Tinatawag na mga equation ng form, kung saan ang hindi alam ay pareho sa exponent at sa base ng degree.
Maaari mong tukuyin ang isang ganap na malinaw na algorithm para sa paglutas ng isang equation ng form. Para dito, dapat bigyang pansin ang katotohanang iyon Oh) Hindi sero, isa at minus one, ang pagkakapantay-pantay ng mga degree na may parehong mga base (positibo man o negatibo) ay posible lamang kung ang mga tagapagpahiwatig ay pantay Iyon ay, ang lahat ng mga ugat ng equation ay magiging mga ugat ng equation f(x) = g(x) Ang kabaligtaran na pahayag ay hindi totoo, kung Oh)< 0 at mga fractional na halaga f(x) At g(x) mga ekspresyon Oh) f(x) At
Oh) g(x) mawala ang kanilang kahulugan. Ibig sabihin, kapag galing f(x) = g(x)(para sa at extraneous na mga ugat ay maaaring lumitaw, na dapat na hindi kasama sa pamamagitan ng pagsuri ayon sa orihinal na equation. At ang mga kaso a = 0, a = 1, a = -1 dapat isaalang-alang nang hiwalay.
Kaya para sa kumpletong solusyon isinasaalang-alang ng mga equation ang mga kaso:
a(x) = 0 f(x) At g(x) ay mga positibong numero, kung gayon ito ang solusyon. Kung hindi, hindi
a(x) = 1. Ang mga ugat ng equation na ito ay mga ugat din ng orihinal na equation.
a(x) = -1. Kung, para sa isang halaga ng x na nakakatugon sa equation na ito, f(x) At g(x) ay mga integer ng parehong parity (alinman sa pareho ay kahit o pareho ay kakaiba), pagkatapos ito ay ang solusyon. Kung hindi, hindi
Para sa at malulutas namin ang equation f(x)=g(x) at sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga resulta na nakuha sa orihinal na equation, pinutol namin ang mga extraneous na ugat.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng exponential-power.
Halimbawa #1.
1) x - 3 = 0, x = 3. dahil 3 > 0, at 3 2 > 0, pagkatapos x 1 = 3 ang solusyon.
2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.
3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Ang parehong mga tagapagpahiwatig ay pantay. Ito ang solusyon x 3 = 1.
4) x - 3? 0 at x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 o x \u003d 1. Para sa x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, ang solusyon na ito ay x 4 \u003d 0. Para sa x \ u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - tama ang solusyong ito x 5 = 1.
Sagot: 0, 1, 2, 3, 4.
Halimbawa #2.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng aritmetika parisukat na ugat: x - 1 ? 0,x? 1.
1) x - 1 = 0 o x = 1, = 0, 0 0 ay hindi solusyon.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 ay hindi magkasya sa ODZ.
D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - walang mga ugat.
Belgorod State University
upuan algebra, teorya ng numero at geometry
Tema ng trabaho: Nagpapahiwatig- mga equation ng kapangyarihan at hindi pagkakapantay-pantay.
Graduate work mag-aaral ng Faculty of Physics and Mathematics
Siyentipikong tagapayo:
______________________________
Tagasuri: ______________________________
________________________
Belgorod. 2006
| Panimula | 3 | ||
| Paksa ako. | Pagsusuri ng literatura sa paksa ng pananaliksik. | ||
| Paksa II. | Mga function at ang kanilang mga katangian na ginagamit sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power. | ||
| I.1. | Power function at ang mga katangian nito. | ||
| I.2. | Ang exponential function at ang mga katangian nito. | ||
| Paksa III. | Solusyon ng mga exponential-power equation, algorithm at mga halimbawa. | ||
| Paksa IV. | Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power, plano ng solusyon at mga halimbawa. | ||
| Paksa v. | Karanasan sa pagsasagawa ng mga klase sa mga mag-aaral sa paksang: "Solusyon ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power." | ||
| v. 1. | Mga materyal sa pagturo. | ||
| v. 2. | Mga gawain para sa malayang solusyon. | ||
| Konklusyon. | Mga konklusyon at alok. | ||
| Bibliograpiya. | |||
| Mga aplikasyon | |||
Panimula.
"... ang kagalakan ng makita at maunawaan ..."
A. Einstein.
Sa gawaing ito, sinubukan kong ihatid ang aking karanasan bilang isang guro ng matematika, upang maiparating kahit papaano ang aking saloobin sa pagtuturo nito - dahilan ng tao kung saan ang matematika, pedagogy, didactics, sikolohiya, at maging ang pilosopiya ay nakakagulat na magkakaugnay.
Nagkataon na nagtrabaho ako sa mga bata at nagtapos, na may mga bata na nakatayo sa mga poste pag-unlad ng intelektwal: mga nakarehistro sa isang psychiatrist at talagang interesado sa matematika
Kailangan kong lutasin ang maraming mga problema sa pamamaraan. Susubukan kong pag-usapan ang mga nalutas ko. Ngunit higit pa - hindi ito posible, at sa mga mukhang nalutas, lumitaw ang mga bagong katanungan.
Ngunit ang mas mahalaga kaysa sa mismong karanasan ay ang mga pagninilay at pagdududa ng guro: bakit ganito mismo, ang karanasang ito?
At ang tag-araw ay iba na ngayon, at ang pagliko ng edukasyon ay naging mas kawili-wili. "Sa ilalim ng Jupiters" ngayon ay hindi ang paghahanap para sa isang gawa-gawa na pinakamainam na sistema ng pagtuturo ng "lahat at lahat", ngunit ang bata mismo. Ngunit pagkatapos - na may pangangailangan - at ang guro.
SA kurso sa paaralan algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 - 11, kapag pumasa sa pagsusulit para sa kurso mataas na paaralan at sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad ay may mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa base at mga exponent - ito ay mga exponential-power equation at inequalities.
Ang maliit na pansin ay binabayaran sa kanila sa paaralan, halos walang mga gawain sa paksang ito sa mga aklat-aralin. Gayunpaman, ang mastering ang pamamaraan ng paglutas ng mga ito, tila sa akin, ay lubhang kapaki-pakinabang: ito ay nagdaragdag ng kaisipan at Mga malikhaing kasanayan mga mag-aaral, ganap na bagong abot-tanaw ang bumubukas sa harap natin. Kapag nilulutas ang mga problema, nakukuha ng mga mag-aaral ang mga unang kasanayan gawaing pananaliksik, ang kanilang kultura sa matematika ay pinayaman, ang kanilang kakayahan na lohikal na pag-iisip. Ang mga mag-aaral ay nagkakaroon ng mga katangian ng personalidad tulad ng pagiging may layunin, pagtatakda ng layunin, kalayaan, na magiging kapaki-pakinabang sa kanila sa susunod na buhay. At mayroon ding pag-uulit, pagpapalawak at malalim na asimilasyon ng materyal na pang-edukasyon.
Nagsimula akong magtrabaho sa paksang ito ng aking thesis research sa pamamagitan ng pagsulat ng isang term paper. Sa kurso kung saan ako nag-aral at sinuri ang matematikal na literatura sa paksang ito nang mas malalim, natukoy ko ang pinaka angkop na pamamaraan mga solusyon ng exponential-power equation at inequalities.
Ito ay nakasalalay sa katotohanan na bilang karagdagan sa pangkalahatang tinatanggap na diskarte kapag nilulutas ang mga equation ng exponential-power (ang base ay kinukuha na mas malaki kaysa sa 0) at kapag nilutas ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay (ang base ay kinuha na mas malaki kaysa sa 1 o mas malaki kaysa sa 0, ngunit mas mababa sa 1), ang mga kaso ay isinasaalang-alang din kapag ang mga base ay negatibo, ay 0 at 1.
Ang isang pagsusuri sa mga nakasulat na papel sa pagsusulit ng mga mag-aaral ay nagpapakita na ang kakulangan ng saklaw ng isyu ng negatibong halaga ng argumento ng exponential-power function sa mga aklat-aralin sa paaralan ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa kanila at humahantong sa mga pagkakamali. At mayroon din silang mga problema sa yugto ng systematization ng mga resulta na nakuha, kung saan, dahil sa paglipat sa isang equation - isang kinahinatnan o isang hindi pagkakapantay-pantay - isang kinahinatnan, ang mga extraneous na ugat ay maaaring lumitaw. Upang maalis ang mga error, gumagamit kami ng check ayon sa orihinal na equation o hindi pagkakapantay-pantay at isang algorithm para sa paglutas ng mga exponential-power equation, o isang plano para sa paglutas ng mga exponential-power inequalities.
Upang matagumpay na makapasa ang mga mag-aaral sa mga panghuling pagsusulit at pasukan, sa palagay ko ay kailangang bigyang-pansin ang paglutas ng mga equation ng exponential-power at hindi pagkakapantay-pantay sa mga sesyon ng pagsasanay, o bukod pa sa mga elective at circle.
Sa gayon paksa , aking thesis ay tinukoy bilang mga sumusunod: "Exponential-power equation and inequalities".
Mga layunin ng gawaing ito ay:
1. Suriin ang literatura sa paksang ito.
2. Magbigay buong pagsusuri mga solusyon ng exponential-power equation at inequalities.
3. Magbigay ng sapat na bilang ng mga halimbawa sa paksang ito ng iba't ibang uri.
4. Suriin sa aralin, opsyonal at bilog na mga aralin kung paano malalaman ang mga iminungkahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng exponential-power at hindi pagkakapantay-pantay. Magbigay ng angkop na mga rekomendasyon para sa pag-aaral ng paksang ito.
Paksa ang aming pananaliksik ay upang bumuo ng isang pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential-power equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Ang layunin at paksa ng pag-aaral ay nangangailangan ng solusyon sa mga sumusunod na gawain:
1. Pag-aralan ang literatura sa paksang: "Exponential-power equation and inequalities."
2. Master ang mga paraan ng paglutas ng exponential-power equation at inequalities.
3. Pumili ng materyal sa pagsasanay at bumuo ng isang sistema ng mga pagsasanay iba't ibang antas sa paksang: "Solusyon ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power."
Sa kurso ng thesis research, higit sa 20 mga papeles na nakatuon sa aplikasyon ng iba't ibang pamamaraan mga solusyon ng exponential-power equation at inequalities. Mula dito nakukuha natin.
Thesis plan:
Panimula.
Kabanata I. Pagsusuri ng literatura sa paksa ng pananaliksik.
Kabanata II. Mga function at ang kanilang mga katangian na ginagamit sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power.
II.1. Power function at ang mga katangian nito.
II.2. Ang exponential function at ang mga katangian nito.
Kabanata III. Solusyon ng mga exponential-power equation, algorithm at mga halimbawa.
Kabanata IV. Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential-power, plano ng solusyon at mga halimbawa.
Kabanata V. Karanasan sa pagsasagawa ng mga klase sa mga mag-aaral sa paksang ito.
1. Materyal na pang-edukasyon.
2. Mga gawain para sa malayang solusyon.
Konklusyon. Mga konklusyon at alok.
Listahan ng ginamit na panitikan.
Sinuri ang panitikan sa Kabanata I
Sa youtube channel ng aming site site upang malaman ang lahat ng mga bagong aralin sa video.
Una, alalahanin natin ang mga pangunahing formula ng mga degree at ang kanilang mga katangian.
Produkto ng isang numero a nangyayari sa sarili ng n beses, maaari nating isulat ang expression na ito bilang a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = isang nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Power o exponential equation- ito ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa kapangyarihan (o mga exponent), at ang base ay isang numero.
Mga halimbawa ng exponential equation:
Sa halimbawang ito, ang numero 6 ay ang base, ito ay palaging nasa ibaba, at ang variable x antas o sukat.
Magbigay tayo ng higit pang mga halimbawa ng mga exponential equation.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Ngayon tingnan natin kung paano nalutas ang mga exponential equation?
Kumuha tayo ng isang simpleng equation:
2 x = 2 3
Ang ganitong halimbawa ay maaaring malutas kahit sa isip. Makikita na x=3. Pagkatapos ng lahat, upang maging pantay ang kaliwa at kanang bahagi, kailangan mong ilagay ang numero 3 sa halip na x.
Ngayon tingnan natin kung paano dapat gawin ang desisyong ito:
2 x = 2 3
x = 3
Upang malutas ang equation na ito, inalis namin parehong batayan(iyon ay, deuces) at isinulat kung ano ang natitira, ito ay mga degree. Nakuha namin ang sagot na hinahanap namin.
Ngayon ay ibubuod natin ang ating solusyon.
Algorithm para sa paglutas ng exponential equation:
1. Kailangang suriin pareho kung ang mga base ng equation sa kanan at sa kaliwa. Kung ang mga batayan ay hindi pareho, naghahanap kami ng mga pagpipilian upang malutas ang halimbawang ito.
2. Matapos ang mga base ay pareho, itumbas degree at lutasin ang nagresultang bagong equation.
Ngayon lutasin natin ang ilang mga halimbawa:
Magsimula tayo sa simple.
Ang mga base sa kaliwa at kanang bahagi ay katumbas ng numero 2, na nangangahulugang maaari nating itapon ang base at ipantay ang kanilang mga degree.
x+2=4 Ang pinakasimpleng equation ay lumabas.
x=4 - 2
x=2
Sagot: x=2
Sa sumusunod na halimbawa, makikita mo na ang mga base ay iba, ito ay 3 at 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Upang magsimula, inilipat namin ang siyam sa kanang bahagi, nakukuha namin:
Ngayon ay kailangan mong gawin ang parehong mga base. Alam natin na 9=3 2 . Gamitin natin ang power formula (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Nakukuha namin ang 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 ngayon ay malinaw na ang mga base sa kaliwa at kanang bahagi ay pareho at katumbas ng tatlo, na nangangahulugang maaari nating itapon ang mga ito at ipantay ang mga degree.
Nakuha ng 3x=2x+16 ang pinakasimpleng equation
3x-2x=16
x=16
Sagot: x=16.
Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Una sa lahat, tinitingnan natin ang mga base, ang mga base ay magkaiba dalawa at apat. At kailangan nating maging pareho. Binabago namin ang quadruple ayon sa formula (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
At gumagamit din kami ng isang formula a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Idagdag sa equation:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Ngunit ang ibang mga numero 10 at 24 ay nakakasagabal sa atin. Ano ang gagawin sa kanila? Kung titingnan mong mabuti, makikita mo na sa kaliwang bahagi ay inuulit namin ang 2 2x, narito ang sagot - maaari naming ilagay ang 2 2x sa mga bracket:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Kalkulahin natin ang expression sa mga bracket:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Hinahati namin ang buong equation sa 6:
Isipin 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 base ay pareho, itapon ang mga ito at pantayin ang mga degree.
2x \u003d 2 pala ang pinakasimpleng equation. Hinahati namin ito sa 2, nakukuha namin
x = 1
Sagot: x = 1.
Lutasin natin ang equation:
9 x - 12*3 x +27= 0
Ibahin natin:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Nakukuha namin ang equation:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Ang aming mga base ay pareho, katumbas ng tatlo. Sa halimbawang ito, malinaw na ang unang triple ay may degree na dalawang beses (2x) kaysa sa pangalawa (x lang). Sa kasong ito, maaari kang magpasya paraan ng pagpapalit. Ang numerong may pinakamaliit na antas ay pinapalitan ng:
Pagkatapos ay 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Pinapalitan namin ang lahat ng degree ng x sa equation na may t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kumuha kami ng isang quadratic equation. Nalutas namin sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha namin:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Bumalik sa Variable x.
Kinukuha namin ang t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Yan ay,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa, mula sa t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Sagot: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Sa site na maaari mong sa seksyon TULONG MAGPASIYA upang magtanong ng mga katanungan ng interes, tiyak na sasagutin ka namin.
Sumali sa isang grupo
Ang araling ito ay inilaan para sa mga nagsisimula pa lamang matuto ng mga exponential equation. Gaya ng nakasanayan, magsimula tayo sa isang kahulugan at mga simpleng halimbawa.
Kung binabasa mo ang araling ito, pinaghihinalaan ko na mayroon ka nang hindi bababa sa kaunting pag-unawa sa pinakasimpleng mga equation - linear at square: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atbp. Upang malutas ang mga naturang konstruksiyon ay ganap na kinakailangan upang hindi "mag-hang" sa paksang tatalakayin ngayon.
Kaya, exponential equation. Hayaan akong bigyan ka ng ilang halimbawa:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Ang ilan sa kanila ay maaaring mukhang mas kumplikado sa iyo, ang ilan sa kanila, sa kabaligtaran, ay masyadong simple. Ngunit isang bagay ang nagbubuklod sa kanilang lahat mahalagang katangian: mayroong exponential function na $f\left(x \right)=((a)^(x))$ sa kanilang notation. Kaya, ipinakilala namin ang kahulugan:
Ang exponential equation ay anumang equation na naglalaman ng exponential function, i.e. isang pagpapahayag ng anyong $((a)^(x))$. Bilang karagdagan sa tinukoy na function, ang mga naturang equation ay maaaring maglaman ng anumang iba pang mga algebraic constructions - polynomials, roots, trigonometry, logarithms, atbp.
Sige. Naunawaan ang kahulugan. Ngayon ang tanong ay: kung paano malutas ang lahat ng crap na ito? Ang sagot ay parehong simple at kumplikado sa parehong oras.
Magsimula tayo sa magandang balita: mula sa aking karanasan sa maraming estudyante, masasabi kong para sa karamihan sa kanila, ang mga exponential equation ay mas madali kaysa sa parehong logarithms, at higit pa sa trigonometrya.
Pero meron din masamang balita: kung minsan ang mga nagtitipon ng mga problema para sa lahat ng uri ng mga aklat-aralin at pagsusulit ay binibisita ng "inspirasyon", at ang kanilang utak na nag-aapoy sa droga ay nagsisimulang gumawa ng mga malupit na equation na nagiging problema hindi lamang para sa mga mag-aaral na lutasin ang mga ito - kahit na maraming mga guro ang natigil sa mga ganitong problema.
Gayunpaman, huwag nating pag-usapan ang mga malungkot na bagay. At bumalik tayo sa tatlong equation na ibinigay sa pinakasimula ng kwento. Subukan nating lutasin ang bawat isa sa kanila.
Unang equation: $((2)^(x))=4$. Buweno, sa anong kapangyarihan dapat itaas ang numero 2 upang makuha ang numero 4? Marahil ang pangalawa? Pagkatapos ng lahat, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — at nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero, i.e. talaga $x=2$. Well, salamat, cap, ngunit ang equation na ito ay napakasimple na kahit na ang aking pusa ay malulutas ito. :)
Tingnan natin ang sumusunod na equation:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Ngunit narito ito ay medyo mas mahirap. Alam ng maraming estudyante na ang $((5)^(2))=25$ ay ang multiplication table. Pinaghihinalaan din ng ilan na ang $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ ay mahalagang kahulugan ng mga negatibong exponents (katulad ng formula na $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Sa wakas, ilang pili lamang ang hulaan na ang mga katotohanang ito ay maaaring pagsamahin at ang output ay ang sumusunod na resulta:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Kaya, ang aming orihinal na equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
At ngayon ito ay ganap na nalutas! Sa kaliwang bahagi ng equation mayroong isang exponential function, sa kanang bahagi ng equation mayroong isang exponential function, walang iba maliban sa kanila kahit saan pa. Samakatuwid, posible na "i-discard" ang mga base at hangal na katumbas ng mga tagapagpahiwatig:
Nakuha namin ang pinakasimpleng linear equation na kayang lutasin ng sinumang mag-aaral sa loob lamang ng ilang linya. Okay, sa apat na linya:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Kung hindi mo naiintindihan kung ano ang nangyayari sa huling apat na linya, siguraduhing bumalik sa paksa " linear na equation' at ulitin ito. Dahil kung walang malinaw na asimilasyon ng paksang ito, masyadong maaga para sa iyo na kumuha ng mga exponential equation.
\[((9)^(x))=-3\]
Well, paano ka magdedesisyon? Unang naisip: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kaya ang orihinal na equation ay maaaring muling isulat nang ganito:
\[((\kaliwa(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]
Pagkatapos ay naaalala namin na kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga tagapagpahiwatig ay pinarami:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
At para sa gayong desisyon, nakakakuha tayo ng isang matapat na karapat-dapat na deuce. Para sa amin, na may pagkakapantay-pantay ng isang Pokémon, nagpadala ng minus sign sa harap ng tatlo sa kapangyarihan nitong tatlong ito. At hindi mo magagawa iyon. At dahil jan. Tingnan mo iba't ibang grado triplets:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]
Sa pag-compile ng tablet na ito, hindi ako nag-pervert sa lalong madaling panahon: Itinuring ko ang mga positibong degree, at negatibo, at kahit na fractional ... well, nasaan ang kahit isa. isang negatibong numero? Siya ay hindi! At hindi ito maaaring, dahil ang exponential function na $y=((a)^(x))$, una, palaging kumukuha lamang ng mga positibong halaga (kahit gaano mo i-multiply ang isa o hatiin sa dalawa, ito ay magiging isang positibong numero), at pangalawa, ang base ng naturang function, ang numerong $a$, ay bilang isang positibong numero!
Well, kung paano pagkatapos ay upang malutas ang equation $((9)^(x))=-3$? Hindi, walang mga ugat. At sa ganitong diwa, ang mga exponential equation ay halos kapareho sa mga quadratic - maaaring wala ring mga ugat. Ngunit kung sa quadratic equation ang bilang ng mga ugat ay tinutukoy ng discriminant (ang discriminant ay positibo - 2 ugat, negatibo - walang ugat), kung gayon sa mga exponential equation ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang nasa kanan ng pantay na tanda.
Kaya, binubuo namin ang pangunahing konklusyon: ang pinakasimpleng exponential equation ng form na $((a)^(x))=b$ ay may ugat kung at kung $b>0$ lamang. Alam ang simpleng katotohanang ito, madali mong matukoy kung ang equation na iminungkahi sa iyo ay may mga ugat o wala. Yung. ito ba ay nagkakahalaga ng paglutas nito o agad na isulat na walang mga ugat.
Ang kaalamang ito ay makakatulong sa atin nang higit sa isang beses kapag kailangan nating magpasya nang higit pa mapaghamong mga gawain. Pansamantala, sapat na lyrics - oras na upang pag-aralan ang pangunahing algorithm para sa paglutas ng mga exponential equation.
Paano malutas ang mga exponential equation
Kaya, bumalangkas tayo ng problema. Ito ay kinakailangan upang malutas ang exponential equation:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Ayon sa "naive" na algorithm na ginamit namin kanina, kinakailangang katawanin ang numerong $b$ bilang kapangyarihan ng numerong $a$:
Bilang karagdagan, kung sa halip na ang variable na $x$ ay mayroong anumang expression, makakakuha tayo ng bagong equation, na maaari nang malutas. Halimbawa:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]
At kakatwa, gumagana ang scheme na ito sa halos 90% ng mga kaso. Paano ang iba pang 10% kung gayon? Ang natitirang 10% ay bahagyang "schizophrenic" exponential equation ng form:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Sa anong kapangyarihan kailangan mong itaas ang 2 upang makakuha ng 3? Sa una? Ngunit hindi: $((2)^(1))=2$ ay hindi sapat. Sa pangalawa? Ni: $((2)^(2))=4$ ay sobra. Ano ngayon?
Marahil ay nahulaan na ng mga maalam na mag-aaral: sa mga ganitong kaso, kapag imposibleng malutas ang "maganda", ang "mabigat na artilerya" ay konektado sa kaso - logarithms. Ipaalala ko sa iyo na gamit ang logarithms, anumang positibong numero ay maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng anumang iba pang positibong numero (maliban sa isa):
Tandaan ang formula na ito? Kapag sinabi ko sa aking mga mag-aaral ang tungkol sa logarithm, palagi kitang binabalaan: ang pormula na ito (ito rin ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan o, kung gusto mo, ang kahulugan ng logarithm) ay magmumulto sa iyo nang napakatagal at "lalabas" sa karamihan. mga hindi inaasahang lugar. Well, lumabas siya. Tingnan natin ang aming equation at ang formula na ito:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Kung ipagpalagay namin na ang $a=3$ ay ang aming orihinal na numero sa kanan, at ang $b=2$ ay ang pinaka-base ng exponential function na gusto naming bawasan kanang bahagi, pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]
Nakakuha kami ng medyo kakaibang sagot: $x=((\log )_(2))3$. Sa ilang iba pang gawain, sa ganoong sagot, marami ang magdududa at magsisimulang mag-double check sa kanilang solusyon: paano kung may pagkakamali sa isang lugar? Nagmamadali akong pasayahin ka: walang error dito, at ang logarithms sa mga ugat ng exponential equation ay isang pangkaraniwang sitwasyon. Kaya masanay ka na. :)
Ngayon malulutas namin sa pamamagitan ng pagkakatulad ang natitirang dalawang equation:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]
Iyon lang! Sa pamamagitan ng paraan, ang huling sagot ay maaaring isulat sa ibang paraan:
Kami ang nagpakilala ng multiplier sa argumento ng logarithm. Ngunit walang pumipigil sa amin na idagdag ang salik na ito sa base:
Sa kasong ito, ang lahat ng tatlong mga pagpipilian ay tama - ito ay lamang iba't ibang anyo mga talaan ng parehong numero. Alin ang pipiliin at isusulat sa desisyong ito ay nasa iyo.
Kaya, natutunan nating lutasin ang anumang mga exponential equation ng anyong $((a)^(x))=b$, kung saan ang mga numerong $a$ at $b$ ay mahigpit na positibo. Gayunpaman, ang malupit na katotohanan ng ating mundo ay ganoon mga simpleng gawain magkikita kita, napakadalang. Mas madalas makakatagpo ka ng ganito:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]
Well, paano ka magdedesisyon? Maaari ba itong malutas sa lahat? At kung gayon, paano?
Walang panic. Ang lahat ng mga equation na ito ay mabilis at simpleng nabawasan sa mga simpleng formula na napag-isipan na natin. Kailangan mo lang malaman upang matandaan ang ilang mga trick mula sa kursong algebra. At siyempre, walang kahit saan na walang mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga degree. Pag-uusapan ko ang lahat ng ito ngayon. :)
Pagbabago ng mga exponential equation
Ang unang bagay na dapat tandaan ay ang anumang exponential equation, gaano man ito kakumplikado, ang isang paraan o iba pa ay dapat na bawasan sa pinakasimpleng mga equation - ang mismong mga napag-isipan na natin at alam natin kung paano lutasin. Sa madaling salita, ang scheme para sa paglutas ng anumang exponential equation ay ganito ang hitsura:
- Isulat ang orihinal na equation. Halimbawa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Gumawa ng ilang katangahan. O kahit ilang crap na tinatawag na "ibahin ang anyo ng equation";
- Sa output, kunin ang pinakasimpleng expression tulad ng $((4)^(x))=4$ o iba pang katulad niyan. Bukod dito, ang isang paunang equation ay maaaring magbigay ng ilang ganoong mga expression nang sabay-sabay.
Sa unang punto, ang lahat ay malinaw - kahit na ang aking pusa ay maaaring isulat ang equation sa isang dahon. Sa ikatlong punto, masyadong, tila, ito ay higit pa o hindi gaanong malinaw - nalutas na natin ang isang buong grupo ng mga naturang equation sa itaas.
Ngunit ano ang tungkol sa pangalawang punto? Ano ang mga pagbabago? Ano ang iko-convert sa ano? At kung paano?
Well, pag-isipan natin ito. Una sa lahat, nais kong ituro ang mga sumusunod. Ang lahat ng exponential equation ay nahahati sa dalawang uri:
- Ang equation ay binubuo ng mga exponential function na may parehong base. Halimbawa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Ang formula ay naglalaman ng mga exponential function na may iba't ibang base. Mga halimbawa: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ at $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.
Magsimula tayo sa mga equation ng unang uri - ang mga ito ang pinakamadaling lutasin. At sa kanilang solusyon ay tutulungan tayo ng isang pamamaraan tulad ng pagpili ng mga matatag na expression.
Nagha-highlight ng isang matatag na expression
Tingnan natin muli ang equation na ito:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Ano ang nakikita natin? Ang apat ay itinaas sa iba't ibang antas. Ngunit ang lahat ng kapangyarihang ito ay mga simpleng kabuuan ng variable na $x$ sa iba pang mga numero. Samakatuwid, kinakailangang tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]
Sa madaling salita, ang pagdaragdag ng mga exponent ay maaaring ma-convert sa isang produkto ng mga kapangyarihan, at ang pagbabawas ay madaling ma-convert sa dibisyon. Subukan nating ilapat ang mga formula na ito sa mga kapangyarihan mula sa ating equation:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]
Isinulat namin muli ang orihinal na equation na isinasaalang-alang ang katotohanang ito, at pagkatapos ay kinokolekta namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -labing-isa; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]
Ang unang apat na termino ay naglalaman ng elementong $((4)^(x))$ — alisin natin ito sa bracket:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]
Nananatili itong hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng fraction na $-\frac(11)(4)$, i.e. mahalagang i-multiply sa baligtad na fraction - $-\frac(4)(11)$. Nakukuha namin:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]
Iyon lang! Binawasan namin ang orihinal na equation sa pinakasimpleng at nakuha ang huling sagot.
Kasabay nito, sa proseso ng paglutas, natuklasan namin (at kahit na inilagay sa labas ng mga bracket) karaniwang salik$((4)^(x))$ ang stable na expression. Maaari itong italaga bilang isang bagong variable, o maaari mo lamang itong ipahayag nang tumpak at makakuha ng sagot. Sa anumang kaso, ang pangunahing prinsipyo ng solusyon ay ang mga sumusunod:
Hanapin sa orihinal na equation ang isang stable na expression na naglalaman ng variable na madaling makilala sa lahat ng exponential function.
Ang mabuting balita ay halos lahat ng exponential equation ay umamin ng ganoong matatag na expression.
Ngunit ang masamang balita ay ang mga expression na ito ay maaaring maging lubhang nakakalito, at maaari itong maging mahirap na makilala ang mga ito. Kaya tingnan natin ang isa pang problema:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Marahil ay may magtatanong ngayon: “Pasha, binato ka ba? Narito ang iba't ibang mga base - 5 at 0.2. Ngunit subukan nating i-convert ang isang kapangyarihan na may base na 0.2. Halimbawa, alisin natin ang decimal fraction, dalhin ito sa karaniwan:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kaliwa(x+1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(2)(10) ) \kanan))^(-\kaliwa(x+1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kaliwa(x+1 \kanan)) )\]
Tulad ng makikita mo, ang numero 5 ay lumitaw pa rin, kahit na sa denominator. Kasabay nito, muling isinulat ang indicator bilang negatibo. At ngayon naaalala natin ang isa sa mahahalagang tuntunin magtrabaho kasama ang mga degree:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Dito, siyempre, dinaya ko ng kaunti. Dahil para sa isang kumpletong pag-unawa, ang pormula para sa pag-alis ng mga negatibong tagapagpahiwatig ay kailangang isulat tulad ng sumusunod:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\kaliwa(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Sa kabilang banda, walang pumipigil sa amin na magtrabaho sa isang bahagi lamang:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Ngunit sa kasong ito, kailangan mong mapataas ang isang antas sa isa pang antas (Ipapaalala ko sa iyo: sa kasong ito, ang mga tagapagpahiwatig ay idinagdag). Ngunit hindi ko kailangang "i-flip" ang mga fraction - marahil para sa isang tao ay magiging mas madali ito. :)
Sa anumang kaso, ang orihinal na exponential equation ay muling isusulat bilang:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]
Kaya lumalabas na ang orihinal na equation ay mas madaling malutas kaysa sa naunang isinasaalang-alang: dito hindi mo na kailangang mag-isa ng isang matatag na expression - lahat ay nabawasan nang mag-isa. Nananatili lamang na tandaan na $1=((5)^(0))$, kung saan natin makukuha:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]
Iyan ang buong solusyon! Nakuha namin ang huling sagot: $x=-2$. Kasabay nito, nais kong tandaan ang isang trick na lubos na pinasimple ang lahat ng mga kalkulasyon para sa amin:
Sa mga exponential equation, siguraduhing tanggalin decimal fractions, i-convert ang mga ito sa normal. Papayagan ka nitong makita ang parehong mga base ng mga degree at lubos na gawing simple ang solusyon.
Lumipat tayo sa higit pa kumplikadong mga equation, kung saan mayroong iba't ibang mga base, na sa pangkalahatan ay hindi nabawasan sa bawat isa sa tulong ng mga degree.
Gamit ang exponent property
Ipaalala ko sa iyo na mayroon tayong dalawa pang partikular na malupit na equation:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]
Ang pangunahing kahirapan dito ay hindi malinaw kung ano at sa anong batayan ang mamumuno. saan itakda ang mga expression? Nasaan ang mga karaniwang batayan? Walang ganito.
Ngunit subukan nating pumunta sa ibang paraan. Kung hindi pa handa parehong mga base, maaari mong subukang hanapin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa mga magagamit na base.
Magsimula tayo sa unang equation:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]
Ngunit pagkatapos ng lahat, maaari mong gawin ang kabaligtaran - bumubuo ng numero 21 mula sa mga numero 7 at 3. Lalo na madaling gawin ito sa kaliwa, dahil ang mga tagapagpahiwatig ng parehong mga degree ay pareho:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]
Iyon lang! Inalis mo ang exponent sa produkto at agad na nakakuha ng magandang equation na malulutas sa ilang linya.
Ngayon haharapin natin ang pangalawang equation. Narito ang lahat ay mas kumplikado:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\kaliwa(\frac(27)(10) \kanan))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
SA kasong ito ang mga praksyon ay naging hindi mababawasan, ngunit kung ang isang bagay ay maaaring mabawasan, siguraduhing bawasan ito. Madalas itong magreresulta sa mga kawili-wiling batayan na maaari mo nang gawin.
Sa kasamaang palad, wala kaming naisip. Ngunit nakikita namin na ang mga exponent sa kaliwa sa produkto ay kabaligtaran:
Paalalahanan kita: upang maalis ang minus sign sa exponent, kailangan mo lang "i-flip" ang fraction. Kaya't muling isulat natin ang orihinal na equation:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]
Sa pangalawang linya, kakalabas lang namin Kabuuang puntos mula sa produktong panaklong ayon sa panuntunan $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, at sa huli ay pinarami lamang ang bilang na 100 sa isang fraction.
Ngayon tandaan na ang mga numero sa kaliwa (sa base) at sa kanan ay medyo magkatulad. Paano? Oo, malinaw naman: sila ay mga kapangyarihan ng parehong bilang! Meron kami:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]
Kaya, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \kanan))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kaliwa(x-1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]
Kasabay nito, sa kanan, maaari ka ring makakuha ng isang degree na may parehong base, kung saan sapat lamang na "i-flip" ang bahagi:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Sa wakas, ang aming equation ay kukuha ng anyo:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Iyan ang buong solusyon. Ang pangunahing ideya niya ay kahit na iba't ibang batayan sinusubukan namin sa pamamagitan ng hook o sa pamamagitan ng crook na bawasan ang mga batayan na ito sa isa at pareho. Dito ay tinutulungan tayo ng mga elementarya na pagbabago ng mga equation at mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan.
Ngunit anong mga patakaran at kailan gagamitin? Paano maunawaan na sa isang equation kailangan mong hatiin ang magkabilang panig sa isang bagay, at sa isa pa - upang mabulok ang base ng exponential function sa mga kadahilanan?
Ang sagot sa tanong na ito ay darating na may karanasan. Subukan ang iyong kamay sa una sa mga simpleng equation, at pagkatapos ay unti-unting gawing kumplikado ang mga gawain - at sa lalong madaling panahon ang iyong mga kasanayan ay magiging sapat upang malutas ang anumang exponential equation mula sa parehong PAGGAMIT o anumang independiyenteng / pagsubok na trabaho.
At para matulungan ka sa mahirap na gawaing ito, iminumungkahi kong mag-download ng isang hanay ng mga equation sa aking website para sa isang malayang solusyon. Ang lahat ng mga equation ay may mga sagot, kaya maaari mong palaging suriin ang iyong sarili.
Lecture: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation."
Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan ang a > 0 at a ≠ 1.
1) Para sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may iisang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan bilang b = aс, ax = bс ó x = c o x = logab.
Ang mga exponential equation, sa pamamagitan ng algebraic transformations, ay humahantong sa mga karaniwang equation, na nalutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:
1) paraan ng pagbabawas sa isang base;
2) paraan ng pagsusuri;
3) graphic na paraan;
4) ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;
5) paraan ng factorization;
6) exponential - mga equation ng kapangyarihan;
7) exponential na may parameter.
2 . Paraan ng pagbabawas sa isang batayan.
Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na pag-aari ng mga degree: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponents ay pantay, ibig sabihin, ang equation ay dapat subukan na bawasan sa anyo
Mga halimbawa. Lutasin ang equation:
1 . 3x=81;
Katawanin natin ang kanang bahagi ng equation sa anyong 81 = 34 at isulat ang equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> at pumunta sa equation para sa mga exponents 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 Sagot: 0.5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5, at 25 ay mga kapangyarihan ng 5. Samantalahin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:
,
kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.
5. 3x = 5. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Isulat muli natin ang equation bilang 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x - 4 =0, x = 4. Sagot: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyong e.x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.
Bangko ng mga gawain No. 1.
Lutasin ang equation:
Pagsubok bilang 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) walang ugat |
1) 7;1 2) walang ugat 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Pagsubok #2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) walang ugat 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Paraan ng pagtatasa.
Ang root theorem: kung ang function na f (x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f (x) = a ay may isang solong ugat sa interval I.
Kapag nilulutas ang mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.
Mga halimbawa. Lutasin ang mga Equation: 1. 4x = 5 - x.
Solusyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x + x = 5.
1. kung ang x \u003d 1, kung gayon ang 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ay totoo, kung gayon ang 1 ay ang ugat ng equation.
Ang function na f(x) = 4x ay tumataas sa R at g(x) = x ay tumataas sa R => h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R bilang ang kabuuan ng pagtaas ng mga function, kaya ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.
2.
Solusyon. Muli naming isinusulat ang equation sa form 
.
1. kung x = -1, kung gayon 
, 3 = 3-totoo, kaya ang x = -1 ay ang ugat ng equation.
2. patunayan na ito ay natatangi.
3. Ang function na f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x - bumababa sa R => h(x) = f(x) + g(x) - bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Kaya sa pamamagitan ng root theorem, ang x = -1 ay ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.
Bangko ng mga gawain Blg. 2. lutasin ang equation
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable.
Ang pamamaraan ay inilarawan sa seksyon 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Isaalang-alang ang mga halimbawa.
Mga halimbawa.
R kumain ng equation: 1.
.
Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: 
Ipahiwatig ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin natin iyon 
Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, kaya 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.
Solusyon. Muli nating isulat ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, so..png" width="118" height="56">
Ang mga ugat ng quadratic equation - t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Solusyon . Muli naming isinusulat ang equation sa form
at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.
Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin 
Palitan ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Sagot: 0; 0.5.
Task Bank #3. lutasin ang equation
b) 
G) 
Pagsubok #3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.
A1 | 1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) walang ugat 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) walang ugat 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Pagsubok #4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) walang ugat |
5. Paraan ng factorization.
1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Solusyon. Ilabas natin ang 6x sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.
Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.
3. 
Solusyon. Lutasin namin ang equation sa pamamagitan ng factoring.
Pinipili namin ang parisukat ng binomial 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 ang ugat ng equation.
Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Pagsubok #6 Pangkalahatang antas.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2 |
A2 | 1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponential - mga equation ng kapangyarihan.
Ang mga exponential equation ay pinagsama ng tinatawag na exponential-power equation, ibig sabihin, ang mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).
Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, dapat nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang exponential power equation.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Solusyon. x2 +2x-8 - may katuturan para sa anumang x, dahil isang polynomial, kaya ang equation ay katumbas ng set
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Exponential equation na may mga parameter.
1. Para sa anong mga halaga ng parameter p ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) ay may natatanging solusyon?
Solusyon. Ipakilala natin ang pagbabagong 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Ang discriminant ng equation (2) ay D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.
1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.
2. Kung p1, kung gayon ang 9(p – 1)2 > 0, kung gayon ang equation (2) ay mayroong dalawa magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang kondisyon ng problema ay nasiyahan sa pamamagitan ng hanay ng mga sistema
Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11)" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Solusyon. Hayaan 
pagkatapos ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)
Hanapin natin ang mga halaga ng parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.
Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Kaso 2. Ang equation (4) ay may natatanging positibong solusyon kung
D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng form (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Kaya, sa a 0 equation (4) ay may isang positibong ugat 
. Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon 
Para sa< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;
kung a 0, kung gayon
Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag nilulutas ang equation (1) ito ay nabawasan sa quadratic equation, na ang diskriminasyon ay isang buong parisukat; kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula ng formula ng mga ugat ng quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay binawasan sa isang quadratic equation (4), ang discriminant na kung saan ay hindi isang perpektong square, samakatuwid, kapag nilutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta theorem.
Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.
Gawain 3. Lutasin ang equation 
Solusyon. ODZ: x1, x2.
Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos, bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang equation ay kukuha ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin ang mga halaga ng a kung saan hindi bababa sa isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Sagot: kung a > - 13, a 11, a 5, kung gayon kung a - 13,
a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.
Bibliograpiya.
1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.
2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.
M. "Punong Guro" Blg. 4, 1996
3. Guzeev at mga pormang pang-organisasyon pag-aaral.
4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.
M." pampublikong edukasyon", 2001
5. Guzeev mula sa mga anyo ng aralin - seminar.
Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987, pp. 9 - 11.
6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Selevko.
M. "Edukasyon ng mga tao", 1998
7. Ang mga mag-aaral sa Episheva ay natututo ng matematika.
M. "Enlightenment", 1990
8. Ivanov upang maghanda ng mga aralin - mga workshop.
Matematika sa Paaralan Blg. 6, 1990, p. 37-40.
9. Smirnov modelo ng pagtuturo ng matematika.
Matematika sa Paaralan Blg. 1, 1997, p. 32-36.
10. Tarasenko na mga paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.
Matematika sa Paaralan Blg. 1, 1993, p. 27 - 28.
11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.
Mathematics at School No. 2, 1994, pp. 63 - 64.
12. Khazankin malikhaing kakayahan ng mga mag-aaral.
Matematika sa Paaralan Blg. 2, 1989, p. 10.
13. Scanavi. Publisher, 1997
14. et al. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Didactic na materyales para sa
15. Mga gawain sa Krivonogov sa matematika.
M. "Una ng Setyembre", 2002
16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at
pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002
17. Zhevnyak para sa mga aplikante sa mga unibersidad.
Minsk at RF "Repasuhin", 1996
18. Nakasulat D. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999
19. at iba pa.Pag-aaral na lutasin ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.
M. "Intellect - Center", 2003
20. at iba pa. Mga materyales na pang-edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda para sa E G E.
M. "Intellect - Center", 2003 at 2004
21 at iba pa. Mga variant ng CMM. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003
22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971
23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.
Mathematics, 1997 No. 3.
24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Enlightenment, 1988
25. Yakimanskaya - oriented na edukasyon sa paaralan.
26. Nagtatrabaho si Liimets sa aralin. M. Kaalaman, 1975