Αν ΕΝΑ ≥ 0.
|ΕΝΑ| = -ΕΝΑ, Αν ΕΝΑ < 0.
Η ενότητα μπορεί να έχει τόσο μη αρνητικούς όσο και αρνητικούς αριθμούς. Πρέπει λοιπόν να εξετάσουμε και τις δύο περιπτώσεις: Χ- 3 ≥ 0 και Χ - 3 < 0.
1) Πότε Χ- 3 ≥ 0 η αρχική μας ανισότητα παραμένει ως έχει, μόνο χωρίς το πρόσημο του συντελεστή:
Χ - 3 < 4.
2) Πότε Χ - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(Χ - 3) < 4.
Ανοίγοντας τις αγκύλες, παίρνουμε:
-Χ + 3 < 4.
Έτσι, από αυτές τις δύο συνθήκες καταλήξαμε στην ενοποίηση δύο συστημάτων ανισοτήτων:
Χ - 3 ≥ 0
Χ - 3 < 4
Χ - 3 < 0
-Χ + 3 < 4
Ας τα λύσουμε:
Χ ≥ 3
Χ < 7
Χ < 3
Χ > -1
Έτσι, η απάντησή μας είναι μια ένωση δύο συνόλων:
3 ≤ Χ < 7 U -1 < Χ < 3.
Προσδιορίστε το μικρότερο και υψηλότερη τιμή. Αυτά είναι -1 και 7. Επιπλέον Χμεγαλύτερο από -1 αλλά μικρότερο από 7.
Εκτός, Χ≥ 3. Αυτό σημαίνει ότι η λύση στην ανίσωση είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών από το -1 έως το 7, εξαιρουμένων αυτών των ακραίων αριθμών.
Απάντηση: -1 < Χ < 7.
Ή: Χ ∈ (-1; 7).
Πρόσθετα.
1) Υπάρχει ένας απλούστερος και συντομότερος τρόπος για να λύσουμε την ανισότητά μας - γραφικά. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να σχεδιάσετε έναν οριζόντιο άξονα (Εικ. 1).
Έκφραση | Χ - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Χστο σημείο 3 είναι μικρότερη από τέσσερις μονάδες. Σημειώνουμε τον αριθμό 3 στον άξονα και μετράμε 4 διαιρέσεις αριστερά και δεξιά από αυτόν. Στα αριστερά θα έρθουμε στο σημείο -1, στα δεξιά - στο σημείο 7. Έτσι, τα σημεία Χαπλά τα είδαμε χωρίς να τα υπολογίσουμε.
Επιπλέον, σύμφωνα με την συνθήκη ανισότητας, το -1 και το 7 δεν περιλαμβάνονται στο σύνολο των λύσεων. Έτσι, παίρνουμε την απάντηση:
1 < Χ < 7.
2) Υπάρχει όμως και άλλη λύση που είναι πιο απλή ακόμα και από τη γραφική μέθοδο. Για να γίνει αυτό, η ανισότητα μας πρέπει να παρουσιαστεί με την ακόλουθη μορφή:
4 < Χ - 3 < 4.
Άλλωστε έτσι είναι σύμφωνα με τον κανόνα του συντελεστή. Ο μη αρνητικός αριθμός 4 και ο παρόμοιος αρνητικός αριθμός -4 είναι τα όρια για την επίλυση της ανισότητας.
4 + 3 < Χ < 4 + 3
1 < Χ < 7.
Παράδειγμα 2 . Λύστε την ανισότητα| Χ - 2| ≥ 5
Λύση.
Αυτό το παράδειγμα διαφέρει σημαντικά από το προηγούμενο. Αριστερή πλευράμεγαλύτερος του 5 ή ίσος του 5. Από γεωμετρικής άποψης, η λύση της ανίσωσης είναι όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται σε απόσταση 5 μονάδων ή περισσότερο από το σημείο 2 (Εικ. 2). Το γράφημα δείχνει ότι όλοι αυτοί είναι αριθμοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι με -3 και μεγαλύτεροι ή ίσοι με 7. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε ήδη λάβει την απάντηση.
Απάντηση: -3 ≥ Χ ≥ 7.
Στην πορεία, λύνουμε την ίδια ανισότητα αναδιατάσσοντας τον ελεύθερο όρο προς τα αριστερά και προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο:
5 ≥ Χ - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ Χ ≥ 5 + 2
Η απάντηση είναι η ίδια: -3 ≥ Χ ≥ 7.
Ή: Χ ∈ [-3; 7]
Το παράδειγμα λύνεται.
Παράδειγμα 3 . Λύστε την ανισότητα 6 Χ 2 - | Χ| - 2 ≤ 0
Λύση.
