Ο Pierre Fermat υποστήριξε ότι:

είναι αδύνατο να αποσυντεθεί ένας κύβος σε δύο κύβους ή ένα διτετράγωνο σε δύο διτετράγωνα, και γενικά είναι αδύνατο να αποσυντεθεί οποιαδήποτε ισχύς μεγαλύτερη από δύο σε δύο δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη.

Πώς να προσεγγίσουμε την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού του Fermat;

(εικόνα για να τραβήξετε την προσοχή)

Ας φανταστούμε ότι βρήκαμε ή κατασκευάσαμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με τις ακόλουθες πλευρές: πόδια - , και υποτείνουσα όπου (p, q, k, n)- φυσικοί αριθμοί. Στη συνέχεια, με το Πυθαγόρειο θεώρημα, λαμβάνουμε ή . Έτσι, αν βρούμε ή κατασκευάσουμε ένα τέτοιο τρίγωνο, τότε θα διαψεύσουμε τον Φερμά. Αν αποδείξουμε ότι τέτοιο τρίγωνο δεν υπάρχει, τότε θα αποδείξουμε το θεώρημα.

Εφόσον η πρόταση αναφέρεται σε φυσικούς αριθμούς, θα βρούμε πόσο ίση είναι η διαφορά των τετραγώνων δύο περιττών φυσικών αριθμών. Εκείνοι. ας λύσουμε την εξίσωση. Για να γίνει αυτό, θα κατασκευάσουμε ορθογώνια τρίγωνα, των οποίων η υποτείνουσα είναι ίση με , και το σκέλος ίσο με , όπου και (α > β). Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορείτε να υπολογίσετε το δεύτερο σκέλος χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) , ή (2) . Βρήκαμε ότι οι πλευρές αυτών των τριγώνων είναι ίσες και . Μπορούμε λοιπόν να επαναλάβουμε Ολαζεύγη αριθμών έναΚαι σιαπό το φυσικό σύνολο (ας ονομάσουμε αυτούς τους αριθμούς «γεννήτριες» αυτής της ταυτότητας) και πάρτε Ολαπιθανά τρίγωνα με δεδομένες ιδιότητες , . Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα αυτής της λύσης. Ας ξαναγράψουμε (1) όπως και . Αφού οι Ζ και Υ περιττοί αριθμοί, που σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε (Z - Y) = 2b και (Z + Y) = 2a. Λύνοντάς τα για τα Ζ και Υ, παίρνουμε Ζ = (α + β) και Υ = (α - β). Τότε μπορούμε να γράψουμε ότι X = 4ab και, αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές σε (1) , θα παραλαβουμε .

Σημείωση

Για να αποφύγετε να πάρετε παρόμοια τρίγωνα, και με δεδομένο αυτό ΖΚαι Υ- περιττοί αριθμοί κατά συνθήκη, αριθμοί έναΚαι σιπρέπει να είναι σχετικά πρωτεύον και διαφορετικών ισοτιμιών. Θα υποθέσουμε περαιτέρω ότι ο αριθμός είναι ζυγός ένα. Να οργανώσει την κατανομή των ορθογωνίων τριγώνων στο σύνολο των φυσικών αριθμών Ν, προχωράμε ως εξής: από αυτό το σύνολο αφαιρούμε όλους τους αριθμούς που είναι ζυγοί δυνάμεις φυσικών αριθμών. Ας υποδηλώσουμε αυτό το σύνολο με , όπου n- φυσικός αριθμός. Στη συνέχεια, από τους υπόλοιπους φυσικούς αριθμούς αφαιρούμε όλους τους αριθμούς που είναι περιττοί (≥3) δυνάμεις φυσικών αριθμών και συμβολίζουμε το σύνολο αυτών των αριθμών ως . Οι υπόλοιποι φυσικοί αριθμοί θα σχηματίσουν ένα σύνολο του οποίου οι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί στην πρώτη δύναμη. Ας υποδηλώσουμε αυτό το σύνολο με . Προφανώς, ο συνδυασμός αυτών των 3 συνόλων είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών ή . Ας αναπαραστήσουμε το σύνολο ως σειρά = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,………). Ας αναπαραστήσουμε σύνολα με τη μορφή σειρών. Στη συνέχεια, το σύνολο θα είναι ένας πίνακας που θα αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό σειρών, κάθε σειρά θα αποτελείται από αριθμούς της σειράς ανεβασμένους σε μια ισχύ 2n, ΕΝΑ n- υπάρχει αριθμός γραμμής. Άρα η πρώτη γραμμή αποτελείται από τα τετράγωνα όλων των αριθμών της σειράς, η δεύτερη γραμμή αποτελείται από 4 δυνάμεις αυτών των αριθμών κ.λπ. Ας εξετάσουμε το σύνολο, το οποίο θα είναι ένας πίνακας που θα αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό σειρών, κάθε σειρά του οποίου θα αποτελείται από αριθμούς της σειράς σε ισχύ 2n+1. (n είναι ο αριθμός γραμμής). Έτσι, η πρώτη σειρά αυτού του πίνακα αποτελείται από κύβους αριθμών της σειράς, η δεύτερη σειρά αποτελείται από αριθμούς της σειράς έως την πέμπτη δύναμη κ.λπ. Ας εξετάσουμε το σύνολο. Επειδή , τότε θα δεχθούμε τον ίδιο αλγόριθμο για την κατασκευή τριγώνων (βλ. παραπάνω). Ας βρούμε τους "δημιουργούς" της ταυτότητας. Αυτοί θα είναι αριθμοί , όπου , ας φτιάξουμε μια ταυτότητα: (3) , έχουμε πολλά ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Εδώ - η υποτείνουσα, - το πόδι και - το δεύτερο πόδι. Για να αντικρούσει τον ισχυρισμό του Fermat είναι απαραίτητο τα μέρη Χ, Υ, Ζτο επιθυμητό τρίγωνο ήταν ίσο (4) . Όπου (p, q, k, n) είναι φυσικοί αριθμοί. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχουμε ή και ο ισχυρισμός του Φερμά θα διαψευσθεί. Από την ταυτότητα φαίνεται ξεκάθαρα ότι . Ας αναλογιστούμε την τελευταία ισότητα, σε αυτήν την ισότητα» Π" σε καμία περίπτωση " έναΚαι σι«δεν θα είναι φυσικός αριθμός αν . Αυτό σημαίνει ότι στο εξεταζόμενο σύνολο τριγώνων δεν υπάρχει ούτε ένα τρίγωνο με τις απαιτούμενες πλευρές (4) .
Τώρα ας δούμε το σετ. Ας υποδηλώσουμε (2n+1)Πως " Μ", τότε στο σύνολο λαμβάνουμε ορθογώνια τρίγωνα που περιγράφονται από την ταυτότητα (6) . Αν μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο Χ, Υ, Ζμε τα κόμματα (7) , όπου , τότε θα αντικρούσουμε τη δήλωση του Fermat, γιατί από το Πυθαγόρειο θεώρημα και (p, q και k) είναι φυσικοί αριθμοί. Είναι απαραίτητο να. Λαμβάνοντας υπόψη την τελευταία ισότητα, σημειώνουμε ότι « Π"Δεν μπορεί να είναι φυσικός αριθμός για οποιαδήποτε τιμή" έναΚαι σι", , Αν . Αυτό σημαίνει ότι σε αυτό το σύνολο τριγώνων δεν υπάρχει ούτε ένα τρίγωνο με τις απαιτούμενες πλευρές (7) .

Ωστόσο, από τα παραπάνω είναι σαφές ότι ολόκληρη η απόδειξη καταλήγει στην ανάλυση του αριθμού , όπου "" για κάθε φυσικό " έναΚαι σι"δεν θα είναι ένας φυσικός αριθμός στη δύναμη" m/2" Ή (8) κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν θα είναι φυσικός αριθμός στη δύναμη του «m». Από την απόδειξη είναι ξεκάθαρο ότι οι «γεννήτριες» της ταυτότητας (6) είναι αριθμοί "" από τη σειρά Αλλά, αναλύοντας (8) , μπορείτε να αντικαταστήσετε τον αριθμό αντί του "". Εφόσον υπάρχει ζυγός αριθμός (βλ. Σημείωση), τότε είναι φυσικός αριθμός. Μετά την αντικατάστασή του (8) παίρνουμε, δηλαδή, φυσικούς αριθμούς στη δύναμη του «m». Έχοντας κάνει την παραπάνω αντικατάσταση στην ταυτότητα (6) , και δηλώνοντας με , λαμβάνουμε την ακόλουθη ταυτότητα: . Πήραμε ένα σύνολο από ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές . Αν (k, q, p) είναι φυσικοί αριθμοί σε περιττή δύναμη, δηλ. όπου r είναι οποιοσδήποτε περιττός αριθμός, και . Για να αντικρούσουμε τον Fermat είναι απαραίτητο ότι: Στην τελευταία ισότητα για κάθε φυσικό έναΚαι σι, είναι φυσικοί αριθμοί, αλλά οι δύο πρώτες ισότητες είναι αδύνατες, αφού αν « ΜΚαι r» τυχόν περιττοί αριθμοί, τότε είναι παράλογοι αριθμοί και οι αριθμοί σε αγκύλες είναι φυσικοί αριθμοί. Αν (k, q, p) είναι φυσικοί αριθμοί σε άρτια δύναμη, δηλ. , τότε παίρνουμε τις ακόλουθες ισότητες (5) . Σε αυτή την έκδοση, η τελευταία ισότητα είναι αδύνατη, γιατί Εξάγοντας τη ρίζα m του βαθμού και από τις δύο πλευρές της ισότητας παίρνουμε, δηλ. μέσα σε αγκύλες είναι ένας παράλογος αριθμός και - είναι ένας φυσικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι το «απαραίτητο» τρίγωνο δεν βρέθηκε ούτε σε αυτό το σύνολο. Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε Περιττός « Μ«Η πρόταση του Fermat είναι αληθής, και επομένως αληθής, για όλους τους απλούς εκθέτες «m ≥ 3».

Μένει να βρούμε μια απόδειξη του θεωρήματος για ζυγούς εκθέτες. Από (5) έπεται ότι εάν στην κανονική επέκταση ενός άρτιου εκθέτη υπάρχει ένας περιττός πρώτος αριθμός, τότε η δήλωση του Fermat για αυτόν τον εκθέτη είναι αληθής. Προφανώς, όλοι οι ζυγοί αριθμοί πληρούν αυτήν την προϋπόθεση εκτός από τον αριθμό " 4 «και αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του τεσσάρου, δηλ. 8, 16, 32, 64 … και τα λοιπά. Στην επέκταση αυτών των αριθμών υπάρχει μόνο ένας πρώτος αριθμός 2 . Επομένως η παραπάνω απόδειξη δεν παρέχει απάντηση για αυτές τις εξουσίες.

Απομένει λοιπόν να αποδείξουμε το θεώρημα για το " n=4" Μπορεί να υποτεθεί ότι ο Fermat είχε μια γενική απόδειξη, αλλά όχι μια πλήρη. Ίσως γι' αυτό δεν έγραψε τα στοιχεία του. Και μόνο λίγα χρόνια αργότερα, έχοντας δημιουργήσει τη μέθοδο του «άπειρης ή αόριστης καθόδου», απέδειξε ότι δεν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές του οποίου το εμβαδόν θα ήταν ίσο με το τετράγωνο φυσικός αριθμός. Μετά από αυτό, η απόδειξη του θεωρήματος για " n=4«Δεν ήταν δύσκολο. Ο Fermat έγραψε αυτή την απόδειξη. Και το θεώρημα αποδείχθηκε πλήρως αποδεδειγμένο.

Ετικέτες: Θεώρημα Fermat, σύντομη απόδειξη

Ότι το βραβείο Άμπελ το 2016 θα πάει στον Andrew Wiles για την απόδειξη της εικασίας Taniyama-Shimura για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες και την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat που προκύπτει από αυτήν την εικασία. Επί του παρόντος, το ασφάλιστρο είναι 6 εκατομμύρια νορβηγικές κορώνες, δηλαδή περίπου 50 εκατομμύρια ρούβλια. Σύμφωνα με τον Wiles, το βραβείο ήταν μια "πλήρη έκπληξη" γι 'αυτόν.

Το θεώρημα του Fermat, που αποδείχθηκε πριν από περισσότερα από 20 χρόνια, εξακολουθεί να προσελκύει την προσοχή των μαθηματικών. Εν μέρει, αυτό οφείλεται στη διατύπωσή του, η οποία είναι κατανοητή ακόμη και σε ένα μαθητή: αποδείξτε ότι για φυσικό n>2 δεν υπάρχουν τριπλέτες μη μηδενικών ακεραίων έτσι ώστε a n + b n = c n . Ο Πιερ Φερμά έγραψε αυτή την έκφραση στο περιθώριο της Αριθμητικής του Διόφαντου, προσθέτοντας την αξιοσημείωτη υπογραφή «Βρήκα μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη [αυτής της δήλωσης], αλλά τα περιθώρια του βιβλίου είναι πολύ στενά για αυτό». Σε αντίθεση με τα περισσότερα μαθηματικά παραμύθια, αυτό είναι αληθινό.

Η απονομή του βραβείου είναι μια εξαιρετική ευκαιρία για να θυμηθούμε δέκα διασκεδαστικές ιστορίες που σχετίζονται με το θεώρημα του Φερμά.

1.

Πριν ο Andrew Wiles αποδείξει το θεώρημα του Fermat, ονομαζόταν πιο σωστά υπόθεση, δηλαδή εικασία του Fermat. Το γεγονός είναι ότι ένα θεώρημα είναι, εξ ορισμού, μια ήδη αποδεδειγμένη δήλωση. Ωστόσο, για κάποιο λόγο αυτό το συγκεκριμένο όνομα επισυνάπτεται σε αυτή τη δήλωση.

2.

Αν θέσουμε n = 2 στο θεώρημα του Fermat, τότε μια τέτοια εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Οι λύσεις αυτές ονομάζονται «πυθαγόρειες τριάδες». Έλαβαν αυτό το όνομα επειδή αντιστοιχούν σε ορθογώνια τρίγωνα, οι πλευρές των οποίων εκφράζονται με ακριβώς τέτοια σύνολα αριθμών. Μπορείτε να δημιουργήσετε Πυθαγόρεια τριάδες χρησιμοποιώντας αυτούς τους τρεις τύπους (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2). Σε αυτούς τους τύπους πρέπει να αντικαταστήσετε διαφορετικές έννοιες m και n, και το αποτέλεσμα θα είναι οι τριάδες που χρειαζόμαστε. Το κύριο πράγμα εδώ, ωστόσο, είναι να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί που θα προκύψουν θα είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν - τα μήκη δεν μπορούν να εκφραστούν ως αρνητικοί αριθμοί.

Παρεμπιπτόντως, είναι εύκολο να δούμε ότι αν όλοι οι αριθμοί σε ένα Πυθαγόρειο τριπλό πολλαπλασιαστούν με κάποιον μη μηδενικό αριθμό, προκύπτει ένα νέο Πυθαγόρειο τριπλό. Επομένως, είναι λογικό να μελετήσουμε τρίδυμα, στα οποία οι τρεις αριθμοί μαζί δεν έχουν κοινό παράγοντα. Το σχήμα που περιγράψαμε μας επιτρέπει να αποκτήσουμε όλα αυτά τα τρίδυμα - αυτό δεν είναι πλέον ένα απλό αποτέλεσμα.

3.

Την 1η Μαρτίου 1847, σε μια συνεδρίαση της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού, δύο μαθηματικοί - ο Gabriel Lamé και ο Augustin Cauchy - ανακοίνωσαν ότι βρίσκονταν στα πρόθυρα να αποδείξουν ένα αξιοσημείωτο θεώρημα. Έτρεξαν να δημοσιεύσουν αποδεικτικά στοιχεία. Οι περισσότεροι ακαδημαϊκοί είχαν τις ρίζες τους στον Lame, αφού ο Cauchy ήταν ένας αυτάρεσκος, μισαλλόδοξος θρησκευτικός φανατικός (και, φυσικά, ένας απολύτως λαμπρός μαθηματικός με μερική απασχόληση). Ωστόσο, ο αγώνας δεν έμελλε να τελειώσει - μέσω του φίλου του Joseph Liouville, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer ενημέρωσε τους ακαδημαϊκούς ότι υπήρχε το ίδιο λάθος στις αποδείξεις των Cauchy και Lame.

Στο σχολείο αποδεικνύεται ότι η αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες είναι μοναδική. Και οι δύο μαθηματικοί πίστευαν ότι αν δούμε την επέκταση των ακεραίων στη σύνθετη περίπτωση, τότε αυτή η ιδιότητα - η μοναδικότητα - θα διατηρηθεί. Ωστόσο, δεν είναι.

Αξιοσημείωτο είναι ότι αν θεωρήσουμε μόνο m + i n, τότε η επέκταση είναι μοναδική. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται Gaussian. Αλλά το έργο των Lamé και Cauchy απαιτούσε παραγοντοποίηση σε κυκλοτομικά πεδία. Αυτοί είναι, για παράδειγμα, αριθμοί στους οποίους τα m και n είναι ορθολογικά και το i ικανοποιεί την ιδιότητα i^k = 1.

4.

Το θεώρημα του Fermat για n = 3 έχει σαφή γεωμετρική σημασία. Ας φανταστούμε ότι έχουμε πολλούς μικρούς κύβους. Ας συγκεντρώσουμε δύο μεγάλους κύβους από αυτά. Σε αυτή την περίπτωση, φυσικά, οι πλευρές θα είναι ακέραιοι. Είναι δυνατόν να βρούμε δύο τόσο μεγάλους κύβους που, αποσυναρμολογώντας τους στους μικρούς κύβους που αποτελούνται, θα μπορούσαμε να συναρμολογήσουμε έναν μεγάλο κύβο από αυτούς; Το θεώρημα του Fermat λέει ότι αυτό δεν μπορεί να γίνει ποτέ. Είναι αστείο ότι αν κάνετε την ίδια ερώτηση για τρεις κύβους, η απάντηση είναι ναι. Για παράδειγμα, υπάρχει αυτό το κουαρτέτο αριθμών, που ανακάλυψε ο υπέροχος μαθηματικός Srinivas Ramanujan:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

Στην ιστορία του θεωρήματος του Fermat, σημειώθηκε ο Leonard Euler. Δεν κατάφερε πραγματικά να αποδείξει τη δήλωση (ή ακόμα και να πλησιάσει την απόδειξη), αλλά διατύπωσε την υπόθεση ότι η εξίσωση

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

δεν έχει λύση σε ακέραιους αριθμούς. Όλες οι προσπάθειες να βρεθεί μια λύση σε μια τέτοια εξίσωση κατά μέτωπο ήταν ανεπιτυχείς. Μόλις το 1988 ο Nahum Elkies του Χάρβαρντ κατάφερε να βρει ένα αντιπαράδειγμα. Μοιάζει με αυτό:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Αυτός ο τύπος συνήθως απομνημονεύεται στο πλαίσιο ενός αριθμητικού πειράματος. Κατά κανόνα, στα μαθηματικά μοιάζει με αυτό: υπάρχει κάποιος τύπος. Ο μαθηματικός ελέγχει αυτόν τον τύπο σε απλές περιπτώσεις, σιγουρεύεται για την αλήθεια του και διατυπώνει κάποια υπόθεση. Στη συνέχεια (αν και πιο συχνά ένας από τους πτυχιούχους ή προπτυχιακούς φοιτητές του) γράφει ένα πρόγραμμα για να ελέγξει ότι ο τύπος είναι σωστός μεγάλοι αριθμοί, που δεν μπορεί να μετρηθεί με το χέρι (μιλάμε για ένα τέτοιο πείραμα με πρώτους αριθμούς). Αυτό δεν είναι απόδειξη, φυσικά, αλλά ένας εξαιρετικός λόγος για να διατυπωθεί μια υπόθεση. Όλες αυτές οι κατασκευές βασίζονται στην εύλογη υπόθεση ότι εάν υπάρχει ένα αντιπαράδειγμα σε κάποιον εύλογο τύπο, τότε θα το βρούμε αρκετά γρήγορα.

Η υπόθεση του Euler μας υπενθυμίζει ότι η ζωή είναι πολύ πιο ποικιλόμορφη από τις φαντασιώσεις μας: το πρώτο αντιπαράδειγμα μπορεί να είναι όσο μεγάλο επιθυμούμε.

6.

Στην πραγματικότητα, φυσικά, ο Andrew Wiles δεν προσπαθούσε να αποδείξει το θεώρημα του Fermat - έλυνε περισσότερα δύσκολη εργασίαπου ονομάζεται εικασία Taniyama-Shimura. Υπάρχουν δύο υπέροχες κατηγορίες αντικειμένων στα μαθηματικά. Η πρώτη ονομάζεται αρθρωτές μορφές και είναι ουσιαστικά συναρτήσεις στον χώρο Lobachevsky. Αυτές οι λειτουργίες δεν αλλάζουν με τις κινήσεις αυτού του επιπέδου. Η δεύτερη ονομάζεται «ελλειπτικές καμπύλες» και αντιπροσωπεύει τις καμπύλες που ορίζονται από μια εξίσωση τρίτου βαθμού στο μιγαδικό επίπεδο. Και τα δύο αντικείμενα είναι πολύ δημοφιλή στη θεωρία αριθμών.

Στη δεκαετία του '50 του περασμένου αιώνα, δύο ταλαντούχοι μαθηματικοί Yutaka Taniyama και Goro Shimura συναντήθηκαν στη βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου του Τόκιο. Εκείνη την εποχή δεν υπήρχαν ειδικά μαθηματικά στο πανεπιστήμιο: απλά δεν είχε χρόνο να ανακάμψει μετά τον πόλεμο. Ως αποτέλεσμα, οι επιστήμονες μελέτησαν χρησιμοποιώντας παλιά σχολικά βιβλία και συζήτησαν σε σεμινάρια προβλήματα που στην Ευρώπη και τις ΗΠΑ θεωρήθηκαν λυμένα και όχι ιδιαίτερα σχετικά. Ήταν ο Taniyama και ο Shimura που ανακάλυψαν ότι υπάρχει μια ορισμένη αντιστοιχία μεταξύ των αρθρωτών μορφών και των ελλειπτικών συναρτήσεων.

Έλεγξαν την υπόθεσή τους σε κάποιους απλές τάξειςκαμπύλες. Αποδείχθηκε ότι λειτουργεί. Υπέθεσαν λοιπόν ότι αυτή η σύνδεση υπάρχει πάντα. Έτσι εμφανίστηκε η υπόθεση Taniyama-Shimura και τρία χρόνια αργότερα η Taniyama αυτοκτόνησε. Το 1984, ο Γερμανός μαθηματικός Gerhard Frey έδειξε ότι εάν το θεώρημα του Fermat είναι ψευδές, τότε η εικασία Taniyama-Shimura είναι επομένως ψευδής. Από αυτό προέκυψε ότι όποιος απέδειξε αυτή την υπόθεση θα απέδειξε και το θεώρημα. Αυτό ακριβώς έκανε - αν και όχι αρκετά μέσα γενική εικόνα- Wiles.

7.

Ο Wiles πέρασε οκτώ χρόνια για να αποδείξει την υπόθεση. Και κατά τη διάρκεια της αναθεώρησης, οι κριτικοί βρήκαν ένα σφάλμα σε αυτό που "σκότωσε" πλέοναποδεικτικά στοιχεία, αναιρώντας όλα τα χρόνια εργασίας. Ένας από τους κριτικούς, ονόματι Richard Taylor, ανέλαβε να φτιάξει αυτή την τρύπα με τον Wiles. Ενώ δούλευαν, εμφανίστηκε ένα μήνυμα ότι ο Elkies, ο ίδιος που είχε βρει ένα αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler, είχε βρει επίσης ένα αντιπαράδειγμα στο θεώρημα του Fermat (αργότερα αποδείχθηκε ότι αυτό ήταν ένα πρωταπριλιάτικο αστείο). Ο Wiles έπαθε κατάθλιψη και δεν ήθελε να συνεχίσει - η τρύπα στα στοιχεία δεν θα έκλεινε. Ο Τέιλορ έπεισε τον Γουάιλς να αγωνιστεί για έναν ακόμη μήνα.

Συνέβη ένα θαύμα και μέχρι το τέλος του καλοκαιριού οι μαθηματικοί κατάφεραν να κάνουν μια σημαντική ανακάλυψη - έτσι τα έργα "Modular eliptic curves and Fermat's Last Theorem" του Andrew Wiles (pdf) και "Ring-theoretic properties of some Hecke algebras" του Richard Ο Taylor και ο Andrew Wiles γεννήθηκαν. Αυτή ήταν ήδη η σωστή απόδειξη. Εκδόθηκε το 1995.

8.

Το 1908, ο μαθηματικός Paul Wolfskehl πέθανε στο Darmstadt. Άφησε πίσω του μια διαθήκη στην οποία έδωσε στη μαθηματική κοινότητα 99 χρόνια για να βρει μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ο συντάκτης της απόδειξης θα έπρεπε να είχε λάβει 100 χιλιάδες μάρκες (ο συγγραφέας του αντιπαραδείγματος, παρεμπιπτόντως, δεν θα είχε λάβει τίποτα). Σύμφωνα με έναν ευρέως διαδεδομένο μύθο, ο Wolfskehl είχε κίνητρο να δώσει ένα τέτοιο δώρο στους μαθηματικούς από αγάπη. Δείτε πώς ο Simon Singh περιγράφει τον θρύλο στο βιβλίο του Fermat's Last Theorem:

Η ιστορία ξεκινά με τον Wolfskel να παρασύρεται όμορφη γυναίκα, η ταυτότητα του οποίου δεν έχει εξακριβωθεί ποτέ. Δυστυχώς για τον Wolfskel, η μυστηριώδης γυναίκα τον απέρριψε. Έπεσε σε τόσο βαθιά απόγνωση που αποφάσισε να αυτοκτονήσει. Ο Wolfskel ήταν ένας παθιασμένος άνθρωπος, αλλά όχι παρορμητικός, και ως εκ τούτου άρχισε να επεξεργάζεται το θάνατό του με κάθε λεπτομέρεια. Έθεσε ημερομηνία για την αυτοκτονία του και αποφάσισε να αυτοπυροβοληθεί στο κεφάλι στα μεσάνυχτα. Τις υπόλοιπες μέρες, ο Βόλφσκελ αποφάσισε να τακτοποιήσει τις υποθέσεις του, που πήγαιναν υπέροχα, και την τελευταία μέρα έκανε διαθήκη και έγραψε γράμματα σε στενούς φίλους και συγγενείς.

Ο Wolfskel εργάστηκε τόσο επιμελώς που τελείωσε όλη του τη δουλειά πριν από τα μεσάνυχτα και, για να γεμίσει με κάποιο τρόπο τις υπόλοιπες ώρες, πήγε στη βιβλιοθήκη, όπου άρχισε να ψάχνει μαθηματικά περιοδικά. Σύντομα βρήκε το κλασικό άρθρο του Kummer, στο οποίο εξήγησε γιατί ο Cauchy και ο Lamé απέτυχαν. Το έργο του Kummer ήταν μια από τις πιο σημαντικές μαθηματικές δημοσιεύσεις του αιώνα του και ήταν το καλύτερο ανάγνωσμα για έναν μαθηματικό που σκεφτόταν να αυτοκτονήσει. Ο Wolfskel ακολούθησε προσεκτικά τους υπολογισμούς του Kummer, γραμμή προς γραμμή. Ξαφνικά, φάνηκε στον Wolfskehl ότι είχε ανακαλύψει ένα κενό: ο συγγραφέας είχε κάνει μια υπόθεση και δεν είχε δικαιολογήσει αυτό το βήμα στη συλλογιστική του. Ο Wolfskehl αναρωτήθηκε αν είχε πράγματι ανακαλύψει ένα σοβαρό κενό ή αν η υπόθεση του Kummer ήταν λογική. Εάν ανακαλύφθηκε ένα κενό, τότε υπήρχε πιθανότητα το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά να αποδειχτεί πολύ πιο εύκολα από ό,τι πίστευαν πολλοί.

Ο Wolfskehl κάθισε στο τραπέζι, ανέλυσε προσεκτικά το «ελαττωματικό» μέρος του συλλογισμού του Kummer και άρχισε να σκιαγραφεί μια μίνι απόδειξη που υποτίθεται ότι είτε υποστήριζε το έργο του Kummer είτε αποδείκνυε την πλάνη της υπόθεσης του και, ως αποτέλεσμα, διέψευσε επιχειρήματα. Μέχρι τα ξημερώματα, ο Βόλφσκελ είχε ολοκληρώσει τους υπολογισμούς του. Τα κακά (από μαθηματική άποψη) νέα ήταν ότι η απόδειξη του Kummer είχε επισκευαστεί και το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat παρέμενε απρόσιτο. Υπήρχαν όμως και καλα ΝΕΑ: ο χρόνος που είχε οριστεί για την αυτοκτονία είχε περάσει και ο Βόλφσκελ ήταν τόσο περήφανος που μπόρεσε να ανακαλύψει και να καλύψει το κενό στο έργο του μεγάλου Έρνεστ Κούμερ που η απελπισία και η θλίψη του διέλυσαν από μόνα τους. Τα μαθηματικά του έδωσαν πίσω το κέφι του για ζωή.

Ωστόσο, υπάρχει επίσης εναλλακτική έκδοση. Σύμφωνα με αυτήν, ο Wolfskehl ασχολήθηκε με τα μαθηματικά (και, στην πραγματικότητα, το θεώρημα του Fermat) λόγω της προοδευτικής πολλαπλή σκλήρυνση, που τον εμπόδισε να κάνει αυτό που αγαπούσε - να είναι γιατρός. Και άφησε τα χρήματα στους μαθηματικούς για να μην τα αφήσει στη γυναίκα του, την οποία μέχρι το τέλος της ζωής του απλώς μισούσε.

9.

Οι προσπάθειες να αποδειχθεί το θεώρημα του Φερμά χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μεθόδους οδήγησαν στην εμφάνιση μιας ολόκληρης τάξης παράξενων ανθρώπων που ονομάζονταν «Fermatists». Ασχολήθηκαν με αυτό που παρήγαγαν μεγάλο ποσόαποδεικτικά στοιχεία και δεν απελπίστηκε καθόλου όταν διαπιστώθηκε ένα λάθος σε αυτά τα στοιχεία.

Στη Σχολή Μηχανικής και Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας υπήρχε ένας θρυλικός χαρακτήρας ονόματι Dobretsov. Μάζεψε πιστοποιητικά από διάφορα τμήματα και, χρησιμοποιώντας τα, μπήκε στη Μηχανομαθηματική Σχολή. Αυτό έγινε αποκλειστικά για να βρεθεί το θύμα. Κάπως έτσι συνάντησε έναν νεαρό μεταπτυχιακό φοιτητή (μελλοντικό ακαδημαϊκό Novikov). Εκείνος, μέσα στην αφέλειά του, άρχισε να μελετά προσεκτικά τη στοίβα των χαρτιών που του έδωσε ο Ντομπρέτσοφ με τις λέξεις, λένε, εδώ είναι η απόδειξη. Μετά από ένα άλλο "εδώ είναι ένα λάθος..." Ο Ντομπρέτσοφ πήρε τη στοίβα και την έβαλε στον χαρτοφύλακά του. Από τον δεύτερο χαρτοφύλακα (ναι, περπάτησε στη Μηχανομαθηματική Σχολή με δύο χαρτοφύλακες) έβγαλε μια δεύτερη στοίβα, αναστέναξε και είπε: «Λοιπόν, ας δούμε την επιλογή 7 Β».

Παρεμπιπτόντως, οι περισσότερες από αυτές τις αποδείξεις ξεκινούν με τη φράση «Ας μεταφέρουμε έναν από τους όρους σωστη πλευραισότητες και παραγοντοποιήστε».

10.

Η ιστορία για το θεώρημα θα ήταν ελλιπής χωρίς την υπέροχη ταινία «Ο μαθηματικός και ο διάβολος».

Τροπολογία

Η ενότητα 7 αυτού του άρθρου αρχικά ανέφερε ότι ο Nahum Elkies είχε βρει ένα αντιπαράδειγμα στο θεώρημα του Fermat, το οποίο αργότερα αποδείχθηκε λάθος. Αυτό είναι λάθος: η αναφορά του αντιπαραδείγματος ήταν ένα πρωταπριλιάτικο αστείο. Ζητούμε συγγνώμη για την ανακρίβεια.

Αντρέι Κόνιαεφ

Οι ζηλιάρηδες ισχυρίζονται ότι ο Γάλλος μαθηματικός Pierre Fermat έγραψε το όνομά του στην ιστορία με μία μόνο φράση. Στο περιθώριο του χειρογράφου με τη διατύπωση του περίφημου θεωρήματος το 1637, σημείωσε: «Βρήκα μια καταπληκτική λύση, αλλά δεν υπάρχει αρκετός χώρος για να τη βάλω εδώ». Τότε ξεκίνησε ένας εκπληκτικός μαθηματικός αγώνας, στον οποίο, μαζί με εξαιρετικούς επιστήμονες, ενώθηκε και ένας στρατός ερασιτεχνών.

Ποιο είναι το ύπουλο πρόβλημα του Φερμά; Με την πρώτη ματιά, είναι κατανοητό ακόμη και σε έναν μαθητή.

Βασίζεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα, γνωστό σε όλους: στο ορθογώνιο τρίγωνοτετράγωνο της υποτείνουσας ίσο με το άθροισματετράγωνα ποδιών: x 2 + y 2 = z 2. Ο Fermat υποστήριξε: η εξίσωση για οποιεσδήποτε δυνάμεις μεγαλύτερες από δύο δεν έχει λύση σε ακέραιους αριθμούς.

Θα φαινόταν απλό. Απευθυνθείτε και εδώ είναι η απάντηση. Δεν είναι έκπληξη που οι ακαδημίες διαφορετικές χώρες, επιστημονικά ιδρύματα, ακόμη και οι συντάκτες εφημερίδων πλημμύρισαν με δεκάδες χιλιάδες στοιχεία. Ο αριθμός τους είναι άνευ προηγουμένου, δεύτερος μετά τα έργα». μηχανές αέναης κίνησης"Αλλά αν η σοβαρή επιστήμη δεν έχει εξετάσει αυτές τις τρελές ιδέες για πολύ καιρό, τότε το έργο των "αγροτικών" μελετάται με ειλικρίνεια και ενδιαφέροντα. Και, δυστυχώς, βρίσκει λάθη. Λένε ότι σε διάστημα τριών και πλέον αιώνων, έχει σχηματιστεί ένα ολόκληρο μαθηματικό νεκροταφείο λύσεων του θεωρήματος.

Δεν είναι περίεργο που λένε: ο αγκώνας είναι κοντά, αλλά δεν θα δαγκώσεις. Πέρασαν χρόνια, δεκαετίες, αιώνες και το έργο του Φερμά φαινόταν όλο και πιο εκπληκτικό και δελεαστικό. Φαινομενικά απλό, αποδείχθηκε πολύ δύσκολο για την ταχέως αναπτυσσόμενη μυϊκή πρόοδο. Ο άνθρωπος είχε ήδη χωρίσει το άτομο, είχε φτάσει στο γονίδιο, είχε πατήσει το πόδι του στο φεγγάρι, αλλά ο Φερμά δεν ενέδωσε, συνεχίζοντας να δελεάζει τους απογόνους του με ψεύτικες ελπίδες.

Ωστόσο, οι προσπάθειες να ξεπεραστεί η επιστημονική κορυφή δεν ήταν μάταιες. Ο μεγάλος Euler έκανε το πρώτο βήμα αποδεικνύοντας το θεώρημα για τον τέταρτο βαθμό και μετά για τον τρίτο. Στα τέλη του 19ου αιώνα, ο Γερμανός Ερνστ Κούμερ ανέβασε τον αριθμό των βαθμών στους εκατό. Τέλος, οπλισμένοι με υπολογιστές, οι επιστήμονες αύξησαν αυτόν τον αριθμό σε 100.000. Αλλά ο Φερμά μίλησε για τυχόν βαθμούς. Αυτό ήταν όλο το νόημα.

Φυσικά, οι επιστήμονες βασανίστηκαν από το έργο όχι λόγω αθλητικού ενδιαφέροντος. Ο διάσημος μαθηματικός David Hilbert είπε ότι το θεώρημα είναι ένα παράδειγμα του πώς ένα φαινομενικά ασήμαντο πρόβλημα μπορεί να έχει τεράστιο αντίκτυπο στην επιστήμη. Δουλεύοντας σε αυτό, οι επιστήμονες άνοιξαν εντελώς νέους μαθηματικούς ορίζοντες, για παράδειγμα, τέθηκαν τα θεμέλια της θεωρίας αριθμών, της άλγεβρας και της θεωρίας συναρτήσεων.

Και όμως το Μεγάλο Θεώρημα υποτάχθηκε το 1995. Η λύση της παρουσιάστηκε από έναν Αμερικανό από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, τον Andrew Wiles, και είναι επίσημα αναγνωρισμένη από την επιστημονική κοινότητα. Έδωσε περισσότερα από επτά χρόνια από τη ζωή του για να βρει αποδείξεις. Σύμφωνα με τους επιστήμονες, αυτό το εξαιρετικό έργο συγκέντρωσε τα έργα πολλών μαθηματικών, αποκαθιστώντας τις χαμένες συνδέσεις μεταξύ των διαφορετικών τμημάτων του.

Έτσι, η σύνοδος κορυφής έχει πραγματοποιηθεί και η επιστήμη έχει λάβει την απάντηση», είπε ο επιστημονικός γραμματέας του Τμήματος Μαθηματικών σε ανταποκριτή της RG. Ρωσική ΑκαδημίαΕπιστημών, Διδάκτωρ Τεχνικών Επιστημών Yuri Vishnyakov. - Το θεώρημα έχει αποδειχθεί, αν και όχι με τον απλούστερο τρόπο, όπως επέμεινε ο ίδιος ο Fermat. Και τώρα όσοι επιθυμούν μπορούν να εκτυπώσουν τις δικές τους εκδοχές.

Ωστόσο, η οικογένεια των «αγροτών» δεν πρόκειται καθόλου να δεχτεί την απόδειξη του Wiles. Όχι, δεν αντικρούουν την απόφαση του Αμερικανού, γιατί είναι πολύ περίπλοκη και επομένως κατανοητή μόνο σε έναν στενό κύκλο ειδικών. Αλλά δεν περνάει μια εβδομάδα χωρίς μια νέα αποκάλυψη από έναν άλλο ενθουσιώδη να εμφανιστεί στο Διαδίκτυο, «βάζοντας επιτέλους ένα τέλος στο μακροχρόνιο έπος».

Παρεμπιπτόντως, μόλις χθες ένας από τους παλαιότερους «φερμίστες» στη χώρα μας, ο Vsevolod Yarosh, τηλεφώνησε στο γραφείο σύνταξης του «RG»: «Και ξέρετε ότι απέδειξα το θεώρημα του Fermat πριν από τον Wiles. Επιπλέον, βρήκα ένα λάθος στο Αυτόν, για το οποίο έγραψα στον εξαιρετικό μας μαθηματικό Ακαδημαϊκό Άρνολντ με αίτημα να το δημοσιεύσω σε ένα επιστημονικό περιοδικό. Τώρα περιμένω μια απάντηση. Επίσης, αλληλογραφώ με τη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών σχετικά με αυτό."

Και μόλις τώρα, όπως αναφέρθηκε σε πολλά μέσα ενημέρωσης, με «ελαφριά χάρη» αποκάλυψε μεγάλο μυστικόμαθηματικά", ένας άλλος ενθουσιώδης είναι ο πρώην γενικός σχεδιαστής του λογισμικού Polyot από το Ομσκ, Διδάκτωρ Τεχνικών Επιστημών Alexander Ilyin. Η λύση αποδείχθηκε τόσο απλή και σύντομη που χωρούσε σε ένα μικρό τμήμα του χώρου των εφημερίδων ενός από τα κεντρικά δημοσιεύσεις.

Οι συντάκτες του RG στράφηκαν στο κορυφαίο Ινστιτούτο Μαθηματικών της χώρας που ονομάστηκε έτσι. Steklov RAS με αίτημα να αξιολογήσει αυτή την απόφαση. Οι επιστήμονες ήταν κατηγορηματικοί: δεν μπορεί κανείς να σχολιάσει το δημοσίευμα της εφημερίδας. Όμως μετά από πολλή πειθώ και λαμβάνοντας υπόψη το αυξημένο ενδιαφέρον για το περίφημο πρόβλημα, συμφώνησαν. Σύμφωνα με αυτούς, έγιναν αρκετά θεμελιώδη λάθη στην τελευταία απόδειξη που δημοσιεύτηκε. Παρεμπιπτόντως, ακόμη και ένας φοιτητής της Μαθηματικής Σχολής θα μπορούσε εύκολα να τα παρατηρήσει.

Ωστόσο, οι συντάκτες ήθελαν να λάβουν πληροφορίες από πρώτο χέρι. Επιπλέον, χθες στην Ακαδημία Αεροπορίας και Αεροναυπηγικής ο Ilyin έπρεπε να παρουσιάσει την απόδειξη του. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι λίγοι γνωρίζουν για μια τέτοια ακαδημία, ακόμη και μεταξύ ειδικών. Και όταν, τελικά, το μεγαλύτερο έργοκατάφερε να βρει τον αριθμό τηλεφώνου του επιστημονικού γραμματέα αυτής της οργάνωσης, τότε, όπως αποδείχθηκε, δεν υποψιάστηκε καν ότι επρόκειτο να γίνει μια τέτοια συνάντηση μαζί τους ιστορικό γεγονός. Εν ολίγοις, ο ανταποκριτής του RG απέτυχε να παρακολουθήσει την παγκόσμια αίσθηση.

Έτσι, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (συχνά αποκαλούμενο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά), που διατυπώθηκε το 1637 από τον λαμπρό Γάλλο μαθηματικό Πιερ Φερμά, είναι πολύ απλό στη φύση και κατανοητό σε οποιονδήποτε έχει δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Λέει ότι ο τύπος a στη δύναμη του n + b στη δύναμη του n = c στη δύναμη του n δεν έχει φυσικές (δηλαδή, όχι κλασματικές) λύσεις για n > 2. Όλα φαίνονται απλά και ξεκάθαρα, αλλά το Οι καλύτεροι μαθηματικοί και οι απλοί ερασιτέχνες αγωνίστηκαν στην αναζήτηση μιας λύσης για περισσότερους από τρεισήμισι αιώνες.

Γιατί είναι τόσο διάσημη; Τώρα θα μάθουμε...



Υπάρχουν πολλά αποδεδειγμένα, αναπόδεικτα και αναπόδεικτα ακόμη θεωρήματα; Το θέμα εδώ είναι ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αντιπροσωπεύει τη μεγαλύτερη αντίθεση μεταξύ της απλότητας της διατύπωσης και της πολυπλοκότητας της απόδειξης. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι ένα απίστευτα δύσκολο πρόβλημα, και όμως η διατύπωσή του μπορεί να γίνει κατανοητή από οποιονδήποτε με επίπεδο 5ης δημοτικού. Λύκειο, αλλά η απόδειξη δεν είναι καν για κάθε επαγγελματία μαθηματικό. Ούτε στη φυσική, ούτε στη χημεία, ούτε στη βιολογία, ούτε στα μαθηματικά, δεν υπάρχει ένα μόνο πρόβλημα που θα μπορούσε να διατυπωθεί τόσο απλά, αλλά να έμεινε άλυτο για τόσο καιρό. 2. Από τι αποτελείται;

Ας ξεκινήσουμε με τα πυθαγόρεια παντελόνια Η διατύπωση είναι πραγματικά απλή - με την πρώτη ματιά. Όπως γνωρίζουμε από την παιδική ηλικία, «τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα από όλες τις πλευρές». Το πρόβλημα φαίνεται τόσο απλό γιατί βασίστηκε σε μια μαθηματική πρόταση που όλοι γνωρίζουν - το Πυθαγόρειο θεώρημα: σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Τον 5ο αιώνα π.Χ. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια αδελφότητα. Οι Πυθαγόρειοι, μεταξύ άλλων, μελέτησαν ακέραιες τριπλέτες που ικανοποιούσαν την ισότητα x²+y²=z². Απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες πυθαγόρειες τριάδες και ελήφθησαν γενικούς τύπουςνα τα βρουν. Μάλλον προσπάθησαν να ψάξουν για τρία ή περισσότερα υψηλούς βαθμούς. Πεπεισμένοι ότι αυτό δεν λειτούργησε, οι Πυθαγόρειοι εγκατέλειψαν τις άχρηστες προσπάθειές τους. Τα μέλη της αδελφότητας ήταν περισσότερο φιλόσοφοι και αισθητιστές παρά μαθηματικοί.


Δηλαδή, είναι εύκολο να επιλέξετε ένα σύνολο αριθμών που ικανοποιούν απόλυτα την ισότητα x²+y²=z²

Ξεκινώντας από το 3, 4, 5 - πράγματι, ένας κατώτερος μαθητής καταλαβαίνει ότι 9 + 16 = 25.

Ή 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Υπέροχα.

Και ούτω καθεξής. Τι γίνεται αν πάρουμε μια παρόμοια εξίσωση x³+y³=z³; Ίσως υπάρχουν και τέτοια νούμερα;




Και ούτω καθεξής (Εικ. 1).

Άρα, αποδεικνύεται ότι ΔΕΝ είναι. Εδώ αρχίζει το κόλπο. Η απλότητα είναι εμφανής, γιατί είναι δύσκολο να αποδειχθεί όχι η παρουσία κάτι, αλλά, αντίθετα, η απουσία του. Όταν χρειάζεται να αποδείξετε ότι υπάρχει λύση, μπορείτε και πρέπει απλώς να παρουσιάσετε αυτήν τη λύση.

Η απόδειξη της απουσίας είναι πιο δύσκολη: για παράδειγμα, κάποιος λέει: η τάδε εξίσωση δεν έχει λύσεις. Να τον βάλω σε μια λακκούβα; εύκολο: μπαμ - και εδώ είναι, η λύση! (δώστε λύση). Και αυτό είναι όλο, ο αντίπαλος ηττήθηκε. Πώς να αποδείξετε την απουσία;

Πείτε: "Δεν έχω βρει τέτοιες λύσεις"; Ή μήπως δεν έδειχνες καλά; Τι θα συμβεί αν υπάρχουν, μόνο πολύ μεγάλα, πολύ μεγάλα, έτσι ώστε ακόμη και ένας υπερ-ισχυρός υπολογιστής να μην έχει αρκετή δύναμη; Αυτό είναι το δύσκολο.

Αυτό μπορεί να φανεί οπτικά ως εξής: εάν πάρετε δύο τετράγωνα κατάλληλων μεγεθών και τα αποσυναρμολογήσετε σε τετράγωνα μονάδων, τότε από αυτό το μάτσο τετράγωνων μονάδων θα έχετε ένα τρίτο τετράγωνο (Εικ. 2):


Αλλά ας κάνουμε το ίδιο με την τρίτη διάσταση (Εικ. 3) - δεν λειτουργεί. Δεν υπάρχουν αρκετοί κύβοι ή έχουν απομείνει επιπλέον:





Αλλά ο μαθηματικός του 17ου αιώνα, Γάλλος Pierre de Fermat, εξερεύνησε με ενθουσιασμό γενική εξίσωσηΧ n +y n =z n . Και τελικά, κατέληξα: για n>2 δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις. Η απόδειξη του Φερμά έχει χαθεί ανεπανόρθωτα. Τα χειρόγραφα καίγονται! Το μόνο που μένει είναι η παρατήρησή του στην Αριθμητική του Διόφαντου: «Βρήκα μια πραγματικά εκπληκτική απόδειξη αυτής της πρότασης, αλλά τα περιθώρια εδώ είναι πολύ στενά για να τη συγκρατήσουν».

Στην πραγματικότητα, ένα θεώρημα χωρίς απόδειξη ονομάζεται υπόθεση. Αλλά ο Fermat έχει τη φήμη ότι δεν κάνει ποτέ λάθη. Ακόμα κι αν δεν άφησε στοιχεία για δήλωση, στη συνέχεια επιβεβαιώθηκε. Επιπλέον, ο Fermat απέδειξε τη διατριβή του για n=4. Έτσι, η υπόθεση του Γάλλου μαθηματικού έμεινε στην ιστορία ως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Μετά τον Fermat, τόσο μεγάλα μυαλά όπως ο Leonhard Euler εργάστηκαν στην αναζήτηση μιας απόδειξης (το 1770 πρότεινε μια λύση για το n = 3),

Adrien Legendre και Johann Dirichlet (αυτοί οι επιστήμονες βρήκαν από κοινού την απόδειξη για n = 5 το 1825), Gabriel Lamé (που βρήκε την απόδειξη για n = 7) και πολλοί άλλοι. Στα μέσα της δεκαετίας του 1980 έγινε σαφές ότι επιστημονικό κόσμοβρίσκεται στο δρόμο προς μια τελική λύση στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, αλλά μόλις το 1993 οι μαθηματικοί είδαν και πίστεψαν ότι το έπος των τριών αιώνων βρήκε μια απόδειξη τελευταίο θεώρημαΤο αγρόκτημα έχει σχεδόν τελειώσει.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αρκεί να αποδειχθεί το θεώρημα του Fermat μόνο για απλά n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Για το σύνθετο n, η απόδειξη παραμένει έγκυρη. Υπάρχουν όμως άπειροι πρώτοι αριθμοί...

Το 1825, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Sophie Germain, οι γυναίκες μαθηματικοί, η Dirichlet και η Legendre απέδειξαν ανεξάρτητα το θεώρημα για n=5. Το 1839, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, ο Γάλλος Gabriel Lame έδειξε την αλήθεια του θεωρήματος για n=7. Σταδιακά το θεώρημα αποδείχθηκε για σχεδόν όλα τα n λιγότερο από εκατό.


Τέλος, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer, σε μια λαμπρή μελέτη, έδειξε ότι το θεώρημα γενικά δεν μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των μαθηματικών του 19ου αιώνα. Το Βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών, που ιδρύθηκε το 1847 για την απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, παρέμεινε αδιάθετο.

Το 1907, ο πλούσιος γερμανός βιομήχανος Paul Wolfskel αποφάσισε να αυτοκτονήσει εξαιτίας της αγάπης που δεν ανταποκρίθηκε. Σαν γνήσιος Γερμανός, όρισε την ημερομηνία και την ώρα της αυτοκτονίας: ακριβώς τα μεσάνυχτα. Την τελευταία μέρα, έκανε διαθήκη και έγραψε γράμματα σε φίλους και συγγενείς. Τα πράγματα τελείωσαν πριν τα μεσάνυχτα. Πρέπει να πούμε ότι ο Παύλος ενδιαφέρθηκε για τα μαθηματικά. Μη έχοντας τίποτα να κάνει, πήγε στη βιβλιοθήκη και άρχισε να διαβάζει το διάσημο άρθρο του Kummer. Ξαφνικά του φάνηκε ότι ο Κούμερ είχε κάνει λάθος στο σκεπτικό του. Ο Wolfskel άρχισε να αναλύει αυτό το μέρος του άρθρου με ένα μολύβι στα χέρια του. Πέρασαν τα μεσάνυχτα, ήρθε το πρωί. Το κενό στην απόδειξη έχει καλυφθεί. Και ο ίδιος ο λόγος της αυτοκτονίας φαινόταν πλέον εντελώς γελοίος. Ο Παύλος έσκισε αποχαιρετιστήρια γράμματακαι ξαναέγραψε τη διαθήκη.

Σύντομα πέθανε από φυσικά αίτια. Οι κληρονόμοι έμειναν έκπληκτοι: 100.000 μάρκα (πάνω από 1.000.000 τρέχουσες λίρες στερλίνα) μεταφέρθηκαν στον λογαριασμό του Βασιλικού επιστημονική κοινωνία Göttingen, που την ίδια χρονιά προκήρυξε διαγωνισμό για το βραβείο Wolfskel. 100.000 μόρια απονεμήθηκαν στο άτομο που απέδειξε το θεώρημα του Φερμά. Δεν απονεμήθηκε ούτε ένα pfennig για την αντίκρουση του θεωρήματος...

Οι περισσότεροι επαγγελματίες μαθηματικοί θεώρησαν την αναζήτηση μιας απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά μια απελπιστική εργασία και αρνήθηκαν αποφασιστικά να σπαταλήσουν χρόνο σε μια τόσο άχρηστη άσκηση. Αλλά οι ερασιτέχνες είχαν μια έκρηξη. Λίγες εβδομάδες μετά την ανακοίνωση, μια χιονοστιβάδα «αποδεικτικών στοιχείων» έπληξε το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Ο καθηγητής E.M. Landau, του οποίου η ευθύνη ήταν να αναλύσει τα αποδεικτικά στοιχεία που στάλθηκαν, μοίρασε κάρτες στους μαθητές του:


Αγαπητός. . . . . . . .

Σας ευχαριστώ που μου στείλατε το χειρόγραφο με την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Το πρώτο σφάλμα βρίσκεται στη σελίδα ... στη σειρά... . Εξαιτίας αυτού, ολόκληρη η απόδειξη χάνει την ισχύ της.
Καθηγητής E. M. Landau











Το 1963, ο Paul Cohen, βασιζόμενος στα ευρήματα του Gödel, απέδειξε την άλυτη κατάσταση ενός από τα είκοσι τρία προβλήματα του Hilbert - την υπόθεση του συνεχούς. Τι κι αν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι επίσης αδιευκρίνιστο;! Αλλά οι αληθινοί φανατικοί του Μεγάλου Θεωρήματος δεν απογοητεύτηκαν καθόλου. Η έλευση των υπολογιστών έδωσε ξαφνικά στους μαθηματικούς νέα μέθοδοςαπόδειξη. Μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, ομάδες προγραμματιστών και μαθηματικών απέδειξαν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά για όλες τις τιμές του n έως το 500, μετά μέχρι το 1.000 και αργότερα μέχρι το 10.000.

Στη δεκαετία του 1980, ο Samuel Wagstaff αύξησε το όριο στις 25.000, και στη δεκαετία του 1990, οι μαθηματικοί δήλωσαν ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat ήταν αληθές για όλες τις τιμές n έως 4 εκατομμύρια. Αλλά αν αφαιρέσετε έστω και ένα τρισεκατομμύριο τρισεκατομμύριο από το άπειρο, δεν θα γίνει μικρότερο. Οι μαθηματικοί δεν πείθονται από τις στατιστικές. Το να αποδείξεις το Μεγάλο Θεώρημα σήμαινε να το αποδείξεις για ΟΛΑ τα n που πήγαιναν στο άπειρο.




Το 1954, δύο νεαροί Ιάπωνες φίλοι μαθηματικοί άρχισαν να ερευνούν τις αρθρωτές μορφές. Αυτές οι φόρμες δημιουργούν σειρές αριθμών, ο καθένας με τη δική του σειρά. Κατά τύχη, η Taniyama συνέκρινε αυτές τις σειρές με σειρές που δημιουργούνται από ελλειπτικές εξισώσεις. Ταίριαξαν! Αλλά οι αρθρωτές μορφές είναι γεωμετρικά αντικείμενα και οι ελλειπτικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές. Δεν έχει βρεθεί ποτέ σύνδεση μεταξύ τόσο διαφορετικών αντικειμένων.

Ωστόσο, μετά από προσεκτική δοκιμή, οι φίλοι διατύπωσαν μια υπόθεση: κάθε ελλειπτική εξίσωση έχει ένα δίδυμο - μια σπονδυλωτή μορφή και το αντίστροφο. Ήταν αυτή η υπόθεση που έγινε το θεμέλιο μιας ολόκληρης κατεύθυνσης στα μαθηματικά, αλλά μέχρι να αποδειχτεί η υπόθεση Taniyama-Shimura, ολόκληρο το κτίριο μπορούσε να καταρρεύσει ανά πάσα στιγμή.

Το 1984, ο Gerhard Frey έδειξε ότι μια λύση στην εξίσωση του Fermat, εάν υπάρχει, μπορεί να συμπεριληφθεί σε κάποια ελλειπτική εξίσωση. Δύο χρόνια αργότερα, ο καθηγητής Ken Ribet απέδειξε ότι αυτή η υποθετική εξίσωση δεν μπορεί να έχει αντίστοιχη στον αρθρωτό κόσμο. Από εδώ και πέρα, το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά ήταν άρρηκτα συνδεδεμένο με την εικασία Taniyama–Shimura. Έχοντας αποδείξει ότι οποιαδήποτε ελλειπτική καμπύλη είναι σπονδυλωτή, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει ελλειπτική εξίσωση με λύση της εξίσωσης του Φερμά και το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά θα αποδεικνυόταν αμέσως. Αλλά για τριάντα χρόνια δεν ήταν δυνατό να αποδειχθεί η υπόθεση Taniyama-Shimura και υπήρχαν όλο και λιγότερες ελπίδες για επιτυχία.

Το 1963, όταν ήταν μόλις δέκα ετών, ο Andrew Wiles ήταν ήδη γοητευμένος από τα μαθηματικά. Όταν έμαθε για το Μεγάλο Θεώρημα, συνειδητοποίησε ότι δεν μπορούσε να το παρατήσει. Ως μαθητής, φοιτητής και μεταπτυχιακός φοιτητής, προετοιμάστηκε για αυτό το έργο.

Έχοντας μάθει για τα ευρήματα του Κεν Ριμπέ, ο Γουάιλς βυθίστηκε ασταμάτητα στην απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα. Αποφάσισε να εργαστεί σε πλήρη απομόνωση και μυστικότητα. «Καταλάβαινα ότι όλα όσα έχουν να κάνουν με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά έχουν υπερβολικό ενδιαφέρον… Πάρα πολλοί θεατές παρεμβαίνουν σκόπιμα στην επίτευξη του στόχου». Επτά χρόνια σκληρής δουλειάς απέδωσαν καρπούς· ο Γουάιλς ολοκλήρωσε τελικά την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα.

Το 1993, ο Άγγλος μαθηματικός Andrew Wiles παρουσίασε στον κόσμο την απόδειξή του για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (ο Wiles διάβασε τη συγκλονιστική εργασία του σε ένα συνέδριο στο Ινστιτούτο Sir Isaac Newton στο Cambridge.), έργο για το οποίο διήρκεσε περισσότερα από επτά χρόνια.







Ενώ η δημοσιότητα συνεχιζόταν στον Τύπο, άρχισε σοβαρή δουλειά για την επαλήθευση των αποδεικτικών στοιχείων. Κάθε αποδεικτικό στοιχείο πρέπει να εξετάζεται προσεκτικά προτού τα στοιχεία θεωρηθούν αυστηρά και ακριβή. Ο Wiles πέρασε ένα ανήσυχο καλοκαίρι περιμένοντας σχόλια από τους κριτικούς, ελπίζοντας ότι θα μπορούσε να κερδίσει την έγκρισή τους. Στα τέλη Αυγούστου, οι ειδικοί βρήκαν μια ανεπαρκώς τεκμηριωμένη κρίση.

Αποδείχθηκε ότι αυτή την απόφασηπεριέχει ένα χονδροειδές σφάλμα, αν και σε γενικές γραμμές είναι σωστό. Ο Wiles δεν το έβαλε κάτω, κάλεσε τη βοήθεια του διάσημου ειδικού στη θεωρία αριθμών Richard Taylor και ήδη το 1994 δημοσίευσαν μια διορθωμένη και διευρυμένη απόδειξη του θεωρήματος. Το πιο εκπληκτικό είναι ότι αυτή η εργασία κατέλαβε έως και 130 (!) σελίδες στο μαθηματικό περιοδικό «Annals of Mathematics». Αλλά η ιστορία δεν τελείωσε ούτε εκεί - το τελικό σημείο έφτασε μόνο το επόμενο έτος, το 1995, όταν δημοσιεύτηκε η τελική και «ιδανική», από μαθηματική άποψη, έκδοση της απόδειξης.

«...μισό λεπτό μετά την έναρξη του εορταστικού δείπνου με την ευκαιρία των γενεθλίων της, παρουσίασα στη Νάντια το χειρόγραφο της πλήρους απόδειξης» (Andrew Wales). Ανέφερα ότι οι μαθηματικοί είναι περίεργοι άνθρωποι;






Αυτή τη φορά δεν υπήρχε αμφιβολία για την απόδειξη. Δύο άρθρα υποβλήθηκαν στην πιο προσεκτική ανάλυση και δημοσιεύτηκαν τον Μάιο του 1995 στο Annals of Mathematics.

Έχει περάσει πολύς χρόνος από εκείνη τη στιγμή, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει η άποψη στην κοινωνία ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι άλυτο. Αλλά ακόμη και όσοι γνωρίζουν για την απόδειξη που βρέθηκε συνεχίζουν να εργάζονται προς αυτή την κατεύθυνση - λίγοι είναι ικανοποιημένοι ότι το Μεγάλο Θεώρημα απαιτεί μια λύση 130 σελίδων!

Επομένως, τώρα οι προσπάθειες πολλών μαθηματικών (κυρίως ερασιτεχνών, όχι επαγγελματιών επιστημόνων) ρίχνονται στην αναζήτηση μιας απλής και συνοπτικής απόδειξης, αλλά αυτός ο δρόμος, πιθανότατα, δεν θα οδηγήσει πουθενά...

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Singh Simon

"Έχει αποδειχθεί το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά;"

Ήταν μόνο το πρώτο βήμα προς την απόδειξη της εικασίας Taniyama-Shimura, αλλά η στρατηγική του Wiles ήταν μια λαμπρή μαθηματική ανακάλυψη, ένα αποτέλεσμα που άξιζε να δημοσιευτεί. Αλλά λόγω του όρκου σιωπής που επέβαλε ο Wiles, δεν μπορούσε να πει στον υπόλοιπο κόσμο για το αποτέλεσμά του και δεν είχε ιδέα ποιος άλλος θα μπορούσε να κάνει μια εξίσου σημαντική ανακάλυψη.

Ο Wiles θυμάται τη φιλοσοφική του στάση απέναντι σε οποιονδήποτε πιθανό αμφισβητία: «Κανείς δεν θέλει να περάσει χρόνια για να αποδείξει κάτι και να ανακαλύψει ότι κάποιος άλλος κατάφερε να βρει την απόδειξη λίγες εβδομάδες νωρίτερα. Όμως, παραδόξως, καθώς προσπαθούσα να λύσω ένα πρόβλημα που θεωρείτο ουσιαστικά αδιάλυτο, δεν φοβόμουν πολύ τους αντιπάλους. Απλώς δεν περίμενα ότι εγώ ή κάποιος άλλος θα έβγαζε μια ιδέα που θα οδηγούσε σε απόδειξη».

Στις 8 Μαρτίου 1988, ο Wiles σοκαρίστηκε όταν είδε τις δακτυλογραφημένες λέξεις στα πρωτοσέλιδα των εφημερίδων. μεγάλα γράμματατίτλοι που έγραφαν: «Το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε». Η Washington Post και οι New York Times ανέφεραν ότι ο τριανταοκτάχρονος Yoichi Miyaoka του Μητροπολιτικού Πανεπιστημίου του Τόκιο είχε λύσει το πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα στον κόσμο. Ενώ ο Miyaoka δεν έχει ακόμη δημοσιεύσει την απόδειξή του, σε γενικούς όρουςπεριέγραψε την πορεία του σε ένα σεμινάριο στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Max Planck στη Βόννη. Ο Don Tsagir, ο οποίος ήταν παρών στην ομιλία του Miyaoka, εξέφρασε την αισιοδοξία της μαθηματικής κοινότητας με τα ακόλουθα λόγια: «Η απόδειξη που παρουσιάζει η Miyaoka είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσα και ορισμένοι μαθηματικοί πιστεύουν ότι έχει μεγάλη πιθανότητα να είναι σωστή. Δεν είμαστε ακόμα απόλυτα σίγουροι, αλλά μέχρι στιγμής τα στοιχεία φαίνονται πολύ ενθαρρυντικά».

Μιλώντας σε ένα σεμινάριο στη Βόννη, ο Miyaoka μίλησε για την προσέγγισή του στην επίλυση του προβλήματος, την οποία θεώρησε από μια εντελώς διαφορετική, αλγεβρική-γεωμετρική, σκοπιά. Τις τελευταίες δεκαετίες, οι γεωμέτροι έχουν επιτύχει μια βαθιά και λεπτή κατανόηση των μαθηματικών αντικειμένων, ιδιαίτερα των ιδιοτήτων των επιφανειών. Στη δεκαετία του '70, ο Ρώσος μαθηματικός S. Arakelov προσπάθησε να δημιουργήσει παραλληλισμούς μεταξύ των προβλημάτων της αλγεβρικής γεωμετρίας και των προβλημάτων της θεωρίας αριθμών. Αυτό ήταν ένα από τα σκέλη του προγράμματος του Langlands και οι μαθηματικοί ήλπιζαν ότι τα άλυτα προβλήματα στη θεωρία αριθμών θα μπορούσαν να λυθούν μελετώντας αντίστοιχα προβλήματα στη γεωμετρία, τα οποία επίσης παρέμεναν άλυτα. Αυτό το πρόγραμμα ήταν γνωστό ως η φιλοσοφία του παραλληλισμού. Όσοι αλγεβρικοί γεωμέτρων προσπάθησαν να λύσουν προβλήματα στη θεωρία των αριθμών ονομάζονταν «αριθμητικοί αλγεβρικοί γεωμέτροι». Το 1983, προανήγγειλαν την πρώτη τους σημαντική νίκη όταν ο Gerd Faltings του Ινστιτούτου Προηγμένων Σπουδών του Πρίνστον συνέβαλε σημαντικά στην κατανόηση του θεωρήματος του Fermat. Θυμηθείτε ότι, σύμφωνα με τον Fermat, η εξίσωση

στο nμεγαλύτερο από 2 δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς. Ο Faltings αποφάσισε ότι είχε σημειώσει πρόοδο στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat μελετώντας γεωμετρικές επιφάνειες που σχετίζονται με διαφορετικές τιμές n. Επιφάνειες που σχετίζονται με τις εξισώσεις του Fermat στο διαφορετικές έννοιες n, διαφέρουν μεταξύ τους, αλλά έχουν μια κοινή ιδιότητα - όλες έχουν τρύπες ή, με απλά λόγια, τρύπες. Αυτές οι επιφάνειες είναι τετραδιάστατες, όπως και τα γραφήματα των αρθρωτών σχημάτων. Οι δισδιάστατες τομές δύο επιφανειών φαίνονται στο Σχ. 23. Οι επιφάνειες που σχετίζονται με την εξίσωση του Fermat μοιάζουν. Πως μεγαλύτερη αξία nστην εξίσωση, τόσο περισσότερες τρύπες υπάρχουν στην αντίστοιχη επιφάνεια.

Ρύζι. 23. Αυτές οι δύο επιφάνειες λαμβάνονται χρησιμοποιώντας πρόγραμμα υπολογιστή«Mathematica». Κάθε ένα από αυτά αντιπροσωπεύει τον τόπο των σημείων που ικανοποιούν την εξίσωση x n + y n = z n(για την επιφάνεια στα αριστερά n=3, για την επιφάνεια στα δεξιά n=5). Μεταβλητές ΧΚαι yθεωρούνται περίπλοκα εδώ

Ο Faltings μπόρεσε να αποδείξει ότι εφόσον τέτοιες επιφάνειες έχουν πάντα πολλές τρύπες, η σχετική εξίσωση Fermat θα μπορούσε να έχει μόνο ένα πεπερασμένο σύνολο ακέραιων λύσεων. Ο αριθμός των λύσεων θα μπορούσε να είναι οτιδήποτε - από μηδέν, όπως υπέθεσε ο Fermat, έως ένα εκατομμύριο ή ένα δισεκατομμύριο. Έτσι, ο Faltings δεν απέδειξε το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, αλλά τουλάχιστον κατάφερε να απορρίψει την πιθανότητα η εξίσωση του Fermat να έχει άπειρες λύσεις.

Πέντε χρόνια αργότερα, ο Miyaoka ανέφερε ότι το είχε πάει ένα βήμα παραπέρα. Ήταν τότε είκοσι χρονών μικρά χρονών. Ο Miyaoka διατύπωσε μια υπόθεση σχετικά με κάποια ανισότητα. Έγινε σαφές ότι η απόδειξη της γεωμετρικής του εικασίας θα σήμαινε ότι ο αριθμός των λύσεων στην εξίσωση του Fermat δεν είναι απλώς πεπερασμένος, αλλά ίσος με το μηδέν. Η προσέγγιση του Miyaoka ήταν παρόμοια με αυτή του Wiles στο ότι και οι δύο προσπάθησαν να αποδείξουν το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat συνδέοντάς το με μια θεμελιώδη υπόθεση σε έναν άλλο κλάδο των μαθηματικών. Για τη Miyaoka ήταν αλγεβρική γεωμετρία· για τον Wiles, η πορεία προς την απόδειξη βρισκόταν μέσα από ελλειπτικές καμπύλες και αρθρωτές μορφές. Προς μεγάλη απογοήτευση του Wiles, αγωνιζόταν ακόμα να αποδείξει την εικασία Taniyama-Shimura όταν ο Miyaoka ισχυρίστηκε ότι είχε μια πλήρη απόδειξη της δικής του εικασίας και, επομένως, του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.

Δύο εβδομάδες μετά την ομιλία του στη Βόννη, ο Miyaoka δημοσίευσε πέντε σελίδες υπολογισμών που αποτέλεσαν την ουσία της απόδειξής του και ξεκίνησε μια ενδελεχής εξέταση. Οι θεωρητικοί αριθμών και οι ειδικοί της αλγεβρικής γεωμετρίας σε όλο τον κόσμο μελέτησαν, γραμμή προς γραμμή, δημοσίευσαν υπολογισμούς. Λίγες μέρες αργότερα, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια αντίφαση στην απόδειξη που δεν μπορούσε παρά να προκαλέσει ανησυχία. Ένα μέρος της δουλειάς του Miyaoka οδήγησε σε μια δήλωση από τη θεωρία αριθμών, η οποία, όταν μεταφράστηκε στη γλώσσα της αλγεβρικής γεωμετρίας, παρήγαγε μια δήλωση που έρχεται σε αντίθεση με το αποτέλεσμα που λήφθηκε αρκετά χρόνια νωρίτερα. Αν και αυτό δεν ακύρωνε απαραίτητα ολόκληρη την απόδειξη του Miyaoka, η αντίφαση που ανακαλύφθηκε δεν ταίριαζε στη φιλοσοφία του παραλληλισμού μεταξύ της θεωρίας των αριθμών και της γεωμετρίας.

Άλλες δύο εβδομάδες αργότερα, ο Γκερντ Φάλτινγκς, ο οποίος είχε ανοίξει το δρόμο για τον Μιγιάοκε, ανακοίνωσε ότι είχε ανακαλύψει την ακριβή αιτία της προφανούς παραβίασης του παραλληλισμού - ένα κενό στη λογική. Ο Ιάπωνας μαθηματικός ήταν γεωμέτρης και δεν ήταν εντελώς αυστηρός όταν μετέφραζε τις ιδέες του στο λιγότερο οικείο έδαφος της θεωρίας αριθμών. Ένας στρατός θεωρητικών αριθμών έκανε ξέφρενες προσπάθειες να κλείσει την τρύπα στην απόδειξη του Miyaoka, αλλά μάταια. Δύο μήνες αφότου ο Miyaoka ισχυρίστηκε ότι είχε μια πλήρη απόδειξη για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, η μαθηματική κοινότητα κατέληξε σε ομόφωνο συμπέρασμα: η απόδειξη του Miyaoka ήταν καταδικασμένη να αποτύχει.

Όπως και με προηγούμενες αποτυχημένες αποδείξεις, η Miyaoka μπόρεσε να λάβει πολλά ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Μερικά τμήματα της απόδειξής του ήταν αξιοσημείωτα ως πολύ έξυπνες εφαρμογές της γεωμετρίας στη θεωρία αριθμών, και τα επόμενα χρόνια άλλοι μαθηματικοί τα χρησιμοποίησαν για να αποδείξουν ορισμένα θεωρήματα, αλλά κανείς δεν κατάφερε να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά με αυτόν τον τρόπο.

Η αναταραχή για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά σύντομα έσβησε και οι εφημερίδες δημοσίευαν σύντομες ανακοινώσεις που έλεγαν ότι ο γρίφος τριακοσίων ετών παρέμενε ακόμη άλυτος. Η ακόλουθη επιγραφή εμφανίστηκε στον τοίχο του σταθμού του μετρό Eighth Street της Νέας Υόρκης, αναμφίβολα εμπνευσμένη από την κάλυψη του Τύπου του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά: «Εξ. xn + yn = znδεν έχει λύσεις. Βρήκα μια πραγματικά εκπληκτική απόδειξη αυτού του γεγονότος, αλλά δεν μπορώ να τη γράψω εδώ γιατί το τρένο μου έφτασε».

Από το βιβλίο John Lennon συγγραφέας Γκόλντμαν Άλμπερτ

Κεφάλαιο 63 Old McLennon's Farm Περίπου ενάμιση μήνα μετά την επιστροφή στη Νέα Υόρκη, σε ένα από τα «βράδια του Νοεμβρίου, ένα τηλεφωνική κλήση. Η Γιόκο απάντησε στο τηλέφωνο. Μια αντρική φωνή με πορτορικάνικη προφορά ρώτησε τη Γιόκο Όνο. Προσποιούμενος

Από το βιβλίο History of the Aquarium. Βιβλίο του Φλαουτίστα συγγραφέας Ρομανόφ Αντρέι Ιγκόρεβιτς

Από το βιβλίο Fermat's Last Theorem από τον Singh Simon

Το πρόβλημα του Fermat Το 1963, όταν ήταν μόλις δέκα ετών, ο Andrew Wiles ήταν ήδη γοητευμένος από τα μαθηματικά. «Στο σχολείο μου άρεσε να λύνω προβλήματα, τα έπαιρνα σπίτι και έβγαζα νέα από κάθε πρόβλημα. Αλλά το καλύτερο πρόβλημα που αντιμετώπισα ποτέ ήταν σε έναν τοπικό

Από το βιβλίο Nikita Khrushchev. Αναμορφωτής συγγραφέας Χρουστσόφ Σεργκέι Νίκιτιτς

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά Το Πυθαγόρειο θεώρημα και ο άπειρος αριθμός των Πυθαγόρειων τριπλών συζητήθηκαν στο βιβλίο του E.T. Bell's "The Great Problem" - το ίδιο βιβλίο της βιβλιοθήκης που τράβηξε την προσοχή του Andrew Wiles. Και παρόλο που οι Πυθαγόρειοι πέτυχαν σχεδόν πλήρη

Από το βιβλίο Trial by Death or Iron Philatelist συγγραφέας Αρμπάτοβα Μαρία Ιβάνοβνα

Τα μαθηματικά μετά την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά Παραδόξως, ο ίδιος ο Wiles είχε ανάμεικτα συναισθήματα για την έκθεσή του: «Η αφορμή για την ομιλία επιλέχθηκε πολύ καλά, αλλά η ίδια η διάλεξη μου προκάλεσε ανάμεικτα συναισθήματα. Δουλεύοντας πάνω στην απόδειξη

Από το βιβλίο Μία ζωή, δύο κόσμοι συγγραφέας Αλεξέεβα Νίνα Ιβάνοβνα

Αγρόκτημα ή αγρόκτημα; Στις 13 Φεβρουαρίου 1958, όλες οι κεντρικές εφημερίδες της Μόσχας και στη συνέχεια οι περιφερειακές εφημερίδες δημοσίευσαν την απόφαση της Κεντρικής Επιτροπής του Κομμουνιστικού Κόμματος της Ουκρανίας «Σχετικά με ένα λάθος στην αγορά αγελάδων από συλλογικούς αγρότες στην περιοχή Zaporozhye». Δεν μιλούσαμε καν για ολόκληρη την περιοχή, αλλά για δύο από τις συνοικίες της: το Primorsky

Από το βιβλίο Αστέρια και λίγο νευρικά συγγραφέας Ζολκόφσκι Αλεξάντερ Κωνσταντίνοβιτς

Κεφάλαιο Δέκο ΦΑΡΜΑ ΚΡΟΚΟΔΗΛΩΝ Οδηγούσαν μαζί γραφικός δρόμοςστο αυτοκίνητο του παλιού Τζον, καθισμένος στα πίσω καθίσματα. Στο τιμόνι ήταν ένας μαύρος οδηγός με ένα φωτεινό πουκάμισο με ένα περίεργα κομμένο κεφάλι. Πάνω στο ξυρισμένο κρανίο του στέκονταν θάμνοι από μαύρα μαλλιά σκληρά σαν σύρμα, λογική

Από το βιβλίο Μέσα από τα δικά μου μάτια συγγραφέας Adelgeim Pavel

Tolstoy Reed Farm Kirill πήγε στο γραφείο του Tolstoy Foundation για να συναντήσει τους Ρώσους. Όταν επέστρεψε, είπε ότι η Alexandra Lvovna Tolstaya ήταν τρομοκρατημένη και είπε: "Δεν μπορείτε να μείνετε στο ξενοδοχείο, είναι πολύ επικίνδυνο για εσάς και για τα παιδιά σας." Την ίδια μέρα

Από το βιβλίο Στον κόσμο των ζώων [Τεύχος 2] συγγραφέας Ντροζντόφ Νικολάι Νικολάεβιτς

Το θεώρημα του Pontryagin Την ίδια περίοδο με το Ωδείο, ο πατέρας μου σπούδαζε στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, σπουδάζοντας μηχανική και μαθηματικά. Αποφοίτησε με επιτυχία και μάλιστα δίστασε για κάποιο διάστημα στην επιλογή επαγγέλματος. Η μουσικολογία κέρδισε, με αποτέλεσμα να επωφεληθεί από τη μαθηματική του νοοτροπία.Ένας από τους συμμαθητές του πατέρα μου

Από το βιβλίο Heavy Soul: A Literary Diary. Άρθρα αναμνήσεων. Ποιήματα συγγραφέας Ζλόμπιν Βλαντιμίρ Ανανίεβιτς

Θεώρημα Θεώρημα περί νόμου θρησκευτικός σύλλογοςη επιλογή ιερέα χρειάζεται αποδείξεις. Έχει ως εξής: «Η Ορθόδοξη κοινότητα δημιουργείται... υπό την πνευματική ηγεσία ιερέα που εκλέγεται από την κοινότητα και ευλογείται από τον επισκοπικό επίσκοπο».

Από το βιβλίο Memory of a Dream [Ποιήματα και μεταφράσεις] συγγραφέας Πούτσκοβα Έλενα Ολέγκοβνα

Κατσικοτροφείο Το καλοκαίρι στο χωριό έχει πολλή δουλειά. Όταν επισκεφτήκαμε το χωριό Khomutets, εκεί μαζεύονταν σανό και τα μυρωδάτα κύματα από φρεσκοκομμένα βότανα έμοιαζαν να διαπερνούν τα πάντα. σε αυτούς. Αυτό

Από το βιβλίο Wormy Apple [Η ζωή μου με τον Steve Jobs] συγγραφέας Μπρέναν Κρίσαν

Ι. Φάρμα («Εδώ, από περιττώματα κοτόπουλου...») Εδώ, από περιττώματα κοτόπουλου Μια σωτηρία είναι μια σκούπα. Αγάπη - ποια; - Με πήγε στο κοτέτσι. Ραμπώντας τα σιτηρά, οι κότες κακαρίζουν, τα κοκόρια βαδίζουν σημαντικά. Και χωρίς μέγεθος και λογοκρισία Τα ποιήματα συντίθενται στο μυαλό. Σχετικά με ένα Προβηγκιανό απόγευμα

Από το βιβλίο Τα ταξίδια μου. Τα επόμενα 10 χρόνια συγγραφέας Konyukhov Fedor Filippovich

Καλοκαιρινό αγρόκτημα Ένα άχυρο, σαν αστραπή χειρός, γυαλί στο γρασίδι. Ένας άλλος, έχοντας υπογράψει στον φράχτη, άναψε μια φωτιά με πράσινο ποτήρι νερό σε μια γούρνα αλόγων. Μέσα στο γαλάζιο λυκόφως Εννέα πάπιες περιπλανώνται, ταλαντεύονται, κατά μήκος μιας αυλάκωσης στο πνεύμα των παράλληλων γραμμών. Εδώ το κοτόπουλο δεν κοιτάζει τίποτα μόνο του

Από το βιβλίο του συγγραφέα

Ερειπωμένο αγρόκτημα Ο ήρεμος ήλιος, σαν σκούρο κόκκινο λουλούδι, Βυθίστηκε στο έδαφος, μεγαλώνει στο ηλιοβασίλεμα, Αλλά η κουρτίνα της νύχτας σε αδράνεια δύναμη Τραβούσε τον κόσμο, ταραγμένο από το βλέμμα. Η σιωπή βασίλευε στο αγρόκτημα χωρίς στέγη, Σαν κάποιος να της έκοψε τα μαλλιά, Μάλωναν για τον κάκτο

Από το βιβλίο του συγγραφέα

Κεφάλαιο 9 Ένα αγρόκτημα Η Laura Schueler και εγώ αποφασίσαμε να γιορτάσουμε το τέλος του γυμνασίου πηγαίνοντας ένα ταξίδι τριών εβδομάδων. Δεν καταλάβαμε πραγματικά τι σήμαινε για εμάς η αποφοίτηση, αλλά ξέραμε τι να γιορτάσουμε αυτό το γεγονόςαπαραίτητη. Συζητήσαμε λοιπόν τι θα κάνουμε

Από το βιβλίο του συγγραφέα

Προετοιμασία για τον αγώνα. Alaska, Linda Pletner's Iditarod Farm είναι ένας ετήσιος αγώνας σκύλων ελκήθρου στην Αλάσκα. Το μήκος της διαδρομής είναι 1150 μίλια (1800 km). Αυτός είναι ο μεγαλύτερος αγώνας σκύλων ελκήθρου στον κόσμο. Έναρξη (εορταστική) - 4 Μαρτίου 2000 από το Anchorage. Αρχή