Σελίδα 1

Η διαμόρφωση των εξισώσεων που αντικατοπτρίζουν τη χημική αλληλεπίδραση ενός οξειδωτικού παράγοντα και ενός αναγωγικού παράγοντα ανάγεται στον προσδιορισμό των συντελεστών στους τύπους των αρχικών ουσιών και των προϊόντων αντίδρασης, η σύνθεση των οποίων αποκαλύφθηκε από την εμπειρία.

Συνιστάται η σύνταξη εξισώσεων για τον προσδιορισμό του αριθμού των κριτηρίων έτσι ώστε κάθε μία από τις εξισώσεις να περιλαμβάνει τρεις μεταβλητές a3, a2, a3 και οι υπόλοιπες τιμές a4 και i να περιλαμβάνονται στις εξισώσεις με τη σειρά τους.

Η σύνταξη εξισώσεων είναι δυνατή μόνο για τα πιο απλά αντικείμενα. Πιο πολύπλοκα αντικείμενα, που περιλαμβάνουν τα περισσότερα από τα αντικείμενα της βιομηχανίας πετρελαίου, εξακολουθούν να μελετώνται πειραματικά. Οι ιδιότητες του αντικειμένου που χρησιμοποιούνται στη μελέτη συστημάτων αυτόματου ελέγχου είναι η αυτοεπιπεδούμενη, η χωρητικότητα και η υστέρηση.

Θα διατυπώσουμε εξισώσεις σε μορφή διαφοράς για ένα αγώγιμο μέσο και για ένα διηλεκτρικό, καθώς και για μονοδιάστατα και δισδιάστατα προβλήματα, στα οποία η αλλαγή των τιμών του πεδίου με την απόσταση συμβαίνει, αντίστοιχα, σε μία ή δύο συντεταγμένες κατευθύνσεις.

Η διατύπωση των εξισώσεων για εικονικές παραλλαγές αποδεικνύεται με το παράδειγμα της λήψης υπόψη μη ολονομικών περιορισμών. Αποδεικνύεται ότι η ολονομική εξίσωση περιορισμού με μια παράμετρο είναι ένας ιδανικός περιορισμός όταν περιγράφει το φάκελο. Οι κανόνες εικονικής διακύμανσης των ομολόγων συζητούνται για δύο ανεξάρτητες μεταβλητές.

Η διατύπωση των εξισώσεων έχει πολλά κοινά με μια τέτοια μετάφραση. Σε ήπιες περιπτώσεις, η λεκτική διατύπωση διασπάται σχεδόν μηχανικά σε μια σειρά από διαδοχικά μέρη, καθένα από τα οποία μπορεί να εκφραστεί άμεσα σε μαθηματικά σύμβολα. Σε πιο δύσκολες περιπτώσεις, η συνθήκη αποτελείται από μέρη που δεν μπορούν να μεταφραστούν απευθείας στη γλώσσα των μαθηματικών συμβόλων. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να δώσουμε λιγότερη προσοχή στη λεκτική διατύπωση και να εστιάσουμε την προσοχή μας στο νόημα αυτής της διατύπωσης. Πριν προχωρήσουμε με τη μαθηματική σημείωση, ίσως χρειαστεί να επαναδιατυπώσουμε τις συνθήκες, λαμβάνοντας ταυτόχρονα υπόψη τα μαθηματικά μέσα για τη σύνταξη αυτής της νέας διατύπωσης.

Η σύνταξη εξισώσεων για τέτοιες χημικές διεργασίες δεν παρουσιάζει δυσκολίες.

Η διατύπωση των εξισώσεων σε παραλλαγές σε γενική μορφή εξετάζεται παρακάτω.

Σύνταξη της εξίσωσης των γωνιών συστροφής Q και προσδιορισμός των παραγώγων της.

Η σύνταξη εξισώσεων είναι δυνατή μόνο για τα πιο απλά αντικείμενα. Πιο πολύπλοκα αντικείμενα, που περιλαμβάνουν τα περισσότερα από τα αντικείμενα της βιομηχανίας πετρελαίου, εξακολουθούν να μελετώνται πειραματικά. Οι ιδιότητες του αντικειμένου που χρησιμοποιείται στη μελέτη συστημάτων αυτόματου ελέγχου είναι η αυτοεπιπεδούμενη, η χωρητικότητα και η καθυστέρηση.

Η αναλυτική σύνταξη εξισώσεων είναι δυνατή μόνο για σχετικά απλά αντικείμενα, διαδικασίες ή φυσικά φαινόμενα στα οποία έχουν μελετηθεί καλά. Στη γενική περίπτωση, οι δυναμικές ιδιότητες των ρυθμιζόμενων αντικειμένων περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις που εκφράζουν την εξάρτηση μεταξύ των τιμών εξόδου και εισόδου στο χρόνο. Αυτές οι εξισώσεις βασίζονται στους φυσικούς νόμους που καθορίζουν τις μεταβατικές διεργασίες στα αντικείμενα.

Σύνταξη των εξισώσεων (6 - 58) και η επίλυσή τους ως προς τα L και V. Γενική μέθοδοςη λύση σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να καθοριστεί με την προϋπόθεση ότι τα Α και Β εισάγουν γραμμικά την εξίσωση.

Για να συνθέσετε μια εξίσωση σημαίνει να εκφράσετε σε μαθηματική μορφή τη σχέση μεταξύ των δεδομένων (γνωστών) του προβλήματος και των απαιτούμενων (άγνωστων) τιμών του. Μερικές φορές αυτή η σύνδεση περιέχεται τόσο ξεκάθαρα στη διατύπωση του προβλήματος που η διατύπωση της εξίσωσης είναι απλώς μια κυριολεκτική επανάληψη του προβλήματος, στη γλώσσα των μαθηματικών σημείων.

Παράδειγμα 1. Ο Petrov έλαβε 160 ρούβλια για τη δουλειά του. περισσότερο από το μισό του ποσού που έλαβε ο Ιβάνοφ. Μαζί έλαβαν 1120 ρούβλια. Πόσα πήραν ο Πετρόφ και ο Ιβάνοφ για τη δουλειά τους; Έστω x τα κέρδη του Ιβάνοφ. Τα μισά από τα κέρδη του είναι 0,5x. Ο μηνιαίος μισθός του Petrov είναι 0,5x + 160 μαζί κερδίζουν 1120 ρούβλια. η μαθηματική σημειογραφία της τελευταίας φράσης θα ήταν

(0,5x + 160) + x = 1120.

Η εξίσωση έγινε. Επιλύοντάς το σύμφωνα με τους κάποτε καθιερωμένους κανόνες, βρίσκουμε τα κέρδη του Ιβάνοφ x \u003d 640 ρούβλια. Τα κέρδη του Petrov είναι 0,5x+ 160=480 (ρούβλια).

Συχνότερα, ωστόσο, συμβαίνει ότι η σύνδεση μεταξύ των δεδομένων και των αναζητούμενων ποσοτήτων δεν υποδεικνύεται απευθείας στο πρόβλημα. πρέπει να οριστεί με βάση τις συνθήκες της εργασίας. Σε πρακτικά προβλήματα, αυτό συμβαίνει σχεδόν πάντα. Το παράδειγμα που μόλις δόθηκε είναι κατασκευασμένο. Στην πραγματική ζωή, τέτοιες εργασίες δεν συναντώνται σχεδόν ποτέ.

Επομένως, είναι αδύνατο να δοθούν εντελώς εξαντλητικές οδηγίες για τη σύνταξη μιας εξίσωσης. Ωστόσο, στην αρχή είναι χρήσιμο να καθοδηγηθείτε από τα ακόλουθα. Ας πάρουμε για την τιμή της επιθυμητής τιμής (ή πολλών τιμών) κάποιο τυχαία ληφθέν αριθμό (ή αρκετούς αριθμούς) και ας ορίσουμε τον εαυτό μας να ελέγξει αν έχουμε μαντέψει σωστά σωστή λύσηκαθήκοντα ή όχι. Εάν μπορέσαμε να πραγματοποιήσουμε αυτό το τεστ και διαπιστώσουμε είτε ότι η εικασία μας είναι σωστή είτε ότι είναι λανθασμένη (το τελευταίο, φυσικά, είναι πολύ πιθανό να συμβεί), τότε μπορούμε αμέσως να γράψουμε την επιθυμητή εξίσωση (ή πολλές εξισώσεις). Δηλαδή, θα γράψουμε τις ίδιες τις ενέργειες που πραγματοποιήσαμε για να ελέγξουμε, αλλά αντί για έναν τυχαίο αριθμό, θα εισαγάγουμε ένα αλφαβητικό πρόσημο άγνωστης τιμής. Παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση.

Παράδειγμα 2. Ένα κομμάτι κράματος χαλκού και ψευδαργύρου με όγκο 1 dm3 ζυγίζει 8,14 kg. Πόσος χαλκός είναι στο κράμα; (ειδικό βάρος χαλκού 8,9 kg/dm3· ψευδάργυρος - 7,0 kg/dm3).

Ας πάρουμε τυχαία έναν αριθμό που εκφράζει τον επιθυμητό όγκο χαλκού, για παράδειγμα, 0,3 dm3. Ας ελέγξουμε αν λάβαμε με επιτυχία αυτόν τον αριθμό. Δεδομένου ότι 1 kg / dm3 χαλκού ζυγίζει 8,9 kg, τότε 0,3 dm3 ζυγίζει 8,9 * 0,3 = 2,67 (kg). Ο όγκος ψευδάργυρου στο κράμα είναι 1 - 0,3 = 0,7 (dm3). Το βάρος του είναι 7,0 0,7 = 4,9 (kg). Το συνολικό βάρος ψευδάργυρου και χαλκού είναι 2,67+ +4,9 = 7,57 (kg). Εν τω μεταξύ, το βάρος του κομματιού μας, σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, είναι 8,14 κιλά. Η εικασία μας είναι άκυρη. Αλλά από την άλλη, θα πάρουμε αμέσως μια εξίσωση της οποίας η λύση θα δώσει τη σωστή απάντηση. Αντί για έναν τυχαία λαμβανόμενο αριθμό 0,3 dm3, συμβολίζουμε τον όγκο του χαλκού (σε dm3) μέσω x. Αντί για το γινόμενο 8,9 0,3 = 2,67 παίρνουμε τα γινόμενα 8,9 x. Αυτό είναι το βάρος του χαλκού στο κράμα. Αντί για 1 - 0,3 = 0,7 παίρνουμε 1 - x. αυτή είναι η ποσότητα ψευδαργύρου. Αντί για 7,0 0,7 = 4,9 παίρνουμε 7,0 (1 - x); αυτό είναι το βάρος του ψευδαργύρου. Αντί για 2,67 + 4,9 παίρνουμε 8,9x + 7,0 (1 - x). αυτό είναι το συνδυασμένο βάρος ψευδάργυρου και χαλκού. Κατά συνθήκη, είναι ίσο με 8,14 κιλά. άρα 8,9x + 7,0 (1 - x) = 8,14.

Η επίλυση αυτής της εξίσωσης δίνει x = 0,6. Μπορεί να ελεγχθεί μια τυχαία επιλεγμένη λύση διαφορετικοί τρόποι; Συνεπώς, μπορεί να ληφθεί για την ίδια εργασία διαφορετικά είδηεξισώσεις? όλες, ωστόσο, θα δώσουν την ίδια λύση για την επιθυμητή τιμή, τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες μεταξύ τους.

Φυσικά, αφού αποκτήσετε δεξιότητες στη σύνταξη εξισώσεων, δεν χρειάζεται να ελέγξετε τυχαία τον αριθμό που λήφθηκε: μπορείτε να πάρετε για την τιμή της επιθυμητής τιμής όχι έναν αριθμό, αλλά κάποιο γράμμα (x, y, κ.λπ.) και να ενεργήσετε σαν να αυτό το γράμμα (άγνωστο) ήταν ο αριθμός που πρόκειται να δοκιμάσουμε.

Ας μιλήσουμε για το πώς να γράψουμε μια χημική εξίσωση, γιατί είναι τα κύρια στοιχεία αυτού του κλάδου. Χάρη στη βαθιά επίγνωση όλων των προτύπων αλληλεπιδράσεων και ουσιών, μπορείτε να τα ελέγξετε, να τα εφαρμόσετε σε διάφορους τομείς δραστηριότητας.

Θεωρητικά Χαρακτηριστικά

Η σύνταξη χημικών εξισώσεων είναι ένα σημαντικό και κρίσιμο στάδιο, που εξετάζεται στην όγδοη τάξη σχολεία γενικής εκπαίδευσης. Τι πρέπει να προηγηθεί αυτού του σταδίου; Πριν ο δάσκαλος πει στους μαθητές του πώς να γράψουν μια χημική εξίσωση, είναι σημαντικό να εισαγάγει τους μαθητές στον όρο «σθένος», να τους διδάξει πώς να προσδιορίζουν δεδομένη αξίαγια μέταλλα και αμέταλλα, χρησιμοποιώντας τον περιοδικό πίνακα στοιχείων.

Σύνταξη δυαδικών τύπων κατά σθένος

Για να κατανοήσετε πώς να γράψετε μια χημική εξίσωση με όρους σθένους, πρέπει πρώτα να μάθετε πώς να διαμορφώνετε ενώσεις που αποτελούνται από δύο στοιχεία χρησιμοποιώντας σθένος. Προτείνουμε έναν αλγόριθμο που θα σας βοηθήσει να αντιμετωπίσετε την εργασία. Για παράδειγμα, πρέπει να γράψετε έναν τύπο για το οξείδιο του νατρίου.

Πρώτον, είναι σημαντικό να ληφθεί υπόψη ότι το χημικό στοιχείο που αναφέρεται τελευταίο στο όνομα πρέπει να βρίσκεται στην πρώτη θέση στον τύπο. Στην περίπτωσή μας, το νάτριο θα γραφεί πρώτο στον τύπο, το οξυγόνο δεύτερο. Θυμηθείτε ότι οι δυαδικές ενώσεις ονομάζονται οξείδια, στα οποία το τελευταίο (δεύτερο) στοιχείο πρέπει απαραίτητα να είναι οξυγόνο με κατάσταση οξείδωσης -2 (σθένος 2). Περαιτέρω, σύμφωνα με τον περιοδικό πίνακα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν τα σθένη καθενός από τα δύο στοιχεία. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε ορισμένους κανόνες.

Δεδομένου ότι το νάτριο είναι ένα μέταλλο που βρίσκεται στην κύρια υποομάδα της ομάδας 1, το σθένος του είναι μια σταθερή τιμή, είναι ίσο με το I.

Το οξυγόνο είναι αμέταλλο, αφού είναι το τελευταίο στο οξείδιο, για να προσδιορίσουμε το σθένος του, αφαιρούμε 6 από οκτώ (τον αριθμό των ομάδων) (την ομάδα στην οποία βρίσκεται το οξυγόνο), παίρνουμε ότι το σθένος του οξυγόνου είναι II.

Ανάμεσα σε ορισμένα σθένη, βρίσκουμε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, μετά το διαιρούμε με το σθένος καθενός από τα στοιχεία, παίρνουμε τους δείκτες τους. Καταγράφουμε τον τελικό τύπο Na 2 O.

Οδηγίες για τη σύνταξη εξίσωσης

Τώρα ας μιλήσουμε περισσότερο για το πώς να γράψουμε μια χημική εξίσωση. Ας δούμε πρώτα τα θεωρητικά σημεία και μετά ας προχωρήσουμε συγκεκριμένα παραδείγματα. Έτσι, η σύνταξη των χημικών εξισώσεων περιλαμβάνει μια συγκεκριμένη διαδικασία.

• 1ο στάδιο. Αφού διαβάσετε την προτεινόμενη εργασία, είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε ποιες χημικές ουσίες πρέπει να υπάρχουν στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Ένα σύμβολο "+" τοποθετείται μεταξύ των αρχικών εξαρτημάτων.
• 2ο στάδιο. Μετά το πρόσημο ίσου, είναι απαραίτητο να συνταχθεί ένας τύπος για το προϊόν αντίδρασης. Κατά την εκτέλεση τέτοιων ενεργειών, θα απαιτείται ένας αλγόριθμος για τη σύνταξη τύπων για δυαδικές ενώσεις, που συζητήσαμε παραπάνω.
• 3ο στάδιο. Ελέγχουμε τον αριθμό των ατόμων κάθε στοιχείου πριν και μετά τη χημική αλληλεπίδραση, εάν χρειάζεται, βάζουμε πρόσθετους συντελεστές μπροστά από τους τύπους.

Παράδειγμα αντίδρασης καύσης

Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε πώς να φτιάξουμε μια χημική εξίσωση για την καύση του μαγνησίου χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο. Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, γράφουμε το άθροισμα του μαγνησίου και του οξυγόνου. Μην ξεχνάτε ότι το οξυγόνο είναι διατομικό μόριο, επομένως πρέπει να έχει δείκτη 2. Μετά το πρόσημο ίσου, συντάσσουμε έναν τύπο για το προϊόν που λαμβάνεται μετά την αντίδραση. Θα είναι στις οποίες γράφεται πρώτο το μαγνήσιο και δεύτερο το οξυγόνο στον τύπο. Πιο κάτω στο τραπέζι χημικά στοιχείακαθορίσει το σθένος. Το μαγνήσιο, που βρίσκεται στην ομάδα 2 (η κύρια υποομάδα), έχει σταθερό σθένος II, για το οξυγόνο, αφαιρώντας 8 - 6, παίρνουμε και το σθένος II.

Η εγγραφή διεργασίας θα μοιάζει με: Mg+O 2 =MgO.

Για να αντιστοιχεί η εξίσωση στον νόμο διατήρησης της μάζας των ουσιών, είναι απαραίτητο να τακτοποιήσουμε τους συντελεστές. Αρχικά, ελέγχουμε την ποσότητα του οξυγόνου πριν την αντίδραση, μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας. Επειδή υπήρχαν 2 άτομα οξυγόνου και σχηματίστηκε μόνο ένα, στη δεξιά πλευρά, πριν από τον τύπο του οξειδίου του μαγνησίου, πρέπει να προσθέσετε έναν παράγοντα 2. Στη συνέχεια, μετράμε τον αριθμό των ατόμων μαγνησίου πριν και μετά τη διαδικασία. Ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης, ελήφθησαν 2 μαγνήσιο, επομένως, στην αριστερή πλευρά μπροστά από μια απλή ουσίαΤο μαγνήσιο χρειάζεται επίσης συντελεστή 2.

Η τελική μορφή της αντίδρασης: 2Mg + O 2 \u003d 2MgO.

Ένα παράδειγμα αντίδρασης υποκατάστασης

Κάθε περίληψη στη χημεία περιέχει μια περιγραφή ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙαλληλεπιδράσεις.

Σε αντίθεση με μια ένωση, μια υποκατάσταση θα έχει δύο ουσίες τόσο στην αριστερή όσο και στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να γράψετε την αντίδραση αλληλεπίδρασης μεταξύ ψευδαργύρου και Χρησιμοποιούμε τον τυπικό αλγόριθμο γραφής. Αρχικά, στην αριστερή πλευρά γράφουμε ψευδάργυρο και υδροχλωρικό οξύ μέσω του αθροίσματος, στη δεξιά πλευρά συντάσσουμε τους τύπους των προϊόντων αντίδρασης που προκύπτουν. Δεδομένου ότι στην ηλεκτροχημική σειρά τάσεων των μετάλλων, ο ψευδάργυρος βρίσκεται πριν από το υδρογόνο, μέσα αυτή η διαδικασίαεκτοπίζει το μοριακό υδρογόνο από το οξύ, σχηματίζοντας χλωριούχο ψευδάργυρο. Ως αποτέλεσμα, έχουμε την ακόλουθη καταχώρηση: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2 .

Τώρα στραφούμε στην εξίσωση του αριθμού των ατόμων κάθε στοιχείου. Επειδή υπήρχε ένα άτομο στην αριστερή πλευρά του χλωρίου, και μετά την αλληλεπίδραση υπήρχαν δύο από αυτά, πριν από τον τύπο του υδροχλωρικού οξέοςπρέπει να ορίσετε συντελεστή 2.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια έτοιμη εξίσωση αντίδρασης που αντιστοιχεί στον νόμο διατήρησης της μάζας των ουσιών: Zn + 2HCL = ZnCl 2 + H 2.

συμπέρασμα

Μια τυπική περίληψη χημείας περιέχει απαραίτητα πολλά χημικούς μετασχηματισμούς. Ούτε ένα τμήμα αυτής της επιστήμης δεν περιορίζεται σε μια απλή λεκτική περιγραφή μετασχηματισμών, διεργασιών διάλυσης, εξάτμισης, όλα επιβεβαιώνονται απαραίτητα από εξισώσεις. Η ιδιαιτερότητα της χημείας έγκειται στο γεγονός ότι όλες οι διεργασίες που συμβαίνουν μεταξύ διαφορετικών ανόργανων ή οργανικών ουσιών μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας συντελεστές, δείκτες.

Σε τι διαφέρει η χημεία από τις άλλες επιστήμες; Χημικές Εξισώσειςβοηθούν όχι μόνο στην περιγραφή των εν εξελίξει μετασχηματισμών, αλλά και στη διεξαγωγή ποσοτικών υπολογισμών σε αυτούς, χάρη στους οποίους είναι δυνατή η εργαστηριακή και βιομηχανική παραγωγή διαφόρων ουσιών.

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.
Το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι ευθύ. Κανονικό διάνυσμα

Η ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο είναι από τις πιο απλές γεωμετρικά σχήματα, οικείο σε σας από χαμηλότερους βαθμούς, και σήμερα θα μάθουμε πώς να το αντιμετωπίζουμε χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της αναλυτικής γεωμετρίας. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, είναι απαραίτητο να μπορείτε να χτίσετε μια ευθεία γραμμή. ξέρετε ποια εξίσωση ορίζει μια ευθεία γραμμή, ειδικότερα μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή και τις ευθείες παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων. Αυτή η πληροφορίαμπορεί να βρεθεί στο εγχειρίδιο Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων, το δημιούργησα για το matan, αλλά την ενότητα για γραμμική συνάρτησηαποδείχθηκε πολύ επιτυχημένη και λεπτομερής. Επομένως, αγαπητοί τσαγιέρες, πρώτα ζεσταθείτε εκεί. Επιπλέον, πρέπει να έχετε ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΟ φορείςδιαφορετικά η κατανόηση του υλικού θα είναι ελλιπής.

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε τρόπους με τους οποίους μπορείτε να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Σας συνιστώ να μην αμελήσετε πρακτικά παραδείγματα (ακόμα και αν φαίνονται πολύ απλά), καθώς θα τα προμηθεύσω με στοιχειώδη και σημαντικά γεγονότα, τεχνικές μεθόδους που θα απαιτηθούν στο μέλλον, συμπεριλαμβανομένων άλλων ενοτήτων ανώτερων μαθηματικών.

• Πώς να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με μια κλίση;
• Πως ?
• Πώς να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης με τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής;
• Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και ξεκινάμε:

Γραμμική εξίσωση με κλίση

Η γνωστή «σχολική» μορφή της εξίσωσης ευθείας ονομάζεται εξίσωση ευθείας με κλίση. Για παράδειγμα, αν μια ευθεία δίνεται από την εξίσωση, τότε η κλίση της: . Σκεφτείτε γεωμετρική σημασίαδεδομένου συντελεστή και πώς η τιμή του επηρεάζει τη θέση της γραμμής:

Στο μάθημα της γεωμετρίας αποδεικνύεται ότι η κλίση της ευθείας είναι εφαπτομένη μιας γωνίαςμεταξύ θετικής κατεύθυνσης άξονακαι δεδομένη γραμμή: , και η γωνία «ξεβιδώνεται» αριστερόστροφα.

Για να μην μπερδεύω το σχέδιο, σχεδίασα γωνίες μόνο για δύο ευθείες γραμμές. Σκεφτείτε την «κόκκινη» ευθεία και την κλίση της. Σύμφωνα με τα παραπάνω: (η γωνία «άλφα» υποδηλώνεται με πράσινο τόξο). Για τη «μπλε» ευθεία με την κλίση, ισχύει η ισότητα (η γωνία «βήτα» υποδεικνύεται με το καφέ τόξο). Και αν η εφαπτομένη της γωνίας είναι γνωστή, τότε αν χρειαστεί είναι εύκολο να βρεθεί και η γωνίαμε τη χρήση αντίστροφη συνάρτηση- τολμηρός. Όπως λένε, ένας τριγωνομετρικός πίνακας ή μια αριθμομηχανή στο χέρι. Ετσι, η κλίση χαρακτηρίζει τον βαθμό κλίσης της ευθείας προς τον άξονα x.

Ταυτόχρονα, είναι δυνατό επόμενες περιπτώσεις:

1) Εάν η κλίση είναι αρνητική: , τότε η γραμμή, χονδρικά μιλώντας, πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω. Παραδείγματα είναι οι «μπλε» και οι «βυσσινί» ευθείες στο σχέδιο.

2) Εάν η κλίση είναι θετική: , τότε η γραμμή πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω. Παραδείγματα είναι «μαύρες» και «κόκκινες» ευθείες στο σχέδιο.

3) Αν η κλίση μηδέν: , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή και η αντίστοιχη ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα . Ένα παράδειγμα είναι η «κίτρινη» γραμμή.

4) Για μια οικογένεια ευθειών παράλληλων προς τον άξονα (δεν υπάρχει παράδειγμα στο σχέδιο, εκτός από τον ίδιο τον άξονα), η κλίση δεν υπάρχει (η εφαπτομένη των 90 μοιρών δεν έχει καθοριστεί).

Όσο μεγαλύτερο είναι το modulo κλίσης, τόσο πιο απότομο γίνεται το γραμμικό γράφημα.

Για παράδειγμα, σκεφτείτε δύο ευθείες γραμμές. Εδώ, άρα η ευθεία έχει πιο απότομη κλίση. Σας υπενθυμίζω ότι η ενότητα σας επιτρέπει να αγνοήσετε το σημάδι, μόνο μας ενδιαφέρει απόλυτες τιμέςγωνιακούς συντελεστές.

Με τη σειρά του, μια ευθεία είναι πιο απότομη από τις ευθείες. .

Αντίστροφα: όσο μικρότερο είναι το modulo κλίσης, η ευθεία είναι πιο επίπεδη.

Για ευθείες γραμμές η ανισότητα είναι αληθινή, επομένως, η ευθεία είναι κάτι περισσότερο από ένα κουβούκλιο. Παιδική τσουλήθρα, για να μην φυτέψουμε μελανιές και χτυπήματα.

Γιατί χρειάζεται αυτό;

Παρατείνετε το μαρτύριο σας Η γνώση των παραπάνω γεγονότων σάς επιτρέπει να δείτε αμέσως τα λάθη σας, ιδίως τα σφάλματα κατά τη σχεδίαση γραφημάτων - εάν το σχέδιο αποδείχθηκε "προφανώς κάτι δεν πάει καλά". Είναι επιθυμητό να αμέσωςήταν σαφές ότι, για παράδειγμα, μια ευθεία γραμμή είναι πολύ απότομη και πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω, και μια ευθεία είναι πολύ επίπεδη, κοντά στον άξονα και πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω.

Στα γεωμετρικά προβλήματα, εμφανίζονται συχνά πολλές ευθείες γραμμές, επομένως είναι βολικό να τις υποδηλώνουμε με κάποιο τρόπο.

Σημειογραφία: οι ευθείες γραμμές υποδεικνύονται με μικρές με λατινικά γράμματα: . Μια δημοφιλής επιλογή είναι ο προσδιορισμός του ίδιου γράμματος με φυσικούς δείκτες. Για παράδειγμα, οι πέντε γραμμές που μόλις εξετάσαμε μπορούν να υποδηλωθούν με .

Δεδομένου ότι οποιαδήποτε ευθεία προσδιορίζεται μοναδικά από δύο σημεία, μπορεί να συμβολιστεί με αυτά τα σημεία: και τα λοιπά. Ο συμβολισμός υπονοεί προφανώς ότι τα σημεία ανήκουν στη γραμμή.

Ώρα να χαλαρώσουμε λίγο:

Πώς να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με μια κλίση;

Εάν είναι γνωστό ένα σημείο που ανήκει σε μια συγκεκριμένη ευθεία και η κλίση αυτής της ευθείας, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 1

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με κλίση αν είναι γνωστό ότι το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Λύση: Θα συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας σύμφωνα με τον τύπο . ΣΕ αυτή η υπόθεση:

Απάντηση:

Εξέτασηεκτελούνται στοιχειωδώς. Αρχικά, κοιτάμε την εξίσωση που προκύπτει και βεβαιωνόμαστε ότι η κλίση μας είναι στη θέση της. Δεύτερον, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν τη δεδομένη εξίσωση. Ας τα συνδέσουμε στην εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

συμπέρασμα: Η εξίσωση βρέθηκε σωστά.

Ένα πιο δύσκολο παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 2

Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας αν είναι γνωστό ότι η γωνία κλίσης της ως προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα είναι , και το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες, διαβάστε ξανά το θεωρητικό υλικό. Πιο συγκεκριμένα, πιο πρακτικό, μου λείπουν πολλές αποδείξεις.

Το τελευταίο κουδούνι χτύπησε, η μπάλα αποφοίτησης έσβησε και έξω από τις πύλες σχολείο στο σπίτιπεριμένουμε, μάλιστα, αναλυτική γεωμετρία. Τα αστεία τελείωσαν... Ίσως μόλις ξεκινάει =)

Με νοσταλγία κουνάμε τη λαβή στο οικείο και εξοικειωνόμαστε με τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Εφόσον στην αναλυτική γεωμετρία είναι ακριβώς αυτό που χρησιμοποιείται:

Η γενική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: , όπου υπάρχουν μερικοί αριθμοί. Παράλληλα οι συντελεστές ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑδεν είναι ίσα με μηδέν, αφού η εξίσωση χάνει το νόημά της.

Ας ντυθούμε με ένα κοστούμι και ας δέσουμε μια εξίσωση με μια κλίση. Αρχικά, μεταφέρουμε όλους τους όρους στο αριστερή πλευρά:

Ο όρος με "x" πρέπει να τεθεί στην πρώτη θέση:

Κατ 'αρχήν, η εξίσωση έχει ήδη τη μορφή , αλλά σύμφωνα με τους κανόνες της μαθηματικής εθιμοτυπίας, ο συντελεστής του πρώτου όρου (στην περίπτωση αυτή) πρέπει να είναι θετικός. Αλλαγή πινακίδων:

Να το θυμασαι τεχνικό χαρακτηριστικό! Κάνουμε τον πρώτο συντελεστή (τις περισσότερες φορές ) θετικό!

Στην αναλυτική γεωμετρία, η εξίσωση μιας ευθείας θα δίνεται σχεδόν πάντα σε γενική μορφή. Λοιπόν, εάν είναι απαραίτητο, είναι εύκολο να το φέρετε σε μια "σχολική" μορφή με κλίση (με εξαίρεση τις ευθείες γραμμές παράλληλες στον άξονα y).

Ας αναρωτηθούμε τι αρκετάξέρετε να χτίσετε μια ευθεία γραμμή; Δύο σημεία. Αλλά για αυτήν την περίπτωση της παιδικής ηλικίας αργότερα, τώρα κολλάει ο κανόνας με τα βέλη. Κάθε ευθεία έχει μια καλά καθορισμένη κλίση, στην οποία είναι εύκολο να «προσαρμόζεται» διάνυσμα.

Ένα διάνυσμα που είναι παράλληλο σε μια ευθεία ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.. Προφανώς, οποιαδήποτε ευθεία έχει άπειρα διανύσματα κατεύθυνσης και όλα θα είναι συγγραμμικά (συν-κατευθυνόμενα ή όχι - δεν έχει σημασία).

Θα συμβολίσω το διάνυσμα κατεύθυνσης ως εξής: .

Αλλά ένα διάνυσμα δεν αρκεί για να δημιουργηθεί μια ευθεία γραμμή, το διάνυσμα είναι ελεύθερο και δεν συνδέεται σε κανένα σημείο του επιπέδου. Επομένως, είναι επιπλέον απαραίτητο να γνωρίζουμε κάποιο σημείο που ανήκει στη γραμμή.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης;

Εάν ένα ορισμένο σημείο που ανήκει στη γραμμή και το κατευθυντικό διάνυσμα αυτής της γραμμής είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της γραμμής μπορεί να συνταχθεί με τον τύπο:

Μερικές φορές ονομάζεται κανονική εξίσωση της γραμμής .

Τι να κάνετε πότε μία από τις συντεταγμένεςείναι μηδέν, θα εξετάσουμε παρακάτω πρακτικά παραδείγματα. Με την ευκαιρία, σημειώστε - και τα δύο ταυτόχροναοι συντεταγμένες δεν μπορούν να είναι μηδέν, αφού το μηδενικό διάνυσμα δεν καθορίζει μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Λύση: Θα συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας σύμφωνα με τον τύπο. Σε αυτήν την περίπτωση:

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αναλογίας, απαλλαγούμε από τα κλάσματα:

Και φέρνουμε την εξίσωση στο γενική εικόνα:

Απάντηση:

Η σχεδίαση σε τέτοια παραδείγματα, κατά κανόνα, δεν είναι απαραίτητη, αλλά για λόγους κατανόησης:

Στο σχέδιο, βλέπουμε το σημείο εκκίνησης, το αρχικό διάνυσμα κατεύθυνσης (μπορεί να αναβληθεί από οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου) και την κατασκευασμένη γραμμή. Παρεμπιπτόντως, σε πολλές περιπτώσεις, η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής πραγματοποιείται πιο βολικά χρησιμοποιώντας την εξίσωση κλίσης. Η εξίσωσή μας είναι εύκολο να μετατραπεί στη φόρμα και χωρίς κανένα πρόβλημα σηκώστε ένα ακόμη σημείο για να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή.

Όπως σημειώθηκε στην αρχή της ενότητας, μια γραμμή έχει άπειρα διανύσματα κατεύθυνσης και είναι όλα συγγραμμικά. Για παράδειγμα, σχεδίασα τρία τέτοια διανύσματα: . Όποιο διάνυσμα κατεύθυνσης κι αν επιλέξουμε, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα η ίδια ευθύγραμμη εξίσωση.

Ας συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Αναλύοντας την αναλογία:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2 και λάβετε τη γνωστή εξίσωση:

Όσοι επιθυμούν μπορούν παρομοίως να δοκιμάσουν διανύσματα ή οποιοδήποτε άλλο συγγραμμικό διάνυσμα.

Τώρα ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα:

Πώς να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης με τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής;

Πολύ απλό:

Αν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.

Παραδείγματα εύρεσης διανυσμάτων κατεύθυνσης ευθειών:

Η πρόταση μας επιτρέπει να βρούμε μόνο ένα διάνυσμα κατεύθυνσης από ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν χρειαζόμαστε περισσότερα. Αν και σε ορισμένες περιπτώσεις είναι σκόπιμο να μειωθούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Έτσι, η εξίσωση καθορίζει μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη προς τον άξονα και οι συντεταγμένες του προκύπτοντος διανύσματος διεύθυνσης διαιρούνται εύκολα με -2, παίρνοντας ακριβώς το διάνυσμα βάσης ως διάνυσμα διεύθυνσης. Λογικά.

Ομοίως, η εξίσωση ορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, και διαιρώντας τις συντεταγμένες του διανύσματος με το 5, παίρνουμε το ort ως διάνυσμα κατεύθυνσης.

Τώρα ας εκτελέσουμε ελέγξτε το παράδειγμα 3. Το παράδειγμα ανέβηκε, οπότε σας υπενθυμίζω ότι σε αυτό φτιάξαμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Πρώτα, σύμφωνα με την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, επαναφέρουμε το κατευθυντικό της διάνυσμα: - όλα είναι καλά, πήραμε το αρχικό διάνυσμα (σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να αποδειχθεί συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα και αυτό είναι συνήθως εύκολο να το δούμε από την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντεταγμένων).

κατα δευτερον, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση . Τα αντικαθιστούμε στην εξίσωση:

Έχει επιτευχθεί η σωστή ισότητα, για την οποία είμαστε πολύ ευχαριστημένοι.

συμπέρασμα: Η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά.

Παράδειγμα 4

Γράψτε μια εξίσωση ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Είναι πολύ επιθυμητό να γίνει έλεγχος σύμφωνα με τον αλγόριθμο που μόλις εξετάστηκε. Προσπαθήστε να ελέγχετε πάντα (αν είναι δυνατόν) ένα πρόχειρο. Είναι ανόητο να κάνεις λάθη όπου μπορούν να αποφευχθούν 100%.

Στην περίπτωση που μία από τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης είναι μηδέν, είναι πολύ απλό να κάνουμε:

Παράδειγμα 5

Λύση: Ο τύπος δεν είναι έγκυρος επειδή ο παρονομαστής στη δεξιά πλευρά είναι μηδέν. Υπάρχει έξοδος! Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αναλογίας, ξαναγράφουμε τον τύπο με τη μορφή , και το υπόλοιπο κύλησε κατά μήκος μιας βαθιάς αυλάκωσης:

Απάντηση:

Εξέταση:

1) Επαναφέρετε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας:
– το διάνυσμα που προκύπτει είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα κατεύθυνσης.

2) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα

συμπέρασμα: η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά

Γεννιέται το ερώτημα, γιατί να ασχοληθείτε με τη φόρμουλα εάν υπάρχει μια καθολική έκδοση που θα λειτουργήσει ούτως ή άλλως; Υπάρχουν δύο λόγοι. Πρώτον, ο κλασματικός τύπος πολύ καλύτερα να θυμάστε. Δεύτερον, το μειονέκτημα καθολική φόρμουλαείναι αυτό σημαντικά αυξημένο κίνδυνο σύγχυσηςκατά την αντικατάσταση συντεταγμένων.

Παράδειγμα 6

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».

Ας επιστρέψουμε στα απανταχού δύο σημεία:

Πώς να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας με δύο σημεία;

Εάν είναι γνωστά δύο σημεία, τότε η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από αυτά τα σημεία μπορεί να συνταχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Στην πραγματικότητα, αυτό είναι ένα είδος τύπου, και να γιατί: αν είναι γνωστά δύο σημεία, τότε το διάνυσμα θα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας. Στο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαθεωρήσαμε η απλούστερη εργασία– πώς να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος από δύο σημεία. Σύμφωνα με αυτό το πρόβλημα, οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης:

Σημείωση : οι πόντοι μπορούν να «ανταλλάσσονται» και να χρησιμοποιούν τον τύπο . Μια τέτοια απόφαση θα ήταν ισότιμη.

Παράδειγμα 7

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας από δύο σημεία .

Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Χτενίζουμε τους παρονομαστές:

Και ανακατέψτε την τράπουλα:

Τώρα είναι βολικό να απαλλαγούμε από κλασματικούς αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και τα δύο μέρη με 6:

Ανοίξτε τις αγκύλες και θυμηθείτε την εξίσωση:

Απάντηση:

Εξέτασηείναι προφανές - οι συντεταγμένες των αρχικών σημείων πρέπει να ικανοποιούν την προκύπτουσα εξίσωση:

1) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου:

Αληθινή ισότητα.

2) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου:

Αληθινή ισότητα.

συμπέρασμα: η εξίσωση της ευθείας είναι σωστή.

Αν τουλάχιστον ένατων πόντων δεν ικανοποιεί την εξίσωση, ψάξτε για λάθος.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η γραφική επαλήθευση σε αυτή την περίπτωση είναι δύσκολη, γιατί για να φτιάξετε μια γραμμή και να δείτε αν τα σημεία ανήκουν σε αυτήν , Όχι και τόσο εύκολο.

Θα σημειώσω μερικά τεχνικά σημεία της λύσης. Ίσως σε αυτό το πρόβλημα είναι πιο πλεονεκτικό να χρησιμοποιήσετε τον τύπο καθρέφτη και για τα ίδια σημεία φτιάξε μια εξίσωση:

Υπάρχουν λιγότερα κλάσματα. Αν θέλετε, μπορείτε να ολοκληρώσετε τη λύση μέχρι το τέλος, το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι η ίδια εξίσωση.

Το δεύτερο σημείο είναι να δούμε την τελική απάντηση και να δούμε αν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω; Για παράδειγμα, εάν ληφθεί μια εξίσωση, τότε είναι σκόπιμο να τη μειώσετε κατά δύο: - η εξίσωση θα καθορίσει την ίδια ευθεία γραμμή. Ωστόσο, αυτό είναι ήδη θέμα συζήτησης αμοιβαία διάταξη των γραμμών.

Έχοντας λάβει απάντηση στο Παράδειγμα 7, για παν ενδεχόμενο, έλεγξα αν ΟΛΟΙ οι συντελεστές της εξίσωσης διαιρούνται με το 2, το 3 ή το 7. Αν και, τις περισσότερες φορές τέτοιες μειώσεις γίνονται κατά τη διάρκεια της λύσης.

Παράδειγμα 8

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, η οποία απλώς θα σας επιτρέψει να κατανοήσετε καλύτερα και να επεξεργαστείτε την τεχνική υπολογισμού.

Παρόμοια με την προηγούμενη παράγραφο: εάν στον τύπο ένας από τους παρονομαστές (συντεταγμένη του διανύσματος κατεύθυνσης) εξαφανίζεται και στη συνέχεια τον ξαναγράφουμε ως . Και πάλι, προσέξτε πόσο αμήχανη και μπερδεμένη άρχισε να φαίνεται. δεν βλέπω ιδιαίτερο νόημαοδηγώ πρακτικά παραδείγματα, αφού έχουμε ήδη λύσει ένα τέτοιο πρόβλημα (βλ. Αρ. 5, 6).

Κανονικό διάνυσμα ευθείας γραμμής (κανονικό διάνυσμα)

Τι είναι φυσιολογικό; Με απλά λόγια, η κανονική είναι η κάθετη. Δηλαδή, το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας είναι κάθετο στη δεδομένη ευθεία. Είναι προφανές ότι κάθε ευθεία έχει έναν άπειρο αριθμό από αυτά (καθώς και κατευθυντικά διανύσματα), και όλα τα κανονικά διανύσματα της ευθείας θα είναι συγγραμμικά (συμκατευθυντικά ή όχι - δεν έχει σημασία).

Η αντιμετώπισή τους θα είναι ακόμη πιο εύκολη από ό,τι με τα διανύσματα κατεύθυνσης:

Εάν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας.

Εάν οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης πρέπει να «απομακρυνθούν» προσεκτικά από την εξίσωση, τότε οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος μπορούν απλώς να «αφαιρεθούν».

Το κανονικό διάνυσμα είναι πάντα ορθογώνιο προς το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Θα επαληθεύσουμε την ορθογωνικότητα αυτών των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας προϊόν με κουκκίδες:

Θα δώσω παραδείγματα με τις ίδιες εξισώσεις όπως για το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Είναι δυνατόν να γράψουμε μια εξίσωση ευθείας, γνωρίζοντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα; Αισθάνεται ότι είναι δυνατό. Εάν το κανονικό διάνυσμα είναι γνωστό, τότε η κατεύθυνση της ευθύτερης γραμμής καθορίζεται επίσης μοναδικά - αυτή είναι μια "άκαμπτη δομή" με γωνία 90 μοιρών.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Εάν κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Εδώ όλα πήγαν χωρίς κλάσματα και άλλες εκπλήξεις. Αυτό είναι το κανονικό μας διάνυσμα. Το λατρεύω. Και σεβασμός =)

Παράδειγμα 9

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Λύση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Η γενική εξίσωση της ευθείας προκύπτει, ας ελέγξουμε:

1) "Αφαιρέστε" τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος από την εξίσωση: - ναι, πράγματι, το αρχικό διάνυσμα λαμβάνεται από τη συνθήκη (ή το διάνυσμα πρέπει να είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα).

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση:

Αληθινή ισότητα.

Αφού πειστούμε ότι η εξίσωση είναι σωστή, θα ολοκληρώσουμε το δεύτερο, πιο εύκολο μέρος της εργασίας. Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας:

Απάντηση:

Στην κλήρωση η κατάσταση έχει ως εξής:

Για τους σκοπούς της εκπαίδευσης, μια παρόμοια εργασία για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 10

Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Τελικό τμήμαμάθημα θα είναι αφιερωμένο σε λιγότερο κοινά, αλλά και σημαντικά είδηεξισώσεις ευθείας γραμμής σε επίπεδο

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.
Εξίσωση ευθείας σε παραμετρική μορφή

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα έχει τη μορφή , όπου είναι μη μηδενικές σταθερές. Ορισμένοι τύποι εξισώσεων δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με αυτή τη μορφή, για παράδειγμα, η ευθεία αναλογικότητα (καθώς ο ελεύθερος όρος είναι μηδέν και δεν υπάρχει τρόπος να βρεθεί ένας στη δεξιά πλευρά).

Πρόκειται, μεταφορικά μιλώντας, για μια «τεχνική» εξίσωση. Η συνήθης εργασία είναι να αναπαραστήσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής ως εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα. Γιατί είναι βολικό; Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα τα σημεία τομής μιας ευθείας με άξονες συντεταγμένων, κάτι που είναι πολύ σημαντικό σε ορισμένα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα. Επαναφέρουμε το "y" και η εξίσωση παίρνει τη μορφή . Το επιθυμητό σημείο λαμβάνεται αυτόματα: .

Το ίδιο με τον άξονα είναι το σημείο όπου η ευθεία τέμνει τον άξονα y.

ΕΝΟΤΗΤΑ VI.

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑΣ.

___________

ΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΑΞΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

§ 5. Σύνταξη εξίσωσης με έναν άγνωστο.

Οποιοδήποτε αριθμητικό πρόβλημα συνίσταται στο γεγονός ότι σύμφωνα με πολλά γνωστά μεγέθη και σύμφωνα με δεδομένες σχέσεις μεταξύ αυτών των γνωστών μεγεθών και άλλων, άγνωστων, βρίσκεται το άγνωστο. Η Άλγεβρα παρέχει έναν ειδικό τρόπο επίλυσης αριθμητικών προβλημάτων. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι οι λεκτικά εκφραζόμενες συνθήκες των αριθμητικών προβλημάτων μπορούν να μεταφραστούν σε αλγεβρική γλώσσα, δηλ. εκφράζονται με αλγεβρικούς τύπους.

Η μετάφραση των λεκτικά εκφραζόμενων συνθηκών του προβλήματος σε αλγεβρική γλώσσα ονομάζεται γενικά διατύπωση.

Για να συνθέσετε μια εξίσωση με έναν άγνωστο σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος σημαίνει να μεταφράσετε αυτές τις συνθήκες σε αλγεβρική γλώσσα με τέτοιο τρόπο ώστε ολόκληρο το σύνολο αυτών των συνθηκών να εκφράζεται με μια εξίσωση που περιέχει έναν άγνωστο. Για αυτό, είναι απαραίτητο ο αριθμός των ξεχωριστών ανεξάρτητων συνθηκών του προβλήματος να είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων που υπονοούνται σε αυτό.

Λόγω της μεγάλης ποικιλίας προβλημάτων, οι μέθοδοι για τη σύνταξη εξισώσεων που αντιστοιχούν σε αυτά τα προβλήματα είναι εξαιρετικά διαφορετικές. Δεν υπάρχουν γενικοί κανόνες για τη σύνταξη εξισώσεων. Υπάρχει όμως μια γενική ένδειξη που καθοδηγεί τη συλλογιστική μας κατά τη μετάφραση των συνθηκών του προβλήματος σε αλγεβρική γλώσσα και μας επιτρέπει από την αρχή του συλλογισμού να ακολουθήσουμε τον σωστό δρόμο για την επίτευξη του τελικού στόχου. Αυτή η γενική ένδειξη, ή η γενική αρχή της σύνθεσης της εξίσωσης, θα εκφράσουμε ως εξής:

Για να συνθέσετε μια εξίσωση με έναν άγνωστο σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, χρειάζεστε:

1) επιλέξτε μεταξύ των αγνώστων, που είτε υποδεικνύονται άμεσα στο πρόβλημα είτε υπονοούνται, κάποιοι που λαμβάνονται ως πρώτο, και προσδιορίστε αυτό το άγνωστο με κάποιο γράμμα, για παράδειγμα, Χ ;

2) χρησιμοποιώντας αυτόν τον προσδιορισμό και τους χαρακτηρισμούς που δίνονται στο πρόβλημα, εκφράστε όλες τις ποσότητες που αναφέρονται άμεσα στο πρόβλημα ή που υπονοούνται, παρατηρώντας ότι κατά τη σύνταξη τέτοιων εκφράσεων, όλοι οι αριθμοί που δίνονται στο πρόβλημα και όλα σχετίζονται με ντίνες ή με άγνωστες τιμές της συνθήκης.

3) μετά από μια τέτοια εφαρμογή όλων των συνθηκών, βρείτε ανάμεσα στις σύνθετες ή απλά γραπτές εκφράσεις δύο τέτοιες που, δυνάμει μιας από τις δεδομένες συνθήκες, πρέπει να είναι ίσες μεταξύ τους και συνδέστε αυτές τις εκφράσεις με ένα πρόσημο ίσου.

Ας εφαρμόσουμε αυτήν την αρχή στη λύση δύο προβλημάτων:

Εργασία 1 i.Ο αριθμός των κερμάτων στο ένα πορτοφόλι είναι ο μισός από αυτόν στο άλλο. Εάν απλώσετε έξι νομίσματα από το πρώτο και προσθέσετε οκτώ νομίσματα στο δεύτερο, τότε ο αριθμός των νομισμάτων στο πρώτο θα είναι επτά φορές μικρότερος από ό,τι στο δεύτερο. Μάθετε πόσα νομίσματα υπάρχουν σε κάθε πορτοφόλι;

Σε αυτό το πρόβλημα, υποδεικνύονται πολλές γνωστές και αρκετές άγνωστες ποσότητες. Ας πάρουμε τον πρώτο άγνωστο αριθμό νομισμάτων του πρώτου πορτοφολιού ως τον πρώτο άγνωστο αριθμό και ας τον συμβολίσουμε με Χ. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τον προσδιορισμό όλων των ποσοτήτων, που περιλαμβάνουν τις συνθήκες του προβλήματος.

Ο αριθμός των κερμάτων στο πρώτο πορτοφόλι είναι Χ . Η αναλογία των αριθμών των νομισμάτων στο δεύτερο και το πρώτο πορτοφόλι 2 . Άρα ο αριθμός των κερμάτων του δεύτερου πορτοφολιού 2Χ.

Βγάλε από το πρώτο 6 νομίσματα Επομένως, στο πρώτο πορτοφόλι υπάρχουν κέρματα Χ -6 .

Στη δεύτερη προσθήκη 8 νομίσματα. Επομένως, στο δεύτερο πορτοφόλι θα λάβετε κέρματα 2Χ +8 . Η νέα αναλογία μεταξύ των αριθμών των νομισμάτων του δεύτερου και του πρώτου πορτοφολιού είναι . Είναι επίσης ίσο 7 . Σε αυτή τη βάση, συνθέτουμε μια εξίσωση, λύνοντας την οποία παίρνουμε x= 10 , μετά από το οποίο δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστούν τα άλλα άγνωστα που αναφέραμε εδώ.

Αν παίρναμε το δεύτερο πορτοφόλι ως τον πρώτο άγνωστο αριθμό νομισμάτων και το σημειώναμε για να το ξεχωρίσουμε από την προηγούμενη ονομασία μέσω στο , τότε, όπως είναι εύκολο να φανεί, θα προέκυπτε μια άλλη εξίσωση, δηλαδή ( στο + 8 ):( στο / 2 -6 )=7 , που λύνει και το πρόβλημα και δίνει την απάντηση στο=20 .

Θα μπορούσε κανείς να πάρει για το πρώτο άγνωστο τον αριθμό των νομισμάτων που εμφανίστηκαν στο πρώτο πορτοφόλι μετά τον υπολογισμό από αυτό 6 κέρματα? τότε, δηλώνοντας αυτό το άγνωστο με z και πηγαίνοντας με τον ίδιο τρόπο που πήγαμε στην πρώτη εξίσωση, θα παίρναμε την εξίσωση , που z = 4 .

Αλλά κάποιος θα μπορούσε επίσης να αλλάξει τον ίδιο τον τρόπο με τον οποίο σχετίζεται η εξίσωση, για παράδειγμα, λαμβάνοντας υπόψη την αλλαγμένη αναλογία μεταξύ των αριθμών των νομισμάτων και βασίζοντας τη διατύπωση της εξίσωσης σε όσα είναι γνωστά για την αρχική αναλογία. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση θα γραφόταν ως εξής:

Ο αριθμός των κερμάτων του πρώτου πορτοφολιού μετά τον υπολογισμό είναι z . Δημοσιεύτηκε 6 νομίσματα. Άρα ο αρχικός αριθμός κερμάτων του πρώτου πορτοφολιού z + 6. Άλλαξε η αναλογία μεταξύ των αριθμών των νομισμάτων 7 . Επομένως, ο αριθμός των νομισμάτων του δεύτερου πορτοφολιού άλλαξε 7z. προστέθηκε 8 νομίσματα. Επομένως, ο αρχικός αριθμός κερμάτων του δεύτερου πορτοφολιού 7z. - 8 . Η αρχική αναλογία μεταξύ των αριθμών των νομισμάτων είναι Είναι ίση με 2 . Σε αυτή τη βάση, έχουμε μια εξίσωση που είναι συμβατή με την προηγούμενη, αν και διαφέρει από αυτήν ως προς τη μορφή.

Εάν, ακολουθώντας αυτόν τον δεύτερο τρόπο, παίρναμε τον πρώτο άγνωστο αριθμό νομισμάτων του δεύτερου πορτοφολιού αφού προσθέσαμε σε αυτό 8 νομίσματα, λοιπόν, που δηλώνουν αυτό το άγνωστο για διαφορά μέσω Και , θα παίρναμε την εξίσωση ( Και -8 ):( Και / 7 + 6 )=2 , που Και =28 .

Οι διευκρινίσεις αυτές δείχνουν ότι, με γνώμονα το ίδιο γενικός κανόναςΓια να συνθέσουμε εξισώσεις, εξακολουθούμε να έχουμε σε κάθε πρόβλημα διάφορους τρόπους για να επιτύχουμε αυτόν τον στόχο. ο καλύτερος τρόποςθεωρείται αυτή που εκφράζει πιο απλά τις συνθήκες του προβλήματος και οδηγεί πιο γρήγορα τόσο στη σύνταξη όσο και στη λύση της εξίσωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, η πρώτη και η τρίτη μέθοδος είναι εξίσου βολικές για την επίλυση της εξίσωσης, αλλά η πρώτη εξακολουθεί να είναι απλούστερη και επομένως καλύτερη από τις άλλες.

Κατά την εφαρμογή αυτού του κανόνα διατύπωσης εξισώσεων, πρέπει να θυμόμαστε ότι σε κάθε σωστά εκφρασμένη εξίσωση, κάθε δεδομένος αριθμός και κάθε εκφρασμένη συνθήκη πρέπει να λαμβάνεται υπόψη.

Εργασία 2.Από την πόλη ΕΝΑβγαίνει ένας ταξιδιώτης, περνώντας μέσα στη μέρα 20 στιχ. Δύο μέρες αργότερα φεύγει από την πόλη για να τον συναντήσει. ΣΕάλλος ταξιδιώτης που περνά καθημερινά 30 στιχ. Απόσταση μεταξύ ΕΝΑΚαι ΣΕισοδυναμεί 190 στιχ. Το ερώτημα είναι πότε και πού θα συναντηθούν οι δύο ταξιδιώτες;

1ος τρόπος.Ας πάρουμε ως τον πρώτο άγνωστο χρόνο κίνησης του πρώτου ταξιδιώτη από την έξοδο από ΕΝΑπριν από τη συνάντηση, και για την τελευταία προϋπόθεση είναι ότι η απόσταση μεταξύ ΕΝΑΚαι ΣΕισοδυναμεί 190 στιχ. Τότε θα επιχειρηματολογήσουμε ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι το πρώτο πήγε πριν τη συνάντηση Χ ημέρες. Κάθε μέρα περπατούσε 20 στιχ. Έτσι πέρασε 20Χ στιχ.

Το δεύτερο βγήκε αργότερα 2 ημέρα. Πήγε λοιπόν να συναντηθεί Χ -2 ημέρα. Κάθε μέρα περπατούσε 30 στιχ. Ως εκ τούτου, πέρασε 30 (Χ -2 ) στίχ. Μαζί και οι δύο ταξιδιώτες πέρασαν [ 20Χ + 30 (Χ -2 )] στίχ. Όλη η απόσταση μεταξύ ΕΝΑΚαι ΣΕισοδυναμεί 190 στιχ. Με βάση αυτό, βρίσκουμε την εξίσωση

20Χ + 30 (Χ -2 ) =190 ,

που x= 5 . Από αυτό βλέπουμε ότι πήγε ο πρώτος ταξιδιώτης 5 μέρες και πέρασαν 100 verst, το δεύτερο ήταν 3 μέρες και πέρασαν 90 στιχ.

2ος τρόπος.Ας πάρουμε ως την πρώτη άγνωστη απόσταση που διένυσε ο πρώτος ταξιδιώτης από την έξοδο στη συνάντηση και για την τελευταία προϋπόθεση ότι ο δεύτερος ταξιδιώτης έφυγε αργότερα από τον πρώτο στις 2 ημέρα. Τότε η συζήτηση έχει ως εξής:

Πιστεύουμε ότι το πρώτο πέρασε πριν από τη συνάντηση στο στιχ. Κάθε μέρα περπατούσε 20 στιχ. Έτσι περπάτησε όλος στο / 20 ημέρες.

Το δεύτερο πέρασε όλα ( 190 -στο ) στίχ. Κάθε μέρα περπατούσε 30 στιχ. Έτσι περπάτησε μόνο μέρες.

Η διαφορά μεταξύ των χρόνων κίνησης και των δύο είναι και είναι ίση με 2 . Επομένως, βρίσκουμε την εξίσωση , που στο =100 .

3ος τρόπος.Το πρώτο άγνωστο είναι ο χρόνος μετακίνησης του δεύτερου ταξιδιώτη από την έξοδο από ΣΕτα λέμε, η τελευταία προϋπόθεση είναι να περνάει ο πρώτος ταξιδιώτης καθημερινά 20 στιχ.

Ας υποθέσουμε ότι ο δεύτερος πηγαίνει στη συνάντηση z ημέρες. Θα περάσει λοιπόν το πρώτο z +2 ) της ημέρας. Περπατώντας καθημερινά 30 verst, το δεύτερο θα περάσει μόνο 30z στιχ. Αφού και τα δύο πρέπει να περάσουν 190 μίλια, τότε το πρώτο θα πρέπει να κάνει ( 190 -30z ) στίχ. Για να γίνει αυτό, πρέπει να κάνει ένα μίλι την ημέρα. Αφού αυτή η έκφραση είναι 20 , τότε προκύπτει η εξίσωση, από όπου z = 3.

4ος τρόπος.Το πρώτο άγνωστο είναι η απόσταση που έχει διανύσει ο δεύτερος ταξιδιώτης πριν συναντηθεί, η τελευταία προϋπόθεση είναι ότι ο δεύτερος διανύει καθημερινά 10 versts περισσότερο από τον πρώτο.

Πιστεύουμε ότι το δεύτερο πέρασε πριν από τη συνάντηση Και στιχ. Οπότε το πρώτο έπρεπε ακόμα να πάει ( 190 -Και ) στίχ. Από πριν την κυκλοφορία του δεύτερου έχει ήδη περάσει 40 μίλια, και μετά την έξοδο του δεύτερου έπρεπε ακόμα να πάει ( 150 -Και ) στίχ. Η διαφορά στις αποστάσεις που διανύθηκαν ταυτόχρονα και από τους δύο είναι ( 2Και-150 ) στίχ. Η ώρα τους γενική κίνησηΥπάρχει Και / 30 ημέρες. Επομένως, η δεύτερη μέρα περνά περισσότερο από την πρώτη κατά ( 2Και-150 ) : Και / 30 στιχ. Αφού αυτή η έκφραση είναι 10 , τότε παίρνετε την εξίσωση ( 2Και-150 ) : Και / 30 =10 , που δίνει Και = 90 .

Οι προηγούμενες εξηγήσεις δείχνουν ότι η ποικιλία των τρόπων σύνθεσης εξισώσεων στο ίδιο πρόβλημα εξαρτάται τόσο από τη σειρά των διαδοχικών μεγεθών που δηλώνονται όσο και από τη σειρά των διαδοχικών συνθηκών που λαμβάνονται υπόψη.

231. Δύο άτομα έχουν μαζί 38 ρούβλια και το πρώτο έχει 6 ρούβλια περισσότερα λεφτάαπό το δεύτερο. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας;

231. Δύο άτομα έχουν μαζί 114 ρούβλια και το πρώτο έχει 18 ρούβλια περισσότερα χρήματα από το δεύτερο. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας;

232. Στο ένα σπίτι, υπάρχουν 15 λιγότερα παράθυρα από ό,τι στο άλλο· συνολικά, υπάρχουν 51 παράθυρα και στα δύο σπίτια. Πόσα παράθυρα έχει το καθένα;

232. Σε ένα σπίτι υπάρχουν 6 λιγότερα παράθυρα από ό,τι σε ένα άλλο. συνολικά και τα δύο σπίτια έχουν 62 παράθυρα. Πόσα παράθυρα έχει το καθένα;

233. Υπάρχουν 81 ρούβλια σε δύο πορτοφόλια. Στην πρώτη, υπάρχουν τα μισά χρήματα από τη δεύτερη. Πόσα χρήματα έχει το καθένα;

233. Υπάρχουν 72 ρούβλια σε δύο πορτοφόλια. Στο πρώτο, υπάρχουν πέντε φορές λιγότερα χρήματα από ό,τι στο δεύτερο. Πόσα χρήματα έχει το καθένα;

234. Ο πατέρας είναι τρεις φορές μεγαλύτερος από τον γιο και το άθροισμα των ετών και των δύο είναι 48 χρόνια. Προσδιορίστε την ηλικία και των δύο.

234. Ο πατέρας είναι δύο φορές μεγαλύτερος από τον γιο, και το άθροισμα και των δύο ετών είναι 13 χρόνια. Προσδιορίστε την ηλικία και των δύο.

235. Ο γιος είναι τέσσερις φορές νεότερος από τον πατέρα και η διαφορά μεταξύ των ετών τους είναι 27 χρόνια. Πόσο να πετάξει το καθένα;

235. Ο γιος είναι πέντε φορές μικρότερος από τον πατέρα και η διαφορά μεταξύ των ετών τους είναι 32 χρόνια. Πόσο χρονών είναι ο καθένας;

236. Υπάρχουν 47 μήλα σε τρία καλάθια και το πρώτο και το δεύτερο καλάθι είναι ισόποσα και το τρίτο έχει 2 περισσότερα μήλα από το καθένα από τα άλλα. Πόσα μήλα υπάρχουν σε κάθε καλάθι;

236. Υπάρχουν 110 μήλα σε τρία καλάθια, και το πρώτο και το τρίτο είναι ίσα χωρισμένα και το δεύτερο έχει 4 μήλα λιγότερα από το καθένα από τα άλλα. Πόσα μήλα υπάρχουν σε κάθε καλάθι;

237. Τα τρία κομμάτια ασημιού ζυγίζουν μαζί 48 λίβρες. Το πρώτο είναι 12 λίβρες βαρύτερο από το δεύτερο και το τρίτο είναι 9 λίβρες βαρύτερο από το πρώτο. Πόσο ζυγίζει το κάθε κομμάτι;

237. Τρία κομμάτια ασημιού ζυγίζουν μαζί 33 λίβρες.Το πρώτο είναι 5 λίβρες ελαφρύτερο από το δεύτερο και το τρίτο είναι 2 λίβρες ελαφρύτερο από το πρώτο. Πόσο ζυγίζει το κάθε κομμάτι;

238. Ο γιος είναι 20 χρόνια μικρότερος από τον πατέρα και 5 χρόνια μεγαλύτερος από την κόρη. Το άθροισμα και των τριών ετών είναι 60 έτη. Πόσο χρονών είναι ο καθένας

238. Η μητέρα είναι 21 χρόνια μεγαλύτερη από τον γιο της και 7 χρόνια μικρότερη από τον πατέρα του. Το άθροισμα και των τριών ετών είναι 64 έτη. Πόσο χρονών είναι ο καθένας;

239. Υπάρχουν συνολικά 66 βιβλία σε τρία ράφια, με τριπλάσια στο κάτω μέρος και διπλάσια στη μέση από ό,τι στο επάνω μέρος. Πόσα βιβλία υπάρχουν σε κάθε ράφι;

239. Υπάρχουν μόνο 60 βιβλία σε τρία ράφια, και στο κάτω μέρος υπάρχουν έξι φορές περισσότερα, και στο επάνω πέντε φορές περισσότερα από ό,τι στο μεσαίο. Πόσα βιβλία υπάρχουν σε κάθε ράφι;

240. Το δάσος, ο κήπος και το λιβάδι μαζί κοστίζουν 10.800 ρούβλια Το λιβάδι είναι 2 φορές πιο ακριβό από τον κήπο και το δάσος είναι 3 φορές πιο ακριβό από το λιβάδι. Τι κοστίζει το καθένα ξεχωριστά;

240. Ένα δάσος, ένας κήπος και ένα λιβάδι κοστίζουν μαζί 17.600 ρούβλια Ένα δάσος είναι 3 φορές πιο ακριβό από έναν κήπο και ένα λιβάδι είναι 4 φορές πιο ακριβό από ένα δάσος. Τι κοστίζει το καθένα ξεχωριστά;

241. Χωρίστε τον αριθμό 21 σε δύο μέρη έτσι ώστε το πολλαπλάσιο του λόγου του πρώτου μέρους προς το δεύτερο να είναι ίσο με το κλάσμα 3/4.

241. Χωρίστε τον αριθμό 48 σε δύο μέρη, ώστε ο πολλαπλός λόγος του δεύτερου μέρους προς το πρώτο να είναι ίσος με το κλάσμα 5/3.

242. Χωρίστε τον αριθμό 88 σε δύο μέρη έτσι ώστε τα πηλίκα της διαίρεσης του πρώτου μέρους με το 5 και του δεύτερου με το 6 να είναι ίσα.

242. Χωρίστε τον αριθμό 55 σε δύο μέρη ώστε τα πηλίκα της διαίρεσης του πρώτου μέρους με το 7, α. οι δεύτεροι κατά 4 ήταν ίσοι.

243. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 85 και η διαφορά τους είναι 15. Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

243. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 72 και η διαφορά τους είναι 8. Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

244. Η διαφορά δύο αριθμών είναι 8 και ο πολλαπλός λόγος τους είναι ίσος με το κλάσμα 3 / 2. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

244. Η διαφορά δύο αριθμών είναι 12, και η πολλαπλή αναλογία τους είναι ίση με το κλάσμα 5/3. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

245. Χωρίστε τον αριθμό 46 σε δύο μέρη έτσι ώστε η διαφορά των πηλίκων από τη διαίρεση του πρώτου μέρους με το 3 και του δεύτερου με το 7 να είναι ίση με 2.

245. Χωρίστε τον αριθμό 59 σε δύο μέρη, ώστε η διαφορά των πηλίκων από τη διαίρεση του πρώτου μέρους με το 3 και του δεύτερου με το 5 να είναι ίση με 1.

246. Χωρίστε τον αριθμό 75 σε δύο μέρη έτσι ώστε τα περισσότερα απότριπλάσια διαφορά μεταξύ των δύο μερών.

246. Χωρίστε τον αριθμό 56 σε δύο μέρη, ώστε το μικρότερο μέρος να είναι τριπλάσιο από τη διαφορά μεταξύ των δύο μερών.

247. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 64. Όταν διαιρούμε έναν μεγαλύτερο αριθμό με έναν μικρότερο, το πηλίκο είναι 3 και το υπόλοιπο είναι 4. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

247. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 45. Όταν ένας μεγαλύτερος αριθμός διαιρείται με έναν μικρότερο, το πηλίκο είναι 5 και το υπόλοιπο είναι 3. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

248. Η διαφορά δύο αριθμών είναι 35. Όταν διαιρούμε έναν μεγαλύτερο αριθμό με έναν μικρότερο, το πηλίκο είναι 4 και το υπόλοιπο είναι 2. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

248. Διαφορά δύο αριθμών 23. Όταν διαιρούμε έναν μεγαλύτερο αριθμό με έναν μικρότερο, το πηλίκο είναι 2 και το υπόλοιπο είναι 11. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

249. Ένας από τους δύο άγνωστους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από τον άλλο με το 5. Αν διαιρέσετε τον μικρότερο αριθμό με το 4 και τον μεγαλύτερο αριθμό με το 3, τότε το πρώτο πηλίκο θα είναι 4 μικρότερο από το δεύτερο. Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

249. Ένας από δύο άγνωστους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από τον άλλο κατά 15. Αν διαιρέσουμε περισσότεροκατά 9 και λιγότερο κατά 2, τότε το πρώτο πηλίκο θα είναι 3 μικρότερο από το δεύτερο. Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

250. Ένας από τους δύο άγνωστους αριθμούς είναι μικρότερος από τον άλλο με το 6. Εάν διαιρέσετε τον μεγαλύτερο αριθμό στο μισό, τότε το πηλίκο που θα προκύψει θα είναι τρεις μονάδες μικρότερο από τον άλλο αριθμό. Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

250. Ένας από τους δύο άγνωστους αριθμούς είναι μικρότερος από τον άλλο με το 18. Αν διαιρέσετε τον μεγαλύτερο αριθμό με το τρία, τότε το πηλίκο που θα προκύψει θα είναι δύο μονάδες μεγαλύτερο από τον άλλο αριθμό. Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

251. Η μια δεξαμενή έχει διπλάσιο νερό από την άλλη. αν ρίξετε 16 κουβάδες από τον πρώτο στον δεύτερο, τότε και οι δύο θα περιέχουν ίσες ποσότητες νερού. Πόσο νερό έχει το καθένα;

251. Υπάρχει τρεις φορές περισσότερο νερό σε μια δεξαμενή από ότι σε μια άλλη. αν ρίξετε 22 κουβάδες από τον πρώτο στον δεύτερο, τότε και οι δύο θα περιέχουν ίσες ποσότητες νερού.Πόσο νερό έχει ο καθένας;

252. Στην αγορά, δύο έμποροι έχουν μόνο 220 αυγά. αν ο δεύτερος από αυτούς έδινε τα πρώτα 14 αυγά, τότε ο αριθμός των αυγών για καθένα από αυτά θα ήταν ο ίδιος. Πόσα αυγά έχει το καθένα;

252. Στην αγορά, δύο έμποροι έχουν μόνο 186 αυγά. αν ο δεύτερος από αυτούς έδινε τα πρώτα 10 αυγά, τότε ο αριθμός των αυγών για καθένα από αυτά θα ήταν ο ίδιος. Πόσα αυγά έχει το καθένα;

253. Κάποιος έχει 4 φορές περισσότερα ρούβλια στη δεξιά του τσέπη παρά στην αριστερή του. αν μεταφέρει 6 ρούβλια από τη δεξιά του τσέπη στην αριστερή του, τότε θα υπάρχουν μόνο 3 φορές περισσότερα χρήματα στη δεξιά από ό,τι στην αριστερή. Πόσα χρήματα υπάρχουν σε κάθε τσέπη;

253. Κάποιος έχει 3 φορές περισσότερα ρούβλια στη δεξιά του τσέπη παρά στην αριστερή του. Εάν, ωστόσο, μεταφερθούν 5 ρούβλια από την αριστερή τσέπη στη δεξιά, τότε θα υπάρχουν πέντε φορές περισσότερα χρήματα στη δεξιά από ό,τι στην αριστερή. Πόσα χρήματα υπάρχουν σε κάθε τσέπη;

254. Όταν δύο εργάτες πληρώθηκαν στο εργοστάσιο, ο πρώτος έλαβε 12 ρούβλια περισσότερα από τον δεύτερο για δουλειά και μετά ο δεύτερος εργάτης του πλήρωσε 2 ρούβλια. χρέος. Αποδείχθηκε ότι το πρώτο έφερε στο σπίτι τρεις φορές περισσότερα χρήματα από το δεύτερο. Πόσα κέρδισε ο καθένας;

254. Κατά τον υπολογισμό δύο εργαζομένων στο εργοστάσιο, ο πρώτος από αυτούς έλαβε 20 ρούβλια λιγότερα από τον δεύτερο για εργασία, αλλά ταυτόχρονα ο δεύτερος εργάτης του επέστρεψε 2 ρούβλια. χρέος. Αποδείχθηκε ότι ο πρώτος πήρε τα μισά χρήματα του δεύτερου. Πόσα κέρδισε ο καθένας;

255. Το ένα αγόρι έχει 30 καπίκια, το άλλο 11. Πόσες φορές πρέπει να δώσουν ένα καπίκι ο καθένας ώστε το πρώτο να έχει διπλάσια χρήματα από το δεύτερο;

255. Ένα αγόρι έχει 48 καπίκια, ένα άλλο έχει 22. Πόσες φορές πρέπει να ξοδέψουν ένα καπίκι ο καθένας ώστε το πρώτο να έχει τρεις φορές περισσότερα χρήματα από το δεύτερο;

256. Ο πατέρας είναι 40 ετών και ο γιος 12 ετών. Πόσα χρόνια πριν ο πατέρας ήταν πέντε φορές μεγαλύτερος από τον γιο;

256. Ο πατέρας είναι 49 ετών και ο γιος 11 ετών. Σε πόσα χρόνια ο πατέρας θα είναι τρεις φορές μεγαλύτερος από τον γιο;

257. Ένας ιδιοκτήτης γης έχει τετραπλάσια πρόβατα από έναν άλλο. Αν και οι δύο αγόραζαν 9 πρόβατα ο καθένας, τότε το πρώτο θα είχε τρεις φορές περισσότερα πρόβατα από το δεύτερο. Πόσα πρόβατα έχει το καθένα;

257. Ένας γαιοκτήμονας έχει τρεις φορές λιγότερα πρόβατα από έναν άλλο. Αν και οι δύο πουλούσαν 10 πρόβατα το καθένα, τότε το πρώτο θα είχε πέντε φορές λιγότερα πρόβατα από το δεύτερο. Πόσα πρόβατα έχει το καθένα;

258. Ο πατέρας είναι 39 χρόνια μεγαλύτερος από τον γιο του και σε 7 χρόνια θα είναι 4 φορές μεγαλύτερος από τον γιο του. Πόσο χρονών είναι το ένα και το άλλο;

258. Πατέρας και γιος μαζί είναι 88 ετών και πριν από 8 χρόνια ο πατέρας ήταν 7 φορές μεγαλύτερος από τον γιο του. Πόσο χρονών είναι το ένα και το άλλο;

259. Η μία δεξαμενή έχει 48 κουβάδες και η άλλη έχει 22 κουβάδες με νερό. Από το πρώτο στράγγιζαν δύο φορές περισσότερο νερό από το δεύτερο, και στη συνέχεια έμεινε τρεις φορές περισσότερο νερό στο πρώτο από το δεύτερο. Πόσοι κάδοι χύνονται από τον καθένα;

259. Υπάρχουν 42 κουβάδες σε μια δεξαμενή και 8 κουβάδες με νερό σε μια άλλη. Τρεις φορές περισσότερο νερό χύθηκε στο πρώτο από ό, τι στο δεύτερο, και στη συνέχεια αποδείχθηκε ότι ήταν τέσσερις φορές περισσότερο νερό στο πρώτο από το δεύτερο. Πόσοι κάδοι χύνονται στον καθένα;

260. Δύο άτομα, που έπαιζαν χαρτιά χωριστά, είχαν στην αρχή του παιχνιδιού - τα πρώτα 72 ρούβλια, το δεύτερο 21 ρούβλια. Το πρώτο έχασε τρεις φορές Επί πλέονπόσο κέρδισε ο δεύτερος. Μετά το παιχνίδι, ο πρώτος παίκτης είχε διπλάσια χρήματα από τον δεύτερο παίκτη. Πόσο κέρδισε ο δεύτερος και πόσο έχασε το πρώτο;

260. Δύο άτομα, που έπαιζαν χαρτιά χωριστά, είχαν στην αρχή του παιχνιδιού - τα πρώτα 25 ρούβλια, το δεύτερο 12 ρούβλια. Ο πρώτος κέρδισε τα διπλάσια από όσα έχασε ο δεύτερος. Μετά το παιχνίδι, ο πρώτος παίκτης αποδείχθηκε ότι είχε πέντε φορές περισσότερα χρήματα από τον δεύτερο. Πόσο έχασε ο δεύτερος και πόσο κέρδισε ο πρώτος;

261. Ο μικροπωλητής πούλησε για πρώτη φορά ένα μέρος των 2/7 του αριθμού των μήλων που είχε, για δεύτερη φορά p του ίδιου αριθμού? τότε του έμειναν μόνο 8 μήλα. Πόσα μήλα είχε;

261. Ο μαντάρης πούλησε την πρώτη φορά το 1/9 του αριθμού των μήλων που είχε, τη δεύτερη φορά τα 5/6 του ίδιου αριθμού. τότε του έμειναν μόνο 4 μήλα. Πόσα μήλα είχε;

262. Αρχικά, χύθηκε το ένα τρίτο της συνολικής ποσότητας νερού από τη δεξαμενή νερού, μετά τα 5/6 του υπολοίπου και μετά έμειναν μόνο 6 κάδοι. Πόσο νερό ήταν στη δεξαμενή;

262. Αρχικά χύθηκαν τα 3/5 της συνολικής ποσότητας από τη δεξαμενή νερού, μετά τα 3/4 του υπολοίπου και μετά έμειναν μόνο 5 κουβάδες. Πόσο νερό ήταν στη δεξαμενή;

263. Σε μια κοινωνία υπήρχαν 40 άνδρες, γυναίκες και παιδιά. Ο αριθμός των γυναικών ήταν τα 3/5 του αριθμού των ανδρών και ο αριθμός των παιδιών ήταν τα 2/3 του αριθμού των ανδρών και των γυναικών μαζί. Πόσοι άνδρες, γυναίκες και παιδιά ήταν εκεί;

263. Σε μια κοινωνία υπήρχαν 72 άνδρες, γυναίκες και παιδιά. Ο αριθμός των ανδρών ήταν τα 2/3 του αριθμού των γυναικών και ο αριθμός των παιδιών ήταν τα 4/5 του αριθμού των ανδρών και των γυναικών μαζί. Πόσοι άνδρες, γυναίκες και παιδιά ήταν εκεί;

264. Για 30 arshins υφάσματος δύο ποικιλιών, πληρώθηκαν μόνο 128 ρούβλια. ένα μέτρο της πρώτης τάξης κοστίζει 4 1/2 ρούβλια και ένα μέτρο της δεύτερης τάξης κοστίζει 4 ρούβλια. Πόσα arshins και των δύο βαθμών αγοράστηκαν;

264. Μόνο 120 ρούβλια πληρώθηκαν για 27 αρσίν υφάσματος δύο βαθμών. Το arshin της πρώτης τάξης κοστίζει 5 ρούβλια. arshin του δεύτερου 3 p. 75 κ.. Πόσα arshins και των δύο πιστοποιητικών αγοράστηκαν;

265. Ο έμπορος τσαγιού πούλησε 38 λίβρες τσαγιού δύο ποικιλιών, στην τιμή των 3 r. ανά λίβρα της πρώτης τάξης και 1 π. 60 καπίκια ανά λίβρα της δεύτερης τάξης, και ταυτόχρονα κέρδισε 22 ρούβλια περισσότερα για ολόκληρη την πρώτη τάξη από ό, τι για τη δεύτερη. Πόσα τσάγια και των δύο ποικιλιών πουλήθηκαν;

265. Ένας έμπορος τσαγιού πούλησε 110 λίβρες τσαγιού δύο ποικιλιών, στην τιμή των 4 1/2 r. ανά λίβρα της πρώτης τάξης και 2 π. 25 κ. για μια λίβρα της δεύτερης τάξης, και ταυτόχρονα κέρδισε 45 ρούβλια λιγότερα για την πρώτη τάξη από ό, τι για τη δεύτερη. Πόσα τσάγια και των δύο ποικιλιών πουλήθηκαν;

266. Ο εργολάβος προσέλαβε έναν υπάλληλο με τον όρο να του πληρώσει 90 καπίκια. για κάθε εργάσιμη ημέρα και αφαιρέστε από αυτήν 40 καπίκια. για κάθε μη εργάσιμη ημέρα. Μετά από 12 ημέρες, ο εργαζόμενος έλαβε 6 r. 90 κ.. Πόσες μέρες δούλεψε;

266. Ο εργολάβος προσέλαβε έναν υπάλληλο με τον όρο να του πληρώσει 80 καπίκια. για κάθε εργάσιμη ημέρα και αφαιρέστε 50 καπίκια από αυτήν. για κάθε μη εργάσιμη ημέρα. Μετά από 50 ημέρες, ο εργαζόμενος έλαβε 21 ρούβλια. 80 σε .. Πόσες μέρες παρέλειψε;

267. ΕΝΑΚαι ΣΕπαίζουν μπιλιάρδο με την προϋπόθεση ότι ο νικητής του παιχνιδιού θα λάβει 76 k από τον ηττημένο. μετά από 20 αγώνες αποδείχθηκε ότι ΣΕκέρδισε μόνο 4 r. 50 κ.. Πόσα παιχνίδια κέρδισε;

267 ΕΝΑΚαι ΣΕπαίζουν μπιλιάρδο με την προϋπόθεση ότι ο νικητής του παιχνιδιού θα λάβει 50 k από τον ηττημένο. μετά από 12 αγώνες αποδείχθηκε ότι ΕΝΑκέρδισε μόνο 2 φορές Πόσα παιχνίδια έχασε;

268. Δύο ταχυμεταφορείς έφυγαν ταυτόχρονα από δύο πόλεις που βρίσκονται σε απόσταση 300 μιλίων και ταξιδεύουν η μία προς την άλλη. Το πρώτο ταξιδεύει 12 βερστ την ώρα, το δεύτερο 13 βερστ. Πότε θα συναντηθούν;

268. Δύο αγγελιαφόροι έφυγαν ταυτόχρονα από δύο πόλεις που βρίσκονται σε απόσταση 280 μιλίων, και πηγαίνουν ο ένας προς την άλλη. Το πρώτο ταξιδεύει 11 βερστ την ώρα, το δεύτερο 17 βερστ. Πότε θα συναντηθούν;

269. από δύο σταθμούς ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ, που βρίσκεται σε απόσταση 77 βερστ, δύο τρένα αναχωρούν ταυτόχρονα και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες 31 1/2 βερστ και 18 2/3 βερστ την ώρα, το πρώτο ακολουθεί το δεύτερο. Πότε θα προλάβει;

269. Από δύο σιδηροδρομικούς σταθμούς που βρίσκονται σε απόσταση 38 βερστ, δύο τρένα φεύγουν ταυτόχρονα και πηγαίνουν προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες 25 1/4 βερστ και 20 1/2 βερστ την ώρα, η πρώτη ακολουθεί τη δεύτερη. Πότε θα προλάβει;

270. Ένα επιβατικό τρένο φεύγει από τον σταθμό στις 12 το μεσημέρι, κάνοντας 32 in. στη μία η ώρα. Μετά από 45 λεπτά, ένα τρένο κούριερ φεύγει από τον ίδιο σταθμό, κάνοντας 42 in. στη μία η ώρα. Πότε θα προσπεράσει η αμαξοστοιχία των ταχυμεταφορών την επιβατική αμαξοστοιχία;

270. Ένα επιβατικό τρένο φεύγει από τον σταθμό στις 9 η ώρα το πρωί, κάνοντας 28 in. στη μία η ώρα. Μια ώρα και ένα τέταρτο αργότερα, ένα τρένο κούριερ φεύγει από τον ίδιο σταθμό, βγάζοντας 40 βολτ. στη μία η ώρα. Πότε θα προσπεράσει η αμαξοστοιχία των ταχυμεταφορών την επιβατική αμαξοστοιχία;

271. Ποιο κεφάλαιο πρέπει να δοθεί στην ανάπτυξη στο 6% για να πραγματοποιηθεί κέρδος 224 ρούβλια σε 1 χρόνο και 2 μήνες;

271. Ποιο κεφάλαιο πρέπει να παραδοθεί για ανάπτυξη στο 8% για να λάβετε κέρδος 182 ρούβλια σε 7 μήνες;

272. Πόσο ενδιαφέρον πρέπει να δοθεί στην αύξηση κεφαλαίου 4400 ρούβλια για να λάβετε κέρδος 280 ρούβλια σε 1 έτος και 5 μήνες. 50 κ.

272. Με πόσους τόκους πρέπει να πληρωθεί ένα κεφάλαιο 1.800 ρουβλίων σε τόκους για να λάβετε κέρδος 93 ρούβλια σε 11 μήνες. 60 κ.;

273. Ο έμπορος, έχοντας πουλήσει τα αγαθά για 299 ρούβλια, κέρδισε το 15% του κέρδους. Τι του κοστίζει το προϊόν;

273. Ένας έμπορος, έχοντας πουλήσει αγαθά για 161 ρούβλια, έλαβε το 7 1/2% του κέρδους. Τι του κοστίζει το προϊόν;

274. Κατά την πώληση αγαθών ποσού 429 π. έλαβε με ζημία 2 1/2%. Ποια είναι η τιμή ενός προϊόντος;

274. Κατά την πώληση αγαθών στο ποσό των 366 ρούβλια. έλαβε με ζημία 8 1 / 2 % Ποιο είναι το κόστος των εμπορευμάτων;

275. Στον λογαριασμό 10 μήνες πριν από την ημερομηνία λήξης, καταβλήθηκαν 1120 ρούβλια, με εμπορική λογιστική στο 8%. Βρείτε το νόμισμα του λογαριασμού.

275. Σε λογαριασμό για 1 έτος 3 μήνες πριν από την ημερομηνία λήξης, καταβλήθηκαν 839 ρούβλια. 60 κοπ. με εμπορική λογιστική στο 7%. Βρείτε το νόμισμα του λογαριασμού.

276. Η πισίνα γεμίζει με έναν σωλήνα στις 3 η ώρα, την άλλη στις 5 η ώρα. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να γεμίσει εάν ανοίξουν και οι δύο σωλήνες ταυτόχρονα;

276. Η πισίνα γεμίζει με έναν σωλήνα στις 7 1/2 η ώρα, την άλλη στις 5 η ώρα. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να γεμίσει εάν ανοίξουν και οι δύο σωλήνες ταυτόχρονα;

277. Η πισίνα γεμίζει με έναν σωλήνα στις 4 η ώρα, και μέσω της άλλης μπορεί να ρέει όλες έξω στις 6 η ώρα. Πότε θα γεμίσει η πισίνα με την ταυτόχρονη δράση και των δύο σωλήνων;

277. Η πισίνα γεμίζει με τον ένα σωλήνα στις 2 1 / 3 ώρες και μέσω του άλλου μπορεί να ρέει έξω στις 2 ώρες 48. Πόσο καιρό θα γεμίσει η πισίνα με την ταυτόχρονη δράση και των δύο σωλήνων;

278. Δύο εργαζόμενοι μαζί τελειώνουν την εργασία σε 3 ώρες 36 λεπτά. ο πρώτος μπορεί να το εκτελέσει στις 6 η ώρα. Πότε θα κάνει το δεύτερο άτομο την ίδια δουλειά;

278. Δύο εργάτες μαζί τελειώνουν τη δουλειά στις 12 η ώρα. ο πρώτος μπορεί να το εκτελέσει στις 20 η ώρα. Τι ώρα θα κάνει ο δεύτερος την ίδια δουλειά;

279. Υπάρχουν τρεις σωλήνες στην πισίνα. Το νερό εισέρχεται από τα δύο πρώτα, ρέει έξω από το τρίτο. Μέσω του πρώτου σωλήνα, η πισίνα μπορεί να γεμίσει στις 3 η ώρα, μέσω της δεύτερης στις 2 η ώρα, και μέσω της τρίτης, όλο το νερό μπορεί να ρέει έξω από την πισίνα στις 6 η ώρα. Πότε θα γεμίσει η πισίνα αν ανοίξουν και οι τρεις σωλήνες;

279. Υπάρχουν τρεις σωλήνες στη λεκάνη. Το νερό εισέρχεται από τα δύο πρώτα, ρέει έξω από το τρίτο. Μέσω του πρώτου σωλήνα, η πισίνα μπορεί να γεμίσει στις 2 η ώρα, μέσω της δεύτερης στις 5 η ώρα, και μέσω της τρίτης, όλο το νερό μπορεί να ρέει έξω από την πισίνα στις 10 η ώρα. Πότε θα γεμίσει η πισίνα αν ανοίξουν και οι τρεις σωλήνες;

280. Από τους τρεις σωλήνες που σύρονται στην πισίνα, ο πρώτος την γεμίζει στις 5 η ώρα, ο δεύτερος την γεμίζει στις 15 η ώρα και μέσω της τρίτης ολόκληρη η πισίνα ρέει έξω στις 3 η ώρα. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αποστραγγιστεί μια γεμάτη πισίνα εάν όλοι οι σωλήνες είναι ενεργοί ταυτόχρονα;

280. Από τους τρεις σωλήνες που σύρονται στην πισίνα, ο πρώτος τον γεμίζει στις 6 η ώρα, ο δεύτερος τον γεμίζει στις 18 και μέσω του τρίτου ολόκληρη η πισίνα ρέει έξω στις 3 η ώρα. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αποστραγγιστεί η πλήρης πισίνα εάν λειτουργούν όλοι οι σωλήνες ταυτόχρονα;

281. Το δεύτερο τρένο του σιδηροδρόμου πηγαίνει από ΕΝΑ V ΣΕσυν μέση ταχύτητα 30 μίλια την ώρα και μετά επιστρέφει από ΣΕ V ΕΝΑμε ταχύτητα 28 μίλια την ώρα. Κάνει όλο το ταξίδι εκεί και πίσω στις 2 1/2 ώρες. Πόσα μίλια από ΕΝΑπριν ΣΕ?

281. Το δεύτερο τρένο του σιδηροδρόμου πηγαίνει από ΕΝΑ V ΣΕμε μέση ταχύτητα 24 μιλίων την ώρα, μετά επιστρέφει από ΣΕ V ΕΝΑμε ταχύτητα 30 μιλίων την ώρα. Κάνει όλο το ταξίδι εκεί και πίσω στις 11 1/4 ώρα. Πόσα μίλια από ΕΝΑπριν ΣΕ?

282. Από ΕΝΑ V ΣΕβγήκε ένα τρένο που περνούσε σε μια ώρα 20 βερστ. Μετά από 8 ώρες το τρένο φεύγει ΣΕ V ΕΝΑ, περνώντας 30 ίντσες. στη μία η ώρα. Απόσταση ΑΒισούται με 350 V.. Σε ποια απόσταση από ΕΝΑσυναντιούνται τα τρένα;

282. Από ΕΝΑ V ΣΕβγήκε ένα τρένο που περνούσε την ώρα των 24 βερστών. Το τρένο φεύγει σε 5 ώρες. ΣΕ V ΕΝΑπερνώντας 28 γ. στη μία η ώρα. Απόσταση ΑΒίσο με 380 in., Σε ποια απόσταση από ΣΕσυναντιούνται τα τρένα;

283. Το άθροισμα τριών αριθμών είναι 70. Ο δεύτερος αριθμός, όταν διαιρείται με τον πρώτο, δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 1, ο τρίτος, όταν διαιρείται με τον δεύτερο, δίνει πηλίκο 3 και υπόλοιπο 3. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

283. Το άθροισμα τριών αριθμών είναι 60. Ο δεύτερος αριθμός, όταν διαιρείται με τον πρώτο, δίνει πηλίκο 3 και υπόλοιπο 2, ο τρίτος, όταν διαιρείται με τον δεύτερο, δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 4. Βρείτε τους αριθμούς.

284. Βρείτε έναν αριθμό που όταν διαιρείται με το 5 αφήνει υπόλοιπο 2 και όταν διαιρείται με το 8 δίνει υπόλοιπο 5, γνωρίζοντας ότι το πρώτο πηλίκο είναι τρεις φορές μεγαλύτερο από το δεύτερο.

284. Να βρείτε έναν αριθμό που όταν διαιρείται με το 7 αφήνει υπόλοιπο 2 και όταν διαιρείται με το 9 δίνει υπόλοιπο 4, γνωρίζοντας επιπλέον. ότι το πρώτο πηλίκο είναι δύο μεγαλύτερο από το δεύτερο.

285. Κάποιος, θέλοντας να μοιράσει τα χρήματα που είχε μαζί του στους φτωχούς, υπολόγισε ότι αν έδιναν στον καθένα 15 καπίκια, τότε δεν θα του έφταναν 10 καπίκια και αν έδιναν στον καθένα 13 καπίκια, τότε θα έμεναν επιπλέον 6 καπίκια. Πόσοι ζητιάνοι ήταν και πόσα χρήματα;

285. Κάποιος, θέλοντας να μοιράσει τα χρήματα που είχε μαζί του στους φτωχούς, υπολόγισε ότι αν δίνονταν σε όλους 8 καπίκια, τότε θα έμεναν 4 καπίκια. περιττό, και αν δοθούν σε όλους 9 καπίκια, τότε 2 καπίκια δεν θα είναι αρκετά .. Πόσοι ζητιάνοι ήταν και πόσα χρήματα;

286. Ο μηχανικός τοποθετεί τηλεγραφικούς στύλους σε κάποια απόσταση. Αν τα έβαζε σε απόσταση 25 βαθμών το ένα από το άλλο, τότε θα έπρεπε να κατασκευαστούν 150 ακόμη κολώνες, και αν αύξανε την απόσταση μεταξύ των πυλώνων κατά 5, τότε 70 πυλώνες θα ήταν επιπλέον. Πόσο μεγάλη είναι η απόσταση και πόσοι πόλοι γίνονται;

286. Ένας μηχανικός τοποθετεί τηλεγραφικούς στύλους σε κάποια απόσταση. Αν τα είχε τοποθετήσει σε απόσταση 30 βαθμών το ένα από το άλλο, τότε θα είχε αφήσει 100 επιπλέον κολώνες και αν μείωνε την απόσταση των πυλώνων κατά 4, τότε θα έπρεπε να γίνουν άλλες 180 κολώνες. Πόσο μεγάλη είναι η απόσταση και πόσοι πόλοι γίνονται;

287. Κάποιος, όταν προσέλαβε έναν υπηρέτη, του υποσχέθηκε για ένα χρόνο υπηρεσίας να πληρώσει χρήματα και 144 ρούβλια. και δώσε ρούχα. Ο υπηρέτης ξεπλήρωσε μετά από 7 μήνες και έλαβε ρούχα και 54 ρούβλια ως πληρωμή. Τι κόστισαν τα ρούχα;

287. Όταν προσλάμβανε έναν υπηρέτη, κάποιος υποσχέθηκε να του πληρώσει 75 ρούβλια σε χρήματα για 7 μήνες υπηρεσίας και να του δώσει ρούχα. Ο υπηρέτης ξεπλήρωσε μετά από 5 μήνες και έλαβε ρούχα και 45 ρούβλια ως πληρωμή. Ποιο είναι το κόστος των ρούχων;

288. Πληρώθηκε για 46 λίβρες ζάχαρη για 195 ρούβλια. περισσότερα από 73 κιλά τσαγιού. 9 πόντους ζάχαρης κοστίζουν 30 ρούβλια λιγότερο από 37 λίβρες τσάι. Τι αξίζει ένα κιλό τσάι και μια λίγη ζάχαρη;

288. Πληρώθηκε για 21 λίβρες τσάι για 238 ρούβλια λιγότερο από ό,τι για 40 λίβρες ζάχαρη. 15 λίβρες τσαγιού κοστίζουν 2 ρούβλια. πιο ακριβό από 4 πόντους ζάχαρη. Τι αξίζει ένα κιλό τσάι και μια λίγη ζάχαρη;

289. Ο γαιοκτήμονας προσέλαβε δύο χωρικούς με το ίδιο μεροκάματο. Ένα από αυτά για 40 ημέρες, έδωσε 7 π. 50 καπίκια σε χρήματα και 3 1/2 τέταρτα βρώμη, άλλα 4 ρούβλια σε 24 ημέρες. 80 κ. σε μετρητά και 2 τέταρτα βρώμη. Τι αξίζει το ένα τέταρτο της βρώμης;

289. Ο γαιοκτήμονας προσέλαβε δύο χωρικούς με το ίδιο μεροκάματο. Έδωσε 14 ρούβλια σε έναν από αυτούς σε 56 ημέρες. χρήματα και 8 τέταρτα βρώμη, άλλο για 88 ημέρες 13 σελ. 50 κ. σε μετρητά και 15 τέταρτα βρώμη. Πόσο κοστίζει το ένα τέταρτο της βρώμης;

290. Πληρώθηκε για 25 arshins από ύφασμα και 21 arshins. βελούδο 247 ρούβλια. Είναι γνωστό ότι 10 αρσ. βελούδο κοστίζει 18 ρούβλια περισσότερα από 13 arshins του υφάσματος. Τι αξίζει ένα arshin και από τα δύο;

290. Πληρώθηκε για 15 αρσίν βελούδο και 52 αρσίνια. ύφασμα 276 ρούβλια. Είναι γνωστό ότι 2 αρσ. βελούδο κόστος 17 ρούβλια λιγότερο από 11 arsh. πανί. Τι αξίζει ένα arshin και από τα δύο;

291. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 12. Εάν αφαιρεθεί το 18 από τον επιθυμητό αριθμό, τότε παίρνετε έναν αριθμό που υποδεικνύεται με τα ίδια ψηφία, αλλά γράφεται με αντίστροφη σειρά. Βρείτε αυτόν τον αριθμό.

291. Η διαφορά μεταξύ των ψηφίων των μονάδων και των δεκάδων κάποιου διψήφιου αριθμού είναι ίση με 3. Αν προστεθεί το 27 στον επιθυμητό αριθμό, τότε παίρνουμε έναν αριθμό που υποδεικνύεται με τα ίδια ψηφία, αλλά γράφεται με αντίστροφη σειρά. Βρείτε αυτόν τον αριθμό.

292. Σε κάποιο διψήφιο αριθμό, ο αριθμός των δεκάδων είναι διπλάσιος από τον αριθμό των μονάδων. Αν αναδιατάξουμε τα ψηφία αυτού του αριθμού, τότε παίρνουμε έναν αριθμό μικρότερο από τον επιθυμητό κατά 36. Βρείτε αυτόν τον αριθμό.

292. Σε κάποιο διψήφιο αριθμό, ο αριθμός των δεκάδων είναι τρεις φορές μικρότερος από τον αριθμό των μονάδων. Αν αναδιατάξουμε τα ψηφία αυτού του αριθμού, παίρνουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από τον επιθυμητό κατά 36. Βρείτε αυτόν τον αριθμό.

293. Απαίζοντας σκάκι με ΣΕκαι κερδίζει τρία στα τέσσερα παιχνίδια εναντίον του, μετά παίζει μαζί του ΜΕκαι κερδίζει δύο στα τρία παιχνίδια εναντίον του τελευταίου. Σύνολο ΕΝΑέπαιξε 21 παιχνίδια και κέρδισε τα 15. Με πόσα παιχνίδια έπαιξε ΣΕκαι με ΜΕ?

293. ΕΝΑπαίζοντας σκάκι με ΣΕκαι χάνει από αυτόν τρία στα οκτώ παιχνίδια, μετά παίζει με ΜΕκαι χάνει δύο στα πέντε παιχνίδια στο τελευταίο. Ολα για όλα ΕΝΑέπαιξε 26 παιχνίδια και έχασε τα 10. Με πόσα παιχνίδια έπαιξε ΣΕκαι με ΜΕ?

294. Τι ώρα είναι τώρα αν το 1/5 του αριθμού των ωρών από το μεσημέρι είναι το 1/3 του αριθμού των ωρών μέχρι τα μεσάνυχτα;

294. Τι ώρα είναι τώρα, αν το 1/11 του αριθμού των ωρών που έχουν περάσει από το μεσημέρι είναι ίσο με το 1/13 του αριθμού των ωρών που απομένουν μέχρι τα μεσάνυχτα;

295. Βρείτε το βάρος του ψαριού, γνωρίζοντας ότι η ουρά ζυγίζει 2 κιλά, το κεφάλι ζυγίζει όσο η ουρά και το μισό σώμα και το σώμα όσο το κεφάλι και η ουρά.

295. Βρείτε το βάρος του ψαριού, γνωρίζοντας ότι το κεφάλι του ζυγίζει 7 λίβρες, η ουρά ζυγίζει όσο το κεφάλι και το μισό σώμα και το σώμα όσο η ουρά και το κεφάλι.

296. Ένα ορισμένο ποσό πρέπει να διαιρεθεί σε δύο άτομα, έτσι ώστε τα μέρη του πρώτου και του δεύτερου να σχετίζονται μεταξύ τους όπως οι αριθμοί 5 και 3, και αυτό το μέρος του πρώτου είναι 50 ρούβλια. πάνω από τα 5/9 του συνόλου. Πόσο μεγάλο είναι το κάθε μέρος;

296. Ένα ορισμένο ποσό πρέπει να διαιρεθεί μεταξύ δύο ατόμων, έτσι ώστε τα μέρη του πρώτου και του δεύτερου να σχετίζονται μεταξύ τους όπως οι αριθμοί 7 και 4, και ότι το μέρος του δεύτερου είναι 21 ρούβλια. λιγότερο από τα 5/12 του συνόλου. Πόσο μεγάλο είναι το κάθε μέρος;

297. Το προϊόν πωλήθηκε με ζημία για 420 ρούβλια. εάν πωλούνταν για 570 ρούβλια, τότε το κέρδος που θα λάβετε θα ήταν 5 φορές μεγαλύτερο από τη ζημιά που προέκυψε. Ποια είναι η τιμή ενός προϊόντος;

297. Αγαθά που πωλούνται με κέρδος για 520 ρούβλια. αν είχε πουληθεί για 320 ρούβλια, τότε θα υπήρχε ζημία που θα ανέρχεται στα 3/7 των εσόδων. Ποια είναι η τιμή ενός προϊόντος;

298. Οι αριθμοί των arshins του calico που περιέχονται σε τρία κομμάτια σχετίζονται ως 2:3:5. Αν κόψετε 4 arshins από το πρώτο κομμάτι, 6 arshins από το δεύτερο. και από το τρίτο 10 αρσ., τότε το υπόλοιπο ποσό από ολόκληρο το τσιντς θα είναι τα 5/6 του προηγούμενου ποσού. Πόσα arshins είναι σε κάθε κομμάτι;

298. Ο αριθμός των arshins του calico που περιέχονται σε τρία κομμάτια είναι 3:5:8. Αν αποκοπεί από τα πρώτα 10 arshins, από τα δεύτερα 20 arshins. και από το τρίτο 30 αρσ., τότε το υπόλοιπο ποσό ολόκληρου του τσιντς θα είναι τα 5/8 του προηγούμενου ποσού. Πόσα arshins είναι σε κάθε κομμάτι;

299. Πρώτα, το μισό από όλο το νερό που περιέχονταν και μισός κουβάς χύθηκε από τη δεξαμενή, μετά το μισό από το υπόλοιπο και το μισό κουβά, τέλος άλλο ένα μισό από το υπόλοιπο και μισός κουβάς. μετά από αυτό, έμειναν 6 κάδοι στη δεξαμενή. Πόσο νερό υπήρχε στην αρχή;

299. Το ένα τρίτο του νερού που ήταν μέσα και το ένα τρίτο ενός κουβά χύθηκαν έξω από τη δεξαμενή, μετά το ένα τρίτο του υπολοίπου και το ένα τρίτο του κάδου, τέλος άλλο ένα τρίτο του υπολοίπου και το ένα τρίτο του κάδου. μετά έμειναν στη δεξαμενή 7 κουβάδες.Πόσο νερό είχε στην αρχή;

300. Πολλά άτομα διαιρούν κάποιο ποσό ως εξής. ο πρώτος παίρνει 100 r. και το ένα πέμπτο του υπολοίπου, το δεύτερο 200 ρούβλια και το ένα πέμπτο του νέου υπολοίπου, το τρίτο 300 ρούβλια και το ένα πέμπτο του υπολοίπου, κλπ. Αποδείχθηκε ότι ολόκληρο το ποσό χωρίστηκε σε ίσα μέρη. Πόσο μεγάλο είναι αυτό το ποσό, πόσοι συμμετέχοντες είναι στο τμήμα και πόσα πήρε ο καθένας;

300. Πολλά άτομα διαιρούν ένα ορισμένο ποσό ως εξής: το πρώτο λαμβάνει 50 ρούβλια και το ένα έκτο του υπολοίπου, το δεύτερο 100 ρούβλια και το ένα έκτο του νέου υπολοίπου, το τρίτο 150 ρούβλια και το ένα έκτο από το υπόλοιπο κ.λπ. ότι ολόκληρο το ποσό χωρίστηκε σε ίσα μέρη. Πόσο μεγάλο είναι αυτό το ποσό, πόσοι συμμετέχοντες είναι στο τμήμα και πόσα πήρε ο καθένας;

Οι ακόλουθες εργασίες διαφέρουν από τις προηγούμενες στο ότι τα δεδομένα εκφράζονται σιωπηρά, δηλαδή με γράμματα. Αυτές οι εργασίες ανήκουν στους ίδιους τύπους με τις προηγούμενες. Κατά την επίλυσή τους, επαναλαμβάνονται οι πιο σημαντικές από αυτές τις μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν νωρίτερα, αλλά, λόγω της άρρητης μορφής των δεδομένων, ο συλλογισμός είναι πιο γενικός και ταυτόχρονα πιο αφηρημένος. Στις νέες ασκήσεις, όπως και στις προηγούμενες, πρέπει πρώτα από όλα να φροντίσει να εκφράσει μέσω του κύριου αγνώστου και μέσω των δεδομένων ονομασιών όλες τις ποσότητες που αναφέρονται άμεσα στο πρόβλημα ή που υπονοούνται σε αυτό, και σε αυτό Σε περίπτωση που κάποιος πρέπει να λαμβάνει υπόψη του με συνέπεια όλους τους χαρακτηρισμούς που δίνονται στο πρόβλημα, και όλες τις προϋποθέσεις που σχετίζονται με τα δεδομένα και με αυτές που αναζητούνται, όταν με αυτόν τον τρόπο θα χρησιμοποιηθούν όλες οι προϋποθέσεις στην υπόθεση, τότε η σκέψη του πώς να συνθέτουν την απαιτούμενη εξίσωση θα εμφανιστεί η ίδια.

301. Διαφορά δύο αριθμών μικρό q . Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

301. Διαφορά δύο αριθμών ρε , η πολλαπλή αναλογία του μεγαλύτερου προς το μικρότερο q . Βρείτε και τους δύο αριθμούς.

302. Διαιρέστε έναν αριθμό ΕΝΑ σε τρία μέρη έτσι ώστε το πρώτο μέρος να είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο κατά αριθμό Τ και λιγότερο από το ένα τρίτο Π μια φορά.

302. Διαιρέστε έναν αριθμό ΕΝΑ σε τρία μέρη έτσι ώστε το πρώτο μέρος να είναι μικρότερο από το δεύτερο κατά έναν αριθμό Τ και περισσότερο από το ένα τρίτο Π μια φορά.

303. Ένας αριθμός μέσα ΕΝΑ φορές λιγότερο από το άλλο. Αν προσθέσετε στον πρώτο αριθμό Τ , και στο δεύτερο Π , τότε το πρώτο άθροισμα θα είναι μέσα σι φορές λιγότερο από το δεύτερο. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

303. Ένας αριθμός μέσα ΕΝΑ φορές λιγότερο από το άλλο. Αν αφαιρέσουμε από το πρώτο Τ , και από το δεύτερο Π , τότε η πρώτη διαφορά θα είναι μέσα σι φορές περισσότερο από το δεύτερο. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

304. Ο αριθμός ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του κατά έναν αριθμό ΕΝΑ ; Αν, ωστόσο, τα κλάσματα αφαιρεθούν και από τα δύο μέλη κατά σι Τ / Π . Βρείτε όρους ενός κλάσματος.

304. Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του κατά έναν αριθμό ΕΝΑ . Αν προσθέσουμε και στα δύο μέλη του κλάσματος κατά σι , τότε παίρνετε ένα κλάσμα ίσο με το κλάσμα Τ / Π . Βρείτε όρους ενός κλάσματος.

305. Διαιρέστε έναν αριθμό ΕΝΑ R φορές περισσότερο από το δεύτερο και q φορές λιγότερο από το ένα τρίτο.

305. Διαιρέστε έναν αριθμό ΕΝΑ σε τρία μέρη έτσι ώστε το πρώτο ήταν. V R φορές λιγότερο από το δεύτερο και q φορές περισσότερο από το ένα τρίτο.

306. Ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι ο μεγαλύτερος από τον αριθμητή του σε ΕΝΑ μια φορά. Αν προσθέσουμε στον αριθμητή τον αριθμό σι και αφαιρούμε τον αριθμό από τον παρονομαστή Με , τότε παίρνετε ένα κλάσμα ίσο με το κλάσμα κ /μεγάλο . Βρείτε όρους ενός κλάσματος.

306. Ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι μικρότερος από τον αριθμητή του σε ΕΝΑ μια φορά. Αν αφαιρέσουμε τον αριθμό από τον αριθμητή σι και προσθέστε έναν αριθμό στον παρονομαστή Με , στη συνέχεια μάθετε ένα κλάσμα ίσο με το κλάσμα κ /μεγάλο . Βρείτε όρους ενός κλάσματος.

307. Διαιρέστε έναν αριθμό Τ σε δύο μέρη έτσι ώστε η διαφορά μεταξύ των πηλίκων από τη διαίρεση του πρώτου μέρους με ΕΝΑ και δεύτερο σι θα μου άρεσε r.

307. Διαιρέστε έναν αριθμό Τ σε δύο μέρη έτσι ώστε το άθροισμα των πηλίκων από τη διαίρεση του πρώτου μέρους με ΕΝΑ και δεύτερο σι θα ισοδυναμούσε μικρό .

308. Ένας υπάλληλος λαμβάνει για κάθε εργάσιμη ημέρα ΕΝΑ καπίκια, και για κάθε μη λειτουργικό αφαιρούν σι καπίκια. Μετά την πάροδο του Π ημέρες, το καθαρό εισόδημα του εργαζομένου ισούται με μικρό ρούβλια. Πόσες εργάσιμες και πόσες μη εργάσιμες;

308. Υπάλληλος λαμβάνει για κάθε εργάσιμη ημέρα ΕΝΑ καπίκια, και για κάθε μη λειτουργικό αφαιρούν από αυτό σι καπίκια. Μετά την πάροδο του Π ημέρες, ο υπάλληλος πρέπει να πληρώσει μόνος του 5 ρούβλια Πόσες εργάσιμες και πόσες μη εργάσιμες;

309. Διαφορά δύο αριθμών ρε . Διαιρώντας το minuend με το subtrahend δίνει το πηλίκο q και υπόλοιπο ίσο με τη μισή διαφορά. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς

309. Διαφορά δύο αριθμών ρε . Διαιρώντας το minuend με το subtrahend δίνει το υπόλοιπο r και πηλίκο ίσο με το μισό της διαφοράς. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

310. Για λίγα αρσίνια υφάσματος. επί πληρωμή ΕΝΑ ρούβλια? αν αγοράζαμε περισσότερο ύφασμα Με σι

310. Πλήρωσε για λίγα αρσίνια υφάσματος ΕΝΑ ρούβλια? αν αγοράζαμε ύφασμα για λιγότερο Με arshin, τότε θα έπρεπε να πληρώσεις σι ρούβλια. Πόσα arshins αγοράστηκαν;

311. Ποιος αριθμός, όταν πολλαπλασιάζεται με ένα , θα αυξηθεί κατά τον αριθμό Τ ?

311. Ποιος αριθμός, διαιρούμενος με ΕΝΑ , μειώνεται κατά τον αριθμό Τ ?

312. Όταν πουλάτε ένα σπίτι για Μ ρούβλια που ελήφθησαν R τοις εκατό απώλεια. Τι κόστισε στον ίδιο τον πωλητή;

312. Όταν πουλάτε ένα σπίτι για Τ ρούβλι που έλαβε R τοις εκατό κέρδος. Τι κόστισε στον ίδιο τον πωλητή;

313. Δύο κούριερ φεύγουν ταυτόχρονα από δύο μέρη ΕΝΑΚαι ΣΕκαι ταξιδεύουν προς την ίδια κατεύθυνση ΕΝΑΠρος την ΣΕκαι ούτω καθεξής. Περνάει για πρώτη φορά σε μια ώρα ΕΝΑ verst, δεύτερος σι στιχ. Απόσταση ΑΒισοδυναμεί ρε στιχ. Πότε και πόσο μακριά από ΕΝΑ Ο πρώτος κούριερ θα προσπεράσει τον δεύτερο;

313. Δύο ταχυμεταφορείς φεύγουν ταυτόχρονα από δύο μέρη ΕΝΑΚαι ΣΕκαι πηγαίνετε ο ένας προς τον άλλον. Το πρώτο περνάει σε μια ώρα ΕΝΑ verst, δεύτερος σι στιχ. Απόσταση ΑΒισοδυναμεί ρε στιχ. Οταν. και πόσο μακριά από ΕΝΑθα συναντηθούν και οι δύο κούριερ;

314. Ο μπροστινός τροχός της άμαξας έχει περιφέρεια από ΕΝΑ πόδια, πίσω περιφέρεια σι πόδια Πόσο μακριά πρέπει να διανύσει η άμαξα για να κάνει ο μπροστινός τροχός Π υψηλές στροφές στην όπισθεν;

314. Ο μπροστινός τροχός της άμαξας έχει έναν κύκλο επάνω ΕΝΑ πόδια λιγότερο από το πίσω μέρος. Πόσο μακριά πρέπει να διανύσει η άμαξα για να κάνει ο μπροστινός τροχός Τ , και το πίσω μέρος Π επαναστάσεις;

315. Δύο σωλήνες οδηγούνται στην πισίνα, και οι δύο τη γεμίζουν, ο πρώτος με ξεχωριστή δράση μέσα ΕΝΑ ώρες, το δεύτερο επίσης με ξεχωριστή δράση μέσα σι ώρες. Πότε θα γεμίσει η πισίνα με την ταυτόχρονη δράση και των δύο σωλήνων;

315. Δύο σωλήνες οδηγούνται στην πισίνα, εκ των οποίων ο πρώτος, με ξεχωριστή ενέργεια, τη γεμίζει. ΕΝΑ ώρες, και το δεύτερο επίσης, σε μια ξεχωριστή δράση, χύνει ολόκληρη την πισίνα μέσα σι ώρες. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να γεμίσει η πισίνα με ταυτόχρονη λειτουργία και των δύο σωλήνων;

316. Περιφέρεια τροχού πληρώματος ΕΝΑ φορές την περιφέρεια του μπροστινού τροχού. Το πλήρωμα πέρασε Τ πόδια, και με αυτόν τον τρόπο, ο μπροστινός τροχός έκανε Προς την περιστροφές περισσότερες από το πίσω μέρος. Προσδιορίστε την περιφέρεια και των δύο τροχών και τον αριθμό των στροφών.

316. Η περιφέρεια του μπροστινού τροχού επάνω ΕΝΑ πόδια λιγότερο από την πίσω περιφέρεια. Το πλήρωμα πέρασε Τ πόδια, και ταυτόχρονα μπήκε ο πίσω τροχός Προς την φορές λιγότερες στροφές από το μέτωπο. Προσδιορίστε την περιφέρεια και των δύο τροχών και τον αριθμό των στροφών.

317. Ο πληθυσμός μιας πόλης αυξάνεται ετησίως κατά R % σε σύγκριση με τον πληθυσμό του προηγούμενου έτους. Αυτή τη στιγμή στην πόλη Τ

317. Ο πληθυσμός μιας πόλης μειώνεται ετησίως κατά R % σε σύγκριση με τον πληθυσμό του προηγούμενου έτους. Αυτή τη στιγμή στην πόλη Τ οι κατοικοι. Πόσα άτομα ήταν εκεί πριν από 3 χρόνια;

318. Δύο εργάτες, που εργάζονται ταυτόχρονα, τελειώνουν τη δουλειά τους μέσα ΕΝΑ ώρες. Ένας πρώτος θα κάνει την ίδια δουλειά μέσα σι , φορές πιο γρήγορα από ένα δευτερόλεπτο. Πότε θα τελειώσει η δουλειά του κάθε εργάτη;

318. Δύο εργάτες, που εργάζονται ταυτόχρονα, τελειώνουν τη δουλειά μέσα ΕΝΑ ώρες. Ένας πρώτος θα κάνει την ίδια δουλειά μέσα σι , φορές πιο αργά από ένα δευτερόλεπτο. Τι ώρα τελειώνει κάθε εργαζόμενος;

319. Ο βαρκάρης, κωπηλατεί στο ποτάμι, κολυμπά Π sazhen in t ώρες; κωπηλατώντας κόντρα στο ρεύμα, χρησιμοποιεί Και περισσότερες ώρες για να κολυμπήσετε την ίδια απόσταση. Προσδιορίστε την ωριαία παροχή.

319. Βαρκάρης, κωπηλατεί κόντρα στο ρεύμα, κολυμπά Π sazhen in t ώρες; κωπηλατώντας κατάντη, χρησιμοποιεί Και ώρες λιγότερες για να κολυμπήσετε την ίδια απόσταση. Προσδιορίστε την ωριαία παροχή.

320. σώμα ΕΝΑκινείται με ταχύτητα v μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Πόσο γρήγορα πρέπει να κινείται το άλλο σώμα; ΣΕ, προερχόμενος από το ίδιο μέρος t δευτερόλεπτα νωρίτερα αν το προσπερνούσε το σώμα ΕΝΑδιά μέσου Και δευτερόλεπτα μετά την έναρξη της κίνησης αυτού του σώματος;

320. Σώμα ΕΝΑκινείται με ταχύτητα v μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Πόσο γρήγορα πρέπει να κινείται το άλλο σώμα; ΣΕσυντοπίτης Και δευτερόλεπτα αργότερα αν προλάβει το σώμα ΕΝΑμέσα και δευτερόλεπτα μετά την έναρξη της κίνησής του;

321. Από τις δύο ποικιλίες αγαθών, σε τιμή ΕΝΑ ρούβλια και σι ρούβλια ανά λίβρα, συγκεντρωμένα ρε Τ ρούβλια ανά λίρα που λαμβάνεται μικρό απώλεια ρούβλια. Πόσα κιλά και των δύο ειδών χρειάστηκαν για την παρασκευή του μείγματος;

321. Από δύο ποικιλίες αγαθών, σε τιμή των ΕΝΑ ρούβλια και σι ρούβλια ανά λίβρα, συγκεντρωμένα ρε κιλά μείγματος. Όταν πουλάτε αυτό το μείγμα από Τ ρούβλια ανά λίρα που λαμβάνεται μικρό κέρδος σε ρούβλια. Πόσα κιλά και των δύο ειδών χρειάστηκαν για την παρασκευή του μείγματος;

322. Β πισίνα, φιλοξενία Τ κουβάδες, τοποθετήθηκαν δύο σωλήνες. Το πρώτο χύνεται στην πισίνα ΕΝΑ κουβάδες ανά ώρα. Το δεύτερο χύνει ολόκληρη την πισίνα σι ώρες. Πότε θα γεμίσει η πισίνα με ταυτόχρονη λειτουργία και των δύο σωλήνων;

322. Προς την πισίνα που περιέχει Τ κουβάδες, τοποθετήθηκαν δύο σωλήνες. Το πρώτο γεμίζει ολόκληρη την πισίνα ΕΝΑ ώρες. Το δεύτερο σε μια ώρα ξεχύνεται από την πισίνα σι κουβάδες. Πότε θα γεμίσει η πισίνα με ταυτόχρονη λειτουργία και των δύο σωλήνων;

323. Διαιρέστε έναν αριθμό ΕΝΑ σε τρία μέρη έτσι ώστε το πρώτο να σχετίζεται με το δεύτερο, όπως t:p , και το δεύτερο προς το τρίτο, όπως σελ: q.

323. Διαιρέστε έναν αριθμό ΕΝΑ σε τρία μέρη έτσι ώστε το δεύτερο να σχετίζεται με το πρώτο, όπως t:p , και το τρίτο στο δεύτερο, ως σελ: q.

324. Από δύο μέρη ΕΝΑΚαι ΣΕ Π σαζέν, δύο βάρκες πλέουν το ένα προς το άλλο, οδηγούμενοι από κωπηλάτες με την ίδια δύναμη. Το πρώτο, που επιπλέει κατάντη, διανύει ολόκληρη την απόσταση ΑΒ V t ώρες; το δεύτερο, κολυμπώντας αντίθετα με το ρεύμα, χρησιμοποιεί την ίδια απόσταση περισσότερο χρόνο Και ώρες. Προσδιορίστε την ωριαία παροχή.

324. Από δύο μέρη ΕΝΑΚαι ΣΕστο ποτάμι, χωρίζονται το ένα από το άλλο από Π σαζέν, δύο βάρκες πλέουν το ένα προς το άλλο, οδηγούμενοι από κωπηλάτες με την ίδια δύναμη. Το πρώτο, κολυμπώντας αντίθετα στο ρεύμα, διανύει όλη την απόσταση ΑΒ V t ώρες; το δεύτερο, ακολουθώντας τη ροή, χρησιμοποιεί λιγότερο χρόνο για την ίδια απόσταση Και ώρες. Προσδιορίστε την ωριαία παροχή.

325. Προσδιορίστε τα κεφαλαία τριών προσώπων, γνωρίζοντας ότι το πρώτο και το δεύτερο έχουν μαζί Τ ρούβλια, το δεύτερο με το τρίτο Π ρούβλια, και ότι το κεφάλαιο του πρώτου R φορές λιγότερο από την πρωτεύουσα του τρίτου.

325. Προσδιορίστε τα κεφαλαία τριών προσώπων, γνωρίζοντας ότι το πρώτο και το τρίτο έχουν μαζί Τ ρούβλια, το δεύτερο με το τρίτο Π ρούβλια, και ότι το κεφάλαιο του πρώτου R φορές η πρωτεύουσα του δεύτερου.

326. Δύο σώματα κινούνται το ένα προς το άλλο από δύο σημεία σε απόσταση ρε μέτρα. Το πρώτο κινείται με ταχύτητα v μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί το δεύτερο σώμα αν έχει φτάσει στο η δευτερόλεπτα αργότερα από την πρώτη και θα πρέπει να πάει πριν από τη συνάντηση των πάντων Π δευτερόλεπτα;

326. Δύο σώματα κινούνται το ένα προς το άλλο από δύο σημεία σε απόσταση ρε μέτρα. Το πρώτο κινείται με ταχύτητα v μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί το δεύτερο σώμα αν έχει φτάσει η δευτερόλεπτα πριν από την πρώτηκαι πρέπει να πάει μέχρι τη συνάντηση των πάντων Π δευτερόλεπτα;

327. Γραμμάτιο προεξόφλησης εμπορικά R % πίσω Π χρόνια πριν από τη λήξη της προθεσμίας, δίνει περισσότερη μαθηματική εξέταση, που έγινε επίσης σύμφωνα με R % και για Π χρόνια, στις ΕΝΑ ρούβλια. Βρείτε το νόμισμα της εβδομάδας.

327. Λογαριασμός με έκπτωση στο εμπόριο R % πίσω Π χρόνια, στέκεται Τ ρούβλια φθηνότερα από ό,τι με τη μαθηματική λογιστική, επίσης κατασκευασμένη σύμφωνα με R % και για Π χρόνια Ποιο είναι το ποσό του λογαριασμού;

328. Δύο κούριερ φεύγουν από θέσεις ΕΝΑΚαι σιπου βρίσκεται σε απόσταση ρε verst, και πηγαίνουν προς, περνώντας την πρώτη ώρα u έκδοση και δεύτερη v versts? αναχώρηση του πρώτου ΕΝΑπραγματοποιήθηκε στις η ΣΕ. Προσδιορίστε πότε και πού θα συναντηθούν οι ταχυμεταφορείς;

328. Δύο αγγελιαφόροι φεύγουν από θέσεις ΕΝΑΚαι σιπου βρίσκεται σε απόσταση ρε verst, και πηγαίνουν και οι δύο προς την ίδια κατεύθυνση, περνώντας σε μία ή μία ώρα Και βερστ και δεύτερο v versts? αναχώρηση πρώτη από ΕΝΑπραγματοποιήθηκε στις η ώρες πριν την αναχώρηση του δεύτερου σι. Προσδιορίστε πότε και πού θα προσπεράσει ο πρώτος κούριερ τον δεύτερο;

329. Διαιρέστε έναν αριθμό ΕΝΑ σε τρία τέτοια μέρη, που αν προσαρτήσετε στο πρώτο Τ , το δεύτερο μειώνεται πρώτα κατά Μ , και μετά πολλαπλασιάστε με Π , και χωρίστε το τρίτο σε Π , τότε τα αποτελέσματα θα είναι τα ίδια.

329. Διαιρέστε έναν αριθμό ΕΝΑ σε τρία τέτοια μέρη που αν το πρώτο μειωθεί κατά Τ , πρώτα αυξήστε το δεύτερο κατά Τ , μετά πολλαπλασιάστε με Π , και χωρίστε το τρίτο σε Π , τότε τα αποτελέσματα θα είναι τα ίδια.

330. Υπάρχουν τρεις σωλήνες στην πισίνα. Α, ΒΚαι ΜΕ. Διά μέσου ΕΝΑΚαι ΜΕτο νερό ρέει μέσα ΣΕ ΕΝΑΚαι ΣΕη πισίνα γεμίζει Τ ώρες, υπό δράση ΕΝΑΚαι ντο V Π ώρες, υπό δράση ΣΕΚαι ΜΕ V R ώρες. Πότε θα γεμίσει η πισίνα με την ταυτόχρονη δράση και των τριών σωλήνων;

330. Τρεις σωλήνες οδηγούνται στην πισίνα Α, ΒΚαι ΜΕ. Διά μέσου ΕΝΑτο νερό ρέει μέσα ΣΕΚαι ΜΕακολουθεί. Με την κοινή δράση σωλήνων ΕΝΑΚαι ΣΕη πισίνα γεμίζει Τ ώρες, υπό δράση ΕΝΑΚαι ΜΕ V Π ρολόι, σωλήνες ΣΕΚαι ΜΕρίξτε όλη την πισίνα μέσα R ώρες. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αποστραγγιστεί ολόκληρη η πισίνα εάν λειτουργούν και οι τρεις σωλήνες ταυτόχρονα;