Στα ονόματα των αραβικών αριθμών, κάθε ψηφίο ανήκει στην κατηγορία του και κάθε τρία ψηφία σχηματίζουν μια τάξη. Έτσι, το τελευταίο ψηφίο σε έναν αριθμό υποδεικνύει τον αριθμό των μονάδων σε αυτόν και ονομάζεται, κατά συνέπεια, ο τόπος των μονάδων. Το επόμενο, δεύτερο από το τέλος, ψηφίο δείχνει δεκάδες (το ψηφίο των δεκάδων) και το τρίτο ψηφίο από το τέλος δείχνει τον αριθμό των εκατοντάδων στον αριθμό - το ψηφίο των εκατοντάδων. Επιπλέον, τα ψηφία επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο με τη σειρά σε κάθε τάξη, δηλώνοντας μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες στις τάξεις των χιλιάδων, των εκατομμυρίων κ.λπ. Εάν ο αριθμός είναι μικρός και δεν περιέχει ψηφία δεκάδων ή εκατοντάδων, συνηθίζεται να τα λαμβάνετε ως μηδέν. Οι τάξεις ομαδοποιούν τους αριθμούς σε αριθμούς των τριών, συχνά σε υπολογιστικές συσκευές ή εγγραφές, τοποθετείται μια τελεία ή ένα διάστημα μεταξύ των κλάσεων για να τις διαχωρίσει οπτικά. Αυτό γίνεται για να διευκολυνθεί η ανάγνωση μεγάλων αριθμών. Κάθε τάξη έχει το δικό της όνομα: τα τρία πρώτα ψηφία είναι η κατηγορία των μονάδων, ακολουθούμενα από την τάξη των χιλιάδων, μετά τα εκατομμύρια, τα δισεκατομμύρια (ή τα δισεκατομμύρια) και ούτω καθεξής.
Εφόσον χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα, η βασική μονάδα ποσότητας είναι το δέκα ή 10 1 . Αντίστοιχα, με την αύξηση του αριθμού των ψηφίων σε έναν αριθμό, αυξάνεται και ο αριθμός των δεκάδων των 10 2, 10 3, 10 4 κ.λπ. Γνωρίζοντας τον αριθμό των δεκάδων, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε την κλάση και την κατηγορία του αριθμού, για παράδειγμα, το 10 16 είναι δεκάδες τετράδας δισεκατομμυρίων και το 3 × 10 16 είναι τρεις δεκάδες τετράδας. Η αποσύνθεση των αριθμών σε δεκαδικά στοιχεία γίνεται ως εξής - κάθε ψηφίο εμφανίζεται σε ξεχωριστό όρο, πολλαπλασιασμένο με τον απαιτούμενο συντελεστή 10 n, όπου n είναι η θέση του ψηφίου στην καταμέτρηση από αριστερά προς τα δεξιά.
Για παράδειγμα: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1
Επίσης, η ισχύς του 10 χρησιμοποιείται επίσης για τη σύνταξη δεκαδικών: το 10 (-1) είναι 0,1 ή ένα δέκατο. Ομοίως με την προηγούμενη παράγραφο, ένας δεκαδικός αριθμός μπορεί επίσης να αποσυντεθεί, οπότε το n θα υποδεικνύει τη θέση του ψηφίου από το κόμμα από τα δεξιά προς τα αριστερά, για παράδειγμα: 0,347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6) )
Ονόματα δεκαδικών αριθμών. Δεκαδικοί αριθμοίδιαβάζονται από το τελευταίο ψηφίο των ψηφίων μετά την υποδιαστολή, για παράδειγμα 0,325 - τριακόσια είκοσι πέντε χιλιοστά, όπου τα χιλιοστά είναι το ψηφίο του τελευταίου ψηφίου 5.
Πίνακας ονομάτων μεγάλων αριθμών, ψηφίων και κλάσεων
| Μονάδα 1ης τάξης | 1ο ψηφίο μονάδας 2η θέση δέκα 3η κατάταξη εκατοντάδες |
1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2 |
| 2η τάξη χίλια | 1ο ψηφίο μονάδες χιλιάδων 2ο ψηφίο δεκάδες χιλιάδες 3η κατάταξη εκατοντάδες χιλιάδες |
1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 |
| 3η τάξη εκατομμύρια | 1ο ψηφίο μονάδες εκατομμύριο 2ο ψηφίο δεκάδες εκατομμύρια 3ο ψηφίο εκατοντάδες εκατομμύρια |
1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 |
| 4η τάξη δισεκατομμύρια | 1ο ψηφίο δισεκατομμύρια μονάδες 2ο ψηφίο δεκάδες δισεκατομμύρια 3ο ψηφίο εκατοντάδες δισεκατομμύρια |
1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 |
| Τρισ. 5ης τάξης | 1ο ψηφίο τρισεκατομμύρια μονάδες 2ο ψηφίο δεκάδες τρισεκατομμύρια 3ο ψηφίο εκατό τρισεκατομμύρια |
1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14 |
| τετράστιχα 6ης τάξης | Μονάδες 1ου ψηφίου 2ο ψηφίο δεκάδες τετράδισεκα 3ο ψηφίο δεκάδες τετράδισεκα |
1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17 |
| Πεντίλιαρα 7ης τάξης | Μονάδες 1ου ψηφίου πεμπτουσιτών 2ο ψηφίο δεκάδες πεντοσερβία 3η κατάταξη εκατό εκατομμύριο |
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20 |
| 8η τάξη εξάξιλα | 1ο ψηφίο δισεκατομμύριο μονάδες 2ο ψηφίο δεκάδες εξάξια 3η κατάταξη εκατό εξάξια |
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23 |
| Septillion 9ης τάξης | Μονάδες 1ου ψηφίου του septillion 2ο ψηφίο δεκάδες septillions 3η κατάταξη εκατό σεπτίλιον |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26 |
| Οκτίλιον 10ης τάξης | 1ο ψηφίο οκταλιόνιο μονάδες 2ο ψηφίο δέκα οκτίλιο 3η κατάταξη εκατό οκτίλιον |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29 |
Ο κόσμος της επιστήμης είναι απλά καταπληκτικός με τις γνώσεις του. Ωστόσο, ακόμη και ο πιο λαμπρός άνθρωπος στον κόσμο δεν θα μπορέσει να τα καταλάβει όλα. Αλλά πρέπει να προσπαθήσετε για αυτό. Γι 'αυτό σε αυτό το άρθρο θέλω να καταλάβω τι είναι, περισσότερο μεγάλος αριθμός.
Σχετικά με τα συστήματα
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να πούμε ότι υπάρχουν δύο συστήματα ονοματοδοσίας αριθμών στον κόσμο: αμερικανικό και αγγλικό. Ανάλογα με αυτό, ο ίδιος αριθμός μπορεί να ονομάζεται διαφορετικά, αν και έχουν την ίδια σημασία. Και στην αρχή είναι απαραίτητο να αντιμετωπίσουμε αυτές τις αποχρώσεις για να αποφύγουμε την αβεβαιότητα και τη σύγχυση.
αμερικανικό σύστημα
Θα είναι ενδιαφέρον ότι αυτό το σύστημα χρησιμοποιείται όχι μόνο στην Αμερική και τον Καναδά, αλλά και στη Ρωσία. Επιπλέον, έχει τη δική του επιστημονική ονομασία: το σύστημα ονοματοδοσίας αριθμών με μικρή κλίμακα. Πώς καλούνται οι μεγάλοι αριθμοί σε αυτό το σύστημα; Λοιπόν, το μυστικό είναι πολύ απλό. Στην αρχή θα υπάρχει ένας λατινικός τακτικός αριθμός, μετά τον οποίο απλώς θα προστεθεί το γνωστό επίθημα «-εκατομμύριο». Θα έχει ενδιαφέρον το εξής γεγονός: σε μετάφραση από λατινικάο αριθμός "εκατομμύριο" μπορεί να μεταφραστεί ως "χιλιάδες". Οι ακόλουθοι αριθμοί ανήκουν στο αμερικανικό σύστημα: ένα τρισεκατομμύριο είναι 10 12, ένα κουϊντίλιο είναι 10 18, ένα οκτίλιο είναι 10 27, κ.λπ. Θα είναι επίσης εύκολο να υπολογίσουμε πόσα μηδενικά είναι γραμμένα στον αριθμό. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γνωρίζετε έναν απλό τύπο: 3 * x + 3 (όπου το "x" στον τύπο είναι ένας λατινικός αριθμός).
Αγγλικό σύστημα
Ωστόσο, παρά την απλότητα του αμερικανικού συστήματος, το αγγλικό σύστημα εξακολουθεί να είναι πιο διαδεδομένο στον κόσμο, το οποίο είναι ένα σύστημα ονοματοδοσίας αριθμών με μεγάλη κλίμακα. Από το 1948, χρησιμοποιείται σε χώρες όπως η Γαλλία, η Μεγάλη Βρετανία, η Ισπανία, καθώς και σε χώρες - πρώην αποικίεςΑγγλία και Ισπανία. Η κατασκευή των αριθμών εδώ είναι επίσης αρκετά απλή: το επίθημα "-εκατομμύριο" προστίθεται στον λατινικό προσδιορισμό. Επιπλέον, εάν ο αριθμός είναι 1000 φορές μεγαλύτερος, το επίθημα "-δισεκατομμύριο" έχει ήδη προστεθεί. Πώς μπορείτε να μάθετε τον αριθμό των μηδενικών που κρύβονται σε έναν αριθμό;
- Εάν ο αριθμός τελειώνει σε "-εκατομμύριο", θα χρειαστείτε τον τύπο 6 * x + 3 (το "x" είναι λατινικός αριθμός).
- Εάν ο αριθμός τελειώνει σε "-δισεκατομμύρια", θα χρειαστείτε τον τύπο 6 * x + 6 (όπου το "x", πάλι, είναι λατινικός αριθμός).
Παραδείγματα
Σε αυτό το στάδιο, για παράδειγμα, μπορούμε να εξετάσουμε πώς θα καλούνται οι ίδιοι αριθμοί, αλλά σε διαφορετική κλίμακα.
Μπορείτε εύκολα να δείτε ότι το ίδιο όνομα διαφορετικά συστήματασημαίνει διαφορετικούς αριθμούς. Σαν ένα τρισεκατομμύριο. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη τον αριθμό, πρέπει πρώτα να μάθετε σύμφωνα με ποιο σύστημα είναι γραμμένο.
Αριθμοί εκτός συστήματος
Αξίζει να αναφέρουμε ότι, εκτός από τους αριθμούς συστήματος, υπάρχουν και αριθμοί εκτός συστήματος. Μήπως μεταξύ αυτών χάθηκε ο μεγαλύτερος αριθμός; Αξίζει να το ψάξετε.
- Google. Αυτός ο αριθμός είναι δέκα προς την εκατοστή δύναμη, δηλαδή ένα ακολουθούμενο από εκατό μηδενικά (10.100). Αυτός ο αριθμός αναφέρθηκε για πρώτη φορά το 1938 από τον επιστήμονα Edward Kasner. Πολύ ενδιαφέρον γεγονός: Η παγκόσμια μηχανή αναζήτησης "Google" πήρε το όνομά της από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό εκείνη την εποχή - Google. Και το όνομα προέκυψε με τον νεαρό ανιψιό του Κάσνερ.
- Asankhiya. Αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον όνομα, που μεταφράζεται από τα σανσκριτικά ως «αμέτρητα». Η αριθμητική του τιμή είναι ένα με 140 μηδενικά - 10140. Θα έχει ενδιαφέρον το εξής γεγονός: αυτό ήταν γνωστό στους ανθρώπους ήδη από το 100 π.Χ. ε., όπως αποδεικνύεται από το λήμμα στη Jaina Sutra, μια διάσημη βουδιστική πραγματεία. Αυτός ο αριθμός θεωρήθηκε ειδικός, επειδή πιστευόταν ότι χρειαζόταν ο ίδιος αριθμός κοσμικών κύκλων για να φτάσει στη νιρβάνα. Επίσης εκείνη την εποχή, ο αριθμός αυτός θεωρούνταν ο μεγαλύτερος.
- Googolplex. Αυτός ο αριθμός επινοήθηκε από τον ίδιο Έντουαρντ Κάσνερ και τον προαναφερθέντα ανιψιό του. Ο αριθμητικός χαρακτηρισμός του είναι δέκα στη δέκατη δύναμη, η οποία, με τη σειρά της, αποτελείται από την εκατοστή δύναμη (δηλαδή, δέκα στη δύναμη googolplex). Ο επιστήμονας είπε επίσης ότι με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να πάρετε όσο μεγάλο αριθμό θέλετε: googoltetraplex, googolhexaplex, googolctaplex, googoldekaplex κ.λπ.
- Ο αριθμός του Graham είναι G. Αυτός είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που αναγνωρίστηκε ως τέτοιος το πρόσφατο 1980 από το βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες. Είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το googolplex και τα παράγωγά του. Και οι επιστήμονες είπαν ότι ολόκληρο το Σύμπαν δεν είναι σε θέση να περιέχει ολόκληρη τη δεκαδική σημείωση του αριθμού του Γκράχαμ.
- Αριθμός Moser, αριθμός Skewes. Αυτοί οι αριθμοί θεωρούνται επίσης ένας από τους μεγαλύτερους και χρησιμοποιούνται συχνότερα για την επίλυση διαφόρων υποθέσεων και θεωρημάτων. Και δεδομένου ότι αυτοί οι αριθμοί δεν μπορούν να καταγραφούν από γενικά αποδεκτούς νόμους, κάθε επιστήμονας το κάνει με τον δικό του τρόπο.
Τελευταίες εξελίξεις
Ωστόσο, αξίζει να πούμε ότι δεν υπάρχει όριο στην τελειότητα. Και πολλοί επιστήμονες πίστευαν και εξακολουθούν να πιστεύουν ότι ο μεγαλύτερος αριθμός δεν έχει βρεθεί ακόμη. Και, φυσικά, η τιμή να το κάνουν αυτό θα τους πέσει. Ένας Αμερικανός επιστήμονας από το Μιζούρι εργάστηκε σε αυτό το έργο για μεγάλο χρονικό διάστημα, το έργο του στέφθηκε με επιτυχία. Στις 25 Ιανουαρίου 2012, βρήκε τον νέο μεγαλύτερο αριθμό στον κόσμο, ο οποίος αποτελείται από δεκαεπτά εκατομμύρια ψηφία (που είναι ο 49ος αριθμός Mersenne). Σημείωση: μέχρι εκείνη τη στιγμή, ο μεγαλύτερος αριθμός ήταν αυτός που βρέθηκε από τον υπολογιστή το 2008, είχε 12 χιλιάδες ψηφία και έμοιαζε ως εξής: 2 43112609 - 1.
Όχι η πρώτη φορά
Αξίζει να πούμε ότι αυτό έχει επιβεβαιωθεί από επιστημονικούς ερευνητές. Αυτός ο αριθμός πέρασε από τρία επίπεδα επαλήθευσης από τρεις επιστήμονες σε διαφορετικούς υπολογιστές, κάτι που χρειάστηκε 39 ημέρες. Ωστόσο, αυτά δεν είναι τα πρώτα επιτεύγματα σε μια τέτοια αναζήτηση Αμερικανού επιστήμονα. Προηγουμένως, είχε ήδη ανοίξει τα μεγαλύτερα νούμερα. Αυτό συνέβη το 2005 και το 2006. Το 2008, ο υπολογιστής διέκοψε τη σειρά των νικών του Curtis Cooper, αλλά το 2012 ανέκτησε την παλάμη και τον άξιο τίτλο του ανακαλυφτή.
Σχετικά με το σύστημα
Πώς γίνονται όλα αυτά, πώς βρίσκουν οι επιστήμονες τους μεγαλύτερους αριθμούς; Έτσι, σήμερα το μεγαλύτερο μέρος της δουλειάς τους γίνεται από έναν υπολογιστή. Σε αυτή την περίπτωση, ο Cooper χρησιμοποίησε κατανεμημένους υπολογιστές. Τι σημαίνει? Οι υπολογισμοί αυτοί πραγματοποιούνται από προγράμματα εγκατεστημένα στους υπολογιστές των χρηστών του Διαδικτύου που αποφάσισαν οικειοθελώς να λάβουν μέρος στη μελέτη. Στο πλαίσιο αυτού του έργου, αναγνωρίστηκαν 14 αριθμοί Mersenne, που ονομάστηκαν από τον Γάλλο μαθηματικό (αυτοί είναι πρώτοι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και με έναν). Με τη μορφή ενός τύπου, μοιάζει με αυτό: M n = 2 n - 1 (το "n" σε αυτόν τον τύπο είναι ένας φυσικός αριθμός).
Σχετικά με τα μπόνους
Μπορεί να προκύψει ένα λογικό ερώτημα: τι κάνει τους επιστήμονες να εργάζονται προς αυτή την κατεύθυνση; Αυτό, λοιπόν, είναι φυσικά ο ενθουσιασμός και η επιθυμία να είσαι πρωτοπόρος. Ωστόσο, ακόμη και εδώ υπάρχουν μπόνους: ο Curtis Cooper έλαβε ένα χρηματικό έπαθλο 3.000 $ για το πνευματικό του παιδί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό. Το Ειδικό Ταμείο Electronic Frontier (συντομογραφία: EFF) ενθαρρύνει τέτοιες αποστολές και υπόσχεται να ανταμείψει αμέσως χρηματικό έπαθλοστο ποσό των 150 και 250 χιλιάδων δολαρίων όσων υποβάλλουν προς εξέταση πρώτους αριθμούς που αποτελούνται από 100 εκατομμύρια και ένα δισεκατομμύριο αριθμούς. Οπότε δεν υπάρχει αμφιβολία ότι σήμερα λειτουργεί προς αυτή την κατεύθυνση μεγάλο ποσόεπιστήμονες σε όλο τον κόσμο.
Απλά συμπεράσματα
Ποιος είναι λοιπόν ο μεγαλύτερος αριθμός σήμερα; Επί αυτή τη στιγμήβρέθηκε από έναν Αμερικανό επιστήμονα από το Πανεπιστήμιο του Μιζούρι Curtis Cooper, το οποίο μπορεί να γραφτεί ως εξής: 2 57885161 - 1. Επιπλέον, είναι επίσης ο 48ος αριθμός του Γάλλου μαθηματικού Mersenne. Αξίζει όμως να πούμε ότι δεν μπορεί να υπάρξει τέλος σε αυτές τις αναζητήσεις. Και δεν αποτελεί έκπληξη αν ολοκληρωθεί συγκεκριμένη ώραΟι επιστήμονες θα μας δώσουν προς εξέταση τον επόμενο νεοανακαλυφθέν μεγαλύτερο αριθμό στον κόσμο. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι αυτό θα συμβεί στο πολύ κοντινό μέλλον.
Υπάρχουν αριθμοί που είναι τόσο απίστευτα, απίστευτα μεγάλοι που θα χρειαζόταν ολόκληρο το σύμπαν ακόμη και να τους γράψει. Αλλά εδώ είναι τι είναι πραγματικά τρελλό... μερικοί από αυτούς τους ακατανόητα μεγάλους αριθμούς είναι εξαιρετικά σημαντικοί για την κατανόηση του κόσμου.
Όταν λέω «ο μεγαλύτερος αριθμός στο σύμπαν», εννοώ πραγματικά τον μεγαλύτερο με νοημααριθμός, ο μέγιστος δυνατός αριθμός που είναι χρήσιμος κατά κάποιο τρόπο. Υπάρχουν πολλοί διεκδικητές για αυτόν τον τίτλο, αλλά σας προειδοποιώ αμέσως: υπάρχει όντως ο κίνδυνος να προσπαθήσετε να καταλάβετε όλα αυτά να σας ρίξει το μυαλό. Και επιπλέον, με πάρα πολλά μαθηματικά, έχεις λίγη πλάκα.
Googol και googolplex
Έντουαρντ Κάσνερ
Θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε με δύο, πολύ πιθανόν τους μεγαλύτερους αριθμούς που έχετε ακούσει ποτέ, και αυτοί είναι πράγματι οι δύο μεγαλύτεροι αριθμοί που έχουν κοινά αποδεκτούς ορισμούς στο αγγλική γλώσσα. (Υπάρχει μια αρκετά ακριβής ονοματολογία που χρησιμοποιείται για αριθμούς τόσο μεγάλους όσο θα θέλατε, αλλά αυτοί οι δύο αριθμοί δεν βρίσκονται αυτή τη στιγμή στα λεξικά.) Η Google, αφού έγινε παγκοσμίως γνωστή (αν και με λάθη, σημειώστε. στην πραγματικότητα είναι googol) στο η μορφή της Google, γεννήθηκε το 1920 ως ένας τρόπος να ενδιαφερθούν τα παιδιά για μεγάλους αριθμούς.
Για το σκοπό αυτό, ο Edward Kasner (στη φωτογραφία) πήρε τους δύο ανιψιούς του, Milton και Edwin Sirott, σε μια περιοδεία στο New Jersey Palisades. Τους κάλεσε να βρουν ιδέες και στη συνέχεια ο εννιάχρονος Μίλτον πρότεινε το «googol». Από πού πήρε αυτή τη λέξη είναι άγνωστο, αλλά ο Κάσνερ το αποφάσισε 
ή ένας αριθμός στον οποίο εκατό μηδενικά ακολουθούν το ένα θα ονομάζεται στο εξής googol.
Αλλά ο νεαρός Milton δεν σταμάτησε εκεί, βρήκε έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό, το googolplex. Είναι ένας αριθμός, σύμφωνα με τον Milton, που έχει πρώτα το 1 και μετά όσα μηδενικά μπορείς να γράψεις πριν κουραστείς. Ενώ η ιδέα είναι συναρπαστική, ο Kasner ένιωσε ότι χρειαζόταν ένας πιο επίσημος ορισμός. Όπως εξήγησε στο βιβλίο του το 1940 Mathematics and the Imagination, ο ορισμός του Milton αφήνει ανοιχτή την επικίνδυνη πιθανότητα ο περιστασιακός μπουφόν να γίνει μαθηματικός ανώτερος από τον Albert Einstein απλώς και μόνο επειδή έχει περισσότερη αντοχή.
Έτσι ο Kasner αποφάσισε ότι το googolplex θα ήταν , ή 1, ακολουθούμενο από ένα googol με μηδενικά. Διαφορετικά, και με συμβολισμό παρόμοια με αυτή με την οποία θα ασχοληθούμε με άλλους αριθμούς, θα πούμε ότι το googolplex είναι . Για να δείξει πόσο συναρπαστικό είναι αυτό, ο Carl Sagan παρατήρησε κάποτε ότι θα ήταν φυσικά αδύνατο να γράψουμε όλα τα μηδενικά ενός googolplex επειδή απλά δεν θα υπήρχε αρκετός χώρος στο σύμπαν. Εάν ολόκληρος ο όγκος του παρατηρήσιμου σύμπαντος είναι γεμάτος με λεπτά σωματίδια σκόνης μεγέθους περίπου 1,5 μικρομέτρων, τότε ο αριθμός διάφορους τρόπουςη θέση αυτών των σωματιδίων θα είναι περίπου ίση με ένα googolplex.
Από γλωσσική άποψη, το googol και το googolplex είναι πιθανώς οι δύο μεγαλύτεροι σημαντικοί αριθμοί (τουλάχιστον στα αγγλικά), αλλά, όπως θα διαπιστώσουμε τώρα, υπάρχουν άπειροι τρόποι για να ορίσουμε τη «σημασία».
Πραγματικό κόσμο
Αν μιλάμε για τον μεγαλύτερο σημαντικό αριθμό, υπάρχει ένα εύλογο επιχείρημα ότι αυτό σημαίνει πραγματικά ότι πρέπει να βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό με μια τιμή που υπάρχει πραγματικά στον κόσμο. Μπορούμε να ξεκινήσουμε με τον σημερινό ανθρώπινο πληθυσμό, που σήμερα είναι περίπου 6920 εκατομμύρια. Το παγκόσμιο ΑΕΠ το 2010 εκτιμήθηκε ότι ήταν περίπου 61.960 δισεκατομμύρια δολάρια, αλλά και οι δύο αυτοί αριθμοί είναι μικροί σε σύγκριση με τα περίπου 100 τρισεκατομμύρια κύτταρα που αποτελούν το ανθρώπινο σώμα. Φυσικά, κανένας από αυτούς τους αριθμούς δεν μπορεί να συγκριθεί με τον συνολικό αριθμό των σωματιδίων στο σύμπαν, που συνήθως θεωρείται ότι είναι περίπου , και αυτός ο αριθμός είναι τόσο μεγάλος που η γλώσσα μας δεν έχει λέξη για αυτόν.
Μπορούμε να παίξουμε λίγο με τα συστήματα μέτρησης, κάνοντας τους αριθμούς όλο και μεγαλύτερους. Έτσι, η μάζα του Ήλιου σε τόνους θα είναι μικρότερη από ό,τι σε λίβρες. Πολύ καλός τρόποςγια να το κάνετε αυτό είναι να χρησιμοποιήσετε τις μονάδες Planck, οι οποίες είναι οι μικρότερες πιθανά μέτρα, για την οποία παραμένουν σε ισχύ οι νόμοι της φυσικής. Για παράδειγμα, η ηλικία του σύμπαντος στον χρόνο Planck είναι περίπου . Αν επιστρέψουμε στην πρώτη μονάδα χρόνου Planck μετά τη Μεγάλη Έκρηξη, θα δούμε ότι η πυκνότητα του Σύμπαντος ήταν τότε . Παίρνουμε ολοένα και περισσότερα, αλλά δεν έχουμε φτάσει ακόμη σε googol.
Ο υψηλότερος αριθμός με οποιαδήποτε εφαρμογή πραγματικού κόσμου - ή, σε αυτή η υπόθεση πραγματική εφαρμογήσε κόσμους - πιθανώς , - μια από τις τελευταίες εκτιμήσεις για τον αριθμό των συμπάντων στο πολυσύμπαν. Αυτός ο αριθμός είναι τόσο μεγάλος που ο ανθρώπινος εγκέφαλος θα είναι κυριολεκτικά ανίκανος να αντιληφθεί όλα αυτά τα διαφορετικά σύμπαντα, αφού ο εγκέφαλος είναι ικανός μόνο για κατά προσέγγιση διαμορφώσεις. Στην πραγματικότητα, αυτός ο αριθμός είναι ίσως ο μεγαλύτερος αριθμός με οποιοδήποτε πρακτικό νόημα, αν δεν λάβετε υπόψη την ιδέα του πολυσύμπαντος στο σύνολό του. Ωστόσο, υπάρχουν ακόμα πολύ μεγαλύτεροι αριθμοί που κρύβονται εκεί. Αλλά για να τους βρούμε, πρέπει να πάμε στη σφαίρα των καθαρών μαθηματικών και δεν υπάρχει καλύτερο μέρος για να ξεκινήσουμε από τους πρώτους αριθμούς.
Mersenne primes
Μέρος της δυσκολίας είναι να βρούμε έναν καλό ορισμό του τι είναι ένας «νόημα» αριθμός. Ένας τρόπος είναι να σκεφτόμαστε με όρους πρώτων και σύνθετων. Ένας πρώτος αριθμός, όπως ίσως θυμάστε από τα σχολικά μαθηματικά, είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός(σημ. όχι ίσο με ένα), το οποίο διαιρείται μόνο από τον εαυτό του. Έτσι, και είναι πρώτοι αριθμοί, και και είναι σύνθετοι αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί τελικά να αναπαρασταθεί από τους πρώτους διαιρέτες του. Κατά μία έννοια, ο αριθμός είναι πιο σημαντικός από, ας πούμε, γιατί δεν υπάρχει τρόπος να τον εκφράσουμε με το γινόμενο μικρότερων αριθμών.
Προφανώς μπορούμε να πάμε λίγο παραπέρα. , για παράδειγμα, είναι στην πραγματικότητα just , πράγμα που σημαίνει ότι σε έναν υποθετικό κόσμο όπου οι γνώσεις μας για τους αριθμούς περιορίζονται σε , ένας μαθηματικός μπορεί ακόμα να εκφράσει . Αλλά ήδη επόμενος αριθμόςαπλό, που σημαίνει ότι ο μόνος τρόποςνα το εκφράσεις σημαίνει να γνωρίζεις άμεσα την ύπαρξή του. Αυτό σημαίνει ότι παίζουν οι μεγαλύτεροι γνωστοί πρώτοι σημαντικός ρόλος, και, ας πούμε, ένα googol - το οποίο, τελικά, είναι απλώς ένα σύνολο αριθμών και , πολλαπλασιασμένο μαζί - στην πραγματικότητα δεν υπάρχει. Και δεδομένου ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι ως επί το πλείστον τυχαίοι, δεν υπάρχει γνωστός τρόπος να προβλέψουμε ότι ένας απίστευτα μεγάλος αριθμός θα είναι πραγματικά πρώτος. Μέχρι σήμερα, η ανακάλυψη νέων πρώτων αριθμών είναι μια δύσκολη υπόθεση.
Μαθηματικοί Αρχαία Ελλάδαείχαν την ιδέα των πρώτων αριθμών τουλάχιστον ήδη από το 500 π.Χ., και 2000 χρόνια αργότερα οι άνθρωποι γνώριζαν ακόμα ποιοι ήταν οι πρώτοι μόνο μέχρι το 750. Οι στοχαστές του Ευκλείδη είδαν τη δυνατότητα απλοποίησης, αλλά μέχρι την Αναγέννηση, οι μαθηματικοί δεν μπορούσαν πραγματικά να το βάλουν πρακτική. Αυτοί οι αριθμοί είναι γνωστοί ως αριθμοί Mersenne και ονομάζονται από τη Γαλλίδα επιστήμονα του 17ου αιώνα Marina Mersenne. Η ιδέα είναι αρκετά απλή: ένας αριθμός Mersenne είναι οποιοσδήποτε αριθμός της φόρμας . Έτσι, για παράδειγμα, και αυτός ο αριθμός είναι πρώτος, το ίδιο ισχύει και για το .
Οι πρώτοι πρώτοι του Mersenne είναι πολύ πιο γρήγοροι και ευκολότεροι να προσδιοριστούν από οποιοδήποτε άλλο είδος πρώτου, και οι υπολογιστές προσπαθούν σκληρά να τους βρουν τις τελευταίες έξι δεκαετίες. Μέχρι το 1952, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός ήταν ένας αριθμός — ένας αριθμός με ψηφία. Την ίδια χρονιά, υπολογίστηκε σε έναν υπολογιστή ότι ο αριθμός είναι πρώτος και αυτός ο αριθμός αποτελείται από ψηφία, γεγονός που τον κάνει ήδη πολύ μεγαλύτερο από ένα googol.
Οι υπολογιστές βρίσκονται στο κυνήγι από τότε και ο αριθμός Mersenne είναι σήμερα ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζει η ανθρωπότητα. Ανακαλύφθηκε το 2008, είναι ένας αριθμός με σχεδόν εκατομμύρια ψηφία. Αυτό είναι το μεγαλύτερο γνωστός αριθμός, το οποίο δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους μικρότερους αριθμούς, και αν θέλετε να βοηθήσετε στην εύρεση ενός ακόμη μεγαλύτερου αριθμού Mersenne, εσείς (και ο υπολογιστής σας) μπορείτε πάντα να συμμετέχετε στην αναζήτηση στη διεύθυνση http://www.mersenne.org/.
Αριθμός Skewes
Stanley Skuse
Ας επιστρέψουμε στους πρώτους αριθμούς. Όπως είπα πριν, συμπεριφέρονται θεμελιωδώς λάθος, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχει τρόπος να προβλέψουμε ποιος θα είναι ο επόμενος πρώτος αριθμός. Οι μαθηματικοί αναγκάστηκαν να στραφούν σε μερικές μάλλον φανταστικές μετρήσεις προκειμένου να βρουν κάποιον τρόπο να προβλέψουν τους μελλοντικούς πρώτους αριθμούς, ακόμη και με κάποιο νεφελώδη τρόπο. Η πιο επιτυχημένη από αυτές τις προσπάθειες είναι πιθανώς η συνάρτηση του πρώτου αριθμού, που εφευρέθηκε στα τέλη του 18ου αιώνα από τον θρυλικό μαθηματικό Carl Friedrich Gauss.
Θα σας απαλλάξω από τα πιο περίπλοκα μαθηματικά - ούτως ή άλλως, έχουμε ακόμα πολλά να έρθουμε - αλλά η ουσία της συνάρτησης είναι η εξής: για οποιονδήποτε ακέραιο, είναι δυνατό να υπολογίσουμε πόσοι πρώτοι είναι λιγότεροι από . Για παράδειγμα, εάν , η συνάρτηση προβλέπει ότι πρέπει να υπάρχουν πρώτοι αριθμοί, εάν - πρώτοι αριθμοί μικρότεροι από και αν , τότε υπάρχουν μικρότεροι αριθμοί που είναι πρώτοι.
Η διάταξη των πρώτων είναι πράγματι ακανόνιστη και είναι μόνο μια προσέγγιση του πραγματικού αριθμού των πρώτων. Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε ότι υπάρχουν πρώτοι μικρότεροι από , πρώτοι μικρότεροι από , και πρώτοι μικρότεροι από . Είναι μια μεγάλη εκτίμηση, σίγουρα, αλλά είναι πάντα απλώς μια εκτίμηση... και πιο συγκεκριμένα, μια εκτίμηση από πάνω.
Σε όλες τις γνωστές περιπτώσεις μέχρι το , η συνάρτηση που βρίσκει τον αριθμό των πρώτων αριθμών υπερβάλλει ελαφρώς τον πραγματικό αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερου από . Οι μαθηματικοί κάποτε πίστευαν ότι αυτό θα συνέβαινε πάντα, επ' άπειρον, και ότι αυτό ισχύει σίγουρα για ορισμένους αφάνταστα τεράστιους αριθμούς, αλλά το 1914 ο John Edensor Littlewood απέδειξε ότι για κάποιον άγνωστο, αφάνταστα τεράστιο αριθμό, αυτή η συνάρτηση θα αρχίσει να παράγει λιγότερους πρώτους αριθμούς. και μετά θα εναλλάσσεται μεταξύ υπερεκτίμησης και υποεκτίμησης άπειρες φορές.
Το κυνήγι ήταν για την αφετηρία των αγώνων και εκεί εμφανίστηκε ο Stanley Skuse (βλ. φωτογραφία). Το 1933 το απέδειξε άνω όριο, όταν η συνάρτηση που προσεγγίζει τον αριθμό των πρώτων δίνει μια μικρότερη τιμή για πρώτη φορά, αυτός είναι ο αριθμός . Είναι δύσκολο να καταλάβουμε πραγματικά, ακόμη και με την πιο αφηρημένη έννοια, τι αντιπροσωπεύει αυτός ο αριθμός, και από αυτή την άποψη ήταν ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ με σοβαρό τρόπο. μαθηματική απόδειξη. Από τότε, οι μαθηματικοί μπόρεσαν να μειώσουν το άνω φράγμα σε έναν σχετικά μικρό αριθμό, αλλά ο αρχικός αριθμός παρέμεινε γνωστός ως αριθμός Skewes.
Λοιπόν, πόσο μεγάλος είναι ο αριθμός που κάνει ακόμη και το πανίσχυρο googolplex νάνο; Στο The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, ο David Wells περιγράφει έναν τρόπο με τον οποίο ο μαθηματικός Hardy μπόρεσε να κατανοήσει το μέγεθος του αριθμού Skewes:
«Ο Χάρντι σκέφτηκε ότι ήταν «ο μεγαλύτερος αριθμός που υπηρέτησε ποτέ συγκεκριμένος σκοπόςστα μαθηματικά», και πρότεινε ότι αν κάποιος έπαιζε σκάκι με όλα τα σωματίδια του σύμπαντος ως κομμάτια, μια κίνηση θα συνίστατο στην εναλλαγή δύο σωματιδίων και το παιχνίδι θα σταματούσε όταν η ίδια θέση επαναλαμβανόταν για τρίτη φορά, τότε ο αριθμός των όλες οι πιθανές παρτίδες θα είναι περίπου ίσες με τον αριθμό του Skuse.
Κάτι τελευταίο πριν προχωρήσουμε: μιλήσαμε για τον μικρότερο από τους δύο αριθμούς Skewes. Υπάρχει ένας άλλος αριθμός Skewes, τον οποίο βρήκε ο μαθηματικός το 1955. Ο πρώτος αριθμός προκύπτει με βάση ότι η λεγόμενη υπόθεση Riemann είναι αληθινή - αυτή είναι μια ιδιαίτερα δύσκολη υπόθεση των μαθηματικών που παραμένει αναπόδεικτη, πολύ χρήσιμη όταν μιλαμεσχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Ωστόσο, εάν η υπόθεση Riemann είναι ψευδής, ο Skewes διαπίστωσε ότι το σημείο εκκίνησης του άλματος αυξάνεται σε .
Το πρόβλημα του μεγέθους
Πριν φτάσουμε σε έναν αριθμό που κάνει ακόμη και τον αριθμό του Skewes να φαίνεται μικροσκοπικός, πρέπει να μιλήσουμε λίγο για την κλίμακα γιατί διαφορετικά δεν έχουμε τρόπο να εκτιμήσουμε πού πάμε. Ας πάρουμε πρώτα έναν αριθμό - είναι ένας μικρός αριθμός, τόσο μικρός που οι άνθρωποι μπορούν πραγματικά να κατανοήσουν διαισθητικά τι σημαίνει. Υπάρχουν πολύ λίγοι αριθμοί που ταιριάζουν σε αυτή την περιγραφή, αφού οι αριθμοί μεγαλύτεροι από έξι παύουν να είναι ξεχωριστοί αριθμοί και γίνονται «πολλοί», «πολλοί» κ.λπ.
Τώρα ας πάρουμε, δηλ. . Αν και δεν μπορούμε πραγματικά διαισθητικά, όπως κάναμε για τον αριθμό, να καταλάβουμε τι, φανταστείτε τι είναι, είναι πολύ εύκολο. Μέχρι στιγμής όλα πάνε καλά. Τι γίνεται όμως αν πάμε στο ; Αυτό είναι ίσο με ή . Απέχουμε πολύ από το να μπορούμε να φανταστούμε αυτήν την αξία, όπως και οποιαδήποτε άλλη πολύ μεγάλη - χάνουμε την ικανότητα να κατανοούμε μεμονωμένα μέρη κάπου γύρω στο ένα εκατομμύριο. (Αλήθεια, τρελό ένας μεγάλος αριθμός απόΘα χρειαζόταν χρόνος για να μετρήσουμε πραγματικά σε ένα εκατομμύριο οτιδήποτε, αλλά το θέμα είναι ότι είμαστε ακόμα σε θέση να αντιληφθούμε αυτόν τον αριθμό.)
Ωστόσο, αν και δεν μπορούμε να φανταστούμε, είμαστε τουλάχιστον σε θέση να καταλάβουμε σε γενικές γραμμές, που είναι 7600 δισεκατομμύρια, ίσως συγκρίνοντάς το με κάτι σαν το ΑΕΠ των ΗΠΑ. Έχουμε περάσει από τη διαίσθηση στην αναπαράσταση στην απλή κατανόηση, αλλά τουλάχιστον εξακολουθούμε να έχουμε κάποιο κενό στην κατανόηση του τι είναι ένας αριθμός. Αυτό πρόκειται να αλλάξει καθώς ανεβαίνουμε ένα ακόμη σκαλί στη σκάλα.
Για να γίνει αυτό, πρέπει να μεταβούμε στη σημειογραφία που εισήγαγε ο Donald Knuth, γνωστή ως σημειογραφία βέλους. Αυτές οι σημειώσεις μπορούν να γραφτούν ως . Όταν πάμε στη συνέχεια στο , ο αριθμός που θα λάβουμε θα είναι . Αυτό είναι ίσο με το πού βρίσκεται το σύνολο των τριδύμων. Έχουμε πλέον ξεπεράσει κατά πολύ και πραγματικά όλους τους άλλους αριθμούς που έχουν ήδη αναφερθεί. Άλλωστε, ακόμη και το μεγαλύτερο από αυτά είχε μόνο τρία ή τέσσερα μέλη στη σειρά ευρετηρίου. Για παράδειγμα, ακόμη και ο σούπερ αριθμός του Skuse είναι "μόνο" - ακόμα και με το γεγονός ότι τόσο η βάση όσο και οι εκθέτες είναι πολύ μεγαλύτεροι από , δεν είναι τίποτα σε σύγκριση με το μέγεθος του πύργου αριθμών με δισεκατομμύρια μέλη.
Προφανώς, δεν υπάρχει τρόπος να κατανοήσουμε τόσο τεράστιους αριθμούς... και όμως, η διαδικασία με την οποία δημιουργούνται μπορεί ακόμα να γίνει κατανοητή. Δεν μπορούσαμε να καταλάβουμε τον πραγματικό αριθμό που δίνει ο πύργος των δυνάμεων, ο οποίος είναι ένα δισεκατομμύριο τριπλάσια, αλλά μπορούμε βασικά να φανταστούμε έναν τέτοιο πύργο με πολλά μέλη, και ένας πραγματικά αξιοπρεπής υπερυπολογιστής θα μπορεί να αποθηκεύσει τέτοιους πύργους στη μνήμη, ακόμα κι αν δεν μπορούν να υπολογίσουν τις πραγματικές τους τιμές.
Γίνεται όλο και πιο αφηρημένο, αλλά θα χειροτερέψει. Μπορεί να νομίζετε ότι ένας πύργος δυνάμεων του οποίου το μήκος εκθέτη είναι (στην πραγματικότητα, σε μια προηγούμενη έκδοση αυτής της ανάρτησης έκανα ακριβώς αυτό το λάθος), αλλά είναι απλώς . Με άλλα λόγια, φανταστείτε ότι έχετε τη δυνατότητα να υπολογίσετε την ακριβή τιμή ενός πύργου ισχύος τριπλών, που αποτελείται από στοιχεία, και μετά παίρνετε αυτήν την τιμή και δημιουργείτε έναν νέο πύργο με τόσα πολλά μέσα ... που δίνει .
Επαναλάβετε αυτή τη διαδικασία με κάθε διαδοχικό αριθμό ( Σημείωσηξεκινώντας από τα δεξιά) έως ότου το κάνετε αυτό μία φορά και, στη συνέχεια, τελικά θα λάβετε . Αυτός είναι ένας αριθμός που είναι απλά απίστευτα μεγάλος, αλλά τουλάχιστον τα βήματα για να τον αποκτήσετε φαίνεται να είναι ξεκάθαρα αν όλα γίνονται πολύ αργά. Δεν μπορούμε πλέον να κατανοήσουμε τους αριθμούς ή να φανταστούμε τη διαδικασία με την οποία λαμβάνονται, αλλά τουλάχιστον μπορούμε να κατανοήσουμε τον βασικό αλγόριθμο, μόνο σε αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα.
Τώρα ας προετοιμάσουμε το μυαλό να το ανατινάξει πραγματικά.
Ο αριθμός του Graham (Graham).
Ρόναλντ Γκράχαμ
Έτσι παίρνετε τον αριθμό του Γκράχαμ, ο οποίος κατατάσσεται στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες ως ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε μαθηματική απόδειξη. Είναι απολύτως αδύνατο να φανταστεί κανείς πόσο μεγάλο είναι και είναι εξίσου δύσκολο να εξηγήσει τι ακριβώς είναι. Βασικά, ο αριθμός του Graham μπαίνει στο παιχνίδι όταν έχουμε να κάνουμε με υπερκύβους, που είναι θεωρητικά γεωμετρικά σχήματα με περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Ο μαθηματικός Ronald Graham (βλ. φωτογραφία) ήθελε να ανακαλύψει ποιος ήταν ο μικρότερος αριθμός διαστάσεων που θα κρατούσε σταθερές ορισμένες ιδιότητες ενός υπερκύβου. (Συγγνώμη για αυτήν την αόριστη εξήγηση, αλλά είμαι βέβαιος ότι όλοι χρειαζόμαστε τουλάχιστον δύο πτυχία μαθηματικών για να το κάνουμε πιο ακριβές.)
Σε κάθε περίπτωση, ο αριθμός Graham είναι μια ανώτερη εκτίμηση αυτού του ελάχιστου αριθμού διαστάσεων. Πόσο μεγάλο είναι λοιπόν αυτό το άνω όριο; Ας επιστρέψουμε σε έναν αριθμό τόσο μεγάλο που μπορούμε να κατανοήσουμε τον αλγόριθμο για την απόκτησή του μάλλον αόριστα. Τώρα, αντί απλώς να πηδήξουμε ένα ακόμη επίπεδο στο , θα μετρήσουμε τον αριθμό που έχει βέλη μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου τριπλού. Τώρα είμαστε πολύ πέρα από την παραμικρή κατανόηση του τι είναι αυτός ο αριθμός ή ακόμα και του τι πρέπει να γίνει για να τον υπολογίσουμε.
Τώρα επαναλάβετε αυτή τη διαδικασία φορές ( Σημείωσησε κάθε επόμενο βήμα, γράφουμε τον αριθμό των βελών ίσο με τον αριθμό που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα).
Αυτός, κυρίες και κύριοι, είναι ο αριθμός του Graham, ο οποίος είναι περίπου μια τάξη μεγέθους πάνω από το σημείο της ανθρώπινης κατανόησης. Είναι ένας αριθμός που είναι πολύ μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αριθμό μπορείτε να φανταστείτε - είναι πολύ μεγαλύτερος από οποιοδήποτε άπειρο που θα μπορούσατε ποτέ να ελπίζετε να φανταστείτε - απλώς αψηφά ακόμη και την πιο αφηρημένη περιγραφή.
Αλλά εδώ περίεργο πράγμα. Δεδομένου ότι ο αριθμός του Γκράχαμ είναι βασικά απλώς τρίδυμες πολλαπλασιασμένες μαζί, γνωρίζουμε μερικές από τις ιδιότητές του χωρίς να τις υπολογίσουμε πραγματικά. Δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον αριθμό του Γκράχαμ με οποιαδήποτε σημειογραφία που γνωρίζουμε, ακόμα κι αν χρησιμοποιήσαμε ολόκληρο το σύμπαν για να τον γράψουμε, αλλά μπορώ να σας δώσω τα τελευταία δώδεκα ψηφία του αριθμού του Γκράχαμ αυτή τη στιγμή: . Και δεν είναι μόνο αυτό: γνωρίζουμε τουλάχιστον τα τελευταία ψηφία του αριθμού του Γκράχαμ.
Φυσικά, αξίζει να θυμόμαστε ότι αυτός ο αριθμός είναι μόνο ένα ανώτερο όριο στο αρχικό πρόβλημα του Graham. Είναι πιθανό ότι ο πραγματικός αριθμός των μετρήσεων που απαιτούνται για την εκπλήρωση της επιθυμητής ιδιότητας είναι πολύ, πολύ μικρότερος. Στην πραγματικότητα, από τη δεκαετία του 1980, οι περισσότεροι ειδικοί στον τομέα πιστεύουν ότι υπάρχουν στην πραγματικότητα μόνο έξι διαστάσεις - ένας αριθμός τόσο μικρός που μπορούμε να τον κατανοήσουμε σε διαισθητικό επίπεδο. Το κάτω όριο έχει αυξηθεί από τότε σε , αλλά εξακολουθεί να υπάρχει μια πολύ καλή πιθανότητα η λύση στο πρόβλημα του Graham να μην βρίσκεται κοντά σε έναν αριθμό τόσο μεγάλο όσο αυτός του Graham.
Στο άπειρο
Υπάρχουν δηλαδή αριθμοί μεγαλύτεροι από τον αριθμό του Γκράχαμ; Υπάρχουν, φυσικά, για αρχή υπάρχει ο αριθμός Graham. Σχετικά με σημαντικό αριθμό… Λοιπόν, υπάρχουν μερικοί τρομακτικά δύσκολοι τομείς των μαθηματικών (ιδιαίτερα, της περιοχής που είναι γνωστή ως συνδυαστική) και της επιστήμης των υπολογιστών, στους οποίους υπάρχουν αριθμοί ακόμη μεγαλύτεροι από τον αριθμό του Graham. Αλλά έχουμε σχεδόν φτάσει στο όριο αυτού που μπορώ να ελπίζω ότι μπορώ ποτέ να εξηγήσω εύλογα. Για όσους είναι αρκετά απερίσκεπτοι για να προχωρήσουν ακόμη περισσότερο, προσφέρεται πρόσθετη ανάγνωση με δική σας ευθύνη.
Λοιπόν, τώρα ένα καταπληκτικό απόσπασμα που αποδίδεται στον Ντάγκλας Ρέι ( ΣημείωσηΓια να είμαι ειλικρινής, ακούγεται πολύ αστείο:
«Βλέπω συστάδες αόριστων αριθμών να κρύβονται εκεί έξω στο σκοτάδι, πίσω από το μικρό σημείο φωτός που δίνει το κερί του μυαλού. Ψιθυρίζουν ο ένας στον άλλο. μιλάμε για ποιος ξέρει τι. Ίσως δεν μας αρέσουν πολύ που αιχμαλωτίζουμε τα αδερφάκια τους με το μυαλό μας. Ή ίσως απλώς οδηγούν έναν ξεκάθαρο αριθμητικό τρόπο ζωής, εκεί έξω, πέρα από την κατανόησή μας».
Ως παιδί, με βασάνιζε η ερώτηση ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός και ταλαιπώρησα σχεδόν όλους με αυτήν την ηλίθια ερώτηση. Έχοντας μάθει τον αριθμό ένα εκατομμύριο, ρώτησα αν υπήρχε αριθμός μεγαλύτερος από ένα εκατομμύριο. Δισεκατομμύριο? ΕΝΑ πάνω από ένα δισεκατομμύριο? Τρισεκατομμύριο? Και πάνω από ένα τρισεκατομμύριο; Τελικά, ήταν κάποιος έξυπνος που μου εξήγησε ότι η ερώτηση είναι ανόητη, αφού αρκεί να προσθέσω μόνο ένα στον μεγαλύτερο αριθμό, και αποδεικνύεται ότι δεν ήταν ποτέ ο μεγαλύτερος, αφού υπάρχουν και μεγαλύτεροι αριθμοί.
Και τώρα, μετά από πολλά χρόνια, αποφάσισα να κάνω μια άλλη ερώτηση, δηλαδή: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που έχει το δικό του όνομα;Ευτυχώς, τώρα υπάρχει Διαδίκτυο και μπορείτε να τους μπερδέψετε με υπομονετικές μηχανές αναζήτησης που δεν θα αποκαλούν τις ερωτήσεις μου ηλίθιες ;-). Στην πραγματικότητα, αυτό έκανα και να τι ανακάλυψα ως αποτέλεσμα.
| Αριθμός | Λατινική ονομασία | Ρωσικό πρόθεμα |
| 1 | unus | en- |
| 2 | δίδυμο | δίδυμο- |
| 3 | tres | τρία- |
| 4 | τεταρτοταγής | τετρα- |
| 5 | quinque | πεμπτου- |
| 6 | φύλο | σέξι |
| 7 | Σεπτέμβριος | σεπτή- |
| 8 | οκτώ | οκτα- |
| 9 | Νοέμβριος | μη- |
| 10 | Δεκέμβριος | αποφασίζω- |
Υπάρχουν δύο συστήματα για την ονομασία αριθμών - αμερικανικό και αγγλικό.
Το αμερικανικό σύστημα είναι φτιαγμένο πολύ απλά. Όλα τα ονόματα των μεγάλων αριθμών χτίζονται ως εξής: στην αρχή υπάρχει ένας λατινικός τακτικός αριθμός και στο τέλος προστίθεται το επίθημα -εκατομμύριο. Εξαίρεση αποτελεί το όνομα "million" που είναι το όνομα του αριθμού χίλια (lat. mille) και το μεγεθυντικό επίθημα -εκατομμύριο (βλ. πίνακα). Έτσι προκύπτουν οι αριθμοί - τρισεκατομμύριο, τετράδισεκατομο, κουϊντίλιον, εξάξιο, επτά εκατομμύριο, οκτίλιο, μη δισεκατομμύριο και δεκατσελιόν. Το αμερικανικό σύστημα χρησιμοποιείται στις ΗΠΑ, τον Καναδά, τη Γαλλία και τη Ρωσία. Μπορείτε να μάθετε τον αριθμό των μηδενικών σε έναν αριθμό γραμμένο στο αμερικανικό σύστημα χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο 3 x + 3 (όπου x είναι λατινικός αριθμός).
Το αγγλικό σύστημα ονομασίας είναι το πιο διαδεδομένο στον κόσμο. Χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, στη Μεγάλη Βρετανία και την Ισπανία, καθώς και στις περισσότερες πρώην αγγλικές και ισπανικές αποικίες. Τα ονόματα των αριθμών σε αυτό το σύστημα είναι χτισμένα ως εξής: ως εξής: ένα επίθημα -εκατομμύριο προστίθεται στον λατινικό αριθμό, ο επόμενος αριθμός (1000 φορές μεγαλύτερος) είναι κατασκευασμένος σύμφωνα με την αρχή - ο ίδιος λατινικός αριθμός, αλλά το επίθημα είναι - δισεκατομμύρια. Δηλαδή, μετά από ένα τρισεκατομμύριο στο αγγλικό σύστημα έρχεται ένα τρισεκατομμύριο, και μόνο τότε ένα τετράστιχο, ακολουθούμενο από ένα τετράστιχο κ.ο.κ. Έτσι, ένα τετράδισεκατομο σύμφωνα με το αγγλικό και το αμερικανικό σύστημα είναι εντελώς διαφορετικοί αριθμοί! Μπορείτε να μάθετε τον αριθμό των μηδενικών σε έναν αριθμό που γράφεται στο αγγλικό σύστημα και τελειώνει με το επίθημα -million χρησιμοποιώντας τον τύπο 6 x + 3 (όπου x είναι λατινικός αριθμός) και χρησιμοποιώντας τον τύπο 6 x + 6 για αριθμούς που τελειώνουν σε -δισεκατομμύριο.
Από Αγγλικό σύστημαμόνο το νούμερο ένα δισεκατομμύριο (10 9) πέρασε στη ρωσική γλώσσα, που, ωστόσο, θα ήταν πιο σωστό να το ονομάσουμε όπως το λένε οι Αμερικανοί - ένα δισεκατομμύριο, αφού έχουμε υιοθετήσει το αμερικανικό σύστημα. Ποιος όμως στη χώρα μας κάνει κάτι σύμφωνα με τους κανόνες! ;-) Παρεμπιπτόντως, μερικές φορές η λέξη τριλιάρδο χρησιμοποιείται επίσης στα ρωσικά (μπορείτε να δείτε μόνοι σας κάνοντας μια αναζήτηση στο Googleή Yandex) και σημαίνει, προφανώς, 1000 τρισεκατομμύρια, δηλ. τετρακισεκατομμύριον.
Εκτός από τους αριθμούς που γράφτηκαν με λατινικά προθέματα στο αμερικανικό ή αγγλικό σύστημα, είναι γνωστοί και οι λεγόμενοι αριθμοί εκτός συστήματος, δηλ. αριθμοί που έχουν τα δικά τους ονόματα χωρίς λατινικά προθέματα. Υπάρχουν αρκετοί τέτοιοι αριθμοί, αλλά θα μιλήσω για αυτούς λεπτομερέστερα λίγο αργότερα.
Ας επιστρέψουμε στη γραφή χρησιμοποιώντας λατινικούς αριθμούς. Φαίνεται ότι μπορούν να γράψουν αριθμούς στο άπειρο, αλλά αυτό δεν είναι απολύτως αλήθεια. Τώρα θα εξηγήσω γιατί. Αρχικά, ας δούμε πώς λέγονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10 33:
| Ονομα | Αριθμός |
| Μονάδα | 10 0 |
| Δέκα | 10 1 |
| Εκατό | 10 2 |
| Χίλια | 10 3 |
| Εκατομμύριο | 10 6 |
| Δισεκατομμύριο | 10 9 |
| Τρισεκατομμύριο | 10 12 |
| τετρακισεκατομμύριον | 10 15 |
| Πεντακισεκατομμύριον | 10 18 |
| Εξακισεκατομμύριον | 10 21 |
| Επτακισεκατομμύριο | 10 24 |
| Οκτίλιον | 10 27 |
| Πεντακισεκατομμύριον | 10 30 |
| Decillion | 10 33 |
Και έτσι, τώρα τίθεται το ερώτημα, τι μετά. Τι είναι το decillion; Κατ' αρχήν, είναι δυνατόν, φυσικά, συνδυάζοντας προθέματα να δημιουργηθούν τέτοια τέρατα όπως: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion και novemdecillion, αλλά αυτά θα ενδιαφερόμασταν ήδη για σύνθετα ονόματα τα δικά μας ονόματα αριθμοί. Επομένως, σύμφωνα με αυτό το σύστημα, εκτός από τα παραπάνω, μπορείτε ακόμα να πάρετε μόνο τρία σωστά ονόματα - vigintillion (από το λατ. viginti- είκοσι), centillion (από λατ. τοις εκατό- εκατό) και ένα εκατομμύριο (από λατ. mille- χιλιάδες). Οι Ρωμαίοι δεν είχαν περισσότερα από χίλια ειδικά ονόματα για αριθμούς (όλοι οι αριθμοί πάνω από χίλιοι ήταν σύνθετοι). Για παράδειγμα, κάλεσαν ένα εκατομμύριο (1.000.000) Ρωμαίοι centena miliaδηλ. εκατοντάδες χιλιάδες. Και τώρα, στην πραγματικότητα, ο πίνακας:
Έτσι, σύμφωνα με ένα παρόμοιο σύστημα, αριθμοί μεγαλύτεροι από το 10 3003, που θα είχε το δικό του, μη σύνθετο όνομα, δεν μπορούν να ληφθούν! Ωστόσο, είναι γνωστοί αριθμοί μεγαλύτεροι από ένα εκατομμύριο - αυτοί είναι οι ίδιοι αριθμοί εκτός συστήματος. Τέλος, ας μιλήσουμε για αυτούς.
| Ονομα | Αριθμός |
| μυριάδα | 10 4 |
| googol | 10 100 |
| Asankheyya | 10 140 |
| Googolplex | 10 10 100 |
| Ο δεύτερος αριθμός του Skuse | 10 10 10 1000 |
| Mega | 2 (σε σημειογραφία Moser) |
| Μεγίστον | 10 (σε σημειογραφία Moser) |
| Μόζερ | 2 (σε σημειογραφία Moser) |
| Αριθμός Γκράχαμ | G 63 (στη σημειογραφία του Graham) |
| Stasplex | G 100 (σε σημειογραφία του Graham) |
Ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι μυριάδα(είναι ακόμη και στο λεξικό του Dahl), που σημαίνει εκατοντάδες, δηλαδή 10.000. Είναι αλήθεια ότι αυτή η λέξη είναι ξεπερασμένη και πρακτικά δεν χρησιμοποιείται, αλλά είναι περίεργο ότι η λέξη "μύρια" χρησιμοποιείται ευρέως, που σημαίνει όχι ένα βέβαιο αριθμός καθόλου, αλλά ένας αμέτρητος, αμέτρητος αριθμός πραγμάτων. Πιστεύεται ότι η λέξη μυριάδα (αγγλική μυριάδα) ήρθε στις ευρωπαϊκές γλώσσες από την αρχαία Αίγυπτο.
googol(από το αγγλικό googol) είναι ο αριθμός δέκα έως την εκατοστή δύναμη, δηλαδή ένα με εκατό μηδενικά. Έγραψε για πρώτη φορά για το "googol" το 1938 στο άρθρο "New Names in Mathematics" στο τεύχος Ιανουαρίου του περιοδικού Scripta Mathematica. Αμερικανός μαθηματικόςΈντουαρντ Κάσνερ. Σύμφωνα με τον ίδιο, ο εννιάχρονος ανιψιός του Milton Sirotta πρότεινε να καλέσουν έναν μεγάλο αριθμό «googol». Αυτός ο αριθμός έγινε πολύ γνωστός χάρη στη μηχανή αναζήτησης που πήρε το όνομά του. Google. Σημειώστε ότι το "Google" είναι εμπορικό σήμα και το googol είναι ένας αριθμός.
Στη διάσημη βουδιστική πραγματεία Jaina Sutra, που χρονολογείται από το 100 π.Χ., υπάρχει ένας αριθμός asankhiya(από τα κινέζικα ασέντζι- ανυπολόγιστο), ίσο με 10 140. Πιστεύεται ότι αυτός ο αριθμός είναι ίσος με τον αριθμό των κοσμικών κύκλων που απαιτούνται για την απόκτηση νιρβάνα.
Googolplex(Αγγλικά) googolplex) - ένας αριθμός που εφευρέθηκε επίσης από τον Κάσνερ με τον ανιψιό του και σημαίνει ένα με ένα googol μηδενικών, δηλαδή 10 10 100. Να πώς ο ίδιος ο Κάσνερ περιγράφει αυτή την «ανακάλυψη»:
Λόγια σοφίας λέγονται από τα παιδιά τουλάχιστον τόσο συχνά όσο και από τους επιστήμονες. Το όνομα "googol" επινοήθηκε από ένα παιδί (τον εννιάχρονο ανιψιό του Dr. Kasner) που του ζητήθηκε να βρει ένα όνομα για έναν πολύ μεγάλο αριθμό, δηλαδή, το 1 με εκατό μηδενικά μετά από αυτό. Ήταν πολύ βέβαιο ότι αυτός ο αριθμός δεν ήταν άπειρος, και επομένως εξίσου σίγουρος ότι έπρεπε να έχει ένα όνομα googol, αλλά εξακολουθεί να είναι πεπερασμένο, όπως έσπευσε να επισημάνει ο εφευρέτης του ονόματος.
Μαθηματικά και Φαντασία(1940) των Kasner και James R. Newman.
Ακόμη και περισσότερο από έναν αριθμό googolplex, ο αριθμός του Skewes προτάθηκε από τον Skewes το 1933 (Skewes. J. London Math. soc. 8 , 277-283, 1933.) στην απόδειξη της εικασίας Riemann σχετικά με τους πρώτους. Σημαίνει μιστο βαθμό μιστο βαθμό μιστη δύναμη του 79, δηλαδή, e e e 79. Αργότερα, ο Riele (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference Π(x)-Li(x)." Μαθηματικά. Υπολογιστής. 48 , 323-328, 1987) μείωσε τον αριθμό Skewes σε e e 27/4, που είναι περίπου ίσο με 8.185 10 370. Είναι σαφές ότι αφού η τιμή του αριθμού Skewes εξαρτάται από τον αριθμό μι, τότε δεν είναι ακέραιος, επομένως δεν θα το εξετάσουμε, διαφορετικά θα έπρεπε να ανακαλέσουμε άλλους μη φυσικούς αριθμούς - τον αριθμό pi, τον αριθμό e, τον αριθμό Avogadro κ.λπ.
Αλλά πρέπει να σημειωθεί ότι υπάρχει ένας δεύτερος αριθμός Skewes, ο οποίος στα μαθηματικά συμβολίζεται ως Sk 2 , ο οποίος είναι ακόμη μεγαλύτερος από τον πρώτο αριθμό Skewes (Sk 1). Ο δεύτερος αριθμός του Skuse, εισήχθη από τον J. Skuse στο ίδιο άρθρο για να δηλώσει τον αριθμό μέχρι τον οποίο ισχύει η υπόθεση Riemann. Το Sk 2 είναι ίσο με 10 10 10 10 3 , δηλαδή 10 10 10 1000 .
Όπως καταλαβαίνετε, όσο περισσότεροι είναι οι βαθμοί, τόσο πιο δύσκολο είναι να καταλάβετε ποιος από τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος. Για παράδειγμα, κοιτάζοντας τους αριθμούς Skewes, χωρίς ειδικούς υπολογισμούς, είναι σχεδόν αδύνατο να καταλάβουμε ποιος από αυτούς τους δύο αριθμούς είναι μεγαλύτερος. Έτσι, για υπερμεγάλους αριθμούς, η χρήση δυνάμεων καθίσταται άβολη. Επιπλέον, μπορείτε να βρείτε τέτοιους αριθμούς (και έχουν ήδη εφευρεθεί) όταν οι βαθμοί μοιρών απλά δεν ταιριάζουν στη σελίδα. Ναι, τι σελίδα! Δεν θα χωρέσουν καν σε ένα βιβλίο στο μέγεθος ολόκληρου του σύμπαντος! Σε αυτή την περίπτωση, τίθεται το ερώτημα πώς να τα καταγράψετε. Το πρόβλημα, όπως καταλαβαίνετε, είναι επιλύσιμο και οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει αρκετές αρχές για τη σύνταξη τέτοιων αριθμών. Είναι αλήθεια ότι κάθε μαθηματικός που έθεσε αυτό το πρόβλημα βρήκε τον δικό του τρόπο γραφής, ο οποίος οδήγησε στην ύπαρξη αρκετών, άσχετων, τρόπων γραφής αριθμών - αυτοί είναι οι συμβολισμοί των Knuth, Conway, Steinhouse κ.λπ.
Σκεφτείτε τη σημειογραφία του Hugo Stenhaus (H. Steinhaus. Μαθηματικά στιγμιότυπα, 3η έκδ. 1983), το οποίο είναι αρκετά απλό. Ο Steinhouse πρότεινε να γράψετε μεγάλους αριθμούς μέσα σε γεωμετρικά σχήματα - ένα τρίγωνο, ένα τετράγωνο και έναν κύκλο:
Ο Steinhouse βρήκε δύο νέους υπερ-μεγάλους αριθμούς. Ονόμασε έναν αριθμό Mega, και ο αριθμός είναι Μεγίστον.
Ο μαθηματικός Leo Moser βελτίωσε τη σημείωση του Stenhouse, η οποία περιοριζόταν από το γεγονός ότι εάν ήταν απαραίτητο να γραφτούν αριθμοί πολύ μεγαλύτεροι από ένα megiston, προέκυψαν δυσκολίες και ενοχλήσεις, καθώς πολλοί κύκλοι έπρεπε να τραβηχτούν ο ένας μέσα στον άλλο. Ο Μόζερ πρότεινε να σχεδιάσουμε όχι κύκλους μετά από τετράγωνα, αλλά πεντάγωνα, μετά εξάγωνα και ούτω καθεξής. Πρότεινε επίσης μια επίσημη σημειογραφία για αυτά τα πολύγωνα, έτσι ώστε οι αριθμοί να μπορούν να γράφονται χωρίς να σχεδιάζονται πολύπλοκα μοτίβα. Η σημειογραφία Moser μοιάζει με αυτό:
Έτσι, σύμφωνα με τη σημείωση του Μόζερ, το μέγα του Στάινχαουζ γράφεται ως 2, και το μεγίστον ως 10. Επιπλέον, ο Λέο Μόζερ πρότεινε να καλέσουμε ένα πολύγωνο με τον αριθμό των πλευρών να είναι ίσος με μέγα - μέγαγωνο. Και πρότεινε τον αριθμό "2 στο Megagon", δηλαδή 2. Αυτός ο αριθμός έγινε γνωστός ως ο αριθμός του Moser ή απλά ως Moser.
Αλλά το μόζερ δεν είναι ο μεγαλύτερος αριθμός. Ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε μια μαθηματική απόδειξη είναι η οριακή τιμή που είναι γνωστή ως Αριθμός Γκράχαμ(αριθμός Graham), χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1977 για την απόδειξη μιας εκτίμησης στη θεωρία Ramsey. Συνδέεται με διχρωμικούς υπερκύβους και δεν μπορεί να εκφραστεί χωρίς ένα ειδικό σύστημα 64 επιπέδων ειδικών μαθηματικών συμβόλων που εισήγαγε ο Knuth το 1976.
Δυστυχώς, ο αριθμός που γράφτηκε στη σημειογραφία Knuth δεν μπορεί να μεταφραστεί στη σημειογραφία Moser. Επομένως, αυτό το σύστημα θα πρέπει επίσης να εξηγηθεί. Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό. Ο Donald Knuth (ναι, ναι, αυτός είναι ο ίδιος Knuth που έγραψε το The Art of Programming και δημιούργησε το πρόγραμμα επεξεργασίας TeX) σκέφτηκε την έννοια της υπερδύναμης, την οποία πρότεινε να γράψει με βέλη προς τα επάνω:
ΣΕ γενική εικόναμοιάζει με αυτό:
Νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα, οπότε ας επιστρέψουμε στον αριθμό του Graham. Ο Graham πρότεινε τους λεγόμενους αριθμούς G:
Ο αριθμός G 63 άρχισε να λέγεται Αριθμός Γκράχαμ(συχνά δηλώνεται απλώς ως G). Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος γνωστός αριθμός στον κόσμο και έχει καταγραφεί ακόμη και στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες. Και, εδώ, ότι ο αριθμός Graham είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό Moser.
ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ.Για να αποφέρω μεγάλα οφέλη σε όλη την ανθρωπότητα και να γίνω διάσημος για αιώνες, αποφάσισα να εφεύρω και να ονομάσω τον μεγαλύτερο αριθμό μόνος μου. Αυτός ο αριθμός θα κληθεί stasplexκαι ισούται με τον αριθμό G 100 . Απομνημονεύστε το και όταν τα παιδιά σας ρωτήσουν ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στον κόσμο, πείτε τους ότι ονομάζεται αυτός ο αριθμός stasplex.
Ενημέρωση (4.09.2003):Σας ευχαριστώ όλους για τα σχόλια. Αποδείχθηκε ότι όταν έγραφα το κείμενο, έκανα αρκετά λάθη. Θα προσπαθήσω να το φτιάξω τώρα.
- Έκανα πολλά λάθη ταυτόχρονα, αναφέροντας μόνο τον αριθμό του Avogadro. Πρώτον, πολλοί άνθρωποι μου έχουν επισημάνει ότι το 6.022 10 23 είναι στην πραγματικότητα ο πιο φυσικός αριθμός. Και δεύτερον, υπάρχει μια άποψη, και μου φαίνεται αληθινή, ότι ο αριθμός του Avogadro δεν είναι καθόλου αριθμός με τη σωστή, μαθηματική έννοια της λέξης, αφού εξαρτάται από το σύστημα των μονάδων. Τώρα εκφράζεται σε "mol -1", αλλά αν εκφράζεται, για παράδειγμα, σε κρεατοελιές ή κάτι άλλο, τότε θα εκφράζεται με εντελώς διαφορετικό σχήμα, αλλά δεν θα πάψει να είναι ο αριθμός του Avogadro.
- 10 000 - σκοτάδι
100.000 - λεγεώνα
1.000.000 - leodre
10.000.000 - Κοράκι ή Κοράκι
100 000 000 - κατάστρωμα
Είναι ενδιαφέρον ότι οι αρχαίοι Σλάβοι αγαπούσαν επίσης τους μεγάλους αριθμούς, ήξεραν πώς να μετρούν μέχρι το ένα δισεκατομμύριο. Επιπλέον, ονόμασαν έναν τέτοιο λογαριασμό «μικρό λογαριασμό». Σε ορισμένα χειρόγραφα, οι συγγραφείς θεωρούσαν επίσης τη «μεγάλη καταμέτρηση», η οποία έφτασε τον αριθμό 10 50 . Σχετικά με αριθμούς μεγαλύτερους από 10 50 ειπώθηκε: «Και περισσότερα από αυτό να αντέχει ο ανθρώπινος νους να καταλάβει». Τα ονόματα που χρησιμοποιήθηκαν στον «μικρό λογαριασμό» μεταφέρθηκαν στον «μεγάλο λογαριασμό», αλλά με διαφορετική σημασία. Έτσι, το σκοτάδι δεν σήμαινε πλέον 10.000, αλλά ένα εκατομμύριο, λεγεώνα - το σκοτάδι αυτών (εκατομμύρια εκατομμύρια). leodrus - μια λεγεώνα λεγεώνων (10 έως 24 μοίρες), τότε ειπώθηκε - δέκα leodres, εκατό leodres, ... και, τέλος, εκατό χιλιάδες λεγεώνες leodres (10 έως 47). Το leodr leodr (10 έως 48) ονομαζόταν κοράκι και, τέλος, κατάστρωμα (10 έως 49). - Το θέμα των εθνικών ονομάτων αριθμών μπορεί να επεκταθεί αν θυμηθούμε τα ξεχασμένα από εμένα Ιαπωνικό σύστηματα ονόματα των αριθμών, τα οποία είναι πολύ διαφορετικά από τα αγγλικά και αμερικανικά συστήματα (δεν θα σχεδιάσω ιερογλυφικά, αν κάποιος ενδιαφέρεται, τότε είναι):
100-ιχί
10 1 - τζιούου
10 2 - hyaku
103-σεν
104 - άνθρωπος
108-οκ
10 12 - τσου
10 16 - kei
10 20 - gai
10 24 - τζιό
10 28 - γιου
10 32 - κου
10 36-καν
10 40 - sei
1044 - sai
1048 - goku
10 52 - gougasya
10 56 - ασούγι
10 60 - nayuta
1064 - φουκασίγκι
10 68 - murioutaisuu - Σχετικά με τους αριθμούς του Hugo Steinhaus (στη Ρωσία, για κάποιο λόγο, το όνομά του μεταφράστηκε ως Hugo Steinhaus). botev διαβεβαιώνει ότι η ιδέα της γραφής υπερμεγάλων αριθμών με τη μορφή αριθμών σε κύκλους δεν ανήκει στον Steinhouse, αλλά στον Daniil Kharms, ο οποίος, πολύ πριν από αυτόν, δημοσίευσε αυτήν την ιδέα στο άρθρο "Raising the Number". Θέλω επίσης να ευχαριστήσω τον Evgeny Sklyarevsky, τον συγγραφέα του πιο ενδιαφέροντος ιστότοπου για ψυχαγωγικά μαθηματικά στο ρωσόφωνο Διαδίκτυο - Arbuz, για τις πληροφορίες ότι ο Steinhouse βρήκε όχι μόνο τους αριθμούς mega και megiston, αλλά πρότεινε και έναν άλλο αριθμό ημιώροφος, που είναι (στη σημειογραφία του) «κυκλωμένο 3».
- Τώρα για τον αριθμό μυριάδαή μύριοι. Υπάρχουν διαφορετικές απόψεις σχετικά με την προέλευση αυτού του αριθμού. Κάποιοι πιστεύουν ότι προέρχεται από την Αίγυπτο, ενώ άλλοι πιστεύουν ότι γεννήθηκε μόνο στην Αρχαία Ελλάδα. Όπως και να έχει, στην πραγματικότητα, οι μυριάδες απέκτησαν φήμη ακριβώς χάρη στους Έλληνες. Myriad ήταν το όνομα για 10.000, και δεν υπήρχαν ονόματα για αριθμούς πάνω από δέκα χιλιάδες. Ωστόσο, στη σημείωση "Psammit" (δηλαδή ο λογισμός της άμμου), ο Αρχιμήδης έδειξε πώς μπορεί κανείς να κατασκευάζει και να ονομάζει αυθαίρετα μεγάλους αριθμούς συστηματικά. Συγκεκριμένα, τοποθετώντας 10.000 (μυριάδες) κόκκους άμμου σε έναν παπαρουνόσπορο, διαπιστώνει ότι στο Σύμπαν (μια σφαίρα με διάμετρο μυριάδων διαμέτρων της Γης) δεν θα χωρούσαν περισσότεροι από 10.63 κόκκοι άμμου (στη σημείωση μας) . Είναι περίεργο ότι οι σύγχρονοι υπολογισμοί του αριθμού των ατόμων στο ορατό σύμπαν οδηγούν στον αριθμό 10 67 (μόνο μυριάδες φορές περισσότερο). Τα ονόματα των αριθμών που πρότεινε ο Αρχιμήδης είναι τα εξής:
1 μυριάδα = 10 4 .
1 δι-μυριά = μύρια μύρια = 10 8 .
1 τριμύρια = δι-μυριά δι-μυριά = 10 16 .
1 τετραμυριάδα = τρεις μυριάδες τρεις μυριάδες = 10 32 .
και τα λοιπά.
Εάν υπάρχουν σχόλια -
Μερικές φορές οι άνθρωποι που δεν έχουν σχέση με τα μαθηματικά αναρωτιούνται: ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός; Από τη μια πλευρά, η απάντηση είναι προφανής - το άπειρο. Οι οπές θα ξεκαθαρίσουν ακόμη και ότι «συν άπειρο» ή «+∞» στη σημειογραφία των μαθηματικών. Αλλά αυτή η απάντηση δεν θα πείσει τους πιο διαβρωτικούς, ειδικά επειδή δεν πρόκειται για φυσικό αριθμό, αλλά για μαθηματική αφαίρεση. Έχοντας όμως κατανοήσει καλά το θέμα, μπορούν να ανοίξουν μπροστά τους το πιο ενδιαφέρον πρόβλημα.
Πράγματι, δεν υπάρχει όριο μεγέθους σε αυτή την περίπτωση, αλλά υπάρχει ένα όριο στην ανθρώπινη φαντασία. Κάθε αριθμός έχει ένα όνομα: δέκα, εκατό, δισεκατομμύρια, εξάξιο και ούτω καθεξής. Πού τελειώνει όμως η φαντασίωση των ανθρώπων;
Δεν πρέπει να συγχέεται με ένα εμπορικό σήμα της Google Corporation, αν και έχουν κοινή προέλευση. Αυτός ο αριθμός γράφεται ως 10100, δηλαδή ένα ακολουθούμενο από μια ουρά εκατό μηδενικών. Είναι δύσκολο να το φανταστεί κανείς, αλλά χρησιμοποιήθηκε ενεργά στα μαθηματικά.
Είναι αστείο αυτό που σκέφτηκε το παιδί του - ο ανιψιός του μαθηματικού Έντουαρντ Κάσνερ. Το 1938, ο θείος μου διασκέδαζε νεότερους συγγενείς με λογομαχίες για πολύ μεγάλους αριθμούς. Προς αγανάκτηση του παιδιού, αποδείχθηκε ότι ένας τόσο υπέροχος αριθμός δεν είχε όνομα και έδωσε τη δική του εκδοχή. Αργότερα, ο θείος μου το έβαλε σε ένα από τα βιβλία του και ο όρος κόλλησε.
Θεωρητικά, ένα googol είναι ένας φυσικός αριθμός, επειδή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μέτρηση. Αυτό είναι που σχεδόν κανείς δεν έχει την υπομονή να το μετρήσει μέχρι το τέλος. Επομένως, μόνο θεωρητικά.
Όσο για το όνομα της εταιρείας Google, τότε μπήκε ένα κοινό λάθος. Ο πρώτος επενδυτής και ένας από τους συνιδρυτές βιαζόταν όταν έγραψε την επιταγή και έχασε το γράμμα "Ο", αλλά για να το εξαργυρώσει, η εταιρεία έπρεπε να εγγραφεί με αυτήν την ορθογραφία.
Googolplex
Αυτός ο αριθμός είναι παράγωγος του googol, αλλά σημαντικά μεγαλύτερος από αυτόν. Το πρόθεμα "plex" σημαίνει αύξηση του δέκα στη δύναμη του βασικού αριθμού, επομένως το guloplex είναι 10 στη δύναμη του 10 στη δύναμη του 100 ή 101000.
Ο αριθμός που προκύπτει υπερβαίνει τον αριθμό των σωματιδίων στο παρατηρήσιμο σύμπαν, ο οποίος υπολογίζεται σε περίπου 1080 μοίρες. Αλλά αυτό δεν εμπόδισε τους επιστήμονες να αυξήσουν τον αριθμό απλώς προσθέτοντας το πρόθεμα "plex" σε αυτό: googolplexplex, googolplexplexplex και ούτω καθεξής. Και για ιδιαίτερα διεστραμμένους μαθηματικούς, επινόησαν μια επιλογή να αυξάνουν χωρίς ατελείωτη επανάληψη του προθέματος "plex" - απλώς βάζουν ελληνικούς αριθμούς μπροστά του: τετρά (τέσσερα), πέντα (πέντε) και ούτω καθεξής, μέχρι δεκά (δέκα) ). Τελευταία επιλογήακούγεται σαν googoldekaplex και σημαίνει δεκαπλάσια αθροιστική επανάληψη της διαδικασίας για την αύξηση του αριθμού 10 στη δύναμη της βάσης του. Το κύριο πράγμα είναι να μην φανταστείτε το αποτέλεσμα. Ακόμα δεν θα μπορείτε να το συνειδητοποιήσετε, αλλά είναι εύκολο να πάθεις ένα τραύμα στην ψυχή.
48ος αριθμός Μέρσεν
Κύριοι χαρακτήρες: Ο Κούπερ, ο υπολογιστής του και ένας νέος πρώτος αριθμός
Σχετικά πρόσφατα, πριν από περίπου ένα χρόνο, ήταν δυνατό να ανακαλύψουμε τον επόμενο, 48ο αριθμό Mersen. Αυτή τη στιγμή είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός στον κόσμο. Θυμηθείτε ότι πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που διαιρούνται μόνο χωρίς υπόλοιπο με το 1 και τον εαυτό τους. Τα πιο απλά παραδείγματα είναι τα 3, 5, 7, 11, 13, 17 και ούτω καθεξής. Το πρόβλημα είναι ότι όσο πιο μακριά βρίσκεται η φύση, τόσο λιγότερο συχνά εμφανίζονται τέτοιοι αριθμοί. Αλλά τόσο πιο πολύτιμη είναι η ανακάλυψη του κάθε επόμενου. Για παράδειγμα, ένας νέος πρώτος αριθμός αποτελείται από 17.425.170 ψηφία εάν αναπαρίσταται με τη μορφή ενός γνωστού σε εμάς δεκαδικού συστήματος αριθμών. Το προηγούμενο είχε περίπου 12 εκατομμύρια χαρακτήρες.
Το ανακάλυψε ο Αμερικανός μαθηματικός Curtis Cooper, ο οποίος για τρίτη φορά ενθουσίασε τη μαθηματική κοινότητα με ένα τέτοιο ρεκόρ. Απλώς για να ελέγξει το αποτέλεσμά του και να αποδείξει ότι αυτός ο αριθμός είναι πραγματικά πρώτος, χρειάστηκαν 39 ημέρες από τον προσωπικό του υπολογιστή.
Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο γράφεται ο αριθμός του Graham στον συμβολισμό με το βέλος του Knuth. Πώς να το αποκρυπτογραφήσεις, είναι δύσκολο να το πεις χωρίς να έχεις πλήρη ανώτερη εκπαίδευσηστα θεωρητικά μαθηματικά. Είναι επίσης αδύνατο να το γράψουμε στη δεκαδική μορφή που έχουμε συνηθίσει: το παρατηρήσιμο Σύμπαν απλά δεν είναι σε θέση να το συγκρατήσει. Το πτυχίο περίφραξης για πτυχίο, όπως στην περίπτωση των googolplex, επίσης δεν είναι επιλογή.
Καλή φόρμουλα, αλλά ακατανόητη
Γιατί λοιπόν χρειαζόμαστε αυτόν τον φαινομενικά άχρηστο αριθμό; Πρώτον, για τους περίεργους, τοποθετήθηκε στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες, και αυτό είναι ήδη πολύ. Δεύτερον, χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση ενός προβλήματος που είναι μέρος του προβλήματος Ramsey, το οποίο είναι επίσης ακατανόητο, αλλά ακούγεται σοβαρό. Τρίτον, αυτός ο αριθμός αναγνωρίζεται ως ο μεγαλύτερος που χρησιμοποιήθηκε ποτέ στα μαθηματικά, και όχι σε αποδείξεις κόμικ ή διανοητικά παιχνίδια, αλλά για την επίλυση ενός πολύ συγκεκριμένου μαθηματικού προβλήματος.
Προσοχή! Οι παρακάτω πληροφορίες είναι επικίνδυνες για εσάς ψυχική υγεία! Διαβάζοντάς το αποδέχεσαι την ευθύνη για όλες τις συνέπειες!
Για όσους θέλουν να δοκιμάσουν το μυαλό τους και να διαλογιστούν στον αριθμό Graham, μπορούμε να προσπαθήσουμε να το εξηγήσουμε (αλλά μόνο να προσπαθήσουμε).
Φανταστείτε 33. Είναι αρκετά εύκολο - παίρνετε 3*3*3=27. Τι θα συμβεί αν τώρα αυξήσουμε τρία σε αυτόν τον αριθμό; Αποδεικνύεται 3 3 στην 3η δύναμη ή 3 27. Σε δεκαδικό συμβολισμό, αυτό ισούται με 7.625.597.484.987. Πολλά, αλλά προς το παρόν μπορεί να γίνει κατανοητό.
Στη σημειογραφία του βέλους του Knuth, αυτός ο αριθμός μπορεί να εμφανιστεί κάπως πιο απλά - 33. Αλλά αν προσθέσετε μόνο ένα βέλος, θα αποδειχθεί πιο δύσκολο: 33, που σημαίνει 33 στη δύναμη του 33 ή σε συμβολισμό ισχύος. Εάν επεκταθεί σε δεκαδικό συμβολισμό, παίρνουμε 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987 . Μπορείτε ακόμα να ακολουθήσετε τη σκέψη;
Επόμενο βήμα: 33= 33 33 . Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσετε αυτόν τον άγριο αριθμό από την προηγούμενη ενέργεια και να τον αυξήσετε στην ίδια ισχύ.
Και το 33 είναι μόνο το πρώτο από τα 64 μέλη του αριθμού του Graham. Για να πάρετε το δεύτερο, πρέπει να υπολογίσετε το αποτέλεσμα αυτού του εξαγριωμένου τύπου και να αντικαταστήσετε τον κατάλληλο αριθμό βελών στο σχήμα 3(...)3. Και ούτω καθεξής, άλλες 63 φορές.
Αναρωτιέμαι αν κάποιος εκτός από αυτόν και καμιά δεκαριά ακόμη υπερμαθηματικούς θα μπορέσει να φτάσει τουλάχιστον στη μέση της σειράς και να μην τρελαθεί ταυτόχρονα;
Κατάλαβες κάτι; Δεν είμαστε. Αλλά τι συγκίνηση!
Γιατί χρειάζονται οι μεγαλύτεροι αριθμοί; Είναι δύσκολο για τον λαϊκό να το καταλάβει και να το αντιληφθεί. Αλλά λίγοι ειδικοί με τη βοήθειά τους είναι σε θέση να παρουσιάσουν νέα τεχνολογικά παιχνίδια στους κατοίκους: τηλέφωνα, υπολογιστές, tablet. Οι κάτοικοι της πόλης δεν μπορούν επίσης να καταλάβουν πώς λειτουργούν, αλλά χαίρονται να τα χρησιμοποιούν για τη δική τους διασκέδαση. Και όλοι είναι ευχαριστημένοι: οι κάτοικοι παίρνουν τα παιχνίδια τους, "supernerds" - την ευκαιρία να παίζουν τα παιχνίδια του μυαλού τους για μεγάλο χρονικό διάστημα.