Αριθμός Χμπορεί να είναι θετικός αριθμός, αρνητικός αριθμός ή μηδέν. Επομένως, πρέπει να λάβουμε υπόψη και τις τρεις συνθήκες. Όπως γνωρίζετε, λαμβάνονται υπόψη σε δύο ανισότητες: Χ≥ 0 και Χ < 0. При Χ≥ 0 απλώς ξαναγράφουμε την αρχική μας ανισότητα ως έχει, μόνο χωρίς το πρόσημο του συντελεστή:
6 x 2 - Χ - 2 ≤ 0.
Τώρα για τη δεύτερη περίπτωση: αν Χ < 0. Модулем αρνητικός αριθμόςείναι ο ίδιος αριθμός με το αντίθετο πρόσημο. Δηλαδή, γράφουμε τον αριθμό κάτω από το μέτρο με το αντίθετο πρόσημο και ελευθερώνουμε ξανά τον εαυτό μας από το πρόσημο:
6Χ 2 - (-Χ) - 2 ≤ 0.
Επέκταση των παρενθέσεων:
6Χ 2 + Χ - 2 ≤ 0.
Έτσι, λάβαμε δύο συστήματα εξισώσεων:
6Χ 2 - Χ - 2 ≤ 0
Χ ≥ 0
6Χ 2 + Χ - 2 ≤ 0
Χ < 0
Πρέπει να λύσουμε ανισότητες σε συστήματα - και αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε τις ρίζες δύο τετραγωνικών εξισώσεων. Για να γίνει αυτό, εξισώνουμε τις αριστερές πλευρές των ανισώσεων με μηδέν.
Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο:
6Χ 2 - Χ - 2 = 0.
Πώς να λύσετε τετραγωνική εξίσωση- δείτε την ενότητα «Τετραγωνική εξίσωση». Θα ονομάσουμε αμέσως την απάντηση:
Χ 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
Από το πρώτο σύστημα ανισώσεων προκύπτει ότι η λύση της αρχικής ανισότητας είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών από -1/2 έως 2/3. Γράφουμε την ένωση λύσεων στο Χ ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη τετραγωνική εξίσωση:
6Χ 2 + Χ - 2 = 0.
Οι ρίζες του:
Χ 1 = -2/3, Χ 2 = 1/2.
Συμπέρασμα: πότε Χ < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Ας συνδυάσουμε τις δύο απαντήσεις και πάρουμε την τελική απάντηση: η λύση είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών από -2/3 έως 2/3, συμπεριλαμβανομένων αυτών των ακραίων αριθμών.
Απάντηση: -2/3 ≤ Χ ≤ 2/3.
Ή: Χ ∈ [-2/3; 2/3].
Σήμερα, φίλοι, δεν θα υπάρχει μύξα και συναισθηματισμός. Αντίθετα, θα σας στείλω, χωρίς ερωτήσεις, στη μάχη με έναν από τους πιο τρομερούς αντιπάλους στο μάθημα της άλγεβρας 8ης-9ης τάξης.
Ναι, τα καταλάβατε όλα σωστά: μιλάμε για ανισότητες με συντελεστή. Θα εξετάσουμε τέσσερις βασικές τεχνικές με τις οποίες θα μάθετε να λύνετε περίπου το 90% τέτοιων προβλημάτων. Τι γίνεται με το υπόλοιπο 10%; Λοιπόν, θα μιλήσουμε για αυτά σε ένα ξεχωριστό μάθημα. :)
Ωστόσο, πριν αναλύσω κάποια από τις τεχνικές, θα ήθελα να σας υπενθυμίσω δύο γεγονότα που πρέπει ήδη να γνωρίζετε. Διαφορετικά, κινδυνεύετε να μην κατανοήσετε καθόλου το υλικό του σημερινού μαθήματος.
Τι πρέπει ήδη να γνωρίζετε
Ο Captain Obviousness φαίνεται να υπαινίσσεται ότι για να λύσετε ανισότητες με συντελεστή πρέπει να γνωρίζετε δύο πράγματα:
- Πώς επιλύονται οι ανισότητες.
- Τι είναι μια ενότητα;
Ας ξεκινήσουμε με το δεύτερο σημείο.
Ορισμός ενότητας
Όλα είναι απλά εδώ. Υπάρχουν δύο ορισμοί: αλγεβρικός και γραφικός. Για αρχή - αλγεβρικό:
Ορισμός. Το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού $x$ είναι είτε ο ίδιος ο αριθμός, εάν δεν είναι αρνητικός, είτε ο αριθμός απέναντι από αυτόν, εάν το αρχικό $x$ εξακολουθεί να είναι αρνητικό.
Είναι γραμμένο έτσι:
\[\αριστερά| x \δεξιά|=\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Ομιλία σε απλή γλώσσα, ο συντελεστής είναι "ένας αριθμός χωρίς μείον". Και σε αυτή τη δυαδικότητα (σε ορισμένα μέρη δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα με τον αρχικό αριθμό, αλλά σε άλλα θα πρέπει να αφαιρέσετε κάποιο είδος μείον) εκεί βρίσκεται η όλη δυσκολία για τους αρχάριους μαθητές.
Υπάρχει κάποιο άλλο γεωμετρικός ορισμός. Είναι επίσης χρήσιμο να το γνωρίζουμε, αλλά θα στραφούμε σε αυτό μόνο σε περίπλοκες και ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, όπου η γεωμετρική προσέγγιση είναι πιο βολική από την αλγεβρική (σπόιλερ: όχι σήμερα).
Ορισμός. Αφήστε το σημείο $a$ να σημειωθεί στην αριθμητική γραμμή. Στη συνέχεια, η ενότητα $\left| x-a \right|$ είναι η απόσταση από το σημείο $x$ στο σημείο $a$ αυτής της γραμμής.
Εάν σχεδιάσετε μια εικόνα, θα λάβετε κάτι σαν αυτό:
Ορισμός γραφικής μονάδας Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, από τον ορισμό μιας ενότητας προκύπτει αμέσως η βασική ιδιότητά της: το μέτρο ενός αριθμού είναι πάντα ένα μη αρνητικό μέγεθος. Αυτό το γεγονός θα είναι μια κόκκινη κλωστή που θα διατρέχει ολόκληρη την αφήγησή μας σήμερα.
Επίλυση ανισοτήτων. Μέθοδος διαστήματος
Τώρα ας δούμε τις ανισότητες. Υπάρχουν πάρα πολλά από αυτά, αλλά το καθήκον μας τώρα είναι να μπορέσουμε να λύσουμε τουλάχιστον τα πιο απλά από αυτά. Αυτά που ανάγονται σε γραμμικές ανισότητες, καθώς και στη μέθοδο του διαστήματος.
Έχω δύο μεγάλα μαθήματα για αυτό το θέμα (παρεμπιπτόντως, πολύ, ΠΟΛΥ χρήσιμα - συνιστώ να τα μελετήσετε):
- Μέθοδος διαστήματος για ανισότητες (ειδικά δείτε το βίντεο).
- Οι κλασματικές ορθολογικές ανισότητες είναι ένα πολύ εκτενές μάθημα, αλλά μετά από αυτό δεν θα έχετε καθόλου ερωτήσεις.
Εάν τα γνωρίζετε όλα αυτά, εάν η φράση "ας περάσουμε από την ανισότητα στην εξίσωση" δεν σας κάνει να έχετε μια αόριστη επιθυμία να χτυπήσετε τον εαυτό σας στον τοίχο, τότε είστε έτοιμοι: καλώς ήρθατε στην κόλαση στο κύριο θέμα του μαθήματος. :)
1. Ανισώσεις της μορφής «Η μονάδα είναι μικρότερη από τη συνάρτηση»
Αυτό είναι ένα από τα πιο κοινά προβλήματα με τις ενότητες. Απαιτείται για την επίλυση μιας ανισότητας της μορφής:
\[\αριστερά| f\right| \ltg\]
Οι συναρτήσεις $f$ και $g$ μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά συνήθως είναι πολυώνυμα. Παραδείγματα τέτοιων ανισοτήτων:
\[\αρχή(στοίχιση) & \αριστερά| 2x+3 \δεξιά| \lt x+7; \\ & \αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \αριστερά| ((x)^(2))-2\αριστερά| x \δεξιά|-3 \δεξιά| \lt 2. \\\end(align)\]
Όλα αυτά μπορούν να λυθούν κυριολεκτικά σε μία γραμμή σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:
\[\αριστερά| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end (align) \δεξιά.\δεξιά)\]
Είναι εύκολο να δούμε ότι απαλλαγούμε από τη μονάδα, αλλά σε αντάλλαγμα παίρνουμε μια διπλή ανισότητα (ή, που είναι το ίδιο πράγμα, ένα σύστημα δύο ανισοτήτων). Αλλά αυτή η μετάβαση λαμβάνει υπόψη απολύτως τα πάντα πιθανά προβλήματα: εάν ο αριθμός κάτω από το συντελεστή είναι θετικός, η μέθοδος λειτουργεί. Αν είναι αρνητικό, εξακολουθεί να λειτουργεί. και ακόμη και με την πιο ανεπαρκή συνάρτηση στη θέση των $f$ ή $g$, η μέθοδος θα εξακολουθεί να λειτουργεί.
Φυσικά, τίθεται το ερώτημα: δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό; Δυστυχώς δεν γίνεται. Αυτό είναι όλο το νόημα της ενότητας.
Αρκετά όμως με τη φιλοσοφία. Ας λύσουμε μερικά προβλήματα:
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| 2x+3 \δεξιά| \lt x+7\]
Λύση. Έχουμε, λοιπόν, μπροστά μας μια κλασική ανισότητα της μορφής «ο συντελεστής είναι μικρότερος» - δεν υπάρχει καν τίποτα να μεταμορφωθεί. Εργαζόμαστε σύμφωνα με τον αλγόριθμο:
\[\αρχή(στοίχιση) & \αριστερά| f\right| \lt g\Δεξί βέλος -g \lt f \lt g; \\ & \αριστερά| 2x+3 \δεξιά| \lt x+7\Δεξί βέλος -\αριστερά(x+7 \δεξιά) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(στοίχιση)\]
Μην βιαστείτε να ανοίξετε τις παρενθέσεις που προηγούνται από ένα «μείον»: είναι πολύ πιθανό λόγω της βιασύνης σας να κάνετε ένα προσβλητικό λάθος.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Το πρόβλημα περιορίστηκε σε δύο στοιχειώδεις ανισότητες. Ας σημειώσουμε τις λύσεις τους σε παράλληλες αριθμητικές ευθείες:
Διασταύρωση πολλών
Η διασταύρωση αυτών των συνόλων θα είναι η απάντηση.
Απάντηση: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Λύση. Αυτό το έργο είναι λίγο πιο δύσκολο. Αρχικά, ας απομονώσουμε τη λειτουργική μονάδα μετακινώντας τον δεύτερο όρο προς τα δεξιά:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\αριστερά(x+1 \δεξιά)\]
Προφανώς, έχουμε και πάλι μια ανισότητα της μορφής "η ενότητα είναι μικρότερη", οπότε απαλλαγούμε από τη μονάδα χρησιμοποιώντας τον ήδη γνωστό αλγόριθμο:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Τώρα προσοχή: κάποιος θα πει ότι είμαι λίγο διεστραμμένος με όλες αυτές τις παρενθέσεις. Αλλά να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι ο βασικός μας στόχος είναι λύστε σωστά την ανίσωση και λάβετε την απάντηση. Αργότερα, όταν έχετε κατακτήσει τέλεια όλα όσα περιγράφονται σε αυτό το μάθημα, μπορείτε να τα διαστρεβλώσετε μόνοι σας όπως θέλετε: ανοίξτε παρενθέσεις, προσθέστε πλην κ.λπ.
Αρχικά, απλά θα απαλλαγούμε από το διπλό μείον στα αριστερά:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\αριστερά(x+1 \δεξιά)\]
Τώρα ας ανοίξουμε όλες τις αγκύλες στη διπλή ανισότητα:
Ας περάσουμε στη διπλή ανισότητα. Αυτή τη φορά οι υπολογισμοί θα είναι πιο σοβαροί:
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( στοίχιση)\δεξιά.\]
Και οι δύο ανισότητες είναι τετραγωνικές και μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος (γι' αυτό λέω: αν δεν ξέρετε τι είναι αυτό, είναι καλύτερα να μην αναλάβετε ακόμη ενότητες). Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση στην πρώτη ανισότητα:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(στοίχιση)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, η έξοδος είναι μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση, η οποία μπορεί να λυθεί με στοιχειώδη τρόπο. Ας δούμε τώρα τη δεύτερη ανισότητα του συστήματος. Εκεί θα πρέπει να εφαρμόσετε το θεώρημα του Vieta:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(στοίχιση)\]
Σημειώνουμε τους αριθμούς που προκύπτουν σε δύο παράλληλες ευθείες (χωριστές για την πρώτη ανισότητα και ξεχωριστές για τη δεύτερη):
Και πάλι, εφόσον λύνουμε ένα σύστημα ανισώσεων, μας ενδιαφέρει η τομή των σκιασμένων συνόλων: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Αυτή είναι η απάντηση.
Απάντηση: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Νομίζω ότι μετά από αυτά τα παραδείγματα το σχέδιο λύσης είναι εξαιρετικά σαφές:
- Απομονώστε τη μονάδα μετακινώντας όλους τους άλλους όρους στην αντίθετη πλευρά της ανισότητας. Έτσι παίρνουμε μια ανισότητα της μορφής $\left| f\right| \ltg$.
- Επιλύστε αυτήν την ανισότητα απαλλαγείτε από τη μονάδα σύμφωνα με το σχήμα που περιγράφεται παραπάνω. Σε κάποιο σημείο, θα χρειαστεί να περάσουμε από τη διπλή ανισότητα σε ένα σύστημα δύο ανεξάρτητων εκφράσεων, καθεμία από τις οποίες μπορεί ήδη να λυθεί ξεχωριστά.
- Τέλος, το μόνο που μένει είναι να διασταυρωθούν οι λύσεις αυτών των δύο ανεξάρτητων εκφράσεων - και αυτό είναι, θα πάρουμε την τελική απάντηση.
Παρόμοιος αλγόριθμος υπάρχει για ανισώσεις του παρακάτω τύπου, όταν το μέτρο είναι μεγαλύτερο από τη συνάρτηση. Ωστόσο, υπάρχουν μερικά σοβαρά «αλλά». Θα μιλήσουμε για αυτά τα «αλλά» τώρα.
2. Ανισώσεις της μορφής «Η μονάδα είναι μεγαλύτερη από τη συνάρτηση»
Μοιάζουν με αυτό:
\[\αριστερά| f\right| \gtg\]
Παρόμοιο με το προηγούμενο; Φαίνεται. Κι όμως τέτοια προβλήματα λύνονται με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Επίσημα, το πρόγραμμα έχει ως εξής:
\[\αριστερά| f\right| \gt g\Δεξί βέλος \αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Με άλλα λόγια, εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:
- Πρώτον, απλώς αγνοούμε την ενότητα και λύνουμε τη συνηθισμένη ανισότητα.
- Στη συνέχεια, στην ουσία, επεκτείνουμε τη μονάδα με το πρόσημο μείον και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με −1, ενώ έχω το πρόσημο.
Σε αυτή την περίπτωση, οι επιλογές συνδυάζονται με τετράγωνο βραχίονα, δηλ. Έχουμε μπροστά μας έναν συνδυασμό δύο απαιτήσεων.
Παρακαλώ σημειώστε ξανά: αυτό δεν είναι ένα σύστημα, αλλά μια ολότητα, επομένως στην απάντηση τα σύνολα συνδυάζονται αντί να τέμνονται. Αυτή είναι μια θεμελιώδης διαφορά από το προηγούμενο σημείο!
Σε γενικές γραμμές, πολλοί μαθητές μπερδεύονται εντελώς με τα σωματεία και τις διασταυρώσεις, οπότε ας λύσουμε αυτό το ζήτημα μια για πάντα:
- Το "∪" είναι ένα σύμβολο ένωσης. Ουσιαστικά πρόκειται για ένα στυλιζαρισμένο γράμμα "U" που μας ήρθε Στα Αγγλικάκαι είναι συντομογραφία του «Ένωση», δηλ. «Σύλλογοι».
- Το "∩" είναι το σημάδι τομής. Αυτό το χάλι δεν προήλθε από πουθενά, αλλά απλώς εμφανίστηκε ως αντίστιξη στο "∪".
Για να είναι ακόμα πιο εύκολο να θυμάστε, απλώς τραβήξτε τα πόδια σε αυτά τα σημάδια για να φτιάξετε γυαλιά (απλώς μην με κατηγορείτε τώρα ότι προάω τον εθισμό στα ναρκωτικά και τον αλκοολισμό: αν μελετάτε σοβαρά αυτό το μάθημα, τότε είστε ήδη τοξικομανής):
Διαφορά μεταξύ τομής και ένωσης συνόλων Μεταφρασμένο στα ρωσικά, αυτό σημαίνει το εξής: η ένωση (ολότητα) περιλαμβάνει στοιχεία και από τα δύο σύνολα, επομένως δεν είναι σε καμία περίπτωση λιγότερο από καθένα από αυτά. αλλά η τομή (σύστημα) περιλαμβάνει μόνο εκείνα τα στοιχεία που βρίσκονται ταυτόχρονα και στο πρώτο σύνολο και στο δεύτερο. Επομένως, η τομή των συνόλων δεν είναι ποτέ μεγαλύτερη από τα σύνολα πηγών.
Έτσι έγινε πιο ξεκάθαρο; Αυτό είναι υπέροχο. Ας προχωρήσουμε στην εξάσκηση.
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| 3x+1 \δεξιά| \gt 5-4x\]
Λύση. Προχωράμε σύμφωνα με το σχήμα:
\[\αριστερά| 3x+1 \δεξιά| \gt 5-4x\Δεξί βέλος \αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\αριστερά(5-4x \δεξιά) \\\end(στοίχιση) \ σωστά.\]
Επιλύουμε κάθε ανισότητα στον πληθυσμό:
\[\αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
\[\αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Σημειώνουμε κάθε σύνολο που προκύπτει στην αριθμητική γραμμή και μετά τα συνδυάζουμε:
Ένωση συνόλων
Είναι προφανές ότι η απάντηση θα είναι $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Απάντηση: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
Λύση. Καλά? Τίποτα - όλα είναι ίδια. Μεταβαίνουμε από μια ανισότητα με συντελεστή σε ένα σύνολο δύο ανισώσεων:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Δεξί βέλος \αριστερά[ \αρχή(στοίχιση) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]
Λύνουμε κάθε ανισότητα. Δυστυχώς, οι ρίζες εκεί δεν θα είναι πολύ καλές:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(στοίχιση)\]
Η δεύτερη ανισότητα είναι επίσης λίγο άγρια:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(στοίχιση)\]
Τώρα πρέπει να σημειώσετε αυτούς τους αριθμούς σε δύο άξονες - έναν άξονα για κάθε ανισότητα. Ωστόσο, τα σημεία πρέπει να σημειωθούν με τη σωστή σειρά: πως μεγαλύτερο αριθμό, τόσο περισσότερο μετατοπίζουμε το σημείο προς τα δεξιά.
Και εδώ μας περιμένει ένα στήσιμο. Αν όλα είναι ξεκάθαρα με τους αριθμούς $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (οι όροι στον αριθμητή του πρώτου το κλάσμα είναι μικρότερο από τους όρους στον αριθμητή του δευτερολέπτου, επομένως το άθροισμα είναι επίσης μικρότερο), με τους αριθμούς $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21)) (2)$ επίσης δεν θα υπάρχουν δυσκολίες (θετικός αριθμός προφανώς πιο αρνητικός), τότε με το τελευταίο ζευγάρι δεν είναι όλα τόσο ξεκάθαρα. Ποιο είναι μεγαλύτερο: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ή $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$; Η τοποθέτηση σημείων στις αριθμογραμμές και, μάλιστα, η απάντηση θα εξαρτηθεί από την απάντηση σε αυτή την ερώτηση.
Ας συγκρίνουμε λοιπόν:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
Απομονώσαμε τη ρίζα, πήραμε μη αρνητικούς αριθμούς και στις δύο πλευρές της ανίσωσης, επομένως έχουμε το δικαίωμα να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Νομίζω ότι δεν είναι καθόλου έξυπνο ότι $4\sqrt(13) \gt 3$, άρα $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, τα τελικά σημεία στους άξονες θα τοποθετηθούν ως εξής:
Μια περίπτωση άσχημων ριζών
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι λύνουμε ένα σύνολο, οπότε η απάντηση θα είναι μια ένωση, όχι μια διασταύρωση σκιασμένων συνόλων.
Απάντηση: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Όπως μπορείτε να δείτε, το πρόγραμμά μας λειτουργεί εξαιρετικά και για τα δύο απλές εργασίες, και για πολύ σκληρούς. Το μόνο «αδύνατο σημείο» σε αυτήν την προσέγγιση είναι ότι πρέπει να συγκρίνετε σωστά τους παράλογους αριθμούς (και πιστέψτε με: αυτοί δεν είναι μόνο ρίζες). Αλλά ένα ξεχωριστό (και πολύ σοβαρό) μάθημα θα αφιερωθεί σε ζητήματα σύγκρισης. Και προχωράμε.
3. Ανισότητες με μη αρνητικές «ουρές»
Τώρα φτάνουμε στο πιο ενδιαφέρον κομμάτι. Αυτές είναι οι ανισότητες της μορφής:
\[\αριστερά| f\right| \gt\αριστερά| g\δεξιά|\]
Σε γενικές γραμμές, ο αλγόριθμος για τον οποίο θα μιλήσουμε τώρα είναι σωστός μόνο για την ενότητα. Λειτουργεί σε όλες τις ανισότητες όπου υπάρχουν εγγυημένες μη αρνητικές εκφράσεις αριστερά και δεξιά:
Τι να κάνετε με αυτές τις εργασίες; Απλά θυμήσου:
Σε ανισότητες με μη αρνητικές «ουρές», και οι δύο πλευρές μπορούν να ανυψωθούν σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη. Κανένας πρόσθετους περιορισμούςδεν θα προκύψει.
Πρώτα απ 'όλα, θα μας ενδιαφέρει ο τετραγωνισμός - καίει ενότητες και ρίζες:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(στοίχιση)\]
Απλώς μην το συγχέετε με τη λήψη της ρίζας ενός τετραγώνου:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\αριστερά| f \right|\ne f\]
Έγιναν αμέτρητα λάθη όταν ένας μαθητής ξέχασε να εγκαταστήσει μια ενότητα! Αλλά αυτή είναι μια εντελώς διαφορετική ιστορία (είναι σαν παράλογες εξισώσεις), οπότε δεν θα μπούμε σε αυτό τώρα. Ας λύσουμε καλύτερα μερικά προβλήματα:
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| x+2 \δεξιά|\ge \αριστερά| 1-2x \δεξιά|\]
Λύση. Ας προσέξουμε αμέσως δύο πράγματα:
- Δεν πρόκειται για αυστηρή ανισότητα. Τα σημεία στην αριθμητική γραμμή θα τρυπηθούν.
- Και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι προφανώς μη αρνητικές (αυτή είναι μια ιδιότητα της ενότητας: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Επομένως, μπορούμε να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας για να απαλλαγούμε από το μέτρο και να λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη συνήθη μέθοδο διαστήματος:
\[\αρχή(στοίχιση) & ((\αριστερά(\αριστερά| x+2 \δεξιά| \δεξιά))^(2))\ge ((\αριστερά(\αριστερά| 1-2x \δεξιά| \δεξιά) )^(2)); \\ & ((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(2))\ge ((\αριστερά(2x-1 \δεξιά))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]
Επί τελευταίο βήμαΑπάτησα λίγο: άλλαξα την ακολουθία των όρων, εκμεταλλευόμενος την ομοιόμορφη ενότητα (στην πραγματικότητα, πολλαπλασίασα την έκφραση $1-2x$ επί −1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ δεξιά)\δεξιά)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(στοίχιση)\]
Λύνουμε με τη μέθοδο του διαστήματος. Ας περάσουμε από την ανισότητα στην εξίσωση:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(στοίχιση)\]
Σημειώνουμε τις ρίζες που βρέθηκαν στην αριθμητική γραμμή. Για άλλη μια φορά: όλα τα σημεία σκιάζονται επειδή η αρχική ανισότητα δεν είναι αυστηρή!
Απαλλαγείτε από το σύμβολο του συντελεστή
Επιτρέψτε μου να σας θυμίσω για όσους είναι ιδιαίτερα πεισματάρηδες: παίρνουμε τα σημάδια από την τελευταία ανισότητα, η οποία γράφτηκε πριν προχωρήσουμε στην εξίσωση. Και ζωγραφίζουμε τις περιοχές που απαιτούνται με την ίδια ανισότητα. Στην περίπτωσή μας είναι $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Εντάξει όλα τελείωσαν τώρα. Το πρόβλημα λύθηκε.
Απάντηση: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| ((x)^(2))+x+1 \δεξιά|\le \αριστερά| ((x)^(2))+3x+4 \δεξιά|\]
Λύση. Κάνουμε τα πάντα το ίδιο. Δεν θα σχολιάσω - απλά κοιτάξτε τη σειρά των ενεργειών.
Τετράγωνο:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \δεξιά))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ δεξιά))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \δεξιά)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(στοίχιση)\]
Μέθοδος διαστήματος:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Δεξιό βέλος x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Δεξί βέλος D=16-40 \lt 0\Δεξί βέλος \varnothing . \\\end(στοίχιση)\]
Υπάρχει μόνο μία ρίζα στην αριθμητική γραμμή:
Η απάντηση είναι ένα ολόκληρο διάστημα
Απάντηση: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Μια μικρή σημείωση για την τελευταία εργασία. Όπως σημείωσε με ακρίβεια ένας από τους μαθητές μου, και οι δύο υπομονάδες εκφράσεις σε αυτήν την ανισότητα είναι προφανώς θετικές, επομένως το πρόσημο του συντελεστή μπορεί να παραλειφθεί χωρίς να βλάψει την υγεία.
Αλλά αυτό είναι ένα εντελώς διαφορετικό επίπεδο σκέψης και μια διαφορετική προσέγγιση - μπορεί υπό όρους να ονομαστεί μέθοδος συνεπειών. Σχετικά με αυτό - σε ένα ξεχωριστό μάθημα. Τώρα ας προχωρήσουμε στο τελευταίο μέρος του σημερινού μαθήματος και ας δούμε έναν καθολικό αλγόριθμο που λειτουργεί πάντα. Ακόμα κι όταν όλες οι προηγούμενες προσεγγίσεις ήταν αδύναμες. :)
4. Μέθοδος απαρίθμησης επιλογών
Τι γίνεται αν όλες αυτές οι τεχνικές δεν βοηθήσουν; Εάν η ανισότητα δεν μπορεί να περιοριστεί σε μη αρνητικές ουρές, εάν είναι αδύνατο να απομονωθεί η ενότητα, εάν γενικά υπάρχει πόνος, θλίψη, μελαγχολία;
Τότε το «βαρύ πυροβολικό» όλων των μαθηματικών έρχεται στη σκηνή — η μέθοδος της ωμής βίας. Σε σχέση με τις ανισότητες με συντελεστή, φαίνεται ως εξής:
- Γράψτε όλες τις υποαρθρωτές εκφράσεις και ορίστε τις ίσες με το μηδέν.
- Λύστε τις εξισώσεις που προκύπτουν και σημειώστε τις ρίζες που βρέθηκαν σε μια αριθμητική γραμμή.
- Η ευθεία γραμμή θα χωριστεί σε πολλά τμήματα, μέσα στα οποία έχει κάθε ενότητα σταθερό σημάδικαι ως εκ τούτου αποκαλύπτεται αναμφίβολα.
- Λύστε την ανισότητα σε κάθε τέτοιο τμήμα (μπορείτε να εξετάσετε χωριστά τις ρίζες-όρια που λαμβάνονται στο βήμα 2 - για αξιοπιστία). Συνδυάστε τα αποτελέσματα - αυτή θα είναι η απάντηση. :)
Πώς, λοιπόν? Αδύναμος? Εύκολα! Μόνο για πολύ καιρό. Ας δούμε στην πράξη:
Εργο. Λύστε την ανισότητα:
\[\αριστερά| x+2 \δεξιά| \lt \αριστερά| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Λύση. Αυτό το χάλι δεν συνοψίζεται σε ανισότητες όπως το $\left| f\right| \lt g$, $\αριστερά| f\right| \gt g$ ή $\left| f\right| \lt \αριστερά| g \right|$, άρα ενεργούμε μπροστά.
Γράφουμε υπομονάδες παραστάσεις, τις εξισώνουμε με το μηδέν και βρίσκουμε τις ρίζες:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Δεξί βέλος x=1. \\\end(στοίχιση)\]
Συνολικά, έχουμε δύο ρίζες που χωρίζουν την αριθμητική γραμμή σε τρία τμήματα, μέσα στα οποία κάθε ενότητα αποκαλύπτεται μοναδικά:
Διαμερισμός της αριθμητικής γραμμής με μηδενικά υποαρθρωτών συναρτήσεων
Ας δούμε κάθε ενότητα ξεχωριστά.
1. Έστω $x \lt -2$. Τότε και οι δύο υποαρθρωτές εκφράσεις είναι αρνητικές και η αρχική ανισότητα θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(στοίχιση)\]
Έχουμε έναν αρκετά απλό περιορισμό. Ας το τέμνουμε με την αρχική υπόθεση ότι $x \lt -2$:
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\Δεξί βέλος x\in \varnothing \]
Προφανώς, η μεταβλητή $x$ δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα μικρότερη από −2 και μεγαλύτερη από 1,5. Δεν υπάρχουν λύσεις σε αυτόν τον τομέα.
1.1. Ας εξετάσουμε χωριστά την οριακή περίπτωση: $x=-2$. Ας αντικαταστήσουμε αυτόν τον αριθμό στην αρχική ανισότητα και ας ελέγξουμε: είναι αλήθεια;
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \αριστερά| -3\δεξιά|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Δεξί βέλος \varnothing . \\\end(στοίχιση)\]
Είναι προφανές ότι η αλυσίδα των υπολογισμών μας έχει οδηγήσει σε μια εσφαλμένη ανισότητα. Επομένως, η αρχική ανισότητα είναι επίσης ψευδής και η $x=-2$ δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση.
2. Έστω τώρα $-2 \lt x \lt 1$. Η αριστερή μονάδα θα ανοίξει ήδη με ένα "συν", αλλά η δεξιά θα εξακολουθεί να ανοίγει με "μείον". Εχουμε:
\[\αρχή(στοίχιση) & x+2 \lt -\αριστερά(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]
Και πάλι τέμνουμε με την αρχική απαίτηση:
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\Δεξί βέλος x\in \varnothing \]
Και πάλι, το σύνολο των λύσεων είναι κενό, αφού δεν υπάρχουν αριθμοί που να είναι μικρότεροι από −2,5 και μεγαλύτεροι από −2.
2.1. Και ξανα ειδική περίπτωση: $x=1$. Αντικαθιστούμε στην αρχική ανισότητα:
\[\αρχή(στοίχιση) & ((\αριστερά. \αριστερά| x+2 \δεξιά| \lt \αριστερά| x-1 \δεξιά|+x-1,5 \δεξιά|)_(x=1)) \\ & \αριστερά| 3\δεξιά| \lt \αριστερά| 0\δεξιά|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Δεξί βέλος \varnothing . \\\end(στοίχιση)\]
Παρόμοια με την προηγούμενη «ειδική περίπτωση», ο αριθμός $x=1$ σαφώς δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση.
3. Το τελευταίο κομμάτι της γραμμής: $x \gt 1$. Εδώ όλες οι μονάδες ανοίγουν με ένα σύμβολο συν:
\[\αρχή(στοίχιση) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(στοίχιση)\ ]
Και πάλι τέμνουμε το σύνολο που βρέθηκε με τον αρχικό περιορισμό:
\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\Δεξί βέλος x\in \αριστερά(4,5;+\infty \δεξιά)\ ]
Τελικά! Βρήκαμε ένα διάστημα που θα είναι η απάντηση.
Απάντηση: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Τέλος, μια παρατήρηση που μπορεί να σας σώσει από ανόητα λάθη κατά την επίλυση πραγματικών προβλημάτων:
Οι λύσεις ανισώσεων με συντελεστές συνήθως αντιπροσωπεύουν συνεχή σύνολα στην αριθμητική γραμμή - διαστήματα και τμήματα. Τα μεμονωμένα σημεία είναι πολύ λιγότερο κοινά. Και ακόμη λιγότερο συχνά, συμβαίνει ότι το όριο της λύσης (το τέλος του τμήματος) συμπίπτει με το όριο του εύρους που εξετάζουμε.
Κατά συνέπεια, εάν τα όρια (οι ίδιες «ειδικές περιπτώσεις») δεν περιλαμβάνονται στην απάντηση, τότε οι περιοχές στα αριστερά και δεξιά αυτών των ορίων είναι σχεδόν βέβαιο ότι δεν θα συμπεριληφθούν στην απάντηση. Και το αντίστροφο: τα σύνορα μπήκαν στην απάντηση, πράγμα που σημαίνει ότι ορισμένες περιοχές γύρω από αυτό θα είναι επίσης απαντήσεις.
Λάβετε αυτό υπόψη όταν εξετάζετε τις λύσεις σας.