Πυθαγόρειο θεώρημα: ιστορία, απόδειξη, παραδείγματα πρακτικής εφαρμογής. Ορθογώνιο τρίγωνο. The Complete Illustrated Guide (2019)

Μέσο επίπεδο

Ορθογώνιο τρίγωνο. The Complete Illustrated Guide (2019)

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ. ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.

Στα προβλήματα, η σωστή γωνία δεν είναι καθόλου απαραίτητη - η κάτω αριστερή, επομένως πρέπει να μάθετε να αναγνωρίζετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε αυτήν τη μορφή,

και σε αυτό

και σε αυτό

Τι καλό έχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο; Λοιπόν..., πρώτον, υπάρχουν ιδιαίτερα όμορφα ονόματα για τις πλευρές του.

Προσοχή στο σχέδιο!

Θυμηθείτε και μην μπερδεύετε: υπάρχουν δύο πόδια, και υπάρχει μόνο μία υποτείνουσα(ένα και μοναδικό, μοναδικό και μεγαλύτερο)!

Λοιπόν, συζητήσαμε τα ονόματα, τώρα το πιο σημαντικό πράγμα: το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα.

Αυτό το θεώρημα είναι το κλειδί για την επίλυση πολλών προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Το απέδειξε ο Πυθαγόρας σε εντελώς αμνημονεύτων χρόνων, και από τότε έχει φέρει πολλά οφέλη σε όσους το γνωρίζουν. Και το καλύτερο είναι ότι είναι απλό.

Ετσι, Πυθαγόρειο θεώρημα:

Θυμάστε το αστείο: «Το πυθαγόρειο παντελόνι είναι ίσο από όλες τις πλευρές!»;

Ας σχεδιάσουμε αυτά τα ίδια πυθαγόρεια παντελόνια και ας τα δούμε.

Δεν μοιάζει με κάποιο σορτς; Λοιπόν, σε ποιες πλευρές και πού είναι ίσες; Γιατί και από πού προήλθε το αστείο; Και αυτό το αστείο συνδέεται ακριβώς με το Πυθαγόρειο θεώρημα, ή ακριβέστερα με τον τρόπο που ο ίδιος ο Πυθαγόρας διατύπωσε το θεώρημά του. Και το διατύπωσε ως εξής:

"Αθροισμα περιοχές των τετραγώνων, χτισμένο στα πόδια, ισούται με τετραγωνική έκταση, χτισμένο πάνω στην υποτείνουσα».

Αλήθεια ακούγεται λίγο διαφορετικό; Και έτσι, όταν ο Πυθαγόρας σχεδίασε τη δήλωση του θεωρήματός του, αυτή είναι ακριβώς η εικόνα που βγήκε.


Σε αυτήν την εικόνα, το άθροισμα των εμβαδών των μικρών τετραγώνων είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου. Και για να θυμούνται καλύτερα τα παιδιά ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, κάποιος πνευματώδης σκέφτηκε αυτό το αστείο για το πυθαγόρειο παντελόνι.

Γιατί διατυπώνουμε τώρα το Πυθαγόρειο θεώρημα;

Υπέφερε ο Πυθαγόρας και μίλησε για τετράγωνα;

Βλέπετε, στα αρχαία χρόνια δεν υπήρχε... άλγεβρα! Δεν υπήρχαν σημάδια και ούτω καθεξής. Δεν υπήρχαν επιγραφές. Μπορείτε να φανταστείτε πόσο τρομερό ήταν για τους φτωχούς αρχαίους μαθητές να θυμούνται τα πάντα με λόγια;;! Και μπορούμε να χαιρόμαστε που έχουμε μια απλή διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ας το επαναλάβουμε ξανά για να το θυμόμαστε καλύτερα:

Θα πρέπει να είναι εύκολο τώρα:

Τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισματετράγωνα των ποδιών.

Λοιπόν, το πιο σημαντικό θεώρημα για τα ορθογώνια τρίγωνα έχει συζητηθεί. Αν σας ενδιαφέρει πώς αποδεικνύεται, διαβάστε τα παρακάτω επίπεδα θεωρίας, και τώρα ας προχωρήσουμε... στο σκοτεινό δάσος... τριγωνομετρία! Στις φοβερές λέξεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο τρομακτικά. Φυσικά, ο «πραγματικός» ορισμός του ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης θα πρέπει να εξεταστεί στο άρθρο. Αλλά πραγματικά δεν θέλω, έτσι δεν είναι; Μπορούμε να χαρούμε: για να λύσετε προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε απλά να συμπληρώσετε τα ακόλουθα απλά πράγματα:

Γιατί όλα είναι στη γωνία; Πού είναι η γωνία; Για να το καταλάβετε αυτό, πρέπει να ξέρετε πώς γράφονται με λέξεις οι προτάσεις 1 - 4. Κοίτα, κατάλαβε και θυμήσου!

1.
Στην πραγματικότητα ακούγεται έτσι:

Τι γίνεται με τη γωνία; Υπάρχει πόδι που είναι απέναντι από τη γωνία, δηλαδή απέναντι (για γωνία) πόδι; Φυσικά και έχουν! Αυτό είναι ένα πόδι!

Τι γίνεται με τη γωνία; Κοίτα προσεκτικά. Ποιο πόδι είναι δίπλα στη γωνία; Φυσικά, το πόδι. Αυτό σημαίνει ότι για τη γωνία το πόδι είναι γειτονικό, και

Και τώρα, προσοχή! Δείτε τι πήραμε:

Δείτε πόσο cool είναι:

Τώρα ας περάσουμε στην εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.

Πώς μπορώ να το γράψω με λόγια τώρα; Τι είναι το πόδι σε σχέση με τη γωνία; Απέναντι, φυσικά - «βρίσκεται» απέναντι από τη γωνία. Τι γίνεται με το πόδι; Δίπλα στη γωνία. Τι έχουμε λοιπόν;

Δείτε πώς έχουν ανταλλάξει τις θέσεις ο αριθμητής και ο παρονομαστής;

Και τώρα πάλι οι γωνίες και έγινε ανταλλαγή:

Περίληψη

Ας γράψουμε εν συντομία όλα όσα μάθαμε.

Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το κύριο θεώρημα για τα ορθογώνια τρίγωνα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Παρεμπιπτόντως, θυμάσαι καλά τι είναι τα πόδια και η υποτείνουσα; Εάν δεν είναι πολύ καλό, τότε δείτε την εικόνα - ανανεώστε τις γνώσεις σας

Είναι πολύ πιθανό να έχετε ήδη χρησιμοποιήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα πολλές φορές, αλλά έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί ισχύει ένα τέτοιο θεώρημα; Πώς μπορώ να το αποδείξω; Ας κάνουμε όπως οι αρχαίοι Έλληνες. Ας σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο με μια πλευρά.

Δείτε πόσο έξυπνα χωρίσαμε τα πλαϊνά του σε μήκη και!

Τώρα ας συνδέσουμε τις σημειωμένες κουκκίδες

Εδώ, ωστόσο, σημειώσαμε κάτι άλλο, αλλά εσείς οι ίδιοι κοιτάτε το σχέδιο και σκέφτεστε γιατί συμβαίνει αυτό.

Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου; Σωστά, . Τι γίνεται με μια μικρότερη περιοχή; Σίγουρα,. Το συνολικό εμβαδόν των τεσσάρων γωνιών παραμένει. Φανταστείτε ότι τα πήραμε δύο τη φορά και τα ακουμπούσαμε το ένα πάνω στο άλλο με τις υποτείνυσές τους. Τι συνέβη? Δύο ορθογώνια. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή των "κοψίματος" είναι ίση.

Ας τα βάλουμε όλα μαζί τώρα.

Ας μεταμορφώσουμε:

Επισκεφτήκαμε λοιπόν τον Πυθαγόρα - αποδείξαμε το θεώρημά του με αρχαίο τρόπο.

Ορθογώνιο τρίγωνο και τριγωνομετρία

Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με το λόγο της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα

Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ισούται με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.

Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία της διπλανής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.

Και για άλλη μια φορά όλα αυτά με τη μορφή tablet:

Είναι πολύ άνετο!

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

I. Από δύο πλευρές

II. Με το πόδι και την υπόταση

III. Με υποτείνουσα και οξεία γωνία

IV. Κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία

ένα)

σι)

Προσοχή! Είναι πολύ σημαντικό εδώ τα πόδια να είναι «κατάλληλα». Για παράδειγμα, αν πάει ως εξής:

ΤΟΤΕ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ, παρά το γεγονός ότι έχουν μια ίδια οξεία γωνία.

Πρέπει να και στα δύο τρίγωνα το πόδι ήταν δίπλα, ή και στα δύο ήταν απέναντι.

Έχετε παρατηρήσει πώς διαφέρουν τα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων από τα συνηθισμένα σημάδια ισότητας τριγώνων; Ρίξτε μια ματιά στο θέμα «και δώστε προσοχή στο γεγονός ότι για την ισότητα των «συνηθισμένων» τριγώνων, τρία από τα στοιχεία τους πρέπει να είναι ίσα: δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία, δύο γωνίες και η πλευρά μεταξύ τους ή τρεις πλευρές. Για την ισότητα όμως των ορθογωνίων τριγώνων αρκούν μόνο δύο αντίστοιχα στοιχεία. Είναι υπέροχο, σωστά;

Η κατάσταση είναι περίπου η ίδια με τα σημάδια ομοιότητας των ορθογωνίων τριγώνων.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων

I. Κατά μήκος οξείας γωνίας

II. Σε δύο πλευρές

III. Με το πόδι και την υπόταση

Διάμεσος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Γιατί συμβαίνει αυτό;

Αντί για ορθογώνιο τρίγωνο, σκεφτείτε ένα ολόκληρο ορθογώνιο.

Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο και ας εξετάσουμε ένα σημείο - το σημείο τομής των διαγωνίων. Τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου;

Και τι προκύπτει από αυτό;

Έτσι αποδείχθηκε ότι

  1. - διάμεσος:

Θυμηθείτε αυτό το γεγονός! Βοηθάει πολύ!

Αυτό που προκαλεί ακόμη μεγαλύτερη έκπληξη είναι ότι ισχύει και το αντίθετο.

Τι ωφέλιμο μπορεί να ληφθεί από το γεγονός ότι η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας; Ας δούμε την εικόνα

Κοίτα προσεκτικά. Έχουμε: , δηλαδή, οι αποστάσεις από το σημείο και στις τρεις κορυφές του τριγώνου αποδείχθηκαν ίσες. Αλλά υπάρχει μόνο ένα σημείο στο τρίγωνο, οι αποστάσεις από το οποίο και από τις τρεις κορυφές του τριγώνου είναι ίσες, και αυτό είναι το ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ. Λοιπόν τι έγινε?

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αυτό το «εκτός...».

Ας δούμε και.

Αλλά παρόμοια τρίγωναόλες οι γωνίες είναι ίσες!

Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για και

Τώρα ας το σχεδιάσουμε μαζί:

Τι όφελος μπορεί να αποκομίσει αυτή η «τριπλή» ομοιότητα;

Λοιπόν, για παράδειγμα - δύο τύποι για το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Ας γράψουμε τις σχέσεις των αντίστοιχων μερών:

Για να βρούμε το ύψος, λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε ο πρώτος τύπος "Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο":

Ας εφαρμόσουμε λοιπόν την ομοιότητα: .

Τι θα γίνει τώρα;

Και πάλι λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε τον δεύτερο τύπο:

Πρέπει να θυμάστε και τους δύο αυτούς τύπους πολύ καλά και να χρησιμοποιήσετε αυτόν που είναι πιο βολικός. Ας τα ξαναγράψουμε

Πυθαγόρειο θεώρημα:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών: .

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:

  • σε δύο πλευρές:
  • με το πόδι και την υποτείνουσα: ή
  • κατά μήκος του σκέλους και της παρακείμενης οξείας γωνίας: ή
  • κατά μήκος του σκέλους και της αντίθετης οξείας γωνίας: ή
  • κατά υποτείνουσα και οξεία γωνία: ή.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων:

  • μια οξεία γωνία: ή
  • από την αναλογικότητα δύο σκελών:
  • από την αναλογικότητα του ποδιού και της υποτείνουσας: ή.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο

  • Το ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:
  • Το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
  • Η εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά:
  • Η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την απέναντι πλευρά: .

Ύψος ορθογωνίου τριγώνου: ή.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος αντλείται από την κορυφή ορθή γωνία, ισούται με το μισό της υποτείνουσας: .

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:

  • μέσω των ποδιών:

Εντολή

Εάν πρέπει να υπολογίσετε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο αλγόριθμο: - Προσδιορίστε σε ένα τρίγωνο ποιες πλευρές είναι τα σκέλη και ποιες η υποτείνουσα. Οι δύο πλευρές που σχηματίζουν γωνία ενενήντα μοιρών είναι τα σκέλη, η υπόλοιπη τρίτη είναι η υποτείνουσα. (cm) - Σηκώστε κάθε σκέλος αυτού του τριγώνου στη δεύτερη δύναμη, δηλαδή πολλαπλασιάστε με τον εαυτό του. Παράδειγμα 1. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε την υποτείνουσα αν το ένα πόδι σε ένα τρίγωνο είναι 12 εκ. και το άλλο 5 εκ. Πρώτον, τα τετράγωνα των ποδιών είναι ίσα: 12 * 12 = 144 εκ. και 5 * 5 = 25 εκ. Στη συνέχεια, καθορίστε το άθροισμα των τετραγώνων σκελών. Συγκεκριμένος αριθμόςείναι υποτείνουσα, πρέπει να απαλλαγείτε από τη δεύτερη δύναμη του αριθμού για να βρείτε μήκοςαυτή την πλευρά του τριγώνου. Για να το κάνετε αυτό, εξάγετε από την τετραγωνική ρίζα την τιμή του αθροίσματος των τετραγώνων των ποδιών. Παράδειγμα 1. 144+25=169. Η τετραγωνική ρίζα του 169 είναι 13. Επομένως, το μήκος αυτού υποτείνουσαίσο με 13 cm.

Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του μήκους υποτείνουσαβρίσκεται στην ορολογία του ημιτονοειδούς και των γωνιών σε ένα τρίγωνο. Εξ ορισμού: το ημίτονο της γωνίας άλφα - το αντίθετο σκέλος προς την υποτείνουσα. Δηλαδή, κοιτάζοντας το σχήμα, sin a = CB / AB. Επομένως, υποτείνουσα AB = CB / sin α. Παράδειγμα 2. Έστω η γωνία 30 μοίρες και η αντίθετη πλευρά 4 εκ. Πρέπει να βρούμε την υποτείνουσα. Λύση: ΑΒ = 4 εκ. / αμαρτία 30 = 4 εκ. / 0,5 = 8 εκ. Απάντηση: μήκος υποτείνουσαίσο με 8 cm.

Παρόμοιος τρόπος εύρεσης υποτείνουσααπό τον ορισμό του συνημιτόνου μιας γωνίας. Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος της πλευράς που γειτνιάζει με αυτήν και υποτείνουσα. Δηλαδή, cos a = AC/AB, άρα AB = AC/cos a. Παράδειγμα 3. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, το ΑΒ είναι η υποτείνουσα, η γωνία BAC είναι 60 μοίρες, το σκέλος AC είναι 2 εκ. Βρείτε το ΑΒ.
Λύση: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Απάντηση: Η υποτείνουσα έχει μήκος 4 cm.

Χρήσιμες συμβουλές

Όταν βρίσκετε την τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτόνου μιας γωνίας, χρησιμοποιήστε είτε τον πίνακα ημιτόνων και συνημιτόνων είτε τον πίνακα Bradis.

Συμβουλή 2: Πώς να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, επομένως δεν προκαλεί έκπληξη Ελληνικάαυτή η λέξη μεταφράζεται ως «σφιχτό». Αυτή η πλευρά βρίσκεται πάντα απέναντι από τη γωνία 90° και οι πλευρές που σχηματίζουν αυτή τη γωνία ονομάζονται σκέλη. Γνωρίζοντας τα μήκη αυτών των πλευρών και τα μεγέθη αιχμηρές γωνίεςΣε διαφορετικούς συνδυασμούς αυτών των τιμών, μπορεί να υπολογιστεί το μήκος της υποτείνουσας.

Εντολή

Εάν τα μήκη και των δύο τριγώνων (Α και Β) είναι γνωστά, χρησιμοποιήστε τα μήκη της υποτείνουσας (C), ίσως το πιο διάσημο μαθηματικό αξίωμα - το Πυθαγόρειο θεώρημα. Δηλώνει ότι το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των ποδιών, από το οποίο προκύπτει ότι πρέπει να υπολογίσετε τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών μηκών των δύο πλευρών: C = √ ( A² + B²). Για παράδειγμα, αν το μήκος ενός ποδιού είναι 15 και - 10 εκατοστά, τότε το μήκος της υποτείνουσας θα είναι περίπου 18,0277564 εκατοστά, αφού √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,02775

Εάν είναι γνωστό το μήκος μόνο ενός από τα σκέλη (Α) σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, καθώς και η τιμή της γωνίας απέναντι από αυτό (α), τότε το μήκος της υποτείνουσας (C) μπορεί να χρησιμοποιηθεί χρησιμοποιώντας ένα από τα τριγωνομετρικά συναρτήσεις - το ημίτονο. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε το μήκος γνωστό κόμμαστο ημιτονικό γνωστή γωνία: C=A/sin(α). Για παράδειγμα, εάν το μήκος ενός από τα σκέλη είναι 15 εκατοστά και η γωνία στην αντίθετη κορυφή του τριγώνου είναι 30°, τότε το μήκος της υποτείνουσας θα είναι ίσο με 30 εκατοστά, αφού 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι γνωστό το μέγεθος μιας από τις οξείες γωνίες (α) και το μήκος του διπλανού σκέλους (Β), τότε για να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας (C) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια άλλη τριγωνομετρική συνάρτηση - συνημίτονο. Θα πρέπει να διαιρέσετε το μήκος του γνωστού σκέλους με το συνημίτονο της γνωστής γωνίας: C=B/ cos(α). Για παράδειγμα, εάν το μήκος αυτού του σκέλους είναι 15 εκατοστά και η οξεία γωνία που βρίσκεται δίπλα του είναι 30°, τότε το μήκος της υποτείνουσας θα είναι περίπου 17,3205081 εκατοστά, αφού 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17.3205081.

Το μήκος χρησιμοποιείται συνήθως για να υποδηλώσει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα ευθύγραμμο τμήμα. Μπορεί να είναι μια ευθεία, σπασμένη ή κλειστή γραμμή. Μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος πολύ απλά αν γνωρίζετε κάποιους άλλους δείκτες του τμήματος.

Εντολή

Εάν πρέπει να βρείτε το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου, τότε δεν θα είναι , εάν γνωρίζετε το εμβαδόν του S. Λόγω του ότι όλες οι πλευρές του τετραγώνου έχουν

Κάθε μαθητής γνωρίζει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι τετράγωνο. Αυτή η δήλωση ονομάζεται Πυθαγόρειο θεώρημα. Είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα της τριγωνομετρίας και των μαθηματικών γενικότερα. Ας το ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.

Η έννοια του ορθογώνιου τριγώνου

Πριν προχωρήσουμε στην εξέταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, στο οποίο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών που είναι τετράγωνο, θα πρέπει να εξετάσουμε την έννοια και τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου για το οποίο ισχύει το θεώρημα.

Ένα τρίγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα με τρεις γωνίες και τρεις πλευρές. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπως υποδηλώνει το όνομά του, έχει μία ορθή γωνία, δηλαδή αυτή η γωνία είναι ίση με 90 o.

Από κοινές ιδιότητεςΓια όλα τα τρίγωνα, είναι γνωστό ότι το άθροισμα και των τριών γωνιών αυτού του σχήματος είναι 180 o, που σημαίνει ότι για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα δύο γωνιών που δεν είναι ορθές είναι 180 o - 90 o = 90 o. Αυτό το τελευταίο γεγονός σημαίνει ότι οποιαδήποτε γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που δεν είναι ορθή θα είναι πάντα μικρότερη από 90 o.

Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Οι άλλες δύο πλευρές είναι τα σκέλη του τριγώνου, μπορεί να είναι ίσες μεταξύ τους ή μπορεί να είναι διαφορετικές. Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι τι μεγαλύτερη γωνία, απέναντι από το οποίο βρίσκεται μια πλευρά σε ένα τρίγωνο, τόσο μεγαλύτερο είναι το μήκος αυτής της πλευράς. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα (βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 90 o) θα είναι πάντα μεγαλύτερη από οποιοδήποτε από τα σκέλη (κείτεται απέναντι από τις γωνίες< 90 o).

Μαθηματική σημειογραφία του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι προηγουμένως τετράγωνο. Για να γράψετε αυτή τη διατύπωση μαθηματικά, θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο οι πλευρές a, b και c είναι τα δύο σκέλη και η υποτείνουσα, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή, το θεώρημα, το οποίο διατυπώνεται ως το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών, μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: c 2 = a 2 + b 2. Από εδώ μπορούν να ληφθούν άλλοι τύποι σημαντικοί για εξάσκηση: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) και c = √(a 2 + b 2).

Σημειώστε ότι στην περίπτωση ενός ορθογώνιου ισόπλευρου τριγώνου, δηλαδή a = b, η διατύπωση: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι τετράγωνο, θα γραφεί μαθηματικά ως εξής: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, που συνεπάγεται την ισότητα: c = a√2.

Ιστορική αναφορά

Το Πυθαγόρειο θεώρημα, που λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι τετράγωνο, ήταν γνωστό πολύ πριν από το περίφημο Έλληνας φιλόσοφος. Πολλοί πάπυροι Αρχαία Αίγυπτος, καθώς και οι πήλινες πινακίδες των Βαβυλωνίων επιβεβαιώνουν ότι αυτοί οι λαοί χρησιμοποιούσαν τη σημειωμένη ιδιότητα των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου. Για παράδειγμα, μια από τις πρώτες αιγυπτιακές πυραμίδες, η πυραμίδα του Khafre, η κατασκευή της οποίας χρονολογείται από τον 26ο αιώνα π.Χ. (2000 χρόνια πριν από τη ζωή του Πυθαγόρα), χτίστηκε με βάση τη γνώση του λόγου διαστάσεων σε ορθογώνιο τρίγωνο 3x4x5. .

Γιατί τότε το θεώρημα φέρει τώρα το όνομα του Έλληνα; Η απάντηση είναι απλή: ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που απέδειξε μαθηματικά αυτό το θεώρημα. Οι σωζόμενες βαβυλωνιακές και αιγυπτιακές γραπτές πηγές μιλούν μόνο για τη χρήση του, αλλά δεν παρέχουν καμία μαθηματική απόδειξη.

Πιστεύεται ότι ο Πυθαγόρας απέδειξε το εν λόγω θεώρημα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες όμοιων τριγώνων, τις οποίες απέκτησε σχεδιάζοντας το ύψος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο από γωνία 90 ο προς την υποτείνουσα.

Ένα παράδειγμα χρήσης του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Ας σκεφτούμε απλή εργασία: είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της κεκλιμένης σκάλας L, εάν είναι γνωστό ότι έχει ύψος H = 3 μέτρα, και η απόσταση από τον τοίχο στον οποίο στηρίζεται η σκάλα μέχρι το πόδι της είναι P = 2,5 μέτρα.

ΣΕ αυτή η υπόθεση H και P είναι τα πόδια, και L είναι η υποτείνουσα. Εφόσον το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, παίρνουμε: L 2 = H 2 + P 2, από όπου L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3.905 μέτρα ή 3 m και 90, 5 cm.

Βεβαιωθείτε ότι το τρίγωνο που σας δίνεται είναι ορθογώνιο, καθώς το Πυθαγόρειο Θεώρημα ισχύει μόνο για ορθογώνια τρίγωνα. Στα ορθογώνια τρίγωνα, μία από τις τρεις γωνίες είναι πάντα 90 μοίρες.

  • Μια ορθή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο υποδεικνύεται από ένα τετράγωνο εικονίδιο και όχι με την καμπύλη που αντιπροσωπεύει τις λοξές γωνίες.

Σημειώστε τις πλευρές του τριγώνου.Επισημάνετε τα σκέλη ως "a" και "b" (τα πόδια είναι οι πλευρές που τέμνονται σε ορθή γωνία) και η υποτείνουσα ως "c" (η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία).

  • Προσδιορίστε ποια πλευρά του τριγώνου θέλετε να βρείτε.Το Πυθαγόρειο θεώρημα σάς επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου (αν είναι γνωστές οι άλλες δύο πλευρές). Προσδιορίστε ποια πλευρά (α, β, γ) πρέπει να βρείτε.

    • Για παράδειγμα, δίνεται μια υποτείνουσα ίση με 5 και δίνεται ένα πόδι ίσο με 3. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να βρεθεί το δεύτερο σκέλος. Θα επανέλθουμε σε αυτό το παράδειγμα αργότερα.
    • Εάν οι άλλες δύο πλευρές είναι άγνωστες, πρέπει να βρείτε το μήκος μιας από τις άγνωστες πλευρές για να μπορέσετε να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε το βασικό τριγωνομετρικές συναρτήσεις(αν σας δοθεί η τιμή μιας από τις πλάγιες γωνίες).

  • Αντικαταστήστε τις τιμές που σας δόθηκαν (ή τις τιμές που βρήκατε) στον τύπο a 2 + b 2 = c 2.Θυμηθείτε ότι το a και το b είναι πόδια και το c είναι η υποτείνουσα.

    • Στο παράδειγμά μας, γράψτε: 3² + b² = 5².

  • Τετράγωνο κάθε γνωστή πλευρά.Ή αφήστε τις εξουσίες - μπορείτε να τετραγωνίσετε τους αριθμούς αργότερα.

    • Στο παράδειγμά μας, γράψτε: 9 + b² = 25.

  • Απομονώστε την άγνωστη πλευρά στη μία πλευρά της εξίσωσης.Για να το κάνετε αυτό, μεταφέρετε γνωστές αξίεςστην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Αν βρείτε την υποτείνουσα, τότε στο Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ήδη απομονωμένη στη μία πλευρά της εξίσωσης (άρα δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα).

    • Στο παράδειγμά μας, μετακινήστε το 9 στο σωστη πλευραεξισώσεις για την απομόνωση του αγνώστου b². Θα λάβετε b² = 16.

  • Αφαιρώ Τετραγωνική ρίζακαι από τις δύο πλευρές της εξίσωσης αφού το άγνωστο (τετράγωνο) υπάρχει στη μία πλευρά της εξίσωσης και ο ελεύθερος όρος (αριθμός) υπάρχει στην άλλη πλευρά.

    • Στο παράδειγμά μας, b² = 16. Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης και λάβετε b = 4. Έτσι, το δεύτερο σκέλος είναι 4.

  • Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο Καθημερινή ζωή, αφού μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μεγάλος αριθμόςπρακτικές καταστάσεις. Για να το κάνετε αυτό, μάθετε να αναγνωρίζετε ορθογώνια τρίγωνα στην καθημερινή ζωή - σε οποιαδήποτε κατάσταση στην οποία δύο αντικείμενα (ή γραμμές) τέμνονται σε ορθή γωνία και ένα τρίτο αντικείμενο (ή γραμμή) συνδέει (διαγώνια) τις κορυφές των δύο πρώτων αντικειμένων (ή γραμμές), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε την άγνωστη πλευρά (αν είναι γνωστές οι άλλες δύο πλευρές).

    • Παράδειγμα: δίνεται μια σκάλα που ακουμπάει σε ένα κτίριο. Κάτω μέροςΟι σκάλες βρίσκονται 5 μέτρα από τη βάση του τοίχου. Επάνω μέροςΟι σκάλες βρίσκονται 20 μέτρα από το έδαφος (πάνω στον τοίχο). Ποιο είναι το μήκος των σκαλοπατιών;
      • "5 μέτρα από τη βάση του τοίχου" σημαίνει ότι a = 5; «βρίσκεται 20 μέτρα από το έδαφος» σημαίνει ότι b = 20 (δηλαδή, σας δίνονται δύο σκέλη ορθογωνίου τριγώνου, αφού ο τοίχος του κτιρίου και η επιφάνεια της Γης τέμνονται σε ορθή γωνία). Το μήκος της σκάλας είναι το μήκος της υποτείνουσας, το οποίο είναι άγνωστο.
        • a² + b² = c²
        • (5)² + (20)² = c²
        • 25 + 400 = c²
        • 425 = c²
        • c = √425
        • c = 20,6. Έτσι, το κατά προσέγγιση μήκος των σκαλοπατιών είναι 20,6 μέτρα.

    • Πυθαγόρειο θεώρημα- ένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, που καθιερώνει τη σχέση

    ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου.

    Πιστεύεται ότι αποδείχθηκε από τον Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα, από τον οποίο πήρε το όνομά του.

    Γεωμετρική διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

    Το θεώρημα αρχικά διατυπώθηκε ως εξής:

    Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν του τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων,

    χτισμένο στα πόδια.

    Αλγεβρική διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

    Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των σκελών.

    Δηλαδή, δηλώνοντας το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου με ντο, και τα μήκη των ποδιών μέσα έναΚαι σι:

    Και τα δύο σκευάσματα Πυθαγόρειο θεώρημαείναι ισοδύναμα, αλλά η δεύτερη διατύπωση είναι πιο στοιχειώδης, δεν το κάνει

    απαιτεί την έννοια της περιοχής. Δηλαδή, η δεύτερη δήλωση μπορεί να επαληθευτεί χωρίς να γνωρίζουμε τίποτα για την περιοχή και

    μετρώντας μόνο τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

    Αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα.

    Αν το τετράγωνο της μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών, τότε

    ορθογώνιο τρίγωνο.

    Ή, με άλλα λόγια:

    Για κάθε τριπλό θετικών αριθμών ένα, σιΚαι ντο, τέτοιο που

    υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πόδια έναΚαι σικαι υποτείνουσα ντο.

    Πυθαγόρειο θεώρημα για ισοσκελές τρίγωνο.

    Πυθαγόρειο θεώρημα για ισόπλευρο τρίγωνο.

    Αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

    Επί αυτή τη στιγμή V επιστημονική βιβλιογραφίαΈχουν καταγραφεί 367 αποδείξεις αυτού του θεωρήματος. Μάλλον το θεώρημα

    Ο Πυθαγόρας είναι το μόνο θεώρημα με τόσο εντυπωσιακό αριθμό αποδείξεων. Τέτοια ποικιλομορφία

    μπορεί να εξηγηθεί μόνο από τη θεμελιώδη σημασία του θεωρήματος για τη γεωμετρία.

    Φυσικά, εννοιολογικά όλα μπορούν να χωριστούν σε μικρό αριθμό τάξεων. Οι πιο διάσημοι από αυτούς:

    απόδειξη μέθοδος περιοχής, αξιωματικόςΚαι εξωτικά στοιχεία(Για παράδειγμα,

    με τη χρήση διαφορικές εξισώσεις).

    1. Απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος χρησιμοποιώντας παρόμοια τρίγωνα.

    Η παρακάτω απόδειξη της αλγεβρικής διατύπωσης είναι η απλούστερη από τις αποδείξεις που κατασκευάστηκαν

    απευθείας από τα αξιώματα. Συγκεκριμένα, δεν χρησιμοποιεί την έννοια του εμβαδού μιας φιγούρας.

    Αφήνω αλφάβητουπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία ντο. Ας τραβήξουμε το ύψος από ντοκαι δηλώνουν

    η ίδρυσή του μέσω H.

    Τρίγωνο ACHπαρόμοιο με ένα τρίγωνο ΑΒ C σε δύο γωνίες. Ομοίως, τρίγωνο CBHπαρόμοιος αλφάβητο.

    Εισάγοντας τη σημειογραφία:

    παίρνουμε:

    ,

    που αντιστοιχεί σε -

    Διπλωμένο ένα 2 και σι 2, παίρνουμε:

    ή , που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

    2. Απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος με τη μέθοδο της περιοχής.

    Οι παρακάτω αποδείξεις, παρά την φαινομενική τους απλότητα, δεν είναι καθόλου τόσο απλές. Ολα τους

    χρησιμοποιήστε ιδιότητες της περιοχής, οι αποδείξεις των οποίων είναι πιο σύνθετες από την απόδειξη του ίδιου του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

    • Απόδειξη μέσω ισοσυμπληρωματικότητας.

    Ας τακτοποιήσουμε τέσσερα ίσα ορθογώνια

    τρίγωνο όπως φαίνεται στο σχήμα

    στα δεξιά.

    Τετράγωνο με πλαϊνά ντο- τετράγωνο,

    αφού το άθροισμα δύο οξειών γωνιών είναι 90°, και

    γωνία ξεδίπλωσης - 180°.

    Το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος είναι ίσο, αφενός,

    εμβαδόν τετραγώνου με πλευρά ( α+β), και από την άλλη, το άθροισμα των περιοχών τέσσερα τρίγωναΚαι

    Q.E.D.

    3. Απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος με την απειροελάχιστη μέθοδο.

    ​


    Κοιτάζοντας το σχέδιο που φαίνεται στο σχήμα και

    βλέποντας την πλευρά να αλλάζειένα, μπορούμε

    γράψτε την παρακάτω σχέση για το άπειρο

    μικρό πλαϊνές αυξήσειςΜεΚαι ένα(χρησιμοποιώντας ομοιότητα

    τρίγωνα):

    Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού μεταβλητών, βρίσκουμε:

    Μια γενικότερη έκφραση για την αλλαγή της υποτείνουσας στην περίπτωση των αυξήσεων και στις δύο πλευρές:

    Ενσωματώνοντας αυτή την εξίσωση και χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, παίρνουμε:

    Έτσι καταλήγουμε στην επιθυμητή απάντηση:

    Όπως είναι εύκολο να δούμε, η τετραγωνική εξάρτηση στον τελικό τύπο εμφανίζεται λόγω της γραμμικής

    αναλογικότητα μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και των προσαυξήσεων, ενώ το άθροισμα σχετίζεται με το ανεξάρτητο

    συνεισφορές από την αύξηση των διαφορετικών ποδιών.

    Μια απλούστερη απόδειξη μπορεί να ληφθεί αν υποθέσουμε ότι ένα από τα πόδια δεν παρουσιάζει αύξηση

    (στην περίπτωση αυτή το πόδι σι). Τότε για τη σταθερά ολοκλήρωσης λαμβάνουμε